控制工程基础第一章控制系统的数学模型

(t)
m dt
m
1a
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c
式中，
Tm
Ra
Ra J m f m CmCe
为电动机机电时间常数,s；
K1
Ra
f
Cm
C C
m
me
K2
Ra
f
Ra
C C
m
me
为电动机传递系数。
如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计，式（1-9）
还可进一步简化为
C u (t) (t)
em
a
这时，电动机的转速ωm(t)与电枢电压ua(t)成正比，于是电动机可作为
（1）运算放大器Ⅰ。输入量（即给定电压）ug与速度反馈电压uf在此 合成产生偏差电压并经放大，即
u1 K1(ug u f )
式中，
K1
R2 R3
为运算放大器Ⅰ的比例系数。
（2）运算放大器Ⅱ。考虑RC校正网络，u2与u1之间的微分方程为
u2
K（2
d u1
dt
u1）
式中，K 2
R5 R4
为运算放大器Ⅱ的比例系数；τ=R4C为微分时间常数。
m
(t) (t) (t)
m dt
mm
m
c
式中，fm为电动机和负载折合到电动机轴上的黏性摩擦系数；Jm为电
动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。
由式（1-5）、式（1-6）和式（1-7）中消去中间变量ia(t)、Ea及
Mm(t)，便可得到以ωm(t)为输出量，以ua(t)为输入量的直流电动机微
分方程，即
按照其建立的条件，数学模型可分为两种。一是静态数学模型： 静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。 它反映了系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间的关系。二 是动态数学模型：动态条件（变量各阶导数不为零）下描述变量各 阶导数之间关系的微分方程；也可定义为描述实际系统各物理量随 时间演化的数学表达式。它反映了动态系统瞬态与过渡态的特性。 本章以动态数学模型的研究为主。
测速发电机使用。
【例1-3】图1-3所示为一具有弹簧、质量块、阻尼器的机械位 移系统。试列写质量块m在外力f（t）作用下，位移y（t）的运动方 程。
图1-3 弹簧、质量块、阻尼器的机械位移系统
解 设质量块m相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为y（t），
d
y(t dt
)
,
d2
d
y(t
t2
)
,
由牛顿运动定律有
【例1-1】 列写图1-1所示RLC网络的微分方程。 图1-1 RLC网络
解（1）明确输入量、输出量。网络的输入量为电压ur(t)，输出 量为电压uc(t)。
（2）列出原始微分方程式。根据电路理论得
ur
(t)
L
di(t) dt
1 C
i(t)dt
Ri (t )
uc
(t)
1 C
i(t)dt
而 式中，i(t)为网络电流，是除输入量、输出量之外的中间变量。
必须指出，由于不可能将系统实际的错综复杂的物理现象完全 表达出来，因而要对模型的简洁性和精确性进行折中考虑。一般须 根据系统的实际结构参数和系统分析所要求的精度，忽略一些次要 因素，建立既能反映系统内在本质特性、又能简化分析计算工作的 模型。
1.2系统的动态微分方程
工程中的控制系统，不管它是机械的、电气的、液压的、气动 的，还是热力的、化学的，其运动规律都可以用动态微分方程加以 描述，因此，用解析法建立系统或元件的数学模型就是从列写它们 的运动微分方程开始。对这些微分方程求解，就可以获得系统在输 入作用下的输出响应。
（3）功率放大器。本系统采用晶闸管整流装置，它包括触发电路和
晶闸管主回路。忽略晶闸管控制电路的时间滞后，其输入输出方程为
式中，K3 为比例系数。
ua K3u2
（4）测速发电机。测速发电机的输出电压uf与其转速ω成正比
，即有
uf Kt
式中，Kt为测速发电机比例系数，V/（rad· ）。 （5）减速器（齿轮系）。设齿轮系的转速比为i，则电动机转速
m
d2
d
y(t
t2
)
f (t)
f
(t)
1
f
(t)
2
式中， f (t) B dy(t) 为阻尼器的阻尼力，其方向与运动方向相反，其大
1
dt
小与运动速度成正比，B为阻尼系数； f (t) Ky(t) 为弹簧弹性力，其方向亦 2
与运动方向相反，其大小与位移成正比，K为弹性系数。将f1(t)和f2(t)代入
式（1-11）中，经整理后即得该系统的微分方程式为
m
d2
d
y(t
t2
)
B
d
y(t dt
)
Ky(t)
f (t)
【例1-4】试列写图1-4所示速度控制系统的微分方程。 图1-4 速度控制系统
解 通过分析图1-4可知，控制系统的被控对象是电动机（带负载）， 系统的输出量是转速ω，输入量是ug，控制系统由给定电位器、运算放大 器Ⅰ（含比较作用）、运算放大器Ⅱ（含RC校正网络）、功率放大器、测 速发电机、减速器等部分组成。现分别列写各元部件的微分方程。
1.1数学模型的基本概念
模型是在某种相似基础上建立起来的，如航空、航海模型，机 械构件的有机玻璃模型，是结构相似、比例缩小的实体模型。在控 制工程中为研究系统的动态特性，要建立另外一种模型——数学模 型。
数学模型是描述系统输入量、输出量及内部各变量之间关系的 数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。 建立数学模型是分析、研究一个动态系统特性的前提，是非常重要 同时也是较困难的工作。一个合理的数学模型应以最简化的形式， 准确地描述系统的动态特性。
（3）消去中间变量。将式（1-2）两边求导，得
d uc (t) 1 i(t) dt C
即
i(t) C d uc (t)
dt
将式（1-3）代入式（1-1），整理得
LC
d
2
uc
dt
(t)
RC
d
uc (t)
dt
uc
(t)
ur
(t)
显然，这是一个二阶线性微分方程，也就是图1-1所示RLC无源网络的数学
对象，其工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的
电枢电压ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流ia(t)与激磁
磁通相互作用产生电磁转矩Mm(t)，从而拖动负载运动。因此，直流
电动机的运动方程可以由以下3个部分组成。
（1）电枢回路电压平衡方程：
ua
(t)
La
d
ia (t)
dt
（3）消去所列各微分方程的中间变量，从而得到描述系统输入量、 输出量的微分方程。
比较式（1-4）、式（1-9）、式（1-12）和式（1-19）后发现， 虽然它们所代表的系统的类别、结构完全不同，但表征其运动特征 的微分方程式却是相似的。从这里也可以看出，尽管环节（或系统） 的物理性质不同，但它们的数学模型却可以是相似的。这就是系统 的相似性，利用这个性质，就可以用那些数学模型容易建立、参数 调节方便的系统作为模型，代替实际系统从事实验研究。
1.3拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换
拉普拉斯变换简称拉氏变换，是常用的积分变换之一。控制工 程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。按照一 般方法解算比较麻烦，如果用拉氏变换求解线性微分方程，可将经 典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条 件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方 法。更重要的是，通过采用拉氏变换，可把描述系统运动状态的微 分方程很方便地转换为系统的传递函数，并由此发展出用传递函数 的零极点分布、频率特性等间接地分析和设计控制系统的工程方法。 本节从复数与复变函数的概念入手，着重介绍拉氏变换的定义、一 些典型时间函数的拉氏变换、拉氏变换的性质及拉氏反变换的方法； 最后介绍用拉氏变换解微分方程的方法。在学习中应注重该数学方 法的应用，为后续章节的学习奠定基础 。
模型。
【例1-2】试列写图1-2所示电枢控制直流电动机的微分方程， 电枢电压ua(t)为输入量，电动机转速ωm(t)为输出量。图中，Ra、La 分别是电枢电路的电阻和电感。设Mc是折合到电动机轴上的总负载 转矩，激磁磁通为常值。
图1-2 电枢控制直流电动机原理图
解 电枢控制直流电动机是控制系统中常用的执行机构或控制
Ra
ia
(t)
Ea
式中，Ea为电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小 与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压ua(t)相反。
（2）电磁转矩方程：
M m(t) Cmia (t)
式中，Cm为电动机转矩系数；Mm(t)为电枢电流产生的电磁转矩。
（3）电动机轴上的转矩平衡方程：
J f M M d (t)
1.3.1复数与复变函数
1.复数的定义
设σ和ω是两个任意实数，则σ+jω称为复数，记为
s=σ+jω
（1-20）
其中，σ和ω分别称为复数s的实部和虚部，记为σ=Re(s)，ω=Im(s)；
j= 1 为虚数单位。对于一个复数，只有当实部和虚部均为零时，
该复数才为零；对于两个复数而言，只有当实部和虚部分别相等时，
控制工程基础控制系统的数学模型第1章在建立系统的动态微分 方程时，主要应用机械动力学、流体动力学等基础理论，对于一些 机、电、液综合系统，除需运用能量守恒定律外，还必须应用电工 原理、电子学等方面的基础理论。此外，还须具备相关的专业技术 理论，如金属切削原理、液压传动及各种加工工艺原理等。下面通 过简单示例来介绍建立微分方程所应用的原理和方法。
2 (t)
L J d t L a m
m
d2
( a
f
d
R J
)
m
am
(t)
m
dt
(R a
f
m CmCe)
(t)
m
C
m
ua
(t
)
La
d
Mc
dt
(t
)
Ra
M
c
(t
)
在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，因而式 （1-8）可简化为
d (t)
T K u K M m (t)
(t)
ωm经齿轮系减速后变为ω，故有
1 im
（6）直流电动机。直接引用例1-2所求得的直流电动机的微分方程
式（1-9）：
' d
(t) m
(t) '
(t) '
' (t)
T K u K M m dt
m
ma
c
c
式中，T′m、K′m、K′c及M′c均为考虑齿轮系和负载后，折算到电动机轴
上的等效值。
从上述各方程中消去中间变量，经整理后便得到控制系统的微分方
程：
u ' d ' d g
' ' (t)
T K K u K M m dt
g dt
gg
c
c
式中，
T
' m
iTm K1K i K1K2
2K K3
3KmK Km Kt
t
;
T
' g
i
K1
K
2
K
3
K
m
K1K2 K3Km K
t
;
K
g
i
K1K2 K3 Km K1K2 K3Km K
t
;
K
' c
i
K1
K
Kc 2K
3
K
m
K
t
。
综上所述，动态微分方程的列写步骤可归纳如下： （1）确定系统或元件的输入量、输出量。系统的输入量或扰动 输入量都是系统的输入量，而被控量则是输出量。对于一个环节或 元件而言，应该按照系统信号的传递情况来确定输入量和输出量。 （2）按照信号的传递顺序，从系统的输入端开始，依据各变量 所遵循的运动规律（如电路中的基尔霍夫定律，力学中的牛顿定律， 热力系统中的热力学定律及能量守恒定律等），列写出在运动过程 中的各个环节的动态微分方程。列写时可按工作条件，忽略一些次 要因素，并须考虑相邻元件之间是否存在负载效应。
系统的数学模型有多种形式，这取决于变量和坐标系统的选择。 在时间域，通常采用微分方程或一阶微分方程组（状态方程）的形 式；在复数域采用传递函数的形式；而在频率域则采用频率特性的 形式。对于线性系统来说，它们之间是等价的。
建立数学模型，一般采用解析法或实验法。所谓解析法建模， 就是依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相 应的数学关系式，建立模型；所谓实验法建模，就是人为地对系统 施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼 近。这种方法也称为系统辨识。本章仅讨论解析建模方法，关于实 验法建模将在后面的章节进行介绍。
第一章 控制系统的数学模型
内容
1.1 数学模型的基本概念 1.2 系统的动态微分方程 1.3 拉普拉斯变换与拉普拉斯反 变换 1.4 传递函数 1.5 典型环节 1.6 系统方框图 1.7 信号流图 1.8 闭环控制系统的传递函数
研究一个自动控制系统，除了对系统进行定性分析外，还必须 进行定量分析，进而探讨改善系统稳态和动态性能的具体方法；而 分析、研究系统的动态特性，或对系统进行控制，非常重要的一步 就是建立系统的运动方程式（即数学模型）。控制系统的数学模型 是根据系统的动态特性，即通过决定系统特征的物理学定律，如机 械、电气、热力、液压、气动等方面的基本定律而建立的。它代表 系统在运动过程中各变量之间的相互关系，既定性又定量地描述了 整个系统的动态过程。因此，要分析和研究一个控制系统的动态特 性，就必须建立该系统的数学模型。