高中数学第2章4导数的四则运算法则课时作业北师大版选修2-2

【成才之路】-高中数学 第2章 4导数的四则运算法则课时作业
北师大版选修2-2
一、选择题
1．已知f (x )＝x 2
＋2x ·f ′(1)，则f ′(0)等于( ) A ．2 B ．－2 C ．－4 D ．0
[答案] C
[解析] f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，于是f ′(1)＝2＋2f ′(1)，则f ′(1)＝－2， 故得f ′(x )＝2x －4，因此f ′(0)＝－4.故选C ．
2．曲线y ＝x 3
＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15
[答案] C
[解析] 本题考查导数几何意义，求导公式等知识．导数基本运算及应用是每年必考内容．
由y ＝x 3
＋11知y ′＝3x 2
，所以y ′|x ＝1＝3，所以过点P (1,12)的切线方程为y －12＝3(x －1)，即3x －y ＋9＝0，令x ＝0易知选C ．
3．(2019·山师附中高二期中)设f (x )＝sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4处的导数f ′(π4)
＝( )
A ． 2
B ．－ 2
C ．0
D ．
22
[答案] A
[解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ， ∴f ′(π4)＝cos π4＋sin π
4＝2，故选A ．
4．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2
B ．e
C ．ln2
2
D ．ln2
[答案] B
[解析] 因为f ′(x )＝(x ln x )′＝ln x ＋1，所以f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2， 所以ln x 0＝1，即x 0＝e.故选B.
5．若函数y ＝x ·2x
且y ′＝0，则x 的值为( ) A ．－1
ln 2
B ．1
ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2
[答案] A
[解析] y ′＝2x ＋x ·2x
ln 2，由y ′＝0，得x ＝－1ln 2.
二、填空题
6．(2019·杭州质检)若f (x )＝x 2
－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为________． [答案] (2，＋∞)
[解析] 由f (x )＝x 2
－2x －4ln x ，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －2－4x
＝2x 2
－2x －4x ＝2·x 2
－x －2x
＝2·
x ＋1x －2x
，f ′(x )>0，解得x >2，故f ′(x )>0
的解集为(2，＋∞)．
7．已知曲线y ＝x 2
4的一条切线的斜率为1
2，则切点的横坐标为________．
[答案] 1
[解析] 已知曲线y ＝x 2
4的一条切线的斜率为12，令y ′＝12x ＝1
2，则x ＝1，即切点的横
坐标为1.
8．(2019·江西理，13)若曲线y ＝e －x
上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点
P 的坐标是________．
[答案] (－ln2,2)
[解析] 依题意，设P 点为(x 0，y 0)，又y ′＝－e －x
， 所以y ′|x ＝x 0＝－e －x 0＝－2， 解得x 0＝－ln2，y 0＝2，即P (－ln2,2)． 三、解答题
9．若函数f (x )＝x －sin x 2cos x
2
的导数为g (x )，求函数g (x )的最小值． [解析] 由于f ′(x )＝(x －sin x 2cos x 2)′＝(x －12sin x )′＝1－1
2
cos x ，
所以g (x )＝1－1
2
cos x ，又－1≤cos x ≤1，
故函数g (x )的最小值等于1
2
.
10．已知曲线C ：y ＝3x 4
－2x 3
－9x 2
＋4. (1)求曲线C 上横坐标为1的点的切线的方程； (2)第(1)小题中切线与曲线C 是否还有其他公共点？ [解析] (1)把x ＝1代入C 的方程，求得y ＝－4， ∴ 切点为(1，－4)，y ′＝12x 3
－6x 2
－18x ， ∴切线斜率为k ＝12－6－18＝－12.
∴切线方程为y ＋4＝－12(x －1)，即y ＝－12x ＋8.
(2)由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝3x 4
－2x 3
－9x 2
＋4，y ＝－12x ＋8
得3x 4
－2x 3
－9x 2＋12x －4＝0， ∴(x －1)2
(x ＋2)(3x －2)＝0， ∴x ＝1，－2，23
.
代入y ＝3x 4
－2x 3
－9x 2
＋4， 求得y ＝－4,32,0，
即公共点为(1，－4)(切点)，(－2,32)，(2
3，0).
∴除切点外，还有两个交点(－2,32)、(2
3
，0).
一、选择题
1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( )
A ．e －1
B ．－1
C ．－e －1
D ．－e
[答案] C
[解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，
∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，解得f ′(e)＝－1
e .故选C ．
2．若函数f (x )＝e x
sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A ．π
2
B ．0
C ．钝角
D ．锐角
[答案] C
[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin 4＋cos 4)＝2e 4
sin(4＋π4)<0，故
倾斜角为钝角．故选C ．
3．(2019·山师附中高二期中)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3
＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( )
A ．2
B ．－1
C ．1
D ．－2
[答案] C
[解析] 由条件知，点A 在直线上，∴k ＝2，又点A 在曲线上，∴a ＋b ＋1＝3，∴a ＋
b ＝2.由y ＝x 3＋ax ＋b 得y ′＝3x 2＋a ，∴3＋a ＝k ，∴a ＝－1，∴b ＝3，∴2a ＋b ＝1.
4.已知点P 在曲线y ＝4
e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围
是( )
A ．[0，π
4)
B ．[π4，π2)
C ．(π2，3π4]
D ．[3π
4
，π)
[答案] D
[解析] 考查导数的几何意义、均值不等式及三角不等式 解析：y ′＝－4e x
e x
＋12
∴tan α＝－4e
x
e x
＋1
2
＝－
4e x
e
x
2＋2e x
＋1＝－4
e x
＋1e
x ＋2
∵e x ＞0∴e x
＋1e x ≥2(当且仅当x ＝0时取等号)
∴e x
＋1e x ＋2≥4，∴0＜4e x
＋1e x ＋2
≤1
∴－1≤tan α＜0
∵α∈[0，π)，∴α∈[3
4π，π)，故选D
二、填空题
5．已知P 、Q 为抛物线x 2
＝2y 上两点，点P 、Q 的横坐标分别为4、－2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．
[答案] －4
[解析] 本题考查导数的几何意义． 由题意知：P (4,8)，Q (－2,2)，y ′＝x ， ∴切线斜率k ＝4或k ＝－2.
L AP ：y －8＝4(x －4)，L AQ ：y －2＝－2(x ＋2)联立消去x ，
得y ＝－4.
注意在切线问题中常常用导数的几何意义． 6．(2019·广东理，10)曲线y ＝e －5x
＋2在点(0,3)处的切线方程为________．
[答案] y ＝－5x ＋3 [解析] ∵y ＝e
－5x
＋2，∴y ′＝－5e
－5x
|x ＝0＝－5.
∴k ＝－5，又过点(0.3)， ∴切线方程y －3＝kx ＝－5x ， ∴y ＝－5x ＋3，注意导数的几何意义． 三、解答题
7．偶函数f (x )＝ax 4
＋bx 3
＋cx 2
＋d x ＋e 的图像过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为
y ＝x －2，求y ＝f (x )的解析式．
[解析] ∵f (x )的图像过点P (0,1)，∴e ＝1. 又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．
故ax 4
＋bx 3
＋cx 2
＋d x ＋e ＝ax 4
－bx 3
＋cx 2
－d x ＋e . ∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4
＋cx 2
＋1.
∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2， ∴切点为(1，－1)． ∴a ＋c ＋1＝－1.
∵f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1. ∴a ＝52，c ＝－92
.
∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2
＋1.
8.求过原点作曲线C ：y ＝x 3
－3x 2
＋2x －1的切线方程．
[分析] 因为C 不过原点，所以切点不为原点，应另设切点，再用导数几何意义求切线方程．
[解析] 设切点为(x 0，y 0)， ∵y ′＝3x 2
－6x ＋2， ∴切线斜率为3x 2
0－6x 0＋2，
∴切线方程为y －y 0＝(3x 2
0－6x 0＋2)(x －x 0) ∵切点在曲线C 上，
∴y 0＝x 30－3x 2
0＋2x 0－1， ①
又切线过原点，
∴－y 0＝(3x 2
0－6x 0＋2)(－x 0)， ②
由①②得0＝－2x 3
0＋3x 2
0－1， ∴2x 3
0－3x 2
0＋1＝0，
因式分解得：(x 0－1)2
(2x 0＋1)＝0 ∴x 0＝1或x 0＝－1
2
，
∴两个切点为(1，－1)，(－12，－23
8
)
∴两条切线方程为y ＋1＝－1(x －1)和y ＋238＝234(x ＋1
2)
即x ＋y ＝0或23x －4y ＝0.
[点评] 过曲线外一点作切线，应是设切点坐标，利用导数求切线方程，再列关于切点横坐标的方程，求解．。