复变函数与积分变换第8章Laplace变换-文档资料
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《高等数学教学资料》第四节.laplace变换的性质小结
《高等数学教学资料》第四节 .laplace变换的性质小结
目
CONTENCT
录
• Laplace变换的定义与性质 • Laplace变换的收敛域 • Laplace逆变换的性质 • Laplace变换的应用 • 总结与展望
01
Laplace变换的定义与性质
定义
80%
定义
Laplace变换是函数f(t)到F(s)的 一种积分变换，记作L[f(t)]。
THANK YOU
感谢聆听
定义与公式
定义
Laplace逆变换是通过对Laplace变换的函数进行反演，得到原函数的表示形式。
公式
Laplace逆变换的公式为 (f(t) = frac{1}{2pi i} int_{c - iinfty}^{c + iinfty} F(s)e^{st} ds) ，其中 (F(s)) 是 Laplace变换的函数，(f(t)) 是原函数。
随着科技的发展和研究的深入 ，Laplace变换的应用领域将 不断拓展，例如在人工智能、 机器学习等领域的应用。
随着科技的发展和研究的深入 ，Laplace变换的应用领域将 不断拓展，例如在人工智能、 机器学习等领域的应用。
随着科技的发展和研究的深入 ，Laplace变换的应用领域将 不断拓展，例如在人工智能、 机器学习等领域的应用。
100%
定义域
Laplace变换的函数f(t)需要满足 一定的条件，例如在某个区间内 单调、有界等。
80%
存在定理
对于满足一定条件的函数f(t)，其 Laplace变换存在。
线性性质
线性性质
Laplace变换具有线性性质，即对于 任意常数a和b，有 L[af(t)+bf(t)]=aL[f(t)]+bL[f(t)]。
目
CONTENCT
录
• Laplace变换的定义与性质 • Laplace变换的收敛域 • Laplace逆变换的性质 • Laplace变换的应用 • 总结与展望
01
Laplace变换的定义与性质
定义
80%
定义
Laplace变换是函数f(t)到F(s)的 一种积分变换，记作L[f(t)]。
THANK YOU
感谢聆听
定义与公式
定义
Laplace逆变换是通过对Laplace变换的函数进行反演，得到原函数的表示形式。
公式
Laplace逆变换的公式为 (f(t) = frac{1}{2pi i} int_{c - iinfty}^{c + iinfty} F(s)e^{st} ds) ，其中 (F(s)) 是 Laplace变换的函数，(f(t)) 是原函数。
随着科技的发展和研究的深入 ，Laplace变换的应用领域将 不断拓展，例如在人工智能、 机器学习等领域的应用。
随着科技的发展和研究的深入 ，Laplace变换的应用领域将 不断拓展，例如在人工智能、 机器学习等领域的应用。
随着科技的发展和研究的深入 ，Laplace变换的应用领域将 不断拓展，例如在人工智能、 机器学习等领域的应用。
100%
定义域
Laplace变换的函数f(t)需要满足 一定的条件，例如在某个区间内 单调、有界等。
80%
存在定理
对于满足一定条件的函数f(t)，其 Laplace变换存在。
线性性质
线性性质
Laplace变换具有线性性质，即对于 任意常数a和b，有 L[af(t)+bf(t)]=aL[f(t)]+bL[f(t)]。
复变函数与积分变换第八章
证明
令
二、延迟性质与位移性质
1. 延迟性质
性质 设当 t < 0 时
则对任一非负实数 有
注意 在延迟性质中专门强调了当 t < 0 时 因此，本性质也可以直接表述为：
这一约定。
可见，在利用本性质求逆变换时应为：
解 方法一 已知 根据延迟性质有
方法二
方法一 先充零再平移 方法二 先平移再充零
两种方法为什么会得到不同的结果？
一、Laplace 变换的引入
1. Fourier 变换的“局限性”？
广义 Fourier 变换的引入，扩大了古典 Fourier 变换的适 用范围，使得 “缓增” 函数也能进行 Fourier 变换，而且 将周期函数的 Fourier 级数与 Fourier 变换统一起来。
广义 Fourier 变换对以指数级增长的函数如
积分在
上处处发散.
根据定理8.2，存在实数s (或是)使得在
上, 积分
收敛, 而在
上，积分
处处发散. 在收敛区域内，
Laplace变换的像函数
虚轴
析函数.
是s的解
Os
实轴
四、几个常用函数的 Laplace 变换
(1) [1]= [ ] (2) [ ]
解 (2)
含脉冲函数的 拉氏变换问题
四、几个常用函数的 Laplace 变换
因此在进行Laplace变换时，常常略去存在域， 只有在非常必要时才特别注明。
(2) 在 Laplace 变换中的函数一般均约定在 t < 0 时为零， 即函数 等价于函数
比如
类似于幂级数中
，有下面定理.
定理8.2 如果
在
处收敛，则这个积分在 由这个积分确定的函数
Laplace变换
f
(t)
1 t
L
1
s
1 1
s
1 1
1 (et et ) t
L [ekt ] 1 sk
(Re(s) k)
利用拉氏变换的某些性质和一些已知的拉 氏变换对，可求出某些像函数的拉氏逆变 换！！
5 像原函数的积分性质
一个函数积分后的拉氏变换等于这
个函数的拉氏变换除以因子s
2 像原函数的延迟(时移)性质
若 F(s) L [ f (t)] ,又当t 0时, f (t) 0, 则对任意实数 0
L [ f (t )] es F (s) L 1[es F ()] f (t ).
f (t)从t 0开始有非0值,而f (t )从t 开始有非0值,即延迟了一个时间
g(t) f (t) L [g(t)] L [ f (t)]
s L [g(t)] g(0) L [ f (t)]
L
[g(t)]
1 s
L
[
f
(t)]
像函数的积分性质
像函数积分等于它的像原函数除以一
个因子t的拉氏变换
若 L [ f (t)] F(s),则
L
自变量的函数在 (,0)内无定义,对这样的函数就不
能~~作~~F~o~u~r~i~e~r~变~~换~~. ~鉴~~~于~~上~~述~~及~~其其它更多的理由, Laplace变换应运而生.
下面我们通过三个数学过程来引入Laplace变换:
(1) 将全空间(,)上的问题转化成半空间(0,)上的问题.
f
(t ) t
F (s)ds
s
第八章 拉氏变换
例1. 求f ( t ) cos kt的Lapace 变换，k为实数。
1 ikt L[cos kt] L[ (e e ikt )] 2 1 1 ikt L[e ] L[e ikt ] 2 2 1 1 1 2 s ik s ik
s 2 2 s k
当Re(s)-k>0时收敛，于是当Re(s)>k 时，上述积分收敛 而且
L[ f ( t )]
1 ( s k ) t e sk
0
1 (Re( s ) k ) sk
华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教 案 East china university of science and technology
一、 Laplace变换的定义
0, t 0 设指 数衰减函 数 ( t ) t ( 0) e , t 0
考虑f ( t ), t (,), 有
若存在 0, 使 lim e
t t
f (t )u(t ) f ( t ), t 0时.
同理可得
k L[sin kt ] 2 s k2
华东理工大学《复变函数与积分变换》课程教 案 East china university of science and technology
相似性质
若L[ f ( t )] F ( s ), 则 1 L[ f (at )] F ( s / a ) a 例2 求L[sinat]
1 解： L[t cos t ] L[t 2 (1 cos 2t )] 2
2 2
1 d2 2 ds2
s 1 s s2 4
2( s 6 24s 2 32) s 3 ( s 2 4) 3
复变函数与积分变换第8章Laplace变换
出版社 理工分社
页 退出
复数函数与积分变换
14.计算以下积分.
15.求以下卷积.
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复数函数与积分变换
16.利用卷积定理证明 17.利用卷积定理证明
出版社 理工分社
18.试求以下积分方程的解.
19.设在原处质量为m的一质点在t=0时，在x方向上受到冲击力kδ(t)
的作用，其中k为常数，假定质点的初速度为零，求其运动规律.
从上面例子可以看出，Laplace变换存在的条件要比Fourier变换存在的条 件弱得多,下面讨论Laplace变换的存在问题.
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复数函数与积分变换
出版社 理工分社
定义8.2设函数f(t)在实变数t≥0上有定义，假设存在两个常数M>0及σ>0, 对于一切t都有
成立，即f(t)的增长速度不超过指数函数，那么称f(t)为指数级函数，σ 为其增长指数.
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复数函数与积分变换
(2) 原函数的微分性质
出版社 理工分社
这个性质使f(t)的微分方程转为F(s)的代数方程，因此它对分析线性系统有 着重要作用.现在利用它推算一些函数的Laplace变换. 例8.9利用Laplace变换的性质求f(t)=cos kt的Laplace变换。
页 退出
复数函数与积分变换
该公式也称为Laplace反演公式，右端的积分称为Laplace反演积分,这里的 积分路径是平行虚轴的任一直线Re s=c.
页 退出
复数函数与积分变换
定理8.4
例8.19求
的Laplace逆变换.
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复数函数与积分变换
例8.20 此题也可用留数理论来做.
复变函数与积分变换第8章8-1 拉普拉斯变换
下面我们通过三个数学过程来引入Laplace变换:
(1) 将全空间(-∞,+∞)上的问题转化成半空间(0,+∞)上的问题.
1 t [0, ) 引进单位阶跃函数u(t ) , 构造函数 0 t ( ,0) g (t ) f (t )u(t ), t ( , )
像函数的微 分性质
前面，由已知函数f (t )，求它的像函数F ( s ).但在实际应用 中常见与此相反的问题 Laplace逆变换.
利用拉氏变 换的性质， 凑！！
s 1 , 求f (t ). 例3 已知f (t )的拉氏变换F ( s) ln s 1 解 1 1 ( s) F ( s) ln( s 1) ln( s 1) F s 1 s 1 根据像函数的微分性质: L [tf (t )] F ( s) 有 1 1 1 1 f (t ) L t s 1 s 1 1 t 1 t kt L [e ] (e e ) (Re( s) k ) t sk
f1 (t ) f 2 (t ) L 1[F1 ( s) F2 ( s)]
2
像原函数的延迟(时移)性质 若 F ( s) L [ f (t )] , 又当t 0时, f (t ) 0, 则对任意实数 0
L [ f (t )] e s F ( s ) L
m st
Re( s) 0
1 m st t m m 1 st t e |t 0 t e dt s s 0 m L [t m 1 ] s m( m 1) m2 L [t ] s2
m ( m 1) 2 m ( m 1) ] L [t m 1 s m ( m 1) 2 1 m! m m ] m 1 L [t m s s
《复变函数》第八章
st
n 0
处收敛，则这个积分在在 z s处发散，则当 z z 时, 级数 若级数 cn z n Re2 1上处处收敛, 且 2
n 0
由这个积分确定的函数 F ( s )在 Re s 1 上解析； n
如果 0
c z
n 0 n
发散.
f ( t )e st dt 在 s2 2 i 2 处发散, 则这个
1 1 e s 1 s 2 2 cth . s 1 e s 1 s 1 2
如果满足Laplace变换存在条件的函数 f ( t ) 在 t 0 处有界时，积分
L [ f ( t )]
0
f ( t )e dt
st
的下限取 0 或 0 不影响其结果. 如果在 t 0 处 包含单位脉冲函数 d ( t ), 积分理解为广义函数下 的积分时，取 0 与 0 是不同的. 因为
( 1) (Re s 0),
其中 ( 1)
x e x dx 是函数.
8.1.2 周期函数和d 函数的Laplace变换
设 f ( t )是以T 为周期的函数, 即
f ( t T ) f ( t ) ( t 0),
且在一个周期内分段连续，则
L [ f ( t )]
例8.4 求 f ( t ) t ( 1)的Laplace变换.
解 如果是正整数 m, 则由分部积分法, 易 求得
m! L t m 1 (Re s 0). s
m
当 1 不是正整数时, 利用复变函数论的 方法, 可求出
L [t ]
1 s
0
n 0
处收敛，则这个积分在在 z s处发散，则当 z z 时, 级数 若级数 cn z n Re2 1上处处收敛, 且 2
n 0
由这个积分确定的函数 F ( s )在 Re s 1 上解析； n
如果 0
c z
n 0 n
发散.
f ( t )e st dt 在 s2 2 i 2 处发散, 则这个
1 1 e s 1 s 2 2 cth . s 1 e s 1 s 1 2
如果满足Laplace变换存在条件的函数 f ( t ) 在 t 0 处有界时，积分
L [ f ( t )]
0
f ( t )e dt
st
的下限取 0 或 0 不影响其结果. 如果在 t 0 处 包含单位脉冲函数 d ( t ), 积分理解为广义函数下 的积分时，取 0 与 0 是不同的. 因为
( 1) (Re s 0),
其中 ( 1)
x e x dx 是函数.
8.1.2 周期函数和d 函数的Laplace变换
设 f ( t )是以T 为周期的函数, 即
f ( t T ) f ( t ) ( t 0),
且在一个周期内分段连续，则
L [ f ( t )]
例8.4 求 f ( t ) t ( 1)的Laplace变换.
解 如果是正整数 m, 则由分部积分法, 易 求得
m! L t m 1 (Re s 0). s
m
当 1 不是正整数时, 利用复变函数论的 方法, 可求出
L [t ]
1 s
0
复变函数与积分变换
f (z) A
那么称A为f (z) 当z 趋向z0时的极限，记作
lim f (z) A
zz0
z平面
w f (z)
w平面
几何意义：当变点z一旦进入z0的充分小的去心邻域时，它的 象点 f(z)就落入A的预先给定的小邻域内。
注意：z趋于z0的方式是任意的
关于极限的计算，有下面的定理。
4 )
n
wn1
r
1 n
(cos
2(n 1)
n
i sin
2(n 1) )
n
例： 3 8
8 23 (cos i sin )
3 8 2(cos 2k i sin 2k )
3
3 k 0,1,2
即
1 i 3 k 0
简单曲线： t1 t2 , z(t1 ) z(t2 ) （方向）
简单闭曲线： 没有交叉点。
光滑曲线： x(t), y(t)存在、连续且不全为零
（12）单连通区域 设D为复平面上的区域，若在D内的任意简单闭曲线的内部 仍属于D，则称D为单连通区域，否则称多连通区域。
平面图形的复数表示
复数的三角形式与指数形式
利用极坐标来表示复数z， 则复数 z 可表示为：
三角式： z rcos i sin
x r cos
y
r
sin
r
x2 y2
A
rctan
y
x
指数式： z rei
复数的四则运算
规定： z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
那么称A为f (z) 当z 趋向z0时的极限，记作
lim f (z) A
zz0
z平面
w f (z)
w平面
几何意义：当变点z一旦进入z0的充分小的去心邻域时，它的 象点 f(z)就落入A的预先给定的小邻域内。
注意：z趋于z0的方式是任意的
关于极限的计算，有下面的定理。
4 )
n
wn1
r
1 n
(cos
2(n 1)
n
i sin
2(n 1) )
n
例： 3 8
8 23 (cos i sin )
3 8 2(cos 2k i sin 2k )
3
3 k 0,1,2
即
1 i 3 k 0
简单曲线： t1 t2 , z(t1 ) z(t2 ) （方向）
简单闭曲线： 没有交叉点。
光滑曲线： x(t), y(t)存在、连续且不全为零
（12）单连通区域 设D为复平面上的区域，若在D内的任意简单闭曲线的内部 仍属于D，则称D为单连通区域，否则称多连通区域。
平面图形的复数表示
复数的三角形式与指数形式
利用极坐标来表示复数z， 则复数 z 可表示为：
三角式： z rcos i sin
x r cos
y
r
sin
r
x2 y2
A
rctan
y
x
指数式： z rei
复数的四则运算
规定： z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
复变函数与积分变换-第八章-Laplace变换
3)、Laplace变换与Fourier变换的关系
F (s) L [ f (t)] f (t)estdt 0 f (t )u(t )e te jwtdt F
[ f (t )u(t )e t ]
例1：求下述函数的 Laplace变换
（1）f
(t)
则 1）f (t)的 Laplace 变换 F (s) f (t ) estdt 在半平 0
面 Re s c上存在，右端积分在 Re s c1 c上绝对收敛 且一致收敛。
2）F(s)在 Re s c解析且
F (s) (t) f (t)estdt L [(t) f (t)] 0
0
证明： L [ f (t )] f (t )e stdt (k1)T f (t )e stdt
0
kT
k0
tkT
T f (kT )e s(kT )d
0
k0
k0
e
sTk
T f ( )es d
认定为包含在积分限内，因此，对于 (t)
L [ (t)]
பைடு நூலகம்
(t )e st dt
e st
1
0
t0
常见的基本Laplace变换对
(1)u(t )
L
1 s
, u(t )t m
L
m! sm1
(2)u( t )t
L
( 1)
s 1
(3)ekt L 1 sk
2）、位移性质
L [eat f (t)] F (s a)
( Re(s a) c)
第8章 拉普拉斯变换
0
的，故有界. 即存在常数 M ，对任意的 t 0 成立 | (t ) | M 因此，当 Re s 1 时
t
lim e
0
( s s1 ) t
(t ) 0
0
f (t )e dt
st
e ( s s1 )t (t )dt
( s s1 ) t 0 0
d M st t [ f (t )e ] dt Mte dt 2 所以 0 0 ds d 由此可见， [ f (t )e st ]dt 在半平面 Re s c1 c0 内也是绝 0 ds
.
对收敛并且一致收敛.
从而微分积分的次序可以交换，即
(t ) e
( s s1 )
1
0
(t )e ( s s )t dt
1
( s s1 )
(t )e ( s s )t dt
Re( s s1 ) 0 上收敛且为解析函数.（1）得证.
因右端积分
0
(t )e ( s s )t dt 绝对收敛，故左端积分在
st
这个积分在 Re s k 时收敛，而且有 1 ( s k ) t 0 e dt s k 1 kt 所以，L [e ] (Res k ).
sk
L [ f (t )]
0
e e dt
kt st
0
e ( s k )t dt.
本章从克服傅氏变换中两大缺点的讨论开始，引入拉氏变 换的概念，揭示拉氏变换和傅氏变换的关系，在给出一些常见 函数的拉氏变换后，再深入地研究拉氏变换的一系列的重要性 质. 最后讨论拉氏逆变换以及拉氏变换的一些重要应用.
的，故有界. 即存在常数 M ，对任意的 t 0 成立 | (t ) | M 因此，当 Re s 1 时
t
lim e
0
( s s1 ) t
(t ) 0
0
f (t )e dt
st
e ( s s1 )t (t )dt
( s s1 ) t 0 0
d M st t [ f (t )e ] dt Mte dt 2 所以 0 0 ds d 由此可见， [ f (t )e st ]dt 在半平面 Re s c1 c0 内也是绝 0 ds
.
对收敛并且一致收敛.
从而微分积分的次序可以交换，即
(t ) e
( s s1 )
1
0
(t )e ( s s )t dt
1
( s s1 )
(t )e ( s s )t dt
Re( s s1 ) 0 上收敛且为解析函数.（1）得证.
因右端积分
0
(t )e ( s s )t dt 绝对收敛，故左端积分在
st
这个积分在 Re s k 时收敛，而且有 1 ( s k ) t 0 e dt s k 1 kt 所以，L [e ] (Res k ).
sk
L [ f (t )]
0
e e dt
kt st
0
e ( s k )t dt.
本章从克服傅氏变换中两大缺点的讨论开始，引入拉氏变 换的概念，揭示拉氏变换和傅氏变换的关系，在给出一些常见 函数的拉氏变换后，再深入地研究拉氏变换的一系列的重要性 质. 最后讨论拉氏逆变换以及拉氏变换的一些重要应用.
拉普拉斯积分变换
§ 拉普拉斯(Laplace) 积分变换
1
一、拉氏变换
1． 拉氏变换的概念
定义 设函数 f (t)当 t 0 时有定义，而且积分
f (t)est dt
（s是一个复参量）
0
在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数
F (s) f (t)est dt 0
称为函数 f (t) 的拉普拉斯变换式（简称拉氏变换式）
34
此公式是一个复变函数的积分，通常计算起来 比较困难，但当F(s)满足一定条件时，可以用 留数学方法来计算这个反演积分，特别当F(s) 为有理函数时更为简单。
35
定理
若 s1, s2 , sn 是函数 F(s) 的所有奇点（适当选
取 使这些奇点全在 Re(s) 的范围内）， 且当 s 时，F(s) 0 ，则有
根据定义，利用积分性质就可推出这个性质。 此性质表明：函数线性组合的拉氏变换等于各 函数拉氏变换的线性组合。
13
b． 微分性质 L f (t) sF (s) f (0)
证 由定义并利用分部积分法得
L f (t) f (t)estdt 0
f (t)est
0
s
0
f (t)estdt
s L f (t) f (0)
L (t)
(t) est dt
0
(t) est dt 0
(t) est dt est
t0 1
10
例7 求函数 f (t) e t (t) e tu(t)( 0)
的拉氏变换。
解 L f (t) f (t) estdt 0 e t (t) e tu(t) estdt 0
(Re(s) c)
这个性质表明：一个函数求导后取拉氏变换 等于这个函数的拉氏变换乘以参变数s，再减 去函数的初值。
1
一、拉氏变换
1． 拉氏变换的概念
定义 设函数 f (t)当 t 0 时有定义，而且积分
f (t)est dt
（s是一个复参量）
0
在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数
F (s) f (t)est dt 0
称为函数 f (t) 的拉普拉斯变换式（简称拉氏变换式）
34
此公式是一个复变函数的积分，通常计算起来 比较困难，但当F(s)满足一定条件时，可以用 留数学方法来计算这个反演积分，特别当F(s) 为有理函数时更为简单。
35
定理
若 s1, s2 , sn 是函数 F(s) 的所有奇点（适当选
取 使这些奇点全在 Re(s) 的范围内）， 且当 s 时，F(s) 0 ，则有
根据定义，利用积分性质就可推出这个性质。 此性质表明：函数线性组合的拉氏变换等于各 函数拉氏变换的线性组合。
13
b． 微分性质 L f (t) sF (s) f (0)
证 由定义并利用分部积分法得
L f (t) f (t)estdt 0
f (t)est
0
s
0
f (t)estdt
s L f (t) f (0)
L (t)
(t) est dt
0
(t) est dt 0
(t) est dt est
t0 1
10
例7 求函数 f (t) e t (t) e tu(t)( 0)
的拉氏变换。
解 L f (t) f (t) estdt 0 e t (t) e tu(t) estdt 0
(Re(s) c)
这个性质表明：一个函数求导后取拉氏变换 等于这个函数的拉氏变换乘以参变数s，再减 去函数的初值。
08章 拉普拉斯变换
L
s [cos kt] s2 k 2
L
[shkt]
s2
k
k
2
(Re s Im k ) (Re s Re k )
L [chkt] s (Re s Re k )
s2 k2
(Re s Re k)
L
[tm ]
(m 1) sm1
m! sm1
(m非负整数, Re
s
0)
复变函数与积分变换
第8章 拉普拉斯变换
另外，在物理、线性控制等实际应用中，许多以时间为自 变量的函数，往往当t<0时没有意义，或者不需要知道t<0 时的情况，因此傅里叶变换要求的函数条件比较强，这就 限制了傅里叶变换应用的范围．
复变函数与积分变换
第8章 拉普拉斯变换 为了解决上述问题而拓宽应用范围，人们发现对于任意一个
实函数f(t)可以经过适当地改造以满足傅氏变换的基本条件．
复变函数与积分变换
第8章 拉普拉斯变换
g(t) et f (t), ( 0)
G() F [g(t)] g(t)eitdt f (t)e( i)tdt
0
0
上式即可简写为 拉普拉斯变换的核
F (s) f (t)estdt, ( s i) 0
G(ω)的 Fourier逆变换
(2)相似性质 L [ f (at)] 1 F ( s )
aa
证：令u=at
L
[ f (at)]
f (at)estdt
1
st
f (u)e a du
1
F(s)
0
0a
aa
复变函数与积分变换
第8章 拉普拉斯变换
例8.15 求拉氏变换 L [sin kt]
复变函数与积分变换-第八章-Laplace变换
e 2j
jkt
e st dt
例3： 解：
求函数 f (t ) t m （m为正整数）的 Laplace变换。
1 m st m 1 st [ t e mt e dt ] L [t ] t e dt | 0 0 0 s m m m 1 st [ t m 1］ (Re(s) 0) t e dt L ［ s s 0 m m( m 1) m m 1 m2 故 L [t ] L [t ] L [ t ] 2 s s m! m( m 1) 2 1 m 1 L [ u ( t )] s sm
证明：
L [u(t ) f (t )]
st
0
u(t ) f (t )e st dt
s ( x ) dx f ( t )e dt 0 f ( x )e
x t
e
s
0
f ( x )e
sx
0
t
称为函数 f1 ( t )和 f 2 ( t )的拉氏卷积，有时也记为 ( L ) f1 ( t ) f 2 ( t ) 。
2、拉氏卷积和傅氏卷积的关系
( L ) f1(t ) f 2 (t ) (F )[ f1(t )u(t )] [ f 2 (t )u(t )]
由于拉氏卷积和傅氏卷积本质上的一致性，与傅氏 卷积一样，拉氏卷积也具有交换律、结合律、分配律， 即：
1)、为什么要引入Laplace变换 经典Fourier变换的存在性定理要求原函数在实轴上
•
绝对可积，但许多常见函数并不满足该条件，例如sin t , cos t , t n。
复变函数课件-积分变换2-Laplace变换
优势
Laplace变换可以处理具有初始值的 问题，能够更好地揭示函数的整体性 质；傅里叶变换可以分析信号的频率 成分，便于频域分析和滤波器设计。
05 Laplace变换的进一步研 究
Laplace变换的扩展和推广
广义Laplace变换
在更广泛的函数空间中定义Laplace变换，包括允许有间断点的函 数。
边值问题
Laplace变换在求解某些微分方程的 边值问题时也很有用，可以将复杂的 微分方程简化为更易处理的代数方程 。
在控制系统中的应用
01
02
03
系统稳定性分析
通过Laplace变换，可以 分析控制系统的稳定性， 确定系统是否能够保持稳 定状态。
系统响应分析
利用Laplace变换，可以 计算系统在输入信号下的 响应，从而了解系统的动 态行为。
02
其中，F(s)是f(t)的Laplace变换， f'(t)表示f(t)的导数。
02 Laplace变换的逆变换
定义和性质
定义
Laplace逆变换是通过对Laplace 变换后的函数进行反演，得到原 函数的过程。
性质
Laplace逆变换具有线性性、时移 性、微分性等性质，这些性质在 求解逆变换时具有重要作用。
系统设计
在控制系统设计中， Laplace变换可以帮助设 计者分析系统的性能指标 ，优化系统设计。
在信号处理中的应用
信号的频域分析
通过Laplace变换，可以将 信号从时域转换到频域， 从而分析信号的频率成分 。
信号滤波和降噪
利用Laplace变换，可以对 信号进行滤波和降噪处理 ，提高信号的纯净度。
离散Laplace变换
将Laplace变换的概念扩展到离散时间序列，用于分析离散数据。
Laplace变换可以处理具有初始值的 问题，能够更好地揭示函数的整体性 质；傅里叶变换可以分析信号的频率 成分，便于频域分析和滤波器设计。
05 Laplace变换的进一步研 究
Laplace变换的扩展和推广
广义Laplace变换
在更广泛的函数空间中定义Laplace变换，包括允许有间断点的函 数。
边值问题
Laplace变换在求解某些微分方程的 边值问题时也很有用，可以将复杂的 微分方程简化为更易处理的代数方程 。
在控制系统中的应用
01
02
03
系统稳定性分析
通过Laplace变换，可以 分析控制系统的稳定性， 确定系统是否能够保持稳 定状态。
系统响应分析
利用Laplace变换，可以 计算系统在输入信号下的 响应，从而了解系统的动 态行为。
02
其中，F(s)是f(t)的Laplace变换， f'(t)表示f(t)的导数。
02 Laplace变换的逆变换
定义和性质
定义
Laplace逆变换是通过对Laplace 变换后的函数进行反演，得到原 函数的过程。
性质
Laplace逆变换具有线性性、时移 性、微分性等性质，这些性质在 求解逆变换时具有重要作用。
系统设计
在控制系统设计中， Laplace变换可以帮助设 计者分析系统的性能指标 ，优化系统设计。
在信号处理中的应用
信号的频域分析
通过Laplace变换，可以将 信号从时域转换到频域， 从而分析信号的频率成分 。
信号滤波和降噪
利用Laplace变换，可以对 信号进行滤波和降噪处理 ，提高信号的纯净度。
离散Laplace变换
将Laplace变换的概念扩展到离散时间序列，用于分析离散数据。
Laplace变换
4
拉氏变换存在条件
当 0 时 lim f ( t )e t 0
t t 在 0的全部范围内收敛，即 f ( t ) e dt 存在， 0
则 f ( t )e
t
f ( t )可进行拉氏变换。
j
收敛轴
不同的 f (t)，0的值不同，称 0为复平面s内的收敛横坐标。
31
证明
f1 ( t ) * f 2 ( t ) f1 ( ) f 2 ( t )d
0
t
令 Y ( s) F1 ( s)F2 ( s)
F1 ( s ) f1 ( t )e st dt F2 ( s ) f 2 ( t )e st dt
0 0
Y ( s ) F1 ( s ) f 2 ( )e s d
st
1 , Re(s) 0 s
1 即：L[1] , Re( s) 0. s
8
一般规定：在拉氏变换中f (t )均理解为：f (t ) 0，t 0.
1 即写下f (t ) sin t时，理解为f (t ) u(t )sin t，象函数F ( s) ， Re( s) 0 s
0
1 , Re(s) 0 s
1 即：L[u (t )] , Re( s) 0； s
1/s的拉氏逆 变换为哪 个？？？
0
1 (2) L[sgn t ] (sgn t )e dt e st dt e st 0 0 s 1 即：L[sgn t ] , Re( s) 0； s 1 1 (3) L[1] e st dt e st 0 , Re(s) 0 0 s s
m 0
拉氏变换存在条件
当 0 时 lim f ( t )e t 0
t t 在 0的全部范围内收敛，即 f ( t ) e dt 存在， 0
则 f ( t )e
t
f ( t )可进行拉氏变换。
j
收敛轴
不同的 f (t)，0的值不同，称 0为复平面s内的收敛横坐标。
31
证明
f1 ( t ) * f 2 ( t ) f1 ( ) f 2 ( t )d
0
t
令 Y ( s) F1 ( s)F2 ( s)
F1 ( s ) f1 ( t )e st dt F2 ( s ) f 2 ( t )e st dt
0 0
Y ( s ) F1 ( s ) f 2 ( )e s d
st
1 , Re(s) 0 s
1 即：L[1] , Re( s) 0. s
8
一般规定：在拉氏变换中f (t )均理解为：f (t ) 0，t 0.
1 即写下f (t ) sin t时，理解为f (t ) u(t )sin t，象函数F ( s) ， Re( s) 0 s
0
1 , Re(s) 0 s
1 即：L[u (t )] , Re( s) 0； s
1/s的拉氏逆 变换为哪 个？？？
0
1 (2) L[sgn t ] (sgn t )e dt e st dt e st 0 0 s 1 即：L[sgn t ] , Re( s) 0； s 1 1 (3) L[1] e st dt e st 0 , Re(s) 0 0 s s
m 0
Laplace变换
1 d2 1 d2 1 3 3 K13 [ F (s)(s 2) ] [ ] s 2 2! ds2 2! ds2 s(s 3) s 2 8
K 4 F ( s ) s s 0
1 ( s 2) 3 ( s 3)
s 0
1 24
K 5 F ( s)(s 3) s 3
K为待定系数， 1 d i 1 K 1i F ( s )(s p1 ) r (i 1)! dsi 1 K j F ( s )(s p j )
s p1
s p j
K K 12 r 2 F ( s ) 11 t r 1 t K 1r e p1t K r 1e pr 1t K r 2 e pr 2t K n e pnt (r 1)! (r 1)!
f (0 ) lim f (t ) lim sF ( s)
t 0 s
证明从略。
16
五、Laplace反变换的数学方法
1、查表法 2、有理函数法 3、部分分式法 这里只介绍部分分式法。 一般F(s)是复数s的有理代数式，可表示 为： B( s) b s b s b
1 s( s 2) 3
3
s 3
f (t )
1 3 1 1 (t t 2 )e 2t e 3t 4 2 3 24
22
该定理说明如果时域函数 f (t ) 平移， 则相当于复域中的像函数乘以 e s 。 5、复数域的位移性质 L[e at f (t )] F (s a) L[ f (t )] F (s) 若 ，则
14
6、终值定理 若函数 f (t ) 及其一阶导数都是可拉氏变 换的，则 f (t ) 的终值为 lim f (t ) lim sF (s)
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定理8.1（Laplace变换存在定理）若函数f(t)满足下列条件： ① t≥0的任一有限区间上分段连续； ② f(t)是指数级函数.
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复数函数与积分变换
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则f(t)的Laplace变换在半平面Re s≥σ 1>σ 上一定存在，在此区域上积分
绝对收敛而且一致收敛，同时F(s)为解析函数.
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例8.10求f(t)=tm的Laplace变换：(1)m为正整数；(2)实数m>－1.
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(3)像函数的微分性质
例8.11求函数f(t)=tekt的Laplace变换.
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复数函数与积分变换
(4)原函数的积分性质
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(5)像函数的积分性质
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例8.12求函数
的Laplace变换.
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复数函数与积分变换
像函数的积分性质常常用于求广义积分，因为
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例8.13计算积分 解利用像函数的积分性质，并注意解析函数的积分与路径无关，得
例8.14计算积分 解由像函数的积分性质，并注意解析函数的积分与路径无关，得
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(6)位移性质
这个性质表明了一个原函数乘以指数函数 的Laplace变换等于其像函数 作位移a. 例8.15 这个性质表明时间函数f(t)推迟τ 个单位的Laplace变换等于它的像函数乘 以指数因子e－sτ ，这个性质在工程技术中也称为时移性.
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14.计算下列积分.
15.求下列卷积.
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16.利用卷积定理证明 17.利用卷积定理证明
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18.试求下列积分方程的解.
19.设在原处质量为m的一质点在t=0时，在x方向上受到冲击力kδ (t)
的作用，其中k为常数，假定质点的初速度为零，求其运动规律.
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定义8.1如果在实变数t≥0上有定义的函数f(t)使积分
在s的某一区域内收敛，则此积分所确定的函数
为函数f(t)的Laplace变换（或称为像函数），记为F(s)=L［f(t)］=f(s). 若F(s)是f(t)的Laplace变换，则称f(t)为F(s)的Laplace逆变换（或称为 像原函数），记为f(t)=L－1［F(s)］.
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复数函数与积分变换
例8.29
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例8.30一质量为m的质点,受吸引力F1=kx(k>0)的作用沿x轴接近原点,同时受
阻尼力
的作用,求质点的运动位移,假设x(0)=x0，x′(0)=v0.
解建立质点的运动方程为
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例8.1求单位阶跃函数 解
的Laplace变换.
例8.2求函数f(t)=t的Laplace变换. 解
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例8.3求指数函数
(k为实数或复数)的Laplace变换.
解由Laplace变换的定义知
这个积分在Re s>Re k时收敛，而且有
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第8章 Laplace变换
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复数函数与积分变换
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Laplace变换是另一种积分变换，它在理论上及各种数学物理问题中都有重
要应用.
8.1Laplace变换的概念
我们对某些函数φ (t)进行适当的改造使其进行Fourier变换时克服上述两个
缺点.首先，根据Heaviside函数H(t)的特点，乘积φ (t)H(t)可使积分区间
（7）延迟性质
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例8.16求如图8.2所示的阶梯函数f(t)拉氏变换.
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图8.2
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(8)相似性质
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因为函数f(at)的图形可由f(t)的图形沿t轴正向经相似变换而得，所 以这个性质称为相似性质. 例8.17设L［f(t)］=F(s)，求L［f(at－b)］,其中a>0,b≥0.
该公式也称为Laplace反演公式，右端的积分称为Laplace反演积分,这里的 积分路径是平行虚轴的任一直线Re s=c.
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定理8.4
例8.19求
的Laplace逆变换.
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例8.20 此题也可用留数理论来做.
例8.21
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(2) 原函数的微分性质
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这个性质使f(t)的微分方程转为F(s)的代数方程，因此它对分析线性系统有 着重要作用.现在利用它推算一些函数的Laplace变换. 例8.9利用Laplace变换的性质求f(t)=cos kt的Laplace变换。
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由(－∞,+∞)换成(0,+∞)；其次是指数衰减函数
所具有的特点
，一般地，乘积
可使其变得绝对可积. 从而，对于乘积
，只要β 选得适当，一般说来，这个函数的Fourier变换存在，得
其中，f(t)=φ (t)H(t),s=β +iω ，这就导出了一种新的积分变换—— Laplace变换.
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复数函数与积分变换
在证明过程中，要用到含参积分一致收敛的一个充分条件，先叙述如下：
若存在函数φ (t)使|g(t,s)|<φ (t),而积分
收敛(a,b可为无限),
则积分
在某一闭区域内一定是绝对收敛，并且一致收敛的.
证由条件(2)知，对任意t≥0有
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这表明F(s)在Re s>σ 内是可微的，所以F(s)在Re s>σ 内是解析的.
20.某系统的传递函数
, 求当激励x(t)=A sin ω t时的系
统响应y(t).
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满足Laplace变换存在定理条件的函数f(t)在t=0处为有界时，积分
中的下限取0+或0－不会影响其结果.但当f(t)在t=0处包含了δ 函数时就需 要区分积分区间是否包含了t=0这一点，若包含了t=0这一点，常将积分下限 记为0－，否则记为0+，相应的Laplace变换分别记为
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8.3Laplace变换的逆变换 定理8.3若函数f(t)满足Laplace变换存在定理的条件，L［f(t)］=F(s)，则 L－1［F(s)］由下式给出
这就得到了从像函数F(s)求它的像原函数f(t)的一般公式：
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复数函数与积分变换出版来自 理工分社页 退出复数函数与积分变换
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图8.1
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8.2Laplace变换的性质 利用Laplace变换的定义及查Laplace变换表可以求一些常见函数的Laplace 变换。 (1) 线性性质
这个性质表明函数线性组合的Laplace变换（或逆变换）等于各函数 Laplace变换（或逆变换）的线性组合，它的证明只须根据定义及积分的性 质即可推出.
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复数函数与积分变换
例8.4求δ 函数δ (t)的Laplace变换. 解 例8.5 解 下面再看一些例子.
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例8.6求正弦函数f(t)=sin kt(k为实数)的Laplace变换. 解利用Laplace变换定义，得
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其中常数a,h及函数g(t)为已知，当t<0时,g(t)=0. 解对方程两边取Laplace变换，得
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当k足够大时,t－kh<0,从而g(t－kh)=0,对确定的t，级数只有有限项，而不 是无限项. Laplace变换在力学、电学等方面的应用例子很多，在此列举一 部分供读者参考.解题的关键是建立正确的微分方程和确定的初始条件，然 后用Laplace变换化为代数方程求解，将结果再进行Laplace逆变换，就可得 出原问题的解.
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