2017_2018版高中数学第1讲优选法一什么叫优选法练习新人教A版选修4_7
高中数学人教A版选修第一讲优选法四分数法课件
高中数学人教A版选修4-7 第一讲 优选法 四 分数法 课件(共40张PPT)
高中数学人教A版选修4-7 第一讲 优选法 四 分数法 课件(共40张PPT)
2.过程与方法
（１）教师案例引入分数法，通过演 示案例，指导学生观察分析，总结归纳.
（２）学生积极思考认真学习，理解 分数法的概念，通过自己动手演算，进行 推导.
下面计算这个无穷分数 的前几项： 1，1，2，3，5，8 ，
2 3 5 8 13
(2)数列Fn：1,1, 2,3,5,8,13, 21,34,55,89,
它的前两项为F0 1，F1 1，从第三项起
每F2 一 项F1 是 F其2，相F邻3 F的Fn 2前两1F51，项(1的， 2和5，)n 即(1
高中数学人教A版选修4-7 第一讲 优选法 四 分数法 课件(共40张PPT)
案例1 ：
在配置某种清洗液时，需要加入某种 材料.经验表明，加入量大于130ml肯定 不好.用150ml的锥形量杯计量加入量,该 量杯的量程分为15格，每格代表10ml. 用试验法找出这种材料的最优加入量.
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上述的问题能 否用0.618法来 解决呢？如果 不能，该如何 安排试验？
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教学重难点
重点
（1）了解并掌握分数法的概念. （2）学会使用分数法解决实际 的优选问题. （3）利用优选法的最优性找出 最佳点.
高中数学第1讲优选法五其他几种常用的优选法(二)练习新人教A版选修4-7(2021年整理)
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五其他几种常用的优选法（二）一、基础达标1。
下列说法不正确的是( )A.分批试验法可以分为均分分批试验法和比例分割分批试验法B。
均分分批试验法，每次存优范围变化率相同C.多峰情形用均分法做一批试验，试点划分的比例最好按0.618∶0.382划分D.比例分割分批试验法比较适用于小的因素变动就能引起结果的显著变化的情形解析均分分批第一批与第二批存优范围变化率不同。
答案B2.某单因素单峰试验的因素范围是(3,18),用均分分批试验法寻找最佳点，每次安排4个试验.若每一批试点中从左到右的第3个试点是好点,则第一批试验后,存优范围是（) A.（6，12) B。
（10,14）C.(9,15）D.(11，13）解析试点分别为6，9，12,15.由题意可知12为好点，∴存优范围为(9，15)。
答案为C.答案C3。
用均分分批试验法与比例分割分批试验法做试验时，若每批安排2个试验,则第2批试验，存优范围被均分的份数分别为( )A。
3，7 B.4,7C.5，17 D。
4，4答案D4。
在第一批分批试验中，若均匀地从小到大取试验点x1，x2,…，x6，每个试验点的结果值用f(x i)表示，并规定结果值大的就说明试验效果更好.若试验后的结果是f（x3)＜f(x1)＝f（x5)＜f(x2)＝f(x4）＝f(x6)，则说明( ）A。
18版高中数学第一讲优选法六多因素方法(二)学案新人教A版选修4-7
六多因素方法<二>[学习目标]1.通过具体实例了解平行线法、平行线加速法、双因素盲人爬山法.2.理解平行线法、双因素盲人爬山法适用优选对象.[预习导引]1.在双因素优选试验中,如果一个因素不好调整,而另一个因素比较容易调整时,常采用平行线法.2.在双因素试验中,如果两个因素均不允许大幅度调整,常采用盲人爬山法.3.平行线法进行试验时：<1>先将难以调整的因素<记为因素Ⅰ,并用纵坐标表示>固定在因素范围的0.618处,用单因素法对另一个因素<记为因素Ⅱ,并用横坐标表示>进行优选,得到最佳点A.<2>然后再将因素Ⅰ固定在其因素范围的0.382处,再用单因素法对因素Ⅱ进行优选,得到最佳点B.<3>若A点比B点好,则去掉B以下的部分；若A点比B点差,则去掉A以上的部分.<4>然后按0.618法找出因素Ⅰ的第三好点,对因素Ⅱ进行单因素优选……如此继续下去,直到找到满意的结果为止.4.平行线加速法是在平行线法上加以改进,即在得出前两次好点A1,A2后,在去掉某一块范围后,过A1,A2两点作一条线段<即直线A1A2在存优范围内的部分>,然后在此线段上用单因素法找到最佳点A3,如果对A3的试验结果不满意,则再过A3作一条平行线段<即固定因素Ⅰ的值>,在此线段上用单因素法求得最佳点A4,如此继续下去,直到结果满意为止.5.双因素盲人爬山法一般是,在试验范围区域上从某点出发,向前、后、左、右四个方向前进一步,如向右前进一步,若得到的点要好,再继续向右前进一步；若不好,则改变前进方向……若在某处的四个方向的点都不比D好,就可认为这个双因素单峰问题的最佳点是D.要点一平行线法例1 某酒厂生产酒曲,由于对制曲室的温度和湿度掌握得不好,因此酒曲质量不高,糖化率一直在50单位以下.试验范围为温度：26 ℃～38 ℃,湿度：65%～100%.试选择合适的方法进行优选.解设影响该试验结果的因素Ⅰ为温度,Ⅱ为湿度.因因素Ⅱ难以调整,所以先固定因素Ⅱ在0.618处,即65＋0.618×<100－65>≈87<%>,用单因素法对因素Ⅰ进行优选,例如最佳点在A1：27.5 ℃处.再把因素Ⅱ固定在0.618的对称点0.382处,即65＋100－87＝78<%>,再用单因素法对因素Ⅰ进行优选,例如最佳点在A2处.比较A1与A2两点上的试验结果,A1优于A2,所以去掉A2以下的部分,即好点不会在因素Ⅱ的65%～78%之间,也就是说存优范围是78%～100%.再把因素Ⅱ固定在78＋100－87＝91<%>处,再用单因素法对因素Ⅰ进行优选,例如此时最佳点在A3处,比较A1与A3两点上的试验结果,A1优于A3,所以去掉A3以上的部分,即存优范围为78%～91%.如此继续下去,直到找到满意的结果温度为28 ℃左右,湿度为87%为止,此时投入生产后效果很好,糖化率保持在65～75个单位.如图所示：规律方法 1.平行线法适用于一个因素不易调整,而另一个因素比较容易调整的双因素优选问题,且特点是每次试验都是在相互平行的直线上进行.2.平行线法优选的步骤：设双因素变化范围为a1≤Ⅰ≤b1,a2≤Ⅱ≤b2.①固定Ⅱ于0.618处,对因素Ⅰ进行优选,得好点A1.②再固定Ⅱ于0.382处,对因素Ⅱ进行优选,得好点A2.比较A1和A2的试验结果,保留新的存优范围,在剩下的存优范围中按照上面的方法继续试验下去,直到满意为止.跟踪演练1 "除草醚"配方试验中,所用原料为硝基氯化苯,2,4二氯苯酚和碱,试验目的是寻找2,4二氯苯酚和碱的最佳配比,使其质量稳定、产量高.酚的变化范围：1.1～1.42<mol>；碱的变化范围：1.1～1.6<mol>.试用平行线加速法选择苯酚和碱的最佳配比.解首先固定酚的用量1.30<即0.618处>,对碱的用量进行优选,得最优用量为1.30,即图上的点A1.再固定酚的用量1.22<即0.382处>,对碱的用量进行优选,得碱的最优用量为1.22,即图上的点A2.过A1,A2作直线L<直线L上的点是酚∶碱＝1∶1>,在直线L上用单因素法进行优选<因为A2优于A1,所以酚的用量低于1.22时就不必做了>,最佳点为A3,即酚与碱的用量均为1.27.要点二双因素盲人爬山法例 2 对某种物品镀银时,要选择氯化银和氰化钠的用量,使得镀银速度快,质量好,其中氯化银的变化范围是40～80 g/mL,氰化钠变化的范围是70～150 g/mL,采用盲人爬山法选择最佳点.解确定起点：氰化钠85 g/mL,氯化银55 g/mL.<2>选择步长：氰化钠10 g/mL,氯化银5 g/mL.<3>探索最佳点：从起点1开始,向右试探,结果2比1好,继续向右试探,结果3比2好,再向右试探,结果4比3差.回到3向上试探,结果5比3好,继续向上试探,结果6比5好.再继续试探,结果上,左,右三个方向的试点都不如6好,且试点6的结果满足生产条件,试验结束.结论：氰化钠用量为105 g/mL,氯化银用量为65 g/mL时,镀银效果最好.规律方法 1.双因素盲人爬山法的优点是简便易行,可操作性强,必要时可以保护生产<试验>的设备<原材料>.2.试验的选择范围与步长间隔的大小,直接影响试验的效果.跟踪演练 2 为测量校园中池塘的最深点,假设池塘的深度是双因素单峰的,可采用的适合优选法是< >A.纵横对折法B.0.618法C.双因素盲人爬山法D.平行线法解析由于池塘的深度是双因素单峰的,为了简便易行,我们可以采用双因素盲人爬山法,在立足处,用明杖试探一下,如果觉得深一点,再向前试探,到某个位置后,再向四周试探一下,如果四周都比此点浅,说明该点就是最佳点.答案 C1.当两个因素都好调整时,可采用纵横对折法和从好点出发法.2.对于双因素优选试验时,一个因素好调整而另一个因素不好调整时,常采用平行线法.3.在双因素试验中,如果两个因素均不好调整,常先借助盲人爬山法对其中一个因素找出最佳点,然后,再次利用盲上爬山法找出另一因素的最佳点,该种方法称作双因素盲人爬山法.一、基础达标1.下列说法正确的是< >A.用平行线法优选时,固定因素Ⅰ后,因素Ⅱ上的取点方法一定按0.618法B.对于双因素单峰优选问题,当其中一个因素不易调整,而另一个因素容易调整,为了较快得到满意的结果,常常利用平行线加速法C.用双因素盲人爬山法优选时,一定要先找到第一个因素的最佳点,然后再找另一个因素的最佳点D.双因素优选问题中的一个因素不容易调整,而另一个因素比较容易调整,适宜于双因素盲人爬山法解析由平行线法、平行线加速法,盲人爬山法可知B对,其余都错.答案 B2.下列四个优选方法中,哪一个方法不适用于双因素优选< >A.平行线法B.平行线加速法C.盲人爬山法D.对分法解析对分法适用于单因素,故答案为D.答案 D3.如图是某种双因素试验结果图,则这种方法应该是< >A.纵横对折法B.从好点出发法C.平行线法D.盲人爬山法解析由图可知是盲人爬山法进行试验.故答案为D.答案 D4.电机修理厂根据工艺要求,单晶切片厚度为0.54 mm左右,经研磨损失0.15 mm左右,1 kg 单晶只出1 200左右小片,为了节约原材料、提高工效、降低成本,切割不同厚度的单晶片很方便,但要检验究竟哪一种厚度好,则要经过磨片、化学腐蚀、烘干、烧结、参数测定等工序,试验周期长达三天<生产中则更长,要一个多星期>,而且有些工序必须在同一条件下才能得到正确的结果,则用下列哪种优选法最佳< >A.分数法B.对分法C.分批试验法D.盲人爬山法解析由于上述试验结果需要较长的试验周期才能得到,故可采用分批试验法,C为正确答案.答案 C5.用平行线法进行双因素单峰问题的优选时,先用0.618法固定某因素,然后再对另一因素进行单因素优选,则每次去掉的试验范围区域面积占存优范围区域面积的__________<用小数表示>解析如图,对因素Ⅰ优选,若最佳点为A1,先把因素Ⅱ固定在A1处,再找0.618的对称点0.382固定,对因素Ⅰ优选,最佳点在A2.若A1好于A2,去掉阴影部分,去掉的区域面积占存优范围区域面积的0.382.答案0.3826.某食物加工过程优选问题中,加工质量受某种材料重量<单位：kg>与加工时间<单位：min>两个因素影响,右图是用平行线加速法试验的结果图,若A3是最佳点,则最佳重量为__________kg,最合适的加工时间是________min.解析A1A2所在直线方程为y＝错误!x－错误!.当y＝1.5时可知x＝4.5,所以答案为1.5,4.5.答案 1.5 4.57.如图是某因素试验结果图,从A点出发,则最佳点为__________.解析利用盲人爬山法可知F点为最佳点.所以答案为F.答案F二、能力提升8.工业生产中,某种产品的产量由"加工温度"和"催化剂含量"两个因素决定,加工温度介于5 000 ℃～6 000 ℃之间,催化剂含量介于1 000 g～2 000 g之间.产量随温度、催化剂含量的变化呈单峰变化,试选择合适的优选法找出使产量最大时的温度和催化剂的含量.解由于在工业生产中,催化剂的含量较难调整,故可利用平行线法解决该优选问题.设影响该试验结果的因素Ⅰ为温度,Ⅱ为催化剂的含量,因因素Ⅱ难以调整,所以先固定Ⅱ在0.618处,即1 000＋0.618×<2 000－1 000>＝1 618处,用单因素法对因素Ⅰ温度进行优选,得最佳点A1；再把因素Ⅱ固定在0.618的对称点0.382处：即1 000＋2 000－1 618＝1 382处,再利用单因素法对因素Ⅰ温度进行优选,得最佳点A2,比较A1与A2两点上的试验结果,A1优于A2,所以去掉A2以下部分,再把因素Ⅱ固定在2 000＋1 382－1 618＝1 764处,再利用单因素法对Ⅰ温度进行优选,得最佳点在A3,比较A1与A3两点的试验结果,若A1优于A3则去掉A3以上部分,否则去掉A1以下部分,如此继续下去直到得到满意答案为止.9.对某工艺品镀银,要选择氯化银和氰化钠的用量,为了使镀银速度快、质量好,技术员小王采用双因素爬山法进行试验优选.每次以同样的步长向前、后、左、右某几个方向试探,如图是他试验结果的示意图.起点是A,先向右试探,结果B点比A点好……若达到了比较好的试验结果则停止试验.<1>最佳点是哪点？在此点做了几次试探？<2>你能从图上得出小王做了多少次试验吗？解<1>由双因素爬山法知,H点是最佳点.在H点向左、向上、向下做了3次试探.<2>由图中结合双因素爬山法知,在A向右试探1次到B<B比A好>,在B点继续向右试探1次到C<C比B好>,继续向右试探1次得到D<D比C差>,再在C向上试探1次,得到E点<E比C好>,再向上试探得到F<F比E好>,在F向上试1次到达G<G比F差>,在F向左试一次到达H,再在H向左试一次到达I点<I点比H差>,再在H分别向上、下各试一次到达J,K<都比H差>,即H为最佳点,结束试验.所以共有1＋1＋2＋1＋2＋3＝10<次>.三、探究与创新10.有些金矿用浮选法回收黄金,在浮选工艺中使用的药剂种类较多,有捕收剂、起泡剂、活化剂等,其中起主要作用的药剂是捕收剂<一般为黄药>、起泡剂<多为2#油>,下面是对这两个因素进行的优选试验的过程<其他因素固定>,请阅读并填写表格中的空白数据.<1>先固定起泡剂<2#油>的用量为100 g/t,由以往的实践可以知道捕收剂<黄药>的变化区间为50 g/t～500 g/t.下面对黄药的用量进行选优试验,试验结果如下表：由上表结果可知：当黄药用量为368.60 g/t时,回收率达到最高.<2>固定黄药为368.60 g/t,优选2#油的最佳用量,2#油的变化区间为0 g/t～200 g/t,试验结果见下表：由上表可知：当2#油用量为152.80 g/t时,回收率达到最高.<3>固定2#油为最佳用量152.80 g/t,再次优选黄药用量范围仍为50 g/t～500 g/t.见下表：由上表数据说明,为使得黄金的回收率最高,药剂最佳用量为黄药368.60 g/t,2#油152.80 g/t.解析<1>∵第1个试点为328.10且328.10＝50＋0.618<500－50>,故第二个试点x2＝500＋50－328.10＝221.90.又∵31.96%<40.04%,故x3＝500＋221.90－328.10＝393.80.又∵44.26%>40.04%,故x4＝500＋328.10－393.80＝434.30.又∵42.49%<44.26%,故x5＝328.10＋434.30－393.80＝368.60.<2>∵第1个试验点x1＝0＋0.618×200＝123.60,∴x2＝0＋200－123.60＝76.40.又39.3%<46.58%,∴x3＝200＋76.40－123.60＝152.80.又53.23%>46.58%,∴x4＝200＋123.60－152.80＝170.80.<3>类比<1>可知x1＝328.10,x2＝221.90,x3＝393.80,x4＝434.30,x5＝368.60.答案<1>221.90 393.80 434.30 368.60<2>76.40 152.80 170.80<3>221.90 393.80 434.30 368.60讲末复习专题1 优选法的概念与单峰函数1.优选法优选法是根据生产和科学研究中的不同问题,利用数学原理,合理安排试验,以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法.2.单峰函数如果函数f<x>在区间[a,b]上只有唯一的最大值点<或最小值点>C,而在最大值点<或最小值点>C的左侧,函数单调增加<减少>；在点C的右侧,函数单调减少<增加>,则称这个函数为区间[a,b]上的单峰函数.我们规定,区间[a,b]上的单调函数也是单峰函数.例1 下列函数中是[－1,1]上的单峰函数的有________.<1>y＝错误!错误!；<2>y＝x3＋2x＋1；<3>y＝ax2＋3<a≠0>.解析<1>∵y＝错误!x在[－1,1]上单调递减,故y＝错误!错误!是单峰函数.<2>∵y′＝3x2＋2>0对于x∈[－1,1]恒成立,故y＝x3＋2x＋1在[－1,1]上是单调增函数,所以y＝x3＋2x＋1是单峰函数.<3>∵y＝ax2＋3<a≠0>是二次函数,无论其开口向上<下>,都只有一个最值<极值>,故该函数是单峰函数.答案<1><2><3>专题2 黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数ω＝错误!≈0.618.2.利用0.618法选取试验点的原则与选取方法<1>试验点的选取原则：①每次要进行比较的两个试验点,应关于相应试验区间的中心对称；②每次舍去的区间占舍去前的区间长度的比例数应相同.<2>试验点的选取方法：设x n表示第n个试验点,存优范围内相应的好点是x m,因素范围的两端分别记为小头和大头,则x1＝小＋0.618×<大－小>；x2＝小＋大－x1.一般：x n＝小＋大－x m.可概括为"加两头,减中间".3.0.618法是优选法的最常用方法之一,是高考考查的重点之一.例 2 用0.618法对某一试验进行优选,因素范围是[2 000,8 000],则第二个试点x2＝________.解析由0.618法知x1＝2 000＋0.618×<8 000－2 000>＝5 708,x2＝2 000＋8 000－5 708＝4 292或x1＝2 000－<8 000－2 000>×0.618＝4 292.x2＝2 000＋8 000－4 292＝5 708.答案 4 292或5 708专题3 分数法1.分数法是用渐近分数近似代替ω确定试点的方法,其适用于[a,b]区间上的有限试点问题,此点是区别于0.618法的关键点.2.分数法的最优性2次试验可以最多处理2个试点问题；3次试验可以最多处理4个试点问题；4次试验可以最多处理7个试点问题；5次试验可以最多处理12个试点问题；6次试验可以最多处理20个试点问题；…n次试验可以最多处理<F n＋1－1>个试点问题,其中{F n}是斐波那契数列.例3 在配置某种清洗液时,需要加入某种材料,经验表明,加入量小于50 mL或大于30 mL 肯定不好.用150 mL的锥形量杯计量加入量,该量杯的量程分为15格,每格代表10 mL.<1>用分数法进行优选时,第一试点和第二试点分别是多少mL?<2>最多几次便可找出试验的最佳点？解由题意可知,试验的最佳点处于50 mL～130 mL之间把区间[50,130]等分为8等份,如图所示：<1>用错误!＝错误!代替0.618,得第一个试验点x1＝50＋错误!<130－50>＝100,x2＝50＋130－100＝80,即前两个试点分别处于100 mL和80 mL处.<2>由F n＝8可知n＝5,故最多经过n－1＝4次便可求出试验的最佳点.专题4 其他几种常用的优选法其他几种常用的优选法包括对分法、盲目爬山法和分批试验法,且每种优选法都有各自的优、缺点,学习过程中应明确这几种优选法的思想,并能借助他们解决相应的优选问题.例4 设有一优选问题,其因素范围为<2,4>,每批安排2个试验.若用均匀分批试验法优选,则第一批试验的两个试点是________和________；若用比例分批试验法优选,则第一批试验的两个试点是________和________.解析若用均匀分批试验法优选,则先把试验范围<2,4>三等分,如图所示：显然第一批试验的两个试点分别是错误!,错误!.若用比例分批试验法,每批安排2个试验,应首先把试验范围7等分,如图所示：则第一批试验的两个试点分别是错误!和错误!.答案错误!错误!错误!错误!专题5 多因素优选法解决多因素优选法常用降维法,即将多因素问题转化为一系列较少因素的问题,教材中主要讲述了纵横对折法、从好点出发法、平行线法和双因素盲人爬山法,其中前三种方法是处理多因素优选问题的主要方法,由于每种优选方法均有各自的特点,学习中应注意各种优选法的区别和联系.例5 有一优选试验,主要有两个影响因素,浓度a%～b%,流速2 m/s～6 m/s.试用平行线法优选.解设影响该试验结果的因素Ⅰ为流速,Ⅱ为浓度.因调整浓度比调整流速困难.所以首先把难以调整的因素Ⅱ固定在0.618处,用单因素方法对另一因素Ⅰ进行优选,确定一个最佳点,然后再把因素Ⅱ固定在0.382处,再用单因素法对另一因素Ⅱ进行优选,确定另一个最佳点,由两个最佳点,确定新的存优范围.在新的存优范围内继续使用平行线法,如此继续试验下去,直到找到满意的结果为止.讲末检测一、选择题1.下列函数在区间[－1,5]上是单峰函数的有< ><1>y＝3x2＋2；<2>y＝－x2－3x；<3>y＝cos x；<4>y＝2x.A.0个B.1个C.2个D.3个解析<1>在[－1,5]上先减后增是单峰函数；<2>在[－1,5]上单调递减,是单峰函数；<3>在[－1,5]上有最大值和最小值不是单峰函数；<4>在[－1,5]上是单调递增函数,是单峰函数.2.下列问题不属于优选问题的是< >A.小明每天7：00到校上课B.每天锻炼多长时间,选择在什么时间锻炼会使身体更健康C.在军事上,炮弹的发射角多大时,才能使炮弹的射程最远D.荤素搭配满足什么比例时,才能使我们的饮食更合理解析A选项只陈述了一个事实,并不涉与优选问题,而B、C、D选项,均带有一定的试验性,且试验结果随因素的变化不同.答案 A3.若洗水壶要用1分钟、烧开水要用10分钟、洗茶杯要用2分钟、取茶叶要用1分钟、沏茶1分钟,那么较合理的安排至少也需要< >A.10分钟B.11分钟C.12分钟D.13分钟解析本题属于时间的优选问题,显然在烧开水的时间内,可以安排洗茶杯,取茶叶,故最少需要洗水壶<1分钟>＋烧开水<10分钟>＋沏茶<1分钟>共12分钟.答案 C4.根据生产经验,混凝土预制体的强度是搅拌时间的单峰函数,为了确定搅拌的标准时间,拟用分数法从7个试验点中找出最佳点,则要做的试验次数至多为< >A.3B.4C.5D.6解析由于7＝8－1＝F5－1,故只需做5－1＝4次试验就可以找到最佳试验点.答案 B5.如图,用平行线法处理双因素问题时,首先难以调整的因素Ⅱ固定在0.618处,得到最佳点在A1处,然后再把因素Ⅱ固定在0.382处,得到最佳点A2,若A2处的试验结果比A1处的好,则第三次试验时,将因素Ⅱ固定在< >A.0.764C.0.500解析因为A2处的试验结果比A1处的好,所以好点在因素Ⅱ的0～0.618之间,由0.618法,第三次试验时,将因素Ⅱ固定在0.618＋0－0.382＝0.236处.6.下列有关优选法的叙述正确的个数有< >①在生产中仪器仪表的调试通常采用盲人爬山法；②在单峰的目标函数中特别是有有限个试点的优选问题通常采用分数法；③在优选试验中为了加快试验的进度,尽快找出最佳点,通常可采用分批试验法；④在双因素优选试验中,对于某因素不宜调整的试验通常采用双因素平行线法.A.1B.2C.3D.4解析由优选法的意义与适用范围知,①、②、③、④都正确,故选D.答案 D7.下列结论中正确的是< >A.运用0.618法寻找最佳点时,一定可以在有限次内准确找出最佳点B.在目标函数为单峰的情形,运用分数法寻找最佳点时,一定可以在有限次内准确找出最佳点C.运用对分法和分数法在确定下一个试点时,都需要比较前两个试点的试验结果D.运用盲人爬山法寻找最佳点,在试验范围内取不同的点作起点,其效果快慢差别不大解析运用0.618法寻找最佳点时,随着试验次数的增加,最佳点被限定在越来越小的范围内,故A错；在目标函数为单峰的情形下,按照分数法安排试验,通过n次试验保证能从<F n＋1－1>个试点中找出最佳点,故B正确；运用对分法在确定下一个试点时,只需要比较试验结果与已知标准<或要求>,故C错；爬山法的效果快慢与起点的关系很大,起点选得好可以省好多次试验,故D错.答案 B8.在调试某设备的线路设计中,要选一个电阻,调试者手中只有阻值分别为0.9 kΩ,1.1 kΩ,2.7 kΩ,3 kΩ,3.6 kΩ,4 kΩ,5 kΩ等七种阻值不等的定值电阻,他用分数法进行优选试验时,依次将电阻值从小到大安排序号,则第1个试点的阻值是< >A.1.1 kΩB.2.7 kΩC.3.6 kΩD.5 kΩ解析把阻值由小到大排列并编号阻值0.9 1.1 2.7 3 3.6 4 5排列 <1> <2> <3> <4> <5> <6> <7>为方便使用分数法,可在两端增加虚点<0>、<8>使因素范围凑成8格,∴第1试点为错误!位置即序号<5>的位置,3.6 kΩ.答案 C二、填空题<本大题共4小题,每小题5分,满分20分.把答案填在题中横线上>9.用分数法对[0,105]进行优选法试验,若将此区间段均分为21等份,则第一个试点为________.解析将区间[0,105]均分为21等分,则相应分点为5,10,15, (100)由分数法原理可知第一试点x1＝0＋错误!<105－0>＝65或x1＝105－错误!<105－0>＝40. 答案65或40<填一个也正确>10.采用纵横对折法,去掉两个坏点后所剩矩形区域面积是原矩形区域面积的________.解析如图所示,假设A1与A2是两个坏点,由纵横对称法知,先去掉A1所在的阴影区域,再去掉A2所在的阴影区域,显然所剩面积是原矩形面积的错误!.答案错误!11.某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定,需要优选培养温度,试验范围定为29 ℃～63 ℃,精确度要求±1 ℃,用分数法进行优选时,能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为________.解析由题意知,存优范围长度为34,选择分数错误!优选,利用分数法选取试点,最少试验7次.答案712.在配置某种清洗液时,需要加入某种材料,加入量大于130 mL或小于10 mL均不好,若利用均匀分批试验法在<10,130>内优选加入量,每批安排2个试验,则第1批试验加入的量为________ mL和________ mL.解析将试验范围分为3份,中间两个分点为50,90.答案50 90三、解答题<本大题共3小题,满分40分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤>13.<本小题满分13分>卡那霉素发酵液生物测定,国内外通常规定培养温度为<37±1>℃,培养时间在16小时以上.某制药厂为缩短时间,决定优选培养温度,试验范围定为29 ℃～50 ℃,精确度要求±1 ℃,中间试验点共有20个,试用分数法进行优选.解用分数法安排试验,要将试验范围21等分,于是F n＋1＝21所以n＝6,共需做6次试验. 第一个试验点选在第13个分点,即x1＝29＋<50－29>×错误!＝42<℃>处；第二个试验点是其对称点,即x2＝50＋29－42＝37<℃>的地方,也就是第8个分点处,依次类推,6次试验的结果如图：14.<本小题满分13分>某化学反应,温度和反应时间会影响最终化合物的生成量,根据以往经验,定出其试验范围为温度：20 ℃～40 ℃；时间：20 min～100 min.请说明如何用纵横对折法安排试验.解先把温度固定在试验区间中点30 ℃,对时间进行优选<优选方法可以是0.618法>,找到点为A1；然后把时间固定在试验区间中点60 min,对温度进行优选<优选方法可以是0.618法>,找到点为B1.比较A1和B1,如果好点为B1,丢弃不包括好点B1的平面区域.然后在新范围的温度的中点,对因素时间进行重新优选.类似这样做下去,直到找出最优点.15.<本小题满分14分>如图,一正三角形,边长为20 cm,在它的内部内接一矩形.问矩形的底边为多少时其面积最大？试用0.618法进行优选.解设内接矩形在底边到底角的距离为x,内接矩形的面积为S.则有S＝<20－2x>×错误!x,其中<20－2x>为矩形底边的长,错误!x为矩形的宽.x的变化范围为0～10<cm>.为使内接矩形面积为最大,用0.618法安排试验.第一试点x1,有x1＝<10－0>×0.618＋0＝6.18,Sx1＝<20－2×6.18>×错误!×6.18≈81.78<cm2>.第二试点x2,x2＝<10＋0>－6.18＝3.82,Sx2＝<20－2×3.82>×错误!×3.82≈81.78<cm2>.在Sx1和Sx2相等时,可同时消去<0,3.82>和<6.18,10>这两个区间.第三试验点可在区间<3.82,6.18>区间中继续用0.618法安排试验.x3＝3.82＋<6.18－3.82>×0.618≈5.28,Sx3＝<20－2×5.28>×错误!×5.28≈86.33<cm2>.x4＝6.18＋3.82－5.28＝4.72,Sx4＝<20－2×4.72>×错误!×4.72≈86.33<cm2>.Sx3＝Sx4,同样可同时消去<3.82,4.72>和<5.28,6.18>两个区间.在区间<4.72,5.28>中,再用0.618安排试验.。
2017-2018版高中数学 第一讲 优选法 一 什么叫优选法学案 新人教A版选修4-7
003,…，直至猜中为止，对这种方法如果价格较低(如不超过 1 010)还是比较好,但如果价格 较高（如价格是 1 800），则猜的次数很多。按此方法报的次数最多的价格是 1 999 元，报了 999 次. （2)若先取 k＝100,即报价按 1 100，1 200，…，确定价格的百位,如报到 1 500 时,说“高 了”,则易知价格在 1 400 至 1 500 之间；然后取 k＝10,即报价按 1 410，1 420，…，确定 价格的十位；再取 k＝2，确定个位。以此类推猜得价格.按此方法报的次数最多的价格是 1 999 元，报了 23 次. (以上仅列举了两种方法,答案不唯一） 三、探究与创新 10.某地建一座桥，两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥 面和桥墩。经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工 程费用为（2＋错误!）x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素。 记余下工程的费用为 y 万元. (1）试写出 y 关于 x 的函数关系式; （2）当 m＝640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小？ 解 （1)设需新建 n 个桥墩,则(n＋1)x＝m，即 n＝错误!－1, ∴y＝f（x）＝256n＋（n＋1)(2＋错误!）x＝256错误!＋错误!（2＋错误!）x＝错误!m＋m错误!＋ 2m－256. (2）由(1）知，f′(x)＝－错误!＋错误!mx－错误! ＝错误!(x错误!－512）. 令 f′(x)＝0，得 x错误!＝512，所以 x＝64。 当 0＜x＜64 时，f′（x)＜0，f（x)在区间（0，64）内为减函数； 当 64＜x＜640 时,f′(x)＞0，f(x）在区间（64，640）内为增函数.
2。下列各试验中，与优选方法无关的是( ）
高中数学第1讲优选法六多因素方法(一)练习新人教A版选修4-7(2021年整理)
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六多因素方法(一）一、基础达标1。
如图，目标函数z＝f(x，y）在试验范围内取同一值的等高线,则该优选问题的最佳点是（）A.曲线AB。
曲线BC。
曲线CD。
曲线D解析结合等高线的画法可知，目标函数z＝f（x，y)的最佳点即为最里边一圈的等高线.答案D2。
关于从好点出发法的说法正确的是( )A.从好点出发法，即每一次试验的位置均落在好点上B.每次试验时，一定将试验的因素固定在其中好点位置C。
从好点出发法相对于纵横对折法而言效果较好D.从好点出发法可以较好地解决所有双因素优选问题解析从好点出发法的特点是对某一因素进行优选试验时，另一因素固定在上次试验结果的好点上(除第一次外），其效果要优于纵横对折法。
答案C3。
利用纵横对折法解决双因素问题时,先将因素Ⅰ固定在试验范围的中点C1处，对因素Ⅱ进行单因素优选得到最佳点A1，同样将因素Ⅱ固定在中点C2，对因素Ⅰ进行单因素优选得到最佳点A2，若A1处的试验结果比A2处的好，则下图中阴影部分能表示好点所在范围的是( )解析因为A1处的试验结果比A2处的好，所以存优范围包含点A1.答案D4。
下列说法不正确的是( )A.解决多因素问题往往采用降维法B。
2017-2018学年课堂讲义高二人教A版数学选修4-7练习：
一、基础达标1.下列说法中，正确的个数为()①分数法在确定下一个试点时，需要对前两个试点的试验结果进行比较；②对分法、分数法、0.618法均做了2次试验后，才舍弃试验范围的1 3；③用对分法做试验较0.618法好，因为每次可以舍弃试验范围的一半；④若做一次试验，根据结果可以决定下次试验的方向，就可以用对分法.A.1B.2C.3D.4解析①③④正确，所以正确答案有3个，选C.答案 C2.下列说法中，不正确的个数为()①影响盲人爬山法效果的因素为起点与步长；②盲人爬山法的原理就是单峰函数的最佳点与好点在差点的同侧；③盲人爬山法在实践中往往采取“两头大，中间小”，即先在各方向上用大步试探开始；④盲人爬山法应用于某些可变因素要调到某点，必须经过由小到大或由大到小的连续过程的问题.A.0B.1C.2D.3解析③应为“两头小，中间大”，而①②④正确，所以答案为B.答案 B3.用0.618法和对分法安排试验，找出蒸馒头时合适的放碱量，哪种方法更有效()A.0.618法B.对分法C.一样好D.无法确定解析对分法更简单，易操作.答案 B4.有一条1 000 m 长的输电线路出现了故障，在线路的开始端A 处有电，在末端B 处没有电，现用对分法检查故障所在位置，则第二次检查点在( )A.500 m 处B.250 m 处C.750 m 处D.250 m 或750 m 处解析 若在AB 的中点测试有电，则第二次检查点为750 m 处；若AB 的中点检查没电，则第二次检查点为250 m 处.答案 D5.用对分法进行试验，4次试验后精度为__________.解析 精度δ4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116. 答案 1166.用对分法寻找最佳点时，达到精度为0.01的要求至少需要__________次试验.解析 由12n ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1100⇒n ≥7， ∴至少需要7次.答案 7二、能力提升7.调试仪器中的可变电阻，可变电容常常采用的优选法为__________. 答案 盲人爬山法8.看商品猜价格的具体规则：主持人出示一件物品，参与者每次估算出一个价格，主持人只能回答：“高了”、“低了”、“正确”.若猜中，则游戏结束，否则在规定时间内继续猜下去，直到猜中为止.若现在一个价格在范围为[1 000，2 000](价格数为整数，单位为元)的商品，请你用对分法来猜.(1)若第一次就能猜中，则这个商品的价格是多少？(2)哪几个价格猜三次就可以猜到？解 (1)由对分法知，每次都是取因素范围的中点值，第一次的中点值是1 500，故能一次就猜中的价格是1 500元.(2)第三次能猜中，即第三次取的试验点就是猜中的价格.由第一次的中点值为1 500，此时可得存优范围为[1 000，1 500]或[1 500，2 000]， 第二次的中点值取上述两个范围内的中点值，即为1 250或1 750，此时存优范围为[1 000，1 250]，[1 250，1 500]，[1 500，1 750]，[1 750，2 000]中的任一个.故第三次的中点值可分别为1 125，1 375，1 625，1 875，即猜三次就猜中的价格是1 125元，1 375元，1 625元，1 875元中的一个.9.某同学在借助计算器求“方程lg x ＝2－x 的近拟解(精确度为0.1)”时，设f (x )＝lg x ＋x －2，算得f (1)<0，f (2)>0；在以下过程中，他用“对分法”又取了4个x 的值，计算了其函数值的正负，并得出判断，方程的近似解x ≈1.8，那么他取的x 的4个值分别依次是________.解析 ∵f (1)<0，f (2)>0，∴方程的根x ∈(1，2).取x 1＝1＋22＝1.5，则f (1.5)<0，故方程的根x ∈(1.5，2).取x 2＝1.5＋22＝1.75，则f (1.75)<0，故方程的根x ∈(1.75，2).取x 3＝1.75＋22＝1.875，则f (1.875)>0，故方程的根x ∈(1.75，1.875).取x 4＝1.75＋1.8752＝1.812 5，则f (1.812 5)>0，故方程的根x ∈(1.75，1.812 5). 又|1.812 5－1.75|<0.1，故可把x ≈1.8作为其近似值.答案 1.5，1.75，1.875，1.812 5三、探究与创新10.程序设计中有一种折半查找检索算法，其原理与对分法类似，也有所不同，如查找范围[a ，b ]内某一值c (c ∈[a ，b ]，b ≥a )，且a ，b ，c 都是正整数，先取m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b 2(式子[x ]表示不超过x 的最大整数)为试验点，比较c 与m 的大小，如果相等，则查找成功；如果c ＜m ，则查找范围为[a ，m －1]；若c ＞m ，则查找范围为[m ＋1，b ]，按此下去，直至c ＝m 为止.每比较一次称为查找一次，设找到c 的查找总次数记为f (c ).(1)若查找范围是[1，7]，求f (4)，f (3)，f (7)的值.(2)设x ∈[1，2n －1]，你能得出f (x )的最大值与最小值吗？解 (1)易知查找范围是[1，7]时，第一个试验点m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋72＝[4]＝4，所以f (4)＝1. 求f (3)，由于第一次比较后的查找范围为[1，3]，接着第二个试验点为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋32＝2＜3，所以此时范围为[3，3].由第三个试验点值为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋32＝[3]＝3，查找结束，所以f (3)＝3.同理查找f (7)的查找范围依次为[1，7]，[5，7]，[7，7]，在[7，7]中找得第三个试验点为7，所以f (7)＝3.(2)由(1)知，当x ＝1＋（2n －1）2＝2n －1时，f (x )取最小值，此时f (x )min ＝1. 易知第一次查找的范围内的个数值为2n －1个，第二次查找的范围是[1，2n －1－1]或[2n －1＋1，2n －1]，不论哪种情况，此时范围内的个数为2n －1－1个.即查找一次，如果不成功，则查找范围变为原来的一半减半个.第三次查找的范围的个数是2n －2－1个.…最后到了22－1＝3个时，比如此时存优范围是[1，3]，取中值m ＝2，考虑查找次数最大值的情况，再得到存优范围[1，1]或[3，3].再对范围为[1，1]或[3，3]再取一次就是.此时查找的次数为n 次，如f (1)＝f (2n －1)＝n ，即f (x )max ＝n .。
高中数学第1讲优选法讲末检测新人教A版选修4-7(2021年整理)
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第1讲优选法一、选择题1。
下列函数在区间[－1，5]上是单峰函数的有( ）（1)y＝3x2＋2；（2）y＝－x2－3x；（3）y＝cos x；（4)y＝2x。
A。
0个B。
1个C。
2个 D.3个解析（1)在［－1,5］上先减后增是单峰函数；（2）在［－1，5］上单调递减，是单峰函数;(3）在［－1，5]上有最大值和最小值不是单峰函数；(4）在［－1，5]上是单调递增函数，是单峰函数。
答案D2。
下列问题不属于优选问题的是( ）A.小明每天7:00到校上课B.每天锻炼多长时间，选择在什么时间锻炼会使身体更健康C。
在军事上，炮弹的发射角多大时，才能使炮弹的射程最远D.荤素搭配满足什么比例时,才能使我们的饮食更合理解析A选项只陈述了一个事实，并不涉及优选问题，而B、C、D选项，均带有一定的试验性,且试验结果随因素的变化不同。
答案A3.若洗水壶要用1分钟、烧开水要用10分钟、洗茶杯要用2分钟、取茶叶要用1分钟、沏茶1分钟，那么较合理的安排至少也需要( ）A.10分钟B.11分钟C.12分钟D.13分钟解析本题属于时间的优选问题，显然在烧开水的时间内，可以安排洗茶杯,取茶叶，故最少需要洗水壶（1分钟)＋烧开水(10分钟)＋沏茶(1分钟）共12分钟。
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人教A版高中数学目录必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图 1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例1.3实习作业第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2简单的线性规划问题3.4基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1-2第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用1．2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明2．2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3．2复数代数形式的四则运算第四章框图4．1流程图4．2结构图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝第四讲平面解析几何的产生五讲微积分的诞生第六讲近代数学两巨星第七讲千古谜题第八讲对无穷的深入思考第九讲中国现代数学的开拓与发展选修3-2选修3-3第一讲从欧氏几何看球面第二讲球面上的距离和角第三讲球面上的基本图形第四讲球面三角形第五讲球面三角形的全等第六讲球面多边形与欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系第八讲欧氏几何与非欧几何选修3-4第一讲平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第三讲对称与群的故事选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质第二讲直线与圆的位置关系第三讲圆锥曲线性质的探讨选修4-2第一讲线性变换与二阶矩阵第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法第三讲逆变换与逆矩阵第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量选修4-3选修4-4第一讲坐标系第二讲参数方程选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式第二讲证明不等式的基本方法第三讲柯西不等式与排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲整数的整除第二讲同余与同余方程第三讲一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用选修4-7第一讲优选法第二讲试验设计初步选修4-8选修4-9第一讲风险与决策的基本概念第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介高中人教版（B）教材目录介绍必修一第一章集合1．1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算第二章函数2．1 函数2．2 一次函数和二次函数2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数3．3 幂函数3．4 函数的应用（Ⅱ）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1 平面真角坐标系中的基本公式 2．2 直线方程2．3 圆的方程2．4 空间直角坐标系必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3．2 古典概型3．3 随机数的含义与应用3．4 概率的应用必修四第一章基本初等函(Ⅱ)1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1 向量的线性运算2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式3．3 三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用选修1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2 基本不等式1．3 绝对值不等式的解法1．4 绝对值的三角不等式1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2 排序不等式2．3 平均值不等式(选学)2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1 数学归纳法原理3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。
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必修 1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2． 1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3． 1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修 2第一章空间几何体1 ．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2 ．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3． 1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3 ． 3 直线的交点坐标与距离公式必修 3第一章算法初步1 ．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2 ．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2 ．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图人教 A 版高中数学目录2． 3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3 ．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3． 2 古典概型3． 3 几何概型必修 4第一章三角函数1 ．1 任意角和弧度制1． 2 任意角的三角函数1． 3 三角函数的诱导公式1． 4 三角函数的图象与性质1． 5 函数 y=Asin （ωx+ψ）1． 6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2 ．1 平面向量的实际背景及基本概念2． 2 平面向量的线性运算2． 3 平面向量的基本定理及坐标表示2． 4 平面向量的数量积2． 5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3 ．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3． 2 简单的三角恒等变换必修 5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.2 应用举例1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n 项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n 项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2 简单的线性规划问题3.4 基本不等式选修 1-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算3.3 导数在研究函数中的应用3.4 生活中的优化问题举例选修 1-2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1合情推理与演绎证明2．2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念3．2 复数代数形式的四则运算第四章框图4． 1 流程图4． 2 结构图人教 A 版高中数学目录选修 2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2 立体几何中的向量方法选修 2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修 2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修 3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝人教 A 版高中数学目录选修 3-2选修 3-3第一讲从欧氏几何看球面第二讲球面上的距离和角第三讲球面上的基本图形第四讲球面三角形第五讲球面三角形的全等第六讲球面多边形与欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系第八讲欧氏几何与非欧几何第二讲直线与圆的位置关系第三讲圆锥曲线性质的探讨选修 4-2第一讲线性变换与二阶矩阵第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法第三讲逆变换与逆矩阵第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量选修 4-3选修 4-4第一讲坐标系第二讲参数方程第四讲平面解析几何的产生第五讲微积分的诞生第六讲近代数学两巨星第七讲千古谜题第八讲对无穷的深入思考第九讲中国现代数学的开拓与发展选修 3-4第一讲平面图形的选修 4-5对称群第一讲不等式和绝对值不等式第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第二讲证明不等式的基本方法第三讲对称与群的故事第三讲柯西不等式与排序不等式选修 4-1第四讲数学归纳法证明不等式第一讲相似三角形的判定及有关性质选修 4-6第一讲整数的整除第二讲同余与同余方程第三讲一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用选修 4-7第一讲优选法第二讲试验设计初步选修 4-8选修 4-9第一讲风险与决策的基本概念第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介高中人教版（ B）教材目录介绍必修一第一章集合1． 1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算人教 A 版高中数学目录第二章函数2．1 函数2． 2 一次函数和二次函数2． 3 函数的应用（Ⅰ）2． 4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3 ．1 指数与指数函数3． 2 对数与对数函数3．3 幂函数3． 4 函数的应用（Ⅱ）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1． 2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2 ．1 平面真角坐标系中的基本公式2． 2 直线方程2． 3 圆的方程2． 4 空间直角坐标系必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1． 2 基本算法语句1． 3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2． 2 用样本估计总体2． 3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3． 2 古典概型3． 3 随机数的含义与应用3． 4 概率的应用必修四第一章基本初等函(Ⅱ )1 ．1 任意角的概念与弧度制1． 2 任意角的三角函数1． 3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2 ．1 向量的线性运算2 ．2 向量的分解与向量的坐标运算2． 3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式3．3 三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3 ．1 不等关系与不等式3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题选修 1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用选修 1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修 4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1 ．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2 基本不等式人教 A 版高中数学目录1．3 绝对值不等式的解法1．4 绝对值的三角不等式1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2． 1 柯西不等式2．2 排序不等式2．3 平均值不等式 ( 选学 )2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3． 1 数学归纳法原理3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。
普通高中数学课程标准(新人教A)：选修4 优选法与试验设计初步
优选法与试验设计初步在生产和科学试验中，人们为了达到优质、高产、低消耗等目标，需要对有关因素的最佳组合（简称最佳点）进行选择，关于最佳组合（最佳点）的选择问题,称为选优问题。
在实践中的许多情况下,试验结果与因素的关系,要么很难用数学形式来表达,要么表达式很复杂，优选法与试验设计是解决这类问题的常用数学方法。
20世纪60年代，著名数学家华罗庚亲自组织推广了优选法，并在全国工业部门得到了广泛的应用，取得了可喜的成果。
简单地说，优选法是合理地安排试验以求迅速找到最佳点的数学方法。
试验设计也是一种数学方法，一般说来，它是考虑在多因素情况下安排试验的方法，它可以帮助人们通过较少的试验次数得到较好的因素组合，形成较好的设计方案。
本专题将结合具体实例，初步地介绍单因素、双因素的优选法和多因素的正交试验设计方法，并对方法给予简单的说明,帮助学生理解这些方法的基本思想,并能思考和解决一些简单的实际问题。
内容与要求1. 通过丰富的生活、生产案例，使学生感受在现实生活中存在着大量的优选问题。
2. 通过分析和解决具体实际问题,使学生掌握分数法、0。
618法及其适用范围，可以利用计算机（或计算器）进行试验,并能思考和尝试运用这些方法解决一些实际问题，体会优选的思想方法。
3。
了解斐波那契数列｛F n}，理解在试验次数确定的情况下分数法最佳性的证明，通过连分数知道FFnn1和黄金分割的关系。
4。
通过一些具体的实例，使学生知道对分法、爬山法、分批试验法，以及目标函数为多峰情况下的处理方法。
5. 通过丰富的实例,了解多因素优选问题，了解处理双因素问题的一些优选方法，进一步体会优选的思想方法。
6. 通过丰富的生活、生产案例，使学生感受在现实生活中存在着大量的试验设计问题。
7。
通过对具体案例（因素不超过3，水平不超过4)的分析，理解运用正交试验设计方法解决简单问题的过程，了解正交试验的思想和方法，并能运用这种方法思考和解决一些简单的实际问题。
2017_2018版高中数学第一讲优穴讲末复习课件新人教A版选修4_720180504232
例2
用 0.618 法对某一试验进行优选， 因素范围是[2 000， 8 000]，
则第二个试点 x2＝________.
解析
由 0.618 法知 x1＝2 000＋0.618×(8 000－2 000)＝5 708，
x2＝2 000＋8 000－5 708＝4 292 或 x1＝2 000－(8 000－2 000)×0.618＝4 292. x2＝2 000＋8 000－4 292＝5 708.
专题 5 多因素优选法
解决多因素优选法常用降维法，即将多因素问题转化为一系列 较少因素的问题，教材中主要讲述了纵横对折法、从好点出发 法、平行线法和双因素盲人爬山法，其中前三种方法是处理多 因素优选问题的主要方法， 由于每种优选方法均有各自的特点， 学习中应注意各种优选法的区别和联系.
内部文件，请勿外传
[50，130]等分为 8 等份，如图所示： 5 F4 (1)用8＝F 代替 0.618，得第一个试验点 5 5 x1＝50＋8(130－50)＝100， x2＝50＋130－100＝80， 即前两个试点分别处于 100 mL 和 80 mL 处.
(2)由 Fn＝8 可知 n＝5，故最多经过 n－1＝4 次便可求出试验的 最佳点. 专题 4 其他几种常用的优选法
例 3
在配置某种清洗液时，需要加入某种材料，经验表明，加入
量小于 50 mL 或大于 30 mL 肯定不好.用 150 mL 的锥形量杯计量加 入量，该量杯的量程分为 15 格，每格代表 10 mL. (1)用分数法进行优选时，第一试点和第二试点分别是多少 mL? (2)最多几次便可找出试验的最佳点？ 解 由题意可知，试验的最佳点处于 50 mL～130 mL 之间把区间
2017-2018学年课堂讲义高二人教A版数学选修4-7练习：
一、基础达标1.关于单峰函数，有下列说法：①在区间[a ，b ]上的单峰函数就是只有一个极大值点的函数；②在区间[a ，b ]上的单调函数不是单峰函数；③对有关因素的最佳组合进行选择，这样的问题称为优选问题；④在试验范围内具有极值性的问题称为具有单峰性的问题.其中正确的个数有( )A.0个B.1个C.2个D.3个 解析 ①②④错误，只有③正确.答案 B2.下列函数在区间[－10，10]上是单峰函数的为( )A.y ＝1x ＋1B.y ＝cos xC.y ＝2xD.y ＝13x 3－x 2－3x 解析 根据单峰函数的定义及规定知只有y ＝2x 在区间[－10，10]上为单峰函数.答案 C3.已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m 在区间[－3，2]上是单峰函数，则下列哪个存优范围最小( )A.[－2，2]B.[－1，1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12 解析 由f ′(x )＝6x 2－12x ＝0，知x 1＝0，x 2＝2，所以最佳点是x ＝0，所以C 选项排除，由A ，B ，D 的区间范围可知D 的范围最小，故选D 项.答案 D4.若某单峰函数的存优范围是[1，4]，现在区间[1，4]上任取两点2，3，通过比较，2与3相比，2是好点，则此时的存优范围是__________.解析因为2为好点，舍去区间[3，4]，存优范围为[1，3).答案[1，3)5.在粉笔加工设计中，每支粉笔都要丢掉一段一定长的粉笔头，单就这一点来说，愈长愈好，但太长了，使用起来既不方便，也容易折断，每断一次，必然多浪费一个粉笔头，反而不合适，因而就出现了“粉笔多长最合适”的问题，技术员王工在长度为10 cm至15 cm范围内经过多次尝试，最后发现12 cm 长的粉笔最合适.根据上述描述，请回答下列问题：(1)这个问题的可控因素是________；(2)这个问题的最佳点是________.解析(1)这个问题是优选问题.这个问题是寻找粉笔的合适长度，因此可控因素是粉笔的长度.(2)本题是寻找粉笔的合适长度，因此最佳点就是最合适的粉笔长度，即12 cm. 答案(1)粉笔的长度(2)12 cm6.已知t＞0，则函数y＝t2－4t＋1t的最佳点为__________.解析y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥－2(t＞0)，当且仅当t＝1时，y min＝－2.答案 1二、能力提升7.说出下列优选问题中的可控因素.①购房者在选择适合自己的房屋时，会从房屋的位置、价格等不同特性进行对比，从中选择合适的房子.②调配葡萄酒时，需用两种原酒调配而成，如由赤霞珠、梅鹿辄组合成的干红葡萄酒，经过多次试验，确定两种原酒的最佳比例.③做馒头，碱放少了馒头会酸，碱放多了馒头会变黄、变绿且带碱味，碱放多少才合适呢？④为了加强钢的强度，要在钢中加入碳，加入太多太少都不好，究竟加入多少碳，钢才能达到最高强度呢？解(1)中的可控因素是位置、价格等；(2)两种原酒的比例；(3)加入碱的量；(4)加入碳的量.8.已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1.(1)若f (x )在[0，＋∞)上单调，求a 的取值范围.(2)若g (x )＝f (x )－3x 在[－1，4]上是单峰函数，求a 的取值范围.解 (1)由f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3≥0对任意x ≥0恒成立，得－2a ≤x ＋1x ⇒ －2a ≤2⇒a ≥－1.(2)由g ′(x )＝f ′(x )－3＝3x 2＋6ax ＝3x (x ＋2a )，由g ′(x )＝0可得x ＝0或x ＝－2a . ∵0∈(－1，4)，所以－2a ∉(－1，4)，∴－2a ≤－1或－2a ≥4，即a ≥12或a ≤－2. 故a 的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 9.有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为P 万元和Q万元.它们与投入资金x 万元的关系有经验公式P ＝15x ，Q ＝35x .现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，则对甲、乙两种商品的资金投入分别为多少？并说明此优选问题是否具有单峰性质.解 设对甲种商品投资x 万元，则乙种商品投资为(3－x )万元，又设所获得的利润总额为y 万元，由题意有y ＝15x ＋353－x ，x ∈[0，3].令3－x ＝t ，则x ＝3－t 2，t ∈[0，3]，从而y ＝15(3－t 2)＋35t ＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋2120，t ∈[0，3].当t ＝32∈[0，3]时，y max ＝2120.即知x ＝3－94＝34，3－x ＝3－34＝94.因此，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元.这个优选问题中的目标函数，经过换元之后为有最大值的二次函数，而二次函数为单峰函数，因此这个优选问题具有单峰性质.三、探究与创新10.证明：若目标函数为单峰函数，则最佳点与好点必在差点的同侧. 证明 下面仅对单峰函数f (x )上凸的情形进行证明.设点c 为[a ，b ]上的单峰函数f (x )的最大值点，m ，n ∈[a ，b ]，且f (m )＞f (n ).因为f (x )为单峰函数，所以f (x )在[a ，c ]递增，在[c ，b ]递减.(1)设n∈[a，c]，如图，因为m，n∈[a，b]，且f(m)＞f(n)，所以mn]，即m∈[n，b].因为n∈[a，c]，所以c∈[n，b].因此，点m，c点n的右侧.(2)设n∈[c，b].因为m，n∈[a，b]，且f(m)＞f(n)，所以m∉[n，b]即m∈[a，n].因为n∈[c，b]，所以c∈[a，n].因此，点m，c在点n的左侧.由(1)(2)可知点m，c始终在点n的同侧.。
2017-2018版高中数学 第1讲 优选法 四 分数法(一)练习 新人教A版选修4-7
四 分数法（一）一、基础达标1.有一种叫做“喷嚏麦”的花草，新的一枝从叶腋长出，而另外的新枝从旧枝长出来，老枝和新枝条每层树叶片数如图所示，则最上层“？”处的树叶数为()A.12B.13C.14D.15解析 符合斐波那契数列，利用逆推关系可知“？”处为13，所以答案为B. 答案BA.512B.1219C.1033D.1解析13＋13＋13＝1033，所以答案为C. 答案 C3.用斐波那契数列{F n }：F 0＝1，F 1＝1，F 2＝2，…表示黄金分割常数ω＝5－12的渐近分数中的分子和分母，即F nF n ＋1，则ω的第8个渐近分数是( ) A.813B.1321C.2134D.3435解析 第8个渐近分数为F 7F 8＝2134.答案 C4.记ω是黄金分割常数，则下列各式不正确的是( )解析 D 选项⇒ω2－ω－1＝0⇒ω＝1±52≠－1＋52.答案 D答案 26.卡那霉素发酵液生物测定，一般都规定培养温度为(37±1) ℃，培养时间在16 h 以上.某制药厂为了缩短时间，决定优选培养温度，试验范围定为29～50 ℃，精确度要求±1 ℃，用分数法安排试验，则第一试点在__________处，第二试点在__________处. 解析 x 1＝29＋1321×(50－29)＝42(℃)，x 2＝29＋50－42＝37(℃)所以答案为45 ℃，37 ℃. 答案 45 ℃，37 ℃ 二、能力提升7.在斐波那契数列{F n }中，F 0＝1，F 1＝1，F n ＋2＝F n ＋1＋F n (n ≥0，n ∈N *)，则F 10＝__________.解析 利用递推公式可得.F 2＝2，F 3＝3，F 4＝5，F 5＝8，F 6＝13，F 7＝21，F 8＝34，F 9＝55，F 10＝89. 答案 899.“椰子果汁”在加工过程中，有一道工序是将罐在沸水中进行杀菌，为了优化这道工序，技术员小刘准备用分数法进行优选试验，试验范围为5 min到39 min，如何安排前二次的试验？解因为试验数据范围是[5，39]，等分为34段，分点为6，7，…，37，38，第一个试验点选在5＋21/34×(39－5)＝26(min)，第二个试验点选在5＋39－26＝18(min).三、探究与创新。
《什么叫优选法》_精品课件人教版1
点、优选法等三个概念，请同学 们讨论一下三者之间的关系.
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三个概念相互联系，只有了 解了前面的概念才能了解后面的 概念，教科书正是以这种顺序循 序渐进地提出它们的.
选择问题，称为优选问题.
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2. 什么是最佳点？
解答：在生产和科学试验中，人们为了达
到优质、高产、低消耗等目标，对有关因
素进行的最佳组合，简称最佳点.
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《什么叫优选法》教用课件人教版1- 精品课 件pp优化方法.它是以数学原理为指 导，用尽可能少的试验次数，迅 速求得最优解的方法.
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3.情感态度与价值观
了解并掌握如何运用优选 法，解决优选问题，并形成对 试验的广义理解.
教学重难点
1.教学重点
（1）了解优选法、优选问题的概念. （2）知道最佳点的查找方法并理解试验一词. （3）学会利用优选法解决优选问题.
2.教学难点
从广义上理解试验一词并学会利用 数学原理，安排合理实验，以最少的试 验次数迅速找到最佳点，从而解决优选 问题.
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3 如何理解试验一词？
解答：试验一词即它可以是物理、化学、
高中数学 第1讲 优选法 三 黄金分割法——0.618法(一)练习 新人教A版选修4-7-新人教A版
三 黄金分割法——0.618法（一）一、基础达标1.有一优选问题，存优X 围为[10，20]，在安排试点时，第一个试点为16，则第二个试点最好为( )A.12B.13C.14D.15解析 在优选过程中，安排试点时，最好使两个试点关于[10，20]的中点15对称，所以第二个试点最好为14.答案 C2.在存优X 围[10，100]安排两个实验点x 1，x 2，则x 1，x 2关于( )对称.解析 x ＝x 1＋x 22＝10＋1002＝55. 答案 C3.用0.618法确定试点，则经过4次试验后，存优X 围缩小为原来的( )2345解析 由黄金分割法知：每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相等，故4次试验后，存优X 围缩小为原来的0.6183.答案 B4.假设因素区间为[0，1]，取两个试点0.1和0.2，则对峰值在(0，0.1)内的单峰函数，两次试验存优X 围缩小到区间________上.解析 如图所示：因为峰值在(0，0.1)内，故应舍去区间[0.2，1]，两次试验后存优X 围缩小到区间[0，0.2]上.答案 [0，0.2]5.人体的正常体温为36～37 ℃，在炎炎夏日将空调设为__________℃，人体感觉最佳.(精确到0.1 ℃)解析 36×0.618到37×0.618，即22.2～22.8.答案 22.2～22.86.一个身高为170 cm 的人，肚脐离地面的最佳高度为__________ cm(精确到 1 cm).解析 由170×0.618＝105.06≈105.答案 105二、能力提升7.已知一种材料的最佳加入量在110 g 到210 g 之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是________g.解析 根据0.618法可知，第一试点的加入量为110＋0.618×(210－110)＝171.8(g)或110＋210－171.8＝148.2(g)答案 171.8或148.28.在炼钢过程中为了得到特定用途的钢，需要加入含有特定元素的材料.若每吨钢需要加入某元素的量在1 000 g 到2 000 g 之间，假设最佳点在1 400 g ，如果用0.618法试验，求第三个试验点.解 由0.618法知x 1＝1 000＋0.618(2 000－1 000)＝1 618(g)，x 2＝1 000＋2 000－x 1＝1 382(g).由于1 382 g 接近1 400 g ，所以此时的存优X 围为(1 000，1 618)，∴x 3＝1 000＋1 618－1 382＝1 236(g).9.如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，A 为长轴的右端点，B 当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆为“黄金椭圆”. (1)类似“黄金椭圆”，推算“黄金双曲线”的离心率.(2)设AB 为黄金双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的弦，M 为AB 的中点，若AB ，OM 的斜率存在，求k OM ·k AB .解 (1)类似“黄金椭圆”，作出“黄金双曲线”，如图，则BF ⊥AB .则BO ＝b ，FO ＝c ，OA ＝a ，在Rt△ABF 中，b 2＝ac .又∵b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2＝ac ⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－c a－1＝0.∴e ＝c a ＝1±52.又e ＞1， ∴e ＝1＋52. (2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1， ①x 22a 2－y 22b 2＝1. ②由①－②得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＝（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b2. ∵M 是AB 的中点，且x 1≠x 2，∴x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，从而y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 0y 0. 故k OM ·k AB ＝y 0x 0·y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2＝1＋52. 三、探究与创新10.已知线段AB ，怎样作出它的黄金分割点？解 法一 在AB 的端点B 作BD ⊥AB ，使BD ＝12AB ，连接AD ，在AD 上截取DE ＝DB ，再在AB 上截取AC ＝AE ，则点C 为所求作的黄金分割点，如图1. 事实上，由作法可知AD ＝52AB ，则AC ＝AE ＝AD －DB ＝AD －12AB ＝5－12AB ， 即证.图1法二 在AB 上作正方形ABMN ，在AN 上取中点E ，在NA 的延长线上取EF ＝EB .以AF 为一边作正方形ACDF ，则点C 为所求作的黄金分割点，如图2.事实上，由AC ＝AF ＝EF －AE ＝EB －AE ＝AB 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2－12AB ＝5－12AB ，即证.图2。
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一、基础达标
1.下列问题是优选问题的有( )
①手工制作玻璃钢模型舰艇，采用何种型号环氧树脂、固化剂，才能使作品的硬度和韧性适宜；②炸酱面如何配料使口感更好；③膏豆腐的制作过程中，如何配制热石膏同豆浆的关系，才能使豆腐做出后不老不嫩.
A.①③
B.②③
C.①②③
D.①
解析以上3个例子从不同的方面说明了优选问题的普遍性，均属于优选问题.
答案 C
2.下列各试验中，与优选方法无关的是( )
A.女孩子在日常生活中总爱穿高跟鞋
B.在学校举行的诗歌朗诵大赛中，文艺班长先从班级中选出一名优秀队员
C.景泰蓝生产过程中，寻找“合适”的操作和工艺条件
D.篮球比赛中，上下半场交换比赛场地
解析A中“爱穿高跟鞋”、B中“优秀队员”、C中“合适的操作和工艺条件”都需要通过试验得到最佳效果，有优选法的思想，D只是交换场地，是比赛规则，不需要试验. 答案 D
3.下列有关优选法的说法中正确的个数为( )
①优选法就是利用数学原理合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法②优选法的目的就是减少试验的次数③试验中如果安排不合理，会使得试验的次数很多④优选法是纯数学问题，实验性不大.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析由优选法定义可知①②③正确.④错误.
答案 C
4.一艘货船可装货物30 t ，装载容积为14 m 3
，现有五件货物待运，它们的重量、容积和获利情况如下表：
则能获得的最大利润为( ) A.7万元 B.9万元 C.10万元
D.12万元
解析 选择编号为①④⑤的货物，保证限重、限积要求，并使利润最大，故答案为B. 答案 B
5.甲、乙、丙三人同时在水龙头边接水，他们各自盛满水所用时间分别为30 s 、40 s 、35 s ，则三个人等待的总时间最少为__________s.
解析 按甲、丙、乙的顺序接水，这样三人等待的总时间最少，最少为30×3＋35×2＋40＝200(s). 答案 200
6.用20 cm 长的铁丝折成一个矩形，则矩形最大面积为__________. 解析 设长为x ，宽为y ，则x ＋y ＝10，
面积S ＝xy ≤⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x ＋y 22
＝25，当且仅当x ＝y ＝5时，等号成立. S max ＝25，所以答案为25 cm 2.
答案 25 cm 2
二、能力提升
7.方程x 2
＋x －1＝0的一个正根为__________.(精确度为0.01) 解析 利用二分法可求得该正根为0.62. 答案 0.62
8.用长14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容积的底面的一边比另一边长0.5 m ，那么高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积. 解 设容器底面短边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5)m ，高为(3.2－2x )m ，
由3.2－2x＞0，x＞0，得0＜x＜1.6. 设容器的容积为y，则有
y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)(0＜x＜1.6) ⇒y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x.
∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.
令y′＝0，得x1＝1，x2＝－4
15
(舍去).
又x∈(0，1)，y′＞0，x∈(1.1，6)，y′＜0，
因此，当x＝1时，y max＝1.8，此时高1.2 m.
∴容器的高为1.2 m时容积最大，最大容积为1.8 m3.
9.《幸运52》有一个游戏叫看商品猜价格，这个游戏的具体规则：由参与者猜一个价格，
然后主持人会根据此人所报出的价格来判断是高于实际价格还是低于实际价格，并提示
是“高了”还是“低了”，直到你猜对价格为止.如果你是参与者，而且已确定了这个
商品的价格在1 000元至2 000元之间(为整数值)，你可以用等距法(即从一端开始每端
相同的差价k元进行报价)来猜.那你觉得如何取k的值，能较快的猜得价格？
解(1)若k取1，即报价从1 001，1 002，1 003，…，直至猜中为止，对这种方法如果价格较低(如不超过1 010)还是比较好，但如果价格较高(如价格是
1 800)，则猜的次数很多.按此方法报的次数最多的价格是1 999元，报了999次.
(2)若先取k＝100，即报价按1 100，1 200，…，确定价格的百位，如报到1 500时，说“高了”，则易知价格在 1 400至 1 500之间；然后取k＝10，即报价按 1 410，1 420，…，确定价格的十位；再取k＝2，确定个位.以此类推猜得价格.按此方法报的次数最多的价格是1 999元，报了23次.
(以上仅列举了两种方法，答案不唯一)
三、探究与创新
10.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的
桥面工程费用为(2＋x)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝m x
－1，
∴y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x
－1＋m
x
(2＋x )x ＝256x
m ＋m x ＋2m －256.
(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －1
2
＝
m 2x 2(x 3
2
－512). 令f ′(x )＝0，得x 3
2
＝512，所以x ＝64.
当0＜x ＜64时，f ′(x )＜0，f (x )在区间(0，64)内为减函数； 当64＜x ＜640时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(64，640)内为增函数.
所以f (x )在x ＝64处取得最小值.此时n ＝m x －1＝640
64
－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y 最小.。