(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试卷(含答案解析)

一、选择题
1．已知1a e =，ln3
3b =，ln 44
c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）
A ．b c a <<
B ．c b a <<
C ．c a b <<
D ．a c b <<
2．已知函数2
44()ln -⎫⎛
=++ ⎪⎝⎭
x f x k x k x ，[1,)∈+∞k ，曲线()y f x =上总存在两点
()11,M x y ，()22,N x y 使曲线()y f x =在M ､N 两点处的切线互相平行，则12+x x 的
取值范围为（ ） A ．[4,)+∞
B ．(4,)+∞
C ．16,5⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
D ．16,5⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
3．已知函数()sin f x x x =+，若存在[0,]x π∈使不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立，则整数m 的最小值为（ ） A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
4．已知()f x 是可导函数，且()()ln f x x x f x '<⋅对于0x ∀>恒成立，则（ ） A ．()()()283462f f f << B ．()()()623428f f f << C ．()()()346229f f f <<
D ．()()()286234f f f <<
5．对于正数k ，定义函数：()()()(),,f x f x k
g x k f x k ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩
.若对函数()ln 22f x x x =-+，有
()()g x f x =恒成立，则（ ）
A ．k 的最大值为1ln2+
B ．k 的最小值为1ln2+
C ．k 的最大值为ln 2
D ．k 的最小值为ln 2
6．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为
（ ） A ．3
4
a >-
B ．53
a <-
C ．5334
a -
<<- D ．53
34
a -
≤≤- 7．若曲线()11
x
m
y e x x =+<-+上存在两条垂直于y 轴的切线，则m 的取值范围是（ ） A ．3
4,1e ⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．34,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭
C ．340,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．341,
e ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
8．对任意0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，不等式()()sin cos x f x x f x ⋅⋅'＜恒成立，则下列不等式错误的是（ ）
A
．34f ππ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．()2cos113f f π⎛⎫
⋅
⎪⎝⎭
＞ C
．()14f f π⎛⎫
⋅
⎪⎝⎭
D
．426f f ππ⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
＜ 9．已知函数2()f x x m =+与函数1()ln
3g x x x =--，1,22x ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦
的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5ln )4
[2,2+ B ．5
[2ln 2,
ln 2)4
-+ C ．5(ln 2,2ln 2)4
+-
D ．(]2ln2,2-
10．设()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x '为其导函数，()20f =，当0x >时，有
()()'>xf x f x 恒成立，则不等式()0xf x <的解集为（ ）
A ．()2,2-
B ．()
(),20,2-∞-
C ．()
()2,00,2-
D ．()()2,02,-+∞
11．设函数()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(2)0f -=，当0x >时，
()()03
x
f x f x '+
>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,2)(0,2)-∞-⋃ B ．(,2)
(2,2)-∞--
C ．(2,0)
(2,)-+∞ D ．(0,2)(2,)⋃+∞
12．已知函数()221,02,0k x f x x x k x ⎧⎛⎫
-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-≥⎩
，若函数()()()g x f x f x =-+有且只有四个不
同的零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．k 0<
B ．0k >
C ．27k <
D ．27k >
二、填空题
13．已知函数()3
2133
f x x x =
++在区间(),3+m m 上存在极大值与极小值，则实数m 的取值范围是_________．
14．函数()y f x =的导函数的图像如图所示，给出下列判断：
①函数()y f x =在区间(3)5，
内单调递增； ②函数()y f x =在区间1(3)2
-，
内单调递减； ③函数()y f x =在区间(22)-，
内单调递增； ④当1
2
x =-时，函数()y f x =有极大值；
⑤当2x =时，函数()y f x =有极大值； 则上述判断中正确的是________．
15．已知函数)(f x 的定义域为R ，且)(12f -=．若对任意x ∈R ，)(
2f x '>，则
)(24f x x >+的解集为______．
16．已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '. 当0x ≥时，
()()1xf x f x '>-. 若对任意x ∈R ，不等式()
()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立，则
正整数a 的最大值为_____.
17．函数2sin y x x =-在[]0,2π上的递增区间是________.
18．若存在两个正实数x ，y 使等式()()ln ln 0x m y x y x +--=成立，（其中
2.71828
e =）则实数m 的取值范围是________．
19．已知函数18ln ,y a x x e e
⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
的图象上存在点P ，函数22y x =--的图象上存
在点Q ，且P ，Q 关于x 轴对称，则a 的取值范围为________.
20．函数()ln f x x ax =-在()1,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______.
三、解答题
21．已知函数32()392f x x x x =-++-.
（1）求函数()y f x =的图象在点()()
1,1f 处的切线方程； （2）求()f x 的单调区间.
22．已知函数()()3f x alnx ax a R =--∈．
（1）函数()f x 的单调区间；
（2）当1a =-时，证明：当()1
x ∈+∞，时，()20f x +>． 23．已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e ]，g (x )＝ln x
x
，x ∈(0，e ]，其中e 是自然常数，a R ∈. （1）讨论a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值；
（2）求证：在（1）的条件下，f (x )>g (x )＋
12
； （3）是否存在正实数a ，使()f x 的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.
24．已知函数3()f x x x =-.
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间和极值； （Ⅲ）设函数()
()2sin f x t x x x
=
-，(0,)x ∈π，试判断()t x 的零点个数，并证明你的结论. 25．已知函数()(),0x
a e f x a R a x
⋅=∈≠.
（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处切线的方程； （2）求函数()f x 的单调区间.
26．已知函数2
1()ln (1)12
f x a x x a x =+
-++. （I ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；
（Ⅱ）若函数()f x 在1x =处取得极小值，求实数a 的取值范围.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 构造函数()ln x
f x x
=
，利用导数分析函数()f x 在区间[),e +∞上的单调性，由此可得出a 、b 、c 的大小关系.
【详解】 构造函数()ln x f x x =
，则()2
1ln x
f x x -'=，
当x e ≥时，()0f x '≤，所以，函数()f x 在区间[),e +∞上为减函数，
34e <<，则()()()34>>f e f f ，即a b c >>.
故选：B. 【点睛】
思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答.
数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.
2．B
解析：B 【分析】
求得()f x 的导数()f x '，由题意可得121()()(f x f x x '='，20x >，且12)x x ≠，化为121244()()x x k x x k +=+，因此1216
4x x k k
+>+对[1k ∈，)+∞都成立，令4
()g k k k
=+，
[1k ∈，)+∞，根据对勾函数的性质求出最值即可得出．
【详解】
解：函数2
44()()x f x k lnx k x
-=++，导数2414()()1f x k k x x '=+--．
由题意可得121()()(f x f x x '='，20x >，且12)x x ≠． 即有
2
2
112244
4411k k k k x x x x +
+
--=--， 化为12124
4()()x x k x x k
+=+，
而2
1212(
)2
x x x x +<， 2121244()()()2
x x
x x k k +∴+<+，
化为
12164x x k k
+>
+
对[1k ∈，)+∞都成立， 令4
()g k k k
=+
，[1,)∈+∞k ，则()g k 在[)1,2上单调减，在[2,)+∞上单调递增， 所以()()min 22442
g k g ==+
= ∴
6
164
414
k k
=+
， 124x x ∴+>，即12x x +的取值范围是()4,+∞．
故选：B ． 【点睛】
方法点晴：本题利用导数几何意义，函数的单调性与最值问题的等价转化方法、基本不等式的性质．
3．A
解析：A 【分析】
先对()f x 求导可得()1cos 0f x x '=+≥，()f x 单调递增，原不等式可化为存在[0,]x π∈ 使得sin cos x x m x ≤-有解，即sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，只需
()min m g x ≥，
利用导数判断()g x 的单调性求最小值即可. 【详解】
由()sin f x x x =+可得()1cos 0f x x '=+≥， 所以()sin f x x x =+在[0,]x π∈单调递增，
所以不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立等价于sin cos x x m x ≤-， 所以sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解， 令()sin cos g x x x x =+，只需()min m g x ≥， 则()sin cos sin cos g x x x x x x x '=+-=， 当02
x π
≤≤
时，()cos 0g x x x '=≥，()g x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
单调递增， 当
2x π
π<≤时，()cos 0g x x x '=<，()g x 在,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
单调递减， ()0cos01g ==，()sin cos 1g ππππ=+=-，
所以()()min 1g x g π==-， 所以1m ≥-， 整数m 的最小值为1-， 故选：A. 【点睛】
方法点睛：若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为
()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()max g x λ≤或()()min g x x D λ≥∈，
求()g x 的最值即可.
4．B
解析：B 【分析】
构造函数()()
ln f x g x x
=
，利用导数判断出函数()y g x =在区间()1,+∞上为增函数，可得出()()()248g g g <<，进而可得出结论. 【详解】
令()()ln f x g x x
=，则()()()()2
ln ln xf x x f x g x x x '-'=． 当1x >时，由()()ln f x x x f x '<⋅得()0g x '>， 所以函数()()
ln f x g x x
=
在()1,+∞上是增函数， 于是()()()248g g g <<，即
()()()248ln 2ln 4ln 8f f f <<，即()()()
248ln 22ln 23ln 2
f f f <<
. 化简得，()()()623428f f f <<， 故选：B.
5．B
解析：B 【分析】
利用导数求出函数()f x 的最大值，由函数()g x 的定义结合()()g x f x =恒成立可知
()f x k ≤，由此可得出k 的取值范围，进而可得出合适的选项.
【详解】
对于正数k ，定义函数：()()()(),,f x f x k g x k f x k ⎧≤⎪
=⎨
>⎪⎩
，且()()g x f x =恒成立，则
()f x k ≤.
函数()ln 22f x x x =-+的定义域为()0,∞+，且()111x
f x x x
-'=-=. 当01x <<时，()0f x '>，此时，函数()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x '<，此时，函数()f x 单调递减. 所以，()()max 11ln 2f x f ==+，1ln 2k ∴≥+. 因此，k 的最小值为1ln2+. 故选：B. 【点睛】
解决导数中的新定义的问题，要紧扣新定义的本质，将问题转化为导数相关的问题，本题将问题转为不等式()k f x ≥恒成立，从而将问题转化为求函数()f x 的最大值.
6．C
解析：C
【详解】
分析：函数()3
2
21f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之
间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．
a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ． 由△≤0，解得4
3
a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．
由△＞0，解得a 43＜
（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x 123a
--=，
x 2=
．
当403
a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．
当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，
∴必然有f ′（x 1）＝0，∴12，a ＜0．
解得：53-＜a 34
-
＜． 综上可得：53
-＜a 34
-＜． 故选：C ．
点睛：极值转化为最值的性质：
1、若()[]
f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；
2、若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；
7．C
解析：C 【分析】
先求出原函数的导函数，令0y '=，得到2(1)x m x e =+，然后将问题转化为2(1)x m x e =+在(,1)-∞-上有两个不同的解，再构造函数2()(1)(1)x f x x e x =+<-，求出()f x 的取值范围，即可得到m 的取值范围． 【详解】
由(1)1
x
m y e x x =+
<-+，得2(1)x
m y e x '=-+，
令0y '=，则2(1)x m x e =+，
曲线(1)1
x
m
y e x x =+
<-+存在两条垂直于y 轴的切线， 2(1)x m x e ∴=+在(,1)-∞-上有两个不同的解．
令2()(1)x f x x e =+，则22()2(1)(1)(43)x x x f x x e x e x x e '=+++=++．
∴当3x <-时，()0f x '>，当31x -<<-时，()0f x '<，
()f x ∴在(,3)-∞-上单调递增，在(3,1)--上单调递减， ∴3
4()(3)max f x f e =-=
， 又当3x <-时，()0f x >，(1)0f -=．
m ∴的取值范围为34(0,)e
．
故选：C ． 【点睛】
本题考查了利用导数研究曲线上某点处切线斜率，训练了利用导数研究函数的单调性、零点，考查数学转化思想方法，属中档题．
8．D
解析：D 【分析】
构造函数()()cos g x f x x =，对其求导后利用已知条件得到()g x 的单调性，将选项中的角代入函数()g x 中，利用单调性化简，并判断正误，由此得出选项. 【详解】
解：构造函数()()cos g x f x x =，则()()()cos sin g x x f x x f x ='⋅⋅'-， ∵()()sin cos x f x x f x ⋅⋅'＜，∴()()()cos sin 0g x x f x x f x =⋅-⋅''＞， 即()g x 在0,2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
上为增函数，
由43g g ＜ππ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即cos cos 4433f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，即12423f f ππ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
＜，故A 正确；
()13g g 由＜π⎛⎫
⎪⎝⎭
，即()1cos1cos 33f f ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜，即()2cos113f f π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＞，故B 正确；
()14g g π⎛⎫
⎪⎝⎭
由＜，即
()cos 1cos144f f ＜ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()1cos124f f π⎛⎫
⎪⎝⎭＜，故C 正确；
由64g g ππ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
＜，即cos cos 6644f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜624f f ＜ππ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即
64f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
＜，
故错误的是D ．故选D ． 【点睛】
本小题考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法.构造函数法主要应用于题目所给已知条件中含有()f x ，也含有其导数()f x '的不等式，根据不等式的结构，构造出相应的函数.如已知是()()0xf x f x -<'，可构造
()()f x g x x
=
，可得()()()
2
0xf x f x g x x
'-=
'<.
9．A
解析：A 【分析】
将问题转化为()()f x g x =-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
恰有两个不同的解，令()()()h x f x g x =+，将问
题转化为()h x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有两个零点的问题，利用导数可求得()h x 的单调性，进而确定
区间端点值和最值，由此构造不等式求得结果. 【详解】
()f x 与()g x 在1,22x ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，
()()f x g x ∴=-在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
恰有两个不同的解，
即2
21ln
3ln 30x m x x x x m x +--=+-+=在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恰有两个不同的解， 令()2
ln 3h x x x x m =+-+，则()()()2211123123x x x x h x x x x x
---+'=+-==
， ∴当1,12x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0h x '<；当()1,2x ∈时，()0h x '>，
()h x ∴在1
,12
⎛⎫
⎪⎝
⎭上单调递减，在()1,2上单调递增，
又15ln 224h m ⎛⎫
=--+
⎪
⎝⎭
，()12h m =-，()2ln 22h m =-+， 原问题等价于()h x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
上恰有两个零点，
则5ln 2024m m --+≥>-，解得：5ln 224m +≤<，即m 的取值范围为5ln 2,24⎡
⎫+⎪⎢⎣
⎭.
故选：A . 【点睛】
本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将两函数图象对称点个数的
问题转化为方程根的个数的问题，进一步通过构造函数的方式将问题转化为函数零点个数的问题.
10．B
解析：B
【分析】
构造函数()()f x g x x
=，易知()g x 在()0,∞+上单调递增，由()f x 是定义在R 上的偶函数可推出()g x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，故()g x 在(),0-∞上也单调递增，且()()220g g =-=.而不等式()0xf x <的解可等价于即()0g x <的解，从而得解.
【详解】
解：设()()f x g x x =，0x ≠，则()()()'2xf x f x g x x
-'=， ∵当0x >时，有()()'xf
x f x >恒成立，∴当0x >时，()0g x '>，()g x 在()0,∞+上单调递增，
∵()f x 是定义在R 上的偶函数，
∴()()()()f x f x g x g x x x
--===---，即()g x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数， ∴()g x 在(),0-∞上也单调递增.
又()20f =，∴()()2202
f g ==，∴()20g -=. 不等式()0xf x <的解可等价于即()0g x <的解，
∴02x <<或2x <-，
∴不等式的解集为()
(),20,2-∞-.
故选：B .
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的应用，考查函数的单调性，利用了构造思想，导函数的运用，属于中档题． 11．C
解析：C
【分析】
通过令3
()()g x x f x =可知问题转化为解不等式()0>g x ，利用当0x >时32()3()0x f x x f x '+>及奇函数与偶函数的积函数仍为奇函数可知()g x 在(,0)-∞递减、在(0,)+∞上单调递增，进而可得结论．
【详解】
解：令3
()()g x x f x =，则问题转化为解不等式()0>g x ，
当0x >时，()3()0xf x f x '+>，
∴当0x >时，233()()0x f x x f x +'>，
∴当0x >时()0g x '>，即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，
又(2)0f -=，()()f x x R ∈是奇函数，
()()()()()()()333g x x f x x f x x f x g x ∴-=--=--== 故()g x 为偶函数，
f ∴（2）0=，
g （2）0=，且()g x 在(,0)-∞上单调递减，
∴当0x >时，()0>g x 的解集为(2,)+∞，
当0x <时，()0(2)g x g >=-的解集为(2,0)-，
∴使得f ()0x >成立的x 的取值范围是(2-，0)(2⋃，)+∞，
故选C ．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，构造新函数是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
12．D
解析：D
【分析】
表示出函数()g x ，分0k =，k 0<及0k =讨论，易知当0k =及k 0<时均不合题意，而观察解析式可知，问题可化为22()(0)k g x x k x x
=+->有且仅有两个不同的零点，故利用导数研究函数()g x 在(0,)+∞上的最小值小于0即可．
【详解】 解：依题意，222,0
()4,02,0k x k x x g x k x k x k x x ⎧+->⎪⎪=-=⎨⎪⎪--<⎩
，
当0k =时，原函数有且只有一个零点，不合题意，故0k ≠；
观察解析式，易知函数()g x 为偶函数，则函数()g x 有且仅有四个不同的零点，可转化为22()(0)k g x x k x x
=+->有且仅有两个不同的零点， 当k 0<时，函数()g x 在(0,)+∞上递增，最多一个零点，不合题意；
当0k >时，32
2()()x k g x x -'=，0x >， 令()0g x '>，解得13x k >，令()0g x '<，解得1
30x k <<，
故函数()g x 在13(0,)k 上递减，在13(k ，)+∞上递增，
要使()g x 在(0,)+∞上有且仅有两个不同的零点，
则1233132()()0min k g x g k k k k ==+
-<，解得27k >．
故选：D ．
【点睛】 本题考查函数零点与方程根的关系以及利用导数研究函数的单调性，最值等，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档题．
二、填空题
13．【分析】利用导数求出函数的极大值点和极小值点由题意可得出关于实数的不等式组由此可解得实数的取值范围【详解】则令可得列表如下： 极大值 极小值 所以函数的极大值点为
解析：()3,2--
【分析】
利用导数求出函数()f x 的极大值点和极小值点，由题意可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.
【详解】
()32133
f x x x =++，则()()222f x x x x x '=+=+， 令()0f x '=，可得12x =-，20x =，列表如下：
所以，函数f x 的极大值点为2x =-，极小值点为0x =，
由于函数()32133
f x x x =++在区间(),3+m m 上存在极大值与极小值， 所以，230m m <-⎧⎨+>⎩
，解得32m -<<-. 因此，实数m 的取值范围是()3,2--.
故答案为：()3,2--.
【点睛】
易错点点睛：已知极值点求参数的值，先计算()0f x '=，求得x 的值，再验证极值点．由于导数为0的点不一定是极值点，因此解题时要防止遗漏验证导致错误． 14．③⑤【分析】根据导函数图像得出导数正负根据导数正负判定单调区间
根据左正右负和左负有正判定极值【详解】解：对于①当时单调递减当时单调递增所以①错；对于②当时单调递增当时单调递减所以②错；对于③当时单调
解析：③⑤
【分析】
根据导函数图像得出导数正负，根据导数正负判定单调区间，根据左正右负和左负有正判定极值.
【详解】
解：对于①，当(34)x ∈，
时()0f x '<，()f x 单调递减， 当(4,5)x ∈时()0f x '>，()f x 单调递增，所以①错；
对于②，当1
(2)2
x ∈-，
时()0f x '>，()f x 单调递增， 当(23)x ∈，时()0f x '<，()f x 单调递减，所以②错； 对于③，当(22)x ∈-，
时()0f x '>，()f x 单调递增，所以③对； 对于④，当(22)x ∈-，时()0f x '>，()f x 单调递增，故当12
x =-时()f x 不是极大值，所以④错；
对于⑤，当1
(2)2
x ∈-，
时()0f x '>，()f x 单调递增， 当(23)x ∈，时()0f x '<，()f x 单调递减，故2x =时函数()y f x =取得极大值，所以⑤对．
故答案为：③⑤.
【点睛】
求函数的极值或极值点的步骤：
（1）求导数()'f x ，不要忘记函数()f x 的定义域；
（2）求方程()0f x '=的根；
（3）检查在方程的根的左右两侧()'f x 的符号，确定极值点或函数的极值．
15．【分析】构造函数利用导数研究函数的单调性即可得结论【详解】设则因为对任意所以所以对任意是单调递增函数因为所以由可得则的解集故答案为：
【点睛】本题主要考查不等式的求解利用条件构造函数利用导数研究函数的 解析：)(1,-+∞
【分析】
构造函数)(()24g x f x x =--，利用导数研究函数的单调性即可得结论.
【详解】
设)(()24g x f x x =--，则)(
()2g x f x ='-'，
因为对任意x ∈R ，)(2f x '>，所以()0g x '>，
所以对任意x ∈R ， ()g x 是单调递增函数，
因为)(12f -=，所以)((1)124440g f -=-+-=-=，
由()()10g x g >-=，可得1x >-，
则)(
24f x x >+的解集()1,-+∞.
故答案为：()1,-+∞.
【点睛】
本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数、利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键. 16．2【分析】令利用可得在单调递增不等式恒成立等价于即当时分离参数可得可求出正整数的最大值为2再检验当时对于不等式恒成立即可求解【详解】因为定义在上的函数关于轴对称所以函数为上的偶函数令则因为当时即所以 解析：2
【分析】
令()()g x xf x x =-，利用()()1xf x f x '>-可得()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立等价于()()x g e g ax >，即e x ax >，当0
x >时，分离参数可得()x
e a h x x
<=，可求出正整数a 的最大值为2，再检验当2a =时，对于0x <，不等式恒成立，即可求解.
【详解】
因为定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，
所以函数()f x 为R 上的偶函数，
令()()g x xf x x =-，则()()()1g x f x xf x ''=+-，
因为当0x ≥时，()()1xf x f x '>-，即()()()10g x f x xf x ''=+->，
所以()g x 在[)0,+∞单调递增，
不等式()()0x x x e f e
e ax ax
f ax -+->恒成立， 即()()x x x e f e e axf ax ax ->-，即()()x
g e g ax >，
所以e x ax >，
当0x >时，()x
e a h x x <=，则()()2
1x e x h x x -'=， 可得()h x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，
所以()()min 1h x h e ==，
所以a e <，
此时最大的正整数a 为2，
2a =对于0x <时，e x ax >恒成立，
综上所述：正整数a 的最大值为2，
故答案为：2
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()g x xf x x =-，利用导数判断出()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式恒成立即()()x g e g ax >，利用单调性可得e x ax >，再分类参数求最值.
17．【分析】根据函数求导解的解集即可【详解】因为函数所以令得或当时所以函数在上的递增区间是故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性还考查了转化问题和运算求解的能力属于中档题 解析：5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【分析】
根据函数2sin y x x =-，求导12cos y x '=-，解0y '>的解集即可.
【详解】
因为函数2sin y x x =-，
所以12cos y x '=-，
令12cos 0y x '=-=，得3x π=或53x π=， 当533
x π
π≤≤时，0y '>， 所以函数2sin y x x =-在[]0,2π上的递增区间是5,33ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦. 故答案为：5,33ππ⎡⎤⎢
⎥⎣
⎦ 【点睛】 本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化问题和运算求解的能力，属于中档题. 18．【分析】由条件转化为换元令由导数确定函数的值域即可求解【详解】设且设那么恒成立所以是单调递减函数当时当时函数单调递增当函数单调递减所以在时取得最大值即解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数研 解析：(),0-∞
【分析】 由条件转化为11ln y y m x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，换元0y t x
=>，令()()1ln g t t t =-，由导数确定函数
的值域即可求解.
【详解】
()()ln ln x m x y y x =--，()()ln ln 11ln x y y x y y m x x x --⎛⎫==-⋅ ⎪⎝
⎭ 设0y t x =
>且1t ≠， 设()()1ln g t t t =-，
那么()()1
1ln 1ln 1g t t t t t t
'=-+-⋅=-+-， ()221110t g t t t t
+''=--=-<恒成立， 所以()g t '是单调递减函数，
当1t =时，()10g '=，当()0,1t ∈时，()0g t '>，函数单调递增，
当()1,t ∈+∞，()0g t '<，函数单调递减，
所以()g t 在1t =时，取得最大值，()10g =，即
10m <， 解得：0m <，
故答案为：(),0-∞
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、最值，考查了变形运算能力，属于中档题. 19．【分析】设代入解析式得到两个方程联立可得让取值域即可【详解】设则所以联立可得即对于有解令由可得：；由可得：所以在单调递减在上单调递增所以所以值域为即可得的取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查了利 解析：2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣
⎦
【分析】
设()00,Q x y 、()00,P x y -代入解析式，得到两个方程联立可得2008ln 2a x x =-+，2000()8ln 2h x x x =-+，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，让a 取0()h x 值域即可. 【详解】
设()00,Q x y 、则()00,P x y -
所以2002y x =--，008ln y a x -=+，联立可得2008ln 2a x x =-+
即2008ln 2a x x =-+对于1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
有解， 令2000()8ln 2h x x x =-+，
200000
288()2x h x x x x -'=-=， 由0()0h x '>可得：2x e <<；由0()0h x '<可得：12x e
<<， 所以0()h x 在1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
单调递减，在[]2,e 上单调递增， 20min ()(2)28ln 2268ln 2h x h ==-+=-，
2211118ln 210h e e e e ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ()()228ln 26h e e e e =-+=-， 所以0max 2
1()10h x e =+， 所以0()h x 值域为2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦
， 即可得a 的取值范围为2168ln 2,10e ⎡⎤-+
⎢⎥⎣⎦， 故答案为：2168ln 2,10e ⎡⎤-+
⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】 本题主要考查了利用导数解决存在性问题，涉及求函数的值域，属于中档题. 20．【分析】求导得到恒成立化简得到计算得到答案【详解】在恒成立即恒成立故故答案为【点睛】本题考查了利用导数计算函数的单调性意在考查学生的计算能力
解析：[1,)+∞
【分析】 求导得到1'()0f x a x =
-≤恒成立，化简得到1a x
≤，计算得到答案. 【详解】 1()ln '()0f x x ax f x a x =-∴=
-≤在()1,+∞恒成立 即
1a x
≤恒成立，故1a ≥ 故答案为[1,)+∞ 【点睛】
本题考查了利用导数计算函数的单调性，意在考查学生的计算能力.
三、解答题
21．（1）1230x y --=；（2）单调递减区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调递增区间为()1,3-.
【分析】
（1）求出导函数()'f x ，然后计算导数得斜率，从而得切线方程；
（2）由()0f x '>得增区间，()0f x '<得减区间．
【详解】
解：（1）∵32()392f x x x x =-++-，
∴2()369f x x x '=-++，
∴()112f '=.
又∵()19f =，
∴函数()y f x =的图象在点()()
1,1f 处的切线方程为912(1)y x -=-，
即1230x y --=.
（2）由（1），得2()3693(1)(3)f x x x x x '=-++=-+-， 令()0f x '=，解得1x =-或3x =；
当()0f x '<时，1x <-或3x >；
当()0f x '>时，13x .
∴()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调递增区间为()1,3-.
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查求函数的单调区间．解题方法是求出导函数()'f x ，计算0()f x '得切线斜率，由点斜式写出切线方程并整理成一般式．而求单调区间只要解不等式()0f x '>即得增区间，解不等式()0f x '<即得减区间．
22．（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求导()()
1'(0)a x f x x x -=>，0a >，0a <，0a =讨论，令()'0f x >求解.
（2）结合（1）将问题转化为()min 2f x >-求解.
【详解】
（1）根据题意知，()()
1'(0)a x f x x x -=>，
当0a >时，当()01x ∈，时，()'0f x >，当()1x ∈+∞，
时，()'0f x <， 所以()f x 的单调递增区间为()01，，单调递减区间为()1+∞，
；
同理，当0a <时，()f x 的单调递增区间为()1+∞，，单调递减区间为()01，；
当0a =时，()3f x =-，不是单调函数，无单调区间．
（2）证明：当1a =-时，()ln 3f x x x =-+-，
所以12f ，
由（1）知()ln 3f x x x =-+-在()1
+∞，上单调递增， 所以当()1
x ∈+∞，时，()()1f x f >． 即()2f x >-，所以()20f x +>．
【点睛】
方法点睛：利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h (x )>0，其中一个重要技巧就是找到函数h (x )在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口． 23．（1）当01x <<时，()f x 单调递减；当1x e <≤时，()f x 单调递增；最小值1；（2）证明见解析；（3）存在，2a e =.
【分析】
(1)根据f (x )＝x －ln x ，求导得11()1x f x x x '-=-
=，分别令f ′(x )<0，f ′(x )>0求解单调性和极值.
(2)要证 f (x )>g (x )＋12，即证[f (x )]min －[g (x )]max >12
，由(1)知f (x )在(0，e ]上的最小值为1，再利用导数法求得[g (x )]max 即可.
(3)假设存在正实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e ])有最小值3，求导
11()ax f x a x x
'-=-
=，分0<1a <e ，1a ≥e 讨论求解. 【详解】 (1)因为f (x )＝x －ln x ， 所以11()1x f x x x
'-=-=， 所以当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减；
当1<x ≤e 时，f ′(x )>0时，此时f (x )单调递增．
∴f (x )的极小值为f (1)＝1.
(2)∵f (x )的极小值为1，
∴f (x )在(0，e ]上的最小值为1，即[f (x )]min ＝1.
又g ′(x )＝
2
1ln x
x -， ∴当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在(0，e]上单调递增． ∴[g (x )]max ＝g (e)＝
112
e <， ∴[
f (x )]min －[
g (x )]max >
12
， ∴在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋
12
. (3)假设存在正实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e ])有最小值3， 则11()ax f x a x x
'
-=-=. ①当0<
1a <e 时，f (x )在(0，1a )上单调递减，在(1
a ，e ]上单调递增， [f (x )]min ＝f (1
a
)＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件； ②当
1
a
≥e 时，f (x )在(0，e ]上单调递减， [f (x )]min ＝f (e)＝a e －1＝3，a ＝4
e
(舍去)， 所以，此时f (x )无最小值．
综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e ]时f (x )有最小值3. 【点睛】
方法点睛：不等式问题.
（1）证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．
（2）求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．
24．（Ⅰ）22y x =-；（Ⅱ）()f x 的单调递减区间是(，单调递增区间是
(,-∞，)+∞9
-；（Ⅲ）一个，证明见解析. 【分析】
（Ⅰ）利用导数的几何意义求切线方程；（Ⅱ）根据()0f x '>和()0f x '<，求函数的单调递增和递减区间，根据极值的定义求极值；（Ⅲ）首先方程等价于212sin 0x x --=，设函数2
()12sin ,(0,)g x x x x π=--∈，求函数的导数()22cos g x x x '=-，分
0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
和,2x ππ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭两个区间讨论函数的单调性，并结合零点存在性定理说明函数的
零点个数. 【详解】
（Ⅰ）由3()f x x x =-，得 2()31x f x '=-. 因为(1)0f =，(1)2f '=，
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为22y x =-.
（Ⅱ）令()0f x '=，得2310x -=，解得x =3
x =
. 当x 变化时，()f x 和()'
f x 变化情况如下表：
)+∞；
()f x 在3x =-3
x =处取得极小值.
（Ⅲ）(0,)x π∈,()0t x =，即
21
20sin x x
--=， 等价于212sin 0x x --=. 设2
()12sin ,(0,)g x x x x π=--∈，则()22cos g x x x '
=-.
①当,2x ππ⎡⎫
∈⎪⎢
⎣⎭
时，()0r g x >，()g x 在区间,
2上单调递增.
又2
()3024
g ππ=
-<，2()10g π=π->， 所以()g x 在区间,
2
上有一个零点.
②当(0,
)2
x π
∈时,设()()22cos h x g x x x '==-.
()22sin 0h x x '=+>，所以()'g x 在区间(0,
)2
π
上单调递增.
又(0)20g '=-<，()02
g π
'=π>，
所以存在0(0,
)2
x π
∈，使得00()g x '=.
所以，当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；
当0(,
)2
x x π
∈时，()0g x '>，()g x 单调递增.
又(0)10g =-<，2
()3024
g ππ=
-<， 所以()g x 在区间(0,
)2
π
上无零点.
综上所述，函数()t x 在定义域内只有一个零点. 【点睛】
关键点点睛：本题第三问判断零点个数，首先要构造函数，当0,2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，利用二次导数判断()g x '单调递增，存在0(0,)2
x π
∈，使得00()g x '=，再判断零点个数时，需结合
函数的单调性和端点值共同判断. 25．（1）y e =；（2）答案见解析. 【分析】
（1）先求出切点坐标，求出导函数，得到()1k f '=，再写出切线方程即可； （2）求出导函数，对a 分类讨论，判断函数的导数的符号，可得到函数的单调区间. 【详解】
（1）当1a =时，()()0x
e f x x x
=≠，()1f e =，切点()1,e ，
()2
x x
x e e f x x
'=-， ()10k f '==， 所以切线方程为0y e -=，即y e =.
（2）()()()22
10x x x
e x e e
f x a a x x x
x -'==≠-， ① 0a >，当10x ->，即1x >时， ()0f x '>，函数()f x 单调递增；
当10x -<，即0x <，或01x <<时， ()0f x '<，函数()f x 在每个区间上单调递减； ② 0a <，当10x ->，即1x >时， ()0f x '<，函数()f x 单调递减；
当10x -<，即0x <，或01x <<时， ()0f x '>，函数()f x 在每个区间上单调递增； 综上所述，0a >时，()f x 的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为(),0-∞，
()0,1；
0a <时，()f x 的单调递增区间为(),0-∞，()0,1，单调递减区间为()1,+∞.
【点睛】
含参问题注意分类，找到合理的分类标准是解决本题的关键，是中档题． 26．（I ）1y x =-；（Ⅱ）1a <. 【分析】
（Ⅰ）当0a =时，利用导数的几何意义求切线方程；（Ⅱ）首先求函数的导数，
2(1)()10a x a x a
f x x a x x
'
-++=+--==时，11x =和2x a =，并讨论a 与0,1的大小
关系，求实数a 的取值范围. 【详解】
（I ）当0a =时，2
1()12
f x x x =-+. 所以()1f x x '
=-， 所以(2)1k f '==，
因为2
1(2)22112
f =
⨯-+=. 所以切线方程为1y x =-.
（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. 因为2
1()ln (1)12
f x a x x a x =+
-++ 所以2(1)()1a x a x a
f x x a x x
'
-++=+--=
. 令()0f x '=，即2
(1)0x a x a -++=，解得1x =或x a =.
（1）当0a 时，当x 变化时，(),()f x f x '的变化状态如下表：
所以0a 成立.
（2）当01a <<时，当x 变化时，(),()f x f x '的变化状态如下表：
所以01a <<成立.
（3）当1a =时，()0f x '
在(0,)+∞上恒成立，
所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，没有板小值，不成立. （4）当1a >时，当x 变化时，(),()f x f x '的变化状态如下表：
所以1a >不成立. 综上所述，1a <. 【点睛】
关键点点睛：本题考查根据极值点求a 的取值范围，本题容易求出导函数的零点1和a ，但需讨论a 的范围，这是易错的地方，容易讨论不全面，需注意.。