网络流算法介绍与分析 ppt课件
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线性规划与网络流ppt课件
X=( X (0)
，
)T=(b1,…,bm,0,…,0)T
因解有记例b≥3为0求,解故非又X齐满称次足初线约始性束方基(程本1组-可193行xx)x111,解是5xxx22。2一933个xxx333基84xxx4本44 104可 行
B 311
1 1 5
（2）一般经过不大于m或n次迭代就可求得最优解。
9
基本可行解理解例子
n
maxz c j x j
j 1
n
pjxj b
j 1
xj 0( j 1,, n)
(1-17)
(1 18) (1 19)
在约束条件（1-18）式的变量的系数矩阵中总
会存在一个单位矩1 阵0 ， 不0妨设为
应用最广泛的方法之一。 是最基本的方法之一。网络规划，整数规划，目标
规划和多目标规划都是以线性规划为基础的。 是解决稀缺资源最优分配的有效方法，使付出的费
用最小或获得的收益最大
3
仓库租赁问题
某企业计划为流通的货物租赁一批仓库。必须保证在时间 段i=1,2,…,n，有bi的仓库容量可用。现有若干仓库源可供 选择。设cij是从时间段i到时间段j租用1个单位仓库容量的 价格，1ijn。应如何安排仓库租赁计划才能满足各时间 段的仓库需求，且使租赁费用最少。
1
问题与建模
模型：对真实系统的结构与行为用图、解析式 或方程来描述的合称为模型。
数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言对 实际对象的一个刻画，以便于人们更简明更深 刻地认识所研究的对象
数学建模：根据要求，针对实际问题，组建数 学模型的全过程（包括建立、求解、分析、检 验等）
2
线性规划模型
网络流算法介绍与分析
-----精品文档------
残量网络
为了更方便算法的实现，一般根据原网 络定义一个残量网络。其中r(u,v)为残量 网络的容量。 r(u,v) = c(u,v) – f(u,v) 通俗地讲：就是对于某一条边（也称 弧），还能再有多少流量经过。 Gf残量网络,Ef表示残量网络的边集.
-----精品文档------
网络流
杭州学军中学 魏越闽
-----精品文档---的集合. E表示整个图中所有边的集合. G = (V,E) ,表示整个图. s表示网络的源点,t表示网络的汇点. 对于每条边(u,v),有一个容量c(u,v) (c(u,v)>=0) 如果c(u,v)=0，则表示(u,v)不存在在网络中。 如果原网络中不存在边(u,v)，则令c(u,v)=0 对于每条边(u,v),有一个流量f(u,v).
v1
2
2 2
绿色的即为一条增
广路。
t
-----精品文档------
3 v2
2
增广路算法
增广路算法：每次用BFS找一条最 短的增广路径，然后沿着这条路径 修改流量值（实际修改的是残量网 络的边权）。当没有增广路时，算 法停止，此时的流就是最大流。
下面证明增广路算法的正确性.
-----精品文档------
-----精品文档------
为什么要建立后向弧
显然，例1中的画出来的不是一个最大流。 但是，如果我们把s -> v2 -> v1 -> t这条路径 经过的弧的流量都增加2,就得到了该网络的最 大流。 注意到这条路径经过了一条后向弧:(v2,v1)。 如果不设立后向弧，算法就不能发现这条路径。 从本质上说，后向弧为算法纠正自己所犯的错 误提供了可能性，它允许算法取消先前的错误 的行为（让2单位的流从v1流到v2)
残量网络
为了更方便算法的实现，一般根据原网 络定义一个残量网络。其中r(u,v)为残量 网络的容量。 r(u,v) = c(u,v) – f(u,v) 通俗地讲：就是对于某一条边（也称 弧），还能再有多少流量经过。 Gf残量网络,Ef表示残量网络的边集.
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网络流
杭州学军中学 魏越闽
-----精品文档---的集合. E表示整个图中所有边的集合. G = (V,E) ,表示整个图. s表示网络的源点,t表示网络的汇点. 对于每条边(u,v),有一个容量c(u,v) (c(u,v)>=0) 如果c(u,v)=0，则表示(u,v)不存在在网络中。 如果原网络中不存在边(u,v)，则令c(u,v)=0 对于每条边(u,v),有一个流量f(u,v).
v1
2
2 2
绿色的即为一条增
广路。
t
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3 v2
2
增广路算法
增广路算法：每次用BFS找一条最 短的增广路径，然后沿着这条路径 修改流量值（实际修改的是残量网 络的边权）。当没有增广路时，算 法停止，此时的流就是最大流。
下面证明增广路算法的正确性.
-----精品文档------
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为什么要建立后向弧
显然，例1中的画出来的不是一个最大流。 但是，如果我们把s -> v2 -> v1 -> t这条路径 经过的弧的流量都增加2,就得到了该网络的最 大流。 注意到这条路径经过了一条后向弧:(v2,v1)。 如果不设立后向弧，算法就不能发现这条路径。 从本质上说，后向弧为算法纠正自己所犯的错 误提供了可能性，它允许算法取消先前的错误 的行为（让2单位的流从v1流到v2)
网络流ppt
图1的c是一个流量达到最大的流（流量为5）， 截集{(υs,υ1),(υ2,υ3,υ4,υt)}是一个最小截集（截量 为5）。
最小割容量=最大流
3 网络流的几个主要研究分支
3.1最大流 3.2最小费用最大流
最大流问题:
在网络上寻求一个使流量 υ(ƒ)达到最大的流ƒ， 称之为网络最大流问题。它是网络流理论中的一 个主要研究课题,已获得一些重要结果： ① 若各弧上的容量都是正整数，则必存在各弧上 的流量都是整数的最大流。 ② 流ƒ是最大流的充分必要条件是,不存在关于ƒ的 增广链。从而将寻求最大流问题化为判断有无增 广链问题。易见，图1中的b不是最大流。福特和 富尔克森提出了一种标号法，即对网络上的点给 以标号，从υs出发沿网络上的弧向υt探寻增广链 的方法。
(0,3)
(0,3)
(6,6)
v0
(2,2)
v5
(4,4)
vn
(5,5)
(0,3)
(0,3)
(4,10)
v3
(0,4)
v4
(3,5)
(4,5)
(6,6) v1
v2
(4,10)
(0,3)
(0,3)
(6,6)
v0
(2,2)
v5
(4,4)
vn
(5,5)
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(0,3)
(4,10)
v3
(0,4)
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(3,5)
(4,5)
(6,6) v1
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(4,10)
(0,3)
(0,3)
(6,6)
v0
(2,2)
v5
(4,4)
vn
(5,5)
(0,3)
(0,3)
(4,10)
最小割容量=最大流
3 网络流的几个主要研究分支
3.1最大流 3.2最小费用最大流
最大流问题:
在网络上寻求一个使流量 υ(ƒ)达到最大的流ƒ， 称之为网络最大流问题。它是网络流理论中的一 个主要研究课题,已获得一些重要结果： ① 若各弧上的容量都是正整数，则必存在各弧上 的流量都是整数的最大流。 ② 流ƒ是最大流的充分必要条件是,不存在关于ƒ的 增广链。从而将寻求最大流问题化为判断有无增 广链问题。易见，图1中的b不是最大流。福特和 富尔克森提出了一种标号法，即对网络上的点给 以标号，从υs出发沿网络上的弧向υt探寻增广链 的方法。
(0,3)
(0,3)
(6,6)
v0
(2,2)
v5
(4,4)
vn
(5,5)
(0,3)
(0,3)
(4,10)
v3
(0,4)
v4
(3,5)
(4,5)
(6,6) v1
v2
(4,10)
(0,3)
(0,3)
(6,6)
v0
(2,2)
v5
(4,4)
vn
(5,5)
(0,3)
(0,3)
(4,10)
v3
(0,4)
v4
(3,5)
(4,5)
(6,6) v1
v2
(4,10)
(0,3)
(0,3)
(6,6)
v0
(2,2)
v5
(4,4)
vn
(5,5)
(0,3)
(0,3)
(4,10)
精品课件-算法设计与分析PPT课件
19
Bland提出避免循环的一个简单易行的方法。Bland提出在单纯形算法迭代中,按照下面的2个简单规则就可以避免循环。规则1:设 ,取xe为入基变量。规则2:设 取xk为离基变量。算法leave(col)已经按照规则2选取离基变量。选取入基变量的算法enter(objrow) 中只要加一个break语句即可。
4
这个问题的解为 (x1,x2,x3,x4) = (0,3.5,4.5,1);最优值为16。
5
8.1.2 线性规划基本定理
约束条件(8.2)-(8.5)中n个约束以等号满足的可行解称为线性规划问题的基本可行解。若n>m,则基本可行解中至少有n-m个分量为0,也就是说,基本可行解中最多有m个分量非零。线性规划基本定理:如果线性规划问题有最优解,则必有一基本可行最优解。上述定理的重要意义在于,它把一个最优化问题转化为一个组合问题,即在(8.2) -(8.5)式的m+n个约束条件中,确定最优解应满足其中哪n个约束条件的问题。由此可知,只要对各种不同的组合进行测试,并比较每种情况下的目标函数值,直到找到最优解。Dantzig于1948年提出了线性规划问题的单纯形算法。单纯形算法的特点是:1)只对约束条件的若干组合进行测试,测试的每一步都使目标函数的值增加;2)一般经过不大于m或n次迭代就可求得最优解。
16
为了进一步构造标准型约束,还需要引入m个人工变量,记为zi。至此,原问题已经变换为等价的约束标准型线性规划问题。对极小化线性规划问题,只要将目标函数乘以-1即可化为等价的极大化线性规划问题。
17
8.1.5 一般线性规划问题的2阶段单纯形算法
引入人工变量后的线性规划问题与原问题并不等价,除非所有zi都是0 。为了解决这个问题,在求解时必须分2个阶段进行。第一阶段用一个辅助目标函数 替代原来的目标函数。这个线性规划问题称为原线性规划问题所相应的辅助线性规划问题。对辅助线性规划问题用单纯形算法求解。如果原线性规划问题有可行解,则辅助线性规划问题就有最优解,且其最优值为0,即所有zi都为0。在辅助线性规划问题最后的单纯形表中,所有zi均为非基本变量。划掉所有zi相应的列,剩下的就是只含xi和yi的约束标准型线性规划问题了。单纯形算法第一阶段的任务就是构造一个初始基本可行解。单纯形算法第二阶段的目标是求解由第一阶段导出的问题。此时要用原来的目标函数进行求解。如果在辅助线性规划问题最后的单纯形表中, zi不全为0,则原线性规划问题没有可行解,从而原线性规划问题无解。
Bland提出避免循环的一个简单易行的方法。Bland提出在单纯形算法迭代中,按照下面的2个简单规则就可以避免循环。规则1:设 ,取xe为入基变量。规则2:设 取xk为离基变量。算法leave(col)已经按照规则2选取离基变量。选取入基变量的算法enter(objrow) 中只要加一个break语句即可。
4
这个问题的解为 (x1,x2,x3,x4) = (0,3.5,4.5,1);最优值为16。
5
8.1.2 线性规划基本定理
约束条件(8.2)-(8.5)中n个约束以等号满足的可行解称为线性规划问题的基本可行解。若n>m,则基本可行解中至少有n-m个分量为0,也就是说,基本可行解中最多有m个分量非零。线性规划基本定理:如果线性规划问题有最优解,则必有一基本可行最优解。上述定理的重要意义在于,它把一个最优化问题转化为一个组合问题,即在(8.2) -(8.5)式的m+n个约束条件中,确定最优解应满足其中哪n个约束条件的问题。由此可知,只要对各种不同的组合进行测试,并比较每种情况下的目标函数值,直到找到最优解。Dantzig于1948年提出了线性规划问题的单纯形算法。单纯形算法的特点是:1)只对约束条件的若干组合进行测试,测试的每一步都使目标函数的值增加;2)一般经过不大于m或n次迭代就可求得最优解。
16
为了进一步构造标准型约束,还需要引入m个人工变量,记为zi。至此,原问题已经变换为等价的约束标准型线性规划问题。对极小化线性规划问题,只要将目标函数乘以-1即可化为等价的极大化线性规划问题。
17
8.1.5 一般线性规划问题的2阶段单纯形算法
引入人工变量后的线性规划问题与原问题并不等价,除非所有zi都是0 。为了解决这个问题,在求解时必须分2个阶段进行。第一阶段用一个辅助目标函数 替代原来的目标函数。这个线性规划问题称为原线性规划问题所相应的辅助线性规划问题。对辅助线性规划问题用单纯形算法求解。如果原线性规划问题有可行解,则辅助线性规划问题就有最优解,且其最优值为0,即所有zi都为0。在辅助线性规划问题最后的单纯形表中,所有zi均为非基本变量。划掉所有zi相应的列,剩下的就是只含xi和yi的约束标准型线性规划问题了。单纯形算法第一阶段的任务就是构造一个初始基本可行解。单纯形算法第二阶段的目标是求解由第一阶段导出的问题。此时要用原来的目标函数进行求解。如果在辅助线性规划问题最后的单纯形表中, zi不全为0,则原线性规划问题没有可行解,从而原线性规划问题无解。
网络流算法课件(清华)
最小割算法的时间复杂度分析
01
最小割算法的时间复杂度主要取决于寻找最小割的步骤，即遍 历所有边的次数。
02
如果网络中边的数量为E，则最小割算法的时间复杂度为O(E)，
其中E的数量与网络中节点的数量和边的数量有关。
因此，对于大规模的网络流问题，最小割算法可能会比较耗时
03 。
05
网络流算法的优化与改进
最大流算法的实现步骤
第一步
01
寻找增广路径。增广路径是从源点到汇点的一条路径，该路径
上的所有边的流量都可以增加。
第二步
02
沿着增广路径增广流量。将增广路径上的所有边的流量增加最
小割，得到新的网络流。
第三步
03
重复第一步和第二步，直到找不到增广路径为止。此时，从源
点到汇点的最大流量即为所求。
最大流算法的时间复杂度分析
最大流算法的时间复杂度主要取决于寻 找增广路径的算法。
常见的寻找增广路径的算法有FordFulkerson算法和Edmonds-Karp算法。 Ford-Fulkerson算法的时间复杂度为 O(V^2E)，Edmonds-Karp算法的时间复杂 度为O(VE^2)。
其中，V表示顶点的数量，E表示边 的数量。因此，最大流算法的时间 复杂度与网络的大小成正比。
定义与特点
定义
网络流算法是一种用于解决具有特定 特性的网络流问题的算法。
特点
网络流算法通常具有高效、精确的特 点，能够处理大规模的网络流问题， 广泛应用于计算机科学、运筹学、电 子工程等领域。
网络流算法的应用场景
最大流问题
寻找在网络中从源点到汇点的最大流量。
最小割问题
确定将网络划分为两个子集的最小割点，使得两个子集之间的流量最小。
网络流概念及相关算法介绍
网络流概念及相关算法介绍引言实现Ford-Fulkerson的时间复杂度主要取决于如何寻找增加路径p。
Edmonds-Karp实现正是通过采用了广度优先的搜索策略得以使其复杂度达到O(V*E^2)。
由于这种算法的效率不很理想，我们在此不多着墨，而主要介绍下述push-relabel算法的思想。
五、一般性的push-relabel算法很多渐进意义下最优的算法都是采用了push-relabel算法的思想，而且很多其他的相关问题，比如最小费用流问题，也可以用这种方法很好的解决。
首先介绍的是一般性的push-relabel算法。
不同于Ford-Fulkerson方法在残留网络中寻找增加路径的方式，push-relabel算法在运行的过程中只关注某一个顶点以及它的相邻顶点，在这个过程中，它并不像Ford-Fulkerson方法保持着“流的保持”性质，而是以一个“先流”进行运作。
这个先流同样是一个V×V →R的函数，满足容量限制和斜对称性，同时，它对所有的u∈V-{s}满足f(V,u)>=0。
我们记e(u)=f(V,u)。
如果e(u)>0我们就说顶点u溢出。
为了步入正题，我们还需要介绍push-relabel算法引入的一个额外的高度函数。
设G=(V,E)是一个流网络，源点是s，汇点是t，f是G中的一个先流。
如果函数h:V→N满足h(s)=|V|，h(t)=0，而且对残留网络中所有的边(u,v)有h(u)<=h(v)+1，那么称h是一个高度函数。
正如其名称一样，push-relabel算法有两个基本操作:push和relabel。
一般性的push-relabel算法就是通过往复执行这两种操作完成的：GENERIC-PUSH-RELABEL(G)先流初始化while 存在可以执行的push或relabel操作选择一个可以执行的push或relabel操作执行。
实验5网络流量分析精品PPT课件
用时间戳标记，方便 查询。
通俗点就象书签一样。
Mark Packet（toggle） 是标记报文
Mark all packets 和 Unamrk all packet即 标记所有报文 、取消 标记所有报文
2020/10/10
网络工程
Edit的下拉菜单
点击 “preference”
进行用户界 面的选择， 比如说 报文
察看界面布 局的选择， 以及协议支 持的选择。
2020/10/10
网络工程
View的下拉菜单
Main toolbar 主工具栏 Filter Toolbar 过滤工具栏 Statusbar 状态条
Packet list 报文列表 Packet details 报文详解 Packet byte 报文字节察看
择保存
3.
路径
4. 2. 保存选择时注意：
5.
缺省保存为libpcap格式，
这个是linux下的tcpdump格式
的文件。只有选择文件保存格
式为sniffer（windows－base）
1.1和2.0都可，ethereal和
sniffer才能双向互相打开对方
抓包的文件。否则Байду номын сангаас有ethereal
能打开sniffer的抓包文件。
✓ FIlter name：任意命名 ✓ Filter string：
“Merge”字面是合并的意思， 其实是追加的意思，即当前捕 获的报文追加到先前已保存的 抓包文件中。
Save和save as即保存 、选择 保存格式。
网络工程
Sinffer、ethereal可以相互 打开对方的文件
2020/10/10
其中save sa保存为是有个注 意点：
通俗点就象书签一样。
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Packet list 报文列表 Packet details 报文详解 Packet byte 报文字节察看
择保存
3.
路径
4. 2. 保存选择时注意：
5.
缺省保存为libpcap格式，
这个是linux下的tcpdump格式
的文件。只有选择文件保存格
式为sniffer（windows－base）
1.1和2.0都可，ethereal和
sniffer才能双向互相打开对方
抓包的文件。否则Байду номын сангаас有ethereal
能打开sniffer的抓包文件。
✓ FIlter name：任意命名 ✓ Filter string：
“Merge”字面是合并的意思， 其实是追加的意思，即当前捕 获的报文追加到先前已保存的 抓包文件中。
Save和save as即保存 、选择 保存格式。
网络工程
Sinffer、ethereal可以相互 打开对方的文件
2020/10/10
其中save sa保存为是有个注 意点：
9王欣上《浅谈基于分层思想的网络流算法》精品PPT课件
else 增广p（删除了p中的饱和边）; 令p.top为p中从s可到达的最后顶点;
end while
2007冬令营讲座
二、Dinic 复杂度分析
建层次图：
O(n*m)
+
dfs找增广路： O(n*n*m)
2007冬令营讲座
层次图中最多找m次增广路 每次在dfs中最多前进n次，花费O(n) 每次修改流量花费O(n) 一次Dfs复杂度为O(m*n)
栈
e
d
cf
f
b
a
5
5
源
汇
a 105
b
50
c
50
d
105
e
后退到原路径中从源点能够到达的最远点
2007冬令营讲座
ps; While 源点没有被删除
up.top;
if u<>t if outdegree(u)>0 设(u,v)为层次图中的一条边; pp,v;
else 从p和层次图中删除点u, 以及和u连接的所有边;
一、最短路径增值(MPLA) 复杂度O(n*m2) 程序简短
对于中小规模数据速度快
2007冬令营讲座
二、Dinic 算法步骤 1、初始化流量，计算出剩余图
2、一次bfs对顶点标号，计算出层次图，如 果汇点不在层次图内，那么算法结束
3、一次dfs过程找增广
4、转步骤 2
2007冬令营讲座
二、Dinic
第二类：从第i(1<=i<=k+1)
..... {level=3的顶点}
个集合中的顶点连到第 j(1<=j<=i)个集合中的顶点
在层不次存图在中从，le只ve存l=在i的第顶一类 {level=k-1的顶点}
end while
2007冬令营讲座
二、Dinic 复杂度分析
建层次图：
O(n*m)
+
dfs找增广路： O(n*n*m)
2007冬令营讲座
层次图中最多找m次增广路 每次在dfs中最多前进n次，花费O(n) 每次修改流量花费O(n) 一次Dfs复杂度为O(m*n)
栈
e
d
cf
f
b
a
5
5
源
汇
a 105
b
50
c
50
d
105
e
后退到原路径中从源点能够到达的最远点
2007冬令营讲座
ps; While 源点没有被删除
up.top;
if u<>t if outdegree(u)>0 设(u,v)为层次图中的一条边; pp,v;
else 从p和层次图中删除点u, 以及和u连接的所有边;
一、最短路径增值(MPLA) 复杂度O(n*m2) 程序简短
对于中小规模数据速度快
2007冬令营讲座
二、Dinic 算法步骤 1、初始化流量，计算出剩余图
2、一次bfs对顶点标号，计算出层次图，如 果汇点不在层次图内，那么算法结束
3、一次dfs过程找增广
4、转步骤 2
2007冬令营讲座
二、Dinic
第二类：从第i(1<=i<=k+1)
..... {level=3的顶点}
个集合中的顶点连到第 j(1<=j<=i)个集合中的顶点
在层不次存图在中从，le只ve存l=在i的第顶一类 {level=k-1的顶点}
相关主题
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网络流
网络流算法介绍与分析
1
一些符号和定义
V表示整个图中的所有结点的集合. E表示整个图中所有边的集合. G = (V,E) ,表示整个图. s表示网络的源点,t表示网络的汇点. 对于每条边(u,v),有一个容量c(u,v) (c(u,v)>=0) 如果c(u,v)=0，则表示(u,v)不存在在网络中。 如果原网络中不存在边(u,v)，则令c(u,v)=0 对于每条边(u,v),有一个流量f(u,v).
网络流算法介绍与分析
9
s
4
v1
2
2 2
t
例1
3 v2
从残量网络中可以 清楚地看到：
因为存在边(s,v2) = 3,我们知道从S到 v2还可以再增加2 单位的流量；
2
因为存在边(v1,t) =
2,我们知道从v1到t
还可以再增加2单
位的流量。
网络流算法介绍与分析
10
s
4
v1
2
2 2
t
后向弧
其中像(v1,s)这样的边
图1 s
(4,4)
(2,
v1
2)
(0,3) v2
例1
s
4
v1
2
图2 3
v2
(2,4) t
2
(2,2) 2
2
t
残量网络（如果网络中一条边的容量为0,则
认为这条边不在残量网络中。r(s,v1)=0,所以
就不画出来了。另外举个例子：r(v1,s) =
c(v1,s) – f(v1,s) = 0 – (-f(s,v1)) = f(s,v1) = 4.
下面证明增广路算法的正确性.
网络流算法介绍与分析
15
将f,c,r的定义域扩展为点集
(在以后的叙述中,大写字母X,Y,S,T一般均表示
点集)
点集间的流量和: f(X,Y) =
f (x, y)
xX yY
即:X中的任意一点与Y中的任意一点组成的所 有边上的流量之和.(边的方向为从X中的结点到 Y中的结点)
网络流算法介绍与分析
7
残量网络
为了更方便算法的实现，一般根据原网 络定义一个残量网络。其中r(u,v)为残量 网络的容量。
r(u,v) = c(u,v) – f(u,v)
通俗地讲：就是对于某一条边（也称 弧），还能再有多少流量经过。
Gf残量网络,Ef表示残量网络的边集.
网络流算法介绍与分析
8
原网络 (a,b)表 示(流量f,容量c)
网络流算法介绍与分析
19
割的定义
一个割(S,T)由两个点集S,T组成. S+T = V s 属于 S. t 属于 T.
提出割的定义,是为后面的证明作铺垫.
网络流算法介绍与分析
20
结论2(点集总流量为零)
不包含s和t的点集,于它相关联的边上的流量之
和为0.
证明: f(X,V) = [ f(x,y)] xX yY
网络流算法介绍与分析
13
增广路
增广路定义：在残
s
量网络中的一条从
s通往t的路径，其
4
中任意一条弧 (u,v)，都有 r[u,v]>0。
v1
2
2 2
绿色的即为一条增
广路。
t
网络流算法介绍与分析
3 v2
2
14
增广路算法
增广路算法：每次用BFS找一条最 短的增广路径，然后沿着这条路径 修改流量值（实际修改的是残量网 络的边权）。当没有增广路时，算 法停止，此时的流就是最大流。
3
称为后向弧,它表示从v1
到s还可以增加4单位的
流量。
v2 但是从v1到s不是和原
网络中的弧的方向相反
2
吗？显然“从v1到s还
可以增加4单位流量”
这条信息毫无意义。那
么，有必要建立这些后
向弧吗？
网络流算法介绍与分析
11
为什么要建立后向弧
显然，例1中的画出来的不是一个最大流。
但是，如果我们把s -> v2 -> v1 -> t这条路径 经过的弧的流量都增加2,就得到了该网络的最 大流。
任意结点,流入该结点的流量和等于流出该 结点的流量和。
结合反对称性,流量平衡也可以写成:
f (v,u) 0
uV
只要满足这三个性质,就是一个合法的网络 流.
网络流算法介绍与分析
6
最大流问题
定义一个网络的流量（记为|f|）= f (s,v) vV
最大流问题，就是求在满足网络流性质 的情况下，|f|的最大值。
注意到这条路径经过了一条后向弧:(v2,v1)。
如果不设立后向弧，算法就不能发现这条路径。
从本质上说，后向弧为算法纠正自己所犯的错 误提供了可能性，它允许算法取消先前的错误 的行为（让2单位的流从v1流到v2)
网络流算法介绍与分析
12
为什么要建立后向弧
当然,可以把上面说的情况当成特殊情况 来处理。但使用后向弧可以使编程简单 许多. 注意,后向弧只是概念上的,在程序中后向 弧与前向弧并无区别.
网络流算法介绍与分析
2
精品资料
你怎么称呼老师？
如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？ 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ 教师的教鞭
“不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……” “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
(4,4) v1 (2,4)
s (2,2)
(0,3) v2
(2,2) t
网络流算法象成 一些输水的 管道.括号内 右边的数字 表示管道的 容量,左边的 数字表示这 条管道的当 前流量.
5
网络流的三个性质
1、容量限制: f[u,v]<=c[u,v] 2、反对称性：f[u,v] = - f[v,u] 3、流量平衡: 对于不是源点也不是汇点的
网络流算法介绍与分析
17
最大流最小割定理
网络流中这三个条件等价（在同一个时 刻）: 1、f是最大流 2、残量网络中找不到增广路径 3、|f| = c(S,T)
网络流算法介绍与分析
18
1、f是最大流 2、残量网络中找不到增广路径 3、|f| = c(S,T)
1 -> 2证明: 显然.假设有增广路径, 由于增广路径的容量至少为1,所以 用这个增广路径增广过后的流的流 量肯定要比f的大,这与f是最大流矛 盾.
= [0] x X
(由流量平衡)
=0
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21
结论3
任意割的流量等于整个网络的流量.
c,r等函数都有类似的定义.(点集间的容量和、 点集间的残量网络容量和)
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16
结论1
1.f(X,X) = 0
(由流量反对称性)
2. f(X,Y) = -f(Y,X) (有流量反对称性)
3.f(X ∪ Y,Z) = f(X,Z) + f(Y,Z) (显然)
4.f(X,Y ∪ Z) = f(X,Y) + f(X,Z) (显然)
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1
一些符号和定义
V表示整个图中的所有结点的集合. E表示整个图中所有边的集合. G = (V,E) ,表示整个图. s表示网络的源点,t表示网络的汇点. 对于每条边(u,v),有一个容量c(u,v) (c(u,v)>=0) 如果c(u,v)=0，则表示(u,v)不存在在网络中。 如果原网络中不存在边(u,v)，则令c(u,v)=0 对于每条边(u,v),有一个流量f(u,v).
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9
s
4
v1
2
2 2
t
例1
3 v2
从残量网络中可以 清楚地看到：
因为存在边(s,v2) = 3,我们知道从S到 v2还可以再增加2 单位的流量；
2
因为存在边(v1,t) =
2,我们知道从v1到t
还可以再增加2单
位的流量。
网络流算法介绍与分析
10
s
4
v1
2
2 2
t
后向弧
其中像(v1,s)这样的边
图1 s
(4,4)
(2,
v1
2)
(0,3) v2
例1
s
4
v1
2
图2 3
v2
(2,4) t
2
(2,2) 2
2
t
残量网络（如果网络中一条边的容量为0,则
认为这条边不在残量网络中。r(s,v1)=0,所以
就不画出来了。另外举个例子：r(v1,s) =
c(v1,s) – f(v1,s) = 0 – (-f(s,v1)) = f(s,v1) = 4.
下面证明增广路算法的正确性.
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15
将f,c,r的定义域扩展为点集
(在以后的叙述中,大写字母X,Y,S,T一般均表示
点集)
点集间的流量和: f(X,Y) =
f (x, y)
xX yY
即:X中的任意一点与Y中的任意一点组成的所 有边上的流量之和.(边的方向为从X中的结点到 Y中的结点)
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7
残量网络
为了更方便算法的实现，一般根据原网 络定义一个残量网络。其中r(u,v)为残量 网络的容量。
r(u,v) = c(u,v) – f(u,v)
通俗地讲：就是对于某一条边（也称 弧），还能再有多少流量经过。
Gf残量网络,Ef表示残量网络的边集.
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8
原网络 (a,b)表 示(流量f,容量c)
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19
割的定义
一个割(S,T)由两个点集S,T组成. S+T = V s 属于 S. t 属于 T.
提出割的定义,是为后面的证明作铺垫.
网络流算法介绍与分析
20
结论2(点集总流量为零)
不包含s和t的点集,于它相关联的边上的流量之
和为0.
证明: f(X,V) = [ f(x,y)] xX yY
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13
增广路
增广路定义：在残
s
量网络中的一条从
s通往t的路径，其
4
中任意一条弧 (u,v)，都有 r[u,v]>0。
v1
2
2 2
绿色的即为一条增
广路。
t
网络流算法介绍与分析
3 v2
2
14
增广路算法
增广路算法：每次用BFS找一条最 短的增广路径，然后沿着这条路径 修改流量值（实际修改的是残量网 络的边权）。当没有增广路时，算 法停止，此时的流就是最大流。
3
称为后向弧,它表示从v1
到s还可以增加4单位的
流量。
v2 但是从v1到s不是和原
网络中的弧的方向相反
2
吗？显然“从v1到s还
可以增加4单位流量”
这条信息毫无意义。那
么，有必要建立这些后
向弧吗？
网络流算法介绍与分析
11
为什么要建立后向弧
显然，例1中的画出来的不是一个最大流。
但是，如果我们把s -> v2 -> v1 -> t这条路径 经过的弧的流量都增加2,就得到了该网络的最 大流。
任意结点,流入该结点的流量和等于流出该 结点的流量和。
结合反对称性,流量平衡也可以写成:
f (v,u) 0
uV
只要满足这三个性质,就是一个合法的网络 流.
网络流算法介绍与分析
6
最大流问题
定义一个网络的流量（记为|f|）= f (s,v) vV
最大流问题，就是求在满足网络流性质 的情况下，|f|的最大值。
注意到这条路径经过了一条后向弧:(v2,v1)。
如果不设立后向弧，算法就不能发现这条路径。
从本质上说，后向弧为算法纠正自己所犯的错 误提供了可能性，它允许算法取消先前的错误 的行为（让2单位的流从v1流到v2)
网络流算法介绍与分析
12
为什么要建立后向弧
当然,可以把上面说的情况当成特殊情况 来处理。但使用后向弧可以使编程简单 许多. 注意,后向弧只是概念上的,在程序中后向 弧与前向弧并无区别.
网络流算法介绍与分析
2
精品资料
你怎么称呼老师？
如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？ 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ 教师的教鞭
“不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……” “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
(4,4) v1 (2,4)
s (2,2)
(0,3) v2
(2,2) t
网络流算法象成 一些输水的 管道.括号内 右边的数字 表示管道的 容量,左边的 数字表示这 条管道的当 前流量.
5
网络流的三个性质
1、容量限制: f[u,v]<=c[u,v] 2、反对称性：f[u,v] = - f[v,u] 3、流量平衡: 对于不是源点也不是汇点的
网络流算法介绍与分析
17
最大流最小割定理
网络流中这三个条件等价（在同一个时 刻）: 1、f是最大流 2、残量网络中找不到增广路径 3、|f| = c(S,T)
网络流算法介绍与分析
18
1、f是最大流 2、残量网络中找不到增广路径 3、|f| = c(S,T)
1 -> 2证明: 显然.假设有增广路径, 由于增广路径的容量至少为1,所以 用这个增广路径增广过后的流的流 量肯定要比f的大,这与f是最大流矛 盾.
= [0] x X
(由流量平衡)
=0
网络流算法介绍与分析
21
结论3
任意割的流量等于整个网络的流量.
c,r等函数都有类似的定义.(点集间的容量和、 点集间的残量网络容量和)
网络流算法介绍与分析
16
结论1
1.f(X,X) = 0
(由流量反对称性)
2. f(X,Y) = -f(Y,X) (有流量反对称性)
3.f(X ∪ Y,Z) = f(X,Z) + f(Y,Z) (显然)
4.f(X,Y ∪ Z) = f(X,Y) + f(X,Z) (显然)