2010高三数学调研试卷参考答案(1)

嘉定区2009学年度高三年级第一次质量调研数学试卷参考答案与评分标准
一．填空题
1．i -2；2．1+x （0≥x ）；3．}3,1{<x x ；4．3:1；5．25
24
-；6．29； 7．21=x ，5log 22=x ；8．⎪⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡
-
21,23；9．2{-<a a 或}2>a ；10．103； 11．10≤k （或11<k ）；12．]2,1[-；13．（理）1；（文）1；14．（理）11；（文）4．
二．选择题
15．B ； 16．D ； 17．A ； 18．（理）D ；（文）C ．
三．解答题
19．（理）（1）由题意可得，ati t i bi a 342-+=-，所以⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-==②
43①2t at b t
a ，…（3分） 由①得，a t 2=，代入②得a a
a b 22
3-⋅=，所以62=+b a ．…………（6分）
（2）由5|2|≤-z 得5|)2(|≤+-bi a ，即5)2(22≤+-b a ，……（8分） 由（1）得a b 26-=，所以25)26()2(2
2
≤-+-a a ， 化简得0152852
≤+-a a ，…………（10分） 所以a 的取值范围是⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡5,53．…………（12分）
19．（文）（1）i t t i t i z z )1()1())(1(21-++=-+=⋅，……（3分） 由已知，21z z ⋅是实数，所以01=-t ，即1=t ．…………（6分）
（2）由22||21≤+z z ，得22|2)1(|≤++i t ，即224)1(2
≤++t ，……（8分）
即84)1(2
≤++t ，解得13≤≤-t ．……（11分） 所以t 的取值范围是]1,3[-．…………（12分）
20．（1）因为三棱柱的体积33=V ，而344
3
=⨯=底S ，所以31=A A ……（3分） 所以18323=⨯⨯=侧S ．……（6分） （2）取AC 中点E ，连结DE 、E C 1， 则ED ∥AB ，所以，DE C 1∠（或其补角） 就是异面直线AB 与D C 1所成的角．……（8分） 在△DE C 1中，1011==E C D C ，
1=DE ，…………（9分）
C 1
B 1
C
B
A
A 1
D
E
所以20
10
10
21cos 1=
=
∠DE C ．…………（12分） 所以，异面直线AB 与D C 1所成角的大小为20
10
arccos ．…………（14分） （或20
390
arcsin ，或39arctan ）
21．（1）由题意得，S △S ADE 21=
△ABC ，即A AC AB A y x sin 4
1
sin 21⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，…（4分）
解得x y 3
=，……（5分）
所以x
x f 3
)(=，)(x f 的定义域为]2,1[．…………（7分）
（2）在△ADE 中，由余弦定理得， A AE AD AE AD DE cos 2222⋅⋅⋅-+=
xy y x xy y x DE -+=-+=22022260cos 2
39
22-+=x
x ，]2,1[∈x ，…………（10分）
令t x =2，则]4,1[∈t ，于是336392
=-≥-+=t t DE ，……（12分）
当且仅当3=t ，即3=x 时，2
DE 取最小值3．……（13分）
所以，当D 、E 离点A 的距离均为3m 时（或3==AE AD （m ）时），DE 最短，
即所用石料最省．…………（14分）
22．（理）（1）当1=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧<-+-≥--=--=1
,11
,11|1|)(2
2
x x x x x x x x x f ，……（1分）
所以，当1≥x 时，由x x f =)(得x x x =--12，0122
=--x x ，解得21±=x ，
因为1≥x ，所以21+
=x ．…………（2分）
当1<x 时，由x x f =)(得x x x =-+-12，12
-=x ，无实数解．……（3分）
所以，满足x x f =)(的x 值为21+．…………（4分）
（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-+-≥--=a
x a ax x a
x a ax x x f ,,)(2
2 ，……（5分）
因为0>a ，所以，当a x ≥时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=a a a x x f 42)(22
，的单调递增区间是),[+∞a ； 当a x <时，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛
--=a a a x x f 42)(22
，单调递增区间是]2,(a -∞．…（8分） （注：两个区间写出一个得2分，写出两个得3分，区间不分开闭） 所以，)(x f 的单调递增区间是]2
,(a
-∞和),[+∞a ．…………（9分）
E
D C
B
A
（3）由0||<--a a x x ， 当a x ≥时，02
<--a ax x ，
因为0)(<-=a a f ，所以⎪⎪⎭
⎫
⎢⎢⎣⎡++∈24,
2a a a a x ．……（11分） 当a x <时，02
<-+-a ax x ，即04222
<⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a a x ， 当04
2
<-a a ，即40<<a 时，),(a x -∞∈；……（13分） 当042
≥-a a ，即4≥a 时，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞-∈a a a a a a a x ,2424,22 ．…（14分） 综上可得，当40<<a 时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞-∈24,
2a a a x ， 当4≥a 时，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞-∈24,2424,222a a a a a a a a a x ．……（16分）
22．（文）（1）⎪⎩⎪⎨⎧<-+-≥--=--=1,11
,11|1|)(2
2x x x x x x x x x f ，……（1分）
所以，当1≥x 时，由x x f =)(得x x x =--12，0122
=--x x ，解得21±=x ，
因为1≥x ，所以21+
=x ．…………（2分）
当1<x 时，由x x f =)(得x x x =-+-12，12
-=x ，无实数解．……（3分）
所以，满足x x f =)(的x 值为21+．…………（4分）
（2）由⎪⎩⎪⎨⎧<-+-≥--=1
,11
,1)(2
2x x x x x x x f ， 当1≥x 时，)(x f 的单调递增区间为),1[+∞；……（6分）
当1<x 时，)(x f 的单调递增区间为]21
,(-∞．……（8分）
所以，)(x f 的单调递增区间是]2
1
,(-∞和),1[+∞．…………（9分）
（3）当1≥x 时，由012
<--x x 得2
511+<≤x ，…………（12分）
当1<x 时，由012<-+-x x 得012
>+-x x ，恒成立．……（15分）
所以，不等式0)(<x f 的解集为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞-251,．……（16分）
23．（理）（1）当121=+x x 时，
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-⋅-=-+-=+=+2211222211221211212log 12log 12log )()(x x x x x x x x x f x f y y 12log 2log 21
22
12
===x x x x ，所以21y y +为定值1．…………（4分）
（2）由（1）得，1=⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛n k n f n k f （1=k ，2，…，1-n ）
，……（6分） 所以，⎪⎭⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n f n n f n f n f T n 1221 ，
又 ⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f n f n n f n n f T n 1221 ，
于是1)1(2⨯-=n T n ，所以2
1
-=n T n （*N n ∈，2≥n ）．……（10分）
（3）由已知，n a n 2=，*N n ∈．……（11分）
由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
-
2
11111a a …12sin 11+<⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-n a n α
，得 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+21111112a a n …αsin 11<⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-n a ，
令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=
21111112)(a a n n f …⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-n a 11，则由题意可得0)(>n f ，
于是121132111111121111111132)()1(121121+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+=
⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+++n a n a a a n a a a a n n f n f n n n n
1484384)22()12)(32(2212)(32(1
22211322
22<++++=+++=+++=+⎪
⎭⎫ ⎝⎛
+-+=n n n n n n n n n n n n n ， 所以)()1(n f n f <+，即)(n f 随着n 的增大而减小．…………（15分）
所以当*N n ∈时，)(n f 的最大值为2
3)1(=f ， 若存在角α满足要求，则必须2
3
sin >
α．……（16分） 所以角α的取值范围为⎪⎭
⎫ ⎝⎛
++322,32ππππk k ，
（Z k ∈）…………（18分） （注：说明)(n f 单调性的作差方法如下）
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-++1211321
11
111)()1(121n a n a
a a n f n f n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⋅+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=122212321
1111121n n n n a
a a n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++⋅+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22)22()12)(32(1211111121n n n n n a a a n ⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛++-++⋅+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22)22()12)(32(12111111221n n n n n a a a n
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++-++⋅+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22484384121
11
1112221n n n n n n a
a a n ， 因为011111121>⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n a a a ，012>+n ，022>+n ， 048438422<++-++n n n n ，
所以0)()1(<-+n f n f ，即)()1(n f n f <+．
23．（文）（1）由已知，对所有*N n ∈，n n S n -=2
2，……（1分） 所以当1=n 时，111==S a ，……（2分） 当2≥n 时，341-=-=-n S S a n n n ，……（3分）
因为1a 也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为34-=n a n （*N n ∈）．……（4分）
（2）由已知p
n n n b n +-=22，……（5分）
因为{}n b 是等差数列，可设b an b n +=（a 、b 为常数），…（6分） 所以
b an p
n n
n +=+-22，于是bp n b ap an n n +++=-)(222， 所以⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=+=012bp b ap a ，……（8分）
因为0≠p ，所以0=b ，2
1
-
=p ．………（10分） （注：用n n b b -+1为定值也可解，可按学生解答步骤适当给分）
（3）⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=+-=
14134121)14)(34(2n n n n c n ，……（12分）
所以⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+-=+++=14112114134191515112121n n n c c c T n n
……（14分）
由20m T n <
，得⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+->141110n m ，因为11411<+-
n ，所以10≥m ．……（17分） 所以，所求的最小正整数m 的值为10．……（18分）。