几种网络最大流算法比较
最大流算法研究FordFulkerson和EdmondsKarp算法
最大流算法研究FordFulkerson和EdmondsKarp算法最大流算法是图论中一个重要的概念和研究领域，它用于解决网络流问题。
在最大流问题中，我们需要找到从源节点到汇节点的最大流量，以便在网络中实现最优的数据传输。
本文将研究两种经典的最大流算法：FordFulkerson算法和EdmondsKarp算法。
1. FordFulkerson算法FordFulkerson算法是由L.R.Ford Jr.和D.R.Fulkerson于1956年提出的经典算法。
该算法基于贪心思想，通过不断寻找增广路径来逐步增加流量，直到达到最大流。
算法步骤如下：1.1 初始化网络中的流量为0。
1.2 找到一条从源节点到汇节点的增广路径。
1.3 计算增广路径上的最小容量。
1.4 将最小容量加到网络中的流量上，并更新相关边的残余容量。
1.5 重复步骤2和步骤3，直到无法找到增广路径。
FordFulkerson算法的核心思想是不断寻找增广路径，并在每次找到增广路径时增加流量，直到无法找到增广路径为止。
该算法的时间复杂度取决于增广路径的数量和最大容量的大小，最坏情况下可以达到O(E|f*|)，其中E是网络中的边数，|f*|是最大流的大小。
2. EdmondsKarp算法EdmondsKarp算法是FordFulkerson算法的一个改进版本，由J.Edmonds和R.Karp于1972年提出。
该算法利用广度优先搜索来寻找增广路径，从而减少了搜索路径的数量，提高了算法的效率。
算法步骤如下：2.1 初始化网络中的流量为0。
2.2 使用广度优先搜索来寻找从源节点到汇节点的最短增广路径。
2.3 计算增广路径上的最小容量。
2.4 将最小容量加到网络中的流量上，并更新相关边的残余容量。
2.5 重复步骤2和步骤3，直到无法找到增广路径。
EdmondsKarp算法的核心思想是利用广度优先搜索来寻找增广路径，从而减少搜索路径的数量，提高算法的效率。
最大流问题的求解方法及应用
最大流问题的求解方法及应用
最大流问题，是指在一个有向图中，从源点 s 到汇点 t 的最大
流量。
在实际应用中，最大流问题往往用于描述网络传输、油管输送等流量分配问题。
求解最大流问题的方法包括以下几种：
1. 网络流算法：这是一种基于图论和线性规划的算法。
通过构建网络流图，将最大流问题转化为最小割问题，再利用线性规划求解最小割问题的对偶问题来求解最大流问题。
2. 增广路算法：这是一种经典的最大流算法，其基本思想是不断找到增广路径，即从源点 s 到汇点 t 的一条路径，沿途边权
均有剩余容量，使得该路径上的边的剩余容量中的最小值最大化，最终得到最大流。
3. 矩阵树定理：这是一种基于图论和矩阵运算的算法，适用于有向图和无向图。
通过计算图的拉普拉斯矩阵的行列式等方法，求得图的生成树个数，从而计算最大流。
4. Dinic算法：是对增广路算法的改进。
在增广路算法中，每
次查找增广路径的过程需要遍历整个图，为了提高效率，
Dinic算法引入了分层图的概念，将图分层之后只在图的一层
中查找增广路径，最终求得最大流。
这些方法在实际应用中常常被用来解决路由选择、网络流量优化、模拟电路分析等问题。
例如，最大流可以被用来优化数据传输、流水线设计、流量管道的运营和管理，提高资源利用率和数据传输速度。
最大流问题解题步骤
最大流问题解题步骤一、什么是最大流问题？最大流问题是指在一个有向图中，给定源点和汇点，每条边都有一个容量限制，求从源点到汇点的最大流量。
该问题可以用于网络传输、电力调度等实际应用中。
二、最大流问题的解法1. 增广路算法增广路算法是最基本的解决最大流问题的方法。
其基本思想是不断地寻找增广路，并将其上的流量加入到原来的流中，直到不存在增广路为止。
具体步骤如下：（1）初始化网络中各边上的流量均为0；（2）在残留网络中寻找增广路；（3）如果存在增广路，则将其上的最小剩余容量作为增量加入到原来的流中；（4）重复步骤2和步骤3，直到不存在增广路。
2. Dinic算法Dinic算法是一种改进型的增广路算法，其核心思想是通过层次分析和分层图来减少搜索次数，进而提高效率。
具体步骤如下：（1）构建分层图；（2）在分层图上进行BFS搜索寻找增广路径；（3）计算路径上可行流量并更新残留网络；（4）重复步骤2和步骤3，直到不存在增广路。
3. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是一种基于增广路的算法，其核心思想是不断地寻找增广路，并将其上的流量加入到原来的流中，直到不存在增广路为止。
具体步骤如下：（1）初始化网络中各边上的流量均为0；（2）在残留网络中寻找增广路；（3）如果存在增广路，则将其上的最小剩余容量作为增量加入到原来的流中；（4）重复步骤2和步骤3，直到不存在增广路。
三、最大流问题解题步骤1. 确定源点和汇点首先需要确定问题中的源点和汇点，这是解决最大流问题的前提条件。
2. 构建残留网络在有向图中，每条边都有一个容量限制。
我们可以将这些边看作管道，容量看作管道的宽度。
在实际传输过程中，某些管道可能已经被占用了一部分宽度。
因此，在求解最大流问题时，需要构建一个残留网络来表示哪些管道还能够继续传输数据。
具体方法是：对于每条边(u,v)，分别构造两条边(u,v)和(v,u)，容量分别为c(u,v)-f(u,v)和f(u,v)，其中c(u,v)表示边的容量，f(u,v)表示当前流量。
最大流常见算法
最大流常见算法最大流问题是图论中的一个重要问题，其求解方法有多种，本文将介绍最常见的几种算法。
一、最大流问题简介最大流问题是在一个网络中寻找从源点到汇点的最大流量的问题。
网络是由一些节点和连接这些节点的边构成的，每条边都有一个容量，表示该边所能承载的最大流量。
源点是流量的起点，汇点是流量的终点。
在网络中，还可能存在其他节点和边。
二、Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最早用于解决最大流问题的算法之一。
该算法基于增广路径来不断增加流量，直到无法再找到增广路径为止。
1. 算法步骤（1）初始化：将所有边上的流量设为0。
（2）寻找增广路径：从源点开始进行深度优先或广度优先搜索，在搜索过程中只选择剩余容量不为0且没有被标记过的边，并记录路径上容量最小值min。
（3）更新路径上各个边上的流量：将路径上各个边上的流量加上min。
（4）返回第二步，直到无法找到增广路径为止。
2. 算法分析Ford-Fulkerson算法可以保证在有限步内求解出最大流，但是其时间复杂度与增广路径的选择有关，最坏情况下可能需要指数级的时间复杂度。
三、Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是基于Ford-Fulkerson算法的一种改进算法。
该算法使用BFS来寻找增广路径，可以保证在多项式时间内求解出最大流。
1. 算法步骤（1）初始化：将所有边上的流量设为0。
（2）寻找增广路径：从源点开始进行BFS，在搜索过程中只选择剩余容量不为0且没有被标记过的边，并记录路径上容量最小值min。
（3）更新路径上各个边上的流量：将路径上各个边上的流量加上min。
（4）返回第二步，直到无法找到增广路径为止。
2. 算法分析Edmonds-Karp算法相对于Ford-Fulkerson算法来说，在同样的网络中，其时间复杂度更低，可以保证在O(VE^2)的时间内求解出最大流。
但是在某些特殊情况下仍然可能需要指数级时间复杂度。
网络流——求网络最大流
4 1 4 8
4 2 2 6
7
9
(1,4) V2 (0,+∞) V1
(2,4) V4 (4,4) V6
(1,8)
V3
V5 (2,1)
4 1 4 8
4 2 2 6
7
9
(-4,2) V2 (0,+∞) V1 4 4
(3,2) V4 4
(4,2) V6
(1,8)
V3
V5 (3,2)
4 1 4 8
4 2 2 6
7
9
(5,2) V2 (0,+∞) V1 2 4 4 V4 6
(5,2) V6
2
(1,6)
V3
V5 (3,2)
4 1 4 8
4 2 2 6
7
9
V2 (0,+∞) V1 4 4
4
V4
6 V6 2
2 2
(1,4)
V3
V5
存储结构
const maxn=100; type nodetype=record{可改进路顶点类型 可改进路顶点类型} 可改进路顶点类型 l,p:integer;{标号、检查标志 标号、 标号 检查标志} end; arctype=record{网顶点类型 网顶点类型} 网顶点类型 c,f:integer;{容量、流量 容量、 容量 流量} end; gtype=array[0..maxn,0..maxn] of arctype; ltype=array[0..maxn] of nodetype; var lt:ltype; g:gtype; n,s,t:integer;{顶点数、源点、汇点 顶点数、 顶点数 源点、汇点} f:text;
增广后的F
网络流最大流算法
• 复杂度：在一定基础上可达O(mn log n)， 其中，n为点数、mple
• Dinic算法的Example
Fujishige algorithm
• 传说中的弱多项式算法
– 对简单有向图G以及整容量可在O(mnlog u max ) 时间内正确求解最大流问题，其中n为点数、 m为边数、u max为最大边容量（详见课本153）
– 2、活动点(active)：除s、t外，流入>流出的 点（即超出量>0的点）
Push–relabel maximum flow algorithm （推流-重标算法）
• Definition：
– 3、距离标号(distance labels, or heights):
• a、h(s)=n,h(t)=0；（s和t的标号是固定的） • b、剩余图中的所有边(u,v)，有h(u)<=h(v)+1；
Dinic's algorithm
• Definition：
– 阻塞流(blocking flow)：
• 网络(G,u,s,t)对应的分层图中所有可扩路的并，即 为阻塞流
Dinic's algorithm
• 算法步骤：
– 1、令所有边的流量f=0； – 2、构造剩余图的分层图(level graph) – 3、在分层图中求一个阻塞的s-t流(the blocking flow)f'，若f'=0，则止 – 4、用f'对f扩充，转2
Theorem
• 网络N(G,u,s,t)中的可行流f是N的最大流当 且仅当N中不存在f可扩路
– 必要性：若有可扩路P，沿P使f扩大即可 – 充分性：设网络中不存在可扩路
• 令S = {v∈V(G)|从源s到v有f可扩路}∪{s}，则与最 大流最小割定理同样可证K' = (S,T)是网络中的一个 割，且value(f) = cap(K') • 设F为最大流，K为最小割，则value(f) <= value(F) <= cap(K) <= cap(K') • 故f即为最大流，K'即为最小割
关于求网络最大流问题的另一种图解法
ｌ ２
ｌ
３
５
。 卜Ｖ 、 ｌ —２ ＿『 — 呻 ◆
ｌ
Ｔ Ｖ ． ｔ ｔ ５ ｜
ｌ 一
Ｖ’ ｕ ｆ
Ｉ
ｌ ｌ
ｌ ３
ｌ ０
ｌ ０
ｌ ｌ
约束条件：ｆ２ ｆ３ ｆ５ １Ｔ２＋２ ， Ｍ
丹络 最 大漉问题 是 丹络 问题 中的一 类经典 问
题 ，对于 这类 问题 ，可以根据 题 意建 立 线性 规 划模型 ，运 用运筹 学软件 求解 ，也 可以 用
综 上 ，我 们 可 以 得 到 这 种 解 法 的 一 般 步骤 ： ｌ 、按 照 流 量 从 低级 流 向高 级 的 原 则 将 不同节 点 划分 为不 同等级 ， 不宜划分 者 ，可以按标 号由４ Ｎ大的顺序排 列成由 － ， 低到 高 。 ２、按 原 题 意标 画出 各 个支 路 及流
校管 理运筹学 教材 （ 管理运 筹学 高等 教育 出版社 ，韩 伯棠 ）给最大流问题的定
义是 ：给 了一个带收发点的网络 ，其每条 弧的赋权称之为容量 ，在不超过每条弧容 量 的 前 提 下 ，求 出从 发 点 到 收 点 的 最 大 容
量 。
Ｌ
， 。
【】 １， 韩伯棠． 管理运筹学． 高等教育 出版杠
Ｌ
对这类问题 ，可以对系统建立线性规 划模型 ，利用软件求解 ；亦可用教材提供 的 网络 图论 解 法 求 解 。 笔 者 在 练 习 过 程 中，发现 了另外一种 图解法 ，下面进行简 单 说 明 ，以教 材提 供 例题 为例 。 例题 某石油公司拥 有一个管道网络 ， 使用这 个网络可以把石油从采地运送到一 些 销售 点 。这 个网络 的 一部分 如 图 ｌ所 示 ，由于管道的直径的变化 ，它的 各段管 道 （ ， ）的流 量 （ Ｖｉ Ｖｊ 容量 ）Ｃｉ 也是 不 ｊ
最大流问题的几种经典解法综述
最⼤流问题的⼏种经典解法综述⼀、什么是最⼤流问题假设现在有⼀个地下⽔管道⽹络，有m根管道，n个管道交叉点，现在⾃来⽔⼚位于其中⼀个点，向⽹络中输⽔，隔壁⽼王在另外⼀个点接⽔，已知由于管道修建的年代不同，有的管道能承受的⽔流量较⼤，有的较⼩，现在求在⾃来⽔⼚输⼊的⽔不限的情况下，隔壁⽼王能接到的⽔的最⼤值？为解决该问题，可以将输⽔⽹络抽象成⼀个联通的有向图，每根管道是⼀条边，交叉点为⼀个结点，从u流向v的管道能承受的最⼤流量称为容量，设为cap[u][v]，⽽该管道实际流过的流量设为flow[u][v]，⾃来⽔⼚称为源点s，隔壁⽼王家称为汇点t，则该问题求的是最终流⼊汇点的总流量flow的最⼤值。
⼆、思路分析关于最⼤流问题的解法⼤致分为两类：增⼴路算法和预流推进算法。
增⼴路算法的特点是代码量⼩，适⽤范围⼴，因此⼴受欢迎；⽽预流推进算法代码量⽐较⼤，经常达到200+⾏，但运⾏效率略⾼，如果腹⿊的出题⼈要卡掉⼤多数⼈的code，那么预流推进则成为唯⼀的选择。
( ⊙ o ⊙ )咳咳。
先来看下增⼴路算法：为了便于理解，先引⼊⼀个引理：最⼤流最⼩割定理。
在⼀个连通图中，如果删掉若⼲条边，使图不联通，则称这些边为此图的⼀个割集。
在这些割集中流量和最⼩的⼀个称为最⼩割。
最⼤流最⼩割定理：⼀个图的最⼤流等于最⼩割。
⼤开脑洞⼀下，发现此结论显⽽易见，故略去证明（其实严格的证明反⽽不太好写，但是很容易看出结论是对的，是吧）。
这便是增⼴路算法的理论基础。
在图上从s到t引⼀条路径，给路径输⼊流flow，如果此flow使得该路径上某条边容量饱和，则称此路径为⼀条增⼴路。
增⼴路算法的基本思路是在图中不断找增⼴路并累加在flow中，直到找不到增⼴路为⽌，此时的flow即是最⼤流。
可以看出，此算法其实就是在构造最⼩割。
增⼴路算法⽽预流推进算法的思路⽐较奇葩（没找到⽐较好的图，只能⾃⾏脑补⼀下了。
= =#）：先将s相连的边流⾄饱和，这种边饱和的结点称为活动点，将这些活动点加⼊队列，每次从中取出⼀个点u,如果存在⼀个相邻点v是⾮活动点，则顺着边u->v 推流，直到u变为⾮活动点。
求解最大流问题的算法和模型
求解最大流问题的算法和模型最大流问题是图论中的一个基本问题，涉及到网络流的计算和优化。
在实际应用中，最大流问题的求解涉及到诸多算法和模型，如增广路径算法、Ford-Fulkerson算法、Dinic算法、最小割定理等。
本文将从这些方面进行论述。
1. 增广路径算法增广路径算法是求解最大流问题的经典算法，其基本思想是不断地寻找增广路径，通过增加路径上的流量来增加整个网络的流量。
具体来说，首先通过深度优先搜索或广度优先搜索找到一条从源点到汇点的增广路径，然后确定路径上的最小流量d，将当前流量增加d，将反向边的流量减少d，同时计算当前网络的流量。
2. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是一种经典的增广路径算法，其基本理念与增广路径算法相同，但采用不同的策略来确定增广路径。
具体来说，Ford-Fulkerson算法采用贪心策略，在每次迭代中选择路径上的最小容量，从而确定增加的流量。
此外，Ford-Fulkerson算法还引入了残量图的概念，用于计算增广路径的容量。
3. Dinic算法Dinic算法是一种高效的增广路径算法，其主要优点是采用了分层图的策略来确定增广路径，使得每次迭代的搜索范围大为缩小。
具体来说，Dinic算法首先利用BFS算法确定每个节点的分层，然后在分层图上通过DFS算法查找增广路径，在路径上增加流量，更新分层图，重复此过程直至求解最大流。
4. 最小割定理最小割定理是求解最大流问题的重要定理，其核心思想是将网络分成两个不相交部分，并将其最小的割称为最小割。
最小割定理指出，在任意网络中，最大流等于最小割。
因此，求解最大流可以转化为求最小割问题，即在网络中寻找一组最小割，使得所有的割中容量最小的一组割。
总之，求解最大流问题是图论中的一个重要问题，其求解涉及到诸多算法和模型，如增广路径算法、Ford-Fulkerson算法、Dinic 算法、最小割定理等。
在实际应用中，不同情况下可能需要采用不同的算法和模型来求解，需要灵活应用。
三种网络流（最大流）的实现算法讲解与代码
三种⽹络流（最⼤流）的实现算法讲解与代码[洛⾕P3376题解]⽹络流（最⼤流）的实现算法讲解与代码定义对于给定的⼀个⽹络，有向图中每个的边权表⽰可以通过的最⼤流量。
假设出发点S⽔流⽆限⼤，求⽔流到终点T后的最⼤流量。
起点我们⼀般称为源点，终点⼀般称为汇点内容前置1.增⼴路在⼀个⽹络从源点S到汇点T的⼀条各边剩余流量都⼤于0(还能让⽔流通过,没有堵住)的⼀条路。
2.分层预处理出源点到每个点的距离(每次寻找增⼴路都要,因为以前原本能⾛的路可能因为⽔灌满了,导致不能⾛了).作⽤是保证只往更远的地⽅放⽔,避免兜圈⼦或者是没事就⾛回头路(正所谓⼈往⾼处⾛⽔往低处流).3.当前弧优化每次增⼴⼀条路后可以看做“榨⼲”了这条路，既然榨⼲了就没有再增⼴的可能了。
但如果每次都扫描这些“枯萎的”边是很浪费时间的。
那我们就记录⼀下“榨取”到那条边了，然后下⼀次直接从这条边开始增⼴，就可以节省⼤量的时间。
这就是当前弧优化具体怎么实现呢，先把链式前向星的head数组复制⼀份，存进cur数组，然后在cur数组中每次记录“榨取”到哪条边了。
[#3 引⽤⾃]()解决算法Ford-Fulkerson 算法(以下简称FF算法)FF算法的核⼼是找增⼴路,直到找不到为⽌。
(就是⼀个搜索，⽤尽可能多的⽔流填充每⼀个点，直到没有⽔⽤来填充，或者没有多余的节点让⽔流出去)。
但是这样的⽅法有点基于贪⼼的算法，找到反例是显⽽易见的，不⼀定可以得到正解。
为了解决这种问题，我们需要⼀个可以吃后悔药的⽅法——加反向边。
原本我们的DFS是⼀条路⾛到⿊的，现在我们每次进⼊⼀个节点，把⽔流送进去，同时建⽴⼀个权值与我们送⼊的⽔流量相等，但是⽅向相反的路（挖⼀条路让⽔流能够反向流回来，相当于给⽔流吃⼀颗后悔药）。
我们给了FF算法⼀颗后悔药之后就可以让他能够找到正确的最⼤流。
Ford-Fulkerson算法的复杂度为O(e×f) ,其中 e 为边数, f为最⼤流上代码。
最大流EK与Dinic算法最小费用最大流问题简述
最⼤流EK与Dinic算法最⼩费⽤最⼤流问题简述
最⼤流问题是给⼀个有向⽹络，每条边都有⼀个容量，问从起点到终点最多能输出多少流。
这是⼀个模型，在处理某些问题合适建模，就能利⽤这些现成的算法，使得问题得到解决。
EK算法采⽤BFS找增⼴路，不断⽤流到这个点的最⼤流和现存容量的较⼩值进⾏更新，就这样每次找到⼀条更新整个图，然后添加反向弧，反向弧的容量与正向的和是等于整个容量，这个反向弧并不存在，只是为算法提供了修改的途径，有反悔的机会，添加反向边，更新残余量，直到没有路径可以到达。
Dinic算法,在残量⽹络上操作（残量⽹络是包含反向弧的⽹络），BFS建层次图，DFS找路径，找到阻塞流就算成功，不⼀定是最⼤流，然后更新整个⽹络，重复整个过程，算法效率优于EK算法。
最⼩费⽤最⼤流SPFA算法，利⽤费⽤建⽴⼀个⽹络，然后找费⽤和最少的⼀条路径（不考虑流量），然后在这条路径上找最⼩的容量边作为整条路的容量，计算价钱，然后当这条边的容量⽤了部分或全部之后添加反向弧（参数仍是费⽤，容量⽤完取消正向弧），继续重复上⼀个过程。
最大流算法
◆如果有一组流量满足条件： 源点s ： 流出量 = 整个网络的流量 汇点t ： 流入量 =整个网络的流量 中间点：总流入量 = 总流出量
2 ） 对与该增广路径上的边 若( u, v ) 是正向边，f ( u, v ) = f ( u, v ) + d; 若( u, v ) 是逆向边，f ( u, v ) = f ( u, v ) – d;
增广后，总流量增加了d
样例：
4
1
6
23
2
34
开始流量为:sum=0
4
5
5
23
4
4
1
2
5
6
34
5
4 23 4
1 2 22
5
6
3
4
2
5
1、一条增广路径: 1235 d=min{4,2,4} =2 增加流量: 2 Sum=2
4 23 4
1
2
22
5
6
3
4
2
5
2 32
1
4
2
2
22
4
2
5
6
34
5
2
2、一条增广路径: 1245 d=min{4-2,3,5} =2 增加流量: 2 Sum=2+2=4
2 32
i:=b[i];
ห้องสมุดไป่ตู้
end;
inc(sum,d); {总流量增加d}
主程序：
for i:=1 to n do b[i]:= -1; {初始化增广路径} b[1]:=0; while findflow(1) do {增广流}
图论中的网络流最大流算法
图论中的网络流最大流算法网络流最大流算法是图论中的重要算法之一，用于求解网络中最大的流量。
在许多实际应用中，如交通流量优化、电力系统规划和通信网络传输等领域，网络流最大流算法都具有重要的应用价值。
一、问题描述在介绍网络流最大流算法之前，首先要明确问题的具体描述。
假设有一个有向图G=(V, E)，其中V表示顶点的集合，E表示边的集合。
每条边(u, v)∈E都有一个非负容量c(u, v)表示从u到v的最大流量上限。
而源点s和汇点t分别表示网络中的起始点和终点。
网络流最大流算法的目标就是在该有向图中找到从源点s到汇点t的最大流量。
二、Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最早提出的网络流最大流算法之一，它基于不断地寻找增广路径来不断增加流量。
具体步骤如下：1. 初始化流量：将所有边的流量设置为0。
2. 寻找增广路径：在残余图中，利用广度优先搜索或深度优先搜索找到一条从源点s到汇点t的路径。
如果找不到增广路径，则跳至步骤4。
3. 更新流量：通过增加路径上的最小容量，更新每条边的流量。
4. 输出最大流量：计算网络中所有从源点s出发的边的流量之和，即为最大流量。
Ford-Fulkerson算法的核心思想是不断地沿着增广路径增加流量，直到无法找到增广路径为止。
虽然该算法可以求解网络流最大流问题，但是其时间复杂度较高，不适用于大规模的问题。
三、Edmonds-Karp算法为了改进Ford-Fulkerson算法的效率，Edmonds-Karp算法采用了广度优先搜索作为寻找增广路径的策略。
相比于深度优先搜索，广度优先搜索可以保证找到的增广路径具有最小的边数。
具体步骤如下：1. 初始化流量：将所有边的流量设置为0。
2. 寻找增广路径：利用广度优先搜索找到一条从源点s到汇点t的路径。
如果找不到增广路径，则跳至步骤4。
3. 更新流量：通过增加路径上的最小容量，更新每条边的流量。
4. 输出最大流量：计算网络中所有从源点s出发的边的流量之和，即为最大流量。
资源分配问题优化算法
资源分配问题优化算法
资源分配问题是指在有限的资源条件下，将这些资源分配给不同的任务或项目，以达到最优的效益。
资源分配问题优化算法主要有以下几种：
1. 贪心算法：贪心算法是一种简单且高效的算法，它每次选择最优的解决方案，直至得到整体最优的解。
在资源分配问题中，贪心算法可以按照某种规则依次将资源分配给任务，比如按照任务的优先级、资源的利用率等进行选择。
2. 动态规划：动态规划是一种通过将问题分解成子问题，并记录每个子问题的最优解来求解整体最优解的方法。
在资源分配问题中，动态规划可以通过建立一个状态转移方程来求解最优的资源分配方案。
3. 网络流算法：资源分配问题可以转化为网络流问题，其中资源可以被看作是流量，任务可以被看作是网络中的节点。
常用的网络流算法有最大流算法、最小费用最大流算法等，它们可以通过对网络进行建模和优化来求解资源分配问题。
4. 遗传算法：遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，它通过模拟选择、交叉和变异等操作来搜索最优解。
在资源分配问题中，可以将每个资源分配方案看作是一个个体，通过遗传算法来优化资源的分配。
5. 整数规划算法：资源分配问题可以建立成整数规划模型，并利用整数规划算法求解。
整数规划算法通过对资源和任务的约束条件进行优化，求解出使目标函数最优的整数解。
以上的算法并不是对资源分配问题的详尽描述，不同的资源分配问题可能需要结合具体的条件和约束来选择合适的算法。
同时，还可以结合多个算法进行求解，以得到更好的优化结果。
最大流算法在网络问题中的应用
最大流算法在网络问题中的应用网络问题是计算机科学中的一个重要领域，主要研究节点之间的连通性，以及数据在网络中的传输和处理方式。
网络问题的解决方法之一就是最大流算法。
最大流算法可以用来求解网络流问题，是一种常用的优化算法。
下面将详细介绍最大流算法在网络问题中的应用。
一、最大流算法的定义最大流算法（Maximum Flow Algorithm）是计算最大流问题的常用算法，用于解决网络流问题。
最大流问题是在网络中从源点s 到汇点t的最大可行流问题，也可以理解为管道输送液体的最大流量问题。
最大流算法求解的本质就是如何找到一条从源点到汇点的路径，并计算出最大流量，以使所有流量达到最大。
二、最大流算法的应用最大流算法的应用非常广泛，在交通、卫星通信、电信等领域均有广泛应用。
下面分别从交通、卫星通信和电信三个方面来介绍最大流算法的应用。
1、交通领域在交通领域，最大流算法可以应用于城市道路布局规划、交通信号灯调度和公交线路规划等问题。
以城市道路布局规划为例，我们可以通过最大流算法来确定城市中心和周边地区之间的交通流量。
这样，我们就可以在城市道路规划过程中根据交通流量分配道路宽度和车行道数量，以确保道路能够承载最大交通流量。
2、卫星通信领域在卫星通信领域，最大流算法可以应用于网络拓扑设计、路由设计和带宽分配等问题。
通过最大流算法，我们可以确定卫星通信网中每个节点之间的最大传输速率，以便于选择最佳的路径或设计最优的路由方案。
此外，最大流算法也可以用于带宽管理，以确保卫星通信网中的每个节点都能够按照其需求获得足够的带宽。
3、电信领域在电信领域，最大流算法可以应用于网络拓扑设计、路由设计和负载均衡等问题。
电信网络中的节点之间互相连通，通过最大流算法，我们可以确定节点之间的最大传输速率，并根据传输速率设计最优的路由方案，以确保数据传输的完整性和可靠性。
此外，最大流算法还可以用于网络负载均衡，以确保所有节点的负载能够均衡分配。
网络最大流问题算法研究【文献综述】
文献综述数学与应用数学网络最大流问题算法研究最大流问题是指在一定的条件下,要求流过网络的物流、能量流、信息流等流量为最大的问题[2].最大流问题已有50多年的研究历史,这段时期内,人们建立了最大流问题较为完善的理论,同时开发了大量的算法.如Ford和Fulkerson增截轨算法、Dinic阻塞流算法、Goldberg推进和重标号算法[6]以及Goldberg和Rao的二分长度阻塞流算法等等,这些经典算法及相关技术对网络最大流问题的研究起到了非常重要的推动作用.近年来,随着计算机科学技术和网络的快速发展,网络最大流问题得到了更深入的研究,并极大地推动了最大流问题的研究进展.然而,研究工作仍未结束:首先,在理论算法研究方面,人们还没有发现最大流问题算法时间复杂度的精确下界,更没有任何一个通用算法达到或接近问题的下界; 其次,在算法的实际性能方面,目前算法的实际性能也不能满足许多应用问题的要求; 同时,最大流问题作为特殊的线性规划问题, 它远比一般线性规划问题容易解决,发现应用领域中的问题和最大流问题的联系可以使应用问题更好地得到解决.因此,关于网络最大流问题的研究具有十分重要的理论意义和实用价值[5].最早的算法是Dantzig[6]提出的网络单纯刑法和Ford和Fulkerson的增载轨算法,他们都是伪多项式时间算法,分别由Dinic、Edmonds和Karp等提出.1973年Dinic首次获得了时间复杂度的核心因子为nm算法.以后的几十年中,最大流算法获得了很大的进展.本文主要介绍的是网络最大流的几种主要算法,其中重点介绍了标号算法的详细过程,其后给出了其在实际中的应用实例,后面介绍了现有的几种主要算法,虽然没有给出具体的程序,但本文目的主要是了解最大流问题的解决思想,读者对网络流算法有更深刻的认识,读者要想了解更多关于最大流问题的研究,详细可以参照Goldberg等人的研究成果, 这些程序在网上都可以轻松得到. 在这里就不再详细讲述.下面简要介绍一下增载轨算法.增载轨算法[5]: 沿剩余网络中从源到汇的有向路径推进流. 增载轨算法包括Ford和Fulkerson 的标号算法、Dinic 的阻塞流算法、Ahuja 和Orlin 的最短增载轨算法等. 1956年, Ford 和Fulkerson 首次发现增载轨算法. 由于Ford 和Fulkerson [3]算法是在剩余网络中任意选择从源到汇的有向路径作为增载轨的, 增载轨的数量可能很多, 最坏情况为()nU O . 因此, Ford 和Fulkerson 算法的时间复杂度为()nmU O , 它是伪多项式时间的. 通过两种好的选择策略可以限制增载轨的数量. 意识每次都选择容量最大的增载轨, 可以把增载轨的数量降为(log )m U O . 但寻找容量最大的增载轨花的代价较大. 另一种策略是每次选择长度最短的增载轨, 使用这种策略可以使增载轨的数量限制在()nm O , Edmonds 和Karp 的最短增载轨算法利用宽度优先搜索在剩余网络中寻找最短增截轨, 该算法的时间复杂度为2()nm O . 为了把上一次构造最短路径的距离信息保留下来提供下一次使用, Dinic 引入了层次网络的阻塞流的概念, Dinic 算法的时间复杂度为2()n m O . Ahuja 和Orlin 采用Goldberg 和Tarjan 引进的距离标号概念构造增载轨, 并改用重标号的方法保留上次构造的距离信息, 这种算法的时间复杂度为2()n m O . Ahuja, Magnanti 和Orlin 在他们的著作中指出Dinic 阻塞流算法可以看作Ahuja 和Orlin [8]最短增载轨算法的一个实现.将容量和最短增载轨结合起来使用, 可以得到(log )nm U O 时间的算法. 1983年, Sleator 和Tarjan 提出了动态树的数据结构并用它实现了Dinic 算法, 使得该算法的时间复杂度降为(log )nm n O [5]. 下面看一下本文要主要介绍的标号算法的情况:定理1[1] 设f 为网络(,,)D V A C =的任一可行流, 流量为f V , (,)S S -为分离s v , t v 的任一割集, 则有(,)f V C S S -≤.定理2[1] Ford-Fulkerson 定理（也称最大流-最小割定理）: 在任何网络(,,)D V A C =中, 从s v 到t v 的最大流的流量等于分离s v , t v 的最小割集的容量.下面介绍的是最大流问题的增广链算法, 步骤为:1、 通过寻找剩余网络中从发点到收点的正项链中每个弧上都有非零剩余容量的链而找到增广链（如果不存在增广链, 该网络已达到最大流）.2、 找出增广链中弧的最小剩余容量c *, 这就是该增广链的剩余容量, 在该增广链中增加流量为c*的流.3、在增广链的每个正向弧的剩余容量中减去c*, 而在每个反向弧的剩余容量中加上c*.返回步骤1.在进行步骤1时, 往往会碰到很多增广链可供选择, 在用这种方法来解决大规模问题时,增广链的正确选择对解决问题的效率是至关重要的.上面说的只是网络最大流问题算法中的一个, 本文将讲述网络最大流问题的几种主要算法, 主要是标号法, 还包括ISAP算法、SAP算法等.对于一个网络最大流问题, 现在有很多求解方法, 如重标号算法、预流推进算法等[6]. 对一个最大流问题也可以用线性规划方法求解, 也就是说, 将一个最大流问题转化为一个线性规划模型, 再用单纯形法求解. 有些情况下运用线性规划模型求解很方便, 而且易于理解[7].这几十年来, 很多著名学者开发出了很多优秀的算法, 由R. K. Ahuja和B. Orlin提出的快速算法是基于Goldberg和Tarjan的算法而得到的一个平行算法, 即预流推进算法[8]. 其对后面学者的研究起了很大的指导作用. 在具有适宜整数边容量的稀疏图中, Gabow的缩进算法是最好的. 而基于Dinic算法结构的那些算法中, 唯一的一个平行算法是由Shiloach和Vishkin给出. Goldberg给出了基于Karzanov预流思想的新算法, 即在剩余网络中寻找最短路径[8]. Gallo和Tarjan等提出通过重优化技术能解决参数最大流中的很多问题, 其是对Goldberg和Tarjan的推重标号法进行的拓展, 进一步优化了最大流问题算法[9].由Ford和Fulkerson提出的增广链算法是基础, Edmonds和Karp提出的另外一个方法是始终沿着最短路径增广, 它利用的是广度优先搜索思想, 这种算法存在一个最坏运行时间. 还有Dinic独自提出的最短路径增广等算法, 这些都对最大流问题的算法研究产生了巨大的影响[10].一直以来,网络最大流的应用都是一项十分有意义的研究工作, 网络流问题的研究者和具体问题的工程师从不同的角度充实着这方面的研究.实践表明, 对许多实际应用问题,如果能找到它和最大流问题的联系, 就可以使问题得到十分有效的解决. 许多应用问题所对应的最大流问题都有比较明显的特征, 充分利用这些特征和挖掘网络特性, 解析典型算法, 充分设计面向应用问题的算法, 这将是网络最大流问题组合算法研究的重要趋势.参考文献[1]廖敏. 运筹学基础与应用[M]. 南京: 南京大学出版社, 2009: 190-197.[2]弗雷德里克•S•希利尔, 杰拉尔德•J•利伯曼（胡运权等译）. 运筹学导论[M]. 北京:清华大学出版社, 2007 : 375-381.[3]L R Ford, D R Fulkerson. Maximum flow through a network. Canadian Journal of Math,1956, 8(5): 399-404.[4]王志强. 网络最大流的新算法[D]. 陕西: 宝鸡文理学院, 2009.[5]张宪超, 陈国良, 万颖瑜等. 网络最大流问题研究进展[J]. 计算机研究与发展学报,2003, 40(9): 1281-1292.[6] A.V. Goldberg and R.E. Tarjan. A new approach to the maximum-flow problem. Journalof the ACM, 1988, 35: 921-940.[7]赵可培. 运筹学[M]. 第二版. 上海: 上海财经出版社, 2008: 243-249.[8]R. K. Ahuja and J.B. Orlin. A fast and simple algorithm for the maximum flow problem.Oper. Res. 1989, 37: 748-759.[9]Maria Grazia Scutella. A note on the parametric maximum flow problem and somerelated reoptimization issues. Ann Oper Res, 2007, 150: 231-244.[10]Robert E. TARJAN. Algorithms for maximum network flow. Mathematical ProgrammingStudy, 1986, 26: 1-11.。
运筹学最大流问题实验报告
运筹学最大流问题实验报告一、实验目的1. 学习最大流问题的基本概念。
2. 掌握最大流问题的求解算法。
3. 通过程序模拟求解，加深对最大流问题的理解。
二、实验原理最大流问题是在一个有向图中，给定一条源点到汇点的路径以及每一条边的最大容量，求最大流量的问题。
在网络流中，每个有向边都表示一定的流量，其中每个边的构成是（开始节点，结束节点，最大容量）。
最大流问题通常使用增广路算法或Ford-Fulkerson算法来求解。
1.增广路算法增广路算法是一种贪心算法。
该算法不断寻找一条增广路，并将增广路中的最小流量分配给这条增广路的每一条边。
当不存在增广路时，算法结束，返回最大流量。
2.Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是一种经典的解法，它是基于增广路径的算法。
但是这种算法是暴力寻求增广路径，时间复杂度较高。
需要借助一个可行函数，用来判断剩余网络中是否还有增广路。
一个网络的可行函数应该满足：当且仅当所有的边都满足限制的时候，可行函数有唯一最大值。
可行函数常常构建为距离标号（下面会讲到）。
三、实验步骤使用Python语言，实现最大流问题的求解算法。
算法采用增广路算法。
1. 构建有向图，每个节点可以表示为一个数字。
源点的编号为0，汇点的编号为N-1。
有向边的构成是（开始节点，结束节点，最大容量）。
2. 实现BFS广度优先搜索算法寻找增广路径。
3. 实现对路径上节点的最小流量计算并更新网络。
4. 不断循环执行2、3步骤，直到不存在增广路径为止。
5. 输出最大流量。
四、实验结果下面是一个简单的实例，以验证程序的正确性。
在这个网络中，从源点0到汇点5，可以有两条不同路径：0→1→2→4→5和0→1→3→4→5。
这两条路径中，最小容量的路径是第一条，容量为3。
在执行完毕后，程序输出了最大流量为3。
五、实验结论通过本实验，我们学习了最大流问题的基本概念，掌握了最大流问题的求解算法，并且通过程序模拟成功地求解了一个基本问题，加深了对最大流问题的理解。
网络最大流FF算法
⽹络最⼤流FF算法题⽬描述如题，给出⼀个⽹络图，以及其源点和汇点，求出其⽹络最⼤流。
输⼊输出格式输⼊格式：第⼀⾏包含四个正整数N、M、S、T，分别表⽰点的个数、有向边的个数、源点序号、汇点序号。
接下来M⾏每⾏包含三个正整数ui、vi、wi，表⽰第i条有向边从ui出发，到达vi，边权为wi（即该边最⼤流量为wi）输出格式：⼀⾏，包含⼀个正整数，即为该⽹络的最⼤流。
输⼊输出样例输⼊样例#1：4 5 4 34 2 304 3 202 3 202 1 301 3 40输出样例#1：50说明时空限制：1000ms,128M数据规模：对于30%的数据：N<=10，M<=25对于70%的数据：N<=200，M<=1000对于100%的数据：N<=10000，M<=100000样例说明：题⽬中存在3条路径：4-->2-->3，该路线可通过20的流量4-->3，可通过20的流量4-->2-->1-->3，可通过10的流量（边4-->2之前已经耗费了20的流量）故流量总计20+20+10=50。
输出50。
求⽹络最⼤流的算法还是很多的，这⾥讲⼀下最简单的FF算法。
还是利⽤增⼴路，找到⼀条从源点到汇点的任意路径，所有边上的最⼩值delta如果不是0，那么总流量就可以增加delta，在将路径上的边的容量减去delta，这就是⼀条增⼴路。
易知，如果找不出增⼴路了，那么此时的流量就是最⼤了。
但是，就这样还不⾏，如果“⾛错了”怎么办？现在引进反向弧，反向弧可以解决这个问题。
其他的博客上很多说反向弧可以让流量后悔，这个⽐喻很⽣动，但⽤我⾃⼰的话来说，反向弧因为是同原边反向的，两者中⼀者减去delta时，将另⼀者加上delta，那么之后找增⼴路时，⾛反向弧相当于原边少⾛，⾮常巧妙。
算法⼤概是将完了，代码应该还好打的。
#include<set>#include<map>#include<queue>#include<cmath>#include<cstdio>#include<vector>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<iostream>#include<algorithm>#define INF 2147483647using namespace std;int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}struct edge{int next,to,head,b;}f[440000];long long ans;int tot=0,n,m,s,t;bool mark[400000]={0},flag;void add(int u,int v,int w){f[tot].next=f[u].head;f[u].head=tot;f[tot].to=v;f[tot].b=w;tot++;}int dfs(int x,int flow){//dfs求任意路径if(x==t){ans+=flow;flag=1;return flow;}mark[x]=1;for(int i=f[x].head;i!=-1;i=f[i].next){int x1=f[i].to;if(mark[x1]||f[i].b==0) continue;int delta=dfs(x1,min(flow,f[i].b));if(flag){f[i].b-=delta;f[i^1].b+=delta;return delta;}}return0;}void FF(){//有增⼴路就增⼴memset(mark,0,sizeof(mark));flag=0;dfs(s,INF);while(flag){memset(mark,0,sizeof(mark));flag=0;dfs(s,INF);}}int main(){n=read();m=read();s=read();t=read();for(int i=1;i<=n;++i) f[i].head=-1;while(m--){int x,y,w;x=read();y=read();w=read();add(x,y,w);add(y,x,0);}FF();printf("%lld",ans);return0;}注意，这种dfs的形式也是我⾃⼰很少打的，求任意⼀条路径，先dfs到汇点，再做⼀个标记flag，回来时有标记就更新。
最大带宽计算公式
最大带宽计算公式
带宽的计算公式如下：
带宽（B）= 最高数据传输速率（D）/信道容量（C）
其中，最高数据传输速率是指网络传输数据的最大速率，单位为比特每秒（bps）；信道容量是指网络传输数据的最小速率，单位也为比特每秒（bps）。
此外，信道带宽与数据传输速率的关系可以用奈奎斯特（Nyquist）准则与
香农（Shanon）定律描述。
对于二进制数据信号的最大数据传输速率Rmax与通信信道带宽B（B=f，单位Hz）的关系可以写为：Rmax＝2×f （bps）。
香农定理指出：在有随机热噪声的信道上传输数据信号时，数据
传输速率Rmax与信道带宽B、信噪比S/N的关系为：Rmax＝（1+S/N）。
以上信息仅供参考，如有需要，建议查阅通信原理等相关书籍或咨询专业人士。
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学号：***********本科毕业论文学院计算机与信息技术学院专业计算机科学与技术专业年级2010级姓名闫佳晖论文题目几种网络最大流算法比较指导教师冯岩职称副教授2014年 4 月 28 日目录摘要 (1)Abstract (1)1 绪论 (2)1.1最大流问题的研究背景及发展情况 (2)1.2选题意义 (2)2 预备知识 (3)2.1 图论 (3)2.2 网络最大流算法 (4)3 几种网络最大流算法的分析与比较 (4)3.1 Ford-Fulkerson算法 (5)3.1.1算法介绍与分析 (5)3.1.2算法实现 (5)3.2 Edmonds-Karp修正算法 (7)3.2.1算法介绍与分析 (7)3.2.2算法实现 (8)3.3 dinic算法 (11)3.3.1算法介绍与分析 (11)3.3.2算法实现 (13)3.4 算法比较 (15)4 结论 (16)参考文献 (17)几种网络最大流算法比较学生姓名：闫佳晖学号：20105101106计算机科学与技术学院计算机信息与技术专业指导教师：冯岩职称：副教授摘要：本文主要研究的是网络最大流问题。
论文从算法的思想、复杂度、应用范围及实际运行效率研究3种传统算法（Ford-Fulkerson算法，Edmonds-Karp修正算法，Dinic算法）。
Ford-Fulkerson是一种迭代方法，采用的是深度优先策略。
它的实际运行效率取决于如何确定增广路径，应用在工业和农业等领域。
Edmonds-Karp 修正算法用宽度优先取代了深度优先，应用在工程和商业等领域。
Dinic算法是将顶点按照其与发点的最短距离分层。
分层时用宽度优先法，而寻求增广路径时则采用深度优先策略。
Dinic算法应用在工业、工程和运输业等领域。
关键词：图；算法；标号；网络流；最大流Abstract：This paper mainly studies the network maximum flow problem. We compare three traditional algorithms (Ford - Fulkerson algorithm, Edmonds - Karp correction algorithm, Dinic algorithm) from thought, complexity, application range and study on the efficiency of the actual operation. Ford - Fulkerson is a iterative method and uses the depth first strategy. Its efficiency of the actual operation depends on how to determine the augmenting path, and it is used in industrial and agricultural areas. Edmonds-Karp correction algorithm uses breadth first to replace the depth first, and it is applicated in engineering and business areas . Dinic algorithm layers the shortest distance between the vertices according to stratification and the starting point. We use the breadth first method while layering.But when seeking the augmenting paths,we use the depth first strategy.The application of Dinic algorithm is in the industrial, construction and transportation industries etc.Keywords：Graph；Algorithm;Labeling；Network flow；Maximum flow；1.绪论1.1最大流问题的研究背景及发展情况最大流问题属于网络分析问题，它是指在一定条件下，要求所流过网络的物流、信息流、能量流等流量为最大的问题。
比如交通运输网络中的车流、物流、供水网络中的水流、通信系统中的信息流等等，都属于网络最大流问题[1]。
在研究最大流问题的过程中，人们建立了比较完善的最大流问题的理论，与此同时也开发了许多算法，如Ford-Fulkerson算法，最大容量增广路算法，Dinic算法等等，这些经典的算法以及相关的技术对于网络最大流研究起到了至关重要的推动作用。
近些年来，随着网络和计算机科学技术的飞速发展，网络最大流问题得到更加深入的研究，并且极大推动了网络最大流问题的研究进程[2,3]。
最大流理论是由福特和富尔克森于 1956 年创立的，他们指出最大流的流值等于最小割(截集)的容量这个重要的事实，并根据这一原理设计了用标号法求最大流的方法，后来又有人加以改进，使得求解最大流的方法更加丰富和完善[4]。
最大流问题的研究密切了图论和运筹学，特别是与线性规划的联系，开辟了图论应用的新途径。
最早研究网络最大流问题的是美国学者希奇柯克（Hitchcock），他在1941年的时候研究铁路运输和生产组织方面的线性规划问题时提出了运输问题的基本模型；然而后来柯普曼（Koopmans）在1947年的时候独立的提出了运输问题并且对此问题详细地加以讨论[5]；从19世纪40年代开始，康脱洛维奇（Kantorovich）也围绕运输问题做出了大量的研究，这与一般的线性规划问题不一样，它的约束方程组中的系数矩阵有特殊的结构。
一些外国的学者从算法角度上考虑，对于网络最大流问题的解决提出了许多可行的办法，例如图上求解法以及运用计算机来实现的启发式多种算法等。
国内对网络最大流的研究主要非为3个方向：一是基于国外算法的基础之上，对网络最大流问题的算法进行改进研究；二是从目标函数出发，在网络最大流问题中有些时候需要考虑成本如何最小、运输过程中货物的损坏率怎样才能最低以及单位运价的变化调整等许多目标；三是从约束函数的角度出发，研究需求量和供给量在区间变动的不确定型的运输问题、时间窗口运输问题等。
1.2选题意义网络流问题主要研究的是网络最优化问题,在工程及科学等领域均有重要作用。
其主要内容包括最短路、最大流及最小费用流等问题,随着信息技术的发展人们建立了较为完善的理论,提出了一系列相应的算法,取得了令人瞩目的成绩。
而且我们在日常生活中时常遇到这样一些图，如旅游线路图、交通图、管道系统图等。
这些图在优化理论中就是所谓的对所对应的实际情况进行的抽象和概括，用图来表示我们研究的对象以及对象之间的联系是很方便、直观的。
比如网络通信、旅游管理、金融系统、交通运输等问题都可以用网络图来表示。
最大流问题应用极其广泛，很多生活中的问题都可以转化为最大流问题，其难点是从实际生活中抽象出最大流模型，即转化问题，且实践性较强，通过实例分析，更有利于对最大流问题的了解与应用。
2.预备知识2.1图论所谓的图论，顾名思义就是研究图的理论。
图论中的图是由一些实际问题经过抽象而得到的，由点和点与点之间的线构成，它能反映一些对象之间的关系。
图形中的点表示一些对象(如通讯站、选手、工序等)，两点之间的有向或者无向的线表示对象之间有某种特定的关系(如胜负关系、先后关系、连接关系、传递关系等)[6]。
电路网络、物质结构、交通运输、城市规划、物资调配、信息传递等都可以用点和线连接的图进行模拟。
而这里研究的图和平面几何中的图有些不一样，这里只关心图中有几个点，点与点之间有没有线，至于连线的方式是曲线还是直线点与点的相对位置怎样都是无关紧要的[7]。
下面介绍一些网络最大流问题会用到的相关的定义：定义1：由点和边构成的图为无向图，记为),(E V G =；由点和弧构成的图为有向图，记为),(A V D =.定义2：在无向图G 中，若存在一个点边交错序列),,,,,,(112211k k k i i i i i i i v e v e v e v --⋯，满足)1,2,1](,[1-⋯==+k t v v e t t t i i i ，则称之为一条联结1i v 和k i v 的链，记为),,,(21k i i i v v v ⋯,若k i i v v =1，则称之为圈。
定义3：在有向图D 中，若存在一个点弧交错序列),,,,,(112211--⋯k k i i i i i i a v a v a v ，弧t i a 的始点为t i v ，终点为1+t i v ，记为),(1+=t t t i i i v v a ，则称这条点弧的交错序列为从1i v 到k i v 的一条路，记为),,,(21k i i i v v v ⋯。
若路的第一点和最后一点相同，则称之为回路。
链与路中的点互不相同，则为初等链(路)，以后说到的链与路，均指初等链(路)。
定义4：如果对于一个有向图D 的每一条弧，相应有一个权数ij c ，称这样的图为网络,记为)VD [6]。
A(C,,一般在网络图中，每条弧的权代表距离、费用、通过能力(容量)等等。
例如，公路运输网络中路面的宽度或管道输送网络中管道的直径，它是单位时间内允许通过实体的数量。
所以将弧权称为弧的容量，网络称为容量网络。
2.2网络最大流算法要想知道什么是网络最大流算法就必须先要知道什么是网络最大流问题，那什么是网络最大流问题呢？所谓网络最大流问题就是，给了一个带收发点的容量网络N，求N上使达到最大的可行流(称这样的可行流为最大流)。
我们先将一个复杂的网络问题进行转化，使之成为典型的网络问题，再对相应的限制条件进行抽象化、理论化，在此基础上，进行分析和研究，找出解决办法。
最大流问题已经有40多年的研究历史，这短时间内，人们建立了最大流问题较为完善的理论，同时开发了大量的算法，如Ford-Fulkerson算法，Edmonds-Karp修正算法，Dinic算法等等，这些经典算法及相关技术对网络最大流问题的研究起到了非常重要的研究。
所谓的网络最大流问题就是在一个有向连通的图中，指定一个点为发点，另外一个为收点，其他的都称为中间点，在所有的点都能够承受的情况下，通过这个网络图的最大的可行流，即为发点到收点的最大的可行流。
[8]。
众所周知，在1955年，T.E.哈里斯在研究铁路的最大通量时提出在一个给定的网络上来寻求两点间最大运输量的问题。