06-07(2)《数值分析》试卷(A)

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数值分析试题与答案

一、单项选择题（每小题3分,共15分）1. 和分别作为π(de)近似数具有（）和（）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰,则A ＝（）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y (de)拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（）A ．()00l x ＝0,()110l x =B ．()00l x ＝0,()111l x =C ．()00l x ＝1,()111l x = D ．()00l x ＝1,()111l x =4. 设求方程()0f x =(de)根(de)牛顿法收敛,则它具有（）敛速.A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到(de)第3个方程（）.A ．232x x -+=B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+=D ．230.5 1.5x x -=-二、填空题（每小题3分,共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时,科茨系数()()()33301213,88C C C ===,那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ,所以()0f x =在区间内有根.5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩(de)计算公式 .0,1,2分人三、计算题（每题15分,共60分）1. 已知函数211y x =+(de)一组数据：求分段线性插值函数,并计算()1.5f (de)近似值.1. 解 []0,1x ∈,()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---[]1,2x ∈,()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩ ()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）对于初始值()()00,0,0X =,应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.1.解原方程组同解变形为1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间(de)近似根（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根,精确到. 3. 解()331f x x x =--,()130f =-<,()210f =>()233f x x '=-,()12f x x ''=,()2240f =>,故取2x =作初始值4. 写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分111dxx+⎰.四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中(de)待定系数,并证明确定后(de)求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明：求积公式中含有三个待定系数,即101,,A A A -,将()21,,f x x x =分别代入求一、填空（共20分,每题2分）1. 设2.3149541...x *=,取5位有效数字,则所得(de)近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---,()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商 ()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ,=∞||||X .4．求方程 21.250x x --= (de)近似根,用迭代公式 1.25x x =+,取初始值 01x =, 那么 1______x =。

数值分析试题集

..数值分析试题集（试卷一）一（ 10 分）已知 x 1* 1.3409 ，x 2* 1.0125 都是由四舍五入产生的近似值，判断 x 1*x 2* 及 x 1* x 2*有几位有效数字。

二（ 10 分）由下表求插值多项式x 01 2 y2 34 y1－ 1三（ 15 分）设 f ( x)C 4 [a,b] ， H （ x ）是满足下列条件的三次多项式H (a) f (a) , H (b) f (b) , H (c)f (c) , H (c) f (c)( a c b )求 f (x)H ( x) ，并证明之。

12四（ 15 分）计算13 dx ，10 2。

x五（ 15 分）在 [0，2]上取 x 0 0 , x 1 1 , x 22 ，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代数精度。

六（ 10 分）证明改进的尢拉法的精度是 2 阶的。

七（ 10 分）对模型 yy , 0 ，讨论改进的尢拉法的稳定性。

八（ 15分）求方程 x 34x 2 7x 1 0 在 -1.2 附近的近似值，10 3。

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------（试卷二）一填空（ 4*2 分）1 {k ( x) } k 0 是区间 [0， 1]上的权函数为( x) x 2 的最高项系数为 1 的正交多项式族，其中10 (x)1，则x0 ( x) dx ------------------- ， 1 ( x) ------------------。

2 12 A，则 A1 4----------- ，( A) ----------------- 。

a 1 2 时， A 可作 LU 分解。

3 设 A，当 a 满足条件 ---------------- 14..4 设非线性方程 f ( x) (x33x23x1)( x 3) 0 ，其根 x1* 3 ， x2*1，则求 x1* 的近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是--------------------------- 。

《数值分析》A卷期末考试试题及参考答案

一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、用Simpson 公式求积分1401x dx +⎰的近似值为 ( ).A.2924 B.2429C.65D. 562、已知(1)0.401f =，且用梯形公式计算积分2()f x dx ⎰的近似值10.864T =，若将区间[0,2]二等分，则用递推公式计算近似值2T 等于( ). A.0.824 B.0.401 C.0.864 D. 0.8333、设3()32=+f x x ,则差商0123[,,,]f x x x x 等于( ).A.0B.9C.3D. 64的近似值的绝对误差小于0.01%，要取多少位有效数字( ). A.3 B.4 C.5 D. 25、用二分法求方程()0=f x 在区间[1,2]上的一个实根，若要求准确到小数点后第四位，则至少二分区间多少次( ).A.12B.13C.14D. 15二、填空题(每小题4分，共40分)1、对于迭代函数2()=(3)ϕ+-x x a x ，要使迭代公式1=()ϕ+k k x x则a 的取值范围为 .2、假设按四舍五入的近似值为2.312，则该近似值的绝对误差限为 .3、迭代公式212(3)=,03++>+k k k k x x a x a x a收敛于α= (0)α>. 4、解方程4()530f x x x =+-=的牛顿迭代公式为 . 5、设()f x 在[1,1]-上具有2阶连续导数，[1,1]x ∀∈-，有1()2f x ''≤，则()f x 在[1,1]-上的线性插值函数1()L x 在点0处的误差限1(0)R ≤______.6、求解微分方程初值问题2(0)1'=-⎧⎨=⎩y xy yy ，0x 1≤≤的向前Euler 格式为 .7、设310131013A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则A ∞= .8、用梯形公式计算积分112-⎰dx x 的近似值为 . 9、设12A 21+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a 可作Cholesky 分解，则a 的取值范围为 . 10、设(0)1,(0.5) 1.5,(1)2,(1.5) 2.5,(2) 3.4f f f f f =====，若1=h ，则用三点公式计算(1)'≈f .三、解答题（共45分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛. (5分)4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+y x b的拟合曲线. (8分) 5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (8分) 6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦一、单项选择题（每小题3分，合计15分） 1、A 2、D 3、C 4、C 5、D 二、填空题（每小题3分，合计30分） 1、0<<a ； 2、31102-⨯； 3；4、4135345++-=-+k k k k k x x x x x ； 5、14； 6、1(2)+=+-n n n n n y y h x y y ； 7、5；8、34-； 9、3>a ；10、1.2；三、计算题（合计55分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算 1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)解： 401024S [()4()()]6-=++x x f x f x f x ………… 1分 1.38 1.30(3.624 4.20 5.19)6-=+⨯+ 0.341= ………… 2分20422012234S [()4()()][()4()()]66--=+++++x x x xf x f x f x f x f x f x =0.342 ………… 6分2211[]15-≈-I S S S =-⨯40.6710 ………… 8分 2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 解：设111213212223313233u u u 123100135l 100u u 136l l 100u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………… 1分 111=u ，212=u ，313=u ，121=l ，131=l 122=u ，223=u ，132=l133=u ，133=l …………6分所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111011001L ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100210321U …………7分由b Ly =得Ty )1,1,2(=；由y Ux =得Tx )1,1,1(-=. ………… 8分3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛.(6分)解：要使迭代序列具有平方收敛，则()0ϕ'*=x ………… 2分而()()()ϕλ=+f x x x x ，即 ………… 3分 2()()()()10()λλλ''**-**+=*f x x x f x x …………4分而()0*=f x 则有()1()λ'*=-*f x x ………… 5分所以()()23λ'=-=--x f x x ………… 6分4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+ay x b的拟合曲线. (8分) 解：因为11=+b x y a a ，令0111,,,====b a a y x x a a y……2分则有法方程01461061410⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a ……5分解出014,1==-a a ，则1,4=-=-a b ……7分所以1=4-y x……8分5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (7分)解：01()(2)8l x x x =- …………2分 211()(4)4l x x =-- …………4分21()(2)8l x x x =+ …………6分 2012()()(2)()(0)()(2)L x l x f l x f l x f =-++24=+x …………7分6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦解：100010001D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，00010021002L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，10021002000U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………3分1100211()0221002J B D L U -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………5分 2102111()0222102J E B λλλλλλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦…………6分()2J B ρ=…………7分所以用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =收敛 …………8分。

数值分析试题与答案

一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为。

2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为。

3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝，1x = 。

4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为。

二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。

三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。

（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。

（10分）五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。

（10分）六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。

（10分）《数值分析》（A ）卷标准答案（2009－2010－1）一．填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。

数值分析试卷及答案

数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。

答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。

答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。

答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。

答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。

(完整版)数值分析整理版试题及答案,推荐文档

9
1
xdx T4
h[ 2
f
1
3
2 k 1
f
xk
f
9]
2[ 1 2 3 5 7 9] 2
17.2277
（2）用 n 4 的复合辛普森公式
由于 h 2 ， f x
x
，
xk
1
2k k
1, 2,3，
x
k
1
2
2k k
0,1, 2,3，所以，有
2
3
9
1
xdx S4
h[ 6
f
1
若 span1, x，则0 (x) 1 ，1(x) x ，这样，有
2
1
0 ,0 1dx 1
0
1,1
1 0
x2dx
1 3
0
,1
1,0
1
0
xdx
1 2
1
f ,0 exdx 1.7183
0
1
f ,1 xexdx 1
0
所以，法方程为
1
1
1
2 1
a0
a1
1.7183 1
1 0
1
23
2 1
a0
a1
6 1
12
3
再回代解该方程，得到
a1
4
，
a0
11 6
故，所求最佳平方逼近多项式为
S1*
(
x)
11 6
4x
例 3、设 f (x) ex ， x [0,1] ，试求 f (x) 在[0, 1]上关于 (x) 1 ， span1, x的最
佳平方逼近多项式。解：
1
4
x1
1 5

《数值分析》2017-2018学年第一学期期末试卷

吉林大学《数值分析》2017-2018学年第一学期期末试卷一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 以下误差限公式不正确的是（） A ．()()(1212)x x x εεε−=−x B. ()()()1212x x x x εεε+=+C ．()()()122112x x x x x x εε=+ε D. ()()22x x x εε=2. 步长为的等距节点的插值型求积公式，当h 2n =时的牛顿－科茨求积公式为（） A ．()()()2bahf x dx f a f b ≈+⎡⎤⎣⎦∫B ．()()()432bah a b f x dx f a f f b ⎡+⎛⎞≈++⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫⎤ C ．()()()32bah a b f x dx f a f f b ⎡+⎛⎞≈++⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫⎤ D ．()()3442bah b a a b f x dx f a f a f f a ⎡−+⎛⎞⎛⎞⎛≈+++++⎜⎟⎜⎟⎜⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎣⎦∫4b a −⎤⎞⎟⎠3. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（） A ．＝0， B ． ()00l x ()110l x =()00l x ＝0，()111l x = C ．＝1，()00l x ()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =4. 用二分法求方程在区间()0f x =[],a b 上的根，若给定误差限ε，则计算二分次数的公式是（） n ≥ A ．ln()ln 1ln 2b a ε−++ B.ln()ln 1ln 2b a ε−+− C. ln()ln 1ln 2b a ε−−+ D.ln()ln 1ln 2b a ε−−− 5. 若用列主元消去法求解下列线性方程组，其主元必定在系数矩阵主对角线上的方程组是（）A ． B.123123123104025261x x x x x x x x x −+=⎧⎪−+=⎨⎪−+=−⎩123123123315226x x x x x x x x x −+=⎧⎪01−−+=⎨⎪++=−⎩ C. D.12312312322526x x x x x x x x x −+=⎧⎪−−+=⎨⎪++=⎩01012312312310402501x x x x x x x x x −+=⎧⎪−+=⎨⎪−+=−⎩二、填空题（每小题3分，共15分）6. 数x ∗＝2.1972246···的六位有效数字的近似数的绝对误差限是。

《数值分析》练习题及答案解析

《数值分析》练习题及答案解析第一章绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。

1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。

4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。

第二章非线性方程求根主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算；牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。

（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。

"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。

（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。

（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。

（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。

数值计算(数值分析)试题及答案

武汉理工大学研究生课程考试标准答案用纸课程名称：数值计算（A ）任课教师：一. 简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分） 1.将227和355113作为 3.14159265358979π=L 的近似值，它们各有几位有效数字，绝对误差和相对误差分别是多少3分）2分）2.已知()8532f x x x =+-，求0183,3,,3f ⎡⎤⎣⎦L ，0193,3,,3f ⎡⎤⎣⎦L .(5分）3.确定求积公式10120()(0)(1)(0)f x dx A f A f A f '≈++⎰中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度。

解：要使其代数精度尽可能的高，只需令()1,,,m f x x x =L L 使积分公式对尽可能大的正整数m 准确成立。

由于有三个待定系数，可以满足三个方程，即2m =。

由()1f x =数值积分准确成立得：011A A += 由()f x x =数值积分准确成立得：121/2A A += 由2()f x x =数值积分准确成立得：11/3A =解得1201/3,1/6,2/3.A A A === (3分）此时，取3()f x x =积分准确值为1/4,而数值积分为11/31/4,A =≠所以该求积公式的最高代数精度为2次。

(2分）4.求矩阵101010202A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的谱半径。

解 ()()101011322I A λλλλλλλ--=-=---矩阵A 的特征值为1230,1,3λλλ=== 所以谱半径(){}max 0,1,33A ρ== (5分）5. 设10099,9998A ⎛⎫= ⎪⎝⎭计算A 的条件数()(),2,p cond A P =∞.解：**19899-98999910099-100A A A A --⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭矩阵A 的较大特征值为，较小的特征值为，则1222()198.00505035/0.0050503539206cond A A A -=⨯==(2分）1()199********cond A A A -∞∞∞=⨯=⨯= (3分）22001130101011010220100110110()(12)()(12)()()()()()x x x x x x x x H x y y x x x x x x x x x x x x x x y x x y x x x x ----=-+-------''+-+---(5分）并依条件1(0)1,(0),(1)2,(1) 2.2H H H H ''====，得2222331()(12)(1)2(32)(1)2(1)211122H x x x x x x x x x x x =+-+-+-+-=++ (5分）2.已知()()()12,11,21f f f -===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。

(完整)数值分析学期期末考试试题与答案(A),推荐文档

期末考试试卷（A 卷）2007学年第二学期考试科目：数值分析考试时间：120 分钟学号姓名年级专业一、判断题（每小题2分，共10分）1. 用计算机求1000100011n n=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。

（）2. 为了减少误差,进行计算。

（）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。

（）4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。

（）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。

（）二、填空题（每空2分，共36分）1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则1A =_____，2x =______，Ax ∞=_____.3. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .4. 为使求积公式11231()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有次的代数精度。

5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k XMX N k +=+=K 产生的向量序列{}()k X收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。

计信081《数值分析》试卷A及答案

1《数值分析》考试试卷A适用专业：计信081 考试日期：2021年6月试卷所需时间：2小时闭卷试卷总分 100一、填空题：（6小题共10空每空2分，共20分）1、近似数231.0=*x 关于精确值229.0=x 有位有效数字.2、设1)(3-+=x x x f ，则差商（均差）________]4,3,2,1,0[,__________]3,2,1,0[f f =. 4、求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是 .5、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4321A ，计算矩阵A 的各种范数，________,1==∞AA ，_____________,__________2==AAF.6、解线性方程组Ax=b 的雅可比迭代法收敛的充要条件是，其中迭代矩阵为 .二、判断题：（对的打“√”，错的打“Ⅹ”，每题2分，共20分）1、解对数据的微小变化高度敏感是病态的( ).2、高精度运算可以改善问题的病态性( ).3、两个相近数相减必然会使有效数字损失( ).4、对给定的数据作插值，插值函数的个数可以有许多( ).5、高次拉格朗日插值是常用的( ).6、如果被积函数在区间[a,b]上连续，则它的黎曼积分一定存在( ).7、n+1个点的插值型求积公式的代数精度至少是n 次，最多可达到2n+1次( ).8、范数为零的矩阵一定是零矩阵( ).9、奇异矩阵的范数一定是零( ).10、雅可比迭代也高斯—塞德尔迭代同时收敛且后者比前者收敛快( ).三、（10分）已给sin0.32=0.314 567，sin0.34=0.333 487,sin0.36=0.352 274,用线性插值及抛物插值计算sin0.3367的值并估计截断误差.四、（10分）求次数小于等于3的多项式P(x)，使其满足条件P(0)=0，P ’(0)=1,P(1)=1,P ’(1)=2.五、（10分）确定求积公式)()0()()(101h f A f A h f A dx x f hh ++-≈--⎰中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明说构造出的求积公式具有的代数精度.六、（10分）用直接三角分解（Doolittle 分解）求线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++822185141319615141321321321x x x x x x x x x七、（10分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++38.04.028.04.014.04.0321321321x x x x x x x x x 考察解此线性方程组的雅可比迭代及高斯—塞德尔迭代法的收敛性.八、（10分）求方程0123=--x x 在5.10=x 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式.（1）211x x +=，迭代公式2111kk x x +=+；（2）123+=x x ，迭代公式3211+=+k k x x ；（3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x ；试分析每种迭代公式的收敛性.2《数值分析》试卷A 答案适用专业：计信081 考试日期：2021年6月试卷所需时间：2小时闭卷试卷总分 100一、填空题：（6小题共10空每空2分，共20分）1、近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有 2 位有效数字.2、设1)(3-+=x x x f ，则差商（均差）________]4,3,2,1,0[,__________]3,2,1,0[f f =.(1,0) 4、求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是 .()('1)(1n n n n n x f x f x x x ---=+)5、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4321A ，计算矩阵A 的各种范数，________,1==∞AA ，____________,2==AAF.(6; 7; 5.477; 5.46)6、解线性方程组Ax=b 的雅可比迭代法收敛的充要条件是，其中迭代矩阵为 .（U L D A U L D J J --=+=<-),(,1)(1ρ）二、判断题：（对的打“√”，错的打“Ⅹ”，每题2分，共20分）1、解对数据的微小变化高度敏感是病态的( √ ).2、高精度运算可以改善问题的病态性( Ⅹ ).3、两个相近数相减必然会使有效数字损失( Ⅹ ).4、对给定的数据作插值，插值函数的个数可以有许多( √ ).5、高次拉格朗日插值是常用的( Ⅹ ).6、如果被积函数在区间[a,b]上连续，则它的黎曼积分一定存在( √ ).7、n+1个点的插值型求积公式的代数精度至少是n 次，最多可达到2n+1次( √ ).8、范数为零的矩阵一定是零矩阵( √ ).9、奇异矩阵的范数一定是零( Ⅹ ).10、雅可比迭代也高斯—塞德尔迭代同时收敛且后者比前者收敛快( Ⅹ ).三、（10分）已给sin0.32=0.314 567，sin0.34=0.333 487,sin0.36=0.352 274,用线性插值及抛物插值计算sin0.3367的值并估计截断误差. 解：用线性插值计算：330365.00167.002.001892.0314567.0)3367.0()3367.0(3367.0sin 0010101=⨯+=---+=≈x x x y y y L截断误差：5111092.0)3367.0(3367.0sin )3367.0(-⨯≤-≤L R . 用抛物插值计算：Sin0.3367=0.330 374；误差：62100132.20233.0033.00167.09493.061)3367.0(-⨯<⨯⨯⨯⨯≤R 四、（10分）求次数小于等于3的多项式P(x)，使其满足条件P(0)=0，P ’(0)=1,P(1)=1,P ’(1)=2.解：本题是标准的埃尔米特插值问题，可直接套用公式，利用两点的埃尔米特插值公式，xx x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=-+-+-=∴-=---=-=---=-=----+=23222221011221010022101011)1(2)1()23()(,)1())(()(,)1())(()(),23())(21()(ββα五、（10分）确定求积公式)()0()()(101h f A f A h f A dx x f hh ++-≈--⎰中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明说构造出的求积公式具有的代数精度.解：)(3)0(34)(3)(h f hf h h f hdx x f hh++-≈⎰- 具有3次代数精度.3六、（10分）用直接三角分解（Doolittle 分解）求线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++822185141319615141321321321x x x x x x x x x解：08.227,92.476,69.177;154,4,9,151300451601061514113620134001123321-==-=⇒=-=-==⇒=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==x x x y Ux y y y b Ly LU A七、（10分）设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++38.04.028.04.014.04.0321321321x x x x x x x x x ，考察解此线性方程组的雅可比迭代及高斯—塞德尔迭代法的收敛性. 解：（1）雅可比迭代法的迭代矩阵10928203.1)()32.08.0)(8.0(08.04.08.004.04.04.00)(21>=-+-=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=+=-J JJB B I U L D B ρλλλλ所以，雅可比迭代法不收敛. (2)高斯—塞德尔迭代法的迭代矩阵18.0)(672.0032.0064.016.004.04.00)(1<=≤⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=∞-BB U L D B s sρ 所以，高斯—赛德尔迭代法收敛.八、（10分）求方程0123=--x x 在5.10=x 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式. （1）211x x +=，迭代公式2111kk x x +=+；（2）123+=x x ，迭代公式3211+=+k k x x ；（3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x ；试分析每种迭代公式的收敛性.解：考虑5.10=x 的邻域[1.3,1.6].(1)当]6.1,3.1[∈x 时，],6.1,3.1[11)(2∈+=x x ϕ，1910.03.122)('23<=≈≤-=L x x ϕ，故迭代2111k k x x +=+在[1.3,1.6]上整体收敛. (2)当]6.1,3.1[∈x 时，],6.1,3.1[)1()(312∈+=x x ϕ，1522.0)3.11(36.12)1(32)('32322<=≈+⨯≤+=L x x x ϕ，故迭代3211+=+k k x x 在[1.3,1.6]整体收敛(3)当]6.1,3.1[∈x 时，],6.1,3.1[11)(∈-=x x ϕ，1)16.1(21)1(21)('23>->--=x x ϕ，故迭代111-=+k k x x 在[1.3,1.6]上整体发散.。

(完整word版)数值分析考试试卷和答案(word文档良心出品)

线封密三峡大学试卷班级姓名学号2011年春季学期《数值分析》课程考试试卷( A 卷)答案及评分标准注意：1、本试卷共3页；2、考试时间:120 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、(16分)填空题1. 已知1125A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A 6= (1分)，∞A 7= . (1分)2.迭代过程),1,0)((1 ==+n x x n n ϕ收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ϕ满足1|)(|<'x ϕ. (2分)3. 设),,2,1,0(,,53)(2==+=k kh x x x f k 则差商0],,,[321=+++n n n n x x x x f .（2分）4. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.2,1,0,)(1)(1='---=+k x f x f x x x k k k k k (2分)5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间]1,0[内的根，迭代进行二步后根所在区间为]75.0,5.0[.（2分）6．为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为xx ++11以保证计算结果比较精确.（2分）7. 将2111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭作Doolittle 分解(即LU 分解),则100.51L ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分),2100.5U ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2分)二、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x 解：23222121,e e e x x ++=）（ϕ221221221)2()72()4(--+-++-+=x x x x x x由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0)1662(20)1323(2212211x x x x x x ϕϕ（8分）得法方程组 ⎩⎨⎧=+=+166213232121x x x x 7231=⇒x ， 7112=x所以最小二乘解为： 7231=x 7112=x . （10分）三、（10分）已知)(x f 的函数值如下表25.15.001)(15.005.01---x f x用复合梯形公式和复合Simpson 公式求dx x f ⎰-11)(的近似值.解用复合梯形公式，小区间数4=n ，步长5.0)]1(1[41=--⨯=h )]1())5.0()0()5.0((2)1([24f f f f f hT +++-+-=.线封密三峡大学试卷班级姓名学号25.1]2)5.15.00(21[25.0=++++-=（5分）用复合Simpson. 小区间数2=n ,步长1)]1(1[21=--⨯=h)]1())5.0()5.0((4)0(2)1([62f f f f f hS ++-+⨯+-=33.168]2)5.10(45.021[61≈=+++⨯+-= （10分）四、（12分）初值问题 ⎩⎨⎧=>+='0)0(0,y x b ax y有精确解 bx ax x y +=221)(，试证明：用Euler 法以h 为步长所得近似解n y 的整体截断误差为n n n n ahx y x y 21)(=-=ε证: Euler 公式为：),(111---+=n n n n y x hf y y代入b ax y x f +=),(得：)(11b ax h y y n n n ++=-- 由0)0(0==y y 得：bh b ax h y y =++=)(001; 11122)(ahx bh b ax h y y +=++= )(3)(21223x x ah bh b ax h y y ++=++=……)()(12111---++++=++=n n n n x x x ah nbh b ax h y y （10分）因nh x n =,于是 )]1(21[2-++++=n ah bx y n n 2)1(2nn ah bx n -+==n n n bx x x a+-12∴n n n y x y -=)(ε)2(2112n n n n n bx x x abx ax +-+=-=n n n x x x a )(21--=n hx a 2 =221anh (12分)五、(10分) 取节点1,010==x x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差.解: 建立Lagrange 公式为()=x L 110100101y x x x x y x x x x --+--=10101101-⨯--+⨯--=e x x x e x 11-+-=.（8分）())1)(0(!2)()()(11--''=-=x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()811)0(max 2110≤--≤≤≤x x x（10分）六、(10分) 在区间]3,2[上利用压缩映像原理验证迭代格式,1,0,4ln 1==+k x x k k 的敛散性.解 : 在]3,2[上, 由迭代格式 ,1,0,4ln 1==+k x x k k , 知=)(x ϕx 4ln .因∈x ]3,2[时,]3,2[]12ln ,8[ln )]3(),2([)(⊂=∈ϕϕϕx （5分）又1|1||)(|<='xx ϕ,故由压缩映像原理知对任意]3,2[0∈x 有收敛的迭代公式),1,0(,4ln 1 ==+k x x k k （10分）线封密三峡大学试卷班级姓名学号七、（10分）试构造方程组⎩⎨⎧=+=+423322121x x x x 收敛的Jacobi 迭代格式和Seidel Gauss -迭代格式，并说明其收敛的理由. 解:将原方程组调整次序如下:⎩⎨⎧=+=+324232121x x x x 调整次序后的方程组为主对角线严格占优方程组,故可保证建立的J 迭代格式和GS 迭代格式一定收敛.收敛的J 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=++)3(21)24(31)(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k (5分)收敛的GS 迭代格式为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+++)3(21)24(31)1(1)1(2)(2)1(1k k k k x x x x .,1,0 =k （10分）八、（12分）已知43,21,41210===x x x 1）推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；2)指明求积公式所具有的代数精度.解：1）过这3个点的插值多项式)())(())(()())(())(()(121012002010212x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x p ----+----=+)())(())((2021201x f x x x x x x x x ----⎰⎰=∑=≈∴)()()(221010k k k x f A dx x p dx x f ，其中: ⎰⎰=----=----=32)4341)(2141()43)(21())(())((10201021100dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰-=----=----=31)4321)(4121()43)(41())(())((10210120101dx x x dx x x x x x x x x A ⎰⎰=----=----=322143)(4143()21)(41())(())((10120210102dx x x dx x x x x x x x x A ∴所求的插值型求积公式为：⎰+-≈)]43(2)21()41(2[31)(10f f f dx x f (10分) 2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来的，故至少具有2次代数精度，再将43,)(x x x f =代入上述求积公式，有：⎰+-==]43(2)21()41(2[3141333310dx x ⎰+-≠=])43(2)21(41(2[3151444410dx x 故上述求积公式具有3次代数精度. (12分)九、（10分）学完《数值分析》这门课程后，请你简述一下“插值、逼近、拟合”三者的区别和联系.。

数值分析试卷及答案

数值分析试卷及答案**注意：以下是一份数值分析试卷及答案，试卷和答案分别按照题目和解答的格式排版，以确保整洁美观，语句通顺。

**---数值分析试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 数值分析是研究如何用计算机处理数值计算问题的一门学科。

以下哪个选项不是数值分析的应用领域？A. 金融风险评估B. 天气预测C. 数据挖掘D. 图像处理2. 在数值计算中，稳定性是指算法对于输入数据的微小扰动具有较好的性质。

以下哪个算法是稳定的？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 不动点迭代法D. 雅可比迭代法二、填空题（每题3分，共30分）1. 下面关于插值多项式的说法中，不正确的是：一般情况下，插值多项式的次数等于插值点的个数减1。

2. 线性方程组中，如果系数矩阵A是奇异的，则该方程组可能无解或有无穷多解。

......三、解答题（共50分）1. 请给出用割线法求解非线性方程 f(x) = 0 的迭代格式，并选择合适的初始值进行计算。

解：割线法的迭代公式为：x_(k+1) = x_k - f(x_k) * (x_k - x_(k-1)) / (f(x_k) - f(x_(k-1)))选择初始值 x0 = 1，x1 = 2 进行计算：迭代1次得到：x2 = x1 - f(x1) * (x1 - x0) / (f(x1) - f(x0))迭代2次得到：x3 = x2 - f(x2) * (x2 - x1) / (f(x2) - f(x1))继续迭代直至满足精度要求。

2. 对于一个给定的线性方程组，高斯消元法可以用来求解其解空间中的向量。

请简要描述高斯消元法的基本思想并给出求解步骤。

高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组化为上三角形式，然后再通过回代求解方程组的未知数。

求解步骤如下：步骤1：将方程组表示为增广矩阵形式，即将系数矩阵和常数向量连接在一起。

步骤2：从第一行开始，选取第一个非零元素作为主元，然后通过行变换将其它行的该列元素消去。

《数值分析》2018-2019学年第二学期期末考试A卷

河海大学2018-2019学年第二学期期末考试《数值分析》试题(A)卷科目：数值分析考试时间：出题教师：集体考生姓名：专业：学号：题号一二三四总分分数一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、n 阶方阵A 可作LU 分解的一个充分条件是A 为（）。

A.对角占优阵B.正交阵C.非奇异阵D.对称正定阵２、设n 阶方阵A 及单位阵E 满足0|3|=-A E ，则谱半径)(A ρ（）。

A.<3B.3≤C.>3D.3≥3、若迭代公式)(1k k x x ϕ=+是p 阶收敛，则=--+∞>-pkk k x x x x )(lim **1（）。

A.０B.p!C.)(*)(x p ϕ D.!/)(*)(p x p ϕ4、设)(x Ln 和)(x Nn 是相同的插值条件下关于)(x f 的拉格朗日插值和牛顿插值，则下述式子中正确的是（）。

（其中∏=-=nj jxx x w 0)()(）A.)(],...,,[)!1()(10)1(x w x x x f n f n n =++ξB.)()!1()()()()1(x w n f x Nn x f n +≠-+ξC.)(],...,,,[)()(10x w x x x x f x Ln x f n ≠-D.)(],...,,,[)()(10x w x x x x f x Ln x f n =-５、称函数)(x ε为［a,b ］上的三次样条函数，是指)(x ε满足条件（）。

A.为分段三次多项式且有二阶连续导数B.为分段三次多项式且有三阶连续导数C.为分段函数且有任意阶导数D.为分段三次埃尔米特插值多项式二、填空题（每小题4分，共20分）１、若已知x 的相对误差为%1，则)(x f ＝10x 的相对误差为。

２、设1)(3-=x x f ，则过节点－１，０，１的二次牛顿插值多项式为。

３、设有求积公式)31()31(10f A f A +-是插值型求积公式，则=0A ，=1A 。

数值分析课程考试试卷(A)及答案

《数值分析》课程考试试卷（A ）考试形式：闭卷√□、开卷□，允许带计算器入场考生姓名：学号：专业：班级：一、填空（每个空3分，共30分）1，设 *3.1415, 3.141x x ==，则*x 有__________位有效数字。

2，*3587.6x =是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差≤*r e ___________. 3，已知=⎪⎭⎫⎝⎛-=1,4032A A 则_______， =∞A _______.4，设0)(≥''x f , 则由梯形公式计算的近似值T 和定积分⎰=badx x f I )(的值的大小关系为___________.（大于或者小于）5, 已知,3,2,1,03210====x x x x 4,5.2,1.1,03210====f f f f ，则均差],,,[3210x x x x f _______________.6, 已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2021012a a ，为使A 可分解为TLL A =，其中L 为对角线元素为正的下三角形矩阵，则a 的取值范围为_______________，如果a =1，则L =______________.7，若b a ,满足的正规方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====n i n i ni i i i i n i ni i i y x b x a x y b x na 1112111 则x y 与之间的关系式为______________________8，若1λ是1-A 的按模最大的特征值，则A 的按模最小的特征值为___________二、设(1)0,(0)2,(1)4f f f -===，求 )(x p 使 )()(i i x f x p =,)2,1,0(=i ；又设 M x f ≤''')( ，则估计余项 )()()(x p x f x r -= 的大小。

数值分析试题及答案

数值分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于数值分析的说法，错误的是（）。

A. 数值分析是研究数值方法的科学B. 数值分析是研究数值方法的数学理论C. 数值分析是研究数值方法的误差分析D. 数值分析是研究数值方法的数学理论、误差分析及数值方法的实现答案：B2. 在数值分析中，插值法主要用于（）。

A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 求解线性方程组D. 通过已知数据点构造一个多项式答案：D3. 线性方程组的解法中，高斯消元法属于（）。

A. 直接方法B. 迭代方法C. 矩阵分解方法D. 特征值方法答案：A4. 牛顿法（Newton's method）是一种（）。

A. 插值方法B. 拟合方法C. 迭代方法D. 优化方法答案：C5. 在数值分析中，下列哪种方法用于求解非线性方程的根？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比方法D. 斯托尔-温格尔方法答案：B6. 下列关于误差的说法，正确的是（）。

A. 绝对误差总是大于相对误差B. 相对误差总是小于绝对误差C. 误差是不可避免的D. 误差总是可以消除的答案：C7. 在数值分析中，下列哪个概念与数值稳定性无关？A. 条件数B. 截断误差C. 舍入误差D. 插值多项式的阶数答案：D8. 用泰勒级数展开函数f(x)=e^x，下列哪一项是正确的？A. f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. f(x) = 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...C. f(x) = x + x^2/2 + x^3/6 + ...D. f(x) = x - x^2/2 + x^3/6 - ...答案：A9. 插值多项式的次数最多为（）。

A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案：B10. 下列关于数值积分的说法，错误的是（）。

A. 梯形法则是一种数值积分方法B. 辛普森法则是一种数值积分方法C. 龙格法则是数值积分方法中的一种D. 数值积分方法总是精确的答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 在数值分析中，条件数是衡量问题的______。

数值分析试卷

数值分析考试题（一）满分70分一、选择题：（共3道小题，第1小题4分，第2、3小题3分，共10分） 1、将A 分解为U L D A --=，其中),,(2211nna a a diag D =，若对角阵D非奇异（即),1,0n i a ii =≠，则b Ax =化为b D x U L D x 11)(--++=（1）若记b D f U L D B 1111),(--=+= （2）则方程组（1）的迭代形式可写作 )2,1,0(1)(1)1( =+=+k f x B xk k （3）则（2）、（3）称【】(A)、雅可比迭代。

(B)、高斯—塞德尔迭代 (C)、LU 分解 (D)、Cholesky 分解。

2、记*x x e k k -=，若0lim1≠=+∞→c ee pk k k （其中p 为一正数）称序列}{k x 是【】(A)、p 阶收敛； (B)、1阶收敛； (C)、矩阵的算子范数； (D)、p 阶条件数。

3、牛顿切线法的迭代公式为【】(A)、 )()(1kx f x f x x k k k '-=+ (B)、)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x1)()()1()()()(x xfxf xf k i k i k i ∂∂+=+ (D)、 )()()()1(k k k x f x x-=+二、填空题：（共2道小题，每个空格2分，共10分）1、设0)0(f =，16)1(f =，46)2(f =，则一阶差商=]1,0[f ，二阶差商=]1,2,0[f ，)x (f 的二次牛顿插值多项式为2、用二分法求方程01x x )x (f 3=-+=在区间]1,0[内的根，进行第一步后根所在的区间为，进行第二步后根所在的区间为。

三、计算题：（共7道小题，第1小题8分，其余每小题7分，共50分）1、表中各*x 都是对准确值x 进行四舍五入得到的近似值。

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题一、填空题2 0×2′1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =是精确值x =的近似值,则x 有 2 位有效数字;2. 若fx =x 7－x 3＋1,则f 20,21,22,23,24,25,26,27= 1 , f 20,21,22,23,24,25,26,27,28=0 ;3. 设,‖A ‖∞＝___5 ____,‖X ‖∞＝__ 3_____,‖AX ‖∞≤_15_ __;4. 非线性方程fx =0的迭代函数x =x 在有解区间满足 |’x | <1 ,则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的;5. 区间a ,b 上的三次样条插值函数Sx 在a ,b 上具有直到 2 阶的连续导数;6. 当插值节点为等距分布时,若所求节点靠近首节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式 ,若所求节点靠近尾节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差,应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式 ;7. 拉格朗日插值公式中fx i 的系数a i x 的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i x 满足 a i x >1 ,计算时不会放大fx i 的误差; 8. 要使20的近似值的相对误差小于%,至少要取 4 位有效数字;9. 对任意初始向量X 0及任意向量g ,线性方程组的迭代公式x k +1=Bx k +gk =0,1,…收敛于方程组的精确解x 的充分必要条件是 B<1 ; 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 ;11. 牛顿下山法的下山条件为 |fxn+1|<|fxn| ;12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i i =0,1,…,n 来实现的,其中的残差r i＝ b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n /a ii ,i =0,1,…,n ;13. 在非线性方程fx =0使用各种切线法迭代求解时,若在迭代区间存在唯一解,且fx 的二阶导数不变号,则初始点x 0的选取依据为 fx0f ”x0>0 ; 14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算; 二、判断题10×1′1、若A 是n 阶非奇异矩阵,则线性方程组AX ＝b 一定可以使用高斯消元法求解; ×2、解非线性方程fx =0的牛顿迭代法在单根x 附近是平方收敛的;3、若A 为n 阶方阵,且其元素满足不等式则解线性方程组AX ＝b 的高斯——塞德尔迭代法一定收敛; × 4、样条插值一种分段插值; 5、如果插值结点相同,在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的; 6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差; 7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX ＝b ; × 8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差; × 9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差,则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差; 10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差; × 三、计算题5×10′1、用列主元高斯消元法解线性方程组; 解答：1,5,2最大元5在第二行,交换第一与第二行： L 21=1/5=,l 31=2/5= 方程化为： ,最大元在第三行,交换第二与第三行： L32==,方程化为：回代得：⎪⎩⎪⎨⎧-===00010.1 99999.500005.3321x x x 2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P 4x ,并写出其截断误差的表达式设fx 在插值区间上具有直到五阶连续导数;解答：做差商表P4x=1-2x-3xx-1-xx-1x-1x-2 R4x=f5/5xx-1x-1x-2x-23、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组,使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛,写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式,并简单说明收敛的理由; 解答：交换第二和第四个方程,使系数矩阵为严格对角占优：雅克比迭代公式：计算机数学基础2数值分析试题一、单项选择题每小题3分,共15分 1. 已知准确值x 与其有t 位有效数字的近似值x ＝…a n ×10s a 10的绝对误差x －x ．A ×10 s －1－tB ×10 s －tC ×10s ＋1－tD ×10 s ＋t 2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为．A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------2100121001210012, B ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡2100141101410125⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+=-+-=+-65 84 3 3 12431432321421x x x x x x x x x x x xC ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--2100141212410125 D ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-5131141201411124 3. 过0,1,2,4,3,1点的分段线性插值函数Px =A ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+3210320123x x x x B ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+32103201232x x x x C ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤-3210320123x x x x D⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+32420123x x x x 4. 等距二点的求导公式是A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='+-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x fB ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x f C ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='+-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x fD5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是那么y p ,y c 分别为．A ⎩⎨⎧+=+=+),(),(1k k k c k k k p y x hf y y y x hf y yB ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+),(),(1p k k c k k k p y x hf y y y x hf y yC ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=),(),(p k k c k k k p y x f y y y x f y y D ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+),(),(1p k k c k k k p y x hf y y y x hf y y 二、填空题每小题3分,共15分6. 设近似值x 1,x 2满足x 1=,x 2=,那么x 1x 2= ．7. 三次样条函数Sx 满足：Sx 在区间a ,b 内二阶连续可导,Sx k =y k 已知,k =0,1,2,…,n ,且满足Sx 在每个子区间x k ,x k +1上是．8. 牛顿－科茨求积公式∑⎰=≈n k k k bax f A x x f 0)(d )(,则∑=nk k A 0＝ .9. 解方程fx =0的简单迭代法的迭代函数x 满足在有根区间内 ,则在有根区间内任意取一点作为初始值,迭代解都收敛．10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报――校正公式是预报值：),(1k k k k y x hf y y +=+,校正值：y k +1= ．三、计算题每小题15分,共60分11. 用简单迭代法求线性方程组的X 3．取初始值0,0,0T ,计算过程保留4位小数． 12. 已知函数值f 0=6,f 1=10,f 3=46,f 4=82,f 6=212,求函数的四阶均差f 0,1,3,4,6和二阶均差f 4,1,3．13.将积分区间8等分,用梯形求积公式计算定积分⎰+312d 1x x ,计算过程保留4位小数．14. 用牛顿法求115的近似值,取x =10或11为初始值,计算过程保留4位小数．四、证明题本题10分 15. 证明求常微分方程初值问题在等距节点a =x 0<x 1<…<x n =b 处的数值解近似值的梯形公式为yx k +1y k +1=y k +2hfx k ,y k +fx k +1,y k +1 其中h =x k +1－x k k =0,1,2,…n －1计算机数学基础2数值分析试题答案一、单项选择题每小题3分,共15分 1. A 2. B 3. A 4. B 5. D 二、填空题每小题3分,共15分 6. x 2+x 1 7. 3次多项式8. b －a 9. xr <1 10. y k +)],(),([211+++k k k k y x f y x f hhfx k ＋1, 1+k y ．三、计算题每小题15分,共60分 11. 写出迭代格式 X 0=0,0,0T .得到X 1＝,3,3T 得到X 2=, 7, 0T 得到X 3= 4, 6, 6T .12.f 0,1,3,4,6=15f 4, 1, 3=6 13. fx =21x +,h =25.082=．分点x 0=,x 1=,x 2=,x 3=,x 4=,x 5=,x 6=,x 7=,x 8=.函数值：f = 2,f = 8,f = 8,f = 6,f = 1,f = 2,f = 6,f = 2,f = 3．))]()()()()()()((27654321x f x f x f x f x f x f x f +++++++ 9分=225.0× 2+ 3+2× 8+ 8+ 6 + 1+ 2+ 6+ 2=× 5+2× 3= 114. 设x 为所求,即求x 2－115=0的正根．fx =x 2－115．因为fx =2x ,fx =2,f 10f 10=100－115×2<0,f 11f 11=121－115×2>0取x 0=11．有迭代公式x k +1=x k －)()(k k x f x f '=k k k k k x x x x x 2115221152+=--k =0,1,2,… x 1=112115211⨯+＝ 3x 2=3727.10211523727.10⨯+＝ 8 x 3=8723.10211528723.10⨯+＝ 8x 8四、证明题本题10分15. 在子区间x k +1,x k 上,对微分方程两边关于x 积分,得yx k +1－yx k =⎰+1d ))(,(k kx x x x y x f用求积梯形公式,有yx k +1－yx k =))](,())(,([211+++k k k k x y x f x y x f h将yx k ,yx k +1用y k ,y k +1替代,得到yx k +1y k +1=y k +2hfx k ,y k +fx k +1,y k +1k =0,1,2,…,n －1 数值分析期末试题一、填空题20102=⨯分1设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=283012251A ,则=∞A ______13_______;2对于方程组⎩⎨⎧=-=-34101522121x x x x ,Jacobi 迭代法的迭代矩阵是=JB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡05.25.20;33*x 的相对误差约是*x 的相对误差的31倍;4求方程)(x f x =根的牛顿迭代公式是)('1)(1n n n n n x f x f x x x +--=+;5设1)(3-+=x x x f ,则差商=]3,2,1,0[f 1 ;6设n n ⨯矩阵G 的特征值是n λλλ,,,21 ,则矩阵G 的谱半径=)(G ρi ni λ≤≤1max ;7已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1021A ,则条件数=∞)(A Cond 9 8为了提高数值计算精度,当正数x 充分大时,应将)1ln(2--x x 改写为)1ln(2++-x x ;9n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为1-n 次;10拟合三点))(,(11x f x ,))(,(22x f x ,))(,(33x f x 的水平直线是)(3131∑==i i x f y ;二、10分证明：方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=+-12112321321321x x x x x x x x x 使用Jacobi 迭代法求解不收敛性;证明：Jacobi 迭代法的迭代矩阵为J B 的特征多项式为J B 的特征值为01=λ,i 25.12=λ,i 25.13-=λ,故25.1)(=J B ρ＞1,因而迭代法不收敛性;三、10分定义内积试在{}x Span H ,11=中寻求对于x x f =)(的最佳平方逼近元素)(x p ;解：1)(0≡x ϕ,x x ≡)(1ϕ,1),(100==⎰dx ϕϕ,21),(101==⎰xdx ϕϕ,31),(1211==⎰dx x ϕϕ,32),(10==⎰dx x f ϕ,52),(11==⎰dx x x f ϕ; 法方程解得1540=c ,15121=c ;所求的最佳平方逼近元素为 x x p 1512154)(+=,10≤≤x 四、10试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据;解:332210)(x c x c x c c x y +++=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=84211111000111118421A , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=130034003401034010001005A A T 法方程的解为4086.00=c ,39167.01=c ,0857.02=c ,00833.03=c 得到三次多项式误差平方和为000194.03=σ五. 10分依据如下函数值表建立不超过三次的Lagrange 插值多项式,用它计算)2.2(f ,并在假设1)()4(≤x f 下,估计计算误差;解:先计算插值基函数所求Lagrange 插值多项式为121445411)(3)(23)(9)()()()(233210303+-+-=+++==∑=x x x x l x l x l x l x l x f x L i i i 从而0683.25)2.2()2.2(3=≈L f ;据误差公式))()()((!4)()(3210)4(3x x x x x x x x f x R ----=ξ及假设1)()4(≤x f 得误差估计：六. 10分用矩阵的直接三角分解法解方程组解设由矩阵乘法可求出ij u 和ij l 解下三角方程组有51=y ,32=y ,63=y ,44=y ;再解上三角方程组得原方程组的解为11=x ,12=x ,23=x ,24=x ;七. 10分试用Simpson 公式计算积分的近似值, 并估计截断误差;解：截断误差为八. 10分用Newton 法求方程2ln =-x x 在区间) ,2(∞内的根, 要求8110--<-kk k x x x ;解：此方程在区间) ,2(∞内只有一个根s ,而且在区间2,4内;设则 x x f 11)('-=, 21)(''xx f = Newton 法迭代公式为1)ln 1(112ln 1-+=----=+k k k kk k k k x x x x x x x x , ,2,1,0=k 取30=x ,得146193221.34=≈x s ;九. 10分给定数表求次数不高于5的多项式)(5x H ,使其满足条件其中,1i x i +-= 3 ,2 ,1 ,0=i ;解：先建立满足条件)()(3i x f x p =, 3,2,1,0=i的三次插值多项式)(3x p ;采用Newton 插值多项式[][]))((,,)(,)()(1021001003x x x x x x x f x x x x f x f x p --+-+=+再设 )2)(1()1)(()()(35--+++=x x x x b ax x p x H ,由得解得36059-=a ,360161=b ; 故所求的插值多项式。

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南昌航空大学2006—2007学年第二学期期末考试
课程名称：数值分析闭卷 A 卷 120 分钟
一、求方程01562=+-x x
的两个根，使它至少具有4
位有效数（共10分）
试分别用线性插值与二次插值计算)5.0(f 的近似值。

（共14分）
四、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度
)()0()()(22h Cf Bf h Af dx x f h
h
++-≈⎰
-。

（共14分）
五、设⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=221231112A ，⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=564b ，求（1）A 的LU 三角分解；
（2）用LU 三角分解法求解b AX =。

（共12分）
六、已知线性方程组b Ax =为⎩⎨⎧=+=+11435
221
21x x x x ，
（1）若给b 一扰动⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=001.0b δ，试估计解x 的相对误差；
（2）若给A 一扰动⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=01.001.000
A δ，试估计解x 的相对误差。

（共14分）
七、设有一非线性方程()0
1
2
3=
-
-
=x
x
x
f，
（1）用牛顿法求其近似值，取5.1
=
x（迭代一次）；
（2）方程在5.1
=
x附近有一根，试分析迭代公式2
1
1
1
k
k x
x+
=
+
的收敛性。

（共14分）
八、给定线性方程组b
Ax=，其中⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
2
2
2
3
A，⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
-
=
1
3
b，用
迭代公式)
,2
,1,0
(
)
()(
)
(
)1
(
=
-
+
=
+k
Ax
b
x
x k
k
kα求解b
Ax=，问实数α取何值可使迭代收敛？若要使收敛速度达到最快，问实数α应取何值？（共8分）。