(常考题)北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》检测(有答案解析)

一、选择题
1．已知ABC 为等边三角形，2AB =，ABC 所在平面内的点P 满足
1AP AB AC --=，AP 的最小值为（ ）
A ．31-
B ．221-
C ．231-
D ．71-
2．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，2AD =，3DC BD =，则AC AD ⋅的值为（ ）
A ．3
B ．8
C ．12
D ．16
3．如图，在ABC 中，1
3
AN NC =
，P 是BN 上的一点，若2299AP m AB BC ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，则实数m 的值为( )
A ．
19
B ．
13
C ．1
D ．3
4．若平面向量与的夹角为，
，
，则向量的模为
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
5．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝1
3
BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6 B ．4
C ．3
D ．2
6．已知a ，b 是单位向量，a •b =0．若向量c 满足|c a b --|＝1，则|c |的最大值为
（ ）
A ．21-
B ．2
C ．21+
D ．22+
7．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且
AE EB =，2AD DC =，与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）
A ．1A
B CD ⋅=- B ．1233
BD BC BA =
+ C ．3OA OB OC ++=
D ．ED 在BC 方向上的投影为
7
6
8．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．
1
()2
a b + B ．
1
()2
a b - C ．
1
2
a b + D ．12
a b +
9．在ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，那么下列各式中正确的是（ ） A ．DB DC =
B ．2AD DE =
C ．2AB AC A
D += D ．AB AC BC -=
10．已知a ，b 为单位向量，2a b a b +=-，则a 在a b +上的投影为（ ）
A ．
13
B ．26
3-
C ．
6 D ．
22
3
11．已知平面上的非零．．向量a ，b ，c ，下列说法中正确的是（ ） ①若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若2a b =，则2a b =±；
③若23x y a b a b +=+，则2x =，3y =； ④若//a b ，则一定存在唯一的实数λ，使得a b λ=. A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
12．在ABC 中，D 是BC 边上的一点，F 是AD 上的一点，且满足2AD AB AC =+和20FD FA +=，连接CF 并延长交AB 于E ，若AE EB λ=，则λ的值为（ ） A ．1
2
B ．13
C ．
14
D ．
15
二、填空题
13．如图，在Rt ABC ∆中，2,60,90AB BAC B =∠=︒∠=︒，G 是ABC ∆的重心，则
GB GC ⋅=__________．
14．已知平面向量a ，b ，c 满足45a b ⋅=，4a b -=，1c a -=，则c 的取值范围为________．
15．已知向量a 、b 满足1a b +=，2a b -=，则a b +的取值范围为___________. 16．已知O 为ABC 内一点，且满足305OA OB OC =++，延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=，则λ=_____.
17．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，圆M 为BCD △的内切圆，点P 为圆上任意一点， 且AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为________.
18．已知夹角为θ的两个单位向量,a b ，向量c 满足()()
0a c b c -⋅-=，则c 的最大值为______.
19．在ABC ∆中，1AC BC ==，3AB =
CE xCA =，CF yCB =，其中
(),0,1x y ∈，且41x y +=，若M ，N 分别为线段EF ，AB 中点，当线段MN 取最小
值时x y +=__________.
20．已知向量a =（1，0），b =（12-
，32），向量c 满足22
c =，且（c a b --）•c =0，则a 与c 的夹角为_____．
三、解答题
21．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A -，()1,1B ，()3,1C -. （Ⅰ)求AB 的坐标及AB ；
（Ⅱ)当实数t 为何值时，()tOC OB AB +. 22．已知平面向量34,55a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，2||b =，a
与b 夹角为4π.
（1）求向量a 在b 方向上的投影； （2）求a b -与a b +夹角的余弦值.
23．已知平面直角坐标系中，点 O 为原点，()()3,1,1,2A B - ． (I)求AB 的坐标及AB ；
(Ⅱ)设 e 为单位向量，且 e OB ⊥，求e 的坐标 24．已知a ，b ，c 在同一平面内，且()1,2a =.
（1）若35c =，且//a c ，求c ； （2）若2b =
，且()()
2a b a b +⊥-，求a 与b 的夹角的余弦值.
25．已知向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，O 为坐标原点． （1）若AB AC ⊥求实数m 的值； （2）在（1）的条件下，求△ABC 的面积． 26．已知||2,||3,a b a ==与b 的夹角为120°． （1）求(2)(3)a b a b -⋅+与||a b +的值； （2）x 为何值时，xa b -与3a
b 垂直？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
计算出AB AC +的值，利用向量模的三角不等式可求得AP 的最小值. 【详解】
222
2222cos
123
AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC π
+=++⋅=++⋅=，
所以，23AB AC += 由平面向量模的三角不等式可得
()()
231AP AP AB AC AB AC AP AB AC AB AC =--++≥---+=.
当且仅当AP AB AC --与AB AC +方向相反时，等号成立.
因此，AP 的最小值为1. 故选：C. 【点睛】
结论点睛：在求解向量模的最值时，可利用向量模的三角不等式来求解：
a b a b a b -≤±≤+. 2．D
解析：D 【分析】
利用AB 、AD 表示向量AC ，再利用平面向量数量积的运算性质可求得AC AD ⋅的值. 【详解】
()
3343AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB =+=+=+-=-，
AD AB ⊥，则0⋅=AD AB ，
所以，()
2
2
4344216AC AD AD AB AD AD ⋅=-⋅==⨯=. 故选：D. 【点睛】
方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
3．A
解析：A 【解析】 因为2299AP m AB BC ⎛⎫=+
+ ⎪⎝⎭29
mAB AC =+，设BP tBN =，而31
()()(1)44
AP AB BP AB t BC CN AB t BC AC t AB t AC =+=++=+-
=-+，所以1m t =-且249t =，故81
1199
m t =-=-=，应选答案A ． 4．C
解析：C 【解析】
，，又，
，则
，故选
5．C
解析：C 【分析】
根据向量的运算法则，求得12
AM AD AB =+，21
32MN AD AB =-+，再结合向量的数
量积的运算公式，即可求解. 【详解】
由题意，作出图形，如图所示：
由图及题意，根据向量的运算法则，可得1
2
AM AD DM AD AB =+=+
，
2132MN CN CM CB CD =-=-2121
3232
BC DC AD AB =-+=-+，
所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫
⋅=+
⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
21
936334=-⨯+⨯=.
故选C ．
【点睛】
本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
6．C
解析：C 【分析】
通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出． 【详解】
∵|a |＝|b |＝1，且0a b ⋅=，
∴可设()1
0a =，，()01b =，，()c x y ，=． ∴()11c a b x y --=--，． ∵1c a b --=， ∴
22(1)(1)1x y -+-=x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．
∴c 的最大值2211121=+=．
故选C ． 【点睛】
熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．
7．D
解析：D 【分析】
利用CE AB ⊥，判断出A 错误；由2AD DC =结合平面向量的基本定理，判断出选项B 错误；以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，写出各点坐标，计算出OA OB
OC ++的值，判断出选项C 错误；利用投影的定义计算出D 正确． 【详解】
由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误；
由平面向量线性运算得21
33
BD BC BA =
+，所以选项B 错误； 以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，
()0,0E ，1,0A ，()1,0B -，(3C ，13,33D ⎛ ⎝⎭
，
设()0,O y ，(3y ∈，()1,BO y =，123,33DO y ⎛=-- ⎝⎭
，
//BO DO ，所以，231
3y y =-，解：3y =
， 3
2OA OB OC OE OE OE ++=+==
，所以选项C 错误； 123,33ED ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，(1,3BC =，
ED 在BC 方向上的投影为1
2
7
326BC BC
ED +⋅==，
故选：D ． 【点睛】
本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量基本定理，考查投影的定义，考查平面向量的坐标表示，属于中档题．
8．D
解析：D
【分析】
根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】
在ABC ∆中，M 是BC 的中点， 又,AB a BC b ==， 所以1122
AM AB BM AB BC a b =+=+=+， 故选D. 【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目.
9．C
解析：C 【解析】
依题意ABC 如图所示：
∵D 是BC 的中点 ∴DB CD =，故A 错误 ∵E 是AD 的中点 ∴2AD ED =，故B 错误
∵AB AD DB =+，AC AD DC =+
∴2AB AC AD DB AD DC AD +=+++=，故C 正确
∴()AB AC AD DB AD DC DB DC CB -=+-+=-=，故D 错误 故选C
10．C
解析：C 【分析】
由题意结合平面向量数量积的运算可得1
3
a b ⋅=，进而可得()
b a a +⋅、a b +，代入投影表达式即可得解. 【详解】
因为a ，b 为单位向量，所以1==a b ， 又2a b a b +=
-，所以()
()
2
2
2a b
a b +=-
所以22222242a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即121242a b a b +⋅+=-⋅+， 所以1
3
a b ⋅=
，则()
2
26
3
a b a b +=+=
，()
243a a b a a b ⋅+=+⋅=
，
所以a 在a b +上的投影为
(
)4
326a a b
a b
⋅+=
=
+ 故选：C. 【点睛】
本题考查了平面向量数量积的应用，考查了一个向量在另一个向量上投影的求解，属于中档题.
11．B
解析：B 【分析】
根据向量共线定理判断①④，由模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系判断②，举反例判断③. 【详解】
对于①，由向量共线定理可知，//a b ，则存在唯一的实数1λ，使得1λa b ，//b c ，
则存在唯一的实数2λ，使得2λb
c ，由此得出存在唯一的实数12λλ⋅，使得
12a c λλ=⋅，即//a c ，则①正确；
对于②，模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系，与方向无关，则②错误； 对于③，当a b =时，由题意可得()5x y a a +=，则5x y +=，不能说明2x =，3y =，则③错误；
由向量共线定理可知，④正确； 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了向量共线定理以及向量的定义，属于中档题.
12．C
解析：C 【分析】
首先过D 做//DG CE ，交AB 于G ，根据向量加法的几何意义得到D 为BC 的中点，从而得到G 为BE 的中点，再利用相似三角形的性质即可得到答案. 【详解】
如图所示，过D 做//DG CE ，交AB 于G .
因为2AD AB AC =+，所以D 为BC 的中点. 因为//DG CE ，所以G 为BE 的中点， 因为20FD FA +=，所以:1:2AF FD =.
因为//DG CE ，所以::1:2AE EG AF FD ==，即1
2
AE EG =. 又因为EG BG =，所以1
4
AE EB =， 故1
4
AE EB =. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了向量加法运行的几何意义，同时考查了相似三角形的性质，属于中档题.
二、填空题
13．【解析】分析：建立平面直角坐标系结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果详解：建立如图所示的平面直角坐标系则：由中心坐标公式可得：即据此有：结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：点睛：求 解析：209
-
【解析】
分析：建立平面直角坐标系，结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果. 详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则：()0,2A ，()0,0B ，()
23,0C ，
由中心坐标公式可得：002320033G ⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭
，即2
23,33G ⎫⎪⎭， 据此有：2
23,3
3GB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，423,33GC ⎛⎫=-
⎪⎭， 结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：
2422203333339GB GC ⎛⎛⎫⎛⎫
⋅=--⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭
.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
14．【分析】结合已知条件画出图象由的几何意义求得的取值范围【详解】如图所示设设是线段的中点依题意可知由于所以即解得所以即所以根据向量模的几何意义可知点在以为圆心为半径的圆上所以所以即的取值范围为故答案为 解析：[]4,10
【分析】
结合已知条件画出图象，由c 的几何意义求得c 的取值范围. 【详解】
如图所示，设,,OA a OB b OC c ===，设D 是线段AB 的中点. 依题意可知4,1,2AB AC AD BD ====， 由于45a b ⋅=
所以45OA OB ⋅=，即(
)(
)(
)()
2
2
2
2
2454
4
OA OB OA OB
OD BA
+---=
=
22
2
4416
4
4
OD BA
OD --=
=
，解得7OD =.
所以59OD AD OA OD AD =-≤≤+=, 即59OA ≤≤，
所以418,6110OA OA ≤-≤≤+≤
根据向量模的几何意义可知，点C 在以A 为圆心，1为半径的圆上， 所以()
()
min
max
1
1
OA OC OA -≤≤+，
所以410OC ≤≤，即c 的取值范围为[]4,10. 故答案为：[]4,10
【点睛】
本小题主要考查向量数量积的运算，考查向量模的几何意义，属于中档题.
15．【分析】易得结合可得又可得即可求解【详解】则则又故答案为：【点睛】本题考查向量模的取值范围的计算考查了向量模的三角不等式的应用考查计算能力属于中等题
解析：5⎡⎣
【分析】 易得(
)
22
25a b
+=，结合()
(
)2
22
25a b
a b
+≤+=，可得5a b +≤
.又
a b a b +≥±，可得2a b ±≥，即可求解.
【详解】
1a b +=，2a b -=，2221a a b b ∴+⋅+=，2224a a b b -⋅+=，
(
)
22
25a b
∴+=，则()
(
)2
22
25a b
a b
+≤+=，则5a b +≤
.
又a b a b +≥±，2a b ∴+≥，25a b ∴≤+≤.
故答案为：5⎡⎣.
【点睛】
本题考查向量模的取值范围的计算，考查了向量模的三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.
16．【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想
解析：5
3
【分析】
将已知条件转化为
15
39
AO AB AC
=+，结合BD DC
λ
=
，得到
1
11
AD AB AC
λ
λλ
=+
++
，设AO k AD
=，列出关于,k
λ的方程组，由此求得λ.
【详解】
由于30
5
OA OB OC=
++，所以
()()
350
OA AB AO AC AO
+-+-=，
所以935
AO AB AC
=+，即
15
39
AO AB AC
=+.
因为BD DC
λ
=，即()
AD AB AC AD
λ
-=-,
化简得
1
11
AD AB AC
λ
λλ
=+
++
，
设
11
k k
AO k AD AB AC
λ
λλ
==+
++
，
所以
1
13
5
19
k
k
λ
λ
λ
⎧
=
⎪⎪+
⎨
⎪=
⎪+
⎩
，解得
5
3
λ=.
故答案为：
5
3
【点睛】
本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
17．【分析】以点B为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示由已知条件得出点坐标圆M的方程设由得出再设（为参数）代入中根据三角函数的值域可求得最大值【详解】以点B为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示因为在
解析：
11
6
【分析】
以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，由已知条件得出点坐标，圆M 的方
程，设(),P x y ，由AP AB AD λμ=+，得出13
4y x λμ⎧
=-⎪⎪⎨⎪
=⎪⎩
，再设3cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参
数），代入λμ+中，根据三角函数的值域，可求得最大值. 【详解】
以点B 为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，
因为在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，所以圆M 的半径为3+45
12
r -==， 所以()0,0B ，()0,3A ，()4,0C ，()4,3D
，()3,1M ，圆M 的方程为
()()
22
311x y -+-=，
设(),P x y ，又AP AB AD λμ=+，所以()()(),30,34,0x y λμ-=-+，解得
13
4y x λμ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
， 又点P 是圆M 上的点，所以3cos 1sin x y θ
θ
=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），
所以()1sin 3cos 517sin 1+1+34312124+y x θθβθλμ+=+--
+=-=，其中3tan 4
β=， 所以，当()sin 1βθ-=时，λμ+取得最大值11
6
， 故答案为：
116
.
【点睛】
本题考查向量的线性表示，动点的轨迹中的最值问题，属于中档题.
18．【分析】建立平面直角坐标系设出向量的坐标得出向量的终点的轨迹方程再运用点与圆的位置关系可以得到的最大值【详解】由已知建立平面直角坐标系设又所以所以点在以为圆心以为半径的圆上所以的最大值为所以的最大值
解析：cos
sin
2
2
θ
θ
+
【分析】
建立平面直角坐标系，设出向量a b c ，，的坐标，得出向量c 的终点C 的轨迹方程，再运用点与圆的位置关系可以得到||c 的最大值. 【详解】
由已知建立平面直角坐标系，设
()()()10cos ,sin ,,OA a OB b OC c x y θθ======，，，又()()0a c b c -⋅-=，
所以()2
2
+1+cos sin +cos 0x x y y θθθ-⋅-⋅=，
所以点C 在以1+cos sin ,22P θθ⎛⎫
⎪⎝
⎭为圆心，以sin 2R θ=为半径的圆上， 所以c 的最大值为2
2
1+cos sin ++sin cos +sin 22222OP R θθθθθ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
， 所以c 的最大值为cos sin
2
2
θ
θ
+，
故答案为：cos sin
2
2
θ
θ
+.
【点睛】
本题考查求向量的模的最值，建立平面直角坐标系，设出向量坐标，得出向量的终点的轨迹方程是解决本题的关键，属于中档题.
19．【分析】根据平面向量的数量积运算求得的值再利用中线的性质表示出由此求得计算当的最小时的值即可【详解】解：连接如图所示：由等腰三角形中知所以∵是的中线∴同理可得∴又∴故当时有最小值此时故答案为：【点睛 解析：
4
7
【分析】
根据平面向量的数量积运算求得CA CB 的值，再利用中线的性质表示出CM 、CN ，由此求得MN ，计算当||MN 的最小时x y +的值即可． 【详解】
解：连接CM ，CN ，如图所示：
由等腰三角形中，1AC BC ==，AB =120ACB ∠=︒，所以1
=2
CA CB ⋅-.
∵CM 是CEF ∆的中线，∴()()
11
22
CM CE CF xCA yCB =+=+. 同理可得()
1
=
2
CN CA CB +. ∴()()11
1122
MN CN CM x CA y CB =-=
-+-， ()()()()2
221111
11114224
MN x x y y ⎛⎫=
-+--⨯-+- ⎪⎝⎭， 又41x y +=， ∴2
22131
424
MN y y =-+，(),0,1x y ∈. 故当17y =
时，2
MN 有最小值，此时3147
x y =-=. 故答案为：4
7
. 【点睛】
本题考查了平面向量数量积公式及其运算性质问题，也考查了二次函数求最值的应用问题，属于中档题．
20．或【分析】向量（10）设与的夹角为θ结合已知可得出坐标利用向量坐标运算建立关系式即可求解【详解】设与的夹角为θ则或且∴由得若∴∴且∴或∴或若且不存在∴或故答案为:或【点睛】本题考查向量的夹角向量的坐
解析：
12π或712π 【分析】
向量a =（1，0），设a 与c 的夹角为θ，结合已知可得出c 坐标，利用向量坐标运算，建立θ关系式，即可求解. 【详解】
设a 与c 的夹角为θ，则()2
,c cos sin θθ=
， 或()2,2c cos sin θθ=-且1322a b ⎛+= ⎝⎭
，， ∴由()
0c a b c --⋅=得，()
2
c a b c =+⋅， 若()2
,2
c cos sin θθ=
，
∴
11226cos πθθθ⎫⎛
⎫==+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，
∴62
sin πθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭，且7666πππθ≤+≤， ∴6
4
π
π
θ+=
或
34
π
， ∴12
π
θ=或
712
π． 若()2
,2
c cos sin θθ=
-，
11226cos sin πθθθ⎫⎛
⎫==-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
6sin πθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭且5666πππθ-≤-≤， θ不存在.
∴12
π
θ=
或
712
π． 故答案为:12
π
或
712
π. 【点睛】
本题考查向量的夹角、向量的坐标坐标运算，向量设为三角形式是解题的关键，属于中档题.
三、解答题
21．（Ⅰ)(2,1)AB =-，5AB =Ⅱ)3t = 【分析】
（Ⅰ）根据点A ，B 的坐标即可求出(2,1)AB =-，从而可求出||AB ；（Ⅱ）可以求出(13,1)tOC OB t t +=-+，根据()//tOC OB AB +即可得出
2(1)(1)(13)30t t t +---=-=，解出t 即可．
【详解】
（Ⅰ)∵()1,2A -，()1,1B ，∴(2,1)AB =- ∴2||25AB ==
（Ⅱ)∵()3,1C -，∴(13,1)tOC OB t t +=-+. ∵()
tOC OB
AB +∴2(1)(1)(13)30t t t +---=-=，∴3t =
【点睛】
考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，根据向量的坐标求向量长度的方法，以及平行向量的坐标关系． 22．
(1)
. 【解析】
试题分析：(1)由向量数量积的几何意义可求向量a 在b 方向上的投影; (2)由向量夹角公式可求a -b 与a +b 的夹角的余弦值 试题 (1)|a |=|(34
,
55
)|=1 ∴向量a 在b 方向上的投影为a cosθ=
a ?b
b
=
2
(2)cos<a -b ,a +b
>=()()a b a b a b a b
-+-+
|a -b |2=|a |2+|b |2-2ab =
12,|a b -|=2
2. |a b +|2=|a |2+|b |2+2ab =52,|a b + (a b -)(a b +)=a 2-b 2=
12
cos<,
a b a b -+>=()()a b a b a b a b
-+-+=
5
.
23．（1）()4,1=-AB ,17;=AB （2
）25,⎛= ⎝⎭e ，或25.⎛=- ⎝⎭
e 【详解】
试题分析：（I ）利用向量的坐标运算直接求AB 的坐标及AB ；
（II ）利用向量的垂直，数量积为0，结合单位向量求解即可． 试题
（I ）()()AB 13,214,1=---=-,(AB =-=
(Ⅱ)设单位向量(),e x y =， 所以221x y +=，即2
2
1x y += 又(),1,2⊥=-e OB OB ,
所以20x y -+=即2x y =
由22
21x y x y =⎧⎨+=⎩
，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或者5
x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
所以25,55⎛⎫= ⎪ ⎪
⎝⎭e ，或25,.55⎛⎫
=-- ⎪ ⎪⎝
⎭e 24．（1）()3,6c
=或()3,6c =--；（2）10
-.
【分析】
（1）设
(),c x y =，由平面向量平行的坐标表示及模的坐标表示可得2y x
=⎧=即可得解；
（2）由平面向量垂直可得()()
20a b a b +⋅-=，再由平面向量数量积的运算可得
1a b ⋅=-，最后由
cos ,a b
a b a b
⋅=⋅即可得解. 【详解】
（1）设(),c x y =，
因为()1,2a =，//a c ，35c =，
所以235y x x y =⎧+=⎪⎩
36x y =⎧⎨=⎩或3
6x y =-⎧⎨=-⎩， 所以()3,6c =或()3,6c =--；
（2）因为()1,2a =，所以14a =+
又(
)()
2a b a b +⊥-，2b =
，
所以()()2
2225220a b a b a
a b b
a b +⋅-=+⋅-=+⋅-⨯=，所以1a b ⋅=-， 所以
cos ,105a b a b a b
⋅==
=-⨯⋅.
【点睛】
本题考查了平面向量共线及模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用及运算求解能力，属于中档题. 25．（1）1；（2） 【分析】
（1）根据向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ，得到向量,AB AC ，再由
AB AC ⊥，利用坐标运算求解.
（2）由（1）得到 ,AB AC ，然后由1
2
ABC
S AB AC =⨯⨯求解. 【详解】
（1）因为向量(1,2),(,2),(3,1)==-=-OA OB m OC ， 所以向量(1,4),(4,1)AB m AC =--=--， 又因为AB AC ⊥， 所以4(1)40m --+=， 解得 2m =.
（2）由（1）知：(0,4),(4,1)AB AC =-=--， 所以4,17AB AC ==
所以11
422
ABC
S
AB AC =⨯⨯=⨯= 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
26．（1）34-2）当24
5
x =-时，xa b -与3a b 垂直．
【分析】
（1）先由数量积的定义求出3a b ⋅=-，由数量积的运算性质可得
22(2)(3)253a b a b a a b b -⋅+=+⋅-，222||||2a b a b a a b b +=+=+⋅+，将条件
及a b ⋅的值代入，可得答案. （2）由xa b -与3a b 垂直，可得22
()(3)(31)30xa b a b xa x a b b -⋅+=+-⋅-=，将
条件代入可求出x 的值.
【详解】
（1）||||cos ,23cos1203a b a b a b ︒⋅=〈〉=⨯⨯=-．
22(2)(3)25324153934a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=⨯--⨯=-．
222||||2469a b a b a a b b +=+=+⋅+=-+=
（2）因为()(3)xa b a b -⊥+，
所以22()(3)(31)3493270xa b a b xa x a b b x x -⋅+=+-⋅-=-+-=，即245
x =-． 所以当24
5
x =-时，xa b -与3a b 垂直．
【点睛】
本题考查向量数量积的定义和运算性质，求模长，根据向量垂直其数量积为零求参数的值，属于中档题.。