浙江省台州市天台县平桥中学高一数学下学期第二次段考试卷(含解析)

2014-2015学年浙江省台州市天台县平桥中学高一（下）第二次段
考数学试卷
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分．每小题只有一项是符合题目要求的）
1．数列3，5，7，9，…的一个通项公式是（）
A． a n=n+2 B． a n= C． a n=2n+1 D． a n=2n﹣1
2．在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（）
A． 12 B． 16 C． 20 D． 24
3．已知sinα=，且α∈（，π），则tanα等于（）
A． B． C．﹣ D．﹣
4．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）
A．＞ B．＜ C．＞ D．＜
5．△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（）
A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°
6．在等比数列{a n}中，若a1=1，公比q=2，则a12+a22+…+a n2=（）
A．（2n﹣1）2 B．（2n﹣1） C． 4n﹣1 D．（4n﹣1）
7．不等式组所表示的平面区域的面积为（）
A． 1 B． C． D．
8．在△ABC中，若sinB=2sinAcosC，那么△ABC一定是（）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
9．若数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+2=3a n（n∈N*），则a n=（）
A． 2n﹣1 B． n C．（）n﹣1 D． 2n﹣1
10．在等差数列{a n}中，若a3+a17＞0，且a10+a11＜0，则使{a n}的前n项和S n有最大值的n
为（）
A． 12 B． 11 C． 10 D． 9
11．已知实数a，b，c满足b+c=3a2﹣4a+6，c﹣b=a2﹣4a+4，则a，b，c的大小关系是（） A．c≥b＞a B． c＞b＞a C． a＞c≥b D． a＞c＞b
12．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，则S15：S5=（）
A． 3：4 B． 2：3 C． 1：2 D． 1：3
13．若不等式ax2﹣ax+1≤0解集为空集，则实数a的取值范围是（）
A．（0，4） B． [0，4） C．（0，4] D． [0，4]
14．定义为n个正数p1，p2，…p n的“均倒数”．若已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又，则=（）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
15．已知，则= ．
16．若tanα=2，则的值为．
17．已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集
为．
18．= ．
19．在各项都为正数的等比数列{a n}中，a1=3，S3=21，则a3+a4+a5= ．
20．已知x∈（﹣∞，1]时，不等式1+2x+（a﹣a2）4x＞0恒成立，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．已知0＜α＜
（1）求sinα的值；
（2）求角β的值．
22．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．
23．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 （Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和S n．
24．已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）+2x＞0的解集为（1，3）．（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）的最大值为正数，求实数a的取值范围．
25．（10分）（2015春•遵义校级期末）已知等差数列{a n}，a3=7，a2+a5+a8=39，
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．
2014-2015学年浙江省台州市天台县平桥中学高一（下）第二次段考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分．每小题只有一项是符合题目要求的）
1．数列3，5，7，9，…的一个通项公式是（）
A． a n=n+2 B． a n= C． a n=2n+1 D． a n=2n﹣1
考点：数列的概念及简单表示法．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用等差数列的通项公式即可得出．
解答：解：由数列3，5，7，9，…，
可知：该数列是一个等差数列，首项为3，公差为2，
可得该数列的一个通项公式a n=3+2（n﹣1）=2n+1．
故选：C．
点评：本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
2．在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（）
A． 12 B． 16 C． 20 D． 24
考点：等差数列的性质．
专题：计算题．
分析：利用等差数列的性质可得，a2+a10=a4+a8，可求结果
解答：解：由等差数列的性质可得，则a2+a10=a4+a8=16，
故选B
点评：本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础试题3．已知sinα=，且α∈（，π），则tanα等于（）
A． B． C．﹣ D．﹣
考点：三角函数的化简求值．
专题：三角函数的求值．
分析：直接利用同角三角函数的基本关系式求解即可．
解答：解：sinα=，且α∈（，π），
cosα==﹣，
则tanα===．
故选：D．
点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值．4．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）
A．＞ B．＜ C．＞ D．＜
考点：不等关系与不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：利用特例法，判断选项即可．
解答：解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，
则，
∴C、D不正确；
=﹣3，=﹣
∴A不正确，B正确．
解法二：
∵c＜d＜0，
∴﹣c＞﹣d＞0，
∵a＞b＞0，
∴﹣ac＞﹣bd，
∴，
∴．
故选：B．
点评：本题考查不等式比较大小，特值法有效，带数计算正确即可．
5．△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（）
A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°
考点：正弦定理．
专题：计算题．
分析：由正弦定理可得，求出sinB的值，根据B的范围求得B的大小．
解答：解：由正弦定理可得，∴，∴sinB=．
又 0＜B＜π，∴B=或，
故选B．
点评：本题考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角的大小，由sinB的值求出B的大小是解题的易错点．
6．在等比数列{a n}中，若a1=1，公比q=2，则a12+a22+…+a n2=（）
A．（2n﹣1）2 B．（2n﹣1） C． 4n﹣1 D．（4n﹣1）
考点：等比数列的前n项和．
专题：计算题．
分析：首先根据a1=1，公比q=2，求出数列a n通项，再平方，观察到是等比数列，再根据等比数列的前n项和的公式求解．
解答：解：∵{a n}是等比数列 a1=1，公比q=2
∴a n=2n﹣2n﹣1=2n﹣1
∴a n2=4n﹣1是等比数列
设A n=a12+a22+a32+…+a n2
由等比数列前n项和，q=4
解得
故选D．
点评：此题主要考查数列的求和问题，其中应用到由前n项和求数列通项和等比数列的前n项和公式，这些都需要理解并记忆．
7．不等式组所表示的平面区域的面积为（）
A． 1 B． C． D．
考点：二元一次不等式（组）与平面区域．
专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．
分析：画出约束条件表示的可行域，求出交点坐标，然后求出两个三角形面积，再求出可行域的面积．
解答：解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示的三角形ABC，由题意可得C（1，0），B（2，0）
由可得A（，），
S△ABC=×1×=．
故选D．
点评：本题考查二元一次不等式（组）与平面区域，考查学生作图能力，计算能力，是基础题．
8．在△ABC中，若sinB=2sinAcosC，那么△ABC一定是（）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
考点：两角和与差的正弦函数．
专题：三角函数的求值．
分析：由三角形的内角和定理得到B=π﹣（A+C），代入已知等式左侧，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值得到A=C，利用等角对等边即可得到三角形为等腰三角形．解答：解：∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=2sinAcosC，
∴cosAsinC﹣sinAcosC=sin（C﹣A）=0，即C﹣A=0，C=A，
∴a=c，即△ABC为等腰三角形．
故选B
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
9．若数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n+2=3a n（n∈N*），则a n=（）
A． 2n﹣1 B． n C．（）n﹣1 D． 2n﹣1
考点：数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：通过S n+2=3a n与S n+1+2=3a n+1作差、变形可知=，进而计算可得结论．
解答：解：∵S n+2=3a n（n∈N*），
∴S n+1+2=3a n+1，
两式相减得：a n+1=3a n+1﹣3a n，
即=，
又∵a1+2=3a1，
∴a1=1，
∴a n=1•=，
故选：C．
点评：本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
10．在等差数列{a n}中，若a3+a17＞0，且a10+a11＜0，则使{a n}的前n项和S n有最大值的n 为（）
A． 12 B． 11 C． 10 D． 9
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：根据等差数列的性质和等差数列的前n项和公式进行求解即可．
解答：解：∵在等差数列{a n}中，a3+a17=2a10＞0，a10+a11＜0，
∴a10＞0，a11＜0，
则公差d＜0，
∴前10项和最大，
即使{a n}的前n项和S n有最大值的n=10，
故选：C．
点评：本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据等差数列的性质判断a10＞0，a11＜0是解答本题的关键．
11．已知实数a，b，c满足b+c=3a2﹣4a+6，c﹣b=a2﹣4a+4，则a，b，c的大小关系是（） A．c≥b＞a B． c＞b＞a C． a＞c≥b D． a＞c＞b
考点：不等式的基本性质．
专题：不等式．
分析：把给出的已知条件c﹣b=a2﹣4a+4右侧配方后可得c≥b，再把给出的两个等式联立消去c后，得到b=1+a2，利用基本不等式可得b与a的大小关系．
解答：解：由c﹣b=a2﹣4a+4=（a﹣2）2≥0，
∴c≥b．
再由b+c=3a2﹣4a+6①
c﹣b=a2﹣4a+4②
①﹣②得：2b=2+2a2，即b=1+a2．
∵1+a2﹣a=（a﹣）2+，
∴b=1+a2＞a．
∴c≥b＞a，
故选：A．
点评：本题考查了不等式的大小比较，考查了配方法，训练了基本不等式在解题中的应用，是基础题
12．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，则S15：S5=（）
A． 3：4 B． 2：3 C． 1：2 D． 1：3
考点：等比数列的性质．
专题：计算题．
分析：本题可由等比数列的性质，每连续五项的和是一个等比数列求解，由题设中的条件S10：S5=1：2，可得出（S10﹣S5）：S5=1：1，由此得每连续五项的和相等，由此规律易得所求的比值选出正确选项
解答：解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10：S5=1：2，
∴（S10﹣S5）：S5=﹣1：2，
由等比数列的性质得（S15﹣S10）：（S10﹣S5）：S5=1：（﹣2）：4，
所以S15：S5=3：4
故选A．
点评：本题考查等比数列的性质，解题的关键是熟练掌握等比数列的性质﹣﹣S k，S2k﹣S k，S3k﹣S2k，成公比为q k等比
数列数列，本题查了利用性质进行运算的能力
13．若不等式ax2﹣ax+1≤0解集为空集，则实数a的取值范围是（）
A．（0，4） B． [0，4） C．（0，4] D． [0，4]
考点：一元二次不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用．
分析：先对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，在不为0时，把解集为空集转化为所对应图象均在x轴上方，列出满足的条件即可求实数a的取值范围
解答：解：当a=0，1≤0，x∈R，符合要求；
当a≠0时，因为关于x的不等式ax2﹣ax+1≤0的解集为空集，
即所对应图象均在x轴上方，故须⇒0＜a＜4．
综上满足要求的实数a的取值范围是[0，4）
故选B．
点评：本题是对二次函数的图象所在位置的考查．其中涉及到对二次项系数的讨论，在作题过程中，只要二次项系数含参数，就要分情况讨论，这也是本题的一个易错点．
14．定义为n个正数p1，p2，…p n的“均倒数”．若已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又，则=（）
A． B． C． D．
考点：类比推理．
专题：新定义；点列、递归数列与数学归纳法．
分析：由已知得a1+a2+…+a n=n（2n+1）=S n，求出S n后，利用当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可求得通项a n，最后利用裂项法，即可求和．
解答：解：由已知得，
∴a1+a2+…+a n=n（2n+1）=S n
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=4n﹣1，验证知当n=1时也成立，
∴a n=4n﹣1，
∴，
∴
∴=+（）+…+（）=1﹣
=．
故选C．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
15．已知，则= ．
考点：运用诱导公式化简求值．
专题：计算题．
分析：根据诱导公式可知=sin（﹣α﹣），进而整理后，把sin （α+）的值代入即可求得答案．
解答：解：=sin（﹣α﹣）=﹣sin（α+）=﹣
故答案为：﹣
点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．属基础题．
16．若tanα=2，则的值为．
考点：弦切互化．
专题：计算题．
分析：把所求的式子分子、分母都除以cosα，根据同角三角函数的基本关系把弦化切后，得到关于tanα的关系式，把tanα的值代入即可求出值．
解答：解：因为tanα=2，
则原式===．
故答案为：．
点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系进行弦化切，是一道基础题．17．已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为（﹣2，3）．
考点：一元二次不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用．
分析：由于不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，可得，是ax2+bx+2=0的一元二次方程的两个实数根，利用根与系数关系可得a，b，即可得出．
解答：解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，
∴，是ax2+bx+2=0的一元二次方程的两个实数根，
∴，解得a=﹣12，b=﹣2．
则不等式2x2+bx+a＜0化为2x2﹣2x﹣12＜0，即x2﹣x﹣6＜0，解得﹣2＜x＜3．
∴不等式2x2+bx+a＜0的解集为（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
点评：本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．18．= 4 ．
考点：三角函数的化简求值．
专题：计算题．
分析：由已知可得，利用二倍角正弦公式及两角差的正弦公式化简
可得结果．
解答：解：
=
故答案为：4
点评：本题主要基础知识的考查，考查了在三角函数的化简与求值中，综合运用二倍角正弦公式、两角和的正弦公式，要求考生熟练运用公式对三角函数化简．
19．在各项都为正数的等比数列{a n}中，a1=3，S3=21，则a3+a4+a5= 84 ．
考点：等比数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：通过解方程3+3q+3q2=21可知公比q=2，利用a3+a4+a5=q2•S3，进而计算即得结论．解答：解：依题意，3+3q+3q2=21，
解得：q=2或q=﹣3（舍），
∴a2=6，a3=12，
∴a3+a4+a5=q2•S3=4•21=84，
故答案为：84．
点评：本题考查等比数列的简单性质，注意解题方法的积累，属于基础题．
20．已知x∈（﹣∞，1]时，不等式1+2x+（a﹣a2）4x＞0恒成立，则a的取值范围是（）．
考点：函数恒成立问题．
专题：综合题；压轴题．
分析：可设t=2x，则f（t）=1+t+（a﹣a2）t2，不等式化为1+t+（a﹣a2）t2＞0恒成立即为f（t）的最小值大于0即可求出a的范围．
解答：解：设t=2x，则f（t）=1+t+（a﹣a2）t2，由x∈（﹣∞，1]得t∈（0，2]
a=0时，不等式恒成立；a=1不等式恒成立，a≠0，1时，
此函数为二次函数则f（t）的最小值为﹣4a2+8a﹣3，则4a2﹣8a+3＜0，
求出解集为＜a＜，a≠0，1；
综上＜a＜，
故答案为：
点评：考查学生理解掌握不等式恒成立的条件，以及利用换元法解决数学问题的能力，属中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．已知0＜α＜
（1）求sinα的值；
（2）求角β的值．
考点：两角和与差的正弦函数．
专题：三角函数的求值．
分析：（′1）由已知先求出cos，再根据二倍角公式sinα=2sin cos，即可求出
sinα的值，
（2）由（1）题意求出cosα，和sin（β﹣α）的值，再根据cosβ=cos（β﹣α+α），计算即可得到cosβ的值，根据角的范围，求出角的值．
解答：解：（1）∵0＜α＜，sin=，
∴0＜＜，
∴cos===，
∴sinα=2sin cos=2××=，
（2）由（1）得cosα==，
∵0＜α＜＜β＜π，
∴0＜β﹣α＜π，
∵cos（β﹣α）=，
∴sin（β﹣α）=，
∴cosβ=cos（β﹣α+α）=cos（β﹣α）cosα﹣sin（β﹣α）sinα=×﹣×=
﹣．
∴β=．
点评：本题考查了三角形函数的化简和求值，关键的灵活利用公式，简化计算，属于基础题．
22．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．
考点：正弦定理；余弦定理．
专题：解三角形．
分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．
解答：解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，
∵sinB≠0，∴sinA=，
又A为锐角，
则A=；
（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，
∴bc=，又sinA=，
则S△ABC=bcsinA=．
点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
23．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 （Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和S n．
考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{a n}、{b n}的通项公式．
（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且
解得d=2，q=2．
所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．
（Ⅱ），
，①
S n=，②
①﹣②得S n=1+2（++…+）﹣，
则
==
=．
点评：本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和．
24．已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）+2x＞0的解集为（1，3）．（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）的最大值为正数，求实数a的取值范围．
考点：二次函数的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，结合不等式的解集，利用待定系数法进行求解即可求f（x）的解析式；
（2）根据二次函数的性质进行求解．
解答：解（1）依题意可设f（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3）…（2分）
即a（x﹣1）（x﹣3）＞0的解集为（1，3）
∴a＜0…（3分）f（x）=ax2﹣2（2a+1）x+3a
又方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，
∴ax2﹣2（2a+1）+9a=0有两相等实根
∴△=4（2a+1）2﹣36a2=0
∴（a=1舍去）…（5分）
…（6分）
（2）＞0…（8分）
∵a＜0
∴a2+4a+1＞0
故…（10分）
点评：本题主要考查一元二次函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．
25．（10分）（2015春•遵义校级期末）已知等差数列{a n}，a3=7，a2+a5+a8=39，
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．
考点：数列的求和；等差数列的通项公式．
专题：点列、递归数列与数学归纳法．
分析：（1）根据条件建立方程组解方程即可求数列{a n}的通项公式；
（2）求出数列{b n}的通项公式，利用裂项法进行求和即可．
解答：解：（1）由题意知：3a5=39，则a5=13，
，
∴a n=a3+（n﹣3）d=3n﹣2
（2）b n===﹣，
则T n=1﹣+…+﹣=1﹣＜1，
∴T n的最小值为T1=，
要使得T n＜对所有n∈N*都成立，
则≥1，
即m≥20，
即m的最小正整数m=20．
点评：本题主要考查等差数列的通项公式以及数列求和的应用，利用裂项法是解决本题的关键．。