第十三章第3节实数-9

年 级 初二 学 科 数学版 本人教新课标版课程标题 第十三章 第3节 实数编稿老师 陈孟伟 一校 黄楠二校李秀卿审核王百玲一、学习目标：1. 了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；2. 正确理解有理数与无理数的区别；3. 知道实数的相反数、倒数、绝对值、大小的比较。

二、重点、难点：重点：实数的概念和性质，以及运算定律。

难点：对无理数的理解。

三、考点分析：实数和数轴是中考的必考内容，其中实数的有关概念是初中数学的重要概念之一，实数的运算是初中数学的基础，数轴是数形结合的具体体现，因此它是中考命题的热点，这类题型以填空题、选择题居多，试题难度多为低、中档。

1. 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。

2. 实数的概念：有理数和无理数统称为实数。

3. 实数的分类（1）按定义分：⎧⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎨⎪⎩⎭⎪⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数——无限不循环小数 （2）按符号分：0⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数4. 实数与数轴上的点是一一对应关系。

5. 实数的有关概念及运算（1）有理数的大小比较法则在实数范围内仍成立，有理数的一些概念，如相反数、绝对值、倒数在实数范围内仍适用。

（2）对于实数,a b 有如下性质：①若a 与b 互为相反数，则0a b +=；②若a 与b 互为倒数，则1ab =；③任何实数的绝对值都是非负数，即||0a ≥；④互为相反数的两个数的绝对值相等，即||||a a =-；⑤正数的倒数是正数，负数的倒数是负数； ⑥0没有倒数。

6. 实数的运算定律和运算顺序与有理数的运算定律和运算顺序相同。

知识点一：无理数的概念例1：下列说法中正确的有（ ） ①无理数都是实数； ②实数都是无理数； ③无限小数都是有理数； ④带根号的数都是无理数； ⑤除了π之外不带根号的数都是有理数。

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 思路分析：无理数并不都是带根号的数，带根号的数也并不都是无理数（如π是无理数但不带根号，而4带根号却不是无理数），目前我们所接触到的无理数有如下三种形式：第一种是开方开不尽的数，如3，5-，39，57-等，但用根号形式表示的数却并不都是无理数，如16，327-等。

第二种是圆周率π，它是圆的周长与该圆直径的比值，是无限不循环小数。

第三种是类似0.010010001 这样的小数。

当然，还有其他形式的无理数，我们在今后的学习中将会遇到。

解答过程：由实数定义可知①是正确的；②错误，因为实数不都是无理数，还有有理数；③错误，无限不循环小数是无理数；④错误，如4就是有理数；⑤错误，如0.010010001 就是无理数。

所以正确的只有1个，选A解题后的思考：本题主要考查无理数和实数的定义及包含关系，注意千万不要认为带根号的数就是无理数。

例2：指出下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数。

34，7.231，π-，38-，2.6，16，40，39157，104.23232323 （每相邻两个2之间有一个3），0.12345678910111213- （小数部分由连续的正整数组成）。

思路分析：有理数的定义是“整数和分数统称为有理数”，也即有理数是可化为有限小数或无限循环小数的数。

无理数的定义是“无限不循环小数是无理数”。

解答过程：有理数有：7.231，38-，2.61640，39157，104.2323232334π-，0.12345678910111213- 解题后的思考：凡是分数、开方开得尽的数、循环小数都是有理数；凡是开方开不尽的数、含π的数、类似0.121122111222 这样不循环的数都是无理数。

小结： 438π的数都是无理数，比如2ππ。

同学们初学这部分内容时对无理数不理解，无理数并不“无理”，只是大家对它不熟悉。

比如，边长为1的正方形的对角线的长度就是一个无理数。

知识点二：实数及其分类例3：把下列各数填在相应的大括号内：0，8，3827-，16，27-，2-，3，|13|-，227，4π，0.1010010001 （两个1之间依次多1个0）。

自然数集合{ …} 有理数集合{ …} 正数集合{ …} 整数集合{ …} 非负整数集合{ …} 分数集合{ …} 思路分析：822=，382273-=-，164=，2733-=-，|13|31-=- 解答过程：自然数集合{0，16，…}有理数集合{0，3827-，16，2-，227，…}正数集合{8，16，3，|13|-，227，4π，0.1010010001 ，…}整数集合{0，16，2-，…} 非负整数集合{0，16，…}分数集合{3827-，227，…}解题后的思考：对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类。

不能看见用根号表示的数就认为一定是无理数。

比如，164=，所以它是自然数，也是整数，也是有理数，但不是无理数。

又如382273-=-，所以它是分数，也是有理数。

由于π是无理数，所以4π也是无理数，千万不要把4π当作分数。

另外，也不能认为含有π的数都是无理数。

比如，|4|4ππ-+=，所以它是有理数。

小结：实数包括有理数和无理数。

在对实数进行分类时，要做到“不重不漏”。

比如，若仅把实数分为正实数、负实数，显然就把0给漏掉了。

再比如，如果把实数分为正实数、无理数，那么就会既有漏掉的实数，又有重复的实数。

要做到“不重不漏”，就需要明确统一分类标准。

注意对非同等级别的事物不能进行分类。

如将实数分为：整数、分数、无理数，整数、分数与无理数不是同一级别上的数，所以这种分类是不行的。

知识点三：实数的大小比较例4：比较大小：175--411思路分析：此题只要比较175与411的大小即可。

对于两个正无理数的大小的比较，通常有两种方法：一是取它们的近似值（有理数）来进行比较；二是比较它们的被开方数的大小。

解答过程：解法一：因为，411176=，且175176<所以，175176<所以，175176->-。

->-，即175411解法二：因为，17513.23-≈-，而13.2313.27-≈-，41113.27->-所以，175411->-。

解题后的思考：对于解法一，不等式的运算规则对于无理数仍成立。

对于解法二，为了便于比较大小，取近似值时要注意精确度。

例5：比较大小：72-。

-与37思路分析：此题用取近似值的办法进行比较仍然可以，只是若不借助计算器则不能很方便地求出它们的近似值。

有理数中，若0a b-<，则a b<。

这对=；若0a ba b-=，则a b->，则a b>；若0于实数也是成立的。

解答过程：解法一：---=--+=-(72)(37)7237275因为，2728255=>=所以，275>，故(72)(37)0--->所以，7237->-。

解法二：≈，370.35720.657237>解题后的思考：用作差法比较大小是一种非常重要的方法。

小结：实数的大小和有理数的大小规定相同：正数大于0，0大于负数；两个正数中，绝对值大的则大；两个负数中，绝对值大的反而小。

将实数表示在数轴上，仍然是右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。

随着学习的深入，将来我们还要学习更多比较大小的办法。

知识点四：实数与数轴的综合应用例6：图中表示的是实数x的取值范围，用不等式写出实数x的取值范围，并由此化简：2(1)|2|x x+--。

思路分析：在“一元一次不等式”这章中，我们学习过利用数轴来表示有理数的范围，这与利用数轴来表示实数的范围是相同的。

解答过程：由图可知1x<-或2x≥当1x<-时，原式＝(1)(2)3x x-+--=-；当2x≥时，原式＝(1)(2)3x x+--=。

解题后的思考：数形结合有助于对题目的理解，这种方法在数学中的应用非常广泛。

例7：解不等式组：22030290xxxπ⎧+>⎪⎪-<⎨⎪->⎪⎩思路分析：将每个不等式的解集分别求出来，再利用数轴求这些解集的公共部分。

解答过程：原不等式可化为22329xxxπ⎧>-⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩，即22239xxxπ⎧>-⎪⎪⎪<⎨⎪⎪>⎪⎩所以，不等式组的解集是923xπ<<。

解题后的思考：含无理数的不等式的解法与我们以前学过的不等式的解法相同，在求各不等式解集的公共部分时，需要比较一些实数的大小。

小结：实数与数轴上的点是一一对应的，实数在数轴上的表示是数形结合思想的具体体现，通过把实数在数轴上直观地表示出来，可以形象、直观地感受实数的客观存在，为理解实数的概念及其相关性质提供了帮助。

知识点五：有关实数的简单运算 例8：化简：（1）|122332|++； （2）2|3|816πππ-+-+； （3）2|3(3)(6)a a +<-。

思路分析：要化简带有绝对值符号的式子，首先按绝对值定义，将绝对值符号去掉，再去括号，合并同类项，或进行数的运算。

2(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，即2||a a =。

解答过程：（1）因为，120-<，230-<，32340-=-< 所以，|12||23||32|-+-+- 213223=-+-+-1=（2）因为，30π-< 所以，|3|3ππ-=-因为，22816(4)|4|ππππ-+=-=-，且40π-< 所以，28164πππ-+=-所以，2|3|816πππ-+-+341ππ=-+-= （3）因为，6a <-所以，330a +<-<，且60a +<所以，2|3(3)||3|3|||33||6|6a a a a a -+=-+=++=+=--解题后的思考：将含绝对值的式子化简，其实就是判断绝对值符号内部的式子的符号，往往可将其进一步转化为比较两个数的大小。

同学们要在理解的基础上记忆2||a a =，这个公式在“二次根式”这章中还会大量使用。

例9：化简：20002001(752)(752)-⋅--。

思路分析：此题若直接计算会非常复杂，仔细观察，会发现72-752--运用幂的运算法则对其进行变形。

解答过程：20002001(752)(752)-⋅--200020001(752)(752)(752)=-⋅--⋅-- 2000[(752)(752)](752)=-⋅--⋅-- 222000[(52)7](752)=--⋅--20001(752)=⋅-- 752=--解题后的思考：有理数的乘法规则、乘法公式以及幂的运算法则对于无理数仍然成立。