高考数学(人教a版,理科)题库：圆的方程(含答案)
2025版高考数学复习第七单元专题集训五球与几何体的切接问题练习理新人教A版
专题集训五球与几何体的切接问题1.[2024·辽宁凌源模拟]过长方体的一个顶点的三条棱长分别为3,2,x,其顶点都在表面积为18π的球的球面上,则x=()A.√6B.√5C.2D.√32.[2024·山西康杰中学月考]将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则这个球的表面积为()A.2πB.4πC.8πD.16π3.[2024·福建泉州质检]如图Z5-1,在正方形网格纸上,实线画出的是某多面体的三视图.若该多面体的顶点在同一球面上,则该球的表面积等于 ()图Z5-1A.8πB.18πC.24πD.8√6π4.[2024·山东烟台一模]已知一个正方体的全部顶点都在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.5.[2024·浙江金华东阳中学月考]已知正三棱锥的高为1,底面边长为2√3,内有一个球与四个面都相切,则该球的半径为.6.[2024·安徽马鞍山一模]已知一个圆锥的侧面绽开图是半径为2的半圆,则该圆锥的外接球的表面积是()B.4πA.4π3C.16πD.16π37.[2024·黑龙江双鸭山模拟]如图Z5-2,已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球,则平面ACD1截球O的截面面积为()图Z5-2A .√66π B .π3 C .π6D .√33π8.[2024·云南玉溪一中月考] 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥P-ABC 为鳖臑,PA ⊥平面ABC ,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积为 ( ) A .8π B .12π C .20π D .24π9.[2024·哈尔滨六中模拟] 已知四面体S-ABC 中,SA=SB=2,且SA ⊥SB ,BC=√5,AC=√3,则该四面体的外接球的表面积为 .10.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的顶点都在同一个球面上,且该正三棱柱的体积为√32,底面三角形ABC 的周长为3,则这个球的体积为 .11.[2024·山东青州三模] 在三棱锥A-BCD 中,底面BCD 为直角三角形,且BC ⊥CD ,斜边BD 上的高为1,三棱锥A-BCD 的外接球的直径是AB ,若该外接球的表面积为16π,则三棱锥A-BCD 的体积的最大值为 .12.[2024·河北衡水武邑中学月考] 一个倒放的圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在容器内注入水,并放入一个半径为r 的铁球,这时水面恰好和球面相切.问将球从圆锥内取出后,圆锥内水平面的高度是多少?13.[2024·成都树德中学月考] 如图Z5-3所示,在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切. (1)求两球半径之和;(2)球的半径为多少时,两球体积之和最小.图Z5-314.[2024·成都七中三诊] 四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形,若四棱锥S-ABCD 的体积的取值范围为4√33,83,则该四棱锥外接球表面积的取值范围是 .15.[2024·广东汕头潮南区模拟] 已知三棱锥A-BCD 中,AB=3,AD=1,BC=4,BD=2√2,当三棱锥A-BCD 的体积最大时,其外接球的体积为 .专题集训(五)1.B [解析] 由题意,设球的半径为R ,则4πR 2=18π,则4R 2=18,又长方体的体对角线长等于球的直径,所以(2R )2=9+4+x 2,即9+4+x 2=18,得x=√5,故选B .2.B [解析] 体积最大的球是正方体的内切球,即球的半径为1,所以球的表面积S=4π×12=4π.3.C [解析] 设球的半径为R.易知该多面体是两个正四棱锥的组合体(底面重合),两顶点之间的距离为2R ,底面是边长为√2R 的正方形,由R 2+√2R 22=32,得R 2=6,故该球的表面积S=4πR 2=24π.4.9π2[解析] 设正方体的棱长为a ,因为这个正方体的表面积为18,所以6a 2=18,解得a=√3,又该正方体全部的顶点都在一个球面上,所以该正方体的体对角线长等于球的直径.设球的半径为R ,则√3a=2R ,即2R=√3×√3,解得R=32,则球的体积V=43πR 3=43π×323=9π2.5.√2-1 [解析] 如图,在正三棱锥P-ABC 中,过点P 作PD ⊥平面ABC 于点D ,连接AD 并延长,交BC 于点E ,连接PE ,∵△ABC 是正三角形,∴AE 是BC 边上的高和中线,D 为△ABC 的中心.∵AB=2√3,∴R △RRR =3√3,DE=1,又PD=1,∴PE=√2,∴三棱锥P-ABC 的表面积S=3×12×2√3×√2+3√3=3√6+3√3.易知三棱锥的体积V=13×3√3×1=√3.设球的半径为r ,以球心O 为顶点,三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小三棱锥,由等体积法可得r=√33√6+3√3=√2-1.6.C [解析] 设圆锥的底面半径为r ,则2πr=2π,r=1,∴圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,∴圆锥的外接球球心是正三角形的中心,外接球半径等于正三角形外接圆的半径,为√33×2=2√33,∴外接球的表面积为4π×(2√33)2=16π3.故选C .7.C [解析] 平面ACD 1截球O 的截面为△ACD 1的内切圆.因为正方体的棱长为1,所以AC=CD 1=AD 1=√2,所以内切圆的半径r=√22×tan30°=√66,所以截面面积S=πr 2=π×16=16π.8.C [解析] 由题意可画出如图所示的空间几何体,则三棱锥P-ABC 的外接球半径即为长方体的外接球半径,因为PC=√22+42=2√5,所以外接球半径R=√5,所以外接球的表面积S=4πR 2=20π,故选C .9.8π[解析]∵SA=SB=2,且SA ⊥SB ,∴AB=√RR 2+RR 2=2√2,又∵BC=√5,AC=√3,∴AC 2+BC 2=AB 2,即AC ⊥BC.取AB 的中点O ,连接SO ,OC ,依据直角三角形的性质,可得OA=OB=OC=OS ,即O 为该四面体的外接球的球心,则该四面体的外接球的半径R=12AB=√2,故该四面体的外接球的表面积S=4πR 2=8π.10.32√3π27[解析] 设正三棱柱的高为h ,由题可知S △ABC =√34,R 三棱柱RRR -R 1R 1R 1=√34×h=√32,解得h=2.正三棱柱外接球的球心在上、下底面中心连线的中点处,则外接球的半径R=√12+(√12-(12)2×23) 2=√43,所以外接球的体积为43πR 3=43π×√433=32√3π27.11.43 [解析] 如图所示,由外接球的表面积为16π,可得外接球的半径为2,则AB=4.设AD=x (0<x<4),则BD=√16-R 2,S △ABD =12AD ·BD=12x ·√16-R 2=12√-R 4+16R 2,故当x 2=8时,S △ABD取得最大值,最大值为4.过C 作CH ⊥BD ,交BD 于点H ,则CH=1,易知当CH ⊥平面ABD ,且AD=BD=2√2时,三棱锥A-BCD 的体积最大,此时体积V=13×4=43.12.解:如图,作轴截面,设球未取出时,水面高PC=h ,球取出后,水面高PH=x.∵AC=√3r ,PC=3r ,∴以AB 为底面直径的圆锥的体积V 圆锥=13π·AC 2·PC=13π·(√3r )2·3r=3πr 3,铁球的体积V 球=43πr 3.球取出后,水面下降到EF ,水的体积V 水=13π·EH 2·PH=13π·(PH ·tan30°)2·PH=19πx 3.又V 水=V 圆锥-V 球,∴19πx 3=3πr 3-43πr 3,解得x=√153r.13.解:(1)如图,球心O 1和O 2在AC 上,过O 1,O 2分别作AD ,BC 的垂线,垂足分别为E ,F.设球O 1的半径为r ,球O 2的半径为R ,则由AB=1,AC=√3得AO 1=√3r ,CO 2=√3R ,∴r+R+√3(r+R )=√3,∴R+r=√3√3+1=3-√32.(2)设两球体积之和为V ,则V=43π(R 3+r 3)=43π(r+R )(R 2-Rr+r 2)=43π×3-√32[(R+r )2-3rR ]=43π×3-√323-√322-3R3-√32-R=43π×3-√323R 2-3(3-√3)2R+3-√322,当R=3-√34时,V 有最小值,∴当R=r=3-√34时,两球体积之和最小.14.28π3,20π [解析] 四棱锥S-ABCD 中,因为AD ⊥SA ,AD ⊥AB ,SA ∩AB=A ,所以AD ⊥平面SAB ,又AD ⊂平面ABCD ,所以平面SAB ⊥平面ABCD ,过S 作SO ⊥AB ,交BA 或BA 延长线于点O ,则SO ⊥平面ABCD.设∠SAB=θ,则V 四棱锥S-ABCD =13S 正方形ABCD ·SO=83sin θ,所以sin θ∈√32,1,所以θ∈π3,2π3,所以-12≤cos θ≤12.在△SAB 中,SA=AB=2,则有SB=2√2√1-cos R ,所以△SAB的外接圆半径r=RR 2sin R=√2·√1-cos Rsin R .将该四棱锥补成一个以△SAB 为一个底面的直三棱柱,得外接球的半径R=√R 2+1,所以外接球的表面积S=4πR 2=4π21+cos R+1,所以S ∈28π3,20π.15.1256π [解析]∵AB=3,AD=1,BC=4,DB=2√2,∴BD 2+AD 2=AB 2,∴△ABD 为直角三角形,∴当BC⊥平面ABD 时,三棱锥的体积最大时,此时三棱锥A-BCD 的外接球就是以AD ,BD ,BC 为棱的长方体的外接球,长方体的体对角线为外接球的直径.设外接球的半径为r ,则(2r )2=42+(2√2)2+12,得r=52,∴外接球的体积V=43πr 3=125π6.。
高中数学 考点31 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系(含高考试题)新人教A版
考点31 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1.(2016·全国卷Ⅱ文科·T6)同(2016·全国卷Ⅱ理科·T4)圆x 2+y 2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a= ( )A. 43-B. 34- D.2 【解题指南】化圆的一般方程为标准方程,求出圆的圆心坐标,利用圆心到直线的距离等于1,建立a 的方程.【解析】选A.圆x 2+y 2-2x-8y+13=0化为标准方程为:(x-1)2+(y-4)2=4,故圆心为(1,4),d==1,解得a=43-. 2.(2016·山东高考文科·T7)已知圆M:x 2+y 2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是,则圆M 与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是 ( )A.内切B.相交C.外切D.相离【解题指南】根据弦长求出圆M 的圆心与半径,再根据圆心距与半径的和差关系判断两圆位置关系.3.(2016·北京高考文科·T5)圆(x+1)2+y 2=2的圆心到直线y=x+3的距离为 ( )A.1B.2【解题指南】找到圆心坐标,把直线化成一般方程,再代入点到直线的距离公式求解. 【解析】选C.圆心(-1,0),直线x-y+3=0..二、填空题4.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T15)设直线y=x+2a 与圆C:x 2+y 2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2则圆C 的面积为 .【解析】由圆C:x 2+y 2-2ay-2=0可得x 2+(y-a)2=a 2+2,所以圆心C(0,a),由题意可知解得a 2=2,所以圆C 的面积为π(a 2+2)=4π.答案:4π5.16.(2016·全国卷Ⅲ·理科·T16)已知直线l:mx+y+3m-与圆x 2+y 2=12交于A,B两点,过A,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C,D 两点,若,则|CD|= . 【解题指南】通过点到直线的距离求出弦AB 的一半,之后在△CDF 中求CD 的长.【解析】取AB的中点E,连接OE,过点C作BD的垂线,垂足为F,圆心到直线的距离d=所以在Rt△OBE中,BE2=OB2-d2=3,所以d=得,又在△CDF中,∠FCD=30°,所以CD=CFcos30︒=4.答案:46.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T15)已知直线l:x-y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|= .【解析】取AB的中点E,连接OE,过点C作BD的垂线,垂足为F,圆心到直线的距离d=所以在Rt△OBE中,BE2=OB2-d2=3,所以AB=2又在△CDF中∠FCD=30°,所以CD=CFcos30︒=4.答案:47.(2016·浙江高考文科·T10)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.【解题指南】若方程表示圆,则x2的系数与y2的系数相等.【解析】由题意知a2=a+2,解得a=-1或2.当a=-1时方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,圆心为(-2,-4),半径为5,当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即21x2⎛⎫+⎪⎝⎭+(y+1)2=-54不表示圆.答案:(-2,-4) 5【解析】选B.圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)可化为:x2+()2y a-=a2,由题意,d=,所以有,a2=2a2+2,解得a=2.所以圆M:x2+()2y2-=22,圆心距=,半径和=3,半径差=1,所以二者相交.8.(2016·天津高考文科·T12)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为.【解题指南】设出圆心的坐标,利用点到直线的距离公式得出方程求解.【解析】设C(a,0)(a>0),由题意知=解得a=2,所以r==3,故圆C的方程为(x-2)2+y2=9. 答案:(x-2)2+y2=9 三、解答题9.(2016·江苏高考T18)(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M为圆心的圆M:x 2+y 2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x=6上,求圆N 的标准方程. (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B,C 两点,且BC=OA,求直线l 的方程. (3)设点T(t,0)满足:存在圆M 上的两点P 和Q,使得+TA T Q =P T ,求实数t 的取值范围.【解题指南】(1)根据两个圆外切建立等量关系,求出圆N 的圆心坐标.(2)先求出OA 及直线OA 的斜率,再由OA ∥直线l,设出直线的方程,根据直线与圆相交,由几何法得出BC,根据BC=OA 求出直线方程.(3)根据题意得=TA PQ ,所以PQ ∥TA,由|PQ |≤2r 解得t 的取值范围.【解析】(1)设点N(6,n),因为与x 轴相切,则圆N 为(x-6)2+(y-n)2=n 2,n>0,又圆N 与圆M 外切,圆M:(x-6)2+(y-7)2=25,则|7-n|=|n|+5,解得n=1,即圆N 的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)由题意得OA=2,k OA =2,设l:y=2x+b,则圆心M 到直线l 的距离=则BC=2即b=5或b=-15,即l:y=2x+5或y=2x-15.(3)因为+TA T Q =P T ,所以=-TA TQ TP PQ =,=TA PQ ⇒=TA PQ ,(TA t =-根据|PQ |≤10,即10⇒t ∈[2-2所以t 的取值范围为对于任意t ∈[2-2欲使=TA PQ ,此时|TA |≤10,只需要作直线TA 的平行线,使圆心到直线的距离为2TA ,必然与圆交于P,Q 两点,此时=TA PQ ,即=TA PQ ,因此对于任意t ∈[2-2均满足题意,综上t∈[2-2。
【2020】人教版高考理科数学一轮复习练习：第八篇 第2节 圆与方程
4.(20xx·沈阳二模)直线x-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为( A )(A) (B) (C)4 (D)3解析:圆(x-1)2+(y-3)2=10的圆心坐标为(1,3),半径r=,圆心到直线x-3y+3=0的距离d==,弦长为2=.故选A.5.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( A )(A)5-4 (B)-1(C)6-2 (D)解析:圆C1,C2的图象如图所示.设P是x轴上任意一点,则|PM|的最小值为|PC1|-1,同理|PN|的最小值为|PC2|-3,则|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2| -4.作C1关于x轴的对称点C1′(2,-3),连接C1′C2,与x轴交于点P,连接PC1,可知|PC1|+|PC2|的最小值为|C1′C2|,则|PM|+|PN|的最小值为5-4.故选A.6.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( A )(A)(x-2)2+(y+1)2=1 (B)(x-2)2+(y+1)2=4(C)(x+4)2+(y-2)2=4 (D)(x+2)2+(y-1)2=1解析:设M(x0,y0)为圆x2+y2=4上任一点,PM中点为Q(x,y),则所以代入圆的方程得(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1.故选A.7.(20xx·东××区调研)当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角α= .解析:由题意知,圆的半径r==≤1,当半径r取最大值时,圆的面积最大,此时k=0,r=1,所以直线方程为y=-x+2,则有tan α=-1,又α∈[0,π),故α=.=(2-x,2-y),。
高考数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系课件新人教A版必修2
3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方 程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆 外时，切线有两条.
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编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
|1＋4－5＋ 5|
圆心 C 到直线 AB 的距离 d＝|CP|＝
12＋22 ＝1.
在 Rt△ACP 中，|AP|＝ r2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.
解析答案
数学思想
数形结合思想
例 4 直线 y＝x＋b 与曲线 x＝ 1－y2有且只有一个交点，则 b 的取值范
围是( ) A.|b|＝ 2 C.－1≤b＜1
线的距离等于
12－222＝0，即圆心(1，2)位于直线 kx－y＝0 上.
于是有k－2＝0，即k＝2，
因此所求直线方程是2x－y＝0.
解析答案
课堂小结 1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质 进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算 量大，不如几何法简捷. 2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长 的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去 y，组成 一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长 l＝
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题型探究
重点突破
题型一 直线与圆的位置关系的判断 例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0. 当m为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点.
【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 8-2圆的方程 新人教A版
8-2圆的方程基础巩固强化1.(2011²广州检测)圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1[答案] A[解析] 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知 0－12＋b －22＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.2．(文)(2011²广东文，8)设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则圆C 的圆心轨迹为( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆[答案] A[解析] 动圆圆心C 到定点(0,3)的距离与到定直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的定义，故选A.(理)(2011²广州模拟)动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D ．(x ＋32)2＋y 2＝12[答案] C[解析] 设中点M (x ，y )，则点A (2x －3,2y )， ∵A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1， 即(2x －3)2＋4y 2＝1，故选C.3．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0表示的曲线形状是( )[答案] C[解析] 注意到方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0，或②x ＋y ＋1＝0.①表示的是不在直线x ＋y ＋1＝0的左下方且在圆x 2＋y 2＝4上的部分；②表示的是直线x ＋y ＋1＝0.因此，结合各选项知，选C.4．(2011²华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离最大值是a ，最小值是b ，则a ＋b ＝( )A.125B.245C.65 D ．5[答案] B[解析] 圆心C (1,1)到直线3x ＋4y ＋5＝0距离d ＝125，∴a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＋r ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫125－r ＝245(r 为圆的半径)．5．(2012²福州八县联考)已知函数f (x )＝1－x －12，x ∈[1,2]，对于满足1<x 1<x 2<2的任意x 1、x 2，给出下列结论：①f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1； ②x 2f (x 1)>x 1f (x 2)；③(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]<0； ④(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0. 其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 曲线y ＝1－x －12，x ∈[1,2]表示圆(x －1)2＋y 2＝1，位于直线x ＝1右侧x 轴上方的四分之一个圆，∵1<x 1<x 2<2，∴f (x 1)>f (x 2)．因此，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，④错，③对；显然有k OA >k OB ，∴f x 1x 1>f x 2x 2，∴x 2f (x 1)>x 1f (x 2)，故②正确；又k AB ＝f x 2－f x 1x 2－x 1<0，可能有k AB <－1，也可能k AB >－1，∴①错．6．(文)(2011²日照模拟)圆心在曲线y ＝3x(x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －3)2＝(185)2B ．(x －3)2＋(y －1)2＝(165)2C ．(x －2)2＋(y －32)2＝9D ．(x －3)2＋(y －3)2＝9 [答案] C[解析] 设圆心坐标为(a ，3a)(a >0)，则圆心到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离d ＝|3a ＋12a ＋3|5＝35(a ＋4a ＋1)≥35(4＋1)＝3，等号当且仅当a ＝2时成立．此时圆心坐标为(2，32)，半径为3，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －32)2＝9.(理)(2011²西安模拟)若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2[答案] D[解析] 由条件知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b)(a ＋b )＝3＋b a＋2ab≥3＋22，等号在b a＝2ab，即b ＝2－2，a ＝2－1时成立．7．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为________．[答案] (x ＋3)2＋(y －4)2＝4(x ≠－95且x ≠－215)[解析]如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为(x 2，y 2)，线段MN 的中点坐标为(x 0－32，y 0＋42)．由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42. 从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3y 0＝y －4.因为N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点(－95，125)和(－215，285)(点P在直线OM 上时的情况)．8．(2011²南京模拟)已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________．[答案] x ＋y －1＝0[解析] 过点M 的最短的弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)， ∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1(x －1)，即x ＋y －1＝0.9．(文)已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．[答案] (x ＋2)2＋y 2＝2[解析] 设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝2(a <0)，由条件得2＝|a |2，∴|a |＝2，又a <0，∴a ＝－2.(理)(2012²石家庄一模)已知动圆的圆心C 在抛物线x 2＝2py (p >0)上，该圆经过点A (0，p )，且与x 轴交于两点M 、N ，则sin ∠MCN 的最大值为________．[答案] 1[解析] 当圆心C 的纵坐标为p 时，C (2p ，p )为圆心的圆方程为(x －2p )2＋(y －p )2＝2p 2，令y ＝0得，x ＝2p ±p ，∴MC ⊥NC ，∴sin ∠MCN ＝1.10．(文)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)，求： (1)过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连结OA ，OC ，求△AOC 的面积S . [解析] (1)⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1.当切线的斜率不存在时，过点A 的直线方程为x ＝3，C (2,3)到直线的距离为1，满足条件．当k 存在时，设直线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0，由直线与圆相切得， |－k ＋2|k 2＋1＝1，∴k ＝34.∴直线方程为x ＝3或y ＝34x ＋114.(2)|AO |＝9＋25＝34， 直线OA ：5x －3y ＝0， 点C 到直线OA 的距离d ＝134，S ＝12²d ²|AO |＝12.(理)(2011²兰州一诊)已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆M 的两条切线，A 、B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．[解析] (1)设圆M 的方程为： (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)． 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＋－1－b 2＝r 2，－1－a 2＋1－b 2＝r 2，a ＋b －2＝0，解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)因为四边形PAMB 的面积S ＝S △PAM ＋S △PBM＝12|AM |²|PA |＋12|BM |²|PB |， 又|AM |＝|BM |＝2，|PA |＝|PB |，所以S ＝2|PA |， 而|PA |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4， 即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可， 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ， 使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝|3³1＋4³1＋8|32＋42＝3，所以四边形PAMB 面积的最小值为：S ＝2|PM |2－4＝232－4＝2 5.能力拓展提升11.(2011²西安模拟)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点M (3,5)的最长弦、最短弦分别为AC 、BD ，则以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6[答案] B[解析] 圆的方程：(x －3)2＋(y －4)2＝25， ∴半径r ＝5，圆心到最短弦BD 的距离d ＝1， ∴最短弦长|BD |＝46， 又最长弦长|AC |＝2r ＝10，∴四边形的面积S ＝12³|AC |³|BD |＝20 6.12．(文)(2011²成都龙泉第一中学模拟)以抛物线y 2＝20x 的焦点为圆心，且与双曲线x 216－y 29＝1的两渐近线都相切的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－20x ＋64＝0 B ．x 2＋y 2－20x ＋36＝0 C ．x 2＋y 2－10x ＋16＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＋9＝0[答案] C[解析] 抛物线的焦点坐标是(5,0)，双曲线的渐近线方程是3x ±4y ＝0，点(5,0)到直线3x ±4y ＝0的距离d ＝3即为所求圆的半径．故所求圆的方程为(x －5)2＋y 2＝9，即x 2＋y 2－10x ＋16＝0，故选C.(理)设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x －1)2＋y 2＝2 C ．y 2＝2x D ．y 2＝－2x[答案] B[解析] 设P (x ，y )，圆心C (1,0)，由题意知PA ⊥AC ，∴|PC |2＝|PA |2＋|AC |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2，故选B.13．(2011²长春市调研)若圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交所得的弦长为22，则圆的方程是________________．[答案] (x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244[解析] 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x ＋2y ＝0上，即有a ＋2b ＝0，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝0，2－a 2＋3－b 2＝r 2，r 2－a －b ＋122＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝－3，r 2＝52.或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.14．(文)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为__________．[答案] (x ＋1)2＋y 2＝2[解析] 在直线方程x －y ＋1＝0中，令y ＝0得，x ＝－1，∴圆心坐标为(－1,0)， 由点到直线的距离公式得圆的半径R ＝|－1＋0＋3|2＝2， ∴圆的标准方程为(x ＋1)＋y 2＝2.(理)圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于A 、B ，|AB |＝3，则该圆的标准方程是________．[答案] (x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1[解析]设圆心C (a ，b )，由条件知a ＝1，取弦AB 中点D ，则CD ＝AC 2－AD 2＝12－⎝⎛⎭⎪⎫322＝12， 即b ＝12，∴圆方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1.15．(文)(2011²青岛模拟)已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程． [解析] (1)证明：∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴S △OAB ＝12|OA |²|OB |＝12³⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ³|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， ∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴直线OC 的方程是y ＝12x .∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95> 5.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.(理)(2011²北京模拟)已知点A (－3,0)，B (3,0)．动点P 满足|PA |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线C 的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．[解析] (1)设P (x ，y )，∵|PA |＝2|PB |， ∴(x ＋3)2＋y 2＝4[(x －3)2＋y 2] 整理得(x －5)2＋y 2＝16. (2)由条件知QM 与圆C 相切，则问题转化为在直线l 1上求一点Q ，过点Q 作⊙C 的切线，求切线长的最小值． 由于⊙C 的半径为定值4，欲使切线长最小，只需QC 最小，而点C (5,0)为定点，因此，当CQ ⊥l 1时取得最小值，∵C 到l 1的距离d ＝42，∴|QM |min ＝d 2－42＝4.16．(文)已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．[分析] (1)设出点P 的坐标，由|PA |＝2|PB |写出方程，化简即可；(2)直线l 2与曲线C 只有一个公共点M ，故l 2与C 相切，当|QC |取最小值时，|QM |取到最小值，故|CQ |为点C 到l 1的距离时满足要求．[解析] (1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＋32＋y 2＝2x －32＋y 2，化得可得(x －5)2＋y 2＝16即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图． 由题意知直线l 2是此圆的切线，连接CQ ， 则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42，此时|QM |的最小值为32－16＝4.(理)(2012²河南六市联考)已知直线l 与抛物线x 2＝4y 相切于点P (2,1)，且与x 轴交于点A ，O 为坐标原点，定点B 的坐标为(2,0)，动点Q 满足AB →²BQ →＋2|AQ →|＝0.(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，只要该圆的切线与切点Q 的轨迹C 有两个不同交点M ，N ，就一定有OM →²ON →＝0？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由x 2＝4y 得y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴直线l 的斜率为y ′|x ＝2＝1，故l 的方程为：y －1＝1(x －2)，即y ＝x －1， ∴点A 坐标为(1,0)，设Q (x ，y )，则AB →＝(1,0)，BQ →＝(x －2，y )，AQ →＝(x －1，y )， 由AB →²BQ →＋2|AQ →|＝0得，x －2＋0＋2x －12＋y 2＝0，化简整理得x 22＋y 2＝1，故动点Q 的轨迹C 的方程为：x 22＋y 2＝1.(2)假设存在这样的圆，其方程为x 2＋y 2＝r 2(r >0)．(ⅰ)当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m 代入x 22＋y 2＝1，可得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，判别式Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)>0， ∴m 2<1＋2k 2，①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，②x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2，③由OM →²ON →＝0，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，④ 将②③代入④得2m 2－11＋k 21＋2k 2－4k 2m 21＋2k 2＋m 2＝0，m 2＝23(1＋k 2)，⑤显然满足①式由直线MN ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝r 2相切知：r ＝|m |1＋k2，∴r ＝m 21＋k 2＝23，即存在圆x 2＋y 2＝23满足题意． (ⅱ)当直线MN 的斜率不存在时，可得x 1＝x 2＝63或x 1＝x 2＝－63，y 1＝－y 2＝63，满足OM →²ON →＝0，综上所述：存在圆x 2＋y 2＝23满足题意．1．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为60°，直线ax ＋by －a ＋1＝0平分圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是( )A ．P 在⊙C 内B ．P 在⊙C 上 C ．P 在⊙C 外D ．无法确定[答案] C[解析] 由条件得，⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝tan60°，2a ＋3b －a ＋1＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，b ＝－34，∵(－14－2)2＋(－34－3)2>1，∴点P 在⊙C 外．2．(2011²临沂模拟)圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A ．(－∞，14]B ．(0，14]C ．(－14，0)D ．(－∞，14)[答案] A[解析] 由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，∴ab ≤(a ＋b2)2＝14.3．已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝1上一点P到直线3x－4y－3＝0距离为d，则d的最小值为( )A．1 B.4 5C.25D．2[答案] A[解析] ∵圆心C(－1,1)到直线3x－4y－3＝0距离为2，∴d min＝2－1＝1.4．(2011²东北育才中学期末)圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( )A．(－∞，4) B．(－∞，0)C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)[答案] A[解析] 圆(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，由条件知，圆心C(1，－3)在直线y＝x＋2b上，∴b＝－2，又10－5a>0，∴a<2，∴a－b<4.5．(2011²浙江宁波八校联考)点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝8上，ab的最大值为________．[答案] 1[解析] 由条件知a>0，b>0，(a＋1)2＋(b＋1)2＝8，∴a2＋b2＋2a＋2b＝6，∴2ab＋4ab ≤6，∵ab>0，∴0<ab≤1，等号在a＝b＝1时成立．[点评] 作出图形可见，点(a，b)为⊙C在第一象限的一段弧，由对称性可知，当点(a，b)为直线y＝x与⊙C的交点(1,1)时，ab取最大值1.。
新教材高考数学第二章直线和圆的方程章末复习练习含解析新人教A版选择性必修第一册
章末复习一、两直线的平行与垂直 1．判断两直线平行、垂直的方法(1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2⇔l 1∥l 2. (2) 若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1⇔l 1⊥l 2. (讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况)2．讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理素养． 例1 (1)已知A ⎝⎛⎭⎪⎫1，－a ＋13，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13，C (2－2a ，1)，D (－a ，0)四点，若直线AB 与直线CD 平行，则a ＝________.答案 3解析 k AB ＝－13＋a ＋130－1＝－a3，当2－2a ＝－a ，即a ＝2时，k AB ＝－23，CD 的斜率不存在．∴AB 和CD 不平行；当a ≠2时，k CD ＝0－1－a －2＋2a ＝12－a.由k AB ＝k CD ，得－a 3＝12－a，即a 2－2a －3＝0.∴a ＝3或a ＝－1.当a ＝3时，k AB ＝－1，k BD ＝0＋13－3＝－19≠k AB ，∴AB 与CD 平行．当a ＝－1时，k AB ＝13，k BC ＝1＋134＝13，k CD ＝1－04－1＝13，∴AB 与CD 重合．∴当a ＝3时，直线AB 和直线CD 平行．(2)若点A (4，－1)在直线l 1：ax －y ＋1＝0上，则l 1与l 2：2x －y －3＝0的位置关系是________． 答案 垂直解析 将点A (4，－1)的坐标代入ax －y ＋1＝0， 得a ＝－12，则12·l l k k ＝－12×2＝－1，∴l 1⊥l 2. 反思感悟 一般式方程下两直线的平行与垂直：已知两直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为0)，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为0)，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且C 1B 2－C 2B 1≠0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.跟踪训练1 (1)已知直线l 1：ax －3y ＋1＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________． 答案 －3(2)已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，若l 1∥l 2，则m ＝________. 答案 －1解析 因为直线x ＋my ＋6＝0与(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧1×3－m m －2＝0，2m ≠6m －2，解得m ＝－1.二、两直线的交点与距离问题1．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题． 2．两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养．例2 (1)若点(1，a )到直线y ＝x ＋1的距离是322，则实数a 的值为( )A ．－1B ．5C ．－1或5D ．－3或3答案 C解析 ∵点(1，a )到直线y ＝x ＋1的距离是322，∴|1－a ＋1|2＝322，即|a －2|＝3，解得a ＝－1或a ＝5，∴实数a 的值为－1或5.(2)过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解 设l 1与l 的交点为A (a ，8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ，2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， 解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 反思感悟跟踪训练2 (1)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是关于x 的方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为( ) A ．2 3 B. 2 C ．2 2 D.322答案 D解析 根据a ，b 是关于x 的方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，可得a ＋b ＝－1，ab ＝－2， ∴a ＝1，b ＝－2或a ＝－2，b ＝1，∴|a －b |＝3， 故两条直线之间的距离d ＝|a －b |2＝32＝322.(2)已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0,4)到直线l 的距离为2，则这样的直线l 的条数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即直线l 过点(1,2)．设点Q (1,2)，因为|PQ |＝1－02＋2－42＝5＞2，所以满足条件的直线l 有2条．故选C.方法二 依题意，设经过直线l 1与l 2交点的直线l 的方程为2x ＋3y －8＋λ(x －2y ＋3)＝0(λ∈R )，即(2＋λ)x ＋(3－2λ)y ＋3λ－8＝0.由题意得|12－8λ＋3λ－8|2＋λ2＋3－2λ2＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或185，代入得直线l 的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0，故选C.三、直线与圆的位置关系 1．直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径长为r .若d <r ，则直线和圆相交；若d ＝r ，则直线和圆相切；若d >r ，则直线和圆相离．(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离． 2．研究直线与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养． 例3 已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋12y ＋20＝0. (1)m ∈R 时，证明l 与C 总相交；(2)m 取何值时，l 被C 截得的弦长最短？求此弦长． (1)证明 直线的方程可化为y ＋3＝2m (x －4)， 由点斜式可知，直线恒过点P (4，－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0， 所以点P 在圆内，故直线l 与圆C 总相交． (2)解 圆的方程可化为(x －3)2＋(y ＋6)2＝25.如图，当圆心C (3，－6)到直线l 的距离最大时，线段AB 的长度最短．此时PC ⊥l ，又k PC ＝－3－－64－3＝3，所以直线l 的斜率为－13，则2m ＝－13，所以m ＝－16.在Rt△APC 中，|PC |＝10，|AC |＝r ＝5. 所以|AB |＝2|AC |2－|PC |2＝215.故当m ＝－16时，l 被C 截得的弦长最短，最短弦长为215.反思感悟 直线与圆问题的类型(1)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得．(2)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式求解． 跟踪训练3 已知圆C 关于直线x ＋y ＋2＝0对称，且过点P (－2, 2)和原点O . (1)求圆C 的方程；(2)相互垂直的两条直线l 1，l 2都过点A (－1, 0)，若l 1，l 2被圆C 所截得的弦长相等，求此时直线l 1的方程．解 (1)由题意知，直线x ＋y ＋2＝0过圆C 的圆心，设圆心C (a ，－a －2)． 由题意，得(a ＋2)2＋(－a －2－2)2＝a 2＋(－a －2)2， 解得a ＝－2.因为圆心C (－2,0)，半径r ＝2， 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝4.(2)由题意知，直线l 1，l 2的斜率存在且不为0， 设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，所以l 1：y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，l 2：y ＝－1k(x ＋1)，即x ＋ky ＋1＝0.由题意，得圆心C 到直线l 1，l 2的距离相等， 所以|－2k ＋k |k 2＋1＝|－2＋1|k 2＋1，解得k ＝±1， 所以直线l 1的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0. 四、圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系：一般利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系． 2．圆与圆的位置关系的转化，体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养． 例4 已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0. (1)证明圆C 1与圆C 2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2, 3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．解 (1)把圆C 1与圆C 2都化为标准方程形式，得(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，(x －4)2＋(y ＋2)2＝13.圆心与半径长分别为C 1(－2,2)，r 1＝13；C 2(4，－2)，r 2＝13.因为|C 1C 2|＝－2－42＋2＋22＝213＝r 1＋r 2，所以圆C 1与圆C 2相切．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0，x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0，得12x －8y －12＝0，即3x －2y －3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程． (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋λ(3x －2y －3)＝0.点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝43.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋43(3x －2y －3)＝0，即x 2＋y 2＋8x －203y －9＝0.反思感悟 两圆的公共弦问题(1)若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. (2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪训练4 (1)已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ， B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________． 答案 x ＋y －3＝0解析 AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 2. 又C 1(3,0)，C 2(0,3)， 所以C 1C 2所在直线的方程为x ＋y －3＝0.(2)已知圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2y －4＝0. ①求证：两圆相交；②求两圆公共弦所在直线的方程．①证明 圆C 1的方程可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆C 2的方程可化为x 2＋(y －1)2＝5， ∴C 1(2，－1)，C 2(0,1)，两圆的半径均为5， ∵|C 1C 2|＝2－02＋－1－12＝22∈(0,25)，∴两圆相交．②解 将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程， (x 2＋y 2－4x ＋2y )－(x 2＋y 2－2y －4)＝0，即x －y －1＝0.1．(2019·天津改编)设a ∈R ，直线ax －y ＋2＝0和圆x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0相切，则a 的值为________． 答案 34解析 由已知条件可得圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，其圆心为(2,1)，半径为2，由直线和圆相切可得|2a －1＋2|a 2＋1＝2，解得a ＝34. 2．(2017·北京改编)在平面直角坐标系中，点A 在圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0上，点P 的坐标为(1，0)，则||AP 的最小值为________． 答案 1解析 x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0， 即(x －1)2＋(y －2)2＝1， 圆心坐标为C (1,2)，半径长为1. ∵点P 的坐标为(1,0)，∴点P 在圆C 外． 又∵点A 在圆C 上，∴|AP |min ＝|PC |－1＝2－1＝1.3．(2017·天津改编)已知点C 在直线l ：x ＝－1上，点F (1,0)，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A . 若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________________． 答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1解析 由圆心C 在l 上，且圆C 与y 轴正半轴相切，可得点C 的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO ＝90°.又因为∠FAC ＝120°， 所以∠OAF ＝30°，所以|OA |＝3， 所以点C 的纵坐标为 3.所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.4．(2019·江苏改编)如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径)．规划在公路l 上选两个点P ，Q ，并修建两段直线型道路PB ，QA .规划要求：线段PB ，QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C ，D 为垂足)，测得AB ＝10，AC ＝6，BD ＝12(单位：百米)．(1)若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；(2)在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由． 解 (1)如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H .以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 因为BD ＝12，AC ＝6，所以OH ＝9，直线l 的方程为y ＝9，点A ，B 的纵坐标分别为3，－3. 因为AB 为圆O 的直径，AB ＝10， 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝25.从而A (4,3)，B (－4，－3)，直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为－43，直线PB 的方程为y ＝－43x －253.所以P (－13,9)，|PB |＝－13＋42＋9＋32＝15.所以道路PB 的长为15(百米)．(2)①若P 在D 处，取线段BD 上一点E (－4,0)，则EO ＝4<5， 所以P 选在D 处不满足规划要求．②若Q 在D 处，连接AD ，由(1)知D (－4,9)，又A (4,3)， 所以线段AD ：y ＝－34x ＋6(－4≤x ≤4)．在线段AD 上取点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，154，因为|OM |＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1542<32＋42＝5，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径． 因此Q 选在D 处也不满足规划要求． 综上，P 和Q 均不能选在D 处．。
【冲刺必刷】人教A版 高中数学2020届 高考复习专题--直线与圆的方程(含解析)
直线与圆的方程一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。
直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。
二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。
三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。
但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。
四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。
既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。
新教材高考数学第二章直线和圆的方程4圆的方程精讲含解析新人教A版选择性必修第一册
圆的方程考点一 圆的方程【例1】（1）（2019·河北新华.石家庄二中高一期末）过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（） A ．()()22314x y -++= B ．()()22314x y ++-= C ．()()22114x y -+-=D ．()()22114x y +++=（2）（2020·海林市朝鲜族中学高一期末）圆心为()3,1，半径为5的圆的标准方程是（ ） A ．()()22315x y +++= B ．()()223125x y +++= C ．()()22315x y -+-= D ．()()223125x y -+-=【答案】（1）C （2）D【解析】（1）本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线20x y +-=上，排除B 、D ， 点()1,1B -在圆上，排除A 故选C（2）∵所求圆的圆心为()3,1，半径为5，∴所求圆的标准方程为：()()223125x y -+-=，故选：D .【一隅三反】1．（2020·河南濮阳.高一期末（理））设(2,1),(4,1)A B -，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+= B ．22(3)8x y -+= C ．22(3)2x y ++= D ．22(3)8x y ++=【答案】A【解析】AB 的中点坐标为(3,0)，圆的半径为||2AB r ===所以圆的方程为22(3)2x y -+=.故选：A.2．（2020·广东东莞四中高一月考）圆心为()1,2-，且与x 轴相切的圆的标准方程为（ ） A ．()()22122x y -+=+ B ．()()22124x y -++= C ．()()22122x y ++-= D ．()()22124x y ++-=【答案】B【解析】因为圆心为()1,2-，圆与x 轴相切，所以圆的半径为2， 所以圆的标准方程为()()22124x y -++=，故选：B3．（2020·河北运河.沧州市一中高一期末）已知点()3,6A ，()1,4B ，()1,0C ，则ABC ∆外接圆的圆心坐标为( ) A ．()5,2 B ．()5,2-C ．()2,5D ．()5,2-【答案】A【解析】线段AB 中点坐标为()2,5，线段AB 斜率为64131-=-，所以线段AB 垂直平分线的斜率为1-，故线段AB 的垂直平分线方程为()52y x -=--，即7y x =-+.线段AC 中点坐标为()2,3，线段AC 斜率为60331-=-，所以线段AC 垂直平分线的斜率为13-，故线段AC 的垂直平分线方程为()1323y x -=--，即11133y x =-+.由75111233y x x y y x =-+⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==-+⎩⎪⎩.所以ABC ∆外接圆的圆心坐标为()5,2.故选：A 考点二 根据圆的方程求参数【例2】（2020·西夏.宁夏大学附属中学高一期末）方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是( ) A ．a <－2或a >23B ．－23<a <2 C ．－2<a <0 D ．－2<a <23【答案】D【解析】由题意可得圆的标准方程2223()()124a x y a a a +++=--，由23104a a -->解得223a -<<，选D.【一隅三反】1．（2020·全国高二）已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ） A ．(),20-∞ B ．(),5-∞ C ．()5,+∞ D ．()20,+∞【答案】B【解析】由于方程22240x y x y m ++++=表示的曲线为圆，则222440m +->，解得5m <. 因此，实数m 的取值范围是(),5-∞.故选：B. 2．（2020·浙江丽水.高二期末）“12m >”是“2222530x y mx m m +---+=为圆方程”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】方程2222530x y mx m m +---+=表示圆需满足()()22245+30,3m m m m ---->∴<-或1>2m ，所以“12m >”是“2222530x y mx m m +---+=为圆方程”的充分不必要条件，故选：A.3．（2020·河北新乐市第一中学高二月考）已知方程()()2224232141690x y m x my m+-++++=─表示一个圆，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1(,1)7-B ．1(,1)7-C ．1(,)(1,)7-∞-⋃+∞D ．1(,1)(,)7-∞-⋃+∞【答案】B【解析】由题意可得()()()22244341441690m m m ++⨯--+>，所以()()7110m m +-<，解得117m -<<.故选：B ．考点三 点与圆的位置关系【例3】（2020·黑龙江南岗哈师大附中高二月考）点P (m,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( ) A ．在圆外 B ．在圆内 C ．在圆上 D ．不确定【答案】A【解析】因为a 2＋52＝a 2＋25＞24，所以点P 在圆外．【一隅三反】1．（2020·莆田第七中学高一月考）点()1,1在圆()2211x y +-=的（ ）A ．圆上B ．圆内C ．圆外D ．无法判定【答案】A【解析】将点()1,1的坐标代入圆()2211x y +-=的方程即()221111+-=，∴点()1,1在圆()2211x y +-=上，故选：A2．（2020·江苏泗洪。
2021人教A版高考数学总复习《直线与圆、圆与圆的位置关系》
故圆心 C(0，0)到直线 l：ax＋by＋c＝0 的距离 d＝ a2|c＋| b2＝1＝r，故圆 C：x2 ＋y2＝1 与直线 l：ax＋by＋c＝0 相切，故选 A. 答案 A
规律方法 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
答案 B
6.(多填题)(2019·浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0 与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________. 解析 根据题意画出图形，可知 A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，
则|AB|＝ （－2－0）2＋（－1－3）2＝2 5，
位置关系 外离
外切
相交
内切
内含
图形
量的关系 __d_＞__R_＋__r_ _d_＝__R_＋__r_ _R_－__r_＜__d_＜__R_＋__r_ _d_＝__R_－__r_ _d_＜__R__－__r_
公切线条数
4
3
2
1
0
[常用结论与微点提醒] 1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋ (y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程 为x0x＋y0y＝r2.
考点一 直线与圆的位置关系
新教材高考数学第二章直线和圆的方程5-2圆与圆的位置关系练习含解析新人教A版选择性必修第一册
圆与圆的位置关系学习目标 1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题．知识点 两圆的位置关系及其判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆连心线的长为d ，则两圆的位置关系如下：位置关系 外离外切相交内切内含图示d 与r 1，r 2的关系d >r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|< d <r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0(D 21＋E 21－4F 1>0)， C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0(D 22＋E 22－4F 2>0)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含思考 根据代数法确定两个圆的位置关系时，若已知两圆只有一个交点，能否准确得出两圆的位置关系？答案 不能. 已知两圆只有一个交点只能得出两圆内切或外切．1．如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × ) 2．如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )3．从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( × )4．若两圆有公共点，则|r 1－r 2|≤d ≤r 1＋r 2.( √ )一、两圆位置关系的判断例1 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14x＋k＝0相交、相切、相离？解将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k，圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k(k＜50)．从而|C1C2|＝－2－12＋3－72＝5.当1＋50－k＝5，k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即34＜k＜50或k＜14时，两圆相离．反思感悟判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．跟踪训练1 (1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )A．内切B．相交C．外切D．相离答案 B解析两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距为－2－22＋0－12＝17，则R－r<17<R＋r，所以两圆相交，选B.(2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．答案 4解析到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝3＋12＋－1－22＝5.半径之和为3＋1＝4，因为5>4，所以圆A 和圆B 外离，因此它们的公切线有4条． 二、两圆的公共弦问题例2 已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，则C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50， C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10，∴圆C 1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r 1＝52， 圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r 2＝10. ∴|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10， |r 1－r 2|＝|52－10|， ∴|r 1－r 2|<|C 1C 2|<r 1＋r 2， ∴两圆相交． (2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x －2y ＋4＝0.(3)方法一 由(2)知圆C 1的圆心(1，－5)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×－5＋4|1＋－22＝35， ∴公共弦长为l ＝2r 21－d 2＝250－45＝2 5.方法二 设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴|AB |＝－4－02＋0－22＝2 5.即公共弦长为2 5.反思感悟 两圆的公共弦问题(1)若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. (2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪训练2 (1)两圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x ＋2y －40＝0的公共弦的长为( ) A ．5 B ．5 2 C ．10 2 D ．10 答案 D(2)圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长为________．答案23解析 由题意将两圆的方程相减，可得圆C 1和圆C 2公共弦所在的直线l 的方程为x ＋y －1＝0.又圆C 3的圆心坐标为(1,1)，其到直线l 的距离为d ＝|1＋1－1|12＋12＝22， 设圆C 3的半径为r ，由条件知，r 2－d 2＝254－12＝234，所以弦长为2×232＝23.圆系方程的应用典例 (1)求圆心在直线x －y －4＝0上，且过两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程．解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)，即x 2＋y 2－41＋λx －4λ1＋λy －6＝0， 所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫21＋λ，2λ1＋λ.又圆心在直线x －y －4＝0上，所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，即λ＝－13.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6＝0，x 2＋y 2－4y －6＝0，得两圆公共弦所在直线的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋y 2－4y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝3.所以两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点坐标分别为A (－1，－1)，B (3,3)， 线段AB 的垂直平分线所在的直线方程为y －1＝－(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝－x －1，x －y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即所求圆的圆心坐标为(3，－1)， 半径为3－32＋[3－－1]2＝4.所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.(2)求过直线x ＋y ＋4＝0与圆x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0的交点且与直线y ＝x 相切的圆的方程． 解 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －2y －4＋λ(x ＋y ＋4)＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋y 2＋4x －2y －4＋λx ＋y ＋4＝0，得x 2＋(1＋λ)x ＋2(λ－1)＝0.因为所求圆与直线y ＝x 相切，所以Δ＝0，即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，解得λ＝3， 故所求圆的方程为x 2＋y 2＋7x ＋y ＋8＝0.[素养提升] (1)当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1)＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0，然后用待定系数法求出λ即可．(2)理解运算对象，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果，体现了数学运算的数学核心素养．1．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切答案 B解析 化为标准方程：圆O 1：(x －1)2＋y 2＝1，圆O 2：x 2＋(y －2)2＝4，则O 1(1,0)，O 2(0,2)，|O 1O 2|＝1－02＋0－22＝5<r 1＋r 2，又r 2－r 1<5，所以两圆相交．2．圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9与圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4外切，则m 的值为( ) A ．2B ．－5C ．2或－5D ．不确定答案 C解析 圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9的圆心为(－2，m )，半径长为3， 圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4的圆心为(m ，－1)，半径长为2. 依题意有－2－m2＋m ＋12＝3＋2，即m 2＋3m －10＝0， 解得m ＝2或m ＝－5.3．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0答案 C解析 AB 的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A ，B ，D.4．已知以C (4，－3)为圆心的圆与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，则圆C 的方程是__________________． 答案 (x －4)2＋(y ＋3)2＝16或(x －4)2＋(y ＋3)2＝36 解析 设圆C 的半径为r ， 圆心距为d ＝4－02＋－3－02＝5，当圆C 与圆O 外切时，r ＋1＝5，r ＝4， 当圆C 与圆O 内切时，r －1＝5，r ＝6， ∴圆的方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝16 或(x －4)2＋(y ＋3)2＝36.5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 1解析 将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y ＝1a，圆心(0,0)到直线的距离为d ＝1a＝22－32＝1，所以a ＝1.1．知识清单： (1)两圆的位置关系． (2)两圆的公共弦．2．方法归纳：几何法、代数法． 3．常见误区：将两圆内切和外切相混．1．圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋4y －1＝0的位置关系为( ) A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．外离答案 C解析 由已知，得C 1(－2，－4)，r 1＝5，C 2(－2，－2)，r 2＝3，则d ＝|C 1C 2|＝2， 所以d ＝|r 1－r 2|，所以两圆内切．2．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为( ) A ．(1,0)和(0,1) B ．(1,0)和(0，－1) C ．(－1,0)和(0，－1) D ．(－1,0)和(0,1)答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.所以两圆的交点坐标为(－1,0)和(0，－1)．3．已知圆C 1：x 2＋y 2－m ＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0，若圆C 1与圆C 2有公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ＜1 B ．m ＞121 C ．1≤m ≤121 D ．1＜m ＜121答案 C解析 圆C 1的方程可化为x 2＋y 2＝m (m >0)，则圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝m ； 圆C 2的方程可化为(x ＋3)2＋(y －4)2＝36，则圆心为C 2(－3,4)，半径r 2＝6. ∵圆C 1与圆C 2有公共点，∴|r 1－r 2|≤|C 1C 2|≤r 1＋r 2， 即|m －6|≤－3－02＋4－02≤m ＋6，∴⎩⎨⎧|m －6|≤5，m ＋6≥5，解得1≤m ≤121.4．(多选)设r >0，圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝r 2与圆x 2＋y 2＝16的位置关系不可能是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外离 D ．外切答案 CD解析 两圆的圆心距为d ＝1－02＋－3－02＝10，两圆的半径之和为r ＋4， 因为10<r ＋4，所以两圆不可能外切或外离，故选CD.5．圆O 1：x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0与圆O 2：x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0的公切线条数为( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条答案 C解析 圆O 1为(x －3)2＋(y ＋8)2＝121，O 1(3，－8)，r ＝11，圆O 2为(x ＋2)2＋(y －4)2＝64，O 2(－2,4)，R ＝8， ∴|O 1O 2|＝3＋22＋－8－42＝13，∴r －R ＜|O 1O 2|＜R ＋r ， ∴两圆相交．∴公切线有2条．6．若圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＝2和x 2＋y 2－2by ＋b 2＝1外离，则a ，b 满足的条件是_____________． 答案 a 2＋b 2>3＋2 2解析 由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a ，0)，2和(0，b )，1. 因为两圆外离，所以a 2＋b 2>2＋1， 即a 2＋b 2>3＋2 2.7．已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A ，B 两点，则直线AB 的方程是_______． 答案 x ＋3y ＝0解析 圆的方程(x －1)2＋(y －3)2＝20可化为x 2＋y 2－2x －6y ＝10. 又x 2＋y 2＝10，两式相减得2x ＋6y ＝0，即x ＋3y ＝0.8．经过直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________________．答案 x 2＋y 2－34x －34y －114＝0解析 由已知可设所求圆的方程为x 2＋y 2－2＋λ(x ＋y ＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－34， 故所求圆的方程为x 2＋y 2－34x －34y －114＝0.9．已知圆O 1：x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2,1)．若圆O 2与圆O 1交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解 设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22， 因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0， 作O 1H ⊥AB ，H 为垂足，则AH ＝12AB ＝2，所以O 1H ＝r 21－AH 2＝4－2＝ 2.由圆心O 1(0，－1)到直线4x ＋4y ＋r 22－8＝0的距离为 |r 22－12|42＝2，得r 22＝4或r 22＝20， 故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.10．已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 解 两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)， 半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，5－12＋6－32＝11＋61－m ，解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时61－m －11＝5， 解得m ＝25－1011.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0， ∴公共弦长为2112－⎝⎛⎭⎪⎫|4×1＋3×3－23|42＋322＝27.11．已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( ) A ．(x －5)2＋(y －7)2＝25B ．(x －5)2＋(y －7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y－7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9答案 D解析设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则x－52＋y＋72＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则x－52＋y＋72＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.12．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于( ) A．4 B．4 2 C．8 D．8 2答案 C解析∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，∴|C1C2|＝a－b2＋a－b2＝32×2＝8.13．如果圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是( )A．(－22，0)∪(0,22) B．(－22，22)C．(－1,0)∪(0,1) D．(－1,1)答案 A解析∵圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，∴圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1相交．|OC|＝a2＋1，由2－1<|OC|<2＋1，得1<a2＋1<3，∴0<|a|<22，∴－22<a<0或0<a<2 2.14．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为________．答案 4解析 连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt△OO 1A 中，|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5，∴|AC |＝5×255＝2， ∴|AB |＝4.15．过两圆x 2＋y 2－2y －4＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l ：2x ＋4y －1＝0上的圆的方程是____________________．答案 x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0解析 设圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0，则(1＋λ)x 2－4x ＋(1＋λ)y 2＋(2－2λ)y －4λ＝0，把圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ代入l ：2x ＋4y －1＝0的方程，可得λ＝13， 所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.16．已知动点P 与两个定点O (0,0)，A (3,0)的距离的比为12. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知圆Q 的圆心为Q (t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，若圆Q 与曲线C 有公共点，求实数t 的取值范围．解 (1)设P (x ，y )，则||AP ＝2||OP ，即||AP |2＝4OP |2， 所以(x －3)2＋y 2＝4(x 2＋y 2)，整理得(x ＋1)2＋y 2＝4.所以动点P 的轨迹C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)因为点Q 的坐标为(t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，所以圆Q 的半径为t ， 所以，圆Q 的方程为(x －t )2＋(y －t )2＝t 2.因为圆Q 与圆C 有公共点，又圆Q 与圆C 的两圆心距为 ||CQ ＝()t ＋12＋()t －02＝2t 2＋2t ＋1， 所以||2－t ≤||CQ ≤2＋t ，即(2－t )2≤2t 2＋2t ＋1≤(2＋t )2，解得－3＋23≤t≤3.所以，实数t的取值范围是[]－3＋23，3.。
新人教版2020版高考数学大一轮复习第八章平面解析几何第3节圆与方程课件理新人教A版
(2)∵圆M的圆心在y＝－x＋2上，
∴设圆心为(a，2－a)，
∵圆M与直线x－y＝0Байду номын сангаасx－y＋4＝0都相切，
∴圆心到直线x－y＝0的距离等于圆心到直线x－y＋4＝0的距离，
即|2a－2|＝|2a＋2|，解得
2
2
a＝0，
∴圆心坐标为(0，2)，圆
M
的半径为|2a－2|＝ 2
2，
∴圆M的标准方程为x2＋(y－2)2＝2.
解析 (1)法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F
则F1＋＝10＋，D＋E＋F＝0，解得 D＝－2，E＝0，F＝0， 4＋2D＋F＝0，
故圆的方程为x2＋y2－2x＝0. 法二 设 O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则 kOA＝1，kAB＝－1，所以 即 OA⊥AB，所以△OAB 是以角 A 为直角的直角三角形，则线段 B
4.(2019·日照调研)若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实
() A.(－1，1) C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析 因为点(1，1)在圆的内部，
B.(0，1) D.a＝±1
所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1. 答案 A
5.(2019·荆州模拟)若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，
径，则圆心为 C(1，0)，半径 r＝12|OB|＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2 2x＝0.
(2)法一 ∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上， ∴设所求圆的圆心为(a，－a). 又∵所求圆与直线x－y＝0相切， ∴半径 r＝2|a2|＝ 2|a|.
又所求圆在直线 x－y－3＝0 上截得的弦长为 6，圆心(a，－a)到
高中数学 人教A版 必修2 第四章 圆与方程 高考复习习题(解答题201-300)含答案解析
高中数学 人教A 版 必修2 第四章 圆与方程 高考复习习题（解答题201-300）含答案解析学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．已知曲线C 的方程为：222240ax ay a x y +--=，其中：0a ≠且a 为常数．（1）判断曲线C 的形状，并说明理由；（2）设曲线C 分别与x 轴，y 轴交于点,A B （,A B 不同于坐标原点O ），试判断AOB ∆的面积S 是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线l ：24y x =-+与曲线C 交于不同的两点,M N ，（O 为坐标原点），求曲线C 的方程．2．已知直线l :y=k 与圆O:224+=x y 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，∆ABO 的面积为S.（1）试将S 表示成的函数S （k ），并求出它的定义域；（2）求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值.3．在ΔABC 中，点A,B 的坐标分别是(−√2,0),(√2,0),点G 是ΔABC 的重心，y 轴上一点M 满足GM ∥AB ，且|MC|=|MB|．（Ⅰ）求ΔABC 的顶点C 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）直线l:y =kx +m 与轨迹E 相交于P,Q 两点，若在轨迹E 上存在点R ，使四边形OPRQ 为平行四边形（其中O 为坐标原点），求m 的取值范围．4．已知圆过点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若直线与圆交于两点，当最小时，求直线的方程及的最小值．5．已知圆C 的方程为0622=+-++m y x y x ，直线032:=-+y x l .（1）求m 的取值范围；（2）若圆C 与直线l 交于P 、Q 两点，且以PQ 为直径的圆恰过坐标原点，求实数m 的值．6．（本小题12分）圆C 的半径为3，圆心在直线20xy 上且在x 轴下方，x 轴被圆C 截得的弦长为25．（1）求圆C 的方程；（2）是否存在斜率为1的直线l ，使得以l 被圆截得的弦为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．7．（本小题12分）已知点)5,0(P 及圆:C 02412422=+-++y x y x ． （1）若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段AB 长为34，求直线l 的方程； （2）求圆C 内过点P 的弦中点的轨迹方程．8．已知⊙M ：x 2＋（y －2）2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点． （Ⅰ）若AB ＝，求MQ 及直线MQ 的方程；（Ⅱ）求证：直线AB 恒过定点．9．已知动圆过定点(2,0)P ，且在y 轴上截得弦长为4．（1）求动圆圆心的轨迹Q 的方程；（2）已知点(,0)E m 为一个定点，过E 作斜率分别为1k 、2k 的两条直线交轨迹Q 于点A 、B 、C 、D 四点，且M 、N 分别是线段AB 、CD 的中点，若121k k +=，求证：直线MN 过定点．10．已知点1(2,3)P -，2(0,1)P ，圆C 是以12P P 的中点为圆心，121||2PP 为半径的圆. （1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上截距相等，求切线方程；（2）若(,)P x y 是圆C 外一点，从P 向圆C 引切线PM ，M 为切点，O 为坐标原点，||||PM PO =，求使||PM 最小的点P 的坐标.11．已知圆22:2440C x y x y +-+-=,问是否存在直线:l y x b =+与圆C 交于,A B 两点，且满足OA OB ⊥（O 为坐标原点）．若存在，求出l 的方程；若不存在，试说明理由．12．在平面直角坐标系中，点，直线：，设圆的半径为1，圆心在上.（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围. 13．如图所示，已知以点A （－1，2）为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B （－2，0）的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P ．（1）求圆A 的方程；（2）当＝2时，求直线l 的方程； （3）·是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．14．已知12F F 、为椭圆（1）求椭圆C 的标准方程；（2）圆O 是以1F ， 2F 为直径的圆，直线:l y kx m =+与圆O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点B A 、，若32OA OB ⋅=-，求k 的值. 15．已知圆C 的方程为x 2+（y-4）2=4，点O 是坐标原点，直线l:y=kx 与圆C 交于M ，N 两点．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设Q （m ，n ）是线段MN 上的点，且=+．请将n 表示为m 的函数．16，动圆N 过点且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E ．（1）求轨迹E 的方程；（2）设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且，当C ∆AB 的面积最小时，求直线AB 的方程．17．（原创）（本小题满分12分）已知点(3,0),H -点P 在y 轴上，点Q 在x 轴正半轴上，点M 在PQ 上，且满足0HP PM ⋅=,3PM MQ =-. （1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹方程C;（2）给定圆N: 222x y x +=，过圆心N 作直线l ，此直线与圆N 和（1）中的轨迹C 共有四个交点，自上而下顺次记为A,B,C,D,如果线段,,AB BC CD 的长按此顺序构成一个等差数列，求直线l 的方程。
新教材高考数学第二章直线和圆的方程4-2圆的一般方程分层练习含解析新人教A版选择性必修第一册
圆的一般方程基础练巩固新知夯实基础1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径长分别为( ) A ．(4，－6)，16B ．(2，－3)，4C ．(－2，3)，4D ．(2，－3)，162.已知圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，则点P (3,1)在( ) A.圆内 B.圆上 C.圆外D.无法确定3.若方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A.RB.(－∞，0) ∪(0，＋∞)C.(0，＋∞)D.(1，＋∞)4.方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A.以(a ，b )为圆心的圆 B.以(－a ，－b )为圆心的圆 C.点(a ，b ) D.点(－a ，－b )5.若点(1，－1)在圆x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0外，则m 的取值范围是( ) A.m >0 B.m <12C.0<m <12D.0≤m ≤126.圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( ) A.2 B.22C.1D. 2 7．已知点A (1，2)在圆x 2＋y 2＋2x ＋3y ＋m ＝0内，则实数m 的取值范围是________． 8.在平面直角坐标系中，求经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程. 能力练综合应用核心素养9．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，过点A(1，0)，则圆C的圆心的轨迹是( )A．点B．直线C．线段 D．圆10．圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是( )A．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 B．(x＋4)2＋(y－1)2＝5C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝511.当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是( )A.(x＋3)2＋y2＝4B.(x－3)2＋y2＝1C.(2x－3)2＋4y2＝1D.(2x＋3)2＋4y2＝112.方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限13.如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是________.14.已知直线与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<5)相交于A，B两点，且弦AB的中点Q的坐标为(0,1)，则直线AB的方程为________________.15.已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.16．已知D(8，0)，点P在圆x2＋y2＝4上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程是________．17.求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点A(5,2)和点B(3，－2)的圆的一般方程.18．已知P是圆x2＋y2＝16上的动点，A(12，0)，M为PA的中点，求点M的轨迹方程．【参考答案】1. C 解析 由x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0，得(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，故圆心为(－2，3)，半径长为4. 2.C3.B 解析 当a ≠0时，方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a －2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2a 2＝4a 2－2a ＋2a 2， 由于a 2－2a ＋2＝(a －1)2＋1>0恒成立， ∴a ≠0时方程表示圆.当a ＝0时，易知方程为x ＋y ＝0，表示直线.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(0，＋∞). 4. D 解析 原方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ＝0，y ＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a ，y ＝－b .∴方程表示点(－a ，－b ).5. C 解析 x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝12－m ，则12－m >0，解得m <12.因为点(1，－1)在圆外，所以1＋1－1－1＋m >0， 即m >0，所以0<m <12.故选C.6. D 解析 因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x －y ＝1的距离为d ＝|1＋2－1|2＝ 2.7. (－∞，－13)解析 因为A (1，2)在圆x 2＋y 2＋2x ＋3y ＋m ＝0内，所以1＋4＋2＋6＋m ＜0，解得m ＜－13.又由4＋9－4m ＞0，得m ＜134.综上，m ＜－13.8. 解析 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0，即圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.9. D 解析 ∵圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1，0)， ∴(1－a )2＋(0－b )2＝1，∴(a －1)2＋b 2＝1，∴圆C 的圆心的轨迹是以(1，0)为圆心，1为半径的圆．故选D.10. C 解析 把圆C 的方程化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，∴圆心C (2，－1)．设圆心C 关于直线y ＝x ＋1的对称点为C ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－（－1）x 0－2＝－1，y 0－12＝x 0＋22＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝3，故C ′(－2，3)，∴圆C 关于直线y ＝x ＋1对称的圆的方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝5. 11. C 解析 设P (x 1，y 1)，PQ 的中点M 的坐标为(x ，y )，∵Q (3,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋32，y ＝y 1＋02，∴x 1＝2x －3，y 1＝2y .又点P 在圆x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，故选C.12. D 解析 因为方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是圆，又方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y －a )2＝－34a 2－3a ，故圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a ，r 2＝－34a 2－3a .又r 2>0，即－34a 2－3a >0，解得－4<a <0，故该圆的圆心在第四象限.13. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，54解析 由(－2)2＋12－4k >0得k <54.14. x －y ＋1＝0解析 易知圆心P 的坐标为(－1,2). ∵AB 的中点Q 的坐标为(0,1)，∴直线PQ 的斜率k PQ ＝2－1－1－0＝－1，∴直线AB 的斜率k ＝1， 故直线AB 的方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0.15. －2解析 由题意知，直线l ：x －y ＋2＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2，则－1＋a2＋2＝0，得a ＝－2.16. (x －4)2＋y 2＝1解析 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0＋82，y ＝y 02.即x 0＝2x－8，y 0＝2y .因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4. 即(2x －8)2＋(2y )2＝4，即(x －4)2＋y 2＝1，这就是动点M 的轨迹方程．17.解 ∵圆心在直线2x －y －3＝0上，∴可设圆心坐标为(a ,2a －3)，半径为r (r >0)， 则圆的方程为(x －a )2＋(y －2a ＋3)2＝r 2. 把点A (5,2)和点B (3，－2)的坐标代入方程， 得(5－a )2＋(2－2a ＋3)2＝r 2，① (3－a )2＋(－2－2a ＋3)2＝r 2，②由①②可得a＝2，r2＝10.故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10，即x2＋y2－4x－2y＝5.18. 解设M(x，y)，∵A(12，0)，M为PA的中点，∴P(2x－12，2y)．∵P为圆x2＋y2＝16上的动点，∴(2x－12)2＋4y2＝16，即(x－6)2＋y2＝4. 故所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝4.。
【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案)
1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆.(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.2.点与圆的位置关系(1)点在圆上①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上.②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上.(2)点不在圆上①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足F(x，y)<0，则该点在圆内.②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内.注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d max＝|PC|＋r；最小距离：d min＝|PC|－r.3.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断).(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离.(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形.(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线.①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x －a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意.(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数.4.圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d 与半径长r，R的大小关系来判断).(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.题型一 求圆的方程求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题.采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：(1)选择圆的方程的某一形式；(2)由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组)；(3)解出a ，b ，r (或D ，E ，F )；(4)代入圆的方程.例1 有一圆与直线l ：4x －3y ＋6＝0相切于点A (3,6)，且经过点B (5,2)，求此圆的方程. 解 方法一 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心为C (a ，b )，由|CA |＝|CB |，CA ⊥l ， 得⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)2＋(b －6)2＝(a －5)2＋(b －2)2＝r 2，b －6a －3×43＝－1.解得a ＝5，b ＝92，r 2＝254.∴圆的方程为(x －5)2＋⎝⎛⎭⎫y －922＝254. 方法二 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为C ，由CA ⊥l ，A (3,6)、B (5,2)在圆上，得⎩⎪⎨⎪⎧32＋62＋3D ＋6E ＋F ＝0，52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0，－E 2－6－D 2－3×43＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－9，F ＝39.∴所求圆的方程为：x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.方法三 设圆心为C ，则CA ⊥l ，又设AC 与圆的另一交点为P ，则CA 方程为y －6＝－34(x－3)，即3x ＋4y －33＝0. 又k AB ＝6－23－5＝－2，∴k BP ＝12，∴直线BP 的方程为x －2y －1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －33＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3.∴P (7,3).∴圆心为AP 中点⎝⎛⎭⎫5，92，半径为|AC |＝52.∴所求圆的方程为(x －5)2＋⎝⎛⎭⎫y －922＝254. 跟踪训练1 若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是______. 答案 ()x －22＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心，且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m ).又因为圆与直线y ＝1相切，所以(4－2)2＋(0－m )2＝|1－m |，所以m 2＋4＝m 2－2m ＋1，解得m ＝－32，所以圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程.(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题.例2 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程； (2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.解 (1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23，所以d ＝22－(3)2＝1.由点到直线的距离公式得d ＝|－3k －1－4k |1＋k 2，从而k (24k ＋7)＝0.即k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k (x －a ).因为圆C 1和圆C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－k (－3－a )－b |1＋k 2＝⎪⎪⎪⎪5＋1k (4－a )－b 1＋1k2，整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝ －5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5， 因为k 的取值范围有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎨⎧a ＝52，b ＝－12或⎩⎨⎧a ＝－32，b ＝132.这样点P 只可能是点P 1⎝⎛⎭⎫52，－12或点P 2⎝⎛⎭⎫－32，132. 经检验点P 1和P 2满足题目条件.跟踪训练2 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 过点P (2,3)且与圆M 交于A ，B 两点，且|AB |＝23，求直线l 的方程.解 (1)当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0.作示意图如图，作MC ⊥AB 于C . 在Rt △MBC 中， |BC |＝3，|MB |＝2， 故|MC |＝|MB |2－|BC |2＝1，由点到直线的距离公式得|k －1＋3－2k |k 2＋1＝1， 解得k ＝34.所以直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.(2)当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝2， 且|AB |＝23，所以适合题意.综上所述，直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0或x ＝2. 题型三 与圆有关的最值问题在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围.例3 在△ABO 中，|OB |＝3，|OA |＝4，|AB |＝5，P 是△ABO 的内切圆上一点，求以|P A |，|PB |，|PO |为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值. 解 如图所示，建立平面直角坐标系，使A ，B ，O 三点的坐标分别为A (4,0)，B (0,3)，O (0,0). 设内切圆的半径为r ，点P 的坐标为(x ，y )， 则2r ＋|AB |＝|OA |＋|OB |，∴r ＝1.故内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 整理得x 2＋y 2－2x －2y ＝－1.①由已知得|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝(x －4)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＋x 2＋y 2 ＝3x 2＋3y 2－8x －6y ＋25.② 由①可知x 2＋y 2－2y ＝2x －1，③将③代入②得|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝3(2x －1)－8x ＋25＝－2x ＋22. ∵0≤x ≤2，∴|P A |2＋|PB |2＋|PO |2的最大值为22，最小值为18.又三个圆的面积之和为π⎝⎛⎭⎫|P A |22＋π⎝⎛⎭⎫|PB |22＋π⎝⎛⎭⎫|PO |22＝π4(|P A |2＋|PB |2＋|PO |2)， ∴以|P A |，|PB |，|PO |为直径的三个圆面积之和的最大值为112π，最小值为92π.跟踪训练3 已知实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求x ＋y 的最大值和最小值. 解 设x ＋y ＝t ，由题意，知直线x ＋y ＝t 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点， 所以d ≤r ，即|3＋3－t |2≤ 6.所以6－23≤t ≤6＋2 3.所以x ＋y 的最小值为6－23，最大值为6＋2 3.题型四 分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是将整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论.例4 已知直线l 经过点P (－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l 的方程.解 圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r ＝5.①当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为x ＝－4，由题意可知直线x ＝－4符合题意. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋3＝k (x ＋4)， 即kx －y ＋4k －3＝0. 由题意可知⎝⎛⎭⎪⎫|－k ＋2＋4k －3|1＋k 22＋⎝⎛⎭⎫822＝52，解得k ＝－43，即所求直线方程为4x ＋3y ＋25＝0.综上所述，满足题设的l 方程为x ＝－4或4x ＋3y ＋25＝0.跟踪训练4 如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切.过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P . (1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程. 解 (1)设圆A 的半径为r .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴r ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连接AQ ，则AQ ⊥MN . ∵|MN |＝219， ∴|AQ |＝20－19＝1， 则由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34.直线方程为3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. 题型五 数形结合思想数形结合思想：在解析几何中，数形结合思想是必不可少的，而在本章中，数形结合思想最主要体现在几何条件的转化上，尤其是针对“方法梳理”中提到的第二类问题，往往题目会给出动点满足的几何条件，这就不能仅仅依靠代数来“翻译”了，必须结合图形，仔细观察分析，有时可能需要比较“绕”的转化才能将一个看似奇怪(或者不好利用)的几何条件列出一个相对简洁的式子，但这样可以在很大程度上减少计算量，大大降低出错的机率. 例5 已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程. 解 画图如下：由直线方程易知l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直， ∴三个交点A ，B ，C 构成直角三角形， ∴经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.∴点A 的坐标为(－2，－1).由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.∴点B 的坐标为(1，－1).∴线段AB 的中点坐标为(－12，－1).又∵|AB |＝|1－(－2)|＝3.∴圆的方程是(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝94.跟踪训练5 已知点A (－1,0)，B (2,0)，动点M (x ，y )满足|MA ||MB |＝12，设动点M 的轨迹为C .(1)求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹C 是什么图形； (2)求动点M 与定点B 连线的斜率的最小值；(3)设直线l ：y ＝x ＋m 交轨迹C 于P ，Q 两点，是否存在以线段PQ 为直径的圆经过点A ？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)由题意，得|MA |＝(x ＋1)2＋y 2， |MB |＝(x －2)2＋y 2.∵|MA ||MB |＝12，∴(x ＋1)2＋y 2(x －2)2＋y 2＝12， 化简，得(x ＋2)2＋y 2＝4.∴轨迹C 是以(－2,0)为圆心，2为半径的圆. (2)设过点B 的直线为y ＝k (x －2). 由题意，得圆心到直线的距离d ＝|－4k |k 2＋1≤2.解得－33≤k ≤33.即k min ＝－33. (3)假设存在，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2).联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，(x ＋2)2＋y 2＝4，得2x 2＋2(m ＋2)x ＋m 2＝0. ∴x 1＋x 2＝－m －2，x 1x 2＝m 22. ①y 1＋y 2＝m －2，y 1y 2＝m 2－4m2. ②设以PQ 为直径经过点A 的圆的圆心为O ，则O 的坐标为O (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，|OA |＝|OP |, (x 1＋x 22＋1)2＋(y 1＋y 22)2 ＝(x 1＋x 22－x 1)2＋(y 2－y 12)2. 整理得(x 1＋x 2＋2)2＋(y 1＋y 2)2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2－4x 1x 2－4y 1y 2，③ 将①②代入③得m 2－3m －1＝0， 解得m ＝3±132.故当m ＝3±132时，存在线段PQ 为直径的圆经过点A .初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果.圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质.那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等.(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理.(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角.。
第8章 第3节 圆的方程-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
5．已知圆 C 经过点 A(1，3)，B(4，2)，与直线 2x＋y－10＝0 相切，则圆 C 的标准方程为________．
(x－2)2＋(y－1)2＝5 解析 由题意，设圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 因为点 B(4，2)在直线 2x＋y－10＝0 上， 所以点 B(4，2)是圆与直线 2x＋y－10＝0 的切点， 连接圆心 C 和切点的直线和与切线 2x＋y－10＝0 垂直， 则 kBC＝12，则 BC 的方程为 y－2＝12(x－4)， 整理得 x－2y＝0，
(√)
(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20
＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.
(√)
◇教材改编
2．圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标和半径分别是
( D) A．(2，3)，3
B．(－2，3)， 3
C．(－2，－3)，13
D．(2，－3)， 13
解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13， 所以圆心坐标是(2，－3)，半径 r＝ 13.
(2)可知yx－＋32表示直线 MQ 的斜率 k. 设直线 MQ 的方程为 y－3＝k(x＋2)， 即 kx－y＋2k＋3＝0. 由直线 MQ 与圆 C 有交点， ∴|2k－71＋＋2kk2＋3|≤2 2， 可得 2－ 3≤k≤2＋ 3， ∴yx－＋32的最大值为 2＋ 3，最小值为 2－ 3.
(3)设 y－x＝b，则 x－y＋b＝0. 当直线 y＝x＋b 与圆 C 相切时，截距 b 取到最值， ∴ 1|22＋－（7＋－b1|）2＝2 2，∴b＝9 或 b＝1. ∴y－x 的最大值为 9，最小值为 1.
►考向三 与圆有关的轨迹问题[师生共研] [例 3] 已知圆 x2＋y2＝4 上一定点 A(2，0)，B(1，1)为 圆内一点，P，Q 为圆上的动点． (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段 PQ 中点的轨迹方程． [自主解答] (1)设 AP 的中点为 M(x，y)， 由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x－2，2y)． 因为 P 点在圆 x2＋y2＝4 上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
高考数学(人教a版,理科)题库：指数与指数函数(含答案)
第4讲 指数与指数函数一、选择题1．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( )解析 y ＝a |x |＝⎩⎨⎧ a x x ≥0，a －x x ＜0.当x ≥0时，与指数函数y ＝a x (a >1)的图像相同；当x <0时，y ＝a －x 与y ＝a x 的图像关于y 轴对称，由此判断B 正确． 答案 B2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ log 3x ，x >02x x ≤0，则f (9)＋f (0)＝( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3解析 f (9)＝log 39＝2，f (0)＝20＝1，∴f (9)＋f (0)＝3.答案 D3．不论a 为何值时，函数y ＝(a －1)2x －a 2恒过定点，则这个定点的坐标是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 解析 y ＝(a －1)2x －a 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12－2x ，令2x －12＝0，得x ＝－1，则函数y ＝(a －1)2x －a 2恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12. 答案 C4．定义运算：a *b ＝⎩⎨⎧ a ，a ≤b ，b ，a >b ，如1*2=1,则函数f (x )=2x *2-x 的值域为 ( )． A ．R B ．(0，＋∞)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析 f (x )＝2x *2－x ＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，2－x ，x >0，∴f (x )在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴0<f (x )≤1.答案 C5．若a >1，b >0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值为( ) A. 6B ．2或－2C ．－2D ．2解析 (a b ＋a －b )2＝8⇒a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4.又a b >a －b (a >1，b >0)，∴a b －a －b ＝2.答案 D6．若函数f (x )＝(k －1)a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是下图中的 ( )．解析 函数f (x )＝(k －1)a x －a －x 为奇函数，则f (0)＝0，即(k －1)a 0－a 0＝0，解得k ＝2，所以f (x )＝a x －a －x ，又f (x )＝a x －a －x 为减函数，故0<a <1，所以g (x )＝log a (x ＋2)为减函数且过点(－1,0)．答案 A二、填空题7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x ，x <0，(a －3)x ＋4a ，x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________． 解析 对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，说明函数y ＝f (x )在R 上是减函数，则0<a <1，且(a －3)×0＋4a ≤a 0，解得0<a ≤14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 8．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是________．解析 函数y ＝2－x ＋1＋m ＝(12)x －1＋m ， ∵函数的图象不经过第一象限，∴(12)0－1＋m ≤0，即m ≤－2. 答案 (－∞，－2]9．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析 令a x －x －a ＝0即a x＝x ＋a ，若0<a <1，显然y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象只有一个公共点；若a >1，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象如图所示．答案 (1，＋∞)10．已知f (x )＝x 2，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．解析 x 1∈[－1,3]时，f (x 1)∈[0,9]，x 2∈[0,2]时，g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫120－m ，即g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－m ，1－m ，要使∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，只需f (x )min ≥g (x )min ，即0≥14－m ，故m ≥14.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 三、解答题11．已知函数f (x )＝2x －12x ＋1. (1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)求证f (x )在R 上为增函数．(1)解 因为函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (－x )＋f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22－x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋22－x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋1＋2·2x 2x ＋1＝2－2(2x ＋1)2x ＋1＝2－2＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． (2)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1＋1－2x 2－12x 2＋1＝2(2x 1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 2＋1)， ∵x 1<x 2,2x 1－2x 2<0,2x 1＋1>0,2x 2＋1>0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在R 上是增函数．12．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )；(2)若不等式(1a )x ＋(1b)x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．解析 (1)把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x ，得⎩⎨⎧ 6＝ab ，24＝b ·a 3.结合a >0且a ≠1，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝3·2x.(2)要使(12)x ＋(13)x ≥m 在(－∞，1]上恒成立， 只需保证函数y ＝(12)x ＋(13)x 在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可． ∵函数y ＝(12)x ＋(13)x 在(－∞，1]上为减函数， ∴当x ＝1时，y ＝(12)x ＋(13)x 有最小值56. ∴只需m ≤56即可． ∴m 的取值范围(－∞，56] 13．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解析 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令t ＝－x 2－4x ＋3，由于t (x )在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减， 所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )， 由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧ a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1.即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.14．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)当x <0时， f (x )＝0，无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或－12，∵2x >0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0， 即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]，故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。
新教材高考数学第二章直线和圆的方程1-2两条直线平行和垂直的判定练习含解析新人教A版选择性必修第一册
两条直线平行和垂直的判定学习目标 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题．知识点一两条直线(不重合)平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在图示知识点二两条直线垂直的判定图示对应关系l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2思考两直线的斜率相等是两直线平行的充要条件吗？答案不是，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．1．若l1∥l2，则k1＝k2.( ×)2．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．( ×)3．若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．( √)一、两条直线平行的判定例1 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A (0,0)，B (2，－1)，C (4,2)，D (2,3)，试判断四边形ABCD 是否为平行四边形，并给出证明． 解 四边形ABCD 是平行四边形，证明如下：AB 边所在直线的斜率k AB ＝－12，CD 边所在直线的斜率k CD ＝－12， BC 边所在直线的斜率k BC ＝32，DA 边所在直线的斜率k DA ＝32.因为k AB ＝k CD ，k BC ＝k DA ，所以AB ∥CD ，BC ∥DA . 因此四边形ABCD 是平行四边形．反思感悟 判断两条不重合的直线是否平行的方法跟踪训练1 (1)已知l 1经过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2经过点M (5，－2)，N (5,5)，判断直线l 1与l 2是否平行．解 ∵l 1与l 2都与x 轴垂直，且l 1与l 2不重合， ∴l 1∥l 2.(2)试确定m 的值，使过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行．解 由题意直线CD 的斜率存在，则与其平行的直线AB 的斜率也存在．k AB ＝m －0－5－m ＋1＝m－6－m ，k CD ＝5－30－－4＝12，由于AB ∥CD ，所以k AB ＝k CD ，即m －6－m ＝12，得m ＝－2.经验证m ＝－2时直线AB 的斜率存在，所以m ＝－2.二、两条直线垂直的判定例2 已知△ABC 的顶点为A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，求m 的值． 解 若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1， 即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，解得m ＝－7； 若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1， 即1＋11－5·m －12－1＝－1，解得m ＝3； 若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5·m －12－1＝－1，解得m ＝±2. 综上所述，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2. 反思感悟 判断两条直线是否垂直在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 跟踪训练2 判断下列各题中l 1与l 2是否垂直． (1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1经过点A (3,4)，B (3,10)，l 2经过点M (－10,40)，N (10,40)． 解 (1)k 1＝－10，k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(2)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴；k 2＝40－4010－－10＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2.垂直与平行的综合应用典例 已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定图形ABCD 的形状．解 由题意知A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得k AB ＝5－32－－4＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－－4＝－3， k BC ＝3－56－2＝－12. 所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合， 所以AB ∥CD .由k AD ≠k BC ， 所以AD 与BC 不平行．又因为k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，所以AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．[素养提升] 用代数运算解决几何图形问题(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定．(2)明确运算对象，探究运算思路，是对逻辑推理与数学运算核心素养的考查．1．若过点P (3,2m )和点Q (－m ，2)的直线与过点M (2，－1)和点N (－3,4)的直线平行，则m 的值是( )A.13 B ．－13 C ．2 D ．－2 答案 B解析 由k PQ ＝k MN ，即2m －23－－m ＝4－－1－3－2，得m ＝－13.经检验知，m ＝－13符合题意．2．已知直线l 1的斜率为a ，l 2⊥l 1，则l 2的斜率为( ) A.1aB ．－1aC ．aD ．－1a或不存在答案 D解析 当a ≠0时，由k 1·k 2＝－1知，k 2＝－1a，当a ＝0时，l 2的斜率不存在．3．已知两条直线l 1，l 2的斜率是方程3x 2＋mx －3＝0(m ∈R )的两个根，则l 1与l 2的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．可能重合 D ．无法确定答案 B解析 由方程3x 2＋mx －3＝0，知Δ＝m 2－4×3×(－3)＝m 2＋36>0恒成立． 故方程有两相异实根，即l 1与l 2的斜率k 1，k 2均存在． 设两根为x 1，x 2，则k 1k 2＝x 1x 2＝－1，所以l 1⊥l 2，故选B.4．(多选)若l 1与l 2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别为k 1，k 2，则下列命题正确的是( )A ．若l 1∥l 2，则斜率k 1＝k 2B ．若k 1＝k 2，则l 1∥l 2C ．若l 1∥l 2，则倾斜角α1＝α2D ．若α1＝α2，则l 1∥l 2 答案 ABCD5．若不同两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b ，3－a )，则线段PQ 的垂直平分线的斜率为________． 答案 －1解析 若a ＝3－b ，则P ，Q 两点重合，不合题意．故PQ 斜率存在．由k PQ ＝3－a －b3－b －a ＝1，得线段PQ 的垂直平分线的斜率为－1.1．知识清单：两直线平行或垂直的条件．2．方法归纳：分类讨论，数形结合． 3．常见误区：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况．1．过点A (2,5)和点B (－4,5)的直线与直线y ＝3的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．重合 D ．以上都不对 答案 B解析 斜率都为0且不重合，所以平行．2．已知过A (－2，m )和B (m ，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值是( ) A ．－8 B ．0 C ．2 D ．10 答案 A解析 由题意可知，k AB ＝4－mm ＋2＝－2，所以m ＝－8.3．直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( ) A ．(3,0) B ．(－3,0) C ．(0，－3) D ．(0,3)答案 D解析 设P (0，y )，因为l 1∥l 2，所以y －10＋1＝2，所以y ＝3.即P (0,3)．4．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)，且与斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值为( )A ．－23B ．－32 C.23 D.32答案 A解析 易知a ＝0不符合题意．当a ≠0时，直线l 的斜率k ＝2－a －2－a ＋2＝－1a ，由－1a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，得a ＝－23，故选A.5．(多选)设点P (－4,2)，Q (6，－4)，R (12,6)，S (2,12)，下面四个结论正确的是( ) A ．PQ ∥SR B ．PQ ⊥PS C ．PS ∥QS D ．PR ⊥QS答案 ABD解析 由斜率公式知，k PQ ＝－4－26＋4＝－35，k SR ＝12－62－12＝－35，k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4，k PR ＝6－212＋4＝14， ∴PQ ∥SR ，PQ ⊥PS ，PR ⊥QS .而k PS ≠k QS ， ∴PS 与QS 不平行，故ABD 正确．6．若经过点(m ，3)和(2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________． 答案145解析 由题意可知k l ＝14，又因为k l ＝m －32－m，所以m －32－m ＝14，解得m ＝145.7．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－4k ＋m ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则m ＝________，若l 1∥l 2，则m ＝________. 答案 －2 2解析 由一元二次方程根与系数的关系得k 1·k 2＝m2，若l 1⊥l 2，则m2＝－1，∴m ＝－2.若l 1∥l 2，则k 1＝k 2，即关于k 的二次方程2k 2－4k ＋m ＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(－4)2－4×2×m ＝0，∴m ＝2.8．已知点A (－3，－2)，B (6,1)，点P 在y 轴上，且∠BAP ＝90°，则点P 的坐标是________． 答案 (0，－11)解析 设P (0，y )，由∠BAP ＝90°知，k AB ·k AP ＝1－－26－－3×y ＋23＝y ＋29＝－1，解得y ＝－11.所以点P 的坐标是(0，－11)．9．当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线： (1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行． 解 (1)由k AB ＝m －32m2＝tan 135°＝－1， 解得m ＝－32或m ＝1.(2)由k AB ＝m －32m 2，且－7－20－3＝3， 则m －32m 2＝－13，解得m ＝32或m ＝－3. (3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2，解得m ＝34或m ＝－1. 经检验，当m ＝34或m ＝－1时，均符合题意．10．已知▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)． (1)求点D 的坐标；(2)试判定▱ABCD 是否为菱形？解 (1)设D 点坐标为(a ，b )，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，所以⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6.所以D (－1,6)．(2)因为k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1，所以k AC ·k BD ＝－1，所以AC ⊥BD ，所以▱ABCD 为菱形．11．(多选)已知点A (m ，3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 BC解析 当m ＝0时，直线AB 与直线CD 的斜率均不存在且不重合，此时AB ∥CD . 当m ≠0时，k AB ＝m ＋4－32m －m ，k CD ＝2－0m ＋1－1，则k AB ＝k CD ，即m ＋1m ＝2m，得m ＝1，∴m ＝0或1. 12.如图所示，在平面直角坐标系中，以O (0,0)，A (1,1)，B (3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是( )A ．(－3,1)B ．(4,1)C ．(－2,1)D ．(2，－1)答案 A解析 如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC 1，▱ABOC 2，▱AOC 3B .根据平行四边形的性质，可知B ，C ，D 分别是点C 1，C 2，C 3的坐标，故选A. 13．若点P (a ，b )与Q (b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则l 的倾斜角为( ) A ．135° B．45° C．30° D．60° 答案 B解析 若a ＝b －1，则P ，Q 重合，不合题意，故直线PQ 斜率存在．k PQ ＝a ＋1－bb －1－a＝－1，k PQ ·k l＝－1，∴l 的斜率为1，倾斜角为45°.14．下列直线l 1与直线l 2(l 1与l 2不重合)平行的有________．(填序号) ①l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)；②l 1的斜率为2，l 2经过点A (1,1)，B (2,2)；③l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)； ④l 1经过点E (2,6)，F (2,3)，l 2经过点P (－3，－3)，Q (－3，－6)． 答案 ①③④解析 ①∵k AB ＝5－1－3－2＝－45，k CD ＝－7＋38－3＝－45，∴k AB ＝k CD ，∴l 1∥l 2. ②∵2l k ＝2－12－1＝1≠1l k ＝2，∴l 1不平行于l 2. ③∵1l k ＝tan 60°＝3，2l k ＝3＋231＋2＝3，∴12l l k k ＝，∴l 1∥l 2.④l 1，l 2的斜率均不存在，∴l 1∥l 2.15．直线l 的倾斜角为30°，点P (2,1)在直线l 上，直线l 绕点P (2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l 1的位置，此时直线l 1与l 2平行，且l 2是线段AB 的垂直平分线，其中A (1，m －1)，B (m ，2)，则m ＝________.答案 4＋ 3解析 如图，直线l 1的倾斜角为30°＋30°＝60°，∴直线l 1的斜率k 1＝tan 60°＝ 3. 由l 1∥l 2知，直线l 2的斜率k 2＝k 1＝ 3. ∴直线AB 的斜率存在，且k AB ＝－1k 2＝－33.∴m －1－21－m ＝m －31－m ＝－33， 解得m ＝4＋ 3.16．已知△ABC 三个顶点坐标分别为A (－2，－4)，B (6,6)，C (0,6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．解 由斜率公式可得k AB ＝6－－46－－2＝54，k BC ＝6－66－0＝0，k AC ＝6－－40－－2＝5.由k BC ＝0知直线BC ∥x 轴，∴BC 边上的高线与x 轴垂直，其斜率不存在． 设AB ，AC 边上高线的斜率分别为k 1，k 2， 由k 1·k AB ＝－1，k 2·k AC ＝－1， 即k 1·54＝－1，k 2·5＝－1，解得k 1＝－45，k 2＝－15.∴BC 边上的高所在直线的斜率不存在；AB 边上的高所在直线的斜率为－45； AC 边上的高所在直线的斜率为－15.。
高考数学(人教a版,理科)题库：抛物线(含答案)
第6讲 抛物线一、选择题1．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，则实数a ＝( )A.52B.32 C ．－12 D ．－32解析 根据分析把抛物线方程化为x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a y ，则焦参数p ＝12－a ，故抛物线的准线方程是y ＝p 2＝12－a 2，则12－a2＝1，解得a ＝－32.答案 D 2．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，则p ＝( ) A.12 B ．1 C ．2D ．3解析 ∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为(p 2，0)在圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上，∴p 24＋p －3＝0，解得p ＝2或p ＝－6(舍去)． 答案 C3．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )． A.45B.35C ．－35D ．－45解析 由⎩⎨⎧y 2＝4xy ＝2x －4，得x 2－5x ＋4＝0，∴x ＝1或x ＝4.不妨设A (4,4)，B (1，－2)，则|F A →|＝5，|FB →|＝2，F A →·FB →＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →||FB →|＝－85×2＝－45.故选D. 答案 D4．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )．A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析 ∵x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴ba ＝ 3.x 2＝2py的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意，得p 21＋(3)2＝2，∴p ＝8.故C 2：x 2＝16y ，选D. 答案 D5．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )． A ．18 B ．24 C ．36 D ．48 解析 如图，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)． ∵当x ＝p2时，|y |＝p ，∴p ＝|AB |2＝122＝6. 又P 到AB 的距离始终为p ， ∴S △ABP ＝12×12×6＝36.答案 C6．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )． A. 3B. 5C ．2D.5－1解析 由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF|－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d＋|PF|的最小值为|2＋3|22＋(－1)2＝5，所以d＋|PF|－1的最小值为5－1.答案 D二、填空题7．已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.答案y2＝4x8．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝32|MN|，则∠NMF＝________.解析过N作准线的垂线，垂足是P，则有PN＝NF，∴PN＝32MN，∠NMF＝∠MNP.又cos∠MNP＝3 2，∴∠MNP＝π6，即∠NMF＝π6.答案π69．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py.由题意A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝6，故水面宽为26米．答案 2 610．过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.解析 设过抛物线焦点的直线为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，联立得，⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，整理得，k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0，x 1＋x 2＝k 2＋2k 2，x 1x 2＝14.|AB |＝x 1＋x 2＋1＝k 2＋2k 2＋1＝2512，得，k 2＝24，代入k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0得，12x 2－13x ＋3＝0，解之得x 1＝13，x 2＝34，又|AF |<|BF |，故|AF |＝x 1＋12＝56. 答案 56 三、解答题11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切． (1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型． 解 (1)由e ＝c a ＝1－b 2a 2＝33，得b a ＝63.又由原点到直线y ＝x ＋2的距离等于椭圆短半轴的长，得b ＝2，则a ＝ 3. (2)法一 由c ＝a 2－b 2＝1，得F 1(－1,0)，F 2(1,0)． 设M (x ，y )，则P (1，y )．由|MF 1|＝|MP |，得(x ＋1)2＋y 2＝(x －1)2，即y 2＝－4x ，所以所求的M 的轨迹方程为y 2＝－4x ，该曲线为抛物线．法二 因为点M 在线段PF 1的垂直平分线上，所以|MF 1|＝|MP |，即M 到F 1的距离等于M 到l 1的距离．此轨迹是以F 1(－1,0)为焦点，l 1：x ＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y 2＝－4x .12．已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (－1,0)的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，设AP →＝λAQ→. (1)若点P 关于x 轴的对称点为M ，求证：直线MQ 经过抛物线C 的焦点F ； (2)若λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，求|PQ |的最大值．思维启迪：(1)可利用向量共线证明直线MQ 过F ；(2)建立|PQ |和λ的关系，然后求最值．(1)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 1，－y 1)． ∵AP →＝λAQ →，∴x 1＋1＝λ(x 2＋1)，y 1＝λy 2，∴y 21＝λ2y 22，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1＝λ2x 2，∴λ2x 2＋1＝λ(x 2＋1)，λx 2(λ－1)＝λ－1， ∵λ≠1，∴x 2＝1λ，x 1＝λ，又F (1,0)， ∴MF →＝(1－x 1，y 1)＝(1－λ，λy 2) ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ－1，y 2＝λFQ →， ∴直线MQ 经过抛物线C 的焦点F . (2)由(1)知x 2＝1λ，x 1＝λ， 得x 1x 2＝1，y 21·y 22＝16x 1x 2＝16， ∵y 1y 2>0，∴y 1y 2＝4， 则|PQ |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝x 21＋x 22＋y 21＋y 22－2(x 1x 2＋y 1y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ－12 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ＋22－16， λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，λ＋1λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，103， 当λ＋1λ＝103，即λ＝13时，|PQ |2有最大值1129，|PQ |的最大值为473.13．设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F 为圆心，F A为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4 2，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．解(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|F A|＝2 p.由抛物线定义可知A到l的距离d＝|F A|＝2p.因为△ABD的面积为4 2，所以12|BD|·d＝4 2，即12·2p·2p＝4 2，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.由抛物线定义知|AD|＝|F A|＝12|AB|.所以∠ABD＝30°，m的斜率为33或－33.当m的斜率为33时，由已知可设n：y＝33x＋b，代入x2＝2py得x2－2 33px－2pb＝0.由于n与C只有一个公共点，故Δ＝43p2＋8pb＝0，解得b＝－p 6.因为m的纵截距b1＝p2，|b1||b|＝3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.14．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．解(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．∵点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.(2)设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB，则k PA＝y1－2x1－1(x1≠1)，k PB＝y2－2x2－1(x2≠1)，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA＝－k PB. 由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y21＝4x1，①y22＝4x2，②∴y1－214y21－1＝－y2－214y22－1，∴y1＋2＝－(y2＋2)．∴y1＋y2＝－4.由①－②得，y21－y22＝4(x1－x2)，∴k AB＝y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝－1(x1≠x2)．高考资源网（ ） 您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！（上海，甘肃，内蒙，新疆，陕西，山东，湖北）七地区试卷投稿QQ 2355394501。
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第2讲 圆的方程一、选择题1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )． A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析 AB 的中点坐标为：(0,0)， |AB |＝[1－－2＋－1－2＝22，∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2. 答案 A2．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是( )．A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定解析 将圆的一般方程化为标准方程(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，所以原点在圆外． 答案 B3．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( ) A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析 只要求出圆心关于直线的对称点，就是对称圆的圆心，两个圆的半径不变．设圆C 2的圆心为(a ，b )，则依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2，对称圆的半径不变，为1.答案 B4．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )．A ．(4,6)B ．[4,6)C ．(4,6]D ．[4,6] 解析 因为圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离为5，所以当半径r ＝4 时，圆上有1个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，当半径r ＝6时，圆上有3个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1时，4＜r ＜6. 答案 A5．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )． A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定解析 圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，0，即－m 2＋3＝0，∴m ＝6.答案 C6．圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3的圆与直线l ：x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，且满足OP →·OQ →＝0，则圆C 的方程为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －3)2＝52 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋3)2＝52 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝254D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋3)2＝254 解析 法一 ∵圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，∴设圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝r 2.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由圆方程与直线l 的方程联立得：5x 2＋10x ＋10－4r 2＝0，∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝10－4r 25. 由OP →·OQ →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即： 54x 1x 2－34(x 1＋x 2)＋94＝10－4r 24＋154＝0， 解得r 2＝254，经检验满足判别式Δ>0. 故圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝254.法二 ∵圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，∴设圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝r 2，在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝254，故选C. 答案 C 二、填空题7．过两点A (0,4)，B (4,6)，且圆心在直线x －2y －2＝0上的圆的标准方程是________．解析 设圆心坐标为(a ，b )，圆半径为r ，则圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， ∵圆心在直线x －2y －2＝0上，∴a －2b －2＝0，①又∵圆过两点A (0,4)，B (4,6)，∴(0－a )2＋(4－b )2＝r 2，②且(4－a )2＋(6－b )2＝r 2，③由①②③得：a ＝4，b ＝1，r ＝5， ∴圆的方程为(x －4)2＋(y －1)2＝25. 答案 (x －4)2＋(y －1)2＝258．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0,1)．P 是圆C 上的动点，当|PA |2＋|PB |2取最大值时，点P 的坐标是________．解析 设P (x 0，y 0)，则|PA |2＋|PB |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2，显然x 20＋y 20的最大值为(5＋1)2，∴d max ＝74，此时OP →＝－6PC →，结合点P 在圆上，解得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫185，245.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫185，2459．已知平面区域⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________．解析 由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又△OPQ 为直角三角形，故其圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径为|PQ |2＝5，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 答案 (x －2)2＋(y －1)2＝510．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (－1,0)，B (1,0)，点P 是圆上的动点，则d ＝|P A |2＋|PB |2的最大值为________，最小值为________．解析 设点P (x 0，y 0)，则d ＝(x 0＋1)2＋y 20＋(x 0－1)2＋y 20＝2(x 20＋y 20)＋2，欲求d 的最值，只需求u ＝x 20＋y 20的最值，即求圆C 上的点到原点的距离平方的最值．圆C 上的点到原点的距离的最大值为6，最小值为4，故d 的最大值为74，最小值为34. 答案 74 34 三、解答题11．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410. (1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解 (1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0. ①又直径|CD |＝410，∴|P A |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40，②由①②解得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－2. ∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)，∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.12．已知圆M 过两点C (1，－1)，D (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．解 (1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，根据题意得：⎩⎨⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0，解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)因为四边形P AMB 的面积S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM |·|P A |＋12|BM |·|PB |， 又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |， 而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4， 即S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可， 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小， 所以|PM |min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形P AMB 面积的最小值为S ＝2|PM |2min －4＝232－4＝2 5.13．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． (1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值．解(1)设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2， 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2， 令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，∴PQ →·MQ →＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2，所以PQ →·MQ→的最小值为－4. 14．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，此即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图， 由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ， 则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16， 当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值， |CQ |＝|5＋3|2＝42，此时|QM |的最小值为32－16＝4.高考资源网（ ） 您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！（上海，甘肃，内蒙，新疆，陕西，山东，湖北）七地区试卷投稿QQ 2355394501。