网络流算法

网络流算法

在实际生活中有许多流量问题，例如在交通运输网络中的人流、车流、货物流，供水网络中的水流，金融系统中的现金流，通讯系统中的信息流，等等。50年代以福特(Ford)、富克逊(Fulkerson)为代表建立的“网络流理论”，是网络应用的重要组成部分。在最近的奥林匹克信息学竞赛中，利用网络流算法高效地解决问题已不是什么稀罕的事了。本节着重介绍最大流(包括最小费用)算法，并通过实际例子，讨论如何在问题的原型上建立—个网络流模型，然后用最大流算法高效地解决问题。

［问题描述］如图4-1所示是联结某产品地v1和销售地v4的交通网，每一弧(vi,vj)代表从vi到vj的运输线，产品经这条弧由vi输送到vj，弧旁的数表示这条运输线的最大通过能力。产品经过交通网从v1到v4。现在要求制定一个运输方案使从v1到v4的产品数量最多。

一、基本概念及相关定理

1)网络与网络流

定义1 给一个有向图N=(V，E)，在V中指定一点，称为源点(记为vs，和另一点，称为汇点(记为vt)，其余的点叫中间点，

对于E中每条弧(vi，vj)都对应一个正整数c(vi，vj)≥O(或简写成cij)，称为f的容量，则赋权有向图N=(V，E，c，vs，vt)称为一个网络。如图4-1所给出的一个赋权有向图N就是一个网络，指定v1是源点，v4为汇点，弧旁的数字为cij。

所谓网络上的流，是指定义在弧集合E上一个函数f={f(vi，vj)}，并称f(vi，vj)为弧(vi，vj)上的流量(下面简记为fij)。如图4-2所示的网络N，弧上两个数，第一个数表示容量cij，第二个数表示流量fij。

2)可行流与最大流

在运输网络的实际问题中，我们可以看出，对于流有两个显然的要求：一是每个弧上的流量不能超过该弧的最大通过能力(即弧的容量)；二是中间点的流量为0，源点的净流出量和汇点的净流入量必相等且为这个方案的总输送量。因此有：

定义2 满足下列条件

(1)容量约束：0≤fij≤cij，(vi,vj)∈E，

(2)守恒条件

对于中间点：流入量=流出量；对于源点与汇点：源点的净流出量vs(f)=汇点的净流入量（-vt(f)）的流f，称为网络N上的可行流，并将源点s的净流量称为流f的流值v(f)。

网络N中流值最大的流f*称为N的最大流。

3)可增广路径

所谓可增广路径，是指这条路径上的流可以修改，通过修改，使得整个网络的流值增大。

定义3 设f是一个可行流，P是从源点s到汇点t的一条路，若p满足下列条件：

(1)在p 上的所有前向弧(vi →vj)都是非饱和弧，即0≤fij

(2)在p 上的所有后向弧(vi ←vj)都是非零弧，即0

则称p 为(关于可行流f 的)一条可增广路径。

V ,E,C,V S ,V T : 从V s 开始到Vt 建立起的一个流的网络。

C 容量--（Cvi,Cvj ）简写成C i,j

F i,j 表示流量。

<1>可行流：对于中间点，流入量=流出量；

源点与汇点：源点的净流出量Vs(f)=-Vt(f) 汇点的净流入量,f 称为这个网络的可行流。并将源点S 的净流量称为流值。

记：

vi 点的净流出量与净流入的差有三种: =0中间点

i=s, =vf i=t -vf(f)

网络N 中流值最大的流f*称为N 的最大流 <3>可增广路径：是指在这条路径上的流可以修改，通过修改，让他的流量增大。

⎪⎩⎪⎨⎧=-≠==-∑∑∈∈t i f v t s i s i f v f f i j i j v B v ji v A v ij )(,0)()()(

0020

θ(i)=表示顶点i可以增广的流量。θ(t)->

<1>最大流最小割定理：在一个网络N中，从Vs到Vt最大流的容量等于分离Vs,Vt的最小割的容量。

●给源点S+,θ(s)=∞

找出与已标记顶点相连（有直接边）的未标记的顶点进行标记

1、(i,j)是i-→j前向弧且饱和（fij=cij），则j不标记

2、（i,j)是i→j前向弧且不饱和(fij

i+,min(θ(i),cij-fij)

3、(j,i)是反向弧j-→i 且fji=0则j不标记

4、(j,i)是反向弧j-→i 且fji>0则j: i-,min(θ(i),fji)

直到图中标记到了Vt，，就得到了一条增广路径θ(t)。

<2>汇点的f,是所有增广路径上标记顶点流量f的最小值θ(t)。从汇点回溯到源点，如果从顶点j回溯到i，只要看j的标记如果+,则把fij=fij+θ(t);如果是-,(说明是反向弧) fji=fji-θ(t);

多次增广以后，直到不能再继续标记了，就得到最大流。

***最大流=源点的所有净输出量=汇点的所有净输入量。

***

最小割=是从源点开始可以进行增广的所有顶点集合+剩下顶点的集合。

--》经过增广以后得到：

红色圈为：包含Vs的不能再增广的A割,绿色为包含Vt的顶点集合。则有最大流最小割的定义知：

割集={每条的起点，终点}={(3,t).(2,4)}

最大流（最小割的流量）=上面的割集的输出流总量=5+9=14 注意：6是输入，不是计入最大流的值。

(4)割及其容量

定义4 如果A是V的一个子集，A-=V-A，s∈A，t∈A-，则称边集(A，A-)为网络N的一个割，显然，若把某一割的弧从网络中丢去，则从vs到vt就不存在路。所以直观上讲，割是从vi到vj的必经之道。

定义5 给一割(A，A-)，把其中所有弧的容量之和称为这个割的容量，记为c(A，A-)，即

c(A，A-)=∑c(e)

网络N中容量最小的割(A*，A*-)称为N的最小割。

不难证明，任何一个可行流的流量v(f)都不会超过任一割的容量，即

v(f)≤c(A，A-)

例如，图4-2中，若A={s}，(A，A-)={(s，v3)，(s，v2)}，c(A，A-)=4+3=7。

A(顶点的一个子集),A-(所有的顶点减-A)，A中的顶点有直接边的到（A的补集）容量之和。

C（A，A-）=4+3=7

A（VS）---A-（Vt）

Vi,Vj满足：Vi属于A，Vj属于A-

***反向边不行，必须是从Vi到Vj即Vj到Vi不行

•第一步：标号过程，找一条增广链

–1、给源点s标号[s+,q(s)=∞]，表示从s 点有无限流出潜力

–2、找出与已标号节点i相邻的所有未标号节点j，若

–(1) (i, j)是前向弧且饱和，则节点j不标号；

–(2) (i, j)是前向弧且未饱和，则节点j标号为[i+,q(j)]，表示从节点i正向流出，可增广q(j)=min[q(i),c ij-f ij] ；

–(3) (j, i)是后向弧，若f ji=0，则节点j不标号；

–(4) (j, i)是后向弧，若f ji>0，则节点j标号为[i-,q(j)]，表示从节点j流向i，可增广q(j)=min[q(i),f ji] ；