网络流算法(Ford-Fulkerson算法)
网络流算法——精选推荐
⽹络流算法2018-03-13 19:02:13在图论中，⽹络流（英语：Network flow）是指在⼀个每条边都有容量（capacity）的有向图分配流，使⼀条边的流量不会超过它的容量。
通常在运筹学中，有向图称为⽹络。
顶点称为节点（node）⽽边称为弧（arc）。
⼀道流必须匹配⼀个结点的进出的流量相同的限制，除⾮这是⼀个源点（source）──有较多向外的流，或是⼀个汇点（sink）──有较多向内的流。
⼀个⽹络可以⽤来模拟道路系统的交通量、管中的液体、电路中的电流或类似⼀些东西在⼀个结点的⽹络中游动的任何事物。
⼀、最⼤流最⼩割定理最⼤流最⼩割定理提供了对于⼀个⽹络流，从源点到⽬标点的最⼤的流量等于最⼩割的每⼀条边的和。
这个定理说明，当⽹络达到最⼤流时，会有⼀个割集，这个割集中的所有边都达到饱和状态。
这等价于在⽹络中再也找不到⼀个从s到t的增⼴路径。
因为只要能找到⼀条增⼴路径，这条增⼴路径肯定要经过最⼩割集中的⼀条边，否则这个割集就不能称之为割集了。
既然这个割集中所有的边都饱和了，因此也就不会存在这样的增⼴路径了。
这个定理的意义在于给我们指明了⽅向：任何算法，只要最后能达到“再也找不到⼀条增⼴路径”，就可以说明这个算法最后达到了最⼤流。
⼆、最⼤流问题在优化理论中,最⼤流问题涉及到在⼀个单源点、单汇点的⽹络流中找到⼀条最⼤的流。
最⼤流问题可以被看作是⼀个更复杂的⽹络流问题（如循环问题（circulation problem））的特殊情况,。
s-t流（从源点s到汇点t）的最⼤值等于s-t割的最⼩容量，这被称为最⼤流最⼩割定理。
下⾯举例来说明这个问题：问题描述：给定⼀个有向图G=(V,E)，把图中的边看作管道，每条边上有⼀个权值，表⽰该管道的流量上限。
给定源点s和汇点t，现在假设在s处有⼀个⽔源，t处有⼀个蓄⽔池，问从s到t的最⼤⽔流量是多少。
这个问题有如下的⼀些限制：容量限制：也就是在每条通路上的流量都不能超过其capacity。
网络流fordfulkerson算法
13
Ford-Fulkerson 最大流
2
32 1
43 1 11
5
1 1
s
21 12
4
12
t
1
12
3
12
这些是从结点 s 可达的结点.
14
Ford-Fulkerson 最大流
2
1
2
s
2
1
5
2
4
2
1
t
3
这是最优流.
15
寻找任何 s-t 路径
11
Ford-Fulkerson 最大流
2
32 1
43 1 11
5
1 1
s
21 12
4
12
t
1
12
3
12
判定路径的容量 D
在路径中发送 D 单位的流. 更新剩余网络
12
Ford-Fulkerson 最大流
2
32 1
43 1 11
5
1 1
s
21 12
4
12
t
1
12
3
12
在剩余网络中没有 s-t 路径. 此流是最优的.
在路径上发送 D 单位的流.
更新剩余容量.
4
Ford-Fulkerson最大流
4
2
5
3
11
1
2
12
s
23
4 21
t
1
1
3
寻找任何s-t 路径
5
Ford-Fulkerson 最大流
4
2
5
3
11
1
21
11
s
网络流——求网络最大流
4 1 4 8
4 2 2 6
7
9
(1,4) V2 (0,+∞) V1
(2,4) V4 (4,4) V6
(1,8)
V3
V5 (2,1)
4 1 4 8
4 2 2 6
7
9
(-4,2) V2 (0,+∞) V1 4 4
(3,2) V4 4
(4,2) V6
(1,8)
V3
V5 (3,2)
4 1 4 8
4 2 2 6
7
9
(5,2) V2 (0,+∞) V1 2 4 4 V4 6
(5,2) V6
2
(1,6)
V3
V5 (3,2)
4 1 4 8
4 2 2 6
7
9
V2 (0,+∞) V1 4 4
4
V4
6 V6 2
2 2
(1,4)
V3
V5
存储结构
const maxn=100; type nodetype=record{可改进路顶点类型 可改进路顶点类型} 可改进路顶点类型 l,p:integer;{标号、检查标志 标号、 标号 检查标志} end; arctype=record{网顶点类型 网顶点类型} 网顶点类型 c,f:integer;{容量、流量 容量、 容量 流量} end; gtype=array[0..maxn,0..maxn] of arctype; ltype=array[0..maxn] of nodetype; var lt:ltype; g:gtype; n,s,t:integer;{顶点数、源点、汇点 顶点数、 顶点数 源点、汇点} f:text;
增广后的F
Ford-Fulkerson算法
1、Ford-Fulkerson 算法 算法描述： STEP0：置初始可行流。
STEP1：构造原网络的残量网络，在残量网络中找s －t 有向路。
如果没有，算法得到最大流结束。
否则继续下一步。
STEP2：依据残量网络中的s －t 有向路写出对应到原网络中的s －t 增广路。
对于增广路中的前向弧，置s(e) ←u(e)- f(e)。
对于反向弧，置s(e) ←f （e ）。
STEP3：计算crement=min{s （e 1），s （e 2），…，s （e k ）}；STEP4：对于增广路中的前向弧，令f(e) ←f(e)＋crement ；对于其中的反向弧，令f(e)←f(e)-crement ，转STEP1。
这里f 代表弧上的当前流量，s 表示弧上可增广的量。
在STEP2的残量网络中，寻找s －t 有向路的算法有两种，DFS 和BFS ，即深度优先和宽度优先算法。
算法的时间复杂度为O(mnU)。
其中m 为弧的数目，U 为弧上容量的最大上界，是伪多项式算法。
邻接表表示图，空间复杂度为O(n+m)。
DFS 和BFS 的比较例子：图4.8.6假设M 是弧上的最大容量，且是一个非常大的整数，DFS 算法的最坏情况会选择S －>A －>B －>T 和S －>B －>A －>T 进行增广，增广的次数为2M ，这个问题用BFS 算法，沿S －>A －>T 和S －>B －>T 增广两次就可以完成。
见图4.8.6。
2、最大容量增广路算法Ford-Fulkerson 算法每次只是在所有增广路中随机地找一条增广路进行增广，因此增广的次数可能很多。
如果每次都找到一条可增广的容量最大的增广路，则总的增广次数应当减少，这样的算法称为最大容量增广路算法。
最大容量增广路算法寻找增广路的步骤如下：STEP0：将s 点可增广值maxf 标记为一个非常大的数，其他节点的maxf 值为0，所有节点标记为未扩展。
图的知识点总结归纳
图的知识点总结归纳图是计算机科学中常用的数据结构之一，它由节点和边组成。
在图论中，图被用于描述各种实际问题，如社交网络、路线规划、电子电路等。
本文将对图的基本概念、表示方法、遍历算法和常见应用进行总结和归纳。
一、基本概念1. 节点（Vertex）：图中最基本的元素，也称为顶点。
每个节点可以有零个或多个与之相连的边。
2. 边（Edge）：连接节点的线段，表示节点之间的关系。
边可以有方向，即有向边，也可以无方向，即无向边。
3. 路径（Path）：通过一系列节点和边依次连接起来的序列，用于描述节点间的连通性。
4. 路径长度（Path Length）：路径上经过的边的数量。
若路径上没有重复节点，则路径长度即为路径经过的节点数量减一。
5. 环（Cycle）：起点和终点相同的路径，也称为回路。
6. 连通图（Connected Graph）：图中任意两个节点之间都存在路径的图。
7. 强连通图（Strongly Connected Graph）：有向图中，任意两个节点之间都存在双向路径的图。
8. 网络（Network）：带有权值的图，边上的权值代表节点间的相关程度或距离。
二、表示方法1. 邻接矩阵（Adjacency Matrix）：使用二维数组来表示节点之间的关系。
矩阵中的元素表示边的存在与否，可以是布尔值或权值。
2. 邻接表（Adjacency List）：使用链表等数据结构来表示每个节点相邻节点的集合。
每个节点存储一个指向相邻节点的指针。
三、遍历算法1. 深度优先搜索（Depth First Search，DFS）：从起始节点开始，不断沿着一条路径探索直到无法继续，然后回溯到前一个节点继续探索其他路径。
2. 广度优先搜索（Breadth First Search，BFS）：从起始节点开始，逐层遍历相邻节点，保证先访问离起始节点近的节点。
四、常见应用1. 最短路径算法：用于寻找两个节点之间路径长度最短的算法，如迪杰斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）和弗洛伊德算法（Floyd's Algorithm）。
运筹学最大流问题例题
运筹学最大流问题例题一、问题描述在运筹学领域，最大流问题是一种重要的网络流问题，其目标是在给定有向图中，找到从源点到汇点的最大流量。
求解最大流问题可以应用于许多实际场景，比如物流调度、电力网络分配等。
二、问题分析最大流问题可以通过使用流网络模型来求解。
流网络由一组有向边和节点组成，其中每条边都带有一个容量值，代表该边所能通过的最大流量。
流量值表示通过该边的实际流量。
为了求解最大流问题，我们需要使用网络流算法，其中最著名的算法是Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。
这些算法通过不断寻找增广路径来增加流量，直到无法找到增广路径为止。
三、问题实例为了更好地理解最大流问题，以下是一个具体的例子：假设有一个物流网络，由多个节点和边构成。
每条边都带有一个容量值，表示该边所能通过的最大流量。
网络中有一个源点和一个汇点，我们需要找到从源点到汇点的最大流量。
节点和边的关系如下：源点 -> A: 容量为5源点 -> B: 容量为3A -> C: 容量为2A -> D: 容量为4B -> C: 容量为2B -> E: 容量为3C -> 汇点: 容量为4D -> 汇点: 容量为5E -> 汇点: 容量为3根据以上描述，我们可以通过使用Ford-Fulkerson算法来求解最大流问题。
算法的基本步骤如下：1. 初始化流网络，将所有边上的流量设为0。
2. 寻找增广路径：通过深度优先搜索或广度优先搜索，寻找从源点到汇点的一条路径，使得路径上的边上仍有剩余容量。
3. 计算路径上的最小容量值，即可通过的最大流量。
4. 更新路径上的边的流量，即增加最小容量值。
5. 重复步骤2-4，直到无法找到增广路径为止。
6. 最后，计算源点流出的总流量，即为最大流量。
通过以上例子，我们可以清楚地了解最大流问题的基本思想和求解步骤。
在实际应用中，可以根据具体情况使用不同的网络流算法来求解最大流问题。
常见算法
A*搜索算法评价函数：F = G + H*G已知的到达某点g的距离*H从g达到目标点的估计距离1，把起始格添加到开启列表。
2，重复如下的工作：a) 寻找开启列表中F值最低的格子。
我们称它为当前格。
b) 把它切换到关闭列表。
c) 对相邻的格中的每一个？* 如果它不可通过或者已经在关闭列表中，略过它。
否侧继续。
* 如果它不在开启列表中，把它添加进去。
把当前格作为这一格的父节点。
记录这一格的F,G和H值。
* 如果它已经在开启列表中，用G值为参考检查新的路径是否更好。
更低的G值意味着更好的路径。
如果是这样，就把这一格的父节点改成当前格，并且重新计算这一格的G和F值。
如果你保持你的开启列表按F值排序，改变之后你可能需要重新对开启列表排序。
d) 停止，当你* 把目标格添加进了关闭列表，这时候路径被找到，或者* 没有找到目标格，开启列表已经空了。
这时候，路径不存在。
3.保存路径。
从目标格开始，沿着每一格的父节点移动直到回到起始格。
这就是你的路径。
计算时还需考虑多源同时搜索，CPU耗时。
方法有采用二差堆、分层搜索（宏观密度小，微观密度大）。
二分查找二分查找又称折半查找，优点是比较次数少，查找速度快，平均性能好；其缺点是要求待查表为有序表，且插入删除困难。
因此，折半查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。
首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。
重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。
分支界定算法1、基本思想分枝定界法是一个用途十分广泛的算法，运用这种算法的技巧性很强，不同类型的问题解法也各不相同。
分支定界法的基本思想是对有约束条件的最优化问题的所有可行解（数目有限）空间进行搜索。
数据结构中的最小割算法解析
数据结构中的最小割算法解析最小割算法是一种用于在图中找到最小割（最小割是指将图分成两个部分，使得两部分之间的边集权重之和最小）的有效方法。
在数据结构领域，最小割算法是一种重要的算法，被广泛应用于网络流问题、图像分割和社交网络分析等领域。
本文将详细解析最小割算法的原理、应用场景和具体实现。
一、最小割算法原理最小割算法的核心原理基于网络流的概念和图的割。
在图论中，网络流是指在一个带有容量限制的图中，从源节点到汇节点的流量传输问题。
而割是将图中的顶点分为两个不相交的集合，并将这两个集合分别称为源集合和汇集合，边的权重被称为割的容量。
最小割算法通过寻找图中的割，使得割的容量最小来达到最小割的目标。
最小割算法有多种具体实现方法，其中最著名的算法是Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。
Ford-Fulkerson算法通过不断寻找增广路径，即从源节点到汇节点的一条路径，使得路径上的边容量可以增加，从而提高流量。
而Edmonds-Karp算法则通过BFS（广度优先搜索）寻找增广路径，具有更高的效率。
二、最小割算法的应用场景最小割算法在实际应用中有广泛的应用场景，主要包括以下几个方面：1. 网络流问题：最小割算法被广泛应用于网络流问题中，如最大流问题、最小费用最大流问题和最大权闭合子图问题等。
通过寻找最小割，可以在网络中找到最大的流量或最小的流量。
2. 图像分割：最小割算法可以将图像分割为多个区域，从而实现图像语义分割、边缘检测和目标识别等应用。
3. 社交网络分析：最小割算法可以应用于社交网络中的群体发现、社区发现和信息传播等领域。
通过寻找最小割，可以将社交网络分割为不同的社区，从而更好地理解和分析社交网络的结构和特征。
三、最小割算法的具体实现最小割算法的具体实现与选择的算法密切相关。
在这里，我们以Ford-Fulkerson算法为例进行介绍。
1. Ford-Fulkerson算法：a. 初始化流量网络，设置初始流量为0。
基于网络流的路径规划算法研究
基于网络流的路径规划算法研究一、引言路径规划是计算机科学领域中的一个重要研究方向，其目的是找到从一个起点到终点的最佳路径。
在现实生活中，路径规划在许多领域都有广泛应用，如交通导航、物流配送、机器人导航等。
网络流算法是一种常用于解决路径规划问题的方法，其基本思想是将路径规划问题转化为网络中最大流或最小割问题。
本文将从网络流算法的原理、应用和改进等方面进行深入研究。
二、网络流算法原理1.1 最大流问题最大流问题是一种经典的优化问题，在给定一个有向图和两个节点s和t时，其目标是找到从s到t的最大流量。
常用解决最大流问题的方法有Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。
Ford-Fulkerson算法通过不断寻找增广路径来增加当前流量，直到无法找到增广路径为止。
Edmonds-Karp算法在Ford-Fulkerson基础上进行了改进，使用BFS寻找增广路径，使得时间复杂度更低。
1.2 最小割问题最小割问题与最大流问题相对应，在给定一个有向图和两个节点s和t时，其目标是找到一个割集，使得割集中的节点可以通过流量的传递到达t，且割集的容量最小。
最小割问题可以通过最大流问题来解决，即找到最大流后，将图中所有边的容量减去其流量得到的边即为最小割。
三、网络流算法应用2.1 交通导航交通导航是路径规划应用中常见的场景之一。
通过将道路网络抽象为有向图，交通导航系统可以根据实时路况信息和用户目标位置，利用网络流算法求解出最短路径或者时间最短路径。
在实际应用中，还需要考虑一些约束条件如道路限速、拥堵情况等。
2.2 物流配送物流配送是另一个重要领域，在物资配送过程中需要考虑如何规划路径以减少时间和成本。
利用网络流算法可以将物资配送过程抽象为有向图，并根据货物数量、距离等因素求解出最优路径以实现高效配送。
2.3 机器人导航机器人导航是人工智能领域研究的热点之一，在机器人行走过程中需要规划路径以避开障碍物。
网络流详解(C++版)
网络流基本概念在实际生活中有许多流量问题，例如在交通运输网络中的人流、车流、货物流，供水网络中的水流，金融系统中的现金流，通讯系统中的信息流，等等。
50年代以福特(Ford)、富克逊(Fulkerson)为代表建立的“网络流理论”，是网络应用的重要组成部分。
在最近的奥林匹克信息学竞赛中，利用网络流算法高效地解决问题已不是什么稀罕的事了。
本节着重介绍最大流(包括最小费用)算法，并通过实际例子，讨论如何在问题的原型上建立—个网络流模型，然后用最大流算法高效地解决问题。
1.问题描述如图5-1所示是联结某产品地v1和销售地v4的交通网，每一弧(vi,vj)代表从vi到vj的运输线，产品经这条弧由vi输送到vj，弧旁的数表示这条运输线的最大通过能力。
产品经过交通网从v1到v4。
现在要求制定一个运输方案使从v1到v4的产品数量最多。
图5-1 图5-2 2.网络与网络流给一个有向图N=(V，E)，在V中指定一点，称为源点(记为vs，和另一点，称为汇点(记为vt)，其余的点叫中间点，对于E中每条弧(vi，vj)都对应一个正整数c(vi，vj)≥O(或简写成cij)，称为f的容量，则赋权有向图N=(V，E，c，vs，vt)称为一个网络。
如图5-1所给出的一个赋权有向图N就是一个网络，指定v1是源点，v4为汇点，弧旁的数字为cij。
所谓网络上的流，是指定义在弧集合E上一个函数f={f(vi，vj)}，并称f(vi，vj)为弧(vi，vj)上的流量(下面简记为fij)。
如图5-2所示的网络N，弧上两个数，第一个数表示容量cij，第二个数表示流量fij。
3.可行流与最大流在运输网络的实际问题中，我们可以看出，对于流有两个显然的要求：一是每个弧上的流量不能超过该弧的最大通过能力(即弧的容量)；二是中间点的流量为0，源点的净流出量和汇点的净流入量必相等且为这个方案的总输送量。
因此有：(1)容量约束：0≤f ij≤c ij，(v i,v j)∈E，(2)守恒条件对于中间点：流入量=流出量；对于源点与汇点：源点的净流出量v s(f)=汇点的净流入量（-v t(f)）的流f，称为网络N上的可行流，并将源点s的净流量称为流f的流值v(f)。
运筹学最大流问题例题
运筹学最大流问题例题运筹学中的最大流问题是一种重要的优化问题，它在网络流量分配、路径规划等领域有着广泛的应用。
下面我将给出两个较为详细的最大流问题例题，以帮助读者更好地理解。
例题一：假设有一个有向图，其中包含一个源点S和一个汇点T，其他节点分别表示供给点和需求点。
每条边的容量表示该路径上的最大流量。
现在我们需要确定从S到T的最大流量。
其中，源点S有一个供给量为10的容器，汇点T有一个需求量为10的容器。
其他节点没有容器。
图中各点之间的边的容量如下：S -> A: 5S -> B: 3A -> C: 4A -> D: 2B -> E: 2B -> F: 4C -> T: 3D -> T: 1E -> T: 1F -> T: 5求解：通过构建网络流图，我们可以将这个问题转化为一个最大流问题。
首先，我们为每条边都添加一个容量属性，然后为S和T之间添加一个超级源点和超级汇点。
图示如下所示：```S/ | \A B C/ | | \D E F T```超级源点S0与源点S之间的边的容量为源点S的供给量10，超级汇点T0与汇点T之间的边的容量为汇点T的需求量10。
接下来，我们要找到从超级源点到超级汇点的最大流量，即求解这个网络流图的最大流。
解答：根据这个网络流图，我们可以使用Ford-Fulkerson算法求解最大流问题。
具体步骤如下：1. 初始化网络流为0。
2. 在剩余容量大于0的路径上增广流量：从超级源点出发，找到一条路径到达超级汇点，该路径上的流量不超过路径上边的最小容量。
3. 更新剩余容量：将路径上的每条边的剩余容量减去增广流量。
4. 将增广流量加到网络流中。
5. 重复步骤2-4，直到找不到从超级源点到超级汇点的路径。
通过应用Ford-Fulkerson算法，我们可以得到从超级源点到超级汇点的最大流量为8。
因此，从源点S到汇点T的最大流量也为8。
网络流算法(NetworkFlow)
网络流算法（NetworkFlow）网络流算法，是指寻找网络流问题的解的算法，它是一类重要的组合优化问题，被广泛应用于计算机科学及工程领域。
网络流是个有向图，它模拟了许多实际问题，如输电方案、货物运输、油管输送和信息传输等。
网络流算法的目的是在给定的网络流中，尽可能地将流量从源点流向汇点，同时满足各个节点的容量约束和流量平衡约束。
本文将介绍网络流模型的构建和基本算法。
一、网络流模型的构建网络流模型是一个有向图G=(V,E)，其中V表示节点集合，E表示边集合。
每条边都有一个容量c(e)表示其流量的最大值。
设源点为s，汇点为t，则网络流模型可以表示为一个三元组(N,s,t)，即：N=(V,E) s∈V t∈V s≠t在网络流模型中，源点始终是起点，汇点始终是终点。
我们在模型中引入一个源汇节点s'和汇源节点t'，并连接源点和汇点，得到源汇图G'=(V,E')，其中：E'=E∪{(s',s,c(s,t))}∪{(t,t',c(s,t))}即，在原图的基础上，加入两个新的虚拟节点s'和t'，并连接到源点和汇点。
这样构造的网络流模型中，所有的节点都满足容量和流量平衡约束。
在网络流问题中，我们需要求解最大流或最小割，以满足约束条件，并且尽可能地提高网络的利用率。
二、网络流的基本概念和算法1. 流量和容量网络流图中，首先需要确定每条边的容量和流量。
流量指的是通过该边的流量大小，容量指的是该边能够承受的最大流量。
在网络流模型中，每条边的容量是一个正实数，而流量可以是任意实数。
流量和容量通常表示为f(e)和c(e)。
2. 割在网络流模型中，割是一种对源汇图做出的划分，其中源点s和汇点t被分为两个集合S和T。
网络流通过割的概念来定义障碍物，即对流量的限制。
在网络流图中，割C(S,T)是指将源点s和汇点t割成两部分的划分，C(S,T)满足：s∈S t∈T S∩T=∅根据割的定义，可将所有割分为最小割和最大割。
三种网络流（最大流）的实现算法讲解与代码
三种⽹络流（最⼤流）的实现算法讲解与代码[洛⾕P3376题解]⽹络流（最⼤流）的实现算法讲解与代码定义对于给定的⼀个⽹络，有向图中每个的边权表⽰可以通过的最⼤流量。
假设出发点S⽔流⽆限⼤，求⽔流到终点T后的最⼤流量。
起点我们⼀般称为源点，终点⼀般称为汇点内容前置1.增⼴路在⼀个⽹络从源点S到汇点T的⼀条各边剩余流量都⼤于0(还能让⽔流通过,没有堵住)的⼀条路。
2.分层预处理出源点到每个点的距离(每次寻找增⼴路都要,因为以前原本能⾛的路可能因为⽔灌满了,导致不能⾛了).作⽤是保证只往更远的地⽅放⽔,避免兜圈⼦或者是没事就⾛回头路(正所谓⼈往⾼处⾛⽔往低处流).3.当前弧优化每次增⼴⼀条路后可以看做“榨⼲”了这条路，既然榨⼲了就没有再增⼴的可能了。
但如果每次都扫描这些“枯萎的”边是很浪费时间的。
那我们就记录⼀下“榨取”到那条边了，然后下⼀次直接从这条边开始增⼴，就可以节省⼤量的时间。
这就是当前弧优化具体怎么实现呢，先把链式前向星的head数组复制⼀份，存进cur数组，然后在cur数组中每次记录“榨取”到哪条边了。
[#3 引⽤⾃]()解决算法Ford-Fulkerson 算法(以下简称FF算法)FF算法的核⼼是找增⼴路,直到找不到为⽌。
(就是⼀个搜索，⽤尽可能多的⽔流填充每⼀个点，直到没有⽔⽤来填充，或者没有多余的节点让⽔流出去)。
但是这样的⽅法有点基于贪⼼的算法，找到反例是显⽽易见的，不⼀定可以得到正解。
为了解决这种问题，我们需要⼀个可以吃后悔药的⽅法——加反向边。
原本我们的DFS是⼀条路⾛到⿊的，现在我们每次进⼊⼀个节点，把⽔流送进去，同时建⽴⼀个权值与我们送⼊的⽔流量相等，但是⽅向相反的路（挖⼀条路让⽔流能够反向流回来，相当于给⽔流吃⼀颗后悔药）。
我们给了FF算法⼀颗后悔药之后就可以让他能够找到正确的最⼤流。
Ford-Fulkerson算法的复杂度为O(e×f) ,其中 e 为边数, f为最⼤流上代码。
《运筹学》期末考试试题及参考答案
《运筹学》期末考试试题及参考答案《运筹学》期末考试试题及参考答案一、填空题1、运筹学是一门新兴的_________学科，它运用_________方法，研究有关_________的一切可能答案。
2、运筹学包括的内容有_______、、、_______、和。
3、对于一个线性规划问题，如果其目标函数的最优解在某个整数约束条件的约束范围内，那么该最优解是一个_______。
二、选择题1、下列哪一项不是运筹学的研究对象？( ) A. 背包问题 B. 生产组织问题 C. 信号传输问题 D. 原子核物理学2、以下哪一个不是运筹学问题的基本特征？( ) A. 唯一性 B. 现实性 C. 有解性 D. 确定性三、解答题1、请简述运筹学在日常生活中的应用实例，并就其中一个进行详细说明。
2、某企业生产三种产品，每种产品都可以选择用手工或机器生产。
假设生产每件产品手工需要的劳动时间为3小时，机器生产为2小时，卖价均为50元。
此外，手工生产每件产品的材料消耗为10元，机器生产为6元。
已知每个工人每天工作时间为24小时，可生产10件产品，每件产品的毛利润为50元。
请用运筹学方法确定手工或机器生产的数量，以达到最大利润。
参考答案：一、填空题1、交叉学科；数学；合理利用有限资源，获得最大效益2、线性规划、整数规划、动态规划、图论与网络、排队论、对策论3、整点最优解二、选择题1、D 2. A三、解答题1、运筹学在日常生活中的应用非常广泛。
例如，在背包问题中，如何在有限容量的背包中选择最有价值的物品；在生产组织问题中，如何合理安排生产计划，以最小化生产成本或最大化生产效率；在信号传输问题中，如何设计最优的信号传输路径，以确保信号的稳定传输。
以下以背包问题为例进行详细说明。
在背包问题中，给定一组物品，每个物品都有自己的重量和价值。
现在需要从中选择若干物品放入背包中，使得背包的容量恰好被填满，同时物品的总价值最大。
这是一个典型的0-1背包问题，属于运筹学的研究范畴。
图论与网络流算法
图论与网络流算法一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握图的基本概念，包括图的表示方法、顶点与边的性质；2. 使学生理解图论中的关键算法，如最短路径、最小生成树、网络流等；3. 培养学生运用图论知识解决实际问题的能力。
技能目标：1. 培养学生运用图论算法编程解决问题的能力；2. 提高学生分析问题、设计算法和解决问题的能力；3. 培养学生的团队协作和沟通能力。
情感态度价值观目标：1. 激发学生对图论和网络流算法的兴趣，培养其主动探索的精神；2. 培养学生面对复杂问题时，保持积极、严谨的态度；3. 引导学生认识到图论在网络科学、运筹学等领域的广泛应用，增强其社会责任感。
本课程针对高中年级学生，课程性质为选修课，旨在帮助学生拓展知识面，提高逻辑思维能力和解决问题的能力。
考虑到学生的年龄特点，课程内容将注重实际应用，结合生活实例，引导学生发现图论在网络流算法中的重要作用。
在教学过程中，注重启发式教学，鼓励学生主动思考、提问，培养其创新意识。
通过本课程的学习，期望学生能够掌握图论基本知识，运用网络流算法解决实际问题，并在此过程中，形成积极的学习态度和价值观。
二、教学内容1. 图的基本概念- 图的表示方法（邻接矩阵、邻接表）- 顶点与边的性质（度、路径、连通性）2. 图论关键算法- 最短路径算法（Dijkstra算法、Floyd算法）- 最小生成树算法（Prim算法、Kruskal算法）- 网络流算法（Ford-Fulkerson算法、Edmonds-Karp算法）3. 图论在实际问题中的应用- 交通网络分析- 电信网络设计- 社交网络分析4. 教学内容安排与进度- 第1周：图的基本概念及表示方法- 第2周：最短路径算法及其应用- 第3周：最小生成树算法及其应用- 第4周：网络流算法及其应用5. 教材章节及内容列举- 教材第3章：图的基本概念- 教材第4章：最短路径与最小生成树算法- 教材第5章：网络流算法及其应用教学内容根据课程目标进行选择和组织，注重科学性和系统性。
算法原理知识点总结
算法原理知识点总结算法是计算机科学和信息技术领域中的重要概念，是解决问题或执行任务的一系列有序步骤的描述。
算法可以用于各种不同的情景和问题，比如搜索、排序、最短路径等。
本文将介绍一些算法的基本原理和知识点，并对一些常用的算法进行详细的介绍。
一、算法的基本原理1. 算法的定义算法是一系列步骤的描述，用于解决问题或执行任务。
这些步骤必须是有序的，并且能够在有限时间内完成。
算法可以应用于各种不同的情景和问题，比如搜索、排序、最短路径等。
2. 算法的特性算法具有以下几个特性：- 有穷性：算法必须在有限的步骤内完成；- 确定性：算法的每一步必须明确，并且具有确定的含义；- 输入：算法必须有零个或多个输入；- 输出：算法必须有一个或多个输出。
3. 算法的复杂度算法的复杂度是指算法的执行时间和空间资源的消耗。
在计算机科学和信息技术领域中，算法的复杂度通常用大O记号来表示。
大O记号描述了算法在最坏情况下的运行时间的增长速度。
4. 算法的正确性算法的正确性是指算法能够在所有输入情况下得到正确的输出。
为了验证算法的正确性，通常需要对算法进行测试，并且证明其正确性。
二、常用的算法1. 搜索算法搜索算法是用来在数据集中查找特定元素的算法。
常用的搜索算法包括线性搜索、二分搜索和哈希表等。
- 线性搜索：线性搜索是最简单的搜索算法，它遍历整个数据集，查找指定的元素。
线性搜索的时间复杂度为O(n)。
- 二分搜索：二分搜索是一种效率较高的搜索算法，它要求数据集是有序的。
二分搜索通过反复将搜索范围减半，来查找特定的元素。
二分搜索的时间复杂度为O(log n)。
- 哈希表：哈希表是一种使用哈希函数来存储和查找数据的数据结构。
哈希表的时间复杂度为O(1)。
2. 排序算法排序算法是用来将数据集中的元素按照指定的顺序进行排列的算法。
常用的排序算法包括冒泡排序、快速排序和归并排序等。
- 冒泡排序：冒泡排序是一种简单的排序算法，它通过比较相邻的元素，并交换它们的位置来进行排序。
最大流算法
◆如果有一组流量满足条件： 源点s ： 流出量 = 整个网络的流量 汇点t ： 流入量 =整个网络的流量 中间点：总流入量 = 总流出量
2 ） 对与该增广路径上的边 若( u, v ) 是正向边，f ( u, v ) = f ( u, v ) + d; 若( u, v ) 是逆向边，f ( u, v ) = f ( u, v ) – d;
增广后，总流量增加了d
样例：
4
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6
23
2
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开始流量为:sum=0
4
5
5
23
4
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1 2 22
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3
4
2
5
1、一条增广路径: 1235 d=min{4,2,4} =2 增加流量: 2 Sum=2
4 23 4
1
2
22
5
6
3
4
2
5
2 32
1
4
2
2
22
4
2
5
6
34
5
2
2、一条增广路径: 1245 d=min{4-2,3,5} =2 增加流量: 2 Sum=2+2=4
2 32
i:=b[i];
ห้องสมุดไป่ตู้
end;
inc(sum,d); {总流量增加d}
主程序：
for i:=1 to n do b[i]:= -1; {初始化增广路径} b[1]:=0; while findflow(1) do {增广流}
最大流问题经典例题
最大流问题经典例题最大流问题是图论中的一个经典问题，其目的是在一个有向图中找到一条从源点到汇点的路径，使得路径上的流量最大。
最大流问题有多种解法，其中最著名的是Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp 算法。
下面介绍一个最大流问题的经典例题：给定一个有向图G=(V,E)，其中V表示节点集合，E表示边集合。
假设有源点s和汇点t，并且每条边都有一个容量c，表示该边最多可以通过的流量。
请找到从源点s到汇点t的最大流量。
解法：一种解法是使用Ford-Fulkerson算法。
该算法通过不断增广路径来寻找最大流，直到无法找到增广路径为止。
具体实现过程如下：1. 初始化流f=0。
2. 寻找一条增广路径，即从s到t的一条路径，使得路径上所有边的剩余容量都大于0。
3. 计算该路径上的最小剩余容量d。
4. 对该路径上的所有边e，将其流量增加d，同时将其反向边的流量减少d。
5. 将f增加d。
6. 重复步骤2-5，直到无法找到增广路径。
另一种解法是使用Edmonds-Karp算法。
该算法在Ford-Fulkerson算法的基础上优化了增广路径的选择，选择最短路作为增广路径，从而提高了算法的效率。
具体实现过程如下：1. 初始化流f=0。
2. 寻找一条从s到t的最短增广路径，即路径上所有边的剩余容量都大于0，且路径长度最短。
3. 计算该路径上的最小剩余容量d。
4. 对该路径上的所有边e，将其流量增加d，同时将其反向边的流量减少d。
5. 将f增加d。
6. 重复步骤2-5，直到无法找到增广路径。
无论使用哪种算法，最后得到的f即为从源点s到汇点t的最大流量。
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判定路径的容量 D
在路径中发送 D 单位的流. 更新剩余网络
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Ford-Fulkerson 最大流
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寻找任何 s-t 路径
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在路径中发送 D 单位的流. 更新剩余网络
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寻找任何 s-t 路径
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Ford-Fulkerson 最大流
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判定路径的容量 D
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s
2
1
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t
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这是最优流.
16
15.082 和 6.855J
最大流问题的Ford-Fulkerson 增广路 径算法
Ford-Fulkerson 最大流
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3
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这是初始网络以及初始剩余网络 .
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在G(x)中寻找任何s-t 路径.
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在路径上发送 D 单位的流.
更新剩余容量.
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寻找任何s-t 路径
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在路径中发送 D 单位的流. 更新剩余网络
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在剩余网络中没有 s-t 路径. 此流是最优的.
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这些是从结点 s 可达的结点.
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