高考数学(人教a版,理科)题库：圆的方程(含答案)
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第2讲 圆的方程
一、选择题
1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )． A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1
D ．x 2＋y 2＝4
解析 AB 的中点坐标为：(0,0)， |AB |＝[1－
－
2
＋－1－
2
＝22，
∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2. 答案 A
2．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0 ( )． A ．原点在圆上 B ．原点在圆外 C ．原点在圆内 D ．不确定 解析 将圆的一般方程化为标准方程(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为00，所以原点在圆外． 答案 B 3．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( ) A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1 解析 只要求出圆心关于直线的对称点，就是对称圆的圆心，两个圆的半径不 变．设圆C 2 的圆心为(a ，b )，则依题意，有⎩⎪⎨ ⎪⎧ a －12－ b ＋12－1＝0， b －1a ＋1＝－1， 解得⎩⎨ ⎧ a ＝2， b ＝－2，对称圆的半径不变，为1. 答案 B 4．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )． A ．(4,6) B ．[4,6) C ．(4,6] D ．[4,6] 解析 因为圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离为5，所以当半径r ＝4 时，圆上有1个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，当半径r ＝6时，圆上有3个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1时，4＜r ＜6. 答案 A 5．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为 ( )． A ．8 B ．－4 C ．6 D ．无法确定 解析 圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫ －m 2，0，即－m 2＋3＝0，∴m ＝6. 答案 C 6．圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ －12，3的圆与直线l ：x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，O 为坐标原点， 且满足OP →·OQ →＝0，则圆C 的方程为 ( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122 ＋(y －3)2＝52 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122 ＋(y ＋3)2＝52 C.⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x ＋122 ＋(y －3)2＝254 D.⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x ＋122 ＋(y ＋3)2＝254 解析 法一 ∵圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ －12，3， ∴设圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫ x ＋122＋(y －3)2＝r 2. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 由圆方程与直线l 的方程联立得：5x 2＋10x ＋10－4r 2＝0， ∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝10－4r 2 5. 由OP →·OQ →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即： 54x 1x 2－34(x 1＋x 2)＋ 94＝10－4r 2 4＋154＝0， 解得r 2＝25 4，经检验满足判别式Δ>0. 故圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫ x ＋122＋(y －3)2＝254. 法二 ∵圆心为C ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ －12，3， ∴设圆的方程为⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ x ＋122＋(y －3)2＝r 2， 在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的，即⎝ ⎛⎭⎪⎫ x ＋122＋(y －3)2 ＝25 4，故选C. 答案 C 二、填空题 7．过两点A (0,4)，B (4,6)，且圆心在直线x －2y －2＝0上的圆的标准方程是________． 解析 设圆心坐标为(a ，b )，圆半径为r ，则圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， ∵圆心在直线x －2y －2＝0上，∴a －2b －2＝0，① 又∵圆过两点A (0,4)，B (4,6)，∴(0－a )2＋(4－b )2＝r 2，②且(4－a )2＋(6－ b )2＝r 2，③ 由①②③得：a ＝4，b ＝1，r ＝5， ∴圆的方程为(x －4)2＋(y －1)2＝25. 答案 (x －4)2＋(y －1)2＝25 8．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0,1)．P 是圆C 上的动点，当|PA |2＋|PB |2取最大值时，点P 的坐标是________． 解析 设P (x 0，y 0)，则|PA |2＋|PB |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20) ＋2， 显然x 20＋y 20的最大值为(5＋1)2，