2009上海各区县高三第二次质量调研数学试卷(理)：【青浦】
(推荐)上海市闵行区高三下学期质量调研考试数学理含答案
上海市闵行区2009学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（理科）考生注意： 编辑：刘彦利 1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考号、姓名等填写清楚． 2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内 直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若2ia bi i+=+（i 为虚数单位，a b ∈R 、），则a b += . 2．A 、B 是两个随机事件，()0.34P A =，()0.32P B =，()0.31P AB =，则()P A B = .3．方程1111900193xx=-的解为 . 4．6(21)x +展开式中2x 的系数为 .5．某区有200名学生参加数学竞赛，随机抽取10名学生成绩如下：）.6．已知球O 的半径为R ，一平面截球所得的截面面积为4π，球心 O 的体积等于 . 7．根据右面的程序框图，写出它所执行的内容： . 8．已知函数()200.618x f x x =⨯-的零点()0,1,x k k k ∈+∈Z ， 则k = .9．设等差数列{}n a 的前n 项之和n S 满足40510=-S S ， 那么 =8a .ABCD EF10．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+==ty tx 2（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为)4πρθ=+，则圆C 的圆心到直线l 的距离是 .11．定义：关于x 的两个不等式()0<x f 和()0<x g 的解集分别为()b a ,和⎪⎭⎫ ⎝⎛a b 11，，则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式022cos 342<+-θx x 与不等式012sin 422<++θx x 为对偶不等式，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则=θ .12．已知5是方程()f x x k +=（k 是实常数）的一个根，1()fx -是()f x 的反函数，则方程1()f x x k -+=必有一根是 .13．函数()x bf x x a+=-在()2,-+∞上是增函数的一个充分非必要条件是 . 14．对于自然数n (2)n ≥的正整数次幂，可以如下分解为n 个自然数的和的形式：23423417251372,2,2,,33,39,327,35951129⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎩⎩⎩⎪⎪⎪⎩⎩⎩231355,579⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩,⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩仿此，3k *(,2)k k ∈≥N 的分解中的最大数为 .二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得4分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不能错位. 15．如图，已知正六边形ABCDEF ，下列向量的数量积中最大的是 [答]（ ）(A) AB AC ⋅.(B) AB AD ⋅. (C) AB AE ⋅. (D) AB AF ⋅.16．已知ABC △中，AC =2BC =，则角A 的取值范围是 [答]（ ）(A),63ππ⎛⎫⎪⎝⎭. (B) 0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. (C) ,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. (D) 0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 17．数列{}n a 中，已知12a =-，21a =-，31a =，若对任意正整数n ，有321321+++++++++=n n n n n n n n a a a a a a a a ，且1321≠+++n n n a a a ，则该数列的前2010 项和2010S = [答]（ ）(A) 2010. (B) 2011-. (C) 2010-. (D) 2008-.18．设点()y x P ,是曲线11692522=+y x 上的点，又点)12,0(),12,0(21F F -，下列结论正确的是 [答]（ ） (A) 2621=+PF PF . (B) 2621<+PF PF . (C) 2621≤+PF PF . (D) 2621>+PF PF .三. 解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域内写出必要的步骤．19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知函数()2sin 2cos 6f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）若54sin =x ，求函数)(x f 的值； （2）求函数)(x f 的值域.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．如图,在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ︒∠=，PA 垂直于底面ABCD ，22PA AD AB BC ====，M N 、分别为PC PB 、的中点. （1）求证：AM PB ⊥；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角.A BC DN MP21.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆环面为第1区、50米至100米的圆环面为第2区、……、第50(1)n -米至50n 米的圆环面为第n 区，…，现测得第1区火山灰平均每平方米为1000千克、第2区每平方米的平均重量较第1区减少2%、第3区较第2区又减少2%，以此类推，求：（1）离火山口1225米处的圆环面平均每平方米火山灰重量(结果精确到1千克)？ （2）第几区内的火山灰总重量最大？22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分、第3小题满分6分．设12x x ∈R 、，常数0a >，定义运算“⊕”：21212()x x x x ⊕=+，定义运算“⊗”：21212()x x x x ⊗=- ；对于两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，定义()d AB =(1)若0x ≥，求动点(,P x 的轨迹C ； (2)已知直线11:12l y x =+与(1)中轨迹C 交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，若，试求a 的值；(3)在(2)中条件下，若直线2l 不过原点且与y 轴交于点S ，与x 轴交于点T ，并且与(1)中轨迹C 交于不同两点P 、Q , 试求|()||()||()||()|d ST d ST d SP d SQ +的取值范围．23.（本题满分18分）（理）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知函数()31122log ,(,),(,)1f x M x y N x y x =-是()x f 图像上的两点，横坐标为21的点P 满足2OP OM ON =+（O 为坐标原点）. （1）求证：12y y +为定值； （2）若121n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭*(2)n n ∈≥N ，，求1149lim 49n n n n S S S S n ++→∞-+的值； （3）在(2)的条件下，若()()111612411n n n n a n S S +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥++⎪⎩，，，，*()n ∈N ，n T 为数列{}n a 的前n 项和，若()11n n T m S +<+对一切*n ∈N 都成立，试求实数m 的取值范围.闵行区2009学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一、填空题：（每题4分） 1.-1； 2.0.35； 3.2； 4. 60； 5.17.64； 6.36π； 7.2221352009++++； 8.3； 9.8； 10.理22；文（0，2）11.56π； 12. 理5k -；文（-2，4）； 13.理符合0a b +<且2a ≤-的一个特例均可；文符合4a ≥-的一个特例均可； 14.理21k k +-；文29.二、选择题：（每题4分）15. A ； 16. D ； 17. B ； 18. C三、解答题：19.（本题满分14分）理:（1）43sin ,,,cos 525x x x ππ⎡⎤=∈∴=-⎢⎥⎣⎦（2分）x xx x f cos 2cos21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（4分）3cos 5x x -= （8分） （2）⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin 2)(πx x f （10分）ππ≤≤x 2，6563πππ≤-≤∴x （12分）16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ， ∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[. （14分） 文:设z a bi =+(,)a b ∈R (2分)因为(2)(2)(2)i z a b a b i +=-++为纯虚数 (5分)所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-≠+=-4)2(020222b a b a b a （9分）解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5854b a （12分） 故复数i z 5854+= （14分）20.（本题满分14分）理:解法一：（1）以A 点为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -（图略）,由22====BC AB AD PA 得(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(2,0,0)B ，1(1,,1)2M (0,2,0)D （2分）因为1(2,0,2)(1,,1)02PB AM ⋅=-⋅= （5分） 所以AM PB ⊥. （7分） （2）因为 (2,0,2)(0,2,0)PB AD ⋅=-⋅0=，所以PB AD ⊥，又AM PB ⊥， 故PB ⊥平面ADMN ，即(2,0,2)PB =-是平面ADMN 的法向量.（9分） 设BD 与平面ADMN 所成的角为θ，又(2,2,0)BD =-,设BD 与PB 夹角为α， 则1sin cos 28BD PB BD PBθα⋅-====⋅， （12分） 又[0,]2πθ∈，故6πθ=，故BD 与平面ADMN 所成的角是6π. （14分） 解法二：（1）证明：因为N 是PB 的中点，AB PA =， 所以PB AN ⊥ （2分）由PA ⊥底面ABCD ，得PA AD ⊥，又90BAD ︒∠=，即BA AD ⊥，∴⊥AD 平面PAB ，AD PB ∴⊥ （4分） PB ∴⊥面ADMN ，PB AM ∴⊥ （7分）（2）联结DN ,BP ⊥平面ADMN，故BDN ∠为BD 与面ADMN 所成角（9分）在Rt ABD ∆中，BD==， 在Rt PAB ∆中，PB ==12BN PB == 在Rt BDN ∆中, 21sin ==∠BD BN BDN ，又π≤∠≤BDN 0， （12分） 故BD 与平面ADMN 所成的角是6π（14分）文（同理19题）21.（本题满分16分）（1）设第n 区每平方米的重量为n a 千克，则111000(12%)10000.98n n n a --=-=⨯ （2分） 第1225米位于第25区， （4分） 242510000.98616a ∴=⨯=(千克)故第1225米处每平方米火山灰约重616千克（6分）（2）设第n 区内的面积为n b 平方米，则22225050(1)2500(21)n b n n n πππ=--=-则第n 区内火山灰的总重量为512510(21)0.98n n n n C a b n π-==⨯-⨯（千克）（9分）设第n 区火山灰总重量最大，则51525152510(21)0.982510(23)0.982510(21)0.982510(21)0.98n n n nn n n n ππππ---⎧⨯-⨯≥⨯-⨯⎪⎨⨯-⨯≥⨯+⨯⎪⎩， （13分）解得49.550.5n ≤≤，即得第50区火山灰的总重量最大. （16分） 22.（本题满分16分）（理）(1)设y ,则2()()y x a x a =⊕-⊗22()()4x a x a ax =+--= （2分）又由y ≥0可得P (x)的轨迹方程为24(0)y ax y =≥，轨迹C 为顶点在原点，焦点为(,0)a 的抛物线在x 轴上及第一象限的内的部分 （4分）(2) 由已知可得24112y axy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ , 整理得2(416)40x a x +-+=, 由2(416)160a ∆=--≥ ,得102a a ≥≤或．∵0a >，∴12a ≥ （6分）=====（8分） 解得2a =或32a =-(舍) ；2a ∴= （10分） (3)∵12()||d AB y y ==-∴|()||()||||||()||()|||||d ST d ST ST ST d SP d SQ SP SQ +=+（12分）设直线2:l x my c =+,依题意0m ≠,0c ≠，则(,0)T c ,分别过P 、Q 作PP 1⊥y 轴，QQ 1⊥y 轴，垂足分别为P 1、Q 1，则=+||||||||SQ ST SP ST 11||||||||||||||||P QOT OT c c PP QQ x x +=+．由28y x x my c⎧=⎨=+⎩消去y 得222(28)0x c m x c -++= ∴||||11||()||||||||P Q ST ST c SP SQ x x +=+≥2||c2||2c ==． （14分） ∵P x 、Q x 取不相等的正数，∴取等的条件不成立 ∴|()||()||()||()|d ST d ST d SP d SQ +的取值范围是（2，+∞）． （16分）（文）解：（1）设AB 所在直线的方程为y x m =+由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246340x mx m ++-=． （2分） 因为A B 、在椭圆上，所以212640m ∆=-+>．334334<<-m 设A B 、两点坐标分别为1122()()x y x y ，、，，中点为),(00y x P 则1232m x x +=-， 034x m -=，00003134x x x y -=-=所以中点轨迹方程为13(32y x x x =-<<≠-）（4分） （2）AB l //，且AB 边通过点(00)，，故AB 所在直线的方程为y x =． 此时0m =，由（1）可得1x =±，所以12AB x =-= （6分） 又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l的距离，所以h =（8分）122ABC S AB h =⋅=△． （10分） （3）由（1）得1232mx x +=-，212344m x x -=，所以12AB x =-=． （12分）又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l的距离，即BC =（14分）所以22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++． 所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>）此时AB 所在直线的方程为1y x =-． （16分） 23.（本题满分18分）（理）（1）证明：由已知可得，1()2OP OM ON =+，所以P 是MN 的中点，有 121x x +=,12123312log log 11y y x x ∴+=+--12312123log 11()x x x x x x ==-++（4分） （2）由（1）知当121x x +=时，1212()() 1.y y f x f x +=+= 121()()()n n S f f f n nn -=++① 121()()()n n S f f f n n n-=+++ ②①+②得12n n S -=（6分） 111149231lim lim 49233n n n n S S n n S S n n n n ++--→∞→∞--==-++ （10分）（3）当2n ≥时， 111.1212422n a n n n n ==-++++⨯⋅又当1n =时，11,6a =所以1112n a n n =-++ （12分） 故111111()()()2334122(2)n nT n n n =-+-++-=+++ （14分） 1(1)n n T m S +<+对一切*n ∈N 都成立，即211(2)n n T nm S n +>=++恒成立（16分）又2114(2)84n n n n=≤+++，所以m 的取值范围是1(,)8+∞ （18分） （文）（1）122nn n a a +=+，11122n nn n a a +-=+， （2分） 11n n b b +=+， 故{}n b 为等差数列，11b =，n b n =. （4分）（2）由（1）可得12n n a n -=（6分） 12102232221-⋅+⋅+⋅+⋅=n n n Sn n n n n S 22)1(23222121321⋅+⋅-+⋅+⋅+⋅=-两式相减，得nn n n n n n S 212222221210⋅--=⋅-+++=-- ，即12)1(+-=nn n S （8分） 11(1)211lim lim 222n n n n n n S n n n ++→∞→∞-+∴==⋅⋅ （10分）（3）由（1）可得2n T n =，（12分） ∴21441n n n n n T d a T ==--， 1231123111()()041n n n n n d d d d d d d d d d ++++++++-++++==>-∴123{}n d d d d ++++单调递增，即123113n d d d d d ++++≥=， （14分）要使1238log (2)n d d d d m t ++++≥+对任意正整数n 成立，必须且只需81log (2)3m t ≥+，即022m t <+≤对任意[1 2]m ∈，恒成立. （16分） ∴[2 4](0 2]t t ++⊆，，，即 202242t t t +>⎧⇒-<≤-⎨+≤⎩矛盾.∴满足条件的实数t 不存在. （18分）（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
2009上海数学调研卷(理)
2009年上海市高三数学教学调研试卷（理科）班级 姓名 学号 成绩 一、填空题：1．方程2log (31)3x -=的解是 。
2．行列式123234345的元素5的代数余子式的值为 。
3．若直线l 过点(1,2)A ，且它的一个方向向量为(1,2)d =， 则直线l 的方程为 。
4．若复数Z 满足Z =，且(13)i Z -是纯虚数， 则复数Z = 。
5．函数()sin 2f x x x =的最小正周期是 。
6．如果()na b +的二项展开式中的第三项与第二项的系数之比为2， （第8题图） 那么正整数n = 。
7．若函数()112x f x =-的反函数是()1f x -，则()11f -的值是 。
8．如果执行右面的程序框图，那么输出的S 的值是 。
9．计算：()()()()123lim()1111n nn n n n n n n n →∞++++=++++ 。
10．若正三角形ABC 的边长为1，O 是ABC ∆所在平面内的任意一点，则2OA OB OC +-= 。
11．如图，圆锥形量杯的口径（圆锥底面的直径）为d ，高为h ，则圆锥形量杯侧面上刻度V （容积）与页面深度x 的函数关系为 。
12．在极坐标系中，若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于,A B 两点 ， 则AB = 。
13．在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽取一件，且不放回抽取，抽到次品的数学期望E ξ的值是 。
14．已知函数()24(1)3(0)f x ax a x a =+-+>的定义域为[]0,2，若()()max 2f x f =，则实数a 的取值范围是 。
二、选择题：15．圆心在直线y x =上，且与x 轴相切于点()1,0的圆的方程为┄┄┄┄┄┄（ ）.A ()()22111x y -+-= ； .B ()()22111x y +++=； .C ()()22111x y -++=； .D ()()22111x y ++-=16．若,,a b c R ∈，则a b >成立的充分非必要条件为┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（ ）.A 22ac bc > ； .B a c b c +>+； .C a c <且c b <； .D ac bc >17．在直角坐标平面xOy 上，已知点(3,2)A ，点B 在椭圆221168x y +=上运动，动点P 满足AB BP =，那么点P 的轨迹方程是┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（ ）.A()()223213216x y +++= ； .B()()223216432x y +++=；.C()()223213216x y --+= ； .D()()223216432x y --+=18．已知x 是1,2,3,,5,6,7x 这七个数据的中位数，且21,3,,x y -这四个数据的平均数为1，那么1y x -的最小值是┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（ ） .A 4255； .B 3155； .C 283； .D 不存在三 、解答题：19．（本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分）在直三棱柱111A B C ABC -中，AC BC ⊥，D 为AB 中点，11.CB AC AA ===（1）棱锥1C CDB -的体积； （2）二面角1A AC D --的大小20．（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分） 已知函数()2af x x x=+（a 为常数）的图像经过点()1,3。
2009届上海市普陀区第二学期高三年级质量调研(理数,四月)
上海市普陀区2008学年度第二学期高三年级质量调研 数学试卷 （理科） 2009.04说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟。
本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须．．写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
一、填空题（本大题满分55分）本大题共有11小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得5分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1．若复数2z i i =+（i 是虚数单位），则||z = . 2. 已知函数)10(log 1)(≠>+=a a x x f a 且 ，)(1x f -是)(x f 的反函数，若)(1x f y -=的图像过点(3,4)，则a = .3. 用金属薄板制作一个直径为0.2米，长为3米的圆柱形通风管.若不计损耗，则需要原材料 平方米（保留3位小数）.4. 设1e 、2e 是平面内一组基向量，且122a e e =+、12b e e =-+，则向量12e e +可以表示为另一组基向量a 、b 的线性组合，即12e e += a + b .5. 右图是某算法的程序框图，该算法可表示分段函数，则其输出结果所表示的分段函数为()f x = .6. 关于x 、y 的二元线性方程组⎩⎨⎧=-=+2352y nx my x 的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110301，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛n m .7. 在极坐标系中，设曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=相交于点A 、B ，则AB ＝ .8. 设联结双曲线22221x y a b -=与22221y x b a-=（0a >，0b >）的4个顶点的四边形面积为1S ，联结其4个焦点的四边形面积为2S ，则12S S 的最大值为 . 9.将函数sin ()cos xf x x=的图像向左平移a （0a >）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则a 的最小值为 .10. 园丁要用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图所示圆形花坛的四块区域. 要求同一区域内须用同一种颜色的鲜花，相邻区域须用不同颜色的鲜花. 设花圃中布置红色鲜花的区域数量为ξ，则随机变量ξ的数学期望E ξ= .11. 已知数列{}n a 是首项为a 、公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1n n na b a +=.若对任意的*N n ∈,都有8n b b ≥成立,则实数a 的取值范围是 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.12. 以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程10121011xy =的一个法向量的是（ ）A ． ()1,2n =-； B. ()2,1n =-； C. ()1,2n =--; D. ()2,1n =. 13. 设数列{}n a 的首项11=a 且前n 项和为n S .已知向量()1,n a a =，11,2n b a +⎛⎫= ⎪⎝⎭满足a b⊥，则=∞→n n S lim（ ）A.12； B. 1-; C. 23; D. 32. 14. 在△ABC 中，“C B A sin sin 2cos =”是“△ABC 为钝角三角形”的 （ ）A ．必要非充分条件；B ．充分非必要条件；C ．充要条件；D ．既非充分又非必要条件.15. 现有两个命题：（1） 若lg lg lg()x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ； （2） 若函数()1xf x x =-，()1,x ∈+∞的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q ；则以下集合关系正确的是 （ ） A ． P Q Ü； B. Q P Ü； C. P Q =； D. PQ =∅.第10题图三、解答题（本大题满分79分）本大题共有6题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.16. （本题满分12分）过抛物线24y x =的焦点F 且方向向量为()1,2d =的直线l 交该抛物线于A 、B 两点，求OA OB ⋅的值.17. （本题满分14分） 已知复数1cos z x i =+，21sin z x i =+⋅（i 是虚数单位），且12z z -=当实数()2,2x ππ∈-时，试用列举法表示满足条件的x 的取值集合P .18. （本题满分15分，第1小题6分，第2小题9分）若*N n ∈，(1nn n b +=+（n a 、n b Z ∈）.(1) 求55a b +的值；（2）求证：数列{}n b 各项均为奇数.19. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD 是矩形，其中2AB =米，0.5BC =米.上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD的中点.EMN △是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆（MN 和AB DC 、不重合）. （1）当MN 和AB 之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN 的通风面积； （2）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将三角通风窗EMN 的通风面积S （平方米）表示成关于x 的函数()S f x =；（3）当MN 与AB 之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN 的通风面积最大？并求出这个最大面积.C D NC20. （本题满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，其中DA AB ⊥，//AD BC . 22PA AD BC ===，AB =（1） 求异面直线PC 与AD 所成角的大小；（2） 若平面ABCD 内有一经过点C 的曲线E ，该曲线上的任一动点Q 都满足PQ 与AD 所成角的大小恰等于PC 与AD 所成角. 试判断曲线E 的形状并说明理由；（3）在平面ABCD 内，设点Q 是（2）题中的曲线E 在直角梯形ABCD 内部（包括边界）的一段曲线CG 上的动点，其中G 为曲线E 和DC 的交点. 以B 为圆心，BQ 为半径的圆分别与梯形的边AB 、BC 交于M 、N 两点. 当Q 点在曲线段GC 上运动时，试提出一个研究有关四面体P BMN -的问题（如体积、线面、面面关系等）并尝试解决.【说明：本小题将根据你提出的问题的质量和解决难度分层评分；本小题的计算结果可以使用近似值，保留3位小数】上海市普陀区2008学年度第二学期高三年级质量调研数学试卷参考答案及评分标准（文理科） 2009.04一、填空题（每题5分，理科总分55分、文科总分60分）：2. 理：2；文：()(),12,-∞+∞； 3. 理：1.885；文：2；4. 理：21,33-；文：1.885；5. 理：1,00,01,0x x x >⎧⎪=⎨⎪-<⎩；文：4； 6. 理：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-351；文：21,33-；AB CD P 第20题图7.理：1,00,01,0x x x >⎧⎪=⎨⎪-<⎩； 8. 理：12；文：6； 9. 理：56p ；文：112；10. 理：1； 文：12； 11. 理：()8,7--；文：56p ； 12. 文：()8,7--；二、选择题（每题4分，总分16分）：（文，满分12分）n a 是公比2q =-的等比数列(2()552⎤(2(1n n C-+()2+)(C++22(2均能被2整除，于是各项均为奇数.S=EMN如图（如图（当当2OP =OF = 15x =轴不垂直时，设直线l 的方程为(k =综上可知，在x轴上存在定点4PC AD PC AD⋅==⋅3π.PQ AD PQ AD ⋅=±⋅⋅42y x y ⇔=±++， 223y x -=BMN S . 39BMN BMN S S =∈⎢⎣，可得平面PMN 可知，向量()0,0,2PA =-是平面于是向量PA 和n 2r -。
静安杨浦青浦宝山二模卷答案
静安区2009学年高三年级第二学期教学质量检测参考答案1-10：DCACD DBCBA11-20：CDBBB ACBCD21-30：DCBDD BDADC31.（1）（图一）埃及；金字塔（图二）中国；秦始皇陵兵马俑坑（图三）希腊；帕特农神庙（2）共同特征：中央集权体制；高超的建筑、雕塑或工艺等水平；国家强大的经济、军事实力；灵魂不死等宗教观念等；（3）答案1：区分研究对象，判断其史料价值。
答案2：一手材料或实物史料或考古材料。
答案3：其他。
32.（1）答案1：符合要求，完整表达。
法家主张的君主集权制度。
答案2：回答不完整。
如“法家思想”或“君主专制”等。
答案3：其他。
（2）答案1：回答符合题意，运用知识准确。
汉代大儒董仲舒系统提出“天人感应”之说，在政治上倡导“君权神授”；以“大一统”主张建议武帝“罢黜百家，独尊儒术”，以思想上的一统维护政治上的统一；同时在伦理上强调“三纲五常”。
这些主张和建议顺应了汉武帝加强中央集权的需要而被采纳，儒家思想成为官方意识形态，儒家伦理成为封建统治合法的精神支柱。
答案2：回答与题意要求不符。
如汉代皇帝神化自己等。
答案3：其他。
（3）相似之处：答案1：回答符合题意，表述准确。
中央政府三部门都有明确的分工，并相互牵制。
答案2：回答不符题意。
如中央政府都有三个部门等。
答案3：其他。
评论：答案1：回答符合题目要求，所运用的知识准确，分别完整评论。
如表一内容，虽然三省分工明确，且相互有牵制作用，避免了大臣擅权；但三省长官均为宰相，分散了相权，事实上进一步增强了皇权，所以本质上是皇权增强的体现。
（或：表一内容虽然是皇权增强的结果，但这一制度若能严格执行，皇权也会受到一定限制，在封建时代能够做到这一点也是值得肯定的。
）表二内容是按照三权分立、相互制衡原则确立的资产阶级民主政治方式，无论总统、国会或高等法院，任何部门都没有绝对的权力。
答案2：所用知识与材料和问题要求联系不紧密，分析不细致。
2009届二模金山区高考数学理
上海市金山区2008-2009学年第二学期高三质量测试数学试卷(理)(满分：150分，完卷时间：120分钟)一、填空题(本大题有12小题，每小题5分，共计60分) 1、函数y = sin2x 的最小正周期是 。
2、函数y=lg(x 2–2x +4)的单调递减区间是 。
3、函数f (x )＝2x +1(x ≥1)的反函数f –1(x )= 。
4、已知f (x )为奇函数，且当x >0时f (x )=x (x –1)，则f (–3)= 。
5、关于x 的不等式：xx x 1<2的解是 。
6、计算：11131)1(913112141211lim ---∞→-+++-++++n n n n = 。
7、如果(x +x1)n (n ∈N *)展开式中各项系数的和等于32，则展开式中第3项是 。
8、已知直线l 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 232211(t 为参数)，则直线l 的倾斜角的大小为 。
9、设地球的半径约为6371千米，在赤道圈上有两点A 、B ，这两点的经度差为120o ，则A 、B 两点的球面距离是 (千米)。
(计算结果精确到1千米)10、有一种叫做“天天彩”的彩票，每注售价2元，中奖的概率为1%，如果每注奖的奖金为50元，那么购买一注彩票的期望收益是 (元)。
11、在下列命题中：(1) 函数y =tan x 在定义域内单调递增；(2)函数y=sin x +arcsin x 的最大值为2π+sin1；(3) 函数y=arccos x –2π是偶函数。
其中所有错误．．．．的命题序号是 。
12、把数列{a n }的所有项按照从小到大的原则写成如图所示的数表：其中，a n =2n –1，且第k 行有12-k 个数，第t 行的第s个数(从左数起)记为A (t , s )，则A (8,18)= 。
二、选择题(本大题有4题，每题4分，共计16分)13 57 9 11 1315 17 19 21……29 …………第12题理科图 13 57 9 11 13 15 17 19 …………第12题文科图13、算法的三种基本结构是…………………………………………………………( ) (A)顺序结构、模块结构、条件结构 (B)顺序结构、循环结构、模块结构 (C)顺序结构、条件结构、循环结构 (D)模块结构、条件结构、循环结构 14、用数学归纳法证明1–21+31–41+…+121-n –n 21=11+n +21+n +…+n 21(n ∈N *)，则从“n =k 到n =k ＋1”，左边所要添加的项是………………………………………………( ) (A)121+k (B)121+k –421+k (C) –)1(21+k (D) 121+k –)1(21+k 15、极坐标方程：ρ = 2cos θ表示的曲线是…………………………………………( ) (A)经过点(1,0)且垂直极轴的直线 (B)圆心为(1, 0)，半径为1的圆 (C)圆心为(1,2π)，半径为1的圆 (D)经过点(1, 2π)且平行极轴的直线 16、函数y =|1||ln |--x e x 的大致图象是………………………………………………( )三、解答题（本大题有5个小题，共计74分） 17、(本题12分)已知复数z 0＝12+a +a i 和z ＝z 0–|z 0|+1–(1+2)i ，i 为虚数单位，a 为实数。
2009年上海各区二模试卷压轴题部分
2009年上海各区二模试卷压轴题部分： 徐汇区：24．（本题满分12分）如图，抛物线c bx ax y ++=2与y 轴正半轴交于点C ，与x 轴交于点），（、04)0,1(B A ，OBC OCA ∠=∠． （1）求抛物线的解析式； （3分）（2）在直角坐标平面内确定点M ，使得以点C B A M 、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M 的坐标； （3分） （3）如果⊙P 过点C B A 、、三点，求圆心P 的坐标． （6分）25．（本题满分14分）如图，ABC ∆中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以 点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长； （3分）（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时，求BE 的长； （5分） （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． （6分）ABC D E F A B C D （备用图）杨浦区：24．已知在直角坐标系中，点A 的坐标是（-3，1），将线段OA 绕着点O 顺时针旋转90°得到OB .(1)求点B 的坐标； (2)求过A 、B 、O 三点的抛物线的解析式；(3)设点B 关于抛物线的对称轴 的对称点为C ，求△ABC25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题8分，第（3）小题3分）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 作PF AE⊥于F ，设PA x =．（1）求证：PFA ABE △∽△；（2）若以P F E ，，为顶点的三角形也与ABE △相似，试求x 的值；（3）试求当x 取何值时，以D 为圆心，DP 为半径的⊙D 与线段AE 只有一个公共点。
青浦区：24．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，直线b kx y +=分别与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，⊙P 经过点A 、点B （圆心P 在x 轴负半轴上），已知AB=10，425=AP . （1）求点P 到直线AB 的距离； （2）求直线b kx y +=的解析式；（3）在⊙P 上是否存在点Q ，使以A 、P 、B 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．25. （本题满分14分）如图，正方形ABCD 的边长为8厘米，动点P 从点A 出发沿AB 边由A向B 以1厘米/秒的速度匀速移动（点P 不与点A 、B 重合），动点Q 从点B 出发沿折线BC-CD以2厘米/秒的速度匀速移动.点P 、Q 同时出发，当点P 停止运动，点Q 也随之停止．联结AQ ，交BD 于点E.设点P 运动时间为x 秒.（1）当点Q 在线段BC 上运动时，点P 出发多少时间后，∠BEP 和∠BEQ 相等； （2）当点Q 在线段BC 上运动时，求证：∆BQE 的面积是∆APE 的面积的2倍；（3）设APE ∆的面积为y ，试求出y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域.普陀区：24. 已知：如图所示，点P 是⊙O 外的一点，PB 与⊙O 相交于点A 、B ，PD 与⊙O 相 交于C 、D ，AB=CD . 求证：（1）PO 平分∠BPD ；（2）P A=PC ；（3） AE EC=.25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O点A 、C 的坐标分别为（2，0）、（1，33将△AOC 绕AC 的中点旋转180°，点O 落到点B 的位置，抛物线x ax y 322-=备用图备用图O DC PA B第24题E点A ，点D 是该抛物线的顶点.（1）求证：四边形ABCO 是平行四边形； （2）求a 的值并说明点B 在抛物线上；（3）若点P 是线段OA 上一点，且∠APD=∠OAB ，求点P 的坐标；(4) 若点P 是x 轴上一点，以P 、A 、D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y 轴 上，写出点P 的坐标.浦东新区：24．（本题满分12分）已知一次函数m x y +-=21的图像经过点A （-2，3），并与x 轴相交于点B ，二次函数22-+=bx ax y 的图像经过点A 和点B ．（1）分别求这两个函数的解析式；（2）如果将二次函数的图像沿y 轴的正方向平移，平移后的图像与一次函数的图像相交于点P ，与y 轴相交于点Q ，当PQ ∥x 轴时，试问二次函数的图像平移了几个单位．25．（本题满分14分）如图，已知AB ⊥MN ，垂足为点B ，P 是射线BN 上的一个动点，AC ⊥AP ，∠ACP =∠BAP ，AB =4，BP =x ，CP =y ，点C 到MN 的距离为线段CD 的长．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域．（2）在点P 的运动过程中，点C 到MN 的距离是否会发生变化？如果发生变化，请用xAB P D CNM的代数式表示这段距离；如果不发生变化，请求出这段距离．（3）如果圆C 与直线MN 相切，且与以BP 为半径的圆P 也相切，求BP ∶PD 的值．闸北区：24．（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）新知中学初三年级准备购买10只米奇品牌的笔袋，每只笔袋配x (x ≥3)支水笔作为奖品，已知A B ，两家超市都有这个牌子的笔袋和水笔出售，而且每只笔袋的标价都为20元，每支水笔的标价都为1元，现两家超市正在促销，A 超市所有商品均打九折销售，而B 超市买1只笔袋送3支水笔，若仅考虑购买笔袋和水笔的费用，请解答下列问题：（1）如果只在某一家超市购买所需笔袋和水笔，那么去A 超市还是B 超市买更合算？ （2）当12x 时，请设计最省钱的购买方案．25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分7分，第(3)小题满分3分）如图九，△ABC 中，AB=5，AC=3，cosA=310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B重合），作DE//BC 交射线CA 于点E.．(1) 若CE =x ，BD =y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度； (3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．（B （图九）B （备用图一）南汇区：24．（本题满分12分，每小题满分各6分）如图①，在锐角⊿ABC 中，BC>AB>AC ，D 和E 分别是BC 和AB 上的动点，联结AD ，DE .(1) 当D 、E 运动时，在图②中画出仅有一组三角形相似的图形；在图③中画出仅有两组三角形相似的图形；在图④中画出仅有三组三角形相似的图形.（要求在图中标出相等的角，并写出相似的三角形）(2) 设BC =9，AB =8，AC =6，就图③求出DE 的长.（直接应用相似结论）B CABC ABC ABCAD E第24题图②③④①25．（本题满分14分，第（1）小题满分2分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分8分）如图所示，抛物线()23m x y --=(m >0)的顶点为A ，直线l ：m x y -=33与y 轴交点为B .（1）写出抛物线的对称轴及顶点A 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）证明点A 在直线l 上，并求∠OAB 的度数； （3）动点Q 在抛物线对称轴上，问抛物线上是否存在点P ，使以点P 、Q 、A 为顶点的三角形与⊿OAB 全等？若存在，求出m 的值，并写出所有符合上述条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由.- m卢湾区：24．（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线22y x =沿y 轴向上平移1个单位，再沿x 轴向右平移两个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A ，直线3x =与平移后的抛物线相交于B ，与直线OA 相交于C ． （1）求△ABC 面积；（2）点P 在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP 与△ABC 相似，求所有满足条件的P 点坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分）在等腰△ABC 中，已知AB =AC =3，1cos 3B ∠=，D 为AB 上一点，过点D 作DE ⊥AB 交BC边于点E ，过点E 作EF ⊥BC 交AC 边于点F ．（1）当BD 长为何值时，以点F 为圆心，线段FA 为半径的圆与BC 边相切？（2）过点F 作FP ⊥AC ，与线段DE 交于点G ，设BD 长为x ，△EFG 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式及其定义域．24题图静安区：24．（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）已知：如图6，点A （–2，–6）在反比例函数的图像上，如果点B 也在此反比例函数图像上，直线AB 与 y 轴相交于点C ，且BC =2AC ．(1) 求点B 的坐标；(2) 如果二次函数92-+=bx ax y 的图像经过A 、B 两点，求此二次函数的解析式.25．(本题满分14分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分3分）已知：⊙O 的直径AB =8，⊙B 与⊙O 相交于点C 、D ，⊙O 的直径CF 与⊙B 相交于点E ，设⊙B 的半径为x ，OE 的长为y ，（1） 如图7，当点E 在线段OC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （2） 当点E 在直径CF 上时，如果OE 的长为3，求公共弦CD 的长；（3） 设⊙B 与AB 相交于G ，试问△OEG 能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出图6 图7A BC D E O l A ′ ADEO lFBC 的长度（不必写过程）；如果不能，请简要说明理由．金山区：24．（本题满分12分）如图，在直角坐标系中，直线421+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，过点A 作CA ⊥AB ，CA ＝52，并且作CD ⊥x 轴. (1)求证:△ADC ∽△BOA ；(2)若抛物线c bx x y ++-=2经过B 、C 两点. ①求抛物线的解析式； ②该抛物线的顶点为P ，M 是坐标轴上的一个点，若直线PM 与y 轴的夹角为30°，请直接写出点M 的坐标.25．（本题满分14分）在矩形ABCD 中，AB ＝3，点O 在对角线AC 上，直线l 过点O ，且与AC 垂直交AD 于点E. (1)若直线l 过点B ，把△ABE 沿直线l 翻折，点A 与矩形ABCD 的对称中心A ＇重合，求BC 的长；(2)若直线l 与AB 相交于点F ，且AO ＝41AC ，设AD的长为x ，五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围； ②探索：是否存在这样的x ，以A 为圆心，以-x 43长为半径的圆与直线l 相切，若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由；虹口区：24．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分4分）在平面直角坐标系xOy 中（如图7），已知二次函数c bx x y ++=2的图像经过点(0,3)A 和点(3,0)B ，其顶点记为点C ．（1）确定此二次函数的解析式，并写出顶点C 的坐标； （2）将直线CB 向上平移3个单位长度，求平移后直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，能否在直线上l 找一点D ，使得以点C 、B 、D 、O 为顶点的四边形是等腰梯形．若能，请求出点D 的坐标；若不能，请说明理由.25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）如图8，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，3tan 4B =，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF ∠=︒，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED ∆的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）如果以线段BC 为直径的圆与以线段AE 为直径的圆相切，求线段BE 的长； （3）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似，求BED ∆的面积.ACDEF BA·奉贤区：24．（本题满分12分，每小题满分各4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴正半轴上，边CO 在y 轴的正半轴上，且322==OB AB ，，矩形ABOC 绕点O 逆时针旋转后得到矩形EFOD ，且点A 落在y 轴上的E 点，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D . (1)求F 、E 、D 三点的坐标；（2）若抛物线c bx ax y ++=2经过点F 、E 、D ，求此抛物线的解析式；（3）在x 轴上方的抛物线上求点Q 的坐标，使得三角形QOB 的面积等于矩形ABOC 的面积？25．(本题满分14分，第(1)小题满分3分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分4分) 已知：在△ABC 中，AB =AC ，∠B =30º，BC =6，点D 在边BC 上，点E 在线段DC 上，DE =3，△DEF 是等边三角形，边DF 、EF 与边BA 、CA 分别相交于点M 、N ． （1）求证：△BDM ∽△CEN ；（2）当点M 、N 分别在边BA 、CA 上时,设BD =x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．（3）是否存在点D ，使以M 为圆心, BM 为半径的圆与直线EF 相切, 如果存在，请求出x的值；如不存在，请说明理由．崇明县：24、（本题满分12分）如图，抛物线32++=bx ax y 与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，31tan =∠OCA ， 6=∆ABC S ．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式及顶点坐标；（3）设点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，如果A 、C 、E 、F 构成平行四边形，请写出点E 的坐标（不必书写计算过程）．ABFEMN C第25题25、（本题满分14分）在等腰ABC ∆中，已知5==AC AB cm ，6=BC cm ，动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，沿AB 、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/秒. 当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动，设点P 的运动时间为t （秒）． （1）当t 为何值时，PQ ⊥AB ？（2）设四边形APQC 的面积为y cm 2，写出y 关于t 的函数关系式及定义域； （3）分别以P 、Q 为圆心，P A 、BQ 长为半径画圆，若⊙P 与⊙Q 相切，求t 的值； （4）在P 、Q 运动中，BPQ ∆与ABC ∆能否相似？若能，请求出AP 的长；若不能，请说明理由．长宁区：24．如图，一次函数图像交反比例函数)0(6>=x xy 图像于点M 、N （N 在M 右侧），分别交x 轴、y 轴于点C 、D 。
【理数】2009年上海市高三调研试卷
2009年上海市高三数学教学调研试卷（理科）一、填空题：1．方程2log (31)3x -=的解是 。
2．行列式123234345的元素5的代数余子式的值为 。
3．若直线l 过点(1,2)A ，且它的一个方向向量为(1,2)d =，则直线l 的方程为 。
4．若复数Z满足Z =，且(13)i Z -是纯虚数，则复数Z = 。
5．函数()sin 2f x x x =的最小正周期是 。
6．如果()na b +的二项展开式中的第三项与第二项的系数之比为2，那么正整数n = 。
7．若函数()112x f x =-的反函数是()1f x -，则()11f -的值是 。
8．如果执行右面的程序框图，那么输出的S 的值是 。
9．计算：()()()()123lim()1111n nn n n n n n n n →∞++++=++++ 。
10．若正三角形ABC 的边长为1，O 是ABC ∆所在平面内的任意一点，则2OA OB OC +-=。
11．如图，圆锥形量杯的口径（圆锥底面的直径）为d ，高为h ，则圆锥形量杯侧面上刻度V （容积）与页面深度x 的函数关系为 。
12．在极坐标系中，若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于,A B 两点，则AB = 。
13．在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽取一件，且不放回抽取，抽到次品的数学期望E ξ的值是 。
14．已知函数()24(1)3(0)f x ax a x a =+-+>的定义域为[]0,2，若()()m a x 2f x f=，则实数a 的取值范围是 。
二、选择题：15．圆心在直线y x =上，且与x 轴相切于点()1,0的圆的方程为┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（ ）.A ()()22111x y -+-= ； .B ()()22111x y +++=；（第8题图）.C ()()22111x y -++=； .D ()()22111x y ++-=16．若,,a b c R ∈，则a b >成立的充分非必要条件为┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（ ）.A 22ac bc > ； .B a c b c +>+； .C a c <且c b <； .D ac bc >17．在直角坐标平面xOy 上，已知点(3,2)A ，点B 在椭圆221168x y +=上运动，动点P 满足AB BP = ，那么点P 的轨迹方程是┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（ ）.A()()223213216x y +++= ； .B()()223216432x y +++=；.C()()223213216x y --+= ； .D()()223216432x y --+=18．已知x 是1,2,3,,5,6,7x 这七个数据的中位数，且21,3,,x y -这四个数据的平均数为1，那么1y x-的最小值是┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（ ）.A 4255； .B 3155； .C 283； .D 不存在三 、解答题： 19．（本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分）在直三棱柱111A B C ABC -中，AC BC ⊥，D 为AB 中点，11.CB AC AA ===（1）棱锥1C CDB -的体积；（2）二面角1A AC D --的大小 20．（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分） 已知函数()2af x x x=+（a 为常数）的图像经过点()1,3。
2009年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析
2009年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）（2009•上海）若复数z满足z（1+i）=1﹣i（I是虚数单位），则其共轭复数=i．【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是共轭复数的定义，由复数z满足z（1+i）=1﹣i，我们可能使用待定系数法，设出z，构造方程，求出z值后，再根据共轭复数的定义，计算【解答】解：设z=a+bi，则∵（a+bi）（1+i）=1﹣i，即a﹣b+（a+b）i=1﹣i，由，解得a=0，b=﹣1，所以z=﹣i，=i，故答案为i．【点评】求复数的共轭复数一般步骤是：先利用待定系数法设出未知的向量，根据已知条件构造复数方程，根据复数相等的充要条件，转化为一个实数方程组，进而求出求知的复数，再根据共轭复数的定义，求出其共轭复数．2．（4分）（2009•上海）已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是a≤1．【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】集合．【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立．故答案为：a≤1．【点评】本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（4分）（2009•上海）若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是x＞且x≠4．【考点】三阶矩阵．【专题】计算题．【分析】根据3阶行列式D的元素a ij的余子式M ij附以符号（﹣1）i+j后，叫做元素a ij的代数余子式，所以4的余子式加上（﹣1）1+1即为元素4的代数余子式，让其大于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围．【解答】解：依题意得，（﹣1）2＞0，即9x﹣24＞0，解得x＞，且x≠4，故答案为：x＞且x≠4【点评】此题考查学生掌握三阶矩阵的代数余子式的定义，是一道基础题．4．（4分）（2009•上海）某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是．【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是根据输入x值的不同，根据不同的式子计算函数值．即求分段函数的函数值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，程序的作用是分段函数的函数值．其中输出量y与输入量x满足的关系式是故答案为：【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5．（4分）（2009•上海）如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是arctan（结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在直角三角形中求出正切值，再用反三角函数值表示出这个角即可．【解答】解：先画出图形将AD平移到BC，则∠D1BC为异面直线BD1与AD所成角，BC=2，D1C=，tan∠D1BC=，∴∠D1BC=arctan，故答案为arctan．【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及解三角形的应用，属于基础题．6．（4分）（2009•上海）函数y=2cos2x+sin2x的最小值是．【考点】三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】先利用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用公式化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最小值．【解答】解：y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+=1+当=2k，有最小值1﹣故答案为1﹣【点评】本题考查三角函数的二倍角余弦公式将三角函数降幂、利用公式化简三角函数．7．（4分）（2009•上海）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ（结果用最简分数表示）．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题．【分析】用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，结合变量对应的事件写出分布列当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生，求出期望．【解答】解：用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生，∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，∴Eξ=0×=．故答案为：【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这是近几年经常出现的一个问题，可以作为解答题出现，考查的内容通常是以分布列和期望为载体，有时要考查其他的知识点．8．（4分）（2009•上海）已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1，S2，S3，满足的等量关系是．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】表示出三个球的表面积，求出三个半径，利用R1+2R2=3R3，推出结果．【解答】解：因为S1=4πR12，所以，同理：，即R1=，R2=，R3=，由R1+2R2=3R3，得故答案为：【点评】本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题．9．（4分）（2009•上海）已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=3．【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知得|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，由此能得到b的值．【解答】解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．∴|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2，∴36=4（a2﹣c2）=4b2，∴b=3．故答案为3．【点评】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识．10．（4分）（2009•上海）在极坐标系中，由三条直线θ=0，，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积等于．【考点】简单曲线的极坐标方程；定积分．【专题】计算题．【分析】三条直线化为直角坐标方程，求出三角形的边长，然后求出图形的面积．【解答】解：三条直线θ=0，，ρcosθ+ρsinθ=1的直角坐标方程分别为：y=0，y=x，x+y=1，所以它们的交点坐标分别为O（0，0），A（1，0），B（，），OB==，由三条直线θ=0，，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积S==．故答案为：．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，三角形的面积的求法，考查计算能力．11．（4分）（2009•上海）当时，不等式sinπx≥kx恒成立．则实数k的取值范围是k≤2．【考点】函数恒成立问题．【专题】数形结合．【分析】要使不等式sinπx≥kx恒成立，设m=sinπx，n=kx，利用图象得到k的范围即可．【解答】解：设m=sinπx，n=kx，x∈[0，]．根据题意画图得：m≥n恒成立即要m的图象要在n图象的上面，当x=时即πx=时相等，所以此时k==2，所以k≤2故答案为k≤2【点评】考查学生利用数形结合的数学思想解决问题的能力，理解函数恒成立时取条件的能力．12．（4分）（2009•上海）已知函数f（x）=sinx+tanx，项数为27的等差数列{a n}满足a n∈（﹣），且公差d≠0，若f（a1）+f（a2）+…f（a27）=0，则当k=14时，f（a k）=0．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题考查的知识点是函数的奇偶性及对称性，由函数f（x）=sin x+tan x，项数为27的等差数列{a n}满足a n∈（﹣），且公差d≠0，若f（a1）+f（a2）+…f（a27）=0，我们易得a1，a2，…，a27前后相应项关于原点对称，则f（a14）=0，易得k值．【解答】解：因为函数f（x）=sinx+tanx是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列{a n}有27项，a n∈（）．若f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a27）=0，则必有f（a14）=0，所以k=14．故答案为：14【点评】代数的核心内容是函数，函数的定义域、值域、性质均为高考热点，所有要求同学们熟练掌握函数特别是基本函数的图象和性质，并能结合平移、对称、伸缩、对折变换的性质，推出基本函数变换得到的函数的性质．13．（4分）（2009•上海）某地街道呈现东﹣西、南﹣北向的网格状，相邻街距都为1．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（﹣2，2），（3，1），（3，4），（﹣2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点．请确定一个格点（除零售点外）（3，3）为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短．【考点】两点间距离公式的应用．【专题】直线与圆．【分析】设发行站的位置为（x，y），则可利用两点间的距离公式表示出零售点到发行站的距离，进而求得在（3，3）处z取得最小值．【解答】解：设发行站的位置为（x，y），6个零售点到发行站的距离为Z，则z=|x+2|+|y﹣2|+|x﹣3|+|y﹣1|+|x﹣3|+|y﹣4|+|x+1|+|y﹣3|+|x﹣4|+|y﹣5|+|x﹣6|+|y﹣6|=|x+2|+|x﹣3|+|x﹣3|+|x+1|+|x﹣4|+|x﹣6|+|y﹣2|+|y﹣1|+|y﹣4|+|y﹣3|+|y﹣5|+|y﹣6|x=3，3≤y＜4时，取最小值，∴在（3，3）处z取得最小值．故答案为（3，3）．【点评】本题主要考查了两点间的距离公式的应用．考查了学生创造性思维能力和逻辑思维能力．14．（4分）（2009•上海）将函数（x∈[0，6]）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（0≤θ≤α），得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则α的最大值为arctan．【考点】旋转变换．【专题】计算题；压轴题．【分析】先画出函数（x∈[0，6]）的图象，然后根据由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于∠MAB时，曲线C都不是一个函数的图象，求出此角即可．【解答】解：先画出函数（x∈[0，6]）的图象这是一个圆弧，圆心为M（3，﹣2）由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于∠MAB时，曲线C都不是一个函数的图象∴∠MAB=arctan故答案为：arctan【点评】本题主要考查了旋转变换，同时考查了数形结合的思想和分析问题解决问题的能力，属于基础题．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）15．（4分）（2009•上海）“﹣2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根⇒△=a2﹣4＜0⇒﹣2＜a＜2，由此入手能够作出正确选择．【解答】解：∵实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根，∴△=a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2，∴“﹣2≤a≤2”是“﹣2＜a＜2”的必要不充分条件，故选A．【点评】本题考查必要条件、充分条件和充要条件的应用，解题时要认真审题，仔细解答．16．（4分）（2009•上海）若事件E与F相互独立，且P（E）=P（F）=，则P（E∩F）的值等于（）A．0 B．C．D．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，由相互独立事件的概率计算公式，我们易得P（E∩F）=P（E）•P（F），将P（E）=P（F）=代入即可得到答案．【解答】解：P（E∩F）=P（E）•P（F）=×=．故选B．【点评】相互独立事件的概率计算公式：P（E∩F）=P（E）•P（F），P（E∪F）=P（E）+P（F）．17．（4分）（2009•上海）有专业机构认为甲型N1H1流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地：总体均值为3，中位数为4B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体均值为2，总体方差为3【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【专题】压轴题．【分析】平均数和方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简单的描述，平均数描述集中趋势，方差描述波动大小．【解答】解：假设连续10天，每天新增疑似病例的人数分别为x1，x2，x3，…x10．并设有一天超过15人，不妨设第一天为16人，根据计算方差公式有s2=[（16﹣5）2+（x2﹣5）2+（x3﹣5）2+…+（x10﹣5）2]＞12，说明乙地连续10天，每天新增疑似病例的人数都不超过15人．故选：B．【点评】根据题意可知本题主要考查用数字特征估计总体，属于基础题．18．（4分）（2009•上海）过圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，△AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S|+S IV=S||+S|||则直线AB有（）A．0条B．1条C．2条D．3条【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；压轴题；数形结合．【分析】由圆的方程得到圆心坐标和半径，根据四部分图形面积满足S|+S IV=S||+S|||，得到S IV﹣S II=SⅢ﹣S I，第II，IV部分的面积是定值，所以三角形FCB减去三角形ACE的面积为定值即SⅢ﹣S I为定值，所以得到满足此条件的直线有且仅有一条，得到正确答案．【解答】解：由已知，得：S IV﹣S II=SⅢ﹣S I，由图形可知第II，IV部分的面积分别为S正方形OECF﹣S扇形ECF=1﹣和S扇形ECF=，所以，S IV﹣S II为定值，即SⅢ﹣S I为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条．故选B．【点评】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，会求三角形、正方形及扇形的面积，是一道综合题．三、解答题（共5小题，满分78分）19．（14分）（2009•上海）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．【考点】向量在几何中的应用；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；向量法．【分析】建立空间直角坐标系，求出2个平面的法向量的坐标，设二面角的大小为θ，显然θ为锐角，设2个法向量的夹角φ，利用2个向量的数量积可求cosφ，则由cosθ=|cosφ|求出二面角的大小θ．【解答】解：如图，建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），设AC的中点为M，∵BM⊥AC，BM⊥CC1．∴BM⊥平面A1C1C，即=（1，1，0）是平面A1C1C的一个法向量．设平面A1B1C的一个法向量是n=（x，y，z）．=（﹣2，2，﹣2），=（﹣2，0，0），∴令z=1，解得x=0，y=1．∴n=（0，1，1），设法向量n与的夹角为φ，二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为θ，显然θ为锐角．∵cosθ=|cosφ|==，解得：θ=．∴二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为．【点评】本题考查利用向量求二面角的大小的方法，设二面角的大小为θ，2个平面法向量的夹角φ，则θ和φ相等或互补，这两个角的余弦值相等或相反．20．（16分）（2009•上海）有时可用函数f（x）=，描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数（x∈N*），f（x）表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．（1）证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）﹣f（x）总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121]，（121，127]，（127，133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．【考点】分段函数的应用．【专题】应用题；探究型；数学模型法．【分析】（1）x≥7时，作差求出增长量f（x+1）﹣f（x），研究其单调性知，差是一个减函数，故掌握程度的增长量总是下降、（2）学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，故得方程由此方程解出a的值即可确定相应的学科．【解答】证明：（1）当x≥7时，而当x≥7时，函数y=（x﹣3）（x﹣4）单调递增，且（x﹣3）（x﹣4）＞0故函数f（x+1）﹣f（x）单调递减当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）﹣f（x）总是下降（2）由题意可知整理得解得（13分）由此可知，该学科是乙学科..（14分）【点评】本题是分段函数在实际问题中的应用，在实际问题中，分段函数是一个很重要的函数模型．21．（16分）（2009•上海）已知双曲线，设直线l过点，（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；（2）证明：当k＞时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）先求出双曲线的渐近线方程，进而可得到直线l的斜率，然后根据直线l过点求出直线l的方程，再由平行线间的距离公式可求直线l的方程及l与m 的距离．（2）设过原点且平行于l的直线方程利用直线与直线的距离求得l与b的距离，当k＞时，可推断出，利用双曲线的渐近线方程可知双曲线C的右支在直线b的右下方，进而推断出双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于，进而可知故在双曲线C的右支上不存在点Q（x0，y0）到到直线l的距离为．【解答】解：（1）双曲线C的渐近线，即∴直线l的方程∴直线l与m的距离．（2）设过原点且平行于l的直线b：kx﹣y=0，则直线l与b的距离d=，当时，．又双曲线C的渐近线为，∴双曲线C的右支在直线b的右下方，∴双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于．故在双曲线C的右支上不存在点Q（x0，y0）到到直线l的距离为．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．22．（16分）（2009•上海）已知函数y=f（x）的反函数．定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x+a）与y=f﹣1（x+a）互为反函数，则称y=f（x）满足“a和性质”；若函数y=f（ax）与y=f﹣1（ax）互为反函数，则称y=f（x）满足“a积性质”．（1）判断函数g（x）=x2+1（x＞0）是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；（3）设函数y=f（x）（x＞0）对任何a＞0，满足“a积性质”．求y=f（x）的表达式．【考点】反函数；函数解析式的求解及常用方法．【专题】压轴题；新定义．【分析】（1）先求出g﹣1（x）的解析式，换元可得g﹣1（x+1）的解析式，将此解析式与g （x+1）的作对比，看是否满足互为反函数．（2）先求出f﹣1（x）的解析式，再求出f﹣1（x+2）的解析式，再由f（x+2）的解析式，求出f﹣1（x+2）的解析式，用两种方法得到的f﹣1（x+2）的解析式应该相同，解方程求得满足条件的一次函数f（x）的解析式．（3）设点（x0，y0）在y=f（ax）图象上，则（y0，x0）在函数y=f﹣1（ax）图象上，可得ay0=f （x0）=af（ax0），，即，即满足条件．【解答】解（1）函数g（x）=x2+1（x＞0）的反函数是，∴，而g（x+1）=（x+1）2+1（x＞﹣1），其反函数为，故函数g（x）=x2+1（x＞0）不满足“1和性质”．（2）设函数f（x）=kx+b（x∈R）满足“2和性质”，k≠0．∴，∴，而f（x+2）=k（x+2）+b（x∈R），得反函数，由“2和性质”定义可知，对（x∈R）恒成立．∴k=﹣1，b∈R，即所求一次函数f（x）=﹣x+b（b∈R）．（3）设a＞0，x0＞0，且点（x0，y0）在y=f（ax）图象上，则（y0，x0）在函数y=f﹣1（ax）图象上，故，可得ay0=f（x0）=af（ax0），令ax0=x，则，∴，即．综上所述，，此时，其反函数是，而，故y=f（ax）与y=f﹣1（ax）互为反函数．【点评】本题考查反函数的求法，函数与反函数的图象间的关系，体现了换元的思想，属于中档题．23．（16分）（2009•上海）已知{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列．（1）若a n=3n+1，是否存在m、k∈N*，有a m+a m+1=a k？说明理由；（2）找出所有数列{a n}和{b n}，使对一切n∈N*，，并说明理由；（3）若a1=5，d=4，b1=q=3，试确定所有的p，使数列{a n}中存在某个连续p项的和是数列{b n}中的一项，请证明．【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列的性质；数列递推式．【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（1）由a m+a m+1=a k，得6m+5=3k+1，，由m、k∈N*，知k﹣2m为整数，所以不存在m、k∈N*，使等式成立．（2）设a n=nd+c，若，对n∈N×都成立，且{b n}为等比数列，则，对n∈N×都成立，由此入手能够导出有a n=c≠0，b n=1，使对一切n∈N×，．（3）a n=4n+1，b n=3n，n∈N*，设a m+1+a m+2++a m+p=b k=3k，p、k∈N*，m∈N．4m+2p+3+，由p、k∈N*，知p=3s，s∈N．由此入手能导出当且仅当p=3s，s∈N，命题成立．【解答】解：（1）由a m+a m+1=a k，得6m+5=3k+1，整理后，可得，∵m、k∈N*，∴k﹣2m为整数，∴不存在m、k∈N*，使等式成立．（2）设a n=nd+c，若，对n∈N×都成立，且{b n}为等比数列，则，对n∈N×都成立，即a n a n+2=qa n+12，∴（dn+c）（dn+2d+c）=q（dn+d+c）2，对n∈N×都成立，∴d2=qd2（i）若d=0，则a n=c≠0，∴b n=1，n∈N*．（ii）若d≠0，则q=1，∴b n=m（常数），即=m，则d=0，矛盾．综上所述，有a n=c≠0，b n=1，使对一切n∈N×，．（3）a n=4n+1，b n=3n，n∈N*，设a m+1+a m+2++a m+p=b k=3k，p、k∈N*，m∈N．，∴，∵p、k∈N*，∴p=3s，s∈N取k=3s+2，4m=32s+2﹣2×3s﹣3=（4﹣1）2s+2﹣2×（4﹣1）s﹣3≥0，由二项展开式可得整数M1、M2，使得（4﹣1）2s+2=4M1+1，2×（4﹣1）s=8M2+（﹣1）S2∴4m=4（M1﹣2M2）﹣（（﹣1）S+1）2，∴存在整数m满足要求．故当且仅当p=3s，s∈N，命题成立．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．。
2009届二模嘉定区高考数学理
嘉定区2008学年第二学期高三年级数学质量调研试卷（理科）考生注意：1．本试卷共有21题，满分150分．考试时间：120分钟．请按要求将答案写在答题纸上，写在试卷上、草稿纸上及在答题纸上限定区域外的的答案一律不予评分．一．填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，请将结果直接填在答题纸规定的横线上，每题填对得5分，否则一律得零分．1．设i 是虚数单位，复数i z 211-=，i a z +=2（R a ∈），若21z z ⋅是纯虚数，则=a ______________． 2．若},3{42a a a -∈，则a 的值等于__________________．3．函数1)(-=x x f 的反函数是=-)(1x f _________________．4．在一个半径为2的球内有一个正方体，该正方体的所有顶点都在球面上，则该正方体 的表面积为______________． 5．函数xxx f sin cos 33)(=的值域是_________________．6．设向量a 、b 满足4)2()(-=+⋅-b a b a ，且2||=a，4||=b ，则a 与b 的夹角等于_____________________．7．若()1021x +的展开式中的第3项为90，则=+++∞→)(lim 2nn x x x ___________．8．在极坐标系中，O 是极点，点⎪⎭⎫ ⎝⎛12,3πA ，⎪⎭⎫ ⎝⎛π125,2B ，则以线段OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积是_________9．右图所示的程序流程图输出I 的结果是______________．10．在一个袋中装有10个小球，其中有5个白球，3个红球，2个黑球，它们除颜色外，大小、重量等都相同，从袋中依次取出3个小球（不放回），那么取出的球中含有红 球的数学期望=ξE _____________．11．在直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点．如果函数)(x f 的图像恰好经过k 个格点，则称)(x f 为k 阶格点函数，下列函数：①x x f sin )(=；②3)1()(2+-=x x f π；③xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=31)(；④x x f 6.0log)(=．其中是一阶格点函数的有________________________（填写所有满足条件的函数序号）．12．双曲线222=-y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点),(n n n y x P （*N n ∈）在双曲线右支上，且满足||||121F P F P n n =+，2121F F F P ⊥，则||12009F P 的值为_______．第9题图二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须在答题纸上按正确填涂的方法用2B 铅笔将正确结论的字母代号框涂黑，每题涂对得 4分，否则一律得零分．13．“0>a ”是“函数ax x x f +=2)(在区间),0(+∞上为增函数”的………………（ ）A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分又非必要条件 14．直线l 过抛物线px y 22=（0>p ）的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是18，AB 的中点到y 轴的距离为6，则抛物线的方程为……………（ ）A ．x y 122=B ．x y 82=C ．x y 62=D ．x y 42= 15．已知函数⎪⎭⎫⎝⎛+=2sin )(2ππn n n f （*N n ∈），且)1()(++=n f n f a n ，则数列{}n a 前100项和100S 的值为………………………………………………………………（ ） A ．200 B ．100 C ．100- D ．016．定义在),0()0,(+∞-∞ 上的奇函数)(x f 在),0(+∞上是减函数，且在0>x 时，)(x f 的图像如下图所示，则不等式0)]()([>--x f x f x 的解集为……………（ ）A ．)2,0()2,( --∞B ．),2()2,(+∞--∞C ．),2()0,2(+∞-D ．)2,0()0,2( -三．解答题（满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．请在答题纸上规定的各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效． 17．（本题满分12分）甲船在A 处测得乙船在北偏东060方向的B 处，两船相距5海里，且乙船正沿着南偏东45方向以每小时14海里的速度航行．经过半小时，甲船在C 处追上乙船，问甲船的航行方向是南偏东多少度（精确到1度）？航行的速度是每小时多少海里（精确到1海里）？第16题图2O yx18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图，四面体ABCD 中，△ABD 和△BCD 均为等边三角形，2=BD ，O 是BD 的中点，且⊥AO 平面BCD ．（1）求二面角D BC A --的大小（结果用反三角函数表示）； （2）求点O 到平面ACD 的距离．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设等比数列{}n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ，公比λλ+=1q （1-≠λ且0≠λ）．（1）证明：n n a S λλ-+=)1(；（2） 设函数)(x f 满足61)1(=f ，21)1()(=-+x f x f ，设⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n f n n f n f n f T n 121 ，求n T 关于n 的表达式及n T n n ∞→lim的值．ODCBA20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．已知函数c x ax x f +-=21)(2（a 、R c ∈），满足0)1(=f ，且0)(≥x f 在Rx ∈时恒成立．（1）求a 、c 的值；（2）若41243)(2-+-=b bx x x h ，解不等式0)()(<+x h x f ；（3）是否存在实数m ，使函数mx x f x g -=)()(在区间]2,[+m m 上有最小值5-？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆1:22221=+bya xC （0>>b a ）满足2:3:=b a ，且直线2+=x y 与以原点为圆心，以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆1C 的方程；（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆1C 的长轴，动直线2l 垂直于1l 且与1l 交于点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程；（3）设2C 与x 轴交于点Q ，与Q 不重合的不同两点),(11y x R 、),(22y x S 在2C 上，且满足0=⋅RS QR ，求||QS 的取值范围．嘉定区2008学年第二学期高三数学质量调研试卷（理科）参考答案与评分标准一．填空题（每小题5分，满分60分）1．2-；2．1-；3．12+x （0≥x ）；4．32；5．]32,32[-；6．32π；7．1；8．3；9．9；10．109；11．①②④；12．24019．二．选择题（每小题4分，满分16分） 13．B ；14．A ；15．C ；16．D ．三．解答题（每大题满分74分） 17．（本题满分12分）由已知，0105=∠ABC ，5=AB ，7=BC ，……（1分） 所以ABC BC AB BC ABAC∠⋅⋅⋅-+=cos 22222.92462704925≈-⋅-+=，……（4分）所以6.9≈AC （海里），……（5分） 所以甲船的速度为2.195.06.9=，……（6分） 由正弦定理，BACBC ABCAC∠=∠sin sin ，BAC∠=+sin 74266.9，……（8分）70432.04266.97sin ≈+⋅=∠BAC ，……（10分）45≈∠BAC ．……（11分）所以甲船的航行方向是南偏东075，航行速度是每小时19海里．……（12分）18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） （1）因为△ABD 和△BCD 都是等边三角形，O 是BD 中点， 所以BD AO ⊥，BD CO ⊥，以O 为原点，OB 、OC 、OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．……（1分） 则)0,0,0(O ，)3,0,0(A ，)0,0,1(B ，)0,3,0(C ，)0,0,1(-D ，……（2分）因为⊥AO 平面BCD ，所以平面BCD 的一450B A北 600个法向量为)3,0,0(=OA ，…（3分）)3,0,1(-=AB ，)0,3,1(-=BC ，设平面ABC 的一个法向量为),,(z y x n =， 则AB n ⊥ ，BC n ⊥ ，所以0=⋅AB n ，0=⋅BC n，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-0303y x z x ，令1=z ，得3=x ，1=y ，所以)1,1,3(=n，……（5分）设OA 与n的夹角为θ，则55533cos =⋅==θ，……（6分）由图形可知，二面角D BC A --为锐角，所以二面角D BC A --的大小为55arccos．……（7分）（2）设平面ACD 的一个法向量为),,(w v u m =，则DA m ⊥，DC m ⊥， 又)3,0,1(=DA ，)0,3,1(=DC ，……（8分）所以，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DC m DA m ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0303v u w u ，令3-=u ，则1=v ，1=w ，故)1,1,3(-=m，……（10分） 因为3=⋅m OA，5||=m，……（12分）所以点O 到平面ACD 的距离为51553||||==⋅m m OA．……（14分）19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分） （1）由已知0≠q 且1≠q ，所以11-⎪⎭⎫⎝⎛+=n n a λλ（*N n ∈），……（1分）所以111)1(11)1(11111)1(-⎪⎭⎫⎝⎛+-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=n n nnn qq a S λλλλλλλλλλλ，（5分）即n n a S λλ-+=)1(．……（6分） （2）由已知，)1(121f n n f n f n f T n +⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛= ① 又)1(1221f n f n f n n f n n f T n +⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ② ……（8分） 因为61)1(=f ，21)1()(=-+x f x f ，将①、②两式相加，得，6133121)1(2-=+⋅-=n n T n ．……（11分）所以1213-=n T n ．……（12分）所以411213limlim=-=∞→∞→n n n T n nn ．……（14分）20．（本题满分16分．本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分）（1）由0)1(=f ，得21=+c a ，……（1分）因为0)(≥x f 在R x ∈时恒成立，所以0>a 且△0441≤-=ac ，161≥ac ，……（2分）即16121≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a ，0161212≤+-a a ，0412≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-a ，所以41==c a ．……（4分）（2）由（1）得412141)(2+-=x x x f ，由0)()(<+x h x f ，得02212<+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b x b x ，即021)(<⎪⎭⎫ ⎝⎛--x b x ，……（6分）所以，当21<b 时，原不等式解集为)21,(b ；……（7分）当21>b 时，原不等式解集为),21(b ；……（8分）当21=b 时，原不等式解集为空集．……（9分）（3）412141)(2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x m x x g ， )(x g 的图像是开口向上的抛物线，对称轴为直线12+=m x ．假设存在实数m ，使函数)(x g 在区间]2,[+m m 上有最小值5-．① 当m m <+12，即1-<m 时，函数)(x g 在区间]2,[+m m 上是增函数，所以5)(-=m g ，即54121412-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m m m ，解得3-=m 或37=m ，因为1-<m ，所以3-=m ；……（11分）②当212+≤+≤m m m ，即11≤≤-m 时，函数)(x g 的最小值为5)12(-=+m g ，即541)12(21)12(412-=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+m m m ，解得22121--=m 或22121+-=m ，均舍去；……（13分）l③当212+>+m m ，即1>m 时，)(x g 在区间]2,[+m m 上是减函数，所以5)2(-=+m g ，即541)2(21)2(412-=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+m m m ，解得221--=m 或221+-=m ，因1>m ，所以221+-=m ．……（15分）综上，存在实数m ，3-=m 或221+-=m 时，函数)(x g 在区间]2,[+m m 上有最小值5-．……（16分）21．（本题满分18分．本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）（1）因为直线2+=x y 与圆222b y x =+相切，所以b =22，2=b ，……（2分）由2:3:=b a ，得3=a ，所以所求椭圆1C 的方程为12322=+yx．……（4分）（2）)0,1(1-F ，)0,1(2F ，所以直线1l 的方程为1-=x ，……（5分）由题意，||||2MF MP =，所以点M 的轨迹2C 是以2F 为焦点，直线1l 为准线的抛物线，……（8分） 所以轨迹2C 的方程是x y 42=． ……（10分） （3）)0,0(Q ，设),4(121y y R ，),4(222y y S ，所以),4(121y y QR =，),4(122122y y y y RS --=，因为0=⋅RS QR ，所以0)(16)(121212221=-+-y y y y y y ，……（12分）因为21y y ≠，01≠y ，化简得⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=11216y y y ，……（13分） 所以6432256212122≥++=yy y ，当且仅当2121256yy =，41±=y 时等号成立．……（14分）所以64)8(411641164||2222242224222222-+=+=+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y y y y y y y QS ，…（16分） 因为6422≥y ，所以当6422=y ，即82±=y 时，||QS 取最小值58．所以||QS 的取值范围是),58[+∞．……（18分）。
2009年上海高三数学四校质量调研试卷文理有答案
2009年上海市四校高三质量调研数学（理科）试题考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、准考证号填写清楚. 2得5分，否则一律得零分。
1．已知a R ∈，若(1)(32)ai i -+为纯虚数，则a 的值为________________。
2．已知集合{}2|0A x x x a =-+>，且1A ∈，则实数a 的取值范围是____________。
3．已知函数22()log (1)(0)f x x x =+≤，1(2)___________f -=则。
4．球面上有A 、B 、C 三点，AB ＝AC ＝2，90BAC ∠=，球心到平面ABC 的距离为1，则球的表面积为_______________。
5．已知数列{}n a 满足：113a =，且对任意的正整数n ，都有113n n a a +=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则____________n n lim S →∞=。
6．若()3211nn x x ax bx +=+++++，且3a b =，则n =_________。
7．已知双曲线2221(0)x y a a-=>的左焦点在抛物线216y x =的准线上，则_____a =。
8．已知对于任意实数x ，函数)(x f 满足(1)(1)f x f x -=+，若方程0)(=x f 有且仅有2009个实数解，则这2009个实数解之和为 。
9．袋中有3个白球，2个红球和若干个黑球（球的大小均相同），从中任取2个球，设每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，已知得0分的概率为61，则袋中黑球的个数为____________。
10．ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，已知060=A ，7=a ，现有以下判断: ① c b +不．可能．．等于15；② 若12=⋅AC AB ,则36=∆ABC S ；③若3=b ,则B 有两解。
2009年上海高考数学试卷及答案(理科)_共12页
2009年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）一．真空题 （本大题满分56分）1．若复数z 满足z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数=__________________ .z 2．已知集合，，且|1A x x |B x x a ，A BR 则实数a 的取值范围是______________________ .3．若行列式中，元素4的代数余子式大于0，417 5 xx 38 9则x 满足的条件是________________________ .4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是____________________________ .5．如图，若正四棱柱的底面连长为2，高1111ABCDA B C D 为4，则异面直线与AD 所成角的大小是______________（结1BD 果用反三角函数表示）.6．函数的最小值是_____________________ .22cos sin 2yx x 7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望____________（结果用最简分数表示）.E 8.已知三个球的半径，，满足，则它们的表面积，，，满1R 2R 3R 32132R R R 1S 2S 3S 足的等量关系是___________.9.已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且1F 2F 1:2222by ax C a b P C .若的面积为9，则=____________.21PF PF 21F PF b 10.在极坐标系中，由三条直线，，围成图形的面积是031sin cos ________.11.当，不等式成立，则实数的取值范围是_______________.时10x kx x 2sin k 12．已知函数.项数为27的等差数列满足，且公差x x x f tan sin )(n a 22，na .若，则当=____________是，.0d0)()()(2721a f a f a f k 0)(k a f 13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为 1.两街道相交的点称为格点。
上海市青浦区2008-2009学年第二学期高三模拟试卷数学理科2009.4
上海市青浦区2008-2009学年第二学期高三模拟试卷数学理科2009.4（满分150分，考试时间120分钟）考生注意：本试卷包括试题纸和答题纸两部分．在本试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，每题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果．1．直线013=+-y x 的倾斜角为 ．2．已知全集R U =，集合{}0542>--=x x x M ，{}1≥=x x N ， 则)(N C M U ⋂= ．3．若复数z 满足iiz +=3 (其中i 是虚数单位)，则z = ．4．二项式6)21(x -展开式中3x 系数的值是 ． 5．市场上有一种“双色球”福利彩票，每注售价为2元，中奖 概率为6.71%，一注彩票的平均奖金额为14.9元．如果小王购 买了10注彩票，那么他的期望收益是 元． 6．把αα5cos 3cos +化为积的形式，其结果为 ． 7．已知)(y x P ，是椭圆191622=+y x 上的一个动点，则y x +的最大值是 ．8．已知21tan 1tan 2=-x x （]0[π，∈x ），则x 的值是 ． 9．如图是输出某个数列前10项的框图，则该数列第3项 的值是 ．10. 在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ．11．如图，用一平面去截球所得截面的面积为π2cm 2，已知 球心到该截面的距离为1 cm ，则该球的体积是 cm 3.第9题理第11题12．在△ABC 中，5=AB ，7=AC ，D 是BC 边的中点，则⋅的值是 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题4分．每题只有一个正确答案，选择正确答案的字母代号并按照要求填涂在答题纸的相应位置．13．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++78615304z y x z y x z y x 的增广矩阵是………………………………………………（ ）．A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛786115130411B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--786115130411 C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛861513411 D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛854611131 14．在直角坐标系xoy 中，已知△ABC 的顶点)01(，-A 和)01(，C ，顶点B 在椭圆13422=+y x上，则BCA sin sin sin +的值是…………………………………………………………………（ ）．A ．23B ．3C ．2D ．415. 以c b a 、、依次表示方程232212=+=+=+x x x x x x 、、的根，则c b a 、、的大小顺序为…………………………………………………………………………………………（ ）．A ．c b a <<B ．c b a >>C ．b c a <<D ．c a b >> 16．已知数列{}n a ，对于任意的正整数n ，⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅-≤≤=-)2010(.)31(2)20091(12009n n a n n ，，设n S 表示数列{}n a 的前n 项和．下列关于n n S +∞→lim 的结论，正确的是……………………………………（ ）．A ．1lim -=+∞→n n SB ．2008lim =+∞→n n SC ．⎩⎨⎧≥-≤≤=+∞→)2010(.1)20091(2009lim n n S n n ，（*N n ∈） D ．以上结论都不对三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域写出必要的步骤. 17．(本题满分12分)动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室（如图所示）．如果可供建造围墙的材料长是30米，那么宽x 为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？在长方体D C B A ABCD ''''-中，2=AB ，1=AD ，1='A A ．求： （1）顶点D '到平面AC B '的距离；（2）二面角B AC B '--的大小．（结果用反三角函数值表示）19．(本题满分15分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.设数列{}n a 的前n 和为n S ，已知311=S ，3132=S ，3163=S ，3644=S ，一般地，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-++=-)().12(3412)(),12(3412)1(212为偶数时当为奇数时当n n n n S n n n （*N n ∈）．（1）求4a ； （2）求n a 2；（3）求和：n n a a a a a a a a 212654321-++++ ．A 'D ' D B 'C 'BCA已知a 为实数，函数3sin )(++=a f θθ，1sin )1(3)(+-=θθa g （R ∈θ）．（1）若θθcos )(=f ，试求a 的取值范围； （2）若1>a ，求函数)()(θθg f +的最小值．21．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分.已知B A 、是抛物线x y 42=上的相异两点．（1）设过点A 且斜率为-1的直线1l ，与过点B 且斜率1的直线2l 相交于点P(4，4)，求直线AB 的斜率；（2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线Γ，过该圆锥曲线上的相异两点A 、B 所作的两条直线21l l 、相交于圆锥曲线Γ上一点；结论是关于直线AB 的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；（3）线段AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于点)0(0，x Q ．若50=x ，试用线段AB 中点的纵坐标表示线段AB 的长度，并求出中点的纵坐标的取值范围．数学文理科试卷参考答案与评分标准2009.4说明1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3. 第17题至第21题中右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准1．3π； 2．{}1-<x x ； 3．10； 4．160-； 5．（理）66.8-元；（文）0.7； 6．（理）ααcos cos42⋅； （文）200赫兹； 7．（理）5； （文）p=4．8．（理）858ππ==x x 或； （文）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ 9．2113； 10．（理）cos 3ρθ=； （文）方程为01=+-y x ． 11．（理）π34； （文）21； 12．12． 13——16：A ； C ； C ； 理B 文A17．设熊猫居室的总面积为y 平方米，由题意得：)100()330(<<-=x x x y ．… 6分解法1：75)5(32+--=x y ，因为)10,0(5∈，而当5=x 时，y 取得最大值75． 10分所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米． …… 12分 解法2：2]2)330(3[31)]330(3[31)330(x x x x x x y -+≤-=-==75，当且仅当x x 3303-=，即5=x 时，y 取得最大值75． …… 10分所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米． …… 12分18．理：如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为)0,0,1(A 、)0,0,0(D 、)0,2,0(C 、)1,0,1(A '、)1,2,1(B '、)1,0,0(D '． ……2分设平面AC B '的法向量为),,(w v u n =，则A B n '⊥，C B n '⊥．因为)1,2,0(--='B ，)1,0,1(--='B ， ……3分0='⋅B ，0='⋅B ，所以⎩⎨⎧=+=+.0,02w u w v 解得v w v u 2,2-==，取1=v ，得平面AC B '一个法向量)2,1,2(-=，且3=． ……5分（1）在平面AC B '取一点A ，可得)1,0,1(-='D A ，于是顶点D '到平面AC B '的距离34==d ，所以顶点D '到平面AC B '的距离为34， ……8分（2）因为平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(1=n ，设n 与1n 的夹角为α，则32cos -==α， ……12分结合图形可判断得二面角B AC B '--是一个锐角，它的大小为32arccos．……14分文：（1）圆锥底面积为π9 cm 2， ……1分 设圆锥高为h cm ，由体积h V ⋅⋅=π931， ……5分 由π12=V cm 3得4=h cm ； ……8分 （2）母线长5=l cm ， ……9分 设底面周长为c ，则该圆锥的侧面积=cl 21， ……12分 所以该圆锥的侧面积=π15cm 2． ……14分19．（理）（1）164=a ； ……3分 （2）当k n 2=时，（*N k ∈）k k k k k k k k S S a 22222212222)]12(3412)2([)12(3412)2(=-+--+=-=--， ……6分所以，n n a 42=（*N n ∈）． ……8分（3）与（2）同理可求得：)12(3112-=-n a n ， ……10分 设n n a a a a a a a a 212654321-++++ =n T ， 则]4)12(45434[3132n n n T ⨯-++⨯+⨯+=，（用等比数列前n 项和公式的推导方法）]4)12(45434[3141432+⨯-++⨯+⨯+=n n n T ，相减得]4)12()444(24[313132+⨯--++++=-n n n n T ，所以94)14(2732491211--⨯-⨯-=-+n n n n T ． ……14分（文）（1）设数列前n 项和为n S ，则n n n n S n -=-+=22)220(． ……3分（2）公比121<=q ，所以由无穷等比数列各项的和公式得： 数列{}n b 各项的和为21121-=1． ……7分（3）设数列{}n c 的前n 项和为n T ，当n 为奇数时，n n n b a b a b T +++++=-1321 =2)1())41(1(32221-+-+n n ； ……11分当n 为偶数时，n n n a b b a b T +++++=-1321 =2))41(1(3222n n+-． ……14分即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+-+-=+为偶数时当，为奇数时当n n n n T n n n 322)21(32,322)1()21(3222)1(． ……15分20．（1）θθcos )(=f 即a --=-3cos sin θθ，又)4sin(2cos sin πθθθ-=-，2分所以232≤+≤-a ，从而a 的取值范围是]23,23[+---． ……5分（2）21sin )1(3)1(sin )()(+++-++=+a a g f θθθθ，令x =+1sin θ，则20≤<x ，因为1>a ，所以)1(32)1(3-≥-+a xa x ，当且仅当)1(3-=a x 时，等号成立，8分由2)1(3≤-a 解得37≤a ，所以当371≤<a 时，函数)()(θθg f +的最小值是2)1(32++-a a ； ……11分下面求当37>a 时，函数)()(θθg f +的最小值． 当37>a 时，2)1(3>-a ，函数xa x x h )1(3)(-+=在]2,0(上为减函数．所以函数)()(θθg f +的最小值为2)1(522)1(32+=++-+a a a ． [当37>a 时，函数xa x x h )1(3)(-+=在]2,0(上为减函数的证明：任取2021≤<<x x ，])1(31)[()()(121212x x a x x x h x h ---=-，因为4012≤<x x ，4)1(3>-a ，所以0)1(3112<--x x a ，0)()(12<-x h x h ，由单调性的定义函数xa x x h )1(3)(-+=在]2,0(上为减函数．] 于是，当371≤<a 时，函数)()(θθg f +的最小值是2)1(32++-a a ；当37>a 时，函数)()(θθg f +的最小值2)1(5+a ． ……15分21．（1）由⎩⎨⎧==-+.4,082x y y x 解得)8,16(-A ；由⎩⎨⎧==+.4,02x y y x 解得)0,0(B ．由点斜式写出两条直线21l l 、的方程，0:;08:21=-=-+y x l y x l ，所以直线AB 的斜率为21-． ……4分 （2）推广的评分要求分三层一层:点P 到一般或斜率到一般,或抛物线到一般（3分，问题1分、解答2分）例：1．已知B A 、是抛物线x y 42=上的相异两点．设过点A 且斜率为-1的直线1l ，与过点B 且斜率为1的直线2l 相交于抛物线x y 42=上的一定点P ),4(2t t ，求直线AB 的斜率；2．已知B A 、是抛物线x y 42=上的相异两点．设过点A 且斜率为-k 1的直线1l ，与过点B 且斜率为k 的直线2l 相交于抛物线x y 42=上的一点P （4，4），求直线AB 的斜率；3．已知B A 、是抛物线)0(22>=p px y 上的相异两点．设过点A 且斜率为-1的直线1l ，与过点B 且斜率为1的直线2l 相交于抛物线)0(22>=p px y 上的一定点P ),2(2t pt ，求直线AB 的斜率；AB 的斜率的值．二层:两个一般或推广到其它曲线（4分，问题与解答各占2分）例：4．已知点P 是抛物线x y 42=上的定点．过点P 作斜率分别为k 、k -的两条直线21l l 、，分别交抛物线于A 、B 两点，试计算直线AB 的斜率．三层:满分（对抛物线，椭圆，双曲线或对所有圆锥曲线成立的想法．）（7分，问题3分、解答4分）例如：5.已知抛物线px y 22=上有一定点P ，过点P 作斜率分别为k 、k -的两条直线21l l 、，分别交抛物线于A 、B 两点，试计算直线AB 的斜率．过点P （00,y x ），斜率互为相反数的直线可设为00)(y x x k y +-=，00)(y x x k y +-=，其中0202px y =。
2009年高考上海数学试题答案(理数)
03任务_0001试卷总分：100 测试时间：0多项选择题简答题论述题一、多项选择题（共20 道试题，共40 分。
）1. 总体来看，古代城市的经济功能较弱，主要以（）为主。
A. 军事功能B. 社会功能C. 政治功能D. 文化功能2. 城市管理学的研究方法有（）。
A. 系统分析方法B. 理论联系实际的方法C. 综合分析方法D. 定性分析和定量分析相结合的方法3. （）是城市化的后续动力。
A. 农业现代化B. 科技现代化C. 工业化D. 信息化4. 以下关于新公共管理理论说法正确的是（）。
A. 更加注重对内部系统的管理B. 强调管理对象的外部化C. 强调以什么方式实施管理会加强管理的便利性D. 强调提高管理的内部效率5. （）是市人民代表大会的执行机关，是城市国家行政机关。
A. 市人民政府B. 市人民法院C. 市人民检察院D. 市政协6. 在我国城市中，城市政治权力系统包括（）。
A. 市人大B. 中共市委C. 市政协D. 市政府7. 在我国，市人民团体特指（）。
A. 市妇联B. 市共青团C. 市红十字协会D. 市工会8. 中共市委对（）起着领导作用，处于领导地位。
A. 市人民政府B. 市人民法院C. 市人民检察院D. 市人大9. （）属于初级城市发展战略观。
A. 营销导向B. 需求型C. 供给型D. 资源型10. 城市发展战略通常由（）组成。
A. 战略措施B. 战略反馈C. 重点战略D. 战略依据和战略愿景11. 城市现代化目标体系，主要包括（）。
A. 生活质量指标B. 生态环境指标C. 社会进步指标D. 经济发展指标12. 我国土地储备的运行模式包括（）。
A. 上海模式B. 杭州模式C. 南通模式D. 武汉模式13. 近代城市规划始于（）。
A. 美国B. 英国C. 法国D. 德国14. 我国现阶段城市规划的基本任务是（）。
A. 保护和修复人居环境，尤其是城乡空间环境的生态系统，为城乡经济、社会和文化协调、稳定地持续发展服务B. 保障和创造城市居民安全、健康、舒适的空间环境C. 保障和创造城市公正的社会环境D. 保障和创造城市公正的人文环境15. 在社会主义市场经济条件下，宏观调控具有（）的特征。
2009年上海高考数学试卷及答案(理科)
2009年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）一．真空题 （本大题满分56分）1． 若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ .2． 已知集合=≤A x x |1}{，=≥B x x a |}{，且⋃=A B R ，则实数a 的取值范围是______________________ .3． 若行列式 8 9x 3 5 x714中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是________________________ .4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是____________________________ .5．如图，若正四棱柱-ABCD A B C D 1111的底面连长为2，高 为4，则异面直线BD 1与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）.6．函数=+y x x 2cos sin 22的最小值是_____________________ .7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望ξE ____________（结果用最简分数表示）. 8.已知三个球的半径R 1，R 2，R 3满足+=R R R 23123，则它们的表面积S 1，S 2，S 3，满足的等量关系是___________.9.已知F 1、F 2是椭圆C x a y b+=2222:1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且⊥PF PF 12.若∆PF F 12的面积为9，则b =____________.10.在极坐标系中，由三条直线θ=0，=θπ3，ρθρθ+=cos sin 1围成图形的面积是________.11.当x ≤≤01时，不等式πsin2≥xkx 成立，则实数k 的取值范围是_______________.12．已知函数=+()sin tan f x x x .项数为27的等差数列a n }{满足a n ，ππ22∈-⎛⎝⎫⎭⎪，且公差d ≠0.若f a f a f a ++⋯+=1227()()()0，则当k =____________是，f a k =()0.13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。
09学年度第…学期高三质量调研数学试卷参考答案.docx
09学年度第…学期高三质量调研数学试卷参考答案一、填空题（每题4满分56分）：2兀1.—；32. 2； 3. (—2,0) ； 4. x = 7 ； 5.1一arccos 一；36 ?•4，7. 2；& A/2 +1 ；9. —；10. 90°；311. 2 + lgn；312.（1）2—；（2） A^A*（1-1/2V A2）；（错一个即不得分）413.。
>0且6/ +方=0；（该结论的等价形式都对）；14.（4-2^2,4 + 272）.二、选择题（每题4分，满分16分）：题号151617理18；文：18答案C B C A三、解答题:19・(满分14分)解：依题意，得A={X|X2-X-2>0}=(-OO,-1)U(2,+OO),S = Jx|-l>oU(O,3],于是可解得AAB = (2,3].设集合C =｛曲2无+ "<（）｝,则兀w由于Q是0的充分条件，所以ApBcC.则须满足3<-^p<-6.所以，实数〃的収值范围是（—,-6）.20.（本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）解：（1）（文）因为0B = 4sin30° = 2,OA=4COS30°=2A/3,所以丫=、兀0“= 兀.3 3（1）（理）解法一：设0B屮点为E,联结CE、DE ,则设异面直线A0与CD所成角即为ZCDE.由DE//A0 ,所以DE丄底面C03,于是DE丄CE.乂DE = -AO = 43 , CE = ^JCO2 + EO2 =^5,2因此，tan ZCDE即异面直线A。
与CD所成角的大小为毗3半1。
当Vo > 时，r = /(v)>9-2V680T = 36^170^；当且仅当V 二时'/取得最小值;解法二：以0C为兀轴，0B为y轴，0A为Z轴，建立空间直角坐标系, 则0(0,0,0), A(0,0,2^3), C(2,0,0), D(0,l,V3),OA = (0,0,273), CD = (-2,1,V3),设异面直线AO与CD所成角为&,则cos 0 =OACDOA • CD6 _y/6 2V3-2V2 - 4・•・异面直线AO与CD所成角的人小为arccos（2）文科同理科（1）,评分标准见理科解法一.（2）（理科）由条件,底面圆周长为2兀・0B = 4兀，母线长AB = 4.故该圆锥体侧面展开图的扇形圆心角人小为0 =——=——=兀、I 4即展开图恰好为一个半圆（如图）.7T 7T由条件ZBOC =-,故展开图屮,ZCAB =—，此时CD的长即为所求.2 4由余弦定理，CD2 = CA2 + AD2一2CA・ AD ・cos45° = 20-8^2 , 故从点C岀发在圆锥体表面运动到点D的最短距离为2V5-2V2 .21.（本題满分16分，其中第1小题6分，第2小题10分.）解：（1）依题意得，车队通过隧道的吋间f关于车队行述速度卩的函数解析式为:宀、6000+120 + 9R, 6120+ 9加2t = fM =----------------- = ----------- ，其屮，定义域为VG（0,V0];⑵t = f(v)胆0 +曲=9如㈣V=9.^ +680\,VG(0,vJ;令Jtv = —=> v =V型，于是吋间有最小值r min =6l2O+9ho (秒).vo22.(本题满分16分，其屮第1小题7分，第2小题9分.) [1O1 (1)证明：因为 ------- =— ------- =二^=_1+ ---------------°“+1 一 1 —1__ | a n _ 1 a n - 12一山所以 --------- =-1，//GN*;故」一是等差数列.%厂1 勺 j U_iJ由廿匕可得， -- — ------- （M — 1） X （― 1） — —Z?,% — 1 a x -1所以色=1——= ------- ,ne N .n n77 — |9（2）（文科）证明：由——X （—）",则有 "n 109 X [ 9n n -1 .loj [10（/2 + 1） 7" 所以，当一 n 2 + 10>0=>/?2<V10,即 n<3 时，仇+|〉仇; 同理，当一n 2 + 10<0=>n 2 > VTo ,即时，仇+|V 仇. 由此可知,仿是数列｛化｝中的最大项;乂因为/?| =(),且当”上2时，b n >0,所以数列曲｝屮的最小项为/?!=(). 因此，对于任意的正整数m. n,都有2。
高三质量调研数学试卷(理2)
2009学年度第一学期普陀区高三年级质量调研数学试卷 （理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，每题填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1. 函数cos3y x =，x R ∈的最小正周期是 .2. 221lim135(21)n n n →∞+=++++- . 3. 抛物线280y x +=的焦点坐标为 .4. 方程333log (1)log (1)1log (9)x x x -++=++的解为 .5. 已知1cos()3πα+=-，,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则α= . （用反三角函数表示） 6. 无穷等比数列{}n a 的首项为3，公比13q =-，则{}n a 的各项和S = . 7. 已知()2xf x x =+，则1(6)f-= .8. 函数22cos sin 2y x x =+，x R ∈的最大值是 . 9. 如图，OABC 是边长为1的正方形，AC 是四分之一圆弧，则图中阴影部分绕轴OC 旋转一周得到的旋转体的体积为 .10. 设1F ，2F 分别是椭圆14922=+y x 的左、右焦点．若点P 在椭圆上，且5221=+PF PF ，则向量1PF 与向量2PF 的夹角的大小为 ．11.在数列{}n a 中，1112,lg 1n n a a a n +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭（*N n ∈），则n a ＝ .12. 右图所给出的是用来求解：222211111111234100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的程序框图.则在框图的空格（1）处应填入的语句为 ；空格（2）处应填入的语句为 .1N N ←+()1A打印100N <()2结束否是2N ←开始第12题图OCBA第9题图13. 对任意的120x x <<，若函数12()f x a x x b x x =-+-的大致图像为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于x 轴），试写出a 、b 应满足的条件 . 14. 设关于x 的方程122x a x =+-的解集为A ,若A R -=∅,则实数a 的取值范围是 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题选对得4分.15. 已知平面向量()3,1a =，(),3b x =-，且a b ⊥，则x = （ ）A. 3-；B. 1-；C. 1； D . 9. 16. 集合{}1,0,1A =-，{}3,xB y y x A ==∈，则AB = （ ）A ．{}0；B ．{}1；C ．{}0,1；D ．{}1,0,1-.17. 若直线1l ：22x ay a +=+与直线2l ：1ax y a +=+不重合，则12l l ∥的充要条件是（ ）A. 1a =-；B. 12a =； C. 1a =； D. 1a =或1a =-. 18. 对于方程2sin 10xx --=，下列说法错误．．的是 （ ） A. 该方程没有大于0的实数解； B. 该方程有无数个实数解；C. 该方程在()0,+∞内有且只有一个实数解；D. 若0x 是该方程的实数解，则01x <. 三、解答题（本大题满分78分） 19. （本题满分14分）设函数)2lg()(2--=x x x f 的定义域为集合A ，函数()g x =B ．已知α：x A B ∈，β：x 满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围.20. （本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分）如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =，D 是AB 的中点．现将Rt AOB △以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥体，点C 为圆锥体底面圆周上的一点，且90BOC ∠=︒.（1）求异面直线AO 与CD 所成角的大小；（2）若某动点在圆锥体侧面上运动，试求该动点从点C 出发运动到点D 所经过的最短距离.21. （本题满分16分，其中第1小题6分，第2小题10分）.某隧道长6000米，最高限速为0v （米/秒），一个匀速行进的车队有10辆车，每辆车的车身长12米，相邻两车之间的距离与车速v （米/秒）的平方成正比，比例系数为k （0k >），自第一辆车车头进入隧道至第10辆车车尾离开隧道时所用时间为t （秒）. （1）求函数()t f v =的解析式，并写出定义域；（2）求车队通过隧道时间t 的最小值，并求出此时车速v 的大小.22.（本题满分16分，其中第1小题7分，第2小题9分.）已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈. （1）求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；（2）假设对于任意的正整数m 、n ，都有||n m b b ω-<，则称该数列为“ω域收敛数列”. 试判断: 数列45nn n b a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，*N n ∈是否为一个“23域收敛数列”，请说明你的理由.第20题图AB ODC23. （本题满分18分，其中第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分.） 如图，已知圆222:C x y r +=与x 轴负半轴的交点为A . 由点A 出发的射线l 的斜率为k . 射线l 与圆C 相交于另一点.B（1）当1r =时，试用k 表示点B 的坐标；（2）当1r =时，求证：“射线l 的斜率k 为有理数”是“点B 为单位圆C 上的有理点”的充要条件；（说明：坐标平面上，横、纵坐标都为有理数的点为有理点.我们知道，一个有理数可以表示为qp，其中p 、q 均为整数且p 、q 互质） （3）定义：实半轴长a 、虚半轴长b 和半焦距c 都是正整数的双曲线为“整勾股双曲线”.当k 为有理数．．．且01k <<时，试证明：一定能构造偶数个“整勾股双曲线”(规定：实轴长和虚轴长都对应相等的双曲线为同一个双曲线)，它的实半轴长、虚半轴长和半焦距的长恰可由点B 的横坐标、纵坐标和半径r 的数值构成. 说明你的理由并请尝试给出构造方法.。
上海市浦东新区2009年高三调研数学试题(理科)
上海市浦东新区2009年高三调研数学试卷2009年3月6日考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，作答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效.2. 本试卷共有20道试题，满分150分．考试时间100分钟.一、填空题（本题满分55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分。
1．不等式的解集为 。
0112≤--x x 2．若，，，且，则 。
()1,4A )21,1(B )23,(-x C 0=⋅=x 3．根据右边的框图，通过所打印数列的递推关系，可写出这个数列的第3 项是 。
4．已知实数和纯虚数满足：，（i 为虚数单位），则 。
x y i y i y x -=-+-)3()12（=x 5．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是 。
6．某赛车场的路线中有四个维修站如图所示．若维修站之间有路线直接联结D C B A ,,,（不经过其它维修站），则记为１；若没有直接路线联结，则记为0（与，与，与A A B B C C ，与D D记0），现用矩阵表示这些维修站间路线联结情况为 。
7．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 。
8．（文科）已知,，，则向量与的夹角为 。
2||=3||=3)2(=⋅+ （理科）某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的三位数 ，其中=N 1n 2n 3n 的各位数字中，，出现0的概率为，出现1的概率为，记N 11=n )3,2(=k n k 3231，当该计算机程序运行一次时，随机变量的数学期望是 。
321n n n ++=ξξ9．如图，，与的夹角为，与的夹角为，，1||||== 120 305||= ，，若=，则= 。
a =b =μλ+μλ+10．半径为1的球面上的四点、、、是正四面体的顶A B C D 点，则与两点间的球面距离为 。
2009届上海浦东新区第二学期高三质量测试理数四月
浦东新区2009年高考预测 数学试卷（理工农医类）考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，作答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效.2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、学号、以及试卷类型等填写清楚.3. 本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟.一、填空题（本题满分60分）本大题共有12题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．若11abi i=-+，(a 、R b ∈,i 表示虚数单位)，则=+b a ． 2．过点)3,2(-A 且一个方向向量为)2,1(-=d的直线方程是 ．3．若5522105)1(x a x a x a a x ++++=- ，则531a a a ++= ． 4．若圆0222=--+ax y x 与抛物线x y 42=的准线相切，则a 的值是 ． 5．极坐标系中两点)6,3(πA ，)2,1(πB ，则线段AB 的长等于 ．6．双曲线191622=-y x 的左、右焦点为1F 、2F ，若点P 在双曲线上，且021=⋅PF PF , 则=+||21PF PF ．7．函数x x y 2sin 32cos -=，],0[π∈x 的单调递增区间是 ．8．两封信随机投入C B A 、、三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望ξE 等于 ．9．设等差数列{}n a 的公差为d ，若7654321,,,,,,a a a a a a a 的方差为1，则d =________． 10．如图，△ABC 中，4AB =，AC =8，60=∠BAC ，延长作平行四边形BEDA ，2=BE ．当F 点在线段DE 上移动时， 若μλ+=，则μλ11+=t 的最小值为 ．11．已知()f x 是以2为周期的偶函数，当[]0,1x ∈时，()f x x =，若关于x 的方程1)(++=k kx x f 在[]1,3-内恰有四个不同的根，则k 的取值范围是 ．12．如图，一条螺旋线用以下方法画成：ABC ∆是边长为1的正三角形， 曲线1CA ，21A A ，32A A 分别以A 、B 、C 为圆心，以AC 、1BA 、2CAA3A 2 A 1CA B为半径画的弧，曲线321A A CA 称为螺旋线旋转一圈．然后又以A 为圆心、3AA 为半径画弧，这样画到第n 圈，则所得螺旋线的长度n l 为 ．(用含π的式子表示)二、选择题（本题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 4分，否则一律得零分.13．A ,B 两点在半径为2的球面上，且以线段AB 为直径的小圆周长为2π，则A ,B 两点间的球面距离为……………………………………………………………………………………（ ）A ．πB ．π2C ．3πD ．32π14．在ABC ∆中，“12A π>”是“232s i n >A ”的…………………………………（ ） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件15．定义,min{,},a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩．若等差数列{}n a 的公差0d <.令函数()(),1,2,,i i i f x x a a i n =-+= ，)}(,),(),(min{)(21x f x f x f x g n =， 则下列四个结论中，错误的是………………………………………………………………（ ） A .()()n g x f x = B.d x f d x f n n +=+-)()(1 C. max 1()g x a = D.min ()n g x a =16．由9个正数组成的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a 中，每行中的三个数成等差数列，且131211a a a ++、232221a a a ++、333231a a a ++成等比数列，下列四个判断正确的有……………………（ ）①第2列322212,,a a a 必成等比数列 ②第1列312111,,a a a 不一定成等比数列 ③23213212a a a a +≥+ ④若9个数之和等于9，则122≥a A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个三、解答题（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．17．（满分12分）本题有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．关于x 的不等式012<+xa x 的解集为()b ,1-．（1）求实数a 、b 的值；（2）若bi a z +=1，ααsin cos 2i z +=，且21z z 为纯虚数，求)32cos(πα-的值．18．（满分12分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图，直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠BAC ，11===AC AB AA ． （1）设M 是棱1BB 的中点，求C 到平面1MAC 的距离；（2）若M 是棱1BB 上的任意一点（包括端点），求二面角11A AC M --的大小的取值范围．19．（满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()()2,0,1,x xf x a a a a =->≠（1）解方程()3f x =；（2）当(0,1]x ∈时，关于x 的不等式()3f x <恒成立，求实数a 的取值范围.20．（满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题 满分6分．把公差为2的等差数列}{n a 的各项依次插入等比数列}{n b 中，将}{n b 按原顺序分成1项、2项、4项、……、12-n 项的各组，得到数列}{n c ：3765423211,,,,,,,,,a b b b b a b b a b ，……，记数列}{n c 的前n 项和为n S ．若11=c ，22=c ，=3S 413． （1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （2）求数列}{n c 的前100项和100S ；（3）设n n n a b T +⋅=2009，阅读框图写出输出项，说明理由．21．（满分20分）本题共有3小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分，第3小题满 分6分．记平面内动点M 到两条相交于原点O 的直线12l ,l 的距离分别为12,,d d 研究满足下列条件下动点M 的轨迹方程C ． （1）已知直线12l ,l 的方程为：2y =． （a ）若22126d d +=，指出方程C 所表示曲线的形状；（b ）若1212d d =，研究方程C 所表示曲线的性质，写出2个结论．（2）已知直线12l ,l 的方程为：tan y x α=±，圆223x y +=的一条切线l 交满足条件：22126d d +=的动点M 的轨迹于A 、B 两点，试判断对任意的角)40(παα<<，AOB ∠是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是，请说明理由．（3）若222122d d d +=，试用a,b 表示常数d 及直线12l ,l 的方程，使得动点M 的轨迹方程C 恰为椭圆的标准方程12222=+by a x （0>>b a ）．浦东新区2009年高考预测 数学试卷（理）参考答案与评分标准一、填空题1．3 2．012=-+y x 3．16- 4．1 5．7 6．10 7．]65,3[ππ 8．32 9．21± 10．1132412-11．），（031- 12．π)3(2n n +二、选择题13．D 14．B 15．C 16．A三、解答题17.【解】（1）原不等式等价于02)(<-+x a x ，即022<-+ax x -------------------3分由题意得，⎩⎨⎧-=⨯--=+-211b ab 解得1-=a ，2=b ． ------------------------5分（2）i z 211+-=，)sin cos 2()sin 2cos (21αααα-+--=i z z ------------------------7分 若21z z 为纯虚数，则0sin 2cos =+αα，即21tan -=α ----------------------------------9分 )32cos(πα-αα2sin 232cos 21+=10343tan 1tan 223tan 1tan 121222-=+⨯++-⨯=αααα 12分 18.【解法一】（1）三棱锥1MAC C -的体积等于三棱锥1ACC M -的体积，----------2分由231=MC ，21=AC ，25=MA ，即1MAC ∆的面积43=S 1ACC ∆的面积21='S ，---------------------------------------------4分3213131=⇒⋅'⋅=⋅⋅d S d S ，故C 到平面1MAC 的距离为32----6分（2）过M 作1AA MN ⊥于N ，过N 作1AC NO ⊥于O ．连接OM ，显然⊥MN 平面11C AA 1AC MN ⊥⇒，又1AC NO ⊥，所以1AC MO ⊥，MON ∠就是二面角11A AC M --的平面角，即θ=∠MON ---------8分设x AN =（10≤≤x ），当0=x 时2πθ=；-------------------------------------------------9分当10≤<x 时2x ON =，1=MN ，在MON Rt ∆中，-----------------------------------10分22arctan 22tan πθθ<≤⇒≥==x ON MN ，综上]2,2[arctan πθ∈-----------12分【解法二】（1）建立如图坐标系，)21,1,0(M ，)1,0,1(1C ，设),,(z y x n =→是平面1MAC 的一个法向量，)1,0,1(1=→--AC ，)21,1,0(=→--AM --------------------2分 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→--→→--→001AM n AC n ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒020z y z x ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⇒2z y z x ， 所以平面1MAC 的一个法向量可以是)1,21,1(--=→n ．--------4分又)1,0,0(1=→--CC ，所以C到平面1MAC 的距离3214111||||1=++=⋅=→→→--n n CC d ．-----------------------------------6分 （2）过M 作1AA MN ⊥于N ，显然⊥MN 平面11C AA ， 垂足N 在半平面11C AA 内，所以二面角11A AC M --的大小应为锐二面角或直二面角．又⊥AB 平面11C MA ，所以平面11C MA 的一个法向量是)0,1,0(=→--AB ，------------------8分 设),1,0(a M （10≤≤a ），),,(z y x n =→是平面1MAC 的一个法向量，向量→n 与→--AB 的夹角ϕ， 于是→--→⊥1AC n 且→--→⊥AM n ，而)1,0,1(1=→--AC ，),1,0(a AM =→--，所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→--→→--→01AM n AC n ⎩⎨⎧=+=+⇒00az y z x ⎩⎨⎧-=-=⇒az y z x ， 所以平面1MAC 的一个法向量可以是)1,,1(a n --=→．------------------------------------------10分22||||cos a a AB n ABn +-=⋅⋅=→--→→--→ϕ（10≤≤a ）33|cos |0≤≤⇒ϕ． 所以二面角11A AC M --的大小的取值范围]2,33[arccosπ．------------------------------12分 19.【解】（1）若2<x a ，方程为：032)(2=+⋅-x x a a ，08124<-=-=∆，无解 ----2分若2≥x a ，方程为：032)(2=-⋅-x x a a ，解得：3=x a ，3log a x =，--------------------4分符合条件，故3log a x =为方程的解．-----------------------------------------------------------------6分（2）设xa u =，)(x f y =由]1,0(∈x即当10<<a 时，1<≤u a ，显然有1)2(|2|<-=-=u u u u y 即3)(<x f 恒成立--9分 当1>a 时，a u ≤<1，若21≤<a 显然1)2(|2|<-=-=u u u u y 即3)(<x f 恒成立， 若2>a 时，显然)2(|2|-=-=u u u u y ，只要3)2(<-a a 即可，所以32<<a ---13分 所以，实数a 的取值范围是：）3,1()1,0( ---------------------------------------------------14分 20.【解】（1）由题意，11=b ，21=a ，4132113=++=b a b S ，故412=b ----------------2分 所以n a n 2=，1)41(-=n n b -----------------------------------------------------------------------------4分 （2）数列}{n c 与}{m a 、}{k b 相关的项数有规律：)12()14()12()11(1++++++++-m=m m +--1212=12-+m m --------------6分 当=m 6时，即6a =69c ，故94100b c = ------8分所以：9421621100b b b a a a S +++++++= =42+94413434）（-=9441343130）（-----10分（3）由于n T n n 2)41(20091+⋅=- 所以22)41(20091++⋅=+n T n n --------------------11分243)41(200911+⋅⋅-=--+n n n T T =n )41(60272⋅----------------------------------------------12分当5>n 时01>-+n n T T }{n T 递增当5≤n 时01<-+n n T T }{n T 递减 ---------------------------------------------------------13分通过计算39.394≈T 85.175≈T 96.136≈T 49.147≈T 12.168≈T所以满足条件15<n T 的项只有2项6T ，7T ---------------------------------------------------16分 21.【解】（1）（a ）2229x y += （指出椭圆形状即得2分）----------------------------------2分（b ）22236x y -= 对称性：关于,x y 和原点对称 渐近线为：22y x =±（任写出一条得2分，满分4分）---------------------------------6分（2）动点M 的轨迹方程为3cos sin 2222=+ααy x (0)4πα<<． ----------------------- 8分设圆223x y +=的切线为003,x x yy +=其中22003x y +=，设1122(,),(,),A x y B x y 则 取特殊情况，如过(3,0)，或3)时的切线运算得知2AOB π∠=，因此猜想在一般情况下，恒有结论：2AOB π∠=． ---------------------------------------------------------------------10分由00223,sin cos 3,x x yy x y αα+=⎧⎨+=⎩得22222222000(sin cos )6cos 9cos 30.y x x x x y αααα+-+-= 2012222200220122222006cos ,sin cos 9cos 3,sin cos x x x y x y x x y x αααααα⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩------------------------------------------------------------ 12分 222010201201201222222000003393()9sin 3sin cos x x x x x x x x x x x y y y y y y x ααα---++-∴=⋅==+ 22220012122222222200009cos 39sin 30sin cos sin cos y x x x y y y x y x αααααα--∴+=+=++． 0,OA OB ∴⋅= 2AOB π∠=． ------------------------------------------------------------14分（3）设直线12l ,l 的方程为：bx y a=±（0>>b a ），则由222122d d d +=得-----17分 222222211()x y d a b a b +=+令22d a b=+12222=+b y a x （0>>b a ）．---------------20分。
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上海市青浦区2008-2009学年第二学期高三模拟试卷数学理科2009.4（满分150分，考试时间120分钟）考生注意：本试卷包括试题纸和答题纸两部分．在本试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，每题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果．1．直线013=+-y x 的倾斜角为 ．2．已知全集R U =，集合{}0542>--=x x x M ，{}1≥=x x N ， 则)(N C M U ⋂= ．3．若复数z 满足iiz +=3 (其中i 是虚数单位)，则z = ．4．二项式6)21(x -展开式中3x 系数的值是 ． 5．市场上有一种“双色球”福利彩票，每注售价为2元，中奖 概率为6.71%，一注彩票的平均奖金额为14.9元．如果小王购 买了10注彩票，那么他的期望收益是 元． 6．把αα5cos 3cos +化为积的形式，其结果为 ． 7．已知)(y x P ，是椭圆191622=+y x 上的一个动点，则y x +的最大值是 ．8．已知21tan 1tan 2=-x x （]0[π，∈x ），则x 的值是 ． 9．如图是输出某个数列前10项的框图，则该数列第3项 的值是 ．10. 在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ．11．如图，用一平面去截球所得截面的面积为π2cm 2，已知 球心到该截面的距离为1 cm ，则该球的体积是 cm 3.第9题理第11题12．在△ABC 中，5=AB ，7=AC ，D 是BC 边的中点，则⋅的值 是 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题4分．每题只有一个正确答案，选择正确答案的字母代号并按照要求填涂在答题纸的相应位置．13．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++78615304z y x z y x z y x 的增广矩阵是………………………………………………（ ）．A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛786115130411B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--786115130411 C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛861513411 D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛854611131 14．在直角坐标系xoy 中，已知△ABC 的顶点)01(，-A 和)01(，C ，顶点B 在椭圆13422=+y x 上，则BCA sin sin sin +的值是…………………………………………………………………（ ）．A ．23B ．3C ．2D ．415. 以c b a 、、依次表示方程232212=+=+=+x x x x x x 、、的根，则c b a 、、的大小顺 序为…………………………………………………………………………………………（ ）．A ．c b a <<B ．c b a >>C ．b c a <<D ．c a b >>16．已知数列{}n a ，对于任意的正整数n ，⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅-≤≤=-)2010(.)31(2)20091(12009n n a n n ，，设n S 表示数列{}n a 的前n 项和．下列关于n n S +∞→lim 的结论，正确的是……………………………………（ ）．A ．1lim -=+∞→n n SB ．2008lim =+∞→n n SC ．⎩⎨⎧≥-≤≤=+∞→)2010(.1)20091(2009lim n n S n n ，（*N n ∈） D ．以上结论都不对三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域写出必要的步骤.17．(本题满分12分)动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室（如图所 示）．如果可供建造围墙的材料长是30米，那么宽x 为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. 在长方体D C B A ABCD ''''-中，2=AB ，1=AD ，1='A A ．求： （1）顶点D '到平面AC B '的距离；（2）二面角B AC B '--的大小．（结果用反三角函数值表示）19．(本题满分15分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.设数列{}n a 的前n 和为n S ，已知311=S ，3132=S ，3163=S ，3644=S ，一般地，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-++=-)().12(3412)(),12(3412)1(212为偶数时当为奇数时当n n n n S n n n （*N n ∈）．（1）求4a ； （2）求n a 2；（3）求和：n n a a a a a a a a 212654321-++++ ．A 'D ' B 'C 'BCD A20．(本题满分15分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分.已知a 为实数，函数3sin )(++=a f θθ，1sin )1(3)(+-=θθa g （R ∈θ）．（1）若θθcos )(=f ，试求a 的取值范围； （2）若1>a ，求函数)()(θθg f +的最小值．21．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分.已知B A 、是抛物线x y 42=上的相异两点．（1）设过点A 且斜率为-1的直线1l ，与过点B 且斜率1的直线2l 相交于点P(4，4)，求直线AB 的斜率；（2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线Γ，过该圆锥曲线上的相异两点A 、B 所作的两条直线21l l 、相交于圆锥曲线Γ上一点；结论是关于直线AB 的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；（3）线段AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于点)0(0，x Q ．若50=x ，试用线段AB 中点的纵坐标表示线段AB 的长度，并求出中点的纵坐标的取值范围．数学文理科试卷参考答案与评分标准2009.4说明1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3. 第17题至第21题中右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准1．3π； 2．{}1-<x x ； 3．10； 4．160-； 5．（理）66.8-元；（文）0.7； 6．（理）ααcos cos42⋅； （文）200赫兹； 7．（理）5； （文）p=4．8．（理）858ππ==x x 或； （文）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ 9．2113； 10．（理）cos 3ρθ=； （文）方程为01=+-y x ． 11．（理）π34； （文）21； 12．12．13——16：A ； C ； C ； 理B 文A17．设熊猫居室的总面积为y 平方米，由题意得：)100()330(<<-=x x x y ．… 6分解法1：75)5(32+--=x y ，因为)10,0(5∈，而当5=x 时，y 取得最大值75． 10分所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米． …… 12分 解法2：2]2)330(3[31)]330(3[31)330(x x x x x x y -+≤-=-==75，当且仅当x x 3303-=，即5=x 时，y 取得最大值75． …… 10分所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米． …… 12分18．理：如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为)0,0,1(A 、)0,0,0(D 、)0,2,0(C 、)1,0,1(A '、)1,2,1(B '、)1,0,0(D '． ……2分设平面AC B '的法向量为),,(w v u n =，则B n '⊥，B '⊥．因为)1,2,0(--='B ，)1,0,1(--='B ， ……3分0='⋅B ，0='⋅B ，所以⎩⎨⎧=+=+.0,02w u w v 解得v w v u 2,2-==，取1=v ，得平面AC B '一个法向量)2,1,2(-=n ，3=． ……5分 （1）在平面AC B '取一点A ，可得)1,0,1(-=D A ，于是顶点D '到平面AC B '的距离34==d ，所以顶点D '到平面AC B '的距离为34， ……8分（2）因为平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(1=n ，设n 与1n 的夹角为α，则32cos -==α， ……12分结合图形可判断得二面角B AC B '--是一个锐角，它的大小为32arccos．……14分文：（1）圆锥底面积为π9 cm 2， ……1分 设圆锥高为h cm ，由体积h V ⋅⋅=π931， ……5分 由π12=V cm 3得4=h cm ； ……8分 （2）母线长5=l cm ， ……9分 设底面周长为c ，则该圆锥的侧面积=cl 21， ……12分 所以该圆锥的侧面积=π15cm 2． ……14分19．（理）（1）164=a ； ……3分 （2）当k n 2=时，（*N k ∈）k k k k k k k k S S a 22222212222)]12(3412)2([)12(3412)2(=-+--+=-=--， ……6分所以，n n a 42=（*N n ∈）． ……8分（3）与（2）同理可求得：)12(3112-=-n a n ， ……10分 设n n a a a a a a a a 212654321-++++ =n T ， 则]4)12(45434[3132n n n T ⨯-++⨯+⨯+=，（用等比数列前n 项和公式的推导方法）]4)12(45434[3141432+⨯-++⨯+⨯+=n n n T ，相减得]4)12()444(24[313132+⨯--++++=-n n n n T ，所以94)14(2732491211--⨯-⨯-=-+n n n n T ． ……14分（文）（1）设数列前n 项和为n S ，则n n n n S n -=-+=22)220(． ……3分（2）公比121<=q ，所以由无穷等比数列各项的和公式得： 数列{}n b 各项的和为21121-=1． ……7分（3）设数列{}n c 的前n 项和为n T ，当n 为奇数时，n n n b a b a b T +++++=-1321 =2)1())41(1(32221-+-+n n ； ……11分当n 为偶数时，n n n a b b a b T +++++=-1321 =2))41(1(3222n n+-． ……14分即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+-+-=+为偶数时当，为奇数时当n n n n T n n n 322)21(32,322)1()21(3222)1(． ……15分20．（1）θθcos )(=f 即a --=-3cos sin θθ，又)4sin(2cos sin πθθθ-=-，2分所以232≤+≤-a ，从而a 的取值范围是]23,23[+---． ……5分（2）21sin )1(3)1(sin )()(+++-++=+a a g f θθθθ，令x =+1sin θ，则20≤<x ，因为1>a ，所以)1(32)1(3-≥-+a xa x ，当且仅当)1(3-=a x 时，等号成立，8分由2)1(3≤-a 解得37≤a ，所以当371≤<a 时，函数)()(θθg f +的最小值是2)1(32++-a a ； ……11分下面求当37>a 时，函数)()(θθg f +的最小值． 当37>a 时，2)1(3>-a ，函数xa x x h )1(3)(-+=在]2,0(上为减函数．所以函数)()(θθg f +的最小值为2)1(522)1(32+=++-+a a a ． [当37>a 时，函数xa x x h )1(3)(-+=在]2,0(上为减函数的证明：任取2021≤<<x x ，])1(31)[()()(121212x x a x x x h x h ---=-，因为4012≤<x x ，4)1(3>-a ，所以0)1(3112<--x x a ，0)()(12<-x h x h ，由单调性的定义函数x a x x h )1(3)(-+=在]2,0(上为减函数．]于是，当371≤<a 时，函数)()(θθg f +的最小值是2)1(32++-a a ；当37>a 时，函数)()(θθg f +的最小值2)1(5+a ． ……15分21．（1）由⎩⎨⎧==-+.4,082x y y x 解得)8,16(-A ；由⎩⎨⎧==+.4,02x y y x 解得)0,0(B ．由点斜式写出两条直线21l l 、的方程，0:;08:21=-=-+y x l y x l ，所以直线AB 的斜率为21-． ……4分 （2）推广的评分要求分三层一层:点P 到一般或斜率到一般,或抛物线到一般（3分，问题1分、解答2分）例：1．已知B A 、是抛物线x y 42=上的相异两点．设过点A 且斜率为-1的直线1l ，与过点B 且斜率为1的直线2l 相交于抛物线x y 42=上的一定点P ),4(2t t ，求直线AB 的斜率；2．已知B A 、是抛物线x y 42=上的相异两点．设过点A 且斜率为-k 1的直线1l ，与过点B 且斜率为k 的直线2l 相交于抛物线x y 42=上的一点P （4，4），求直线AB 的斜率；3．已知B A 、是抛物线)0(22>=p px y 上的相异两点．设过点A 且斜率为-1的直线1l ，与过点B 且斜率为1的直线2l 相交于抛物线)0(22>=p px y 上的一定点P ),2(2t pt ，求直线AB 的斜率； AB 的斜率的值．二层:两个一般或推广到其它曲线（4分，问题与解答各占2分）例：4．已知点P 是抛物线x y 42=上的定点．过点P 作斜率分别为k 、k -的两条直线21l l 、，分别交抛物线于A 、B 两点，试计算直线AB 的斜率．三层:满分（对抛物线，椭圆，双曲线或对所有圆锥曲线成立的想法．）（7分，问题3分、解答4分）例如：5.已知抛物线px y 22=上有一定点P ，过点P 作斜率分别为k 、k -的两条直线21l l 、，分别交抛物线于A 、B 两点，试计算直线AB 的斜率．过点P （00,y x ），斜率互为相反数的直线可设为00)(y x x k y +-=，00)(y x x k y +-=，其中0202px y =。