高中数学 第3章322知能优化训练 选修11 试题

卜人入州八九几市潮王学校[学生用书P33]
1．f(x)＝x2，那么f′(3)＝()
A．0 B．2x
C．6 D．9
解析：选C.∵f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.
2．函数f(x)＝，那么f′(－3)＝()
A．4 B.
C．－D．－
解析：选D.∵f′(x)＝－，∴f′(－3)＝－.
3．(2021年高二检测)假设f(x)＝cos x，那么f′(α)等于()
A．sinαB．cosα
C．2α＋sinαD．－sinα
解析：选D.f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，∴f′(α)＝－sinα.
4．曲线y＝e x在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为________．
解析：y′＝(e x)′＝e x，
∴k＝e2，
∴切线方程为：y－e2＝e2(x－2)．
令x＝0得y＝－e2；
令y＝0得x＝1.
∴S△＝e2·1＝e2.
答案：e2
一、选择题
1．函数y＝cot x的导数是()
A. B．－
C．－ D.
解析：选C.由导数公式表可知(cot x)′＝－.
2．以下结论中不正确的选项是()
A．假设y＝3，那么y′＝0
B．假设y＝，y′＝－
C．假设y＝－，那么y′＝－
D．假设y＝3x，那么y′＝3
解析：选B.∵y′＝()′＝(x－)′＝－x－－1＝－x－＝－，∴B错误．
3．假设f(x)＝sin x，那么f′(2π)等于()
A．1 B．－1
C．0 D．cos x
f(x)＝sin x，所以f′(x)＝cos x，所以f′(2π)＝cos2π＝1.
4．(2021年高考卷)曲线y＝e x在点A(0,1)处的切线斜率为()
A．1 B．2
C．e D.
解析：选A.y′＝(e x)′＝e x，∴当x＝0时，y′＝e0＝1，
故y＝e x在A(0,1)处的切线斜率为1，选A.
5．假设曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，那么l的方程为()
A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
解析：选A.y′＝(x4)′＝4x3.
设切点为(x0，y0)，那么4x×(－)＝－1，
∴x0＝1.∴切点为(1,1)．
∴l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0，应选A.
6．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N，那么f2021(x)等于() A．sin x B．－sin x
C．cos x D．－cos x
解析：选B.利用正、余弦函数的求导公式及函数的周期性求解．f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝sin x，…，∴周期为4，故f2021(x)＝f2(x)＝－sin x．应选B.
二、填空题
7．函数f(x)＝3x，那么f′(0)＝________.
解析：f′(x)＝3x ln3，那么f′(0)＝ln3.
答案：ln3
8．f(x)＝ln x，且f′(x0)＝，那么x0＝________.
解析：f′(x)＝，所以f′(x0)＝，
又f′(x0)＝，所以＝，
所以x0＝x.
所以x0＝0(舍)或者x0＝1.
答案：1
9．y＝的斜率为－1的切线方程为________．
解析：令y′＝－＝－1，得x＝±1.
∴切点为(1,1)或者(－1，－1)．
∴切线方程为y－1＝－(x－1)或者y＋1＝－(x＋1)．即x＋y－2＝0或者x＋y＋2＝0.
答案：x＋y－2＝0或者x＋y＋2＝0
三、解答题
10．求以下函数的导数．
(1)y＝2；(2)y＝；(3)y＝10x；
(4)y＝log x；(5)y＝2cos2－1.
解：(1)∵y′＝c′＝0，
∴y′＝2′＝0.
(2)∵y′＝(x n)′＝n·x n－1，
∴y′＝()′＝(x)′＝x－1
＝x－＝.
(3)∵y′＝(a x)′＝a x·ln a，
∴y′＝(10x)′＝10x·ln10.
(4)∵y′＝(log a x)′＝，
∴y′＝(log x)′＝＝－.
(5)∵y＝2cos2－1＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
11．抛物线y＝2x2＋1，求：
(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？
(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x－y－2＝0
解：设点的坐标为(x0，y0)，那么
Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.
∴＝4x0＋2Δx.
当Δx无限趋近于零时，无限趋近于4x0.
即f′(x0)＝4x0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴斜率为tan45°＝1.
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，该点为(，)．
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴斜率为4.
即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．
12．两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公一共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
解：设两条曲线的一个公一共点为P(x0，y0)．
∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为
k1＝cos x0，k2＝－sin x0.
假设使两条切线互相垂直，必须
cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，
也就是sin2x0＝2，这是不可能的．
∴两条曲线不存在公一共点，使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直．。