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2016届广西柳州市高考数学一模试卷(文科)

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2016年广西柳州市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(解析版)

2016年广西柳州市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(解析版)

2016年广西柳州市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={x|x（x﹣2）≤0}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1}B．{1，2}C．{﹣1，0，1，2}D．{0，1，2}2．已知zi=i﹣1，则复数z在复平面上所对应的点位于（）A．实轴上B．虚轴上C．第一象限 D．第二象限3．命题“∃x∈R，sinx＞1”的否定是（）A．∃x∈R，sinx≤1 B．∀x∈R，sinx＞1 C．∃x∈R，sinx=1 D．∀x∈R，sinx≤1 4．已知等差数列{a n}中，若a3+3a6+a9=120，则2a7﹣a8的值为（）A．24 B．﹣24 C．20 D．﹣205．已知函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示，f（x0）=f（0），则正确的选项是（）A．B．C．D．6．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点F到渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．37．若x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（）A．﹣5 B．C．0 D．28．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．29．函数g（x）=x3++3lnx+b（b∈R）在x=1处的切线过点（0，﹣5），则b=（）A．B．C．D．10．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A．4 B．2 C．D．11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于点A，B两点，且直线l与圆x2﹣px+y2﹣=0交于C，D两点，若|AB|=2|CD|，则直线l的斜率为（）A．B．C．±1 D．12．函数f（x）的定义域为实数R，f（x）=对任意的x∈R都有f（x+2）=f（x﹣2）．若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰好有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本答题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．在长为2的线段AB上任意取一点C，以线段AC为半径的圆面积小于π的概率为_______．14．已知向量=（x，y），=（﹣1，2 ），且+=（1，3），则等于_______．15．已知正实数x，y满足xy=x+y，若xy≥m﹣2恒成立，则实数m的最大值是_______．16．数列{a n}满足a1=2，且a n+1﹣a n=2n（n∈N*），则数列的前10项和为_______．三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且三角形的面积为S=accosB．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若c=8，点D在BC上，且CD=2，cos∠ADB=﹣，求b的值．18．某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升，下表是2011至2015+a；（Ⅱ）根据改革方案，预计在2020年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预计该城市2023年的居民生活用水量．参考公式：．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，若AB=2PC=，D是PC的中点（1）证明：AB⊥PC；（2）求AD与平面ABC所成角的正弦值．20．已知椭圆=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（1，0），左顶点到点F的距离为+1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设过点F，斜率为k的直线l与椭圆E交于A，B两点，且与短轴交于点C，若△OAF 与△OBC的面积相等，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=﹣x+alnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=x2﹣2x+2a，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．四.请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D．（Ⅰ）求证：CE2=CD•CB．（Ⅱ）若D为BC的中点，且BC=2，求AB与DE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是（φ为参数）和（φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C1和C2的极坐标方程；（2）射线OM：θ=a与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+m|x+a|．（Ⅰ）当m=a=﹣1时，求不等式f（x）≥x的解集；（Ⅱ）不等式f（x）≥2（0＜m＜1）恒成立时，实数a的取值范围是{a|a≤﹣3或a≥3}，求实数m的集合．2016年广西柳州市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={x|x（x﹣2）≤0}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1}B．{1，2}C．{﹣1，0，1，2}D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中的不等式解得：0≤x≤2，即A=[0，2]，∵B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}，故选：D．2．已知zi=i﹣1，则复数z在复平面上所对应的点位于（）A．实轴上B．虚轴上C．第一象限 D．第二象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：zi=i﹣1，∴﹣izi=﹣i（i﹣1），化为：z=1+i，则复数z在复平面上所对应的点（1，1）位于第一象限．故选：C．3．命题“∃x∈R，sinx＞1”的否定是（）A．∃x∈R，sinx≤1 B．∀x∈R，sinx＞1 C．∃x∈R，sinx=1 D．∀x∈R，sinx≤1 【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是：∀x＞0，sinx≤1，故选：D．4．已知等差数列{a n}中，若a3+3a6+a9=120，则2a7﹣a8的值为（）A．24 B．﹣24 C．20 D．﹣20【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式能求出2a7﹣a8的值．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3+3a6+a9=120，∴5（a1+5d）=120，∴a1+5d=24，∴2a7﹣a8=a1+5d=24．故选：A．5．已知函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示，f（x0）=f（0），则正确的选项是（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据函数f（x）的部分图象知f（0）=，分别验证A、B、C、D选项是否满足条件即可．【解答】解：根据函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象知，f（0）=，对于A，cos（π+）=cos=cos=，满足题意；对于B，cos（π+）=﹣cos=﹣，不满足题意；对于C，cos（π+）=cos2π=1，不满足题意；对于D，cos（π+）=﹣cos=﹣，不满足题意；故选：A．6．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点F到渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（c，0），渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式可得b=2a，由a，b，c的关系和点到直线的距离公式，可得c=a，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（c，0），渐近线方程为y=x，由题意可得d==b=2a，可得c==a，即有离心率e==．故选：C．7．若x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（）A．﹣5 B．C．0 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（3，4）．代入目标函数z=x﹣2y，得z=3﹣8=﹣5，∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣5．故选：A．8．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．2【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得：i=0，A=2执行循环体，i=1，A=，不满足条件i＞2016，执行循环体，i=2，A=﹣1；不满足条件i＞2016，执行循环体，i=3，A=2；不满足条件i＞2016，执行循环体，i=4，A=，…循环下去，而20116=3×672，i=2017时，与i=4输出值相同，即A=．故选：B．9．函数g（x）=x3++3lnx+b（b∈R）在x=1处的切线过点（0，﹣5），则b=（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出g（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用两点的斜率公式，解方程，即可得到b的值．【解答】解：函数g（x）=x3++3lnx+b的导数为g′（x）=3x2+5x+，可得g（x）在x=1处的切线斜率为k=11，切点为（1， +b），由两点的斜率公式可得11=，解得b=．故选：B．10．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A．4 B．2 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度、线面的位置关系，由线面垂直的定义判断几何体四个面中的直角三角形，由勾股定理和三角形面积公式求出直角三角形的面积和．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，且PB⊥平面ABC，底面是的等腰三角形，底BC=2，BC边上的高为2，∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥BC、PB⊥AB，即△PBC、△PAB是直角三角形，∵AB=，∴直角三角形的面积和S==2+故选：D．11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于点A，B两点，且直线l与圆x2﹣px+y2﹣=0交于C，D两点，若|AB|=2|CD|，则直线l的斜率为（）A．B．C．±1 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由F，由x2﹣px+y2﹣=0配方为： +y2=p2，可得：|CD|=2p．设直线l的方程为y=k，A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线方程联立化为：x2﹣x+=0，利用根与系数的关系及其抛物线的定义可得：|AB|=x1+x2+p=2p+．利用|AB|=2|CD|，即可得出．【解答】解：由F，由x2﹣px+y2﹣=0配方为： +y2=p2，可得：|CD|=2p．设直线l的方程为y=k，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为：x2﹣x+=0，∴x1+x2=p+．∴|AB|=x1+x2+p=2p+．由|AB|=2|CD|，∴2p+=4p．，可得k2=1，解得k=±1．故选：C．12．函数f（x）的定义域为实数R，f（x）=对任意的x∈R都有f（x+2）=f（x﹣2）．若在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰好有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】分段函数的应用；函数零点的判定定理．【分析】由函数的性质得到周期性，由函数零点转换为两图象相交，由数形结合得到m的范围．【解答】解：∵任意的x∈R都有f（x+2）=f（x﹣2）．∴函数f（x）的周期是4，∵在区间[﹣5，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx+m恰好有三个不同的零点，即函数f（x）与函数h（x）=mx﹣m在区间[﹣5，3]上有三个不同的交点，在同一直角坐标系上画出两个函数的图象：得到≤m ＜即﹣≤m ＜﹣，故选B ．二、填空题（本答题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．在长为2的线段AB 上任意取一点C ，以线段AC 为半径的圆面积小于π的概率为 ． 【考点】几何概型． 【分析】设AC=x ，根据圆的面积小于π，得到0＜x ＜1，然后结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：设AC=x ，若以线段AC 为半径的圆面积小于π，则πx 2＜π，则0＜x ＜1，则对应的概率P=，故答案为：．14．已知向量=（x ，y ），=（﹣1，2 ），且+=（1，3），则等于 5 ．【考点】向量的模；向量的加法及其几何意义．【分析】根据向量=（x ，y ），=（﹣1，2 ），且+=（1，3）三个条件得到的坐标，本题要求一个向量的模长，这种问题一般对要求的结果先平方，变为已知的向量的模长和数量积的问题．【解答】解：∵向量=（x ，y ），=（﹣1，2 ），∴=（x ﹣1，y +2）∵+=（1，3），∴（x ﹣1，y +2））=（1，3）∴x ﹣1=1，y +2=3，∴x=2，y=1，∴=（2，1）∴||=，||=， =0，∴|﹣2|===5，故答案为：515．已知正实数x ，y 满足xy=x +y ，若xy ≥m ﹣2恒成立，则实数m 的最大值是 6 ．【考点】基本不等式．【分析】求出xy 的最大值，问题转化为m ﹣2≤4，求出m 的最大值即可．【解答】解：由x ＞0，y ＞0，xy=x +y ≥2，得：xy ≥4，于是由m ﹣2≤xy 恒成立，得：m ﹣2≤4，解得：m ≤6，故答案为：6．16．数列{a n }满足a 1=2，且a n+1﹣a n =2n （n ∈N *），则数列的前10项和为 ． 【考点】数列的求和． 【分析】由a 1=2，且a n+1﹣a n =2n ，利用“累加求和”方法可得a n ，再利用等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】解：∵a 1=2，且a n+1﹣a n =2n ，∴n ≥2时，a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=2n ﹣1+2n ﹣2+…+2+2=+1=2n ，当n=1时也成立，∴a n =2n ．∴=．∴数列的前10项和==．故答案为：．三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且三角形的面积为S=accosB ．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若c=8，点D 在BC 上，且CD=2，cos ∠ADB=﹣，求b 的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I ）由S △ABC =得出tanB=，故而B=；（II ）在△ABD 中使用正弦定理求出AD ，在△ACD 中使用余弦定理计算AC ．【解答】解：（I ）在△ABC 中，∵S △ABC =，∴tanB=．∴B=．（II ）∵cos ∠ADB=﹣，∴sin ∠ADB=，cos ∠ADC=．在△ABD 中，由正弦定理得，即，解得AD=7．在△ACD 中，由余弦定理得AC 2=AD 2+CD 2﹣2AD •CDcos ∠ADC=49+4﹣4=49， ∴AC=7．即b=7．18．某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升，下表是2011至2015+a ；（Ⅱ）根据改革方案，预计在2020年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预计该城市2023年的居民生活用水量．参考公式：．【考点】线性回归方程．【分析】（I ）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（II ）由于到2020年用水量趋于稳定，故2023年的用水量约等于2020年的用水量，把x=2020代入回归方程求出用水量的估计值．【解答】解：（I ）=2013， ==260.2，=（﹣2）×（﹣24.2）+（﹣1）×（﹣14.2）+0+1×15.8+2×25.8=130．=4+1+0+1+4=10．∴b==13，∴回归方程为y﹣260.2=13（x﹣2013），即y=13（x﹣2013）+260.2．（II）当x=2020时，y=13+260.2=351.2（万吨）．答：该城市2023年的居民生活用水量预计为351.2万吨．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，若AB=2PC=，D是PC的中点（1）证明：AB⊥PC；（2）求AD与平面ABC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）利用直线平面的垂直来证明得出AB⊥平面PEC，再利用转为直线直线的垂直证明．（2）作出AD与平面ABC所成角的角，转化为三角形求解即可．【解答】证明：（1）取AB中点E，∵△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形∴CE⊥AB，PE⊥AB，∵CE∩PE=E，∴∵PC⊂平面PEC∴AB⊥PC解：（2）∵，∴角形PEC为正三角形，过P作PO⊥CE，则PO⊥平面ABC，过D作DH平行PO，则DH⊥平面ABC，连AH，则∠DAH为所求角，，．20．已知椭圆=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（1，0），左顶点到点F的距离为+1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设过点F，斜率为k的直线l与椭圆E交于A，B两点，且与短轴交于点C，若△OAF 与△OBC的面积相等，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得c=1，a+c=1+，解得a，由b=，可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设过点F，斜率为k的直线l的方程为y=k（x﹣1），C（0，﹣k），联立椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理，由三角形的面积公式可得|AF|=|BC|，即有线段AB的中点和线段CF的中点重合，运用中点坐标公式，解方程可得斜率k，进而得到所求直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）哟题意可得c=1，a+c=1+，解得a=，b==1，即有椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）设过点F，斜率为k的直线l的方程为y=k（x﹣1），C（0，﹣k），联立，可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则△=16k4﹣4（1+2k2）（2k2﹣2）=8+8k2＞0成立，x1+x2=，由△OAF与△OBC的面积相等，可得|AF|=|BC|，即有线段AB的中点和线段CF的中点重合，AB的中点的横坐标为，CF的中点的横坐标为，即有=，解得k=±．则所求直线的方程为y=±（x﹣1），即为x±y﹣1=0．21．已知函数f（x）=﹣x+alnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=x2﹣2x+2a，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为f（x）max＜g（x）max，分别求出其最大值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣1+=（x＞0），①a≤0时，由于x＞0，故x﹣a＞0，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）递减，②a＞0时，由f′（x）=0，解得：x=a，在区间（0，a）上，f′（x）＞0，在区间（a，+∞）上，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减，综上，a≤0时，f（x）在（0，+∞）递减，无递增区间，a＞0时，函数f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减；（Ⅱ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max，g（x）max=2a，由（Ⅰ）得：a＜0时，f（x）在（0，+∞）递减，值域是R，不合题意，a=0时，f（x）=﹣x＜0=g（x）max，符合题意，a＞0时，f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减，故f（x）的极大值即为最大值，f（a）=﹣a+alna，故2a＞﹣a+alna，解得：0＜a＜e3．综上，a的范围是[0，e3]．四.请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D．（Ⅰ）求证：CE2=CD•CB．（Ⅱ）若D为BC的中点，且BC=2，求AB与DE的长．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（Ⅰ）连接BE，由切线的性质和相似三角形的判定定理可得△CED∽△CBE，即可得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）知CE2=CB•CD，结合条件可得CE=2，运用直角三角形的勾股定理可得OB=1，由勾股定理可得AD，再由切割线定理可得BD2=DE•DA，即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接BE，由BC为圆O的切线，可得∠ABC=90°，∠CBE=∠A，由OA=OE，可得∠A=∠AEO，由∠AEO=∠CED，可得∠CED=∠CBE，又∠C=∠C，可得△CED∽△CBE，即有=，可得CE2=CB•CD；（Ⅱ）由（Ⅰ）知CE2=CB•CD，D为BC的中点，且BC=2，可得CE2=2×=4，即CE=2，又OB2+BC2=OC2=（OE+EC）2=（OB+CE）2，OB2+8=OB2+4OB+4，解得OB=1，AB=2OB=2，又AD===，由切割线定理可得BD2=DE•DA，则DE===．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是（φ为参数）和（φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C1和C2的极坐标方程；（2）射线OM：θ=a与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）首先把两圆的参数方程转化成直角坐标方程，再把直角坐标方程为转化成极坐标方程．（2）根据圆的坐标形式．利用两点间的距离公式，再利用换元法进一步求出最值．【解答】解：（1）圆C1（φ为参数），转化成直角坐标方程为：（x﹣2）2+y2=4即：x2+y2﹣4x=0转化成极坐标方程为：ρ2=4ρcosθ即：ρ=4cosθ圆C2（φ为参数），转化成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1即：x2+y2﹣2y=0转化成极坐标方程为：ρ2=2ρsinθ即：ρ=2sinθ（2）射线OM：θ=α与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q则：P（2+2cosα，2sinα），Q（cosα，1+sinα）则：|OP|==，|OQ|==则：|OP||OQ|==设sinα+cosα=t（）则：则关系式转化为：4=由于：所以：（|OP||OQ|）max=．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+m|x+a|．（Ⅰ）当m=a=﹣1时，求不等式f（x）≥x的解集；（Ⅱ）不等式f（x）≥2（0＜m＜1）恒成立时，实数a的取值范围是{a|a≤﹣3或a≥3}，求实数m的集合．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）将m=a=﹣1代入（x），通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质得到2m|a|≥2，解出a，得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）m=a=﹣1时，|x+1|﹣|x﹣1|≥x，x＜﹣1时，﹣（x+1）+（x﹣1）≥x，解得：x≤﹣2，﹣1≤x≤1时，（x+1）+（x﹣1）≥x，解得：0≤x＜1，x≥1时，（x+1）﹣（x﹣1）≥x，解得：1≤x≤2，综上，不等式的解集是{x|x≤﹣2或0≤x≤2}；（Ⅱ）f（x）=|x﹣a|+m|x+a|=m（|x﹣a|+|x+a|）+（1﹣m）|x﹣a|≥2m|a|+（1﹣m）|x ﹣a|≥2m|a|≥2，解得：a≤﹣或a≥，∵数a的取值范围是{a|a≤﹣3或a≥3}，故=3，解得：m=，∴实数m的集合是{m|m=}．2016年9月12日第21页（共21页）。

2016年全国统一高考数学试卷文科全国一附带答案解析

2016年全国统一高考数学试卷文科全国一附带答案解析

2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．33．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2D．35．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a nb n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合．【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可．【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B={3，5}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力．2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．3【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则，通过复数相等的充要条件求解即可．【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（2a+1）i的实部与虚部相等，可得：a﹣2=2a+1，解得a=﹣3．故选：A．【点评】本题考查复数的相等的充要条件的应用，复数的乘法的运算法则，考查计算能力．3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】12：应用题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论．【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有=6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为=．另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4，即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12），则P==．故选：C．【点评】本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2D．3【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，从而解得b的值．【解答】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）．故选：D．【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得：，4=b2（），∴，=3，∴e==．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，椭圆的离心率的求法，考查计算能力．6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质．【分析】求得函数y的最小正周期，即有所对的函数式为y=2sin[2（x﹣）+]，化简整理即可得到所求函数式．【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象平移变换，注意相位变换针对自变量x而言，考查运算能力，属于基础题和易错题．7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b【考点】4M：对数值大小的比较．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴log c a＜log c b，故B正确；∴当a＞b＞1时，0＞log a c＞log b c，故A错误；a c＞b c，故C错误；c a＜c b，故D错误；故选：B．【点评】本题考查的知识点是指数函数，对数函数，幂函数的单调性，难度中档．9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；4C：分类法；53：导数的综合应用．【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t=cosx（﹣1≤t ≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，对t讨论，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1﹣cos2x+acosx≥0，即有﹣cos2x+acosx≥0，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t=0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．综上可得a的范围是[﹣，]．另解：设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范围是[﹣，]．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，清楚向量坐标的概念．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】由θ得范围求得θ+的范围，结合已知求得cos（θ+），再由诱导公式求得sin（）及cos（），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ﹣）的值．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案为：﹣．【点评】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为4π．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，利用圆的弦长公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，∵直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，且|AB|=2，∴圆心（0，a）到直线y=x+2a的距离d=，即+3=a2+2，解得：a2=2，故圆的半径r=2．故圆的面积S=4π，故答案为：4π【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度中档．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a nb n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a1=2，结合{a n}是公差为3的等差数列，可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（1）可得：数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，+b n+1=nb n．（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1即3b n=b n．+1即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n项和公式，难度中档．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）根据题意分析可得PD⊥平面ABC，进而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，结合两者分析可得AB⊥平面PDE，进而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明；（Ⅱ）由线面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC，可得F为E在平面PAC内的正投影．由棱锥的体积公式计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA=PB，∴G是AB的中点；（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC 内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG．由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四面体PDEF的体积V=×DE×S=×2××2×2=．△PEF【点评】本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键是正确分析几何体的各种位置、距离关系．19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【考点】3H：函数的最值及其几何意义；5C：根据实际问题选择函数类型；B8：频率分布直方图．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）若n=19，结合题意，可得y与x的分段函数解析式；（Ⅱ）由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，可得n的最小值；（Ⅲ）分别求出每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）当n=19时，y==（Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06，更换的易损零件数为17个频率为0.16，更换的易损零件数为18个频率为0.24，更换的易损零件数为19个频率为0.24又∵更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5．则n≥19∴n的最小值为19件；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，所须费用平均数为：（70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元）假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件，所须费用平均数为（90×4000+10×4500）=4050（元）∵4000＜4050∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，方案选择，难度中档．20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出P，N，H的坐标，利用=，求；（Ⅱ）直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，利用判别式可得结论．【解答】解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），∵M关于点P的对称点为N，∴=，=t，∴N（，t），∴ON的方程为y=x，与抛物线方程联立，解得H（，2t）∴==2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知k MH=，∴直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，∴△=16t2﹣4×4t2=0，∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立方程是关键．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，a＜﹣时，a=﹣时，﹣＜a＜0，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，可得f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增（如右上图）；②当a＜0时，（如右下图）若a=﹣，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；若a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；在（1，ln（﹣2a））递减；若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；在（ln（﹣2a），1）递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；当x→﹣∞时f（x）＞0或找到一个x＜1使得f（x）＞0对于a＞0恒成立，f（x）有两个零点；②当a=0时，f（x）=（x﹣2）e x，所以f（x）只有一个零点x=2；③当a＜0时，若a＜﹣时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；当a≥﹣时，在（﹣∞，ln（﹣2a））单调增，在（1，+∞）单调增，在（1n（﹣2a），1）单调减，只有f（ln（﹣2a））等于0才有两个零点，而当x≤1时，f（x）＜0，所以只有一个零点不符题意．综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。

广西柳州市高考数学考前模拟试卷(文科)

广西柳州市高考数学考前模拟试卷(文科)

广西柳州市高考数学考前模拟试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一上·双鸭山期中) 设全集为R，集合A={x||x|≤2}，B={x| ＞0}，则A∩∁RB=（）A . [﹣2，1）B . [﹣2，1]C . [﹣2，2]D . [﹣2，+∞）2. （2分） (2015高三上·承德期末) 已知复数z= （i为虚数单位），则的虚部为（）A . ﹣2B . ﹣3C . 3D . 43. （2分） (2018高一下·抚顺期末) ∆ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，则向量在向量方向上的射影的数量为（）A .B .C . 3D .4. （2分）分别在区间,内各任取一个实数依次为,则的概率是（）A . 0.3B . 0.667C . 0.7D . 0.7145. （2分） (2018高二上·泰安月考) 若数列的前项分别是，则此数列的一个通项公式为（）A .B .C .D .6. （2分） (2015高二上·东莞期末) 已知椭圆的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且椭圆的离心率为，该椭圆的方程为（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高二下·双流期中) 执行如图所示的程序框图，若输出的n=4，则输入整数p的最大值是（）A . 4B . 7C . 8D . 158. （2分）已知，则等于（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·上饶模拟) 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得出这个几何体的内切球半径是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高一下·甘谷期中) 若函数y=f（x）的图象与函数y=sin（x+ ）的图象关于P（，0）对称，则f（x）解析式为（）A . f（x）=sin（x﹣）B . f（x）=﹣sin（x﹣）C . f（x）=﹣cos（x+ ）D . f（x）=cos（x﹣）11. （2分） (2016高二上·黑龙江开学考) 如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AC= ，则三棱锥P﹣ABC外接球的体积是（）A .B .C .D . 2π12. （2分） (2017高二下·烟台期中) 已知函数y=f（x）的图象在区间[a，b]上是连续不断的，如果存在x0∈[a，b]，使得成立，则称x0为函数f（x）在[a，b]上的“好点”，那么函数f（x）=x2+2x 在[﹣1，1]上的“好点”的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点________．14. （1分）等差数列{an}，公差d=2，若a2 ， a4 ， a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于________ ．15. （1分）若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点，且（O为坐标原点），则r=________ .16. （1分）(2017·长沙模拟) 已知实数x，y满足，则z=2x﹣2y﹣1最大值为________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2017高三上·南充期末) 已知，其中A，B，C是△ABC 的内角．（1）当时，求的值；（2）若，当取最大值是，求B的大小及BC边的长．18. （5分） (2017高二下·淄川期末) 某冷饮店为了解气温变化对其营业额的影响，随机记录了该店1月份销售淡季中5天的日营业额y（单位：百元）与该地当日最低气温x（单位：℃）的数据，如下表所示：x367910y1210887（Ⅰ）判定y与x之间是正相关还是负相关，并求回归方程 = x+（Ⅱ）若该地1月份某天的最低气温为6℃，预测该店当日的营业额（参考公式： = = ， = ﹣）．19. （10分）如图，圆锥SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，AB∩CD=O，且AB⊥CD，SO=OB=2，P为SB的中点．（1）求证：SA∥平面PCD；（2）求异面直线SA与PD所成角的正切值．20. （5分）如图，点A在直线x=5上移动，等腰△OPA的顶角∠OPA为120°（O，P，A按逆时针方向排列），求点P的轨迹方程．21. （15分） (2016高一上·烟台期中) 已知函数f（x）=（）x ，函数g（x）=log x．（1）若g（ax2+2x+1）的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）当x∈[（）t+1，（）t]时，求函数y=[g（x）]2﹣2g（x）+2的最小值h（t）；（3）是否存在非负实数m，n，使得函数y=log f（x2）的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，则说明理由．22. （10分） (2016·淮南模拟) 在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2acosθ（a＞0），直线l的参数方程为（t为参数），直线l 与曲线C相交于A，B两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|AB|=2 ，求a的值．23. （10分）(2017·巢湖模拟) 已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|．（1）求函数f（x）的值域M；（2）若a∈M，试比较|a﹣1|+|a+1|，，的大小．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。

【全国市级联考】广西桂林市、柳州市2016届高三高考压轴考试文数试题(解析版)

【全国市级联考】广西桂林市、柳州市2016届高三高考压轴考试文数试题(解析版)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设平面向量()1,2m =-，()2,n b =，若//m n ，则m n -等于（ ）A B D ． 【答案】D考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质. 2.若复数z 满足112iz i-=+，则z =（ ）A ．25 B ．35C D 【答案】C 【解析】试题分析：()()()()1121312125i i i z i i ----==+-C ． 考点：1、复数的概念；2、复数的运算. 3.设集合12164x x⎧⎫A =<<⎨⎬⎩⎭，(){}2ln 3x y x x B ==-，从集合A 中任取一个元素，则这个元素也是集合B 中元素的概率是（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．23【答案】C 【解析】试题分析：()2,4A =-，()(),03,B =-∞+∞，()()2,03,4A B =-，所求概率是()()()43021422-+--⎡⎤⎣⎦=--．故应选C ．考点：1、集合的表示；2、几何概型概率公式. 4.如图1，给出的是求111124630+++⋅⋅⋅+的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（ ） A ．15i ≥ B ．15i ≤ C ．14i ≥ D ．14i ≤【答案】B考点：1、程序框图；2、循环结构.5.几何体的三视图如图2所示，该几何体的体积是（ ） A ．4π B ．163π C ．203π D ．443π+【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体由一个球和一个圆锥组合而成，球的半径为1，体积为43π，圆锥体积为212343ππ⋅⋅=，组合体体积为163π．故应选B ．考点：1、几何体的三视图；2、圆锥和球的体积公式.6.在等比数列{}n b 中，n T 表示前n 项和，若3221b =T +，4321b =T +，则公比q 等于（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：因为3221b =T +，4321b =T +两式相减得3432b b b -=-，从而求得433b b =．故应选D. 考点：1、等比数列的定义；2、公式()12n n n a S S n -=-≥的应用 .7.已知x ，y 满足不等式组4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则函数2z x y =+的最小值是（ ）A ．3B ．132C ．12D ．23 【答案】A考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划中可行域的画法及利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8.已知函数()46f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的一个单调递增区间为（ ） A ．,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B考点：1、三角函数的平移变换；2、正弦函数的单调性.9.已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边落在第二象限，(),x y A 是其终边上的一点，向量()3,4m =，若m ⊥OA ，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．7 B ．17- C ．7- D ．17【答案】D 【解析】试题分析：设m 与x 轴正向的夹角为θ，则4tan 3θ=，因为角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边落在第二象限且m ⊥OA ，所以2παθ=+，()()41tan 1313tan tan 44411tan 713θππαθθ-+-⎛⎫⎛⎫+=+=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+故应选D ．考点：1、向量垂直的性质；2、两角和的正切公式.10.已知直线1y x =-+与双曲线221ax by +=（0a >，0b <）交于A ，B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为ab的值为（ ） A．．． D．【答案】A考点：1、直线双曲线的位置关系；2、直线的斜率及韦达定理.11.已知函数()3,0,0x f x b x +≥=+<，满足条件：对于1R x ∀∈，存在唯一的2R x ∈，使得()()12f x f x =．当)()3ff b =成立时，则实数a b +=（ ）A． C3+ D．3 【答案】D 【解析】试题分析：由题设条件对于1R x ∀∈，存在唯一的2R x ∈，使得()()12f x f x =，知()f x 在(),0-∞和()0,+∞上单调，得3b =，且0a <．由)()3f f b =有2233a +=+，解得a =3a b +=+．故应选D ．考点：1、分段函数的解析式；2、数形结合思想与转化思想的应用.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式、数形结合思想与转化思想的应用，属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 本题将“对于1R x ∀∈，存在唯一的2R x ∈，使得()()12f x f x = ”根据图象转化为“()f x 在(),0-∞和()0,+∞上单调”是解题的关键.12.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n n n A +=B +，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前n 项和公式.【方法点睛】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，属于难题.等差数列性质很多，其中性质‘若2,m n p q r +=+= 则2m n p q r a a a a a +=+=，应用非常广，它往往结合等差数列前n 项和公式（12n n a a S n +=⨯）综合出题，本题就是利用‘121121212,2n n n n a a a a a S ---++==’推出结论2121n n n n a b --A=B 后，再利用n 是整数这一特性进一步解答的.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，则该批次产品总数为 ．【答案】4800 【解析】试题分析：由题知乙型号产品所占比例为80503808-=，所以该批次产品总数为3180048008÷=．故答案为4800.考点：分层抽样的应用. 14.函数()21ln 2f x x x x =-+的单调增区间为 ．【答案】⎛ ⎝考点：利用导数研究函数的单调性.15.已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．数列{}n a 的通项公式n a = ．【答案】21n - 【解析】试题分析：因为11S a =，2112122222S a a ⨯=+⨯=+，41143424122S a a ⨯=+⨯=+，由题意得()()211122412a a a +=+，解得11a =，所以21n a n =-，故答案为21n -.考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前n 项和公式.【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求解，问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.16.已知奇函数()f x 满足对任意R x ∈都有()()()63f x f x f +=+成立，且()11f =，则()()20152016f f += ．【答案】1-考点：1、函数的奇偶性；2、函数的周期性.【方法点睛】本题主要考查函数的解析式、奇偶性和周期性，属于难题.对函数各种性质综合考察也是近几年命题热点，一般放在填空题后两题位置，由于综合性较强,这就要求同学们必须熟练掌握函数的各种性质，关于抽象函数的周期，常见形式如下:(1)若()()f x a f x +=，则周期为a ；（2）若()()f x a f x +=-，则周期为2a ；（3）若()()1f x a f x +=±，则周期为2a . 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）如图3，CD AB 是直角梯形，//CD AB ，2CD 2AB ==，CD C =B ，E 是AB 的中点，D E ⊥AB ，F 是C A 与D E 的交点．（1）求sin C D ∠A 的值； （2）求DF ∆A 的面积．【答案】（1（2）14. 【解析】试题分析：（1）先由勾股定理得到C A =，D A =，再根据余弦定理得到，cos C D ∠A =，判断出C D ∠A 为锐角后可根据同角三角函数之间的关系可得；（2）根据三角形全等得到1F C 2A =A =进而利用三角形面积公式求解.考点：1、余弦定理及勾股定理；2、三角形面积公式. 18.（本小题满分12分）某高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（CS NEP ）”，先在本校进行初赛（满分150分）， 若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图4所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；（2）该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学 生中随机抽取3人，求选取的三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的概率． 【答案】（1）81；（2）15.考点：1、频率分布直方图及中位数；2、古典概型概率公式. 19.（本小题满分12分）如图5，CD AB 是平行四边形，已知2C 4AB =B =，D B =C BE =E ，平面C B E ⊥平面CD AB ．（1）证明：D C B ⊥E ；（2）若C BE =E =D B -A E 的体积D V B-A E ．【答案】（1）证明见解析；（2.（2）向量()C 1,2,0B =，()C 2,2,2P =--，()C 2,2,0A =，()1,0,0AB =．由点F 在棱C P 上，设CF C λ=P ，01λ≤≤．故()F C CF C C 12,22,2λλλλB =B +=B +P =--．由F C B ⊥A ，得F C 0B ⋅A =，因此，()()2122220λλ-+-=，解得34λ=．即113F ,,222⎛⎫B =- ⎪⎝⎭． 设()1,,n x y z =为平面F AB 的法向量，则110F 0n n ⎧⋅AB =⎪⎨⋅B =⎪⎩，即01130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩． 不妨令1z =，可得()10,3,1n =-为平面F AB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量()20,1,0n =，则121212cos ,10n n nn n n ⋅===⋅． 易知，二面角F -AB -P．考点：1、空间直线垂直的判定；2、空间向量夹角余弦公式.20.（本小题满分12分）已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C ，且椭圆过点 ⎛ ⎝，单位圆O 的切线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点． （1）求椭圆C的方程；（2）求证：OA ⊥OB ．【答案】（1）221443x y +=；（2）证明见解析.考点：1、待定系数法求椭圆方程；2、点到直线的距离公式及平面向量数量积公式.【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及点到直线的距离公式和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.21.（本小题满分12分）已知函数()ln b f x x ax x =-+，对任意的()0,x ∈+∞，满足()10f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，其中a ，b 为常数． （1）若()f x 的图象在1x =处的切线经过点()0,5-，求a 的值；（2）已知01a <<，求证202a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭；（3）当()f x 存在三个不同的零点时，求a 的取值范围．【答案】（1）2a =-；（2）证明见解析；（3）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）223322ln 2ln ln 22222a a a a f a a a ⎛⎫=-+=+-- ⎪⎝⎭． 令()322ln ln 22x g x x x =+--，则()()42223412232x x x g x x x x x-+-'=--=， 所以()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，故()0,1x ∈时，()()1312ln 2ln 022g x g e >=-->->，所以01a <<时，02a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性、求函数的最值及函数零点问题.【方法点晴】本题主要考查的是导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求函数的最值、函数零点问题立，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得x 的范围就是递减区间④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.本题（2）、（3）解题过程都是围绕先求单调区间再求最值这一思路，进一步解答问题的.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图6所示，四边形CD AB 中，D//C A B ，CD AB =，C A ，D B 交于点Q ，C C D ∠BA =∠A ，AP 为四边形CD AB 外接圆的切线，交D B 的延长线于点P ．（1）求证：2Q D P =P ⋅PB ；（2）若3AB =，2AP =，4D 3A =，求Q A 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）109.（2）D ∆PA ∆PBA ∽，∴D PA PB =A AB ，∴92PB =．2D PA =P ⋅PB ，∴8D 9P =， ∴810Q DQ D 299A ==PA -P =-=． 考点：1、弦切角定理；2、切割线定理及相识三角形.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为112x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，圆C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭． （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若(),x y P 是直线l 与圆Cy +的取值范围．【答案】（1）222x y x +=-；（2）[]2,2-.（2）设z y =+，圆C 方程化为()(2214x y ++-=，所以圆C的圆心是(-，半径是2，将112x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入z y =+，得z t =-．又因为直线l过(C -，所以22t -≤≤，所以22t -≤-≤，y +的取值范围是[]2,2-．考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、直线参数方程的应用.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()11f x x a x =+--．（1）当2a =-时，解不等式()5f x >；（2）若()3f x a x ≤+，求a 的取值范围．【答案】（1）423x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（2）12a ≥.（当且仅当1x ≥或3x ≤-时等号成立）故a的取值范围为12a ．考点：1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式求最值.：。

【全国百强校】广西柳州高级中学2016届高三4月高考热身模拟演练文数试题(解析版)

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一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设i 为虚数单位，则复数3i -的虚部是（ ）A ．3B ．i -C ．1D ．-1 【答案】D. 【解析】试题分析：由复数的概念即可得出复数3i -的虚部是1-，故应选D. 考点：１、复数的概念.2.记集合{|20}A x x =+>，{|sin ,}B y y x x R ==∈，则A B = （ ） A ．(2,)-+∞ B ．[1,1]- C ．[1,1][2,)-+∞ D ．(2,1]- 【答案】A .考点：1、集合的基本运算.3.某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．棱锥 D ．棱柱 【答案】B . 【解析】试题分析：对于选项A,当圆柱放倒时，俯视图可以是正方形，不满足题意，所以A 选项不正确；对于选项B,不论圆锥如何放置，俯视图中都含有曲线，俯视图不可能是正方形，所以B 选项正确；对于选项C,三棱柱放倒后，一个侧面与水平面垂直时，俯视图可以是正方形，不满足题意，所以C 选项不正确；对于选项D ，四棱柱是正方体时，俯视图是正方形，不满足题意，所以选项D 不正确.故应选B . 考点：1、简单几何体的三视图.4.已知||a = ，||2b = ，()0a b a -∙=，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．150 【答案】A .【解析】试题分析：因为()0a b a -∙= ，所以02=⋅-→→→b a a ，即3=⋅→→b a ，所以23233,cos =⨯=⋅⋅>=<→→→→→→ba ba b a ，所以向量a 与b的夹角为30 ，故应选A .考点：1、平面向量的数量积的应用.5.已知等比数列{}n a 满足2124a a +=，235a a =，则该数列前20项的和为（ ）A ．102B ．1021-C ．2021-D ．202 【答案】C.考点：1、等比数列；2、等比数列的前n 项和.6.已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且1,10()1,01x f x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩，则下列函数值为1的是（ ）A ．(2.5)fB ．((2.5))f fC ．((1.5))f fD ．(2)f 【答案】B. 【解析】试题分析：因为(1)()f x f x +=-，所以)1()(--=x f x f ，所以(1)()f x f x +=-)1(-=x f ，所以函数()f x 的周期为2，所以(2.5)f 1)5.0(-==f ，((2.5))f f 1)1(=-=f ，1)5.0()5.1(=-=f f ，((1.5))f f 1-=，故应选B.考点：1、函数的周期性；2、函数的求值. 7.函数1sin()23y x π=+，[2,2]x ππ∈-的单调递增区间是（ ）A ．5[2,]3ππ--B ．5[2,]3ππ--和[,2]3ππC ．5[,]33ππ-D ．[,2]3ππ 【答案】C.【解析】试题分析：因为函数1sin()23y x π=+的单调递增区间满足：Z k k x k ∈+≤+≤+-,2232122πππππ，即 Z k k x k ∈+≤≤+-,43435ππππ，又因为[2,2]x ππ∈-，所以335ππ≤≤-x ，故应选C. 考点：1、函数()sin()f x A x ωϕ=+的图像及其性质.8.平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆22(2)1x y -+=上的点的最小距离与其到直线1x =-的距离相等，则P 点的轨迹方程是（ ）A ．28y x = B ．28x y = C ．24y x = D ．24x y = 【答案】A.考点：1、直线与圆的位置关系；2、抛物线.【思路点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系和抛物线，渗透着转化与化归思想，属中档题.其解题过程中的一般思路为：首先设出动点P 的坐标，结合已知条件准确列出方程，然后正确的对其进行化简求解，再运用分类讨论的思想对其进行讨论，最后舍去不合题意的，进而得出最终结果即可. 9.非负实数,x y 满足ln(1)0x y +-≤，则关于x y -的最大值和最小值分别为（ ） A ．2和1 B ．2和-1 C ．1和-1 D ．2和-2 【答案】D.考点：1、线性规划的应用.【方法点睛】本题主要考查了线性规划的应用，考查了学生应用知识的能力和知识的迁移能力，渗透着数形结合和转化与化归思想，属中档题.其解题过程中最关键的是：其一是正确运用对数及其运算确定其约束条件；其二是正确画出约束条件满足的平面区域并运用线性规划进行求解.10.如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9【答案】A.考点：1、程序框图.11.已知球的直径4SC =，,A B 是该球球面上的两点，AB =，30ASC BSC ∠=∠= ，则棱锥S ABC -的体积为（ ）A ．B ．CD ．1【答案】C . 【解析】试题分析：设球心为点O ，作AB 中点D ，连接OD ，CD ，因为线段SC 是球的直径，所以它也是大圆的直径， 则易得090=∠=∠SBC SAC ，所以在SAC Rt ∆中，4=SC ，030=∠ASC 得：32,2==SA AC ；又 在SBC Rt ∆中，4=SC ，030=∠BSC 得：32,2==SB BC ，则BC AC SB SA ==,，因为点D 是AB 的中点，所以在等腰三角形ASB 中，AB SD ⊥且25322=-=AD SA SD ，在等腰三角形CAB 中， AB CD ⊥且21322=-=AD CA CD ，又SD 交CD 于点D ，所以⊥AB 平面SCD ，即棱锥S-ABC 的体积 ，因为，所以由余弦定理得，则，由三角形面积公式得SCD ∆的面积为，所以棱锥S ABC -的体积为，故应选C.考点：1、简单几何体的体积求法；2、正弦定理和余弦定理的应用.12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()(1)xf x e x =+，给出下列命题： ①当0x >时，()(1)xf x e x =-； ②函数()f x 有2个零点；③()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞ ； ④12,x x R ∀∈，都有12|()()|2f x f x -<. 其中正确命题的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 【答案】B.当2>x 时，0)('<x f ，故函数在2=x 处取到极大值21)2(e f =，且当x 趋近于0时，函数值趋向于-1；当x 趋近于无穷大时，函数值趋向于0，由奇函数的图像关于图像关于原点对称可作函数的图像：可得函数满足1)(1<<-x f ，故有12|()()|2f x f x -<，即④正确.故应选B. 考点：1、函数的图像及其性质；2、命题的真假.【方法点睛】本题主要考查了函数的图像及其性质和命题的真假，考查了学生应用知识的能力、知识的迁移能力和作图能力，渗透着数形结合和转化与化归思想，属中档题.其解题过程中最容易出现错误的是：其一是未能正确运用函数的奇偶性求解函数的解析式；其二是不能正确处理函数与方程之间的内在联系；其三是不能正确运用数形结合的思想求解实际问题.第Ⅱ卷（共90分）（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某小组9个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该小组同学数学成绩的众数是 .【答案】101.考点：1、茎叶图.14.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若332S a =，515S =，则2016a = .【答案】2016. 【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则由332S a =，515S =，可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⨯+=⨯+)2(22233152455111d a d a d a 即11==d a ，所以n a n =，所以2016a =2016，故应填2016. 考点：1、等差数列；2、等差数列的前n 项的和.15.ABC ∆的周长等于2(sin sin sin )A B C ++，则其外接圆半径等于 . 【答案】1.考点：1、正弦定理的应用.【方法点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，考查了学生应用知识的能力和知识的迁移能力，属中档题.其解题过程中最容易出现以下错误：其一是对等式的性质运用不熟练，记忆不牢固，进而导致出现错误；其二是不能准确完整的运用正弦定理进行化简、整理、计算，从而导致出现错误.因此，其解题的关键是正确地运用正弦定理解决实际问题.16.已知12(,0),(,0)F c F c -为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，点P 在椭圆上，且12PF F ∆的面积为2，则12cos F PF ∠= . 【答案】13. 【解析】试题分析：设n PF m PF ==21,，在12PF F ∆中，由椭圆的定义可知，a n m 2=+，应用余弦定理可得，mn c n m PF F 24cos 22221-+=∠，即212cos 12PF F b mn ∠+=，又因为12PF F ∆的面积为2，所以=∠∠+=∠∠+⨯=∠=212122121221sin cos 1sin cos 1221sin 21PF F PF F b PF F PF F b PF F mnS 2，所以可得2121sin 2cos 1PF F PF F ∠=∠+，再由1sin cos 212212=∠+∠PF F PF F 可得12cos F PF ∠=13，故应填13. 考点：1、椭圆的定义；2、焦点三角形的面积问题.【思路点睛】本题主要考查了椭圆的定义和焦点三角形的面积问题，涉及余弦定理和同角三角函数的基本关系，渗透着转化的数学思想，属中档题.其解题的一般思路为：首先根据已知条件并运用余弦定理即可得212cos 12PF F b mn ∠+=，然后代入三角形的面积公式，即可得出所求的答案即可. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）如图，OPQ 是半径为2，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的一动点. 记COP θ∠=，四边形OPCQ 的面积为S .（1）找出S 与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S 最大，并求出这个最大值.【答案】（Ⅰ）S 2sin 2sin()((0,))33ππθθθ=+-∈（Ⅱ）当且仅当32ππθ+=，即6πθ=时，S 最大，且最大值为2. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由四边形OPCQ 的面积S 等于三角形QOC POC ∆∆,的面积之和即可得出S 与θ的函数关系；（Ⅱ）由（1）知，2sin 2sin()3S πθθ=+-，然后运用两角差的正弦公式即可得出S 2sin()3πθ=+，最后由正弦函数的图像及其性质即可得出S 取得最大值时θ的取值.考点：1、三角恒等变换；2、三角函数的图像及其性质.【思路点睛】本题主要考查了三角恒等变换和三角函数的图像及其性质，渗透着转化的数学思想，属中档题.其解题的一般思路为：首先根据已知条件将四边形OPCQ 的面积S 划分为三角形QOC POC ∆∆,的面积之和，进而得出S 与θ的函数关系；然后运用三角恒等变换和辅助角公式对其进行求解即可. 18.（本小题满分12分）空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300>为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI 的茎叶图如图． （1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（100AQI ≤）的天数；（按这个月总共30天计算） （2）若从样本中的空气质量不佳（100AQI >）的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率.【答案】(1)230125⨯=；(2) 93155=.考点：1、茎叶图；2、古典概型的计算.19.（本小题满分12分）如图，矩形BDEF 垂直于正方形ABCD ，GC 垂直于平面ABCD ，且22AB DE CG ===.（1）求三棱锥A FGC -的体积；（2）求证：面GEF ⊥面AEF .【答案】（Ⅰ）121233V =⨯⨯=；（Ⅱ）详见解析.（2）如图，设EF 的中点为M ，连结,,AM GM AG .在Rt ACG ∆中可求得3AG =；在直角梯形,FBCG EDCG 中可求得FG EG ==在Rt ABF ∆，Rt ADE ∆中可求得AF AE ==从而在等腰AEF ∆，等腰GEF ∆中分别求得AM =，GM =AMG ∆中有222AM GM AG +=， 所以AM GM ⊥，因为M 是等腰AEF ∆底边中点，所以AM EF ⊥，所以AM ⊥平面GEF ，因此面GEF ⊥面AEF .考点：1、三棱锥的体积的求法；2、面面垂直的判定定理.【方法点睛】本题主要考查了面面垂直的判定定理和空间几何体的体积的求法，考查学生综合应用知识的能力和空间想象能力，属中档题.对于第一问三棱锥的体积的求法，其解题的关键是正确的找出三棱锥的高并准确计算；对于第二问证明面面垂直的问题，其解题的关键是正确地运用已知并通过计算得出空间线线之间的关系，进而得出所证的结果.20.（本小题满分12分） 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，(2,1)P -是1C 上一点. （1）求椭圆1C 的方程；（2）设,,A B Q 是P 分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 交1C 于异于,P Q 的两点,C D ，点C 关于原点的对称点为E ，证明：直线,PD PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形.【答案】（Ⅰ）22182x y +=；（Ⅱ）详见解析.（2）由题设知,A B 的坐标分别为(2,1),(2,1)--.因此直线l 的斜率为12.设直线l 的方程为：12y x t =+. 由2212182y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：222240x tx t ++-=，当0∆>时，不妨设1122(,),(,)C x y D x y ，于是122x x t +=-，21224x x t =-，分别设直线,PD PE 的斜率为12,k k ，则21212112212111(1)(2)(2)(1)22(2)(2)y y y x x y k k x x x x ------+++=+=+-++-，则要证直线,PD PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形，只需证2121(1)(2)(2)(1)0y x x y ---++=，而212121122112(1)(2)(2)(1)2()()4y x x y y y x y x y x x ---++=--++--21121212()4x x x x t x x x x =---++--1212()4x x t x x =--+-222424t t =-++-0=，所以直线 ,PD PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形.考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的位置关系.21.（本小题满分12分） 已知函数2()a f x x x=+（a 为实常数）. （1）若()f x 在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）判断是否存在直线l 与()f x 的图象有两个不同的切点，并证明你的结论.【答案】（1）a 的取值范围为(,0]-∞；（2）不存在直线l 与()f x 的图象有两个不同的切点．试题解析：（1）3'222()2a x a f x x x x -=-=，因为()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以320x a -≥即32a x ≤在(0,)+∞恒成立，而32y x =在(0,)+∞上单调递增，故32x 的值域为(0,)+∞，所以0a ≤，即a 的取值范围为(,0]-∞；考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用；2、导数在研究函数的最值与极值中的应用.请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

2016届广西自治区桂林 柳州高考压轴数学(文)试题

2016届广西自治区桂林 柳州高考压轴数学(文)试题

文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设平面向量()1,2m =- ，()2,n b = ，若//m n ，则m n -等于（ ）A B CD ．2.若复数z 满足112iz i-=+，则z =（ ）A ．25 B ．35 C ．5D 3.设集合12164x x⎧⎫A =<<⎨⎬⎩⎭，(){}2ln 3x y x x B ==-，从集合A 中任取一个元素，则这个元素也是集合B 中元素的概率是（ ）A ．16B ．13C ．12 D ．234.如图1，给出的是求111124630+++⋅⋅⋅+的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（ ）A ．15i ≥B ．15i ≤C ．14i ≥D ．14i ≤5.几何体的三视图如图2所示，该几何体的体积是（ ）A ．4π B ．163π C ．203π D ．443π+6.在等比数列{}n b 中，n T 表示前n 项和，若3221b =T +，4321b =T +，则公比q 等于（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 7.已知x ，y 满足不等式组4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则函数2z x y =+的最小值是（ ）A ．3B ．132C ．12D ．238. 已知函数()46f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的一个单调递增区间为（ ）A ．,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9.已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边落在第二象限，(),x y A 是其终边上的一点，向量()3,4m = ，若m ⊥OA ，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．7B ．17-C ．7-D ．1710.已知直线1y x =-+与双曲线221ax by +=（0a >，0b <）交于A ，B 两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为2-a b 的值为（ ）A．2-B．3- C．2- D．11.已知函数()3,0,0x f x b x ≥=+<，满足条件：对于1R x ∀∈，存在唯一的2R x ∈，使得()()12f x f x =．当)()3ff b =成立时，则实数a b +=（ ）AB． C3+ D．3 12.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n n n A +=B +，则使得nna b 为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，则该批次产品总数为 ． 14.函数()21ln 2f x x x x =-+的单调增区间为 ． 15.已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．数列{}n a 的通项公式n a = ．16.已知奇函数()f x 满足对任意R x ∈都有()()()63f x f x f +=+成立，且()11f =，则()()20152016f f += ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）如图3，CD AB 是直角梯形，//CD AB ，2CD 2AB ==，CD C =B ，E 是AB 的中点，D E ⊥AB ，F 是C A 与D E 的交点．（1）求sin C D ∠A 的值； （2）求DF ∆A 的面积．18.（本小题满分12分）某高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（CS NEP ）”，先在本校进行初赛（满分150分），若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图4所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；（2）该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取3人，求选取的三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的概率．19.（本小题满分12分）如图5，CD AB 是平行四边形，已知2C 4AB =B =，D B =C BE =E ，平面C B E ⊥平面CD AB ．（1）证明：D C B ⊥E ；（2）若C BE =E =D B -A E 的体积D V B-A E ．20.（本小题满分12分）已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 上点到两焦点的距离最大值和最小值的差为，且椭圆过点⎛ ⎝⎭，单位圆O 的切线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程； （2）求证：OA ⊥OB ．21.（本小题满分12分） 已知函数()ln bf x x ax x=-+，对任意的()0,x ∈+∞，满足()10f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，其中a ，b 为常数．（1）若()f x 的图象在1x =处的切线经过点()0,5-，求a 的值；（2）已知01a <<，求证202a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭；（3）当()f x 存在三个不同的零点时，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图6所示，四边形CD AB 中，D//C A B ，CD AB =，C A ，D B 交于点Q ，C CD ∠BA =∠A ，AP 为四边形CD AB 外接圆的切线，交D B 的延长线于点P ．（1）求证：2Q D P =P ⋅PB ； （2）若3AB =，2AP =，4D 3A =，求Q A 的长．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若(),x y P 是直线l 与圆Cy +的取值范围．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()11f x x a x =+--． （1）当2a =-时，解不等式()5f x >； （2）若()3f x a x ≤+，求a 的取值范围．2016年高考桂柳压轴试卷文科数学参考答案一、选择题1.D （ //m n ，∴1220b -⨯-⨯=，得4b =-，()()()1,22,43,6m n -=---=-，∴m n -==．故应选D ．）()()()43021422-+--⎡⎤⎣⎦=--．故应选C ．）4.B （框图中最后一次执行循环体时i 的值应为15，结合条件满足时执行循环体，当1615i =>时就会终止循环，所以条件应为15i ≤．故应选B ．）5.B （该几何体由一个球和一个圆锥组合而成，球的半径为1，体积为43π，圆锥体积为212343ππ⋅⋅=，组合体体积为163π．故应选B ．） 6.D （两式相减得3432b b b -=-，从而求得433b b =．故应选D ．） 7.A （作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把2z x y =+变形为2y x z =-+．平移2y x =-由图可以看出，当直线2z x y =+经过可行域上的点B 时，截距z 最小．解方程组1430x x y =⎧⎨-+=⎩，得B 点坐标为()1,1；所以min 2113z =⨯+=．故应选A ．）8.B （函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将所得函数图象向右平移6π个单位，得()222662g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，22222k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，得44k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，所以,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦符合．故应选B ．）9.D （设m与x 轴正向的夹角为θ，则4t a n 3θ=，因为角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边落在第二象限且m ⊥OA，所以2παθ=+，()()41tan 1313tan tan 44411tan 713θππαθθ-+-⎛⎫⎛⎫+=+=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+ ．故应选D ．） 10.A （联立2211y x ax by =-+⎧⎨+=⎩，得()2210a b x bx b +-+-=，设()11,x y A ，()22,x y B ，则122b x x a b +=+，1212211a y y x x a b +=-+-+=+，所以AB 中点为,ba ab a b ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，其与原点所在直线的斜率为aa ab b b a b+==+．故应选A ．）11.D （由题设条件对于1R x ∀∈，存在唯一的2R x ∈，使得()()12f x f x =，知()f x 在(),0-∞和()0,+∞上单调，得3b =，且0a <．由)()3f f b =有2233a +=，解得a =，故3a b +=．故应选D ．）12.C(由等差数列前n 项和的性质知，212114387191272211n n n n a n n b n n n --A ++====+B +++，故当1n =，2，3，5，11时，n n a b 为整数，故使得n nab 为整数的正整数n 的个数是5．故应选C ．)二、填空题13.4800（由题知乙型号产品所占比例为80503808-=，所以该批次产品总数为3180048008÷=．）14.⎛ ⎝⎭（()2111x x f x x x x -++'=-+=，()0,x ∈+∞，由()0f x '>，得2010x x x >⎧⎨-++>⎩，得01x <<∴增区间为⎛ ⎝⎭．） 15.21n -（因为11S a =，2112122222S a a ⨯=+⨯=+，41143424122S a a ⨯=+⨯=+，由题意得()()211122412a a a +=+，解得11a =，所以21n a n =-．）16.1-（令3x =-，则()()()3633f f f -+=-+，因为()f x 是奇函数，所以()()33f f -=-，所以()30f =，所以()()6f x f x +=，所以()f x 是周期为6的周期函数，()()()2015111f f f =-=-=-，()()201600f f ==，()()201520161f f +=-．） 三、解答题17.（1）由条件可知，2AB =，C 1B =，C 90∠AB =，∴C A =1分E 是AB 的中点，D E ⊥AB ，∴D 1AE =E =，D A =2分由余弦定理可知222C D CD cos C D2C D A +A -∠A ===A ⋅A ．…………………5分 CD ∆A 是钝角三角形，∴C D ∠A 为锐角，…………………6分∴sin C D ∠A ===．…………………7分 （2） F 是C A 与D E 的交点，由已知可得F 是C A 的中点，∴1F C 22A =A =．…………………8分 ∴DF ∆A 的面积DF 111F D sin C D 224S ∆A =A ⋅A ⋅∠A ==．…………………12分 18.（1）设初赛成绩的中位数为x ，则()()0.0010.0040.009200.02700.5x ++⨯+⨯-=．………3分解得81x =．所以初赛成绩的中位数为81．…………………5分（2）该校学生的初赛分数在[)110,130有4人，分别记为A ，B ，C ，D ，分数在[)130,150有2人，分别记为a ，b ，则在6人中随机选取3人，总的事件有(),,C A B ，(),,D A B ，(),,a A B ，(),,b A B ，(),C,D A ，(),C,a A ，(),C,b A ，(),D,a A ，(),D,b A ，(),,a b A ，(),C,D B ，(),C,a B ，(),C,b B ，(),D,a B ，(),D,b B ，(),,a b B ，()C,D,a ，()C,D,b ，()C,,a b ，()D,,a b 共20个基本事件，取的这三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的基本事件有(),,C A B ，(),,D A B ，(),C,D A ，(),C,D B 共4个．…………………11分故选取的这三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的概率为41205P ==．…………………12分19.（1） CD AB 是平行四边形，且CD 2C 4=AB =B =，D B =∴222CD D C =B +B ，故D C B ⊥B ．…………………1分取C B 的中点F ，连接F E ，C BE =E ，∴F C E ⊥B ．…………………2分又 平面C B E ⊥平面CD AB ，平面C B E 平面CD C AB =B ，F E ⊂平面C B E ，∴F E ⊥平面CD AB ．…………………3分D B ⊂平面CD AB ，∴F DE ⊥B ．…………………4分F C F E B = ，F E ，C B ⊂平面C B E ，∴D B ⊥平面C B E ．…………………5分C E ⊂平面C B E ，∴D C B ⊥E ．…………………6分（2）由（1）知F E 是三棱锥D E -AB的高，且F 3E ==，…………………8分∴三棱锥D B -A E的体积：D D D 1111V V F D D F 233326S B-A E E-AB ∆AB ==⋅E =⨯A ⋅B ⋅E =⨯⨯=…………………12分20.（1）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=，（0a b >>）…………………1分由题意可知()()23a c a c c +--==，3b =，…………………2分 解得2a =．…………………3分所以椭圆C 的方程为22143x y +=．…………………4分 （2）当单位圆:O 221x y +=的切线l 的斜率不存在，则:l 1x =±．…………………5分在221443x y +=中令1x =得1y =±． 不妨设()1,1A ，()1,1B -，则110OA⋅OB =-=．所以OA ⊥OB ．同理，当:l 1x =-时，也有OA ⊥OB ．…………………6分当单位圆:O 221x y +=的切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+1=，即221k m +=．由2234y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，得()222316340k x kmx m +++-=．显然0∆>． (8)分设()11,x y A ，()22,x y B ，则122631km x x k +=-+，21223431m x x k -=+． 所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++．…………………9分 所以()()()222221212121222346113131m km x x y y k x x km x x m k km m k k -OA⋅OB =+=++++=+-+++()()()()222222222222213463141444440313131k m k m k m k k m k k k k +--+++----====+++．…………10分所以OA ⊥OB ．…………………11分综上所述，总有OA ⊥OB 成立．…………………12分 21.（1）在()10f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭中，取1x =，得()10f =， 又()1ln1f a b a b =-+=-+，所以b a =．从而()ln af x x ax x=-+， ()2111f x a x x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，()112f a '=-． 又()()511501f f --'==-，所以125a -=，2a =-．…………………4分（2）223322ln 2ln ln 22222a a a a f a a a ⎛⎫=-+=+-- ⎪⎝⎭．令()322ln ln 22x g x x x =+--，则()()42223412232x x x g x x x x x -+-'=--=， 所以()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 故()0,1x ∈时，()()1312ln 2ln 022g x g e >=-->->，所以01a <<时，02a f ⎛⎫>⎪⎝⎭．…………………8分 （3）()222111ax x a f x a x x x -+-⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭， ①当0a ≤时，在()0,+∞上，()0f x '>，()f x 递增，所以，()f x 至多只有一个零点，不合题意； ②当12a ≥时，在()0,+∞上，()0f x '≤，()f x 递减，所以，()f x 也至多只有一个零点，不合题意；③当102a <<时，令()0f x '=，得1112x a =<，2112x a=>．此时，()f x 在()10,x 上递减，()12,x x 上递增，()2,x +∞上递减， 所以，()f x 至多有三个零点．…………………10分 因为()f x 在()1,1x 上递增，所以()()110f x f <=．又因为202a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以201,2a x x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =． 又()0010f f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()10f =，所以()f x 恰有三个不同的零点：0x ，1，01x ．综上所述，当()f x 存在三个不同的零点时，a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．…………………12分22.四边形CD AB 为等腰梯形． （1） PA 为圆的切线，∴D D ∠PA =∠AB ．又 C C D ∠AB =∠A ，∴D C D C D ∠PA +∠A =∠BA +∠AB ， ∴Q Q ∠PA =∠A P ，∴Q PA =P ．…………………4分PA 为圆的切线，∴2D PA =P ⋅PB ，∴2Q D P =P ⋅PB ．…………………6分（2） D ∆PA ∆PBA ∽，∴D PA PB =A AB ，∴92PB =． 2D PA =P ⋅PB ，∴8D 9P =，∴810Q DQ D 299A ==PA -P =-=．…………………10分23.（1）因为圆C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以214sin 4cos 622πρρθρθθ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…………………3分 所以圆C的直角坐标方程为222x y x +=-．…………………5分 （2）设z y +，圆C 方程化为()(2214x y ++=，…………………6分所以圆C的圆心是(-，半径是2，将112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入z y =+，得z t =-．…………8分又因为直线l过(C -，所以22t -≤≤，所以22t -≤-≤，y +的取值范围是[]2,2-．…………………10分24.（1）当2a =-时，()13,13,1131,1x x f x x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩由()f x 的单调性及()4253f f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，得()5f x >的解集为423x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或．…………5分（2）由()3f x a x ≤+，得113x a x x +≥-++，由1321x x x -++≥+，得11132x x x +≤-++，得12a ≥．（当且仅当1x ≥或3x ≤-时等号成立） 故a 的取值范围为12a ≥．…………………10分。

广西柳州市2016届高三数学一模试卷(文科) 含解析

广西柳州市2016届高三数学一模试卷(文科) 含解析

广西柳州市2015-2016学年高考数学一模试卷（文科）（解析版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分）1．已知全集U=R，集合A={0,1，2，3，4｝，B={x｜0＜x＜3｝,则如图中阴影部分所表示的集合为(）A．{0,1，2} B．{0,1，} C．｛0,3，4} D．｛3，4}2．如图在复平面内,复数z1，z2对应的向量分别是，则复数的值是（）A．﹣1+2i B．﹣2﹣2i C．1+2i D．1﹣2i3．给出下列四个命题，其中假命题是（）A．“∀x∈R，sinx≤1”的否定为“∃x∈R，sinx＞1”B．“若a＞b，则a﹣5＞b﹣5"的逆否命题是“若a﹣5≤b﹣5，则a≤b”C．∃x0∈（0，2），使得sinx=1D．∀x∈R，2x﹣1＞04．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（﹣3,m），且sinα=﹣，则tanα等于（）A．﹣ B．C．D．﹣5．设函数f（x）=,若f（x）是奇函数，则g（3)的值是（）A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣16．如果不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该三角形的面积为（)A．B．C．或D．或7．根据程序框图计算，当a=98，b=63时,该程序框图结束的结果是（）A．a=7，b=7 B．a=6，b=7 C．a=7，b=6 D．a=8，b=88．将函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小值为（)A．πB．πC．πD．π9．已知F1，F2是双曲线=1（a,b＞0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1,+∞）B．C．D．10．已知三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥外接球的表面积为（）A．8πB．8πC．5πD．6π11．已知函数f(x）=2x+x，g（x）=log2x+x，h（x）=x3+x的零点依次为a,b，c,则a,b，c由小到大的顺序是）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a12．已知a，b∈（0，1），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间［1，+∞)上是增函数的概率为（)A．B．C．D．二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分)13．已知向量=（3，1)，=(1，m），若向量与2﹣共线，则m=．14．如图，在坡角（坡面与水平面的夹角）为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离米，则旗杆的高度为米．15．已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1,F2，点P为椭圆在y 轴上的一个顶点，若2b，｜｜，2a成等差数列，且△PF1F2的面积为12，则椭圆C的方程为．16．设函数y=f（x）在区间（a,b）的导函数f′(x）,f′（x)在区间（a，b）的导函数为f″（x）．若在区间（a，b）上f″（x)恒成立,则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”．已知f(x)=x4﹣x3﹣x2．若函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数"，则b﹣a的最大值为．三、解答题（共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列｛a n｝的前n项和为S n=（3n﹣1)．（1)求数列｛a n}的通项公式；(2）若b n=na n，求数列｛b n｝的前n项和T n．。

2016年普通高等学校招生全国统一考试I卷文科数学(含答案)

2016年普通高等学校招生全国统一考试I卷文科数学(含答案)

2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)文 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B=( ) A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}2.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a=( ) A.-3B.-2C.2D.33.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13 B.12C.23D.564.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23,则b=( )A.√2B.√3C.2D.35.直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12C.23D.346.将函数y=2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为( ) A.y=2sin (2x +π4)B.y=2sin (2x +π3)C.y=2sin (2x -π4)D.y=2sin (2x -π3)7.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π8.若a>b>0,0<c<1,则( ) A.log a c<log b cB.log c a<log c bC.a c <b cD.c a >c b9.函数y=2x 2-e |x|在[-2,2]的图象大致为( )10.执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y 的值满足( )A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x11.平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB 1A 1=n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.√32B.√22C.√33D.1312.若函数f(x)=x-13sin 2x+asin x 在(-∞,+∞)单调递增,则a 的取值范围是( ) A.[-1,1]B.[-1,13]C.[-13,13]D.[-1,-13]第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x= .14.已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ-π4)= .15.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2√3,则圆C的面积为.16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=13,a n b n+1+b n+1=nb n.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)求{b n}的前n项和.18.(本小题满分12分)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D 在平面PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.(Ⅰ)证明:G是AB的中点;(Ⅱ)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.19.(本小题满分12分)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)若n=19,求y与x的函数解析式;(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.;(Ⅰ)求|OH||ON|(Ⅱ)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以O 为圆心,12OA 为半径作圆. (Ⅰ)证明:直线AB 与☉O 相切;(Ⅱ)点C,D 在☉O 上,且A,B,C,D 四点共圆,证明:AB ∥CD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =acost ,y =1+asint (t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ. (Ⅰ)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (Ⅰ)画出y=f(x)的图象; (Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.B ∵A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},∴A∩B={3,5},故选B.2.A ∵(1+2i)(a+i)=(a -2)+(2a+1)i, ∴a -2=2a+1,解得a=-3,故选A.3.C 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫),共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种,所以所求事件的概率P=46=23,故选C.4.D 由余弦定理得5=22+b 2-2×2bcos A,∵cos A=23,∴3b 2-8b-3=0,∴b=3(b =-13舍去).故选5.B 如图,|OB|为椭圆中心到l 的距离,则|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=a·b2,所以e=c a =12.故选B.6.D 该函数的周期为π,将其图象向右平移π4个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin [2(x -π4)+π6]=2sin (2x -π3),故选D.7.A 由三视图知该几何体为球去掉了18所剩的几何体(如图),设球的半径为R,则78×43πR 3=28π3,故R=2,从而它的表面积S=78×4πR 2+34×πR 2=17π.故选A.8.B ∵0<c<1,∴当a>b>1时,log a c>log b c,A 项错误; ∵0<c<1,∴y=log c x 在(0,+∞)上单调递减,又a>b>0, ∴log c a<log c b,B 项正确;∵0<c<1,∴函数y=x c在(0,+∞)上单调递增, 又∵a>b>0,∴a c>b c,C 项错误;∵0<c<1,∴y=c x 在(0,+∞)上单调递减, 又∵a>b>0,∴c a<c b ,D 项错误.故选B.9.D 当x=2时,y=8-e 2∈(0,1),排除A,B;易知函数y=2x 2-e |x|为偶函数,当x∈[0,2]时,y=2x 2-e x ,求导得y'=4x-e x,当x=0时,y'<0,当x=2时,y'>0,所以存在x 0∈(0,2),使得y'=0,故选D.10.C 执行程序框图:当n=1时,x=0,y=1,此时02+12≥36不成立;当n=2时,x=12,y=2,此时(12)2+22≥36不成立;当n=3时,x=32,y=6,此时(32)2+62≥36成立,结束循环,输出x 的值为32,y 的值为6,满足y=4x,故选C.11.A 设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a.将正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1补成棱长为2a 的正方体,如图所示.正六边形EFGPQR 所在的平面即为平面α.点A 为这个大正方体的中心,直线GR 为m,直线EP 为n.显然m 与n 所成的角为60°.所以m,n 所成角的正弦值为√32.故选A.12.C f '(x)=1-23cos 2x+acos x=1-23(2cos 2x-1)+acos x=-43cos 2x+acos x+53, f(x)在R 上单调递增,则f '(x)≥0在R 上恒成立,令cos x=t,t∈[-1,1],则-43t 2+at+53≥0在[-1,1]上恒成立,即4t 2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,令g(t)=4t 2-3at-5,则{g (1)=4-3a -5≤0,g (-1)=4+3a -5≤0,解得-13≤a≤13,故选C.二、填空题 13.答案 -23解析 因为a ⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-23.14.答案-43 解析 解法一:∵sin (θ+π4)=√22×(sin θ+cos θ)=35, ∴sin θ+cos θ=3√25①, ∴2sin θcos θ=-725. ∵θ是第四象限角,∴sin θ<0,cos θ>0,∴sin θ-cos θ=-√1-2sinθcosθ=-4√25②, 由①②得sin θ=-√210,cos θ=7√210,∴tan θ=-17, ∴tan (θ-π4)=tanθ-11+tanθ=-43.解法二:∵(θ+π4)+(π4-θ)=π2,∴sin (θ+π4)=cos (π4-θ)=35,又2kπ-π2<θ<2kπ,k∈Z,∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4,k ∈Z, ∴cos (θ+π4)=45,∴sin (π4-θ)=45, ∴tan (π4-θ)=sin(π4-θ)cos(π4-θ)=43, ∴tan (θ-π4)=-tan (π4-θ)=-43. 15.答案 4π解析 把圆C 的方程化为x 2+(y-a)2=2+a 2,则圆心为(0,a),半径r=√a 2+2.圆心到直线x-y+2a=0的距离d=√2.由r 2=d 2+(|AB |2)2,得a 2+2=a 22+3,解得a 2=2,则r 2=4,所以圆的面积S=πr 2=4π. 16.答案 216 000解析 设生产产品A x 件,生产产品B y 件,利润之和为z 元,则z=2 100x+900y.根据题意得{ 1.5x +0.5y ≤150,x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,x ,y ∈N ,即{ 3x +y ≤300,10x +3y ≤900,5x +3y ≤600,x ,y ∈N ,作出可行域(如图).由{10x +3y =900,5x +3y =600得{x =60,y =100. 当直线2 100x+900y-z=0过点A(60,100)时,z 取得最大值,z max =2 100×60+900×100=216 000. 故所求的最大值为216 000元.三、解答题17.解析 (Ⅰ)由已知,a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=13,得a 1=2,(3分) 所以数列{a n }是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n =3n-1.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)和a n b n+1+b n+1=nb n 得b n+1=bn 3,(7分) 因此{b n }是首项为1,公比为13的等比数列.(9分)记{b n }的前n 项和为S n ,则S n =1-(13)n1-13=32-12×3n -1.(12分)18.解析 (Ⅰ)证明:因为P 在平面ABC 内的正投影为D,所以AB ⊥PD.因为D 在平面PAB 内的正投影为E,所以AB ⊥DE.(2分)又PD∩DE=D,所以AB ⊥平面PED,故AB ⊥PG.又由已知可得,PA=PB,从而G 是AB 的中点.(4分)(Ⅱ)在平面PAB 内,过点E 作PB 的平行线交PA 于点F,F 即为E 在平面PAC 内的正投影.(5分)理由如下:由已知可得PB ⊥PA,PB ⊥PC,又EF ∥PB,所以EF ⊥PA,EF ⊥PC,又PA∩PC=P,因此EF ⊥平面PAC,即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.(7分)连结CG,因为P 在平面ABC 内的正投影为D,所以D 是正三角形ABC 的中心,由(Ⅰ)知,G 是AB的中点,所以D 在CG 上,故CD=23CG.(9分)由题设可得PC ⊥平面PAB,DE ⊥平面PAB,所以DE ∥PC,因此PE=23PG,DE=13PC. 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2√2.在等腰直角三角形EFP 中,可得EF=PF=2,(11分)所以四面体PDEF 的体积V=13×12×2×2×2=43.(12分)19.解析 (Ⅰ)当x≤19时,y=3 800;当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700,所以y 与x 的函数解析式为y={3 800, x ≤19,500x -5 700,x >19(x ∈N).(4分) (Ⅱ)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n 的最小值为19.(5分)(Ⅲ)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800元,20台的费用为4 300元,10台的费用为4 800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元).(7分)若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元,10台的费用为4 500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000×90+4 500×10)=4 050(元).(10分)比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.(12分)20.解析 (Ⅰ)由已知得M(0,t),P (t 22p ,t).(1分)又N 为M 关于点P 的对称点,故N (t 2p ,t),ON 的方程为y=p t x,代入y 2=2px 整理得px 2-2t 2x=0,解得x1=0,x2=2t 2p.因此H(2t 2p,2t).(4分)所以N为OH的中点,即|OH||ON|=2.(6分)(Ⅱ)直线MH与C除H以外没有其他公共点.(7分) 理由如下:直线MH的方程为y-t=p2t x,即x=2tp(y-t).(9分)代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.(12分)21.解析(Ⅰ)f '(x)=(x-1)e x+2a(x-1)=(x-1)(e x+2a).(i)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时, f '(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.(2分)(ii)设a<0,由f '(x)=0得x=1或x=ln(-2a).①若a=-e2,则f '(x)=(x-1)(e x-e),所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.②若a>-e2,则ln(-2a)<1,故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时, f '(x)>0;当x∈(ln(-2a),1)时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)单调递增,在(ln(-2a),1)单调递减.(4分)③若a<-e2,则ln(-2a)>1,故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时, f '(x)>0;当x∈(1,ln(-2a))时, f '(x)<0.所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)单调递增,在(1,ln(-2a))单调递减.(6分)(Ⅱ)(i)设a>0,则由(Ⅰ)知, f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.又f(1)=-e, f(2)=a,取b满足b<0且b<ln a2,则f(b)>a2(b-2)+a(b-1)2=a(b2-32b)>0,所以f(x)有两个零点.(8分)(ii)设a=0,则f(x)=(x-2)e x,所以f(x)只有一个零点.(9分)(iii)设a<0,若a≥-e 2,则由(Ⅰ)知, f(x)在(1,+∞)单调递增,又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点;(10分)若a<-e 2,则由(Ⅰ)知, f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+∞)单调递增,又当x≤1时f(x)<0,故f(x)不存在两个零点.(11分)综上,a 的取值范围为(0,+∞).(12分)22.证明 (Ⅰ)设E 是AB 的中点,连结OE.因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE ⊥AB,∠AOE=60°.(2分)在Rt △AOE 中,OE=12AO,即O 到直线AB 的距离等于☉O 半径,所以直线AB 与☉O 相切.(5分)(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O 不是A,B,C,D 四点所在圆的圆心.设O'是A,B,C,D 四点所在圆的圆心,作直线OO'.(7分)由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又O'在线段AB 的垂直平分线上,所以OO'⊥AB. 同理可证,OO'⊥CD.所以AB ∥CD.(10分)23.解析 (Ⅰ)消去参数t 得到C 1的普通方程:x 2+(y-1)2=a 2.C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.(2分)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0.(4分)(Ⅱ)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组{ρ2-2ρsinθ+1-a 2=0,ρ=4cosθ.(6分) 若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2=0,(8分)由已知tan θ=2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a 2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1时,极点也为C 1,C 2的公共点,在C 3上.所以a=1.(10分)24.解析(Ⅰ)f(x)={x-4,x≤-1,3x-2,-1<x≤32,-x+4,x>32,(4分)y=f(x)的图象如图所示.(6分)(Ⅱ)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=13或x=5,(8分)故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}; f(x)<-1的解集为{x|x<13或x>5}.(9分)所以|f(x)|>1的解集为{x|x<13或1<x<3或x>5}.(10分)。

2016年广西高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2016年广西高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2016年广西高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A＝{x|x＜4}，集合B＝{x∈Z|x＞﹣1}，则A∩B等于（）A．{0，1}B．{1，2，3}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}2．（5分）在复平面内，复数﹣2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+2≤0B．∃x∈R，x2+2x+2≤0C．∀x∈R，x2+2x+2＜0D．∃x∈R，x2+2x+2＞04．（5分）已知双曲线﹣＝1（b＞0）的离心率等于b，则该双曲线的焦距为（）A．2B．2C．6D．85．（5分）已知＜α＜π，3sin2α＝2cosα，则cos（α﹣π）等于（）A．B．C．D．6．（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 的值为（）A．﹣2B．﹣2或﹣1C．1或﹣3D．﹣2或7．（5分）已知变量x，y满足约束条件则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．48．（5分）函数y＝（x3﹣x）2|x|图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A．f（x）＝sin（x+）B．f（x）＝sin（x+）C．f（x）＝sin（x+）D．f（x）＝sin（x﹣）10．（5分）高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）A．B．C．D．11．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，＝a，a＝2，若b∈[1，3]，则c的最小值为（）A．2B．3C．2D．212．（5分）若关于x的方程2x3﹣3x2+a＝0在区间[﹣2，2]上仅有一个实根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣4，0]∪[1，28）B．[﹣4，28]C．[﹣4，0）∪（1，28]D．（﹣4，28）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）某单位有员工90人，其中女员工有36人，为做某项调查，拟采用分层抽样抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是．14．（5分）已知向量，的夹角为，||＝，||＝2，则•（﹣2）＝．15．（5分）已知A，B，C三点在球O的球面上，AB＝BC＝CA＝3，且球心O 到平面ABC的距离等于球半径的，则球O的表面积为．16．（5分）过点P（﹣2，0）的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且|P A|＝|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为．三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a n≠a1时，数列{b n}满足b n＝2，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A，B两班中各抽5名学生进行视力检测，检测的数据如下：A班5名学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9．B班5名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5．（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？并计算A班5名学生视力的方差；（2）现从B班的上述5名学生中随机选取2名，求这2名学生中至少有1名学生的视力低于4.5的概率．19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝4，CB＝2，AA1＝2，∠ACB＝60°，E，F分别是A1C1，BC的中点．（1）证明：C1F∥平面ABE；（2）设P是BE的中点，求三棱锥P﹣B1C1F的体积．20．（12分）已知对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆x2+y2﹣2x＝0的圆心重合，且椭圆过点（，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P（0，1）的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若＝2，求△AOB的面积．21．（12分）设函数f（x）＝clnx+x2+bx（b，c∈R，c≠0），且x＝1为f（x）的极值点．（Ⅰ）若x＝1为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用c表示）；（Ⅱ）若f（x）＝0恰有两解，求实数c的取值范围．请考生在第22.23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知：直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于A、F （不与B重合），直线l与⊙O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．（1）求证：∠BAC＝∠CAG；（2）求证：AC2＝AE•AF．选修4--4：坐标系与参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）若直线l的斜率为2，判断直线l与曲线C1位置关系；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝+ax（a＞0）在（1，+∞）上的最小值为15，函数g （x）＝|x+a|+|x+1|．（1）求实数a的值；（2）求函数g（x）的最小值．2016年广西高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A＝{x|x＜4}，集合B＝{x∈Z|x＞﹣1}，则A∩B等于（）A．{0，1}B．{1，2，3}C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}【解答】解：∵A＝{x|x＜4}，B＝{x∈Z|x＞﹣1}，∴A∩B＝{x∈Z|﹣1＜x＜4}＝{0，1，2，3}，故选：C．2．（5分）在复平面内，复数﹣2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数﹣2＝﹣2＝﹣1+i对应的点（﹣1，1）位于第二象限．故选：B．3．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x+2＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+2≤0B．∃x∈R，x2+2x+2≤0C．∀x∈R，x2+2x+2＜0D．∃x∈R，x2+2x+2＞0【解答】解：原命题为：∀x∈R，x2+2x+2＞0，∵原命题为全称命题，∴其否定为存在性命题，且不等号须改变，∴原命题的否定为：∃x∈R，x2+2x+2≤0．故选：B．4．（5分）已知双曲线﹣＝1（b＞0）的离心率等于b，则该双曲线的焦距为（）A．2B．2C．6D．8【解答】解：设双曲线﹣＝1（b＞0）的焦距为2c，由已知得，a＝2；又离心率e＝＝b，且c2＝4+b2，解得c＝4；所以该双曲线的焦距为2c＝8．故选：D．5．（5分）已知＜α＜π，3sin2α＝2cosα，则cos（α﹣π）等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵＜α＜π，3sin2α＝2cosα，∴sinα＝，cosα＝﹣．∴cos（α﹣π）＝﹣cosα＝﹣（﹣）＝，故选：C．6．（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为（）A．﹣2B．﹣2或﹣1C．1或﹣3D．﹣2或【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y＝的函数值．当x≤0时，由y＝（）x﹣4＝0，可得：x＝﹣2；当x＞0时，由y＝log+1＝0，可得：x＝；故选：D．7．（5分）已知变量x，y满足约束条件则z＝2x+y的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为（0，1），（1，0），（﹣1，﹣2），验证知在点（1，0）时取得最大值2当直线z＝2x+y过点A（1，0）时，z最大是2，故选：B．8．（5分）函数y＝（x3﹣x）2|x|图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由于函数y＝（x3﹣x）2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称，当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0，故选：B．9．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A．f（x）＝sin（x+）B．f（x）＝sin（x+）C．f（x）＝sin（x+）D．f（x）＝sin（x﹣）【解答】解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的图象可得0＜A＜1，T＝＞2π，求得0＜ω＜1．再根据f（2π）＜0，结合所给的选项，故选：B．10．（5分）高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）A．B．C．D．【解答】解：由俯视图可知三棱柱的底面积为＝2，∴原直三棱柱的体积为2×4＝8．由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥，四棱锥的底面为侧视图梯形的面积＝6，由俯视图可知四棱锥的高为2，∴四棱锥的体积为＝4．∴该几何体体积与原三棱柱的体积比为．故选：C．11．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，＝a，a＝2，若b∈[1，3]，则c的最小值为（）A．2B．3C．2D．2【解答】解：由＝a，可得：，即：3cos C＝sin C，可得：tan C＝，故：cos C＝，所以：c＝（b﹣）2+9，因为：b∈[1，3]，所以：当b＝时，c取得最小值3．12．（5分）若关于x的方程2x3﹣3x2+a＝0在区间[﹣2，2]上仅有一个实根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣4，0]∪[1，28）B．[﹣4，28]C．[﹣4，0）∪（1，28]D．（﹣4，28）【解答】解：设f（x）＝2x3﹣3x2+a，则f′（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），x∈[﹣2，2]，令f′（x）≥0，求得﹣2≤x≤0，1≤x≤2 令f′（x）＜0，求得0＜x＜1，故函数的增区间为[﹣2 0）、（1，2]，减区间为（0，1），∵若f（1）＝0，则a＝1，则f（x）＝2x3﹣3x2+1＝（2x+1）（x﹣1）2，与提意不符合．∴f（1）≠0根据f（x）在区间[﹣2，2]上仅有一个零点，f（﹣2）＝a﹣28，f（0）＝a，f（1）＝a﹣1，f（2）＝a+4，若f（0）＝a＝0，则f（x）＝x2（2x﹣3），显然不满足条件，故f（0）≠0．∴①，或②．解①求得1＜a≤28，解②求得﹣4≤a＜0，故选：C．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）某单位有员工90人，其中女员工有36人，为做某项调查，拟采用分层抽样抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是9．【解答】解：总体的个数是90人，要抽一个15人的样本，则每个个体被抽到的概率是＝，男员工应选取的人数（90﹣36）×＝9人，故答案为：9．14．（5分）已知向量，的夹角为，||＝，||＝2，则•（﹣2）＝6．【解答】解：＝＝﹣2，2＝||2＝2，∴•（﹣2）＝2﹣2＝2+2×2＝6．故答案为：6．15．（5分）已知A，B，C三点在球O的球面上，AB＝BC＝CA＝3，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则球O的表面积为π．【解答】解：设球的半径为r，O′是△ABC的外心，外接圆半径为R＝，∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的，∴得r2﹣r2＝3，得r2＝．球的表面积S＝4πr2＝4π×＝π．故答案为：π．16．（5分）过点P（﹣2，0）的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且|P A|＝|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则分别过A，B作直线x＝﹣2的垂线，垂足分别为D，E．∵|P A|＝|AB|，∴3（x1+2）＝x2+2，3y1＝y2，∴x1＝，∴点A到抛物线C的焦点的距离为1+＝．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a n≠a1时，数列{b n}满足b n＝2，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝9，a1，a3，a7成等比数列，∴，解得或，当时，a n＝3；当时，a n＝2+（n﹣1）＝n+1．（2）∵a n≠a1，∴a n＝n+1，∴b n＝2＝2n+1，∴，＝2，∴{b n}是以4为首项，以2为公比的等比数列，∴T n＝＝＝2n+2﹣4．18．（12分）为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A，B两班中各抽5名学生进行视力检测，检测的数据如下：A班5名学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9．B班5名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5．（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？并计算A班5名学生视力的方差；（2）现从B班的上述5名学生中随机选取2名，求这2名学生中至少有1名学生的视力低于4.5的概率．【解答】解：（1）A班5名学生视力平均数＝＝4.6，B班5名学生视力平均数＝＝4.5，从计算结果看，A个班的学生视力较好，A班5名学生视力的方差：＝[（4.3﹣4.6）2+（5.1﹣4.6）2+（4.6﹣4.6）2+（4.1﹣4.6）2+（4.9﹣4.6）2]＝0.136．（2）从B班的上述5名学生中随机选取2名，基本事件总数n＝＝10，这2名学生中至少有1名学生的视力低于4.5对立事件是这2名学生的视力都不低于4.5，这2名学生的视力都不低于4.5，包含的基本事件有（5.1，4.5），（5.1，4.9），（4.9，4.5），∴这2名学生的视力都不低于4.5的概率：p＝1﹣＝．19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝4，CB＝2，AA1＝2，∠ACB＝60°，E，F分别是A1C1，BC的中点．（1）证明：C1F∥平面ABE；（2）设P是BE的中点，求三棱锥P﹣B1C1F的体积．【解答】（1）证明：取AC的中点M，连接C1M，FM，在△ABC中，FM∥AB，而FM⊄面ABE，∴FM∥平面ABE，在矩形ACC1A1中，E，M都是中点，∴C1M∥AE，而C1M⊄平面ABE，∴C1M∥平面ABE，∵C1M∩FM＝M，∴平面FC1M⊄平面ABE∵C1F⊂平面FC1M，∴C1F∥平面ABE，（2）取B1C1的中点H，连接EH，则EH∥AB，且EH＝AB＝FM，∵AB⊥平面BB1C1C，∴EH⊥平面BB1C1C，∵P是BE的中点，∴＝＝．20．（12分）已知对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆x2+y2﹣2x＝0的圆心重合，且椭圆过点（，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P（0，1）的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若＝2，求△AOB的面积．【解答】解：（1）∵对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆x2+y2﹣2x＝0的圆心重合，且椭圆过点（，1），∴设椭圆方程为＝1（a＞b＞0），c为半焦距，c＝，∴a2﹣b2＝2，①由椭圆过点（，1），得＝1，②由①②，得a2＝4，b2＝2，∴所求椭圆的标准方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，设直线方程为y＝kx+1，代入椭圆，得（2k2+1）x2+4kx﹣2＝0，解得x＝，设，，则﹣＝2•，解得，∴△AOB的面积S＝|OP|•|x1﹣x2|＝•＝＝．21．（12分）设函数f（x）＝clnx+x2+bx（b，c∈R，c≠0），且x＝1为f（x）的极值点．（Ⅰ）若x＝1为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用c表示）；（Ⅱ）若f（x）＝0恰有两解，求实数c的取值范围．【解答】解：，∵x＝1为f（x）的极值点，∴f'（1）＝0，∴且c≠1，b+c+1＝0．（I）若x＝1为f（x）的极大值点，∴c＞1，当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当1＜x＜c时，f'（x）＜0；当x＞c时，f'（x）＞0．∴f（x）的递增区间为（0，1），（c，+∞）；递减区间为（1，c）．（II）①若c＜0，则f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，f（x）＝0恰有两解，则f（1）＜0，即，∴c＜0；②若0＜c＜1，则f（x）的极大值为f（c）＝clnc+c2+bc，f，∵b＝﹣1﹣c，则＝clnc﹣c﹣，f，从而f（x）＝0只有一解；③若c＞1，则＝clnc﹣c﹣，，则f（x）＝0只有一解．综上，使f（x）＝0恰有两解的c的范围为：c＜0．请考生在第22.23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知：直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于A、F （不与B重合），直线l与⊙O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．（1）求证：∠BAC＝∠CAG；（2）求证：AC2＝AE•AF．【解答】证明：（1）连接BC，∵AB为⊙O的直径…（2分）∴∠ACB＝90°⇒∠ECB+∠ACG＝90°…（1分）∵GC与⊙O相切于C，∴∠ECB＝∠BAC∴∠BAC+∠ACG＝90°…（4分）又∵AG⊥CG⇒∠CAG+∠ACG＝90°∴∠BAC＝∠CAG…（6分）（2）由（1）可知∠EAC＝∠CAF，连接CF∵GE与⊙O相切于C，∴∠GCF＝∠CAF＝∠BAC＝∠ECB∵∠AFC＝∠GCF+90°，∠ACE＝∠ECB+90°∴∠AFC＝∠ACE…（8分）∵∠F AC＝∠CAE∴△F AC∽△CAE…（10分）∴∴AC2＝AE•AF…（12分）选修4--4：坐标系与参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）若直线l的斜率为2，判断直线l与曲线C1位置关系；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【解答】解：（1）由直线l的参数方程为（t为参数）可得直线l 过（﹣1，1）点，当直线l的斜率为2时，直线l的普通方程为y﹣1＝2（x+1），即2x﹣y+3＝0，由曲线C1的参数方程为（t为参数），消参得：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝4，则曲线C1表示以（2，4）点为圆心，以2为半径的圆，此时圆心到直线的距离d＝＝＜2，故直线l与曲线C1相交；（2）曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ，即ρ2＝4ρcosθ，化为普通方程为：x2+y2﹣4x＝0，由得：，故C1与C2交点的坐标为（2，2），故C1与C2交点的极坐标（2，）选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝+ax（a＞0）在（1，+∞）上的最小值为15，函数g （x）＝|x+a|+|x+1|．（1）求实数a的值；（2）求函数g（x）的最小值．【解答】解：（1）f（x）＝+ax（a＞0，x＞1）＝a[（x﹣1）++1]≥a（2+1）＝3a，当且仅当x＝2时，取得最小值3a，由题意可得3a＝15，解得a＝5；（2）函数g（x）＝|x+a|+|x+1|＝|x+5|+|x+1|，由|x+5|+|x+1|≥|（x+5）﹣（x+1）|＝4，当且仅当（x+5）（x+1）≤0，即﹣5≤x≤﹣1时，取得等号．则g（x）的最小值为4．。

2016年高考文科数学全国卷1(含详细答案)

2016年高考文科数学全国卷1(含详细答案)

数学试卷 第1页（共39页） 数学试卷 第2页（共39页）数学试卷 第3页（共39页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)文科数学使用地区：山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建、广东本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，满分150分. 考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3. 考试结束，监考员将本试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B = （ ）A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}2. 设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则=a（ ）A. 3-B. 2-C. 2D. 33. 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 （ ）A.13 B.12 C. 23D. 564. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a =，2c =，2cos 3A =，则b =（ ）A.B.C. 2D. 35. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）A.13 B.12 C. 23D. 346. 将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A. 2sin(2)4y x π=+ B. 2sin(2)3y x π=+ C. 2sin(2)4y x π=-D. 2sin(2)3y x π=-7. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积是 （ ）A. 17πB. 18πC. 20πD. 28π 8. 若0a b >>，01c <<，则（ ）A. log log a b c c <B. log log c c a b <C. cca b <D. ab c c>9. 函数2|x|2y x e =-在[2,2]-的图象大致为（ ）ABC D10. 执行如图的程序框图，如果输入的0x =，1y =，1n =，则输出x ，y 的值满足 （ ）A. 2y x =B. 3y x =C. 4y x =D. 5y x =11. 平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α平面=ABCD m ，α平面11=ABB A n ，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）A.B.C.D.1312. 若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. []1,1-B. 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共39页） 数学试卷 第5页（共39页） 数学试卷 第6页（共39页）第II 卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 设向量a 1(),x x =+，b (1,2)=，且a ⊥b ，则x = .14. 已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-= . 15. 设直线2y x a =+与圆22:220C x y ay +--=相交于,A B 两点，若||AB =则圆C的面积为 .16. 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足11b =，213b =，11n n n n a b b nb +++=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求{}n b 的前n 项和. 18.（本小题满分12分）如图，已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =．顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G . （Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．19.（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）若19n =，求y 与x 的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2C y px =(0)p >于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .（Ⅰ）求||||OH ON ；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.请考生在第22～24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图，OAB △是等腰三角形，120AOB ∠=.以O 为圆心，12OA 为半径作圆. （Ⅰ）证明：直线AB 与⊙O 相切；（Ⅱ）点,C D 在⊙O 上，且,,,A B C D 四点共圆，证明：AB CD ∥.23.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,1sin ,x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=. （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a .24.（本小题满分10分），选修45-：不等式选讲已知函数()|1||23|f x x x =+--. （Ⅰ）画出()y f x =的图象； （Ⅱ）求不等式|()|1f x >的解集.{3,5}A B=a-=，由已知，得213/ 13数学试卷 第10页（共39页）数学试卷 第11页（共39页） 数学试卷 第12页（共39页）平面ABB1D平面1n所成角等于所成角的正弦值为5/ 13数学试卷 第16页（共39页）数学试卷 第17页（共39页） 数学试卷 第18页（共39页）【解析】由题意，0a b x =+，3【提示】根据向量垂直的充要条件便可得出0a b =，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于的值.【考点】向量的数量积，坐标运算7/ 13作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.7z77z数学试卷第22页（共39页）数学试卷第23页（共39页）数学试卷第24页（共39页）18.【答案】（Ⅰ）因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB PD⊥.9/ 13数学试卷第29页（共39页）数学试卷第30页（共39页）11 / 13))(1,)+∞时，(,ln(2)),1,+a -,1)(ln(2),)a -+∞时，单调递增，在1,ln((2))a -单调递减)在(,1)-∞ln 2a ，则f数学试卷 第34页（共39页）数学试卷 第35页（共39页） 数学试卷 第36页（共39页）同理可证，'OO CD ⊥，所以//AB CD .13/ 13。

2016年广西高考数学试卷及答案(文科)(全国新课标ⅲ)

2016年广西高考数学试卷及答案(文科)(全国新课标ⅲ)

2016年广西高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁A B=（）A．{4，8}B．{0，2，6}C．{0，2，6，10}D．{0，2，4，6，8，10} 2．（5分）若z=4+3i，则=（）A．1 B．﹣1 C．+i D．﹣i3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）若tanθ=，则cos2θ=（）A．B．C．D．7．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b8．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．69．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）A．B．C．D．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．8111．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+3y﹣5的最小值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知直线l：x﹣y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|=．16．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知各项都为正数的数列{a n}满足a1=1，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1=0．（1）求a 2，a3；（2）求{a n}的通项公式．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=lnx﹣x+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜＜x；（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c x．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016年广西高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁A B=（）A．{4，8}B．{0，2，6}C．{0，2，6，10}D．{0，2，4，6，8，10}【解答】解：集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁A B={0，2，6，10}．故选：C．2．（5分）若z=4+3i，则=（）A．1 B．﹣1 C．+i D．﹣i【解答】解：z=4+3i，则===﹣i．故选：D．3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选A．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D5．（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字，取法总数为：（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5）共15种．其中只有一个是小敏的密码前两位．由随机事件发生的概率可得，小敏输入一次密码能够成功开机的概率是．故选：C．6．（5分）若tanθ=，则cos2θ=（）A．B．C．D．【解答】解：∵t anθ=，∴cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣1=﹣1=．故选：D．7．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选A8．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．9．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（）A．B．C．D．【解答】解：∵在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，∴AB=BC，由余弦定理得：AC===BC，故BC•BC=AB•AC•sinA=•BC•BC•sinA，∴sinA=，故选：D10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．81【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的斜四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．11．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b=±，可得P（﹣c，±），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+3y﹣5的最小值为﹣10．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，即A（﹣1，﹣1）．化目标函数z=2x+3y﹣5为．由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（﹣1）+3×（﹣1）﹣5=﹣10．故答案为：﹣10．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），故﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ+（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．15．（5分）已知直线l：x﹣y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|=4．【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==3，∴|AB|=2=2，∵直线l：x﹣y+6=0∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．16．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y=2x．【解答】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（x）=f（﹣x）=e x﹣1+x，则f′（x）=e x﹣1+1，f′（1）=e0+1=2．∴曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2=2（x﹣1）．即y=2x．故答案为：y=2x．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知各项都为正数的数列{a n}满足a1=1，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1=0．（1）求a2，a3；（2）求{a n}的通项公式．【解答】解：（1）根据题意，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1=0，当n=1时，有a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2=0，而a1=1，则有1﹣（2a2﹣1）﹣2a2=0，解可得a2=，当n=2时，有a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3=0，又由a2=，解可得a3=，故a2=，a3=；（2）根据题意，a n2﹣（2a n+1﹣1）a n﹣2a n+1=0，变形可得（a n﹣2a n+1）（a n+1）=0，即有a n=2a n+1或a n=﹣1，又由数列{a n}各项都为正数，则有a n=2a n+1，故数列{a n}是首项为a1=1，公比为的等比数列，则a n=1×（）n﹣1=（）n﹣1，故a n=（）n﹣1．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.10×9+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线∴NE∥PB，又∵AD∥BC，∴BE∥AD，∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，∴BE=BC=AM=2，∴四边形ABEM是平行四边形，∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，∵NF是△PAC的中位线，∴NF∥PA，NF==2，又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，∵AM CG，∴四边形AGCM是平行四边形，∴AC=MG=3，又∵ME=3，EC=CG=2，∴△MEG的高h=，∴S===2，△BCM===．∴四面体N﹣BCM的体积V N﹣BCM20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S=|FN||y1﹣y2|，△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．21．（12分）设函数f（x）=lnx﹣x+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜＜x；（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c x．【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣x+1的导数为f′（x）=﹣1，由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1．即有f（x）的增区间为（0，1）；减区间为（1，+∞）；（2）证明：当x∈（1，+∞）时，1＜＜x，即为lnx＜x﹣1＜xlnx．由（1）可得f（x）=lnx﹣x+1在（1，+∞）递减，可得f（x）＜f（1）=0，即有lnx＜x﹣1；设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）=1+lnx﹣1=lnx，当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）=0，即有xlnx＞x﹣1，则原不等式成立；（3）证明：设G（x）=1+（c﹣1）x﹣c x，则需要证明：当x∈（0，1）时，G（x）＞0（c＞1）；G′（x）=c﹣1﹣c x lnc，G′′（x）=﹣（lnc）2c x＜0，∴G′（x）在（0，1）单调递减，而G′（0）=c﹣1﹣lnc，G′（1）=c﹣1﹣clnc，由（1）中f（x）的单调性，可得G′（0）=c﹣1﹣lnc＞0，由（2）可得G′（1）=c﹣1﹣clnc=c（1﹣lnc）﹣1＜0，∴∃t∈（0，1），使得G′（t）=0，即x∈（0，t）时，G′（x）＞0，x∈（t，1）时，G′（x）＜0；即G（x）在（0，t）递增，在（t，1）递减；又因为：G（0）=G（1）=0，∴x∈（0，1）时G（x）＞0成立，不等式得证；即c＞1，当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c x．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．【解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．。

2016年高考全国Ⅰ文科数学试题及答案(word解析版)

2016年高考全国Ⅰ文科数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2016年全国Ⅰ，文1，5分】设集合{}1,3,5,7A =，{}25B x x =≤≤，则A B = （ ）（A ）{}1,3 （B ）{}3,5 （C ）{}5,7 （D ）{}1,7【答案】B【解析】集合A 和集合B 公共元素有3，5，所以{}3,5A B = ，所以A B 中有2个元素，故选B ．【点评】集合是每年高考中的必考题，一般以基础题形式出现，属得分题．解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算，如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算，常借助数轴进行运算．（2）【2016年全国Ⅰ，文2，5分】设()()12i i a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（ ）（A ）3- （B ）2- （C ）2 （D ）3【答案】A【解析】()()()12i i 212i a a a ++=-++，由已知，得212a a -=+，解得3a =-，故选A ．【点评】复数题也是每年高考必考内容，一般以客观题形式出现，属得分题．高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等，复数的几何意义，共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，这类问题一般难度不大，但容易出现运算错误，特别是2i 1=-中的负号易忽略，所以做复数题要注意运算的准确性．（3）【2016年全国Ⅰ，文3，5分】为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）（A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）56 【答案】A【解析】将4中颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有4种，故概率为23，故选A ． 【点评】作为客观题形式出现的古典概型试题，一般难度不大，解答常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏，避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举．（4）【2016年全国Ⅰ，文4，5分】ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、．已知a =2c =，2cos 3A =，则b =（ ）（A （B （C ）2 （D ）3【答案】D 【解析】由余弦定理得2254223b b =+-⨯⨯⨯，解得3b =（13b =-舍去），故选D ． 【点评】本题属于基础题，考查内容单一，根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程，再通过解方程求b ．运算失误是基础题失分的主要原因，请考生切记！（5）【2016年全国Ⅰ，文5，5分】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ） （A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）34 【答案】B【解析】如图，由题意得在椭圆中，OF c =，OB b =，11242OD b b =⨯=，在Rt OFB ∆中，OF OB BF OD ⨯=⨯，且222a b c =+，代入解得22a 4c =，所以椭圆得离心率得1e 2=，故选B ． 【点评】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题，求解此类问题的一般步骤是先列出等式，再转化为关于a ，c的齐次方程，方程两边同时除以a 的最高次幂，转化为关于e 的方程，解方程求e ．（6）【2016年全国Ⅰ，文6，5分】若将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函 数为（ ）（A ）2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （B ）2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （C ）2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （D ）2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】函数=2sin(2+)6y x π的周期为π，将函数=2sin(2+)6y x π的图像向右平移14个周期即4π个单位，所得函数为=2sin 2()+2sin 2463y x x πππ⎡⎤⎛⎫-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，故选D ． 【点评】函数图像的平移问题易错点有两个，一是平移方向，注意“左加右减“，二是平移多少个单位是对x 而言的，不用忘记乘以系数．（7）【2016年全国Ⅰ，文7，5分】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条 相互垂直的半径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（ ） （A ）17π（B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A 【解析】该几何体为球体，从球心挖掉整个球的18（如右图所示），故34728383r ππ=，解得2r =， 2271431784S r r πππ∴=⋅+⋅=，故选A ． 【点评】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力，所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容，高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇．由三视图还原出原几何体，是解决此类问题的关键．（8）【2016年全国Ⅰ，文8，5分】若0a b >>，01c <<，则（ ） （A ）log log a b c c < （B ）log log c c a b < （C ）c c a b < （D ）a b c c >【答案】B【解析】由01c <<可知log c y x =是减函数，又0a b >>，所以log log c c a b <．故选B ．本题也可以用特殊值代入验证，故选B ．【点评】比较幂或对数值的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数单调性进行比较，若底数不同，可考虑利用中间量进行比较．（9）【2016年全国Ⅰ，文9，5分】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（ ） （A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】解法一（排除法）：2()2x f x x e =- 为偶函数，且2(2)887.40.6f e =-≈-=，故选D ． 解法二：2()2xf x x e =- 为偶函数，当0x >时，'()4x f x x e =-，作4y x =与x y e =（如 图），故存在实数0(0,1)x ∈，使得'0()0f x =，且0(0,)x x ∈时，'0()0f x <，0(,2)x x ∈时，'0()0f x >，()f x ∴在0(0,)x 上递减，在0(,2)x 上递增，故选D ．【点评】函数中的识图题多次出现在高考试题中，也可以说是高考的热点问题，这类题目一般比较灵活，对解题能力要求较高，故也是高考中的难点，解决这类问题的方法一般是利用间接法，即由函数性质排除不符合条件的选项．（10）【2016年全国Ⅰ，文10，5分】执行右面的程序框图，如果输入的0,1,1x y n ===，则输出,x y 的值满足（ ）（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =【答案】C【解析】第一次循环：0,1,2x y n ===，第二次循环：1,2,32x y n ===，第三次循环： 3,6,32x y n ===，此时满足条件2236x y +≥，循环结束，3,62x y ==，满足 4y x =，故选C ．【点评】程序框图基本是高考每年必考知识点，一般以客观题形式出现，难度不大，求解此类问题一般是把人看作计算机，按照程序逐步列出运行结果．（11）【2016年全国Ⅰ，文11，5分】平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，11//CB D α平面，ABCD m α= 平面，11ABB A n α= 平面，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）（A （B （C （D ）13 【答案】A【解析】如图，设平面11CB D 平面ABCD m '=，平面11CB D 11ABB A n '=，因为α∥平面11CB D ，所以m m '∥，n n '∥，则,m n 所成的角．延长AD ，过1D 作11D E B C ∥，连接CE ，11B D ，则CE 为m '，同理11B F 为n '，而BD CE ∥，111B F A B ∥，则,m n ''所成的角即为1A B ，BD所成的角即为60︒，故,m n 故选A ． 【点评】求解本题的关键是作出异面直线所成角，求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形，解形求角、得钝求补．（12）【2016年全国Ⅰ，文12，5分】若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1- （B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】C【解析】()21cos2cos 03f x x a x '=-+≥对x ∈R 恒成立，故()2212cos 1cos 03x a x --+≥，245cos cos 033a x x -+≥恒成立，即245033at t -+≥对[]1,1t ∈-恒成立，构造()24533f t at t =-+，开口向下的二次函数()f t 的最小值的可能值为端点值，故只需保证()()11031103f t f t ⎧-=-≥⎪⎪⎨⎪-=+≥⎪⎩，解得1133t -≤≤，故选C ． 【点评】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查，有所创新，求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立，再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题，注意与三角函数值域或最值有关的问题，要注意弦函数的有界性． 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2016年全国Ⅰ，文13，5分】设向量(),1x x =+a ，()1,2=b ，且⊥a b ，则x = ．【答案】23-【解析】由题意，20,2(1)0,3x x x ⋅=++=∴=-a b ． 【点评】全国卷中向量大多以客观题形式出现，属于基础题．解决此类问题既要准确记忆公式，又要注意运算的准确性．本题所用到的主要公式是：若()()1122,,,x y x y ==a b ，则1122x y x y ⋅=+a b ．（14）【2016年全国Ⅰ，文14，5分】已知θ是第四象限角，且3sin 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ． 【答案】43- 【解析】由题意sin sin 442θθπ⎡ππ⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos 45θπ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因为2222k k θ3ππ+<<π+π()k ∈Z ，所以722444k k θ5ππππ+<-<π+()k ∈Z ，从而4sin 45θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因此4tan 43θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．故填43-． 【点评】三角函数求值，若涉及到开方运算，要注意根式前正负号的取舍，同时要注意角的灵活变换．（15）【2016年全国Ⅰ，文15，5分】设直线2y x a =+与圆22220C x y ay +--=：相交于A ，B 两点，若AB =，则圆C 的面积为 ．【答案】4π【解析】有题意直线即为20x y a -+=，圆的标准方程为()2222x y a a +-=+，所以圆心到直线的距离d =，所以AB ==2224a r +==，所以244S r ππ==． 【点评】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质，如圆的半径r 、弦长l 、圆心到弦的距离d 之间的关系：2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在求圆的方程时常常用到． （16）【2016年全国Ⅰ，文16，5分】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元．【答案】216000【解析】设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件，利润之和为z 元， 那么 1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩①目标函数2100900z x y =+．①等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ ②作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图），即可行域将2100900z x y =+变形得73900z y x =-+，平行直线73y x =-，当直线73900z y x =-+经过点M 时，z取得最大值．解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩，得M 的坐标()60,100．所以当60x =，100y =时，max 210060900100216000z =⨯+⨯=．故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元．【点评】线性规划也是高考中常考的知识点，一般以客观题形式出现，基本题型是给出约束条件求目标函数的最值，常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离，解决此类问题常利用数形结合．本题运算量较大，失分的一个主要原因是运算失误．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2016年全国Ⅰ，文17，12分】已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b满足11b =，213b =，11n n n n a b b nb +++=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的前n 项和．解：（1）由已知1221a b b b +=，11b =，213b =，得12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为31n a n =-．（2）由（1）和11n n n n a b b nb +++= ，得13n n b b +=，因此{}n b 是首项为1，公比为13的等比数列．记{}n b 的前n 项和为n S ，则111()313122313nn n S --==-⨯-． 【点评】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组），因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法．（18）【2016年全国Ⅰ，文18，12分】如图，在已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G ． （1）证明G 是AB 的中点；（2）在题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积． 解：（1）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥因为D 在平面PAB 内的正 投影为E ，所以.AB DE ⊥所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥又由已知可得， PA PB =，从而G 是AB 的中点． （2）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影．理由如下：由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，又//EF PB ，所以EF PC ⊥，因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影．连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心．由（1）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3CD CG =由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ， 所以//DE PC ，因此21,.33PE PG DE PC ==由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,DE PE == 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.EF PF ==所以四面体PDEF 的体积114222323V =⨯⨯⨯⨯=． 【点评】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算，空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系，其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理，要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面，该类题目难度不大，以中档题为主．（19）【2016年全国Ⅰ，文19，12分】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数．（1）若19n =，求y 与x 的函数解析式；（2）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求的n 的最小值；（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买PA B D C GE19个还是20个易损零件？解：（1）当19x ≤时，3800y =；当19x >时，()3800500195005700y x x =+-=-，所以y 与x 的函数解析式为()3800,195005700,19x y x x x ≤⎧=∈⎨->⎩Ν． （2）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的概率为0.46，不大于19的概率为0.7，故n 的最小值为19．（3）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(400090450010)4050100⨯+⨯=．比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件． 【点评】本题把统计与函数结合在一起进行考查，有综合性但难度不大，求解关键是读懂题意，所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题．（20）【2016年全国Ⅰ，文20，12分】在直角坐标系xOy 中，直线():0l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（1）求OH ON； （2）除H 以外，直线M H 与C 是否有其它公共点？说明理由．解：（1）由已知得()0,M t ，2,2t P t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭．又N 为M 关于点P 的对称点，故2,t N t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，ON 的方程为2y px =，整理得2220px t x -=，解得10x =，222t x p =，因此22,2t H t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭．所以N 为OH 的中点，即2OH ON =． （2）直线M H 与C 除H 以外没有其它公共点．理由如下：直线M H 的方程为2p y t x t-=，即2()t x y t p =-． 代入22y px =得22440y ty t -+=，解得122y y t ==，即直线M H 与C 只有一个公共点，所以除H 以外 直线M H 与C 没有其它公共点．【点评】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容，主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题．其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线，解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用．（21）【2016年全国Ⅰ，文21，12分】已知函数()()()22e 1x f x x a x =-+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．解：（1）()()()()()'12112x x f x x e a x x e a =-+-=-+．(i) 设0a ≥，则当(),1x ∈-∞时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >．所以在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增．(ii) 设0a <，由()'0f x =得1x =或()ln 2x a =-． ①若2e a =-，则()()()'1xf x x e e =--，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增． ②若2e a >-，则()ln 21a -<，故当()()(),ln 21,x a ∈-∞-+∞ 时，()'0f x >；当()()ln 2,1x a ∈-时， ()'0f x <，所以()f x 在()()(),ln 2,1,a -∞-+∞单调递增，在()()ln 2,1a -单调递减． ③若2e a <-，则()ln 21a ->，故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞-+∞ 时，()'0f x >，当()()1,ln 2x a ∈-时， ()'0f x <，所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增，在()()1,ln 2a -单调递减．（2）(i) 设0a >，则由（1）知，()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增．又()1f e =-，()2f a =，取b 满足0b <且ln 22b a <，则()()()23321022a f b b a b a b b ⎛⎫>-+-=-> ⎪⎝⎭，所以()f x 有两个零点． (ii)设0a =，则()()2x f x x e =-，所以()f x 有一个零点．(iii)设0a <，若2e a ≥-，则由（1）知，()f x 在()1,+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，故()f x 不 存在两个零点；若2e a <-，则由（1）知，()f x 在()()1,ln 2a -单调递增，在()()ln 2,a -+∞单调递增．又 当1x ≤时，()0f x <，故()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为()0,+∞．【点评】本题第一问是用导数研究函数单调性，对含有参数的函数单调性的确定，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围，由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识，越来越受到高考命题者的青睐，解决此类问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性或极值破解．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（22）【2016年全国Ⅰ，文22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，OAB ∆是等腰三角形，120AOB ∠=︒．以O 为圆心，12OA 为半径作圆． （1）证明：直线AB 与O 相切；（2）点C ，D 在⊙O 上，且A B C D ，，，四点共圆，证明：//AB CD ．解：（1）设E 是AB 的中点，连接OE ，因为OA OB =，120AOB ∠=︒，所以OE AB ⊥，60AOE ∠=︒．在Rt AOE ∆中，12OE AO =，即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半 径，所以直线AB 与O e 相切． （2）因为2OA OD =，所以O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心，设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心，作直线'OO ．由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又'O 在线段AB 的垂直平分线上，所以'OO AB ⊥．同理可证，'OO CD ⊥．所以//AB CD ．【点评】近几年几何证明题多以圆为载体命制，在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”，熟悉相关定理与性质．该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理．（23）【2016年全国Ⅰ，文23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=． （1）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．解：（1）cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 均为参数），∴()2221x y a +-= ① ∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为 222210x y y a +-+-=∵222sin x y y ρρθ+==，，∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程．（2）24cos C ρθ=：，两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+= ，，224x y x ∴+=，即()2224x y -+= ② 3C ：化为普通方程为2y x =，由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C①-②得：24210x y a -+-=，即为3C ，∴210a -=，∴1a =．【点评】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想，解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用．（24）【2016年全国Ⅰ，文24】（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）已知函数()123f x x x =+--．（1）在答题卡题图中画出()y f x =的图像；O D C B A E O'D C O BA（2）求不等式()1f x >的解集．解：（1）4,13()12332,1234,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=--≤<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，如图所示： （2）①当1x <-时，()41f x x =->，解得3x <或5x >，1x ∴<-； ②当312x -≤<时，()321f x x =->，解得13x <或1x >， 113x ∴-≤<或312x <<； ③当32x ≥时，()41f x x =-+>，解得3x <或5x >，332x ∴≤<或5x >． 综上可知，不等式()1f x >的解集为()()1,1,35,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ． 【点评】不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题，主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等．解决此类问题通常转换为分段函数求解，注意不等式的解集一定要写出集合形式．。

广西柳州高级中学2016届高三4月高考热身模拟演练文数

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一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设i 为虚数单位，则复数3i -的虚部是（ ）A ．3B ．i -C ．1D ．-1 【答案】D. 【解析】试题分析：由复数的概念即可得出复数3i -的虚部是1-，故应选D. 考点：１、复数的概念.2.记集合{|20}A x x =+>，{|sin ,}B y y x x R ==∈，则AB =（ ）A ．(2,)-+∞B ．[1,1]-C ．[1,1][2,)-+∞D ．(2,1]- 【答案】A .考点：1、集合的基本运算.3.某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．棱锥 D ．棱柱【答案】B . 【解析】试题分析：对于选项A,当圆柱放倒时，俯视图可以是正方形，不满足题意，所以A 选项不正确；对于选项B,不论圆锥如何放置，俯视图中都含有曲线，俯视图不可能是正方形，所以B 选项正确；对于选项C,三棱柱放倒后，一个侧面与水平面垂直时，俯视图可以是正方形，不满足题意，所以C 选项不正确；对于选项D ，四棱柱是正方体时，俯视图是正方形，不满足题意，所以选项D 不正确.故应选B . 考点：1、简单几何体的三视图.4.已知||3a =，||2b =，()0a b a -∙=，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．150 【答案】A .【解析】试题分析：因为()0a b a -∙=，所以02=⋅-→→→b a a ，即3=⋅→→b a ，所以23233,cos =⨯=⋅⋅>=<→→→→→→ba ba b a ，所以向量a 与b 的夹角为30，故应选A . 考点：1、平面向量的数量积的应用.5.已知等比数列{}n a 满足2124a a +=，235a a =，则该数列前20项的和为（ ）A ．102B ．1021-C ．2021-D ．202【答案】C.考点：1、等比数列；2、等比数列的前n 项和.6.已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且1,10()1,01x f x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩，则下列函数值为1的是（ ）A ．(2.5)fB ．((2.5))f fC ．((1.5))f fD ．(2)f 【答案】B. 【解析】试题分析：因为(1)()f x f x +=-，所以)1()(--=x f x f ，所以(1)()f x f x +=-)1(-=x f ，所以函数()f x 的周期为2，所以(2.5)f 1)5.0(-==f ，((2.5))f f 1)1(=-=f ，1)5.0()5.1(=-=f f ，((1.5))f f 1-=，故应选B.考点：1、函数的周期性；2、函数的求值. 7.函数1sin()23y x π=+，[2,2]x ππ∈-的单调递增区间是（ ）A ．5[2,]3ππ--B ．5[2,]3ππ--和[,2]3ππC ．5[,]33ππ- D ．[,2]3ππ【答案】C.【解析】试题分析：因为函数1s i n ()23y x π=+的单调递增区间满足：Z k k x k ∈+≤+≤+-,2232122πππππ，即 Z k k x k ∈+≤≤+-,43435ππππ，又因为[2,2]x ππ∈-，所以335ππ≤≤-x ，故应选C. 考点：1、函数()sin()f x A x ωϕ=+的图像及其性质.8.平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆22(2)1x y -+=上的点的最小距离与其到直线1x =-的距离相等，则P 点的轨迹方程是（ ）A ．28y x = B ．28x y = C ．24y x = D ．24x y = 【答案】A.考点：1、直线与圆的位置关系；2、抛物线.【思路点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系和抛物线，渗透着转化与化归思想，属中档题.其解题过程中的一般思路为：首先设出动点P 的坐标，结合已知条件准确列出方程，然后正确的对其进行化简求解，再运用分类讨论的思想对其进行讨论，最后舍去不合题意的，进而得出最终结果即可.9.非负实数,x y 满足ln(1)0x y +-≤，则关于x y -的最大值和最小值分别为（ ） A ．2和1 B ．2和-1 C ．1和-1 D ．2和-2【答案】D.考点：1、线性规划的应用.【方法点睛】本题主要考查了线性规划的应用，考查了学生应用知识的能力和知识的迁移能力，渗透着数形结合和转化与化归思想，属中档题.其解题过程中最关键的是：其一是正确运用对数及其运算确定其约束条件；其二是正确画出约束条件满足的平面区域并运用线性规划进行求解.10.如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9【答案】A.考点：1、程序框图.11.已知球的直径4SC =，,A B 是该球球面上的两点，AB =30ASC BSC ∠=∠=，则棱锥S ABC -的体积为（ ）A ．．．1【答案】C. 【解析】试题分析：设球心为点O ，作AB 中点D ，连接OD ，CD ，因为线段SC 是球的直径，所以它也是大圆的直径，则易得090=∠=∠SBC SAC ，所以在SAC Rt ∆中，4=SC ，030=∠ASC 得：32,2==SA AC ；又在SBC Rt ∆中，4=SC ，030=∠BSC 得：32,2==SB BC ，则BC AC SB SA ==,，因为点D 是AB的中点，所以在等腰三角形ASB 中，AB SD ⊥且25322=-=AD SA SD ，在等腰三角形CAB 中，AB CD ⊥且21322=-=AD CA CD ，又SD 交CD 于点D ，所以⊥AB 平面SCD ，即棱锥S-ABC 的体积，因为，所以由余弦定理得，则，由三角形面积公式得SCD ∆的面积为，所以棱锥S ABC -的体积为，故应选C.考点：1、简单几何体的体积求法；2、正弦定理和余弦定理的应用.12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()(1)x f x e x =+，给出下列命题： ①当0x >时，()(1)x f x e x =-； ②函数()f x 有2个零点； ③()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞；④12,x x R ∀∈，都有12|()()|2f x f x -<. 其中正确命题的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 【答案】B.当2>x 时，0)('<x f ，故函数在2=x 处取到极大值21)2(ef =，且当x 趋近于0时，函数值趋向于-1；当x 趋近于无穷大时，函数值趋向于0，由奇函数的图像关于图像关于原点对称可作函数的图像：可得函数满足1)(1<<-x f ，故有12|()()|2f x f x -<，即④正确.故应选B. 考点：1、函数的图像及其性质；2、命题的真假.【方法点睛】本题主要考查了函数的图像及其性质和命题的真假，考查了学生应用知识的能力、知识的迁移能力和作图能力，渗透着数形结合和转化与化归思想，属中档题.其解题过程中最容易出现错误的是：其一是未能正确运用函数的奇偶性求解函数的解析式；其二是不能正确处理函数与方程之间的内在联系；其三是不能正确运用数形结合的思想求解实际问题.第Ⅱ卷（共90分）（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某小组9个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该小组同学数学成绩的众数是 .【答案】101.考点：1、茎叶图.14.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若332S a =，515S =，则2016a = . 【答案】2016. 【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则由332S a =，515S =，可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⨯+=⨯+)2(22233152455111d a d a d a 即11==d a ，所以n a n =，所以2016a =2016，故应填2016. 考点：1、等差数列；2、等差数列的前n 项的和.15.ABC ∆的周长等于2(sin sin sin )A B C ++，则其外接圆半径等于 . 【答案】1.考点：1、正弦定理的应用.【方法点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，考查了学生应用知识的能力和知识的迁移能力，属中档题.其解题过程中最容易出现以下错误：其一是对等式的性质运用不熟练，记忆不牢固，进而导致出现错误；其二是不能准确完整的运用正弦定理进行化简、整理、计算，从而导致出现错误.因此，其解题的关键是正确地运用正弦定理解决实际问题.16.已知12(,0),(,0)F c F c -为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，点P 在椭圆上，且12PF F ∆的面积为22，则12cos F PF ∠= . 【答案】13. 【解析】试题分析：设n PF m PF ==21,，在12PFF ∆中，由椭圆的定义可知，a n m 2=+，应用余弦定理可得，mn c n m PF F 24cos 22221-+=∠，即212cos 12PF F b mn ∠+=，又因为12PF F ∆的面积为2，所以=∠∠+=∠∠+⨯=∠=212122121221sin cos 1sin cos 1221sin 21PF F PF F b PF F PF F b PF F mnS 22，所以可得2121sin 2cos 1PF F PF F ∠=∠+，再由1sin cos 212212=∠+∠PF F PF F 可得12cos F PF ∠=13，故应填13. 考点：1、椭圆的定义；2、焦点三角形的面积问题.【思路点睛】本题主要考查了椭圆的定义和焦点三角形的面积问题，涉及余弦定理和同角三角函数的基本关系，渗透着转化的数学思想，属中档题.其解题的一般思路为：首先根据已知条件并运用余弦定理即可得212cos 12PF F b mn ∠+=，然后代入三角形的面积公式，即可得出所求的答案即可.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分） 如图，OPQ 是半径为2，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的一动点. 记COP θ∠=，四边形OPCQ 的面积为S . （1）找出S 与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S 最大，并求出这个最大值.【答案】（Ⅰ）S 2sin 2sin()((0,))33ππθθθ=+-∈（Ⅱ）当且仅当32ππθ+=，即6πθ=时，S 最大，且最大值为2.【解析】试题分析：（Ⅰ）由四边形OPCQ 的面积S 等于三角形QOC POC ∆∆,的面积之和即可得出S 与θ的函数关系；（Ⅱ）由（1）知，2sin 2sin()3S πθθ=+-，然后运用两角差的正弦公式即可得出S 2sin()3πθ=+，最后由正弦函数的图像及其性质即可得出S 取得最大值时θ的取值.考点：1、三角恒等变换；2、三角函数的图像及其性质.【思路点睛】本题主要考查了三角恒等变换和三角函数的图像及其性质，渗透着转化的数学思想，属中档题.其解题的一般思路为：首先根据已知条件将四边形OPCQ 的面积S 划分为三角形QOC POC ∆∆,的面积之和，进而得出S 与θ的函数关系；然后运用三角恒等变换和辅助角公式对其进行求解即可. 18.（本小题满分12分）空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300>为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI 的茎叶图如图．（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（100AQI ≤）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）若从样本中的空气质量不佳（100AQI >）的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率.【答案】(1)230125⨯=；(2) 93155=.考点：1、茎叶图；2、古典概型的计算. 19.（本小题满分12分）如图，矩形BDEF 垂直于正方形ABCD ，GC 垂直于平面ABCD ，且22AB DE CG ===.（1）求三棱锥A FGC -的体积； （2）求证：面GEF ⊥面AEF .【答案】（Ⅰ）121233V =⨯⨯=；（Ⅱ）详见解析.（2）如图，设EF 的中点为M ，连结,,AM GM AG .在Rt ACG ∆中可求得3AG =；在直角梯形,FBCG EDCG 中可求得FG EG =；在R t A B F ∆，Rt ADE ∆中可求得AF AE ==AEF ∆，等腰GEF ∆中分别求得AM =，GM =此时，在AMG ∆中有222AM GM AG +=，所以AM GM ⊥，因为M 是等腰AEF ∆底边中点，所以AM EF ⊥，所以AM ⊥平面GEF ，因此面GEF ⊥面AEF .考点：1、三棱锥的体积的求法；2、面面垂直的判定定理.【方法点睛】本题主要考查了面面垂直的判定定理和空间几何体的体积的求法，考查学生综合应用知识的能力和空间想象能力，属中档题.对于第一问三棱锥的体积的求法，其解题的关键是正确的找出三棱锥的高并准确计算；对于第二问证明面面垂直的问题，其解题的关键是正确地运用已知并通过计算得出空间线线之间的关系，进而得出所证的结果. 20.（本小题满分12分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，(2,1)P -是1C 上一点.（1）求椭圆1C 的方程；（2）设,,A B Q 是P 分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线l 交1C 于异于,P Q 的两点,C D ，点C 关于原点的对称点为E ，证明：直线,PD PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形.【答案】（Ⅰ）22182x y +=；（Ⅱ）详见解析.（2）由题设知,A B 的坐标分别为(2,1),(2,1)--.因此直线l 的斜率为12.设直线l 的方程为：12y x t =+. 由2212182y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：222240x tx t ++-=，当0∆>时，不妨设1122(,),(,)C x y D x y ，于是122x x t +=-，21224x x t =-，分别设直线,PD PE 的斜率为12,k k ，则21212112212111(1)(2)(2)(1)22(2)(2)y y y x x y k k x x x x ------+++=+=+-++-，则要证直线,PD PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形，只需证2121(1)(2)(2)(1)0y x x y ---++=，而212121122112(1)(2)(2)(1)2()()4y x x y y y x y x y x x ---++=--++--21121212()4x x x x t x x x x =---++--1212()4x x t x x =--+-222424t t =-++-0=，所以直线,PD PE 与y 轴围成的三角形是等腰三角形.考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的位置关系. 21.（本小题满分12分） 已知函数2()af x x x=+（a 为实常数）.（1）若()f x 在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）判断是否存在直线l 与()f x 的图象有两个不同的切点，并证明你的结论.【答案】（1）a 的取值范围为(,0]-∞；（2）不存在直线l 与()f x 的图象有两个不同的切点．试题解析：（1）3'222()2a x a f x x x x-=-=，因为()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以320x a -≥即32a x ≤在(0,)+∞恒成立，而32y x =在(0,)+∞上单调递增，故32x 的值域为(0,)+∞，所以0a ≤，即a 的取值范围为(,0]-∞；考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用；2、导数在研究函数的最值与极值中的应用. 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

柳州一中数学届高考模拟试题(文科).docx

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高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作柳州一中数学2015届高考模拟试题（文科）命题人：裴彬瑜 闭海鸥 李艳艳 审题人：裴彬瑜一、选择题1．已知集合{22|21},{|ln(1)}x x A x B x y x --=≤==-，则R A C B ⋂A ．()12，B ．[1,2]C ．[)11-， D ．()11-， 2．“22ab>”是“ln ln a b >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．设1(,cos )2a θ=与(1,2cos )b θ=-垂直，则cos2θ的值等于A ．22-B ．12- C ．0 D ．-l 4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数2121+=x y 的图象上，则2014a = A ．2014 B ．2013 C ．1012 D ．10115．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（ ）A.6+42+23B.8+42C.6+62D.6+22+436．在长方体1111D C B A ABCD -中，AB AD AA 21==．若F E ,分别为线段11D A ，1CC 的中点，则直线EF 与平面11A ADD 所成角的正弦值为（ ）C'D'B'C A'BADE F M A ．36 B ．22 C ．33D ．31 7．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是74,则（ ）A.3a =B.4a =C.5a =D.6a =8．已知0a >,,x y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y =+的最小值为1,则a =A ．12B ．13C ．1D ．29．设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为 A.12 B. 23 C.34 D.4510．设1F 、2F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐过线M 、N 两点，且满足120MAN ∠=，则该双曲线的离心率为A.213 B.193 C.23D.73311．定义域为R 的可导函数()x f y =的导函数为'()f x ，满足()()x f x f '>，且(),10=f 则不等式()1<xe xf 的解集为 A ．()0,∞- B ．()+∞,0 C ．()2,∞- D ．()+∞,212．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A(－6，0)和C(6，0)，顶点B 在双曲线2212511x y -=的左支上，则sin sin sin BA C -等于A. 56B. 65C. 1125D. 116二、填空题13．设{1,1},{2,0,2}x y ∈-∈-，则以(,)x y 为坐标的点落在不等式21x y +≥所表示的平面区域内的概率为 . 14．已知3sin 65πα⎛⎫+=⎪⎝⎭, 536ππα<<,则cos α= 。

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广西柳州市2015-2016学年高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知全集U=R，集合A={0，1，2，3，4}，B={x|0＜x＜3}，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0，1，2} B．{0，1，} C．{0，3，4} D．{3，4}2．如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数的值是（）A．﹣1+2i B．﹣2﹣2i C．1+2i D．1﹣2i3．给出下列四个命题，其中假命题是（）A．“∀x∈R，sinx≤1”的否定为“∂x∈R，sinx＞1”B．“若a＞b，则a﹣5＞b﹣5”的逆否命题是“若a﹣5≤b﹣5，则a≤b”C．∂x0∈（0，2），使得sinx=1 D．∀x∈R，2x﹣1＞04．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（﹣3，m），且sinα=﹣，则tanα等于（）A．﹣ B．C．D．﹣5．设函数f（x）=，若f（x）是奇函数，则g（3）的值是（）A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣16．如果不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该三角形的面积为（）A．B．C．或D．或7．根据程序框图计算，当a=98，b=63时，该程序框图结束的结果是（）A．a=7，b=7 B．a=6，b=7 C．a=7，b=6 D．a=8，b=88．将函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小值为（）A．πB．πC．πD．π9．已知F1，F2是双曲线=1（a，b＞0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C．D．10．已知三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥外接球的表面积为（）A．8πB．8πC．5πD．6πx3A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a12．已知a，b∈（0，1），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量=（3，1），=（1，m），若向量与2﹣共线，则m=．14．如图，在坡角（坡面与水平面的夹角）为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离米，则旗杆的高度为米．15．已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆在y轴上的一个顶点，若2b，||，2a成等差数列，且△PF1F2的面积为12，则椭圆C的方程为．16．设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f′（x），f′（x）在区间（a，b）的导函数为f″（x）．若在区间（a，b）上f″（x）恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”．已知f（x）=x4﹣x3﹣x2．若函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则b﹣a的最大值为．三、解答题（共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}的前n项和为S n=（3n﹣1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．18．近期雾霾天气多发，对城市环境造成很大影响，某城市环保部门加强了对空气质量的检测，按国家环保部门发布的《环境空气质量标准》的规定：居民区的PM2.5（大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．抽取某居民区监控点记录的20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数集记录为如图茎叶图：（2）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率．19．如图，在几何体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，EC∥FA，FA=2EC=2，底面ABCD为平行四边形，AD⊥BD，AD=BD=2，FD⊥BE．（1）求证：FD⊥平面BDE；（2）求三棱锥F﹣BDE的体积．20．已知点C（1，0），点A，B是⊙O：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足=0，设M为弦AB的中点．（1）求点M的轨迹T的方程；（2）若以点M为圆心，||为半径的圆与直线x=﹣1相切，求||21．已知a∈R，函数f（x）=ax+lnx，g（x）=﹣（e为自然对数的底数）．（1）若a=﹣e2，求函数f（x）的极值；（2）若a=﹣1，求证：当x＞0时，f（x）＞g（x）﹣x恒成立．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若EF2=FAFB，证明：EF∥CD．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2016广西模拟）在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（ϕ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点．（1）求曲线C1，C2的普通方程；（2）是曲线C1上的两点，求的值．[选修4-5：不等式证明]24．=|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知全集U=R，集合A={0，1，2，3，4}，B={x|0＜x＜3}，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A．{0，1，2} B．{0，1，} C．{0，3，4} D．{3，4}解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为A∩（∁U B），∴∁U B={x|x＞4或x＜2}，即A∩（∁U B）={0，3，4}，故选：C．2．如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数的值是（）A．﹣1+2i B．﹣2﹣2i C．1+2i D．1﹣2i解：在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，结合所给的图形可得z1=﹣2﹣i，z2=i，则复数==﹣1+2i，故选A．3．给出下列四个命题，其中假命题是（）A．“∀x∈R，sinx≤1”的否定为“∂x∈R，sinx＞1”B．“若a＞b，则a﹣5＞b﹣5”的逆否命题是“若a﹣5≤b﹣5，则a≤b”C．∂x0∈（0，2），使得sinx=1 D．∀x∈R，2x﹣1＞0解：A对任意命题的否定：任意改为存在，再否定结论，故“∀x∈R，sinx≤1”的否定为“∂x∈R，sinx＞1”，故正确；B逆否命题把命题的条件结论都否定，再互换，故“若a＞b，则a﹣5＞b﹣5”的逆否命题是“若a﹣5≤b﹣5，则a≤b”故正确；C当x=时，sinx=1，故∂x0∈（0，2），使得sinx=1，故正确；D当x=0时，2x﹣1=0，故错误．故选D．4．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（﹣3，m），且sinα=﹣，则tanα等于（）A．﹣ B．C．D．﹣解：由题意可得sinα==﹣，m=﹣4，故tanα==，故选：B．5．设函数f（x）=，若f（x）是奇函数，则g（3）的值是（）A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣1解：∵函数f（x）=，f（x）是奇函数，∴f（﹣3）=﹣f（3），∴log2（1+3）=﹣[g（3）+1]，则g（3）=﹣3．故选：C．6．如果不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该三角形的面积为（）A．B．C．或D．或若△OAB是RT△，仅当l1⊥l2，得：k=﹣，A（4，0），B（，），△OAB的面积是4=，故选：B．7．根据程序框图计算，当a=98，b=63时，该程序框图结束的结果是（）A．a=7，b=7 B．a=6，b=7 C．a=7，b=6 D．a=8，b=8解：由题意，可得该程序按如下步骤执行第一步，比较输入的a、b，由于a=98且b=63，对判断框“a≠b”的回答为“是”，此时对判断框“a＞b”的回答为“是”，将a﹣b的值赋给a，得a=35；第二步，此时a=35且b=63，对判断框“a≠b”的回答为“是”，此时对判断框“a＞b”的回答为“否”，将b﹣a的值赋给b，得b=28；第三步，此时a=35且b=28，对判断框“a≠b”的回答为“是”，此时对判断框“a＞b”的回答为“是”，将a﹣b的值赋给a，得a=7；第四步，此时a=7且b=28，对判断框“a≠b”的回答为“是”，此时对判断框“a＞b”的回答为“否”，将b﹣a的值赋给b，得b=21；第五步，此时a=7且b=21，对判断框“a≠b”的回答为“是”此时对判断框“a＞b”的回答为“否”，将b﹣a的值赋给b，得b=14；第六步，此时a=7且b=14，对判断框“a≠b”的回答为“是”此时对判断框“a＞b”的回答为“否”，将b﹣a的值赋给b，得b=7；第七步，此时a=7且b=7，对判断框“a≠b”的回答为“否”，结束循环体并输出a、b的值．综上所述，可得最后输出的值为a=7，b=7 故选：A8．将函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小值为（）A．πB．πC．πD．π解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象的解析式为为：f（x）=sin[2（x+φ）+]=sin（2x+2φ+），其图象关于y轴对称，可得当x=0时，函数取得最值，可得：2φ+=kπ，k∈Z，解得：φ=+，k∈Z，当k=0时，φ取得最小正值为．故选：A．9．已知F1，F2是双曲线=1（a，b＞0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C．D．解：由题设条件可知△ABC为等腰三角形，只要∠AF2B为钝角即可，所以有＞2c，即2ac＜c2﹣a2，解出e∈（1+，+∞），故选：B．10．已知三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥外接球的表面积为（）A．8πB．8πC．5πD．6π解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体，也外接与球，它的对角线的长为球的直径：=，该三棱锥的外接球的表面积为：4×π×（）2=6π，故选：D．11．已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log2x+x，h（x）=x3+x的零点依次为a，b，c，则a，b，c由小到大的顺序是）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a解：由f（x）=2x+x=0得2x=﹣x，g（x）=log2x+x=0得log2x=﹣x，h（x）=x3+x=0得x3=﹣x，分别作出函数y=2x，y=log2x，y=x3和y=﹣x的图象如图，，由图象知a＜c＜b，故选：B．．12．已知a，b∈（0，1），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A．B．C．D．解：函数f（x）在[1，+∞）上递增，由二次函数的单调性可知﹣=≤1，即a≥2b．由题意得，画出图示得阴影部分面积．∴概率为=，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量=（3，1），=（1，m），若向量与2﹣共线，则m=．解：向量=（3，1），=（1，m），2﹣=（5，2﹣m）向量与2﹣共线，可得1×5=3×（2﹣m），解得m=．故答案为：．14．如图，在坡角（坡面与水平面的夹角）为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离米，则旗杆的高度为30米．解：由已知得∠ACD=30°+15°=45°，∠ADC=180°﹣60°﹣15°=105°，∴∠CAD=30°．在△ACD中，由正弦定理得，即，解得AD=20．∴AB=ADsin∠ADB=20=30（米）．故答案为：30．15．已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆在y轴上的一个顶点，若2b，||，2a成等差数列，且△PF1F2的面积为12，则椭圆C的方程为．解：由题意知，2a+2b=2|F1F2|=4c，，∴a=2c﹣b，又a2=b2+c2，∴（2c﹣b）2=b2+c2，解得：c=4．∴b=3，a=5．∴椭圆C的方程为．故答案为：．16．设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f′（x），f′（x）在区间（a，b）的导函数为f″（x）．若在区间（a，b）上f″（x）恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”．已知f（x）=x4﹣x3﹣x2．若函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则b﹣a的最大值为4．解：∵函数f（x）=，∴，∴f″（x）=x2﹣2x﹣3，∵函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，∴在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，由x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3．∴a=﹣1，b=3，∴b﹣a=3﹣（﹣1）=4．故答案为：4．三、解答题（共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．解：（1）∵S n=（3n﹣1），∴a1=S1==3．=（3n﹣1）﹣，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1化为：a n=3n．当n=1时，上式也成立．∴a n=3n．（2）b n=na n=n3n．∴数列{b n}的前n项和T n=3+2×32+3×33+…+n3n，∴3T n=32+2×33+…+（n﹣1）3n+n×3n+1，上两式作差可得﹣2T n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=﹣n×3n+1=×3n+1﹣，∴T n=+．（2）设PM2.5的24小时平均浓度在（50，75]内的三天记为A1，A2，A3，PM2.5的24小时平均浓度在（75，100）内的两天记为B1，B2，∴5天任取2天的情况有=10种，其中符合条件的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6种，∴恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率p=．19．解：（1）∵FA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴FA⊥BD，又AD⊥BD，FA⊂FAD，AD⊂平面FAD，FA∩AD=A，∴BD⊥平面FAD，∵FD⊂平面FAD，∴BD⊥FD，又FD⊥BE，BD⊂平面BDE，BE⊂平面BDE，BD∩BE=B，∴FD⊥平面BDE．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BD=BC=2，∵AD⊥BD，∴CD=2，∵CE=，∴BE==，DE=．∴BD2+BE2=DE2，∴BD⊥BE．∵FA=2，AD=2，∴FD==2．∴V F===2．﹣BDE20．解：（1）连接OM，OA，由=0得AC⊥BC，∴|CM|=|AM|=|BM|=|AB|，由垂径定理知|OM|2+|AM|2=|OA|2，即|OM|2+|AM|2=9，设M（x，y），则x2+y2+（x﹣1）2+y2=9，即x2﹣x+y2=4，则点M的轨迹T的方程是x2﹣x+y2=4．（2）∵以点M为圆心，||为半径的圆与直线x=﹣1相切，∴点M到直线x=﹣1的距离与到点C（1，0）的距离相等，根据抛物线的定义知点M在抛物线y2=2px上，其中，则p=2，故抛物线方程为y2=4x，|CM|=，|AB|=2=2×2=4，即||=421．解：（1）函数f（x）=﹣e2x+lnx（x＞0）的导数为f′（x）=﹣e2+=﹣，当x＞时，f′（x）＜0；当0＜x＜时，f′（x）＞0．即有f（x）在（0，）递增，在（，+∞）时，f（x）递减．可得f（x）在x=处取得极大值﹣1+ln=﹣3，无极小值；（2）证明：a=﹣1时，要证当x＞0时，f（x）＞g（x）﹣x恒成立，即证﹣x+lnx＞﹣﹣x，即为xlnx＞﹣在x＞0恒成立．设m（x）=xlnx，m′（x）=1+lnx，当x∈（0，）时，m′（x）＜0，m（x）递减；当x∈（，+∞）时，m′（x）＞0，m（x）递增．可得m（x）在x=处取得极小值，且为最小值﹣；设n（x）=﹣，n′（x）=，当x∈（0，1）时，n′（x）＞0，n（x）递增；当x∈（1，+∞）时，n′（x）＜0，n（x）递减．可得n（x）在x=1处取得极大值，且为最大值﹣=﹣．由于最值不同时取得，即有xlnx＞﹣在x＞0恒成立．则当x＞0时，f（x）＞g（x）﹣x恒成立．22．解：（Ⅰ）∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B∴△EDC∽△EBA，可得，∴，即∴（Ⅱ）∵EF2=FAFB，∴，又∵∠EFA=∠BFE，∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC=∠EBF，∴∠FEA=∠EDC，∴EF∥CD．23．解：（1）曲线C1的参数方程为（ϕ为参数），普通方程为．曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点，曲线C2的普通方程为（x﹣2）2+y2=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）曲线C1的极坐标方程为，所以=+=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）解（Ⅰ）证明：函数f（x）=|x﹣a|，a＜0，则f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|=|x+|=|x|+≥2=2．（Ⅱ）解：f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，则f（x）≥﹣a；当a＜x＜时，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；当x时，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，则f（x）≥﹣．则f（x）的值域为[﹣，+∞），不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0，则a的取值范围是（﹣1，0）．。

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