3第三章刚体的定轴转动

例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬 有质量为m1和m2的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量 为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对 滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张
力.
解: 受力图如下，设 m2 m1
FT1
FT2
a
a
m1g
FT2
FT1 m2 g
ro
m'
3-1 刚体定轴转动的动能定理 和转动定律
预习要点
1. 注意描述刚体定轴转动的运动学方法.
2. 阅读附录1中矢量乘法. 力对转轴的力矩如何计算?
3. 领会刚体定轴转动的动能定理的意义. 注意区分平 动动能和转动动能的计算式. 注意力矩的功的计算 方法.
4. 转动惯量的定义是什么? 转动惯量与哪些因素有关?
5. 刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何? 注意 它的应用方法.
一、刚体及刚体定轴转动
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变 化的物体（任意两质点间距离保持不变的特殊质点 组）. 刚体的运动形式：平动、转动 .
• 平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同. • 转动：刚体中所有的点都绕同一直线作圆周运动.
dt
刚体定轴转动定律：刚体作定轴转动时，合外 力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积.
七、牛顿定律和转动定律的综合应用
如果在一个物体系中，有的物体作平动，有的物 体作定轴转动，处理此问题仍然可以应用隔离法. 但 应分清哪些物体作平动，哪些物体作转动. 把平动物 体隔离出来，按牛顿第二定律写出其动力学方程；把 定轴转动物体隔离出来，按转动定律写出其动力学方 程. 有时还需要利用质点及刚体定轴转动的运动学公 式补充方程，然后对这些方程综合求解.
例：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为m’、长为
2l 、 可 绕 过 与 杆 垂 直 的 光 滑 轴中 心 转 动 的 细 杆 . 有 一 质
量弹为性碰m的撞小，球求以小与球杆的垂反直弹的速速度v度v0及杆与的杆转的动一角端速发度生完.全
解：杆和球在竖直方向所受重力和支持力与轴平行，对 轴无力矩；桌面及轴皆光滑，无摩擦力矩；轴对杆的 反作用力过轴也无力矩.因此，球与杆在碰撞过程中， 所受外力矩为零，在水平面上，碰撞过程中系统角动 量守恒.
解：
(1) 圆环： dm
(2) 圆盘：
o dm
可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。
4. 部分均匀刚体的转动惯量
薄圆盘转轴通 过中心与盘面垂直
J 1 mr 2 2
2r
球体转轴沿直径
J 2mr 2 5
l
细棒转轴通过 中心与棒垂直
J ml 2 12
l 细棒转轴通过 端点与棒垂直
J ml 2 3
3）在图示位置系统所受重力对轴的力矩.
解: 1）系统对轴的转动惯量J是杆的转动
惯量J1与小球的转动惯量J2之和.
J

J1

J2

1 ml2 3
m2l2

(
1 3
m

m2
)l
2
o
αl
m1g m2 g
2）系统的转动动能为：
Ek

1 2
Jω2

1 2
(1 3
m1

m2 )l2ω2
o
αl
3）系统所受重力有杆的中立和小球的重力.
2.
刚体的定轴转动的动能应用 Ek

1 2
J 2
计算.
六、刚体定轴转动的转动定律
由动能定理：
W

2 Md
1

1 2
J
2 2

1 2
J12
取微分形式： Md d(1 J2) Jd
2
两边除dt
M d Jω dω
dt
dt
由于
d , d
dt
dt
故得
M J d J
z
v
L0
rm
xo
y
L0
v

r
质点对定点O的动量矩
L0
在某坐标轴Oz上的投
影 Lz 称为该质点对轴Oz的动量矩. 质点作圆运动时，
其对过圆心O且运动平面垂直的轴Oz的动量矩：
Lz
又
L0mcovs
00 L0
r
或
Lz L0 cos π L0
L0 rm sin α mr 2ω
第三章 刚体的定轴转动
第三章 刚体的定轴转动
3-0 第三章教学基本要求 3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律 3-2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
教学基本要求
一、掌握描述刚体定轴转动的角位移、角速度和角加速度等概念.
二、掌握力对固定转轴的力矩的计算方法，了解转动惯量的概 念 (72学时不要求用积分计算转动惯量) . 三、理解刚体定轴转动的动能定理和刚体服从质点组的功能转 换关系. 四、理解刚体定轴转动定律.
m1
m2
FT1 m1g m1a
FT2R FT1R J
m2g FT2 m2a a r
J 1 Mr2 2
得解
a

(m2 m1)g
m1

m2

1 2
m
,


(m2 (m1 m2
m1 ) g 1 m)r
2
FT 1

m1(2m2

1 2
m)g
m1

m2

1 2
则系统所受重力对轴的力矩的大小为：
m1g
M M1 M2

m1g
l 2
s
in
α

m2
g
sin
α

(
1 2
m1

m2
)
gl
sin
α
3-2 定轴转动的动量矩定理和 动量矩守恒定律
预习要点
1. 认识质点对定点的动量矩的定义， 刚体对转轴的动 量矩如何计算?
2. 刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是 怎样的?
刚体定轴转动动能计算式：Ek

1 2
J 2
3. 转动惯量的计算举例
求质量为m、长为l的均匀细长棒，对通过棒中心 和过端点并与棒垂直的两轴的转动惯量.
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 r处
的质量元 dm λdr, dJ r2dm λr2dr
五、理解角动量的概念, 理解刚体定轴转动的角动量守恒定律.
六、会计算力矩的功 (72学时只限于恒定力矩的功) 、定轴转 动刚体的转动动能和对轴的角动量.
七、能综合应用转动定律和牛顿运动定律及质点、刚体定轴转 动的运动学公式计算质点刚体系统的简单动力学问题.
八、能综合应用守恒定律求解质点刚体系统的简单动力学问题. 明确选择分析解决质点刚体系统力学问题规律时的优先考虑顺序.
即：L0 L
mlv0 mlv Jω （1）

o v0 m
弹性碰撞动能守恒
1 2
mv02

1 2
mv2

1 2
Jω2
（2）
其中 J 1 m' (2l)2ω 1 m'l2ω
12
3
联立(1)、(2)式求解
v

(3m-m ')v0 m' 3m


6mv0 (m' 3m)l

o v0 m
0
Ek

1 2
J 2 ,
Ek0

1 2
J02
得刚体定轴转动的动能定理
W


Md
0

1 2
J2

1 2
J02
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体 转动动能的增量.
注意:
1. 如果刚体在运动过程中还有势能的变化，可用质点
组的功能原理和机械能转换与守恒定律讨论. 总之，刚
体作为特殊的质点组，它服从质点组的功能转换关系.
dt
定轴(Oz轴)条件下，由Oz轴正向俯视，逆时针转
向的 、 、 取正，顺时针取负.
三、刚体定轴转动的力矩和力矩的
功1. 力矩
刚体绕Oz轴旋转, O为轴
与转动平面的交点，力 F 作用
在内刚, 体r上为点由点PO,
且在转动平面 到力的作用点
P 的位矢.
M

z
M
r
Od
F
P*
故得 Lz mr 2ω （取正号LZ与Oz同向，负号反向）
2、刚体的动量矩
质元
m i
对O

Li Ri
点的动量矩为：
mivi
因 vi

Ri
，所以 Li
的大小为
Li mi Rivi
刚体关于O 的动量矩：

对于定轴转动，L 对沿定轴的分量 Lz 为： Lz Li cos miRivi cos
例 匀质细棒：l 、m，可绕通过端点O的水平轴转动 。棒从水平位置自由释放后，在竖直位置与放在地面
的物体m相撞。该物体与地面的摩擦系数为 ，撞后
物体沿地面滑行一距离 s 而停止。求撞后棒的质心C 离地面的最大高度 h ，并说明棒在碰撞后将向左摆或 向右摆的条件。
解： 分三个阶段进行分析。
第一阶段：棒自由摆落的过程， 机械能守恒。
五、刚体定轴转动的动能定理
刚体是其内任两质点间距离不变的质点组，刚体 做定轴转动时，质点间无相对位移，质点间内力不作 功，外力功为其力矩的功；并且刚体无移动，动能的 变化只有定轴转动动能的变化.
由质点组动能定理 W ex W in Ek Ek0
W in 0,
W ex

Md
转动分定轴转动和非定轴转动. 转轴不动, 刚体绕转轴运动叫刚体的定轴转动；
垂直于转轴的平面叫转动平面.
二、描述刚体定轴转动的物理量
• 角坐标 (t)
•角位移
(t t) (t)
z
O (t)
x
•角速度
lim d

t t 0
dt
•角加速度 d
J 2 l / 2 r 2dr 1 l3 1 ml2
0
12
12
如转轴过端点垂直于棒 J l r 2dr 1 ml2
0
3
刚体的转动惯量与刚体的质量m、刚体的质量分布
和转轴的位置有关.
求质量 m 半径 R 的 (1) 均质圆环， (2) 均质圆盘 对通过直径的转轴的转动惯量。
F 对转轴z的力矩
M Frsin Fd (d:力臂)
2d. W力矩作F功 dr F cos ds F cos dr Md Frsin d
力矩的功
W 2 Md 1
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v d Ft
F
oO
rdr x
四、刚体定轴转动的转动动能和转动惯量
1. 转动动能
刚体内部质量为 mi的质量元的速度为vi ri
动能为
1 2
mi
vi2
刚体定轴转动的总能量（转动动能）
Ek

1 2
Δm1v12

1 2
Δm2v22

1 2
mn
vn2

n i1
1 2
Δmi
vi2
n i1
1 2
Δmi(ri
ω)2

1( n 2 i1
miri2 )2
3. 动量矩守恒定律的内容及守恒定律的条件是什么?
一、动量矩
1.
质点的动量矩
质量为 m 的质点以速度
v
在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 r，质点相对于原
点的角动量
L0

r

p

r

mv
大小 L0 rmv sin θ
L0 的方向符合右手法则.
单位 kg m2 s1 或 J s
mirivi miri2
称刚体绕定轴转动的动量矩。
刚体转动惯量： J miri2
刚体绕定轴的动量矩：
L为正，其方向沿Oz正向，反之沿Oz负向. 对刚体组合系统，总动量矩为各部分对同轴动量矩之和.
二、刚体定轴转动时的动量矩定理
由刚体定轴转动定律 M J d
dt
M d(J) dL
dt dt 刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率.
将上式变形后积分 Mdt d(J) dL
t2 t1
Mdt

J2

J1

L2

L1
t2 Mdt 表示作用在刚体上的合外力矩的时间积累,
t1
称为冲量矩.
动量矩定理: 作用在刚体上的冲量矩等于刚体动量矩 的增量.
2. 转动惯量
比较转动动能 Ek

1( n 2 i1
miri2 )2与平动动能 Ek

1 mv2 2
n
miri2 相当于描写转动惯性的物理量.
i 1
n
定义转动惯量 J miri2 i1
对质量连续分布的刚体，任取质量元dm，其到轴
的距离为r，则转动惯量
J r2dm 单位：kg ·m2（千克·米2）.
三、动量矩守恒定律
若 M 0，则 L J 常量.
动量矩守恒定律: 当刚体转动系统受到的合外力矩为 零时，系统的动量矩守恒. •花样滑冰 •跳水运动员跳水
注意 1. 对一般的质点系统，若质点系相对于某一定点所受 的合外力矩为零时，则此质点系相对于该定点的动量 矩始终保持不变.
2. 动量矩守恒定律与动量守恒定律一样,也是自然界 的一条普遍规律.
m
,
FT 2

m2
(2m1

1 2
m)
g
m1

m2

1 2
m
例: 一根质量均匀分布的细杆，一端连接一个大小可以
不计的小球，另一端可绕水平转轴转动. 某瞬时细杆在
竖直面内绕轴转动的角速度为ω ，杆与竖直轴的夹角
为α . 设杆的质量为m1、杆长为 l，小球的质量为m2.
求： 1）系统对轴的转动惯量；
2）在图示位置系统的转动动能；