例题、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列
复合函数的求导法则(导案)
当堂检测1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）4x x y =； （2）1ln 1ln x y x -=+． （3）2(251)x y x x e =-+⋅；（4）sin cos cos sin x x x y x x x-=+ 解： （1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4x x x x x x x x x x x x x y ⋅-⋅⋅-⋅-====， '1ln 44xx y -=。
（2）''''2211ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln )x x y x x x x x x -==-+==⋅=+++++ '22(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+⋅+-+⋅22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-⋅+-+⋅=--⋅，'2(24)x y x x e =--⋅。
（4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x-=+ ''2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin )x x x x x x x x x x x x x x x -⋅+--⋅+=+ 2(cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+⋅+--⋅-++=+ 2sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ⋅+--⋅=+ 22(cos sin )x x x x =+。
_高中数学第一章导数及其应用2
[提示] ΔΔyx＝x＋Δx2＋xΔ＋2xΔx－x2＋2x
＝2x＋Δx＋xx－＋2Δx
∴ lim Δx→0
2x＋Δx＋xx－＋2Δx
＝2x－x22.
Байду номын сангаас
[问题3] F(x)的导数与f(x)、g(x)的导数有何关系？ [提示] F(x)的导数等于f(x)、g(x)导数和．
[问题 4] 试说明 y＝cos3x－π4如何复合的． [提示] 令 u＝g(x)＝3x－π4，y＝f(u)＝cos u，
(3)y′＝(2x2＋3)′·(3x－2)＋(2x2＋3)·(3x－2)′
＝4x·(3x－2)＋(2x2＋3)·3
＝18x2－8x＋9.
(4)y′＝xl＋n x1′－(2x)′
＝1xx＋x＋1－ 12ln
x －2xln
2
＝1＋x1x＋－1ln2
x －2xln
2.
二. 复合函数的导数
例题 2 求下列函数的导数：
(1)y＝1－12x3；
(2)y＝cos x2；
(3)y＝sin3x－π4； (4)y＝lg(2x2＋3x＋1)．
• [思路点拨] 解答本题可先分析复合函数的复合过 程，然后运用复合函数的求导法则求解．
解析： (1)设 y＝u13，u＝1－2x， 则 y′x＝y′u·u′x ＝u13′·(1－2x)′ ＝－3u－4·(－2) ＝1－62x4. (2)设 y＝cos u，u＝x2， 则 y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(x2)′ ＝－sin u·2x ＝－2x·sin x2.
(4)开始学习求复合函数的导数要一步步写清楚，熟 练后中间步骤可省略．
特别提醒：只要求会求形如f(ax＋b)的复合函数的导 数．
《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》导学案(二)
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) 学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．知识点一 和、差的导数已知f (x )＝x ，g (x )＝1x. 思考1 f (x )，g (x )的导数分别是什么？答案 f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x 2. 思考2 试求y ＝Q (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1x的导数． 答案 ∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx－(x ＋1x ) ＝Δx ＋－Δx x (x ＋Δx )， ∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx ). ∴Q ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0[1－1x (x ＋Δx )]＝1－1x 2. 同理，H ′(x )＝1＋1x 2. 思考3 Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？答案 Q (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的和．H (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的差． 梳理 和、差的导数[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )．知识点二 积、商的导数已知f (x )＝x 2，g (x )＝sin x ，φ(x )＝3.思考1 试求f ′(x )，g ′(x )，φ′(x )．答案 f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝cos x ，φ′(x )＝0.思考2 求H (x )＝x 2sin x ，M (x )＝sin x x 2，Q (x )＝3sin x 的导数． 答案 H ′(x )＝2x sin x ＋x 2cos x ，M ′(x )＝(sin x )′x 2－sin x (x 2)′(x 2)2＝x 2cos x －2x sin x x 4＝x cos x －2sin x x 3， Q ′(x )＝3cos x .梳理 (1)积的导数①[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．②[cf (x )]′＝cf ′(x )．(2)商的导数[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． (3)注意[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )，[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x ).类型一 导数运算法则的应用例1 求下列函数的导数．(1)y ＝2x 3－3x ＋x ＋1x x； (2)y ＝x 2＋1x 2＋3； (3)y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)；(4)y ＝x sin x －2cos x. 解 (1)∵y ＝322x －123x-＋x －1＋32x -， ∴y ′＝123x ＋3232x -－x －2－5232x -. (2)方法一 y ′＝(x 2＋1)′(x 2＋3)－(x 2＋1)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝2x (x 2＋3)－2x (x 2＋1)(x 2＋3)2＝4x (x 2＋3)2. 方法二 ∵y ＝x 2＋1x 2＋3＝x 2＋3－2x 2＋3＝1－2x 2＋3，∴y ′＝(1－2x 2＋3)′＝(－2x 2＋3)′ ＝(－2)′(x 2＋3)－(－2)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝4x (x 2＋3)2. (3)方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋3)]′(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)′＝[(x ＋1)′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)′](x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝(2x ＋4)(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋18x ＋23.方法二 ∵y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)＝(x 2＋4x ＋3)(x ＋5)＝x 3＋9x 2＋23x ＋15，∴y ′＝(x 3＋9x 2＋23x ＋15)′＝3x 2＋18x ＋23.(4)y ′＝(x sin x )′－(2cos x)′ ＝x ′sin x ＋x (sin x )′－2′cos x －2(cos x )′(cos x )2＝sin x ＋x cos x －2sin x cos 2x. 反思与感悟 (1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．(3)利用求导法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1 (1)已知f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，则a f ′(a )＋b f ′(b )＋c f ′(c )＝ . 答案 0解析 ∵f ′(x )＝(x －a )′(x －b )(x －c )＋(x －a )(x －b )′·(x －c )＋(x －a )(x －b )(x －c )′ ＝(x －b )(x －c )＋(x －a )(x －c )＋(x －a )(x －b )，∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )，f ′(b )＝(b －a )(b －c )＝－(a －b )(b －c )，f ′(c )＝(c －a )(c －b )＝(a －c )(b －c )．∴a f ′(a )＋b f ′(b )＋c f ′(c ) ＝a (a －b )(a －c )－b (a －b )(b －c )＋c (a －c )(b －c ) ＝a (b －c )－b (a －c )＋c (a －b )(a －b )(b －c )(a －c )＝0.(2)求下列函数的导数．①y ＝x 2－sin x 2cos x 2； ②y ＝e x －1e x ＋1； ③y ＝x tan x .解 ①∵y ＝x 2－12sin x ， ∴y ′＝2x －12cos x . ②y ′＝(e x －1)′(e x ＋1)－(e x －1)(e x ＋1)′(e x ＋1)2＝e x (e x ＋1)－e x (e x －1)(e x ＋1)2＝2e x(e x ＋1)2. ③f ′(x )＝(x tan x )′＝(x sin x cos x)′ ＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x＝sin x cos x ＋x cos 2x＝12sin 2x ＋x cos 2x＝sin 2x ＋2x 2cos 2x.类型二 导数运算法则的综合应用命题角度1 利用导数求函数解析式例2 (1)已知函数f (x )＝ln x x＋2xf ′(1)，试比较f (e)与f (1)的大小关系； (2)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cos x .解 (1)由题意得f ′(x )＝1－ln x x 2＋2f ′(1)， 令x ＝1，得f ′(1)＝1－ln 11＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－1. ∴f (x )＝ln x x －2x .∴f (e)＝ln e e －2e ＝1e－2e ，f (1)＝－2， 由f (e)－f (1)＝1e－2e ＋2<0，得f (e)<f (1)． (2)由已知得f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ]′＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x .又∵f ′(x )＝x cos x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －d －cx ＝0，ax ＋b ＋c ＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＝0，－c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0，解得a ＝d ＝1，b ＝c ＝0.反思与感悟 (1)中确定函数f (x )的解析式，需要求出f ′(1)，注意f ′(1)是常数．(2)中利用待定系数法可确定a ，b ，c ，d 的值．完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则．跟踪训练2 函数f (x )＝x 2x －1＋f ′(1)，则f ′(1)＝ . 答案 －1解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝2x －1－2x (2x －1)2＝－1(2x －1)2， 则f ′(1)＝－1.命题角度2 与切线有关的问题例3 (1)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是 ． 答案 (e ，e)解析 设P (x 0，y 0)．∵y ＝x ln x ，∴y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ，∴k ＝1＋ln x 0. 又k ＝2，∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e.∴y 0＝eln e ＝e.∴点P 的坐标是(e ，e)．(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数为f ′(x )＝2x －8.①求a ，b 的值；②设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程．解 ①因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，又知f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8.②由①可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3，所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8，所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7.又知g (0)＝3，所以g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)，即7x ＋y －3＝0.反思与感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 跟踪训练3 (1)设曲线y ＝2－cos x sin x 在点(π2，2)处的切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直，则a ＝ .(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为 ．答案 (1)1 (2)4解析 (1)∵y ′＝sin 2x －(2－cos x )cos x sin 2x ＝1－2cos x sin 2x， 当x ＝π2时，y ′＝1－2cos π2sin 2π2＝1. 又直线x ＋ay ＋1＝0的斜率是－1a， ∴－1a＝－1，即a ＝1. (2)因为曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，由导数的几何意义知g ′(1)＝2. 又因为f (x )＝g (x )＋x 2，所以f ′(x )＝g ′(x )＋2x ⇒f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，所以y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为4.1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．2．函数y ＝cos x 1－x的导数是( ) A.－sin x ＋x sin x (1－x )2B.x sin x －sin x －cos x (1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x答案 C解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2. 3．对于函数f (x )＝e x x 2＋ln x －2k x，若f ′(1)＝1，则k 等于( ) A.e 2B.e 3 C ．－e 2D ．－e 3答案 A解析 ∵f ′(x )＝e x (x －2)x 3＋1x ＋2k x 2， ∴f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e 2， 故选A.4．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是 ．答案 －3解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x 2， 直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72. 由题意得⎩⎨⎧ 4a ＋b 2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2， 则a ＋b ＝－3. 5．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线的方程为 ． 答案 3x －y －11＝0解析 ∵y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x 2＋2x ＋2)＝3(x ＋1)2＋3≥3，∴当x ＝－1时，斜率最小，切点坐标为(－1，－14)，∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.1．导数的求法对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数．2．和与差的运算法则可以推广[f (x 1)±f (x 2)±…±f (x n )]′＝f ′(x 1)±f ′(x 2)±…±f ′(x n )．3．积、商的求导法则(1)若c 为常数，则[c ·f (x )]′＝c ·f ′(x )；(2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，[f (x )g (x )]′＝f ′(x )·g (x )－f (x )·g ′(x )[g (x )]2； (3)当f (x )＝1时，有[1g (x )]′＝－g ′(x )[g (x )]2.课时作业一、选择题1．下列求导运算正确的是( )A ．(x ＋3x )′＝1＋3x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x答案 B解析 选项A ，(x ＋3x )′＝1－3x 2，故错误； 选项B ，(log 2x )′＝1x ln 2，故正确；选项C ，(3x )′＝3x ln 3，故错误；选项D ，(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，故错误．故选B.2．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角 答案 C解析 ∵f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，∴f ′(4)＝e 4(sin 4＋cos 4)．∵π<4<32π，∴sin 4<0，cos 4<0，∴f ′(4)<0. 由导数的几何意义得，切线的倾斜角为钝角．3．若函数f (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，且f ′(x )是函数f (x )的导函数，则f ′(1)等于( )A ．24B ．－24C ．10D ．－10答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x －1)′[(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]＋(x －1)[(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′ ＝(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋(x －1)[(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′，∴f ′(1)＝(1－2)·(1－3)·(1－4)·(1－5)＋0＝24.4．函数f (x )＝x cos x －sin x 的导函数是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数答案 B解析 f ′(x )＝(x cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x＝－x sin x .令F (x )＝－x sin x ，x ∈R ，则F (－x )＝x sin(－x )＝－x sin x ＝F (x )，∴f ′(x )是偶函数．5．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2 答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1， ∴y ′＝－2(x －1)2，∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.6．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 1(x )＋f 2(x )＋…＋f 2 015(x )等于( )A ．－sin x ＋cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x －cos xD ．sin x ＋cos x 答案 A解析 因为f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，所以f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，…，由此发现f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，并且周期为4，每个周期的和为0，所以f 1(x )＋f 2(x )＋…＋f 2 015(x )＝f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＝cos x －sin x ．故选A.7．在下面的四个图象中，其中一个图象是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )A.13B ．－13 C.73D ．－13或53 答案 B解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)，∴导函数f ′(x )的图象开口向上，故其图象必为第三个图．由图象特征知f ′(0)＝0，且对称轴－a >0，∴a ＝－1，则f (－1)＝－13－1＋1＝－13，故选B. 二、填空题8．设f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，若h (x )＝f (x )＋2g (x )，则h ′(5)＝ . 答案 516解析 由题意知f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，∵h ′(x )＝f ′(x )g (x )－[f (x )＋2]g ′(x )[g (x )]2， ∴h ′(5)＝f ′(5)g (5)－[f (5)＋2]g ′(5)[g (5)]2＝3×4－(5＋2)×142＝516. 9．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝ . 答案 1解析 ∵f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0，∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1.10．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 ．答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0， 解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.11．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝ . 答案 8解析 由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x， 得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.此切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0，所以a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.三、解答题12．若函数f (x )＝e x x在x ＝c 处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值． 解 ∵f ′(x )＝e x x －e x x 2＝e x (x －1)x 2， ∴f ′(c )＝e c (c －1)c 2. 依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，即e c c ＋e c (c －1)c 2＝0， ∴2c －1＝0，得c ＝12. 13．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解 ∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1,1)，∴a ＋b ＋c ＝1. ①∵y ′＝2ax ＋b ，当x ＝2时，y ′＝4a ＋b .∴4a ＋b ＝1. ②又曲线过点Q (2，－1)，∴4a ＋2b ＋c ＝－1. ③联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.四、探究与拓展14．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝ . 答案 4 096解析 ∵f ′(x )＝x ′(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x (x －a 1)′(x －a 2)…(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)′＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x (x －a 2)…(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 7)，∴f ′(0)＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1a 8)4＝84＝4 096.15．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解 由7x －4y －12＝0，得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12， ① 又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74， ②由①②得⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3. 故f (x )＝x －3x . (2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)， 即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)． 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)练习新人教A版选修2_2
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）[A 基础达标]1．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D.y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′ ＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1， 所以y ′|x ＝1＝4.2．函数y ＝cos(－x )的导数是( ) A ．cos x B ．－cos x C ．－sin xD ．sin x解析：选C.法一：[cos(－x )]′＝－sin(－x )·(－x )′＝sin(－x )＝－sin x . 法二：y ＝cos(－x )＝cos x ，所以[cos(－x )]′＝(cos x )′＝－sin x .3．(2018·郑州高二检测)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)解析：选C.因为f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x，又x >0，所以f ′(x )>0即x－2>0，解得x >2.4．对于函数f (x )＝e xx 2＋ln x －2kx，若f ′(1)＝1，则k 等于( )A.e 2B.e 3 C ．－e 2D ．－e 3解析：选A.因为f ′(x )＝e x（x －2）x 3＋1x ＋2kx2，所以f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A. 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2e xf ′(1)＋3ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－3B ．2eC.21－2eD.31－2e解析：选D.因为f ′(1)为常数， 所以f ′(x )＝2e xf ′(1)＋3x，所以f ′(1)＝2e f ′(1)＋3， 所以f ′(1)＝31－2e.6．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(2)＝________． 解析：因为f ′(x )＝[log 3(2x －1)] ′＝ 1（2x －1）ln 3(2x －1)′＝2（2x －1）ln 3，所以f ′(2)＝23ln 3.答案：23ln 37．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 解析：法一：由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，得f ′(x )＝4ax 3＋2bx .因为f ′(1)＝2， 所以4a ＋2b ＝2， 即2a ＋b ＝1.则f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2(2a ＋b )＝－2. 法二：因为f (x )是偶函数， 所以f ′(x )是奇函数， 所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 答案：－28．已知f (x )＝exx，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________．解析：因为f ′(x )＝（e x ）′x －e x x ′x 2＝e x（x －1）x2(x ≠0)． 所以由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0， 得e x0（x 0－1）x 20＋e x0x 0＝0. 解得x 0＝12.答案：129．求下列函数的导数： (1)y ＝cos(1＋x 2)； (2)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (3)y ＝ln(2x 2＋x )； (4)y ＝x ·2x －1.解：(1)设u ＝1＋x 2，y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(1＋x 2)′ ＝－sin u ·2x ＝－2x sin(1＋x 2)． (2)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin v ·cos v＝2sin 2v ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. (3)设u ＝2x 2＋x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x 2＋x )′ ＝1u ·(4x ＋1)＝4x ＋12x 2＋x. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′. 先求t ＝2x －1的导数． 设u ＝2x －1，则t ＝u 12，t ′x ＝t ′u ·u ′x ＝12·u －12·(2x －1)′＝12×12x －1×2＝12x －1 . 所以y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1. 10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解：因为曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)， 所以a ＋b ＋c ＝1.① 因为y ′＝2ax ＋b ，所以4a ＋b ＝1.②又因为曲线过点Q (2，－1)， 所以4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[B 能力提升]11．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选 C.因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.12．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝－x e －x解析：选D.若f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ″(x )＝－sin x －cos x ，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝ln x －2x ，则f ″(x )＝－1x 2，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－x 3＋2x －1，则f ″(x )＝－6x ，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－xe－x，则f ″(x )＝2e－x－x e－x＝(2－x )e －x，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )>0，不是凸函数．13．已知曲线y ＝e 2x·cos 3x 在点(0，1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程．解：因为y ′＝(e 2x)′·cos 3x ＋e 2x·(cos 3x )′＝2e 2x·cos 3x －3e 2x·sin 3x ， 所以y ′|x ＝0＝2，所以经过点(0，1)的切线方程为y －1＝2(x －0)， 即y ＝2x ＋1.设符合题意的直线方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得5＝|b －1|5，解得b ＝6或－4. 所以符合题意的直线方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4. 14．(选做题)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )． (1)求f (1)＋f ′(1)；(2)若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 由f (x )＝ax 2＋ln x ， 得f ′(x )＝2ax ＋1x，所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x ∈(0，＋∞)内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点，即f ′(x )＝0⇒2ax ＋1x＝0有正实数解，即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
公式一:
C
= 0 (C为常数)
公式二: ( x
) x
1
( 是常数)
算一算：求下列函数的导数 (1)
4 y=x
;
(2)
-5 y=x
;
4x3
(3) y x ;
-6 -5x
1 1 -3 2 -2x x 2 注意公式中,n的任意性.
3 2
例2:求下列函数的导数:
答案: (1) y 3x2 2;
1 4 3; 2 x x 1 x2 (3) y ; 2 2 (1 x ) (2) y
(5) y (2 x 3) 1 x ; 1 (6) y 4 ; x (7) y x x ;
2
1 (4) y ; 2 cos x 6 x3 x (5) y ; 1 x2
p(t ) p0 (1 5%)
t
解:根据基本初等函数导数公式表,有
t p (t ) 1.05 ln1.05
所以 p(10) 1.05 ln1.05 0.08(元 / 年)
10
因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
• • • • •
三、解答题 6．求下列函数的导数 (1)y＝x4－3x2－5x＋6； (2)y＝x·tanx； (3)y＝(下列各式正确的是（ D ）
1 A.(log )' x ln 10 x B .(loga )' x x C .(3 )' 3 x
x a
D .(3 )' 3 ln 3
x x
0 (3) f(x)=80，则f '(x)=______;
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
第一章 导数及其应用
[解] ∵p0＝1，∴p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t.
根据基本初等函数的导数公式表，有p′(t)＝(1.05t)′＝
1.05t·ln1.05. ∴p′(10)＝1.0510·ln1.05≈0.08(元/年)． 因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/ 年的速度上涨．
[点拨] 在第10个年头，商品的价格上涨的速度，即
(2)若f(x)＝xn，则f′(x)＝②________. (3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝③________. (4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝④________. (5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝⑤________.
(6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝⑥________.
第一章 导数及其应用
[分析] 求函数的导数主要有直接求导和先变形然后 再求导两种方法，要注意正确区分．
[解]
(1)y′＝(tanx)′＝(
sinx cosx
)′＝
(sinx)′cosx－sinx(cosx)′ cos2x＋sin2x 1 ＝ (cosx)2 ＝cos2x. (cosx)2 (2)y′＝(3x2＋x· cosx)′＝(3x2)′＋(x· cosx)′＝6x＋ x′· cosx＋x· (cosx)′＝6x＋cosx－xsinx. x x 1 2 (3)y′＝[( x－2) －sin 2 · 2 ]′＝[( x－2) ]′－( 2 cos
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[cg ( x)] cg ( x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
3
y 3x cos x sin x
2
x x 2 (1) (2) y 2 sin cos 2 x 1 2 2
y cos x 4 x
(3) y ( x 1)(x 2)
y 2 x 3
例3:求下列函数的导数:
1 2 (1) y 2 ; x x x (2) y ; 2 1 x (3) y tan x;
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数
运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数。
2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 答案
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)1． 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3； (5)y ＝log 3x .2． 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝(21)x ；(3)y ＝x ；(4)y ＝log x .3． 判断下列计算是否正确. 求y ＝cos x 在x ＝π3处的导数，过程如下： y ′|3π=x ＝⎝⎛⎭⎫cos π3′＝－sin π3＝－32. 解 (1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5；(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4； 解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝(12)x ln 12＝－(12)x ln 2；(3)∵y ＝x x ＝23x ，∴y ′＝3221x ；(4)y ′＝1x ln 13＝－1x ln 3.4． 求函数f (x )＝13x 在x ＝1处的导数.5． 已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的弧AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大.解 设P (x 0，y 0)，过点P 与AB 平行的直线为l ，如图.由于直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A 、B 两点，所以|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大，而P 点是抛物线的弧AOB 上的一点，因此点P 是抛物线上平行于直线AB 的切线的切点，由图知点P 在x 轴上方，y ＝x ，y ′＝12x ，由题意知k AB ＝12.∴k l ＝12x 0＝12，即x 0＝1，∴y 0＝1.∴P (1,1).6．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离.解 根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图.则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即0x x y ='＝1.∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1).利用点到直线的距离公式得距离为22. 7．给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4； ②若y ＝3x ，则y ′＝133x ； ③若y ＝1x2，则y ′＝－2x －3；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3. 其中正确的个数是 ( )A.1B.2C.3D.4∴①③④正确.解 f ′(x )＝(13x )′＝(x 31-)′＝－13x 131--， ＝－13x 34-＝－133x 4， ∴f ′(1)＝－1331＝－13，。
基本初等函数导数公式附导数运算法则
1.2．2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）教学目的：1熟练掌握基本初等函数的导数公式。
2掌握导数的四则运算法则；3能利用给出的公式和法则求解函数的导数。
教学重点难点重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学安排：两课时教学过程：引入：复习巩固导数的基本公式，及其基本运算规律。
且知识讲解：一：基本初等函数的导数公式为了方便我们将可以直接使用的基本初等函数的导数公式表如下：关于表特别说明：1 常数函数的导数是0；2幂函数导数是以对应幂函数的指数为系数3余弦函数的导数是正弦函数的相反数。
从图像上来看，正弦函数在区间上单调递增，瞬时变化率为正，和余弦函数在该区间的正负是一致的，余弦函数在区间上是单调递减，瞬时变化率为负，和正弦函数在该区间的正负是相反的，故有一个负号。
4的导数是它自身。
5例1计算下列函数的导数强调：1幂函数和指数函数是两种不同的函数，关键是看变量所处的位置是在底数上还是在指数上。
2 导函数的定义域决定于原函数的定义域。
练习：求下列函数的导数。
例2．（课本P14例1）假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？/年）在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．提出问题：10个年头，这种0.01）？二导数的计算法则推论1导数不变）2（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）3解决问题：公式和求导法则，有/年）0.4元/年的速度上涨．例3 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数，并注明定义域。
（1（2（3强调： 1 求导数是在定义域内实行的．2 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．例4（P15例3）日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净所需净化费用的瞬时变化率：（1（24538y x x =+-练习：()()32454338x y xx -+'=+-解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．（1）用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）所以，费用的瞬时变化率是1321元/吨．强调：费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快． 五．课堂练习六．课堂小结（1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则 七．布置作业 八．教学后记。
高中数学《导数的四则运算法则》专题突破含解析
5.2.2 导数的四则运算法则课标要求素养要求能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数.在利用导数的运算法则求函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.新知探究已知f (x )＝x ，g (x )＝1x . Q (x )＝f (x )＋g (x )，H (x )＝f (x )－g (x ) 问题1 f (x )，g (x )的导数分别是什么？ 提示 f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x 2.问题2 试求y ＝Q (x )，y ＝H (x )的导数.并观察Q ′(x )，H ′(x )与f ′(x )，g ′(x )的关系. 提示 ∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x （x ＋Δx ），∴Δy Δx ＝1－1x （x ＋Δx ）.∴Q ′(x )＝错误!未指定书签。
0lim x ∆→Δy Δx ＝错误!未指定书签。
0lim x ∆→⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1x （x ＋Δx ）＝1－1x 2.同理，H ′(x )＝1＋1x 2.显然Q (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的和.H (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的差.导数运算法则 注意两函数商的导数中分式的分子上是“－”法则语言叙述[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)[微判断]1.函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1).(√)2.当g (x )≠0时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g （x ）′＝－g ′（x ）g 2（x ）.(√)3.函数f (x )＝x ln x 的导数是f ′(x )＝x .(×) 提示 f ′(x )＝(x )′ln x ＋x (ln x )′＝ln x ＋1. [微训练]1.(多选题)下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B.(sin x ＋cos x )′＝cos x －sin x C.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ′＝1－ln x x 2 D.(x 2cos x )′＝－2x sin x解析 A 中⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x 2，A 不正确；D 中，(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，D 不正确；BC 正确. 答案 BC2.设f (x )＝x 3＋ax 2－2x ＋b ，若f ′(1)＝4，则a 的值是( ) A.94 B.32 C.－1D.－52解析f′(x)＝3x2＋2ax－2，故f′(1)＝3＋2a－2＝4，解得a＝3 2.答案 B3.设f(x)＝xe x，则f′(0)＝________.解析f′(x)＝e x－x e x（e x）2＝1－xe x，故f′(0)＝1.答案 1[微思考]1.设f(x)＝tan x，如何求f′(x)?提示f(x)＝tan x＝sin xcos x，所以f′(x)＝cos2x＋sin2xcos2x＝1cos2x.2.设f(x)＝x4＋2x3－3x2＋1x2，如何求f′(x)?提示f(x)＝x4＋2x3－3x2＋1x2＝x2＋2x－3＋x－2，故f′(x)＝2x＋2－2x－3.题型一利用运算法则求函数的导数【例1】求下列函数的导数. (1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；(2)y＝x2－x＋1 x2＋x＋1；(3)y＝3x e x－2x＋e；(4)y＝ln x x2＋1.解(1)法一可以先展开后再求导：y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝18x2＋4x－3.法二可以利用乘法的求导法则进行求导：y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x 2＋4x －3.(2)把函数的解析式整理变形可得： y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1＝x 2＋x ＋1－2x x 2＋x ＋1＝1－2x x 2＋x ＋1， ∴y ′＝－2（x 2＋x ＋1）－2x （2x ＋1）（x 2＋x ＋1）2＝2x 2－2（x 2＋x ＋1）2.(3)根据求导法则进行求导可得： y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x ln 3·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(3e)x ln 3e －2x ln 2. (4)利用除法的求导法则进行求导可得： y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x ·（x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－ln x ·2x （x 2＋1）2＝x 2（1－2ln x ）＋1x （x 2＋1）2.规律方法 利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式.(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导. 【训练1】 求下列函数的导数. (1)y ＝(x 2＋1)(x －1)； (2)y ＝3x ＋lg x ； (3)y ＝x 2＋tan x ； (4)y ＝e xx ＋1.解 (1)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1， ∴y ′＝3x 2－2x ＋1.(2)y ′＝(3x )′＋(lg x )′＝3x ln 3＋1x ln 10.(3)因为y ＝x 2＋sin xcos x ， 所以y ′＝(x 2)′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝2x ＋cos 2x －sin x （－sin x ）cos 2x ＝2x ＋1cos 2x . (4)y ′＝（e x ）′（x ＋1）－（x ＋1）′e x（x ＋1）2＝e x （x ＋1）－e x （x ＋1）2＝x e x （x ＋1）2.题型二 求导法则的应用 角度1 求导法则的逆向应用【例2－1】 已知f ′(x )是一次函数，x 2·f ′(x )－(2x －1)·f (x )＝1对一切x ∈R 恒成立，求f (x )的解析式.解 由f ′(x )为一次函数可知，f (x )为二次函数，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ，把f (x )，f ′(x )代入关于x 的方程得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)·(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0，又该方程对一切x ∈R 恒成立，所以⎩⎨⎧a －b ＝0，b －2c ＝0，c －1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝1，所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.规律方法 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数.【训练2】 设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋1.求y ＝f (x )的函数表达式. 解 ∵f ′(x )＝2x ＋1， ∴f (x )＝x 2＋x ＋c (c 为常数)，又∵方程f (x )＝0有两个相等的实根，即x 2＋x ＋c ＝0有两个相等的实根，Δ＝12－4c ＝0，即c ＝14，∴f (x )＝x 2＋x ＋14.角度2 求导法则在导数几何意义中的应用【例2－2】 已知函数f (x )＝ax 3－x 2－x ＋b (a ，b ∈R ，a ≠0)，g (x )＝3e4e x ，f (x )的图象在x ＝－12处的切线方程为y ＝34x ＋98. (1)求a ，b 的值.(2)直线y ＝34x ＋98是否与函数g (x )的图象相切？若相切，求出切点的坐标；若不相切，请说明理由. 解 (1)f ′(x )＝3ax 2－2x －1.∵f (x )的图象在x ＝－12处的切线方程为y ＝34x ＋98，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝34，即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1－1＝34，解得a ＝1，又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，34， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－123－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋b ＝34，解得b ＝58. 综上，a ＝1，b ＝58.(2)设直线y ＝34x ＋98与函数g (x )的图象相切于点A (x 0，y 0). ∵g ′(x )＝3e 4e x ，∴g ′(x 0)＝3e 4e x 0＝34，解得x 0＝－12，将x 0＝－12代入g (x )＝3e 4e x ，得点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，34，∴切线方程为y －34＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，化简得y ＝34x ＋98，故直线y ＝34x ＋98与函数g (x )的图象相切，切点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，34. 规律方法 (1)此类问题主要涉及切点，切点处的导数、切线方程三个主要元素，解题方法为把其它题设条件转化为这三个要素间的关系，构建方程(组)求解.(2)准确利用求导法则求出函数的导数是解此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.【训练3】 (1)已知函数f (x )＝axx 2＋b，且f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若P (x 0，y 0)为f (x )图象上的任意一点，直线l 与f (x )的图象切于P 点，求直线l 的斜率k 的取值范围.解 (1)由题意得f ′(x )＝（ax ）′（x 2＋b ）－ax （x 2＋b ）′（x 2＋b ）2＝a （x 2＋b ）－2ax 2（x 2＋b ）2＝－ax 2＋ab （x 2＋b ）2，因为f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝－a ＋ab （1＋b ）2＝0，f （1）＝a 1＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝1，则f (x )＝4xx 2＋1； (2)由(1)可得，f ′(x )＝－4x 2＋4（x 2＋1）2，所以直线l 的斜率 k ＝f ′(x 0)＝－4x 20＋4（x 20＋1）2＝－4（x 20＋1）＋8（x 20＋1）2＝－4·1x 20＋1＋8（x 20＋1）2设t ＝1x 20＋1，则t ∈(0，1]， 所以k ＝4(2t 2－t )＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－12，则在对称轴t ＝14处取到最小值－12，在t ＝1处取到最大值4， 所以直线l 的斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4.一、素养落地1.通过利用导数的运算法则求导数提升数学运算素养.2.导数的求法对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数. 3.和与差的运算法则可以推广[f (x 1)±f (x 2)±…±f (x n )]′＝f ′(x 1)±f ′(x 2)±…±f ′(x n ). 4.积、商的求导法则(1)若c 为常数，则[cf (x )]′＝cf ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)； (3)当f (x )＝1时，有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g （x ）′＝－g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0).二、素养训练1.函数y ＝(x ＋1)(x －1)的导数等于( ) A.1 B.－12xC.12xD.－14x解析 因为y ＝(x ＋1)(x －1)＝x －1， 所以y ′＝x ′－1′＝1. 答案 A2.已知函数f (x )＝x e x ＋ax ，若f ′(0)＝2，则实数a 的值为( ) A.－1 B.0 C.1D.2 解析 f ′(x )＝e x (x ＋1)＋a ，故f ′(0)＝1＋a ＝2，所以a ＝1.答案 C 3.函数y ＝cos x1－x的导数是( ) A.－sin x ＋x sin x（1－x ）2B.x sin x －sin x －cos x（1－x ）2C.cos x －sin x ＋x sin x（1－x ）2D.cos x －sin x ＋x sin x1－x解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝（－sin x ）（1－x ）－cos x ·（－1）（1－x ）2＝cos x －sin x ＋x sin x（1－x ）2.答案 C4.曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线的方程为________.解析 f ′(x )＝1＋ln x ，则在点(1，f (1))处切线的斜率k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，故所求的切线方程为y －0＝1×(x －1)，即x －y －1＝0. 答案 x －y －1＝05.已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________. 解析 由于f ′(0)是常数， 所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)， 令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 答案 1基础达标一、选择题1.曲线f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.3π4 C.π4D.π3解析 因为f ′(x )＝x 2－2x ，k ＝f ′(1)＝－1，所以在x ＝1处的切线的倾斜角为3π4. 答案 B2.函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x （x ＋3）2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x （x ＋3）2D.3x 2＋6x （x ＋3）2解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝（x 2）′（x ＋3）－x 2（x ＋3）′（x ＋3）2＝2x （x ＋3）－x 2（x ＋3）2＝x 2＋6x（x ＋3）2.答案 A3.下列运算中正确的是( ) A.(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′＋(c )′ B.(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C.⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝（sin x ）′－（x 2）′x 2D.(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x解析 A 项中，(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′＋(c )′正确； B 项中，(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2(x 2)′错误；C 项中，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝（sin x ）′x 2－sin x （x 2）′（x 2）2错误；D 项中，(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′错误. 答案 A4.若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A.－1 B.－2 C.2D.0解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(x )是奇函数， 故f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 答案 B5.已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(x )的大致图象是( )解析 ∵f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝14x 2＋cos x ，∴f ′(x )＝12x －sin x .易知f ′(x )＝12x －sin x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D.由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π12－12<0，排除C ，故选A. 答案 A 二、填空题6.函数f (x )＝e x sin x 的图象在点(0，f (0))处切线的倾斜角为________.解析 由题意得，f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＝e x (sin x ＋cos x )，∴函数f (x )的图象在点(0，f (0))处切线的斜率k ＝f ′(0)＝1，则所求的倾斜角为π4. 答案 π47.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－4x ，x <0，－1x －ln x ，0<x <1，若f ′(a )＝12，则实数a 的值为________.解析 f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，x <0，1x 2－1x ，0<x <1，若f ′(a )＝12，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，1a 2－1a ＝12或⎩⎨⎧a <0，a 2－4＝12，解得a＝14或a ＝－4. 答案 14或－48.设f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，若h (x )＝f （x ）＋2g （x ），则h ′(5)＝________.解析 由题意知f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1， ∵h ′(x )＝f ′（x ）g （x ）－[f （x ）＋2]g ′（x ）[g （x ）]2，∴h ′(5)＝f ′（5）g （5）－[f （5）＋2]g ′（5）[g （5）]2＝3×4－（5＋2）×142＝516.答案 516 三、解答题9.求下列函数的导数： (1)f (x )＝(x 2＋9)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3x(2)f (x )＝sin xx n .解 (1)f (x )＝x 3＋6x －27x ，f ′(x )＝3x 2＋27x 2＋6. (2)f ′(x )＝（sin x ）′x n －sin x ·（x n ）′（x n ）2＝x n cos x －nx n －1sin x x 2n＝x cos x －n sin xx n ＋1.10.已知抛物线f (x )＝ax 2＋bx －7经过点(1，1)，且在点(1，1)处的切线方程为4x －y －3＝0，求a ，b 的值.解 由抛物线f (x )＝ax 2＋bx －7经过点(1，1)， 得1＝a ＋b －7，即a ＋b －8＝0.因为f ′(x )＝2ax ＋b ，且抛物线在点(1，1)处的切线方程为4x －y －3＝0，所以f ′(1)＝4，即2a ＋b －4＝0.由⎩⎨⎧a ＋b －8＝0，2a ＋b －4＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝12.能力提升11.若曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝e xa (a >0)存在公共切线，则实数a 的取值范围为( ) A.(0，1) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，e 24 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤e 24，2 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞解析 y ＝x 2在点(m ，m 2)处的切线斜率为2m ，y ＝e x a (a >0)在点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，1a e n 处的切线斜率为1a e n ，如果两个曲线存在公共切线，那么2m ＝1a e n.又由斜率公式可得2m ＝m 2－1a e nm －n，由此得到m ＝2n －2，则4n －4＝1a e n 有解，所以函数y ＝4x －4与y ＝1a e x的图象有交点即可.当直线y ＝4x －4与函数y ＝1a e x 的图象相切时，设切点为(s ，t )，则1a e s ＝4，且t ＝4s －4＝1a e s ，即有切点(2，4)，a ＝e 24，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞.故选D. 答案 D12.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋bx 2， ∴f ′(2)＝74，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0). 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.创新猜想13.(多选题)过点P (2，－6)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线，则切线方程为( ) A.3x ＋y ＝0 B.24x －y －54＝0 C.3x －y ＝0D.24x －y ＋54＝0解析 设切点为(m ，m 3－3m )， f (x )＝x 3－3x 的导数为f ′(x )＝3x 2－3， 则切线斜率k ＝3m 2－3， 由点斜式方程可得切线方程为 y －m 3＋3m ＝(3m 2－3)(x －m )，将点P (2，－6)代入可得－6－m 3＋3m ＝(3m 2－3)(2－m )， 解得m ＝0或m ＝3.当m ＝0时，切线方程为3x ＋y ＝0； 当m ＝3时，切线方程为24x －y －54＝0. 答案 AB14.(多空题)如图所示的图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则这个图象的序号是________，f (－1)＝________.解析∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，排除图象②④；又a≠0，∴f′(x)不是偶函数，其图象不关于y轴对称，故f′(x)的图象的序号为③.由图象特征可知，f′(0)＝0，∴a2－1＝0，且对称轴x＝－a>0，∴a＝－1，∴f(x)＝13x3－x2＋1，则f(－1)＝－1 3.答案③－1 3。
导数专题,导数题型归纳
导数专题,导数题型归纳贾老师高考数学一轮复【题型归纳】系列辅导资料导数专题：导数题型归纳目录：第1节：导数的概念与导函数题型48：导数的概念与求极限知识点摘要：本题型主要考察导数的概念和求导函数的极限值。
需要掌握导数的定义和求导法则，以及极限的基本概念和计算方法。
典型例题精讲精练：例题1：已知函数$f(x)=x^2+3x-4$，求$f(x)$在$x=2$处的导数。
解析：根据导数的定义，导数$f'(x)$表示函数$f(x)$在$x$处的变化率。
因此，我们可以使用导数的定义来求$f(x)$在$x=2$处的导数：f'(2)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}$$将函数$f(x)=x^2+3x-4$代入上式，得到：f'(2)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(2+\Delta x)^2+3(2+\Delta x)-4-(2^2+3\times 2-4)}{\Delta x}$$化简得：f'(2)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(4\Delta x+\Deltax^2)+3\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}(4+\Deltax+3)=\boxed{7}$$因此，$f(x)$在$x=2$处的导数为$7$。
例题2：已知函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，求$f'(x)$。
解析：根据导数的定义，导数$f'(x)$表示函数$f(x)$在$x$处的变化率。
因此，我们可以使用导数的定义来求$f(x)$的导数：f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$将函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}$代入上式，得到：f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sqrt{(x+\Delta x)^2+1}-\sqrt{x^2+1}}{\Delta x}$$分子有两个根号，难以计算，因此我们需要进行有理化。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则说课稿 教案
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【教学目标】1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．3．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．4．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax ＋b)的导数)．【教法指导】本节学习重点：函数的和、差、积、商的求导法则．本节学习难点：复合函数的求导法则．【教学过程】☆复习引入☆前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连接的两个或两个以上基本初等函数的导数如何求？正是本节要研究的问题．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.☆探索新知☆探究点一导数的运算法则思考1 我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”；(5)要注意区分参数与变量，例如[a·g(x)]′＝a·g′(x)，运用公式时要注意a′＝0.例1 求下列函数的导数：(1)y＝x3－2x＋3；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝3x－lg x.解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2.(2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f (x )＝3x 与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出 f ′(x )＝3x ln 3，g ′(x )＝1x ln 10， 利用函数差的求导法则可得(3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3x ln 3－1x ln 10. 反思与感悟 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数． 跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 5＋x 7＋x 9x ； (2)f (x )＝2－2sin 2x2.例2 求下列函数的导数：(1)f (x )＝x ·tan x ；(2)f (x )＝x －1x ＋1. 解 (1)f ′(x )＝(x ·tan x )′＝(x sin x cos x )′ ＝x sin x ′cos x －x sin x cos x ′cos 2x ＝sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x . (2)∵f (x )＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴f ′(x )＝(1－2x ＋1)′＝(－2x ＋1)′＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.探究点二 导数的应用 例2 (1)曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________________．答案 3x －y ＋1＝0解析 y ′＝e x ＋x e x ＋2，则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为k ＝e 0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y －1＝3x ，即3x －y ＋1＝0. (2)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________．答案 (－2,15)(3)已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ，∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327， 即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s. 反思与感悟 本题应用导数的运算法则进一步强化导数的物理意义及几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，即k ＝y ′|x ＝x 0＝f ′(x 0)；瞬时速度是位移函数s (t )对时间t 的导数，即v ＝s ′|t ＝t 0.探究点三 复合函数的定义思考1 观察函数y ＝2x cos x 及y ＝ln(x ＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？ 答 y ＝2x cos x 是由u ＝2x 及v ＝cos x 相乘得到的；而y ＝ln(x ＋2)是由u ＝x ＋2与y ＝ln u (x >－2)经过“复合”得到的，即y 可以通过中间变量u 表示为自变量x 的函数．所以它们称为复合函数． 思考2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？思考3 在复合函数中，内层函数的值域A 与外层函数的定义域B 有何关系？答 A ⊆B .小结 要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法．例3 指出下列函数是怎样复合而成的：(1)y ＝(3＋5x )2；(2)y ＝log 3(x 2－2x ＋5)；(3)y ＝cos 3x .解 (1)y ＝(3＋5x )2是由函数y ＝u 2，u ＝3＋5x 复合而成的；(2)y ＝log 3(x 2－2x ＋5)是由函数y ＝log 3u ，u ＝x 2－2x ＋5复合而成的；(3)y ＝cos 3x 是由函数y ＝cos u ，u ＝3x 复合而成的．小结 分析函数的复合过程主要是设出中间变量u ，分别找出y 和u 的函数关系，u 和x 的函数关系．例4 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x ；(3)y ＝sin(－2x ＋π3)；(4)y ＝102x ＋3. 解 (1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3.(2)y ＝11－2x＝(1－2x )－12可看作y ＝u －12，u ＝1－2x 的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)u －32·(－2)＝(1－2x )－32＝11－2x1－2x ； (3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3)＝－2cos(2x －π3)． (4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.反思与感悟 分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．探究点五 导数的应用例5 求曲线y ＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程．反思与感悟求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法．。
同步练习】基本初等函数的导数公式及运算法则基础练习题及答案
同步练习】基本初等函数的导数公式及运算法则基础练习题及答案1.函数$y=x^2$在点$x=1$处的导数是2.2.函数$f(x)=(2x+1)^2(4x-2x+1)$的导数是$24x^2-1$。
3.函数$f(x)=(x+2a)(x-a)^2$的导数为$f'(x)=2(x^2-a^2)+2(x-a)\cdot 2x=2(3x^2-2ax-a^2)$。
4.函数$f(x)=1+\sin x$，其导函数为$f'(x)=\cos x$，则$f'(\pi/3)=1/2$。
5.已知函数$f(x)=3x^2$，则$f'(3)=18$。
6.函数$f(x)=(2e^x)+\sin x$的导数是$f'(x)=2e^x+\cos x$。
7.已知$f(x)=\sin x+\cos x+\pi/2$，则$f'(\pi/2)=-1$。
8.已知函数$f(x)=2\sin x+\cos x$，则$f'(\pi)=-2$。
9.已知函数$f(x)=\frac{1}{2}x^2$，则$f(x)=\frac{1}{2}x^2+C$，其中$C$为常数。
10.某物体的瞬时速度为0时，$t=2$。
11.已知函数$f(x)=ax^2+b$的图像开口向下，$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}=4$，则$a=-2$。
12.已知函数$f(x)=x^4+ax^2-bx$，且$f'(-1)=-13$，$f'(-1)=-27$，则$a+b=-18$。
13.已知函数$f(x)=x\sin x+\cos x$，则$f'(\frac{\pi}{2})=-1$。
14.函数$f(x)=x\mathrm{e}^x$的导函数为$f'(x)=(x+1)\mathrm{e}^x$，所以$f'(x)>0$的解集为$(0,+\infty)$。
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
题型一： 题型一：导数公式及导数运算法则的应用
(1) y = x − 2 x + 3 1 2 (2) y = − 2 ; x x x (3) y = ; 2 1− x (4) y = tan x;
3 2
求下列函数的导数: 例2:求下列函数的导数 求下列函数的导数
答案: 答案 (1) y′ = 3x2 − 2;
1 4 + 3; 2 x x 1 + x2 (3) y′ = ; 2 2 (1 − x ) (2) y′ = −
1 (4) y ′ = ; 2 cos x
2
(5) y = (2 x − 3) 1 + x ; 1 (6) y = 4 ; x (7) y = x x ;
(5) y′ =
6 x3 + x 1+ x
解：(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′ ′ ′ ＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′ ′ ′ ′ ′ 4 2 ＝5x －9x －10x. 2 2 法一： 解：(2)法一：y′＝(2x ＋3)′(3x－2)＋(2x ＋3)(3x－2)′ 法一 ′ ′ － ＋ － ′
＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3 － ＋ ＝18x2－8x＋9. ＋ (2)法二 ∵ ＝ 法二： 解： 法二： y＝(2x2＋3)·(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， － ＝ － ，
( Cu )′ = C u ′.
u u′v − uv′ 法则3 )′ = ( (v ≠ 0) 2 v v
u(x + ∆x) u(x) − ∆y v(x + ∆x) v(x) = ∆x ∆x u ( x + ∆ x )v ( x ) − u ( x )v ( x + ∆ x ) = v ( x + ∆ x )v ( x )∆ x u(x + ∆x) − u(x) v(x + ∆x) − v(x) v(x) − u(x) ∆x ∆x = v ( x + ∆ x )v ( x )
2.4导数的四则运算法则（讲义+典型例题+小练）（解析版）
2.4导数的四则运算法则（讲义+典型例题+小练）一．和与差的导数法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 例1：1．若函数()12ln f x x x=-，()03f x '=，则0x =（ ）A ．1B ．2C ．13-或1D ．4【答案】A 【解析】 【分析】先求导，令导函数值为3，解方程即可. 【详解】函数定义域为()0+∞，，()221f x x x'=+，则()0200213f x x x '=+=，解得01x =或13-（舍去）.故选：A.2．曲线31y x =+在点(1,)a -处的切线方程为（ ） A ．33y x =+ B ．31yx C ．31y x =-- D ．33y x =--【答案】A 【解析】 【分析】求出导函数，进而利用导数的几何意义得到切线的斜率，再求出a 的值，利用点斜式求出切线方程. 【详解】()23f x x '=，所以()13f '-=，又当1x =-时，31110a x =+=-+=，所以31y x =+在点(1,)a -处的切线方程为：()31y x =+，即33y x =+ 故选：A3．已知函数()()3sin 4,f x a x bx a R b R =++∈∈，()f x '为()f x 的导函数，则()()()()2014201420152015f f f f ''+-+--的值为__________.【解析】 【分析】求出()f x '，分析函数()f x '的奇偶性，计算出()()20142014f f +-的值，即可得解. 【详解】因为()3sin 4a x f x bx +=+，则()2cos 3f x a x bx '=+，所以，()()()()22cos 3cos 3f x a x b x a x bx f x ''-=-+-=+=，故函数()f x '为偶函数，()()()()()33sin 4sin 4f x f x a x bx a x b x ⎡⎤+-=+++-+-+⎣⎦()()33sin 4sin 48a x bx a x bx =+++--+=，所以，()()()()20142014201520158f f f f ''+-+--=. 故答案为：8.4．已知点M 是曲线3212313y x x x =-++上任意一点，求曲线在点M 处的斜率最小的切线方程．【答案】33110x y +-=． 【解析】 【分析】求导函数，结合导数的几何意义、导数的四则运算法则以及直线方程知识即可求解. 【详解】∵()224321y x x x '=-+=--， ∵当2x =时，min1y '=-，此时53y =， ∵斜率最小的切线过点2,3⎛⎫⎪⎝⎭5，且斜率1k =-，∵所求切线方程为33110x y +-=． 举一反三1．已知函数()sin cos 3f x x π=+，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A 3B 3C 31+ D 31- 【答案】B【分析】求出()f x '，代值计算可得6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()sin cos 3f x x π=+，则()cos f x x '=，故3cos 662f ππ⎛⎫'==⎪⎝⎭. 故选：B.2．已知函数()()22323ln f x f x x x '=-+（()f x '是()f x 的导函数），则()1f =（ ）A ．21B ．20C ．16D ．11【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求出(3)11f '=，即得解. 【详解】解：由题得()()3()234,(3)23121,(3)11f x f x f f f x'''''=-+∴=-+∴=，所以()22223ln (1)22220f x x x x f =-+∴=-=，. 故选：B3．已知函数()314,031ln ,01x x x f x x x x⎧-<⎪⎪=⎨⎪--<<⎪⎩，若()12f a '=，则实数a 的值为___________.【答案】14或4-【解析】 【分析】根据解析式，求得导数，根据自变量范围及()12f a '=，列出方程，即可得答案. 【详解】由题意得：()224,011,01x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-<<'⎪⎩. 因为()12f a '=，所以2011112a a a <<⎧⎪⎨-=⎪⎩或20412a a <⎧⎨-=⎩，解得14a =或4-.故答案为：14或4-4.求下列函数的导数．（1）33cos 243ln xy x x x =+-+ （2）n 1l y x x=+； 【详解】（1）233sin 6(2ln 2)4xy x x x'=-+-⋅+； （2）211y x x '=-；二．乘法的导数法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)例2：1．已知()f x '是函数()sin f x x x =的导函数，则2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ）A ．0B ．1C ．2π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】求出()f x '，代值计算可得2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()sin f x x x =，则()sin cos f x x x x '=+，因此，12f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭.故选：B.2．函数()ln f x x x =的导函数是___________. 【答案】()ln 1f x x '=+ 【解析】 【分析】根据乘积的导数公式直接求导可得. 【详解】()ln (ln )ln 1f x x x x x x '''=+=+故答案为：()ln 1f x x '=+ 3．求下列函数的导数： (1)()3sin 6100S t t t =-+；(2)()532xf x x =+-； (3)()4cos g x x x =．【答案】(1)()3cos 6S t t '=-(2)()l 2n 23xf x '=- (3)()344cos sin g x x x x x '=-【解析】 【分析】（1）利用导数的四则运算规则可求导数. （2）利用导数的四则运算规则可求导数. （3）利用导数的四则运算规则可求导数. (1)()3cos 6S t t '=-(2)()l 2n 23xf x '=- (3)()344cos sin g x x x x x '=-举一反三1．下列图象中，有一个是函数()()3221113f x x ax a x =++-+（a ∈R ，且0a ≠）的导函数的图象，则()1f -=（ ）A ．13B ．13-C ．73D ．13-或53【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，据导函数的二次项系数为正得到图象开口向上；利用函数解析式中有2ax ，故函数不是偶函数，得到函数的图象． 【详解】()()2221f x x ax a '=++-，∴导函数()f x '的图象开口向上．又0a ≠，()f x '∴不是偶函数，其图象不关于y 轴对称，其图象必为∵， 由图象特征知()00f '=， 且对称轴0x a =->，1a ∴=-．故()1111133f -=--+=-．故选：B ．2．已知函数()(21)e x f x x =+，()'f x 为()f x 的导函数，则(0)f '的值为（ ） A ．1 B ．3- C ．1- D ．3【答案】D 【解析】 【分析】先求得()'f x ，再去求(0)f '即可解决. 【详解】()()(21)e (21)e 2e (21)e (23)e x x x x x f x x x x x '''=+++=++=+则()0(0)203e 3f '=⨯+=故选：D3．求下列函数的导数： (1)2sin y x x =；(2)3ln x y x =； (3)2e x x y =.【答案】(1)22sin cos x x x x + (2)ln 313ln x x x +⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭(3)()2e ln 2e x⋅ 【解析】 【分析】根据导数乘法的运算法则结合初等函数的导数公式即可得到答案. (1)解：22sin cos y x x x x '=+.(2)解：313ln 3ln 3ln 3ln x xx y x x x x ⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝=+=+⎭'.(3)解：()2ln 2e 2e 2e ln 2e xx x x x y =⋅⋅+⋅=⋅'.三．除法的导数 法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号) 例3：1．已知函数ln ()xf x x=，则()f x '=（ ） A ．21ln xx - B ．21ln xx + C ．ln 1x x+D ．ln 1x x-【解析】 【分析】根据导数的运算法则，即可求出结果. 【详解】因为ln ()x f x x=，所以2211ln 1ln ()=x xx x f x x x ⋅-⋅-'=，即21ln ()=x f x x -'. 故选:A. 2．曲线211x y x -=+在11,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率为（ ） A ．14B ．34C ．1D ．54【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义来解决，先求导，把切点的横坐标代入导函数，求出函数值即为函数211x y x -=+在这一点的切线的斜率 【详解】()()()()()223212111x x f x x x +--'==++，则()314f '=，故211x y x -=+在11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线斜率为34 故选：B 3．求1cos xy x=-的导数．【答案】()21cos sin 1cos x x xy x --'=-【解析】 【分析】利用函数商的导数公式可求给定函数的导数. 【详解】 ()()221cos sin 1cos sin 1cos 1cos x x xx x xy x x --⨯--'==--1．已知()sin xf x x=，那么函数在x ＝π处的瞬时变化率为（ ） A ．1π-B ．0C ．21π-D ．1π【答案】A 【解析】 【分析】利用导数运算法则求出()2cos sin x x xf x x -'=，根据导数的定义即可得到结论．【详解】 由题设，()2cos sin x x xf x x -'=，所以()2cos sin 1f ππππππ-'==-，函数在x ＝π处的瞬时变化率为1π-，故选：A ．2．已知()xe f x x=，若()()000f x f x '+=，则0x 的值为________．【答案】12 【解析】 【分析】求出()f x '，然后解方程()()000f x f x '+=可求得0x 的值. 【详解】()xe f x x =，则()()21x e x f x x -'=，其中0x ≠， 由()()()0000210x x x e e f x f x x x -'+=+=，可得00110x x -+=，解得012x =. 故答案为：12.2．设()55f =，()53f '=，()54g =，()51g '=，若()()2()f x h xg x +=，则()5h '＝________. 【答案】516【解析】根据导数的四则运算对函数()()2()f x h xg x +=进行求导，再代入5x =，即可求出()5h '的值. 【详解】解：由题意知()55f =，()53f '=，()54g =，()51g '=，()()2()f x h xg x +=， ()()()()()()22f x g x f x g x h x g x ''⋅-+⋅⎡⎤⎣⎦'∴=⎡⎤⎣⎦，()()()()()()25552555f g f g h g ''⋅-+⋅⎡⎤⎣⎦'∴=⎡⎤⎣⎦，()()23452155416h ⨯-+⨯'∴==. 故答案为：516.4．求下列函数的导数： (1)()1sin g x x=；(2)()tan xf x x=； (3)()2ln u W u u =．【答案】(1)()2cos sin x xxg '=-(2)()22tan tan tan x x x xf x x --'= (3)()22ln ln u u uW u u -'=【解析】 【分析】（1）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. （2）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. （3）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. (1)()22sin 0cos co s n s i g x x xx x'=--=.(2)()2222222sin sin cos tan tan tan tan cos cos tan tan tan x x x x x x x x x x x x x f x x x x'⎛⎫+--⨯ ⎪--⎝⎭'===. (3)()22212ln 2ln ln ln u u u u u u u W u uu-⨯-'==.巩固提升一、单选题1．下列导数运算正确的是（ ） A ．()22343x x '+=+B ．ππsin cos 66'⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．2ln 1ln x x x x '+⎛⎫=⎪⎝⎭D ．(2sin 3cos )2cos 3sin x x x x -=+'【答案】D 【解析】 【分析】利用基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则进行计算. 【详解】()2234xx '+=，A 错误；π1sin 062''⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；2ln 1ln x x x x '-⎛⎫=⎪⎝⎭，C 错误， (2sin 3cos )2cos 3sin x x x x -=+'，D 正确.故选：D2．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2e ln f x xf x +'=，则()e f '=（ ） A ．1eB ．1-C ．1e-D ．e -【答案】C 【解析】 【分析】求导，代入e x =即可求解. 【详解】∵()()2e ln f x xf x +'=，∵()()12e f x f x ''=+，∵()()1e 2e e f f ''=+，解得：()1e ef '=-. 故选：C.3．已知一质点的运动方程为ln 3s t t =+，其中s 的单位为米，t 的单位为秒，则第1秒末的瞬时速度为（ ） A ．1m /s B ．2m /sC ．4m /sD ．7m /s 2【答案】C 【解析】 【分析】求出13s t'=+即得解.【详解】解：由题意得13s t'=+，故质点在第1秒末的瞬时速度为1+3=14m /s .故选：C 4．已知21()sin()42f x x x π=++，()'f x 为f （x ）的导函数，则()'f x 的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，令()()g x f x '=，根据导函数的奇偶性可排除AD ，再根据6g π⎛⎫⎪⎝⎭的符号可排除C ，即可得解. 【详解】解：2211()sin()cos 424f x x x x x π=++=+，则()1sin 2f x x x '=-， 令()()1sin 2g x f x x x '==-， ()()1sin 2g x x x g x -=-+=-，所以函数()g x 为奇函数，故排除AD ，又106122g ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故排除C.故选：B.5．曲线ln 1y x =+在(1,1)处的切线也为e x y a =+的切线，则=a （ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件求出切线方程，设出切线与曲线e x y a =+相切的切点坐标，再借助导数几何意义即可得解. 【详解】由ln 1y x =+求导得：1y x'=，则曲线ln 1y x =+在(1,1)处的切线斜率为1，切线方程为：y =x ，设直线y =x 与曲线e x y a =+相切的切点为(,e )t t a +，由e x y a =+求导得e x y '=，于是得e 1e t t a t ⎧=⎨+=⎩，解得01t a =⎧⎨=-⎩，所以1a =-， 故选：C6．函数()()()125y x x x x =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅-在0x =处的导数为（ ） A ．120 B ．120- C ．60 D ．60-【答案】B 【解析】 【分析】设()()()()()()12345g x x x x x x =-----，可得出()()()y xg x g x xg x '''==+⎡⎤⎣⎦，进而可求得结果.【详解】设()()()()()()12345g x x x x x x =-----，则()()()y xg x g x xg x '''==+⎡⎤⎣⎦）， 所以()()()()()()0012345120x y g ===-⨯-⨯-⨯-⨯-=-'． 故选：B. 二、多选题 7．设函数()()1sin cos 2x x f x =-的导函数为()f x '，则（ ） A ．()()sin f x f x x '+= B ．()()cos f x f x x '+= C ．()()sin f x f x x '-= D ．()()cos f x f x x '-=【答案】AD 【解析】 【分析】求导，可得()'f x 解析式，分析选项，即可得答案. 【详解】 易得()()1cos sin 2x f x x =+'， 所以()()sin f x f x x '+=，()()cos f x f x x '-=， 故选：AD.8．[多选]若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数()y f x =具有“T 性质”.则下列函数中具有“T 性质”的是（ ） A ．e x x y = B ．cos 1y x =+ C ．31y x =D ．2ln 2log y x =【答案】AB 【解析】 【分析】由题意可知存在两点使得函数在这两点处的导数值的乘积为-1，然后结合选项求导逐项分析即可. 【详解】由题意，可知若函数()y f x =具有“T 性质”，则存在两点， 使得函数在这两点处的导数值的乘积为-1. 对于A ，1e e x x x x'-⎛⎫= ⎪⎝⎭，满足条件；对于B ，(cos 1)sin x x '+=-，满足条件；对于C ，34130x x '⎛⎫=-< ⎪⎝⎭恒成立，负数乘以负数不可能得到-1，不满足条件； 对于D ，()211ln 2log ln 20ln 2x x x'=⋅=>恒成立，正数乘以正数不可能得到-1，不满足条件. 故选：AB. 三、填空题9．已知函数()tan f x x x =+，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭'的值是______.【答案】5 【解析】 【分析】求出()f x '，代值计算可得3f π⎛⎫⎪⎝⎭'的值.【详解】因为()sin tan cos xf x x x x x =+=+，则()()()22sin cos sin cos 111cos cos x x x x f x x x''-⋅'=+=+， 因此，21153cos 3f ππ'⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 故答案为：5. 10．曲线2y x=在点()2,1处的切线与直线1y ax =+垂直，则实数=a __________． 【答案】2 【解析】 【分析】 对函数2y x=求导，再利用导数的几何意义结合垂直的条件求解作答. 【详解】由函数2y x =求导得：22y x '=-，则曲线2y x =在点()2,1处的切线斜率21|2x k y ='==-， 依题意，1()12a ⋅-=-，解得2a =，所以实数2a =. 故答案为：2 四、解答题11．求下列函数的导数： (1)()32f x x =-；(2)()2265H t t t =-+-；(3)()3134g x x x=-； (4)()F u u u =；(5)()3e 2tan xu x x =+；(6)()2log tan f x x x =+；(7)()455e x G x x =+-.【答案】(1)()2f x '=- (2)()46H t t '=-+ (3)()22194g x x x '=+(4)()12F u u'=(5)()223e cos x u x x'=+ (6)()211ln 2cos f x x x'=+ (7)()345ln5xG x x '=+【解析】 【分析】（1）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （2）利用导数的运算法则可求得原函数的导数；（3）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （4）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （5）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （6）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （7）利用导数的运算法则可求得原函数的导数. (1)解：由已知可得()()322f x x ''=-=-. (2)解：由已知可得()()226546H t t t t ''=-+-=-+. (3)解：由已知可得()'312222111399444g x x x x x x x --⎛⎫=-=+='+ ⎪⎝⎭.(4)解：由已知可得()112211122F u u u u u -'⎛⎫'=-=-= ⎪⎝⎭(5)解：由已知可得()22222sin 2cos 2sin 23e 3e 3e cos cos cos x x xx x x u x x x x '+⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭. (6)解：由已知可得()22222sin 1cos sin 11log cos ln 2cos ln 2cos x x x f x x x x x x x '+⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭. (7)解：由已知可得()()4535e 45ln 5x x G x x x ''=+-=+.12．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()2(e)ln f x xf x +'=． (1)求(e)f '及(e)f 的值；(2)求()f x 在点2e x =处的切线方程． 【答案】(1)1(e)ef '=-；(e)1f =-；(2)()222e 1e e 0x y -+-=.【解析】 【分析】（1）由题可得1()2(e)f x f x ''=+，进而可得1(e)e f '=-，然后可得2()ln exf x x =-+，即得；（2）由题可求2(e )f ，2(e )f '，再利用点斜式即得. (1)∵()2(e)ln f x xf x +'=，∵1()2(e)f x f x ''=+，1(e)2(e)e f f ''=+，∵1(e)e f '=-，2()ln exf x x =-+，∵2e(e)ln e=1ef =-+-. (2) ∵2()ln e x f x x =-+，21()e f x x'=-+， ∵2222e (e )ln e 22e ef =-+=-，2221(e )e e f '=-+，∵()f x 在点2e x =处的切线方程为()()222122e e e e y x ⎛⎫--=-+- ⎪⎝⎭，即()222e 1e e 0x y -+-=.。
人教版数学高二作业基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)(2)
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．2．函数y ＝cos x1－x 的导数是( )． A.－sin x ＋x sin x(1－x )2 B.x sin x －sin x －cos x(1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2 D.cos x －sin x ＋x sin x1－x答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是() A.193B.163C.133D.103答案 D解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103.4．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.答案 1解析 f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0，∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c 的值．解因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，所以a＋b＋c＝1.因为y′＝2ax＋b，所以曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为4a＋b＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧a＋b＋c＝1，4a＋b＝1，4a＋2b＋c＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝3，b＝－11，c＝9.所以a、b、c的值分别为3、－11、9.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础过关1．下列结论不正确的是()A．若y＝3，则y′＝0B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3C．若y＝－x＋x，则y′＝－12x＋1D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x .2．已知直线y ＝x ＋b 是曲线y ＝f (x )＝ln x 的切线，则b 的值等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．e答案 A解析 设切点的坐标为(x 0，y 0)，y ＝f (x )＝ln x 在x ＝x 0处的导数为f ′(x 0)＝1x 0， 所以1x 0＝1，所以x 0＝1，y 0＝0. 又因为(x 0，y 0)在直线y ＝x ＋b 上，故0＝1＋b ，所以b ＝－1.3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2B.12C ．－12D ．－2 答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1， ∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8)D ．(－12，－18) 答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12答案 A解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.答案 1解析 ∵f (x )＝4x 2＋4ax ＋a 2，∴f ′(x )＝8x ＋4a ，f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.7．若某物体做s ＝(1－t )2的直线运动，则其在t ＝1.2s 时的瞬时速度为________． 答案 0.4m/s解析 ∵s ＝t 2－2t ＋1，∴s ′＝2t －2，∴v ＝s ′(1.2)＝2×1.2－2＝0.4(m/s)．二、能力提升8．当函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0＝( ) A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2， 由x 20－a 2＝0得x 0＝±a . 9．若函数f (x )＝13x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝____. 答案 6解析 ∵f (x )＝13x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5， ∴f ′(x )＝x 2－2f ′(－1)·x ＋1，将x ＝－1代入上式得f ′(－1)＝1＋2f ′(－1)＋1， ∴f ′(－1)＝－2，再令x ＝1，得f ′(1)＝6.10．求曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处的切线方程为____． 答案 x ＋2y －3－π6＝0解析 ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴y ′|x ＝π6＝－sin π6＝－12， ∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6， 即x ＋2y －3－π6＝0. 11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)，即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程．解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， ∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16，又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16，即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0.三、探究与拓展13．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74，② 由①，②得⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3. 故f (x )＝x －3x . (2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)， 即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)． 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
y'x表示y对x的导数
即 y对 x的导数 y对 u 等 的于 导u数 对 x的 与导数. 的
由此,y可 ln 3 得 x2对 x的导数 yln 等 u对 u的 于
导数 u3 与 x2对 x的导数 ,即 的乘积
y'xyu ' u'xln u'3x2' 1 u33x3 2.
1321,
所以,纯净度为 98%时,费用的瞬时变化率
是1321元/吨.
函数 fx 在某点处的导数的大小表示函数
在此点附近变化的快慢 .由上述 计算可知,
c' 98 25c' 90.它表示纯净度为98%左
右时净 化费用的变化率 ,大约是纯 净 度 为
90% 左右时净化费用变化率的 25 倍 .这说
当p0 5时,pt 5 1.05t.这时,求p关于t的导 数可以看成求函数ft 5与 gt 1.05t 乘积
的导数.下面的" 导数运算法则"可以帮助我们解 决两个函数加、减、乘、除的求导问题.
导数运算法则
1 . f x g x ' f 'x g 'x ;
2 . f x g x ' f ' x g x f x g ' x ;
3 . g fx x 'f'x g x g x f2 x g 'x g x 0 .
例2 根据基本初等函数的导数公式 和导数运算法则,求函数 y x3 2x 3的导数.
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
高中数学选择性必修二 5 2 1基本初等函数的导数(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
5.2.1基本初等函数的导数要点一 几个常用函数的导数要点二【重点小结】(1)几个基本初等函数导数公式的特点①正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”． ②指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数． ③对数函数的导数等于x 与底数的自然对数乘积的倒数． (2)函数与其导函数奇偶性的关系 ①常数的导数是0.②奇函数的导函数为偶函数． ③偶函数的导函数为奇函数．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x 2.( ) (2)(log 3x )′＝13ln x.( )(3)⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ′＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x .( ) (4)若y ＝e 3，则y ′＝e 3.( ) 【答案】（1）×（2）×（3）×（4）×2．(多选题)下列导数运算正确的是( )A ．(ln x )′＝xB ．(a x )′＝xa x －1C ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－5x －6 【答案】CD【解析】由导数公式得C 、D 正确．3．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x －y －2＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x ＋y －2＝0 【答案】C【解析】y ′|x ＝0＝e x |x ＝0＝1，即切线斜率为1，又切点为A (0,1)，故切线方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0. 4．函数f (x )＝sin x ，则f ′(6π)＝________. 【答案】1【解析】f ′(x )＝cos x ，所以f ′(6π)＝1.题型一 利用导数公式求函数的导数 【例1】求下列函数的导数：(1)y ＝x －3； (2)y ＝3x ；(3)y ＝ x x x ； (4)y ＝log 5x ；(5)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ；(6)y ＝sin π6；(7)y ＝ln x ； (8)y ＝e x .【解析】(1)y ′＝－3x －4；(2)y ′＝3x ln 3；(3)y ＝x ·x ·x 12＝xx 32＝x ·x 34＝x 78，∴y ′＝78x1-8；(4)y ′＝1x ln 5；(5)y ＝sin x ，y ′＝cos x ；(6)y ′＝0；(7)y ′＝1x；(8)y ′＝e x .不能用基本初等函数公式直接求导的，应先化为基本初等函数再求导． 【方法归纳】求简单函数的导数有两种基本方法(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 【跟踪训练1】求下列函数的导数：(1)y ＝lg x ； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x； (3)y ＝x x ；(4)y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x22－1. 【解析】(1)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10. (2)y ′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2. (3)y ′＝(x x )′＝(x32)′＝32x12＝32x ； (4)∵y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x22－1 ＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .题型二 利用导数公式求曲线的切线方程【例2】已知曲线y ＝ln x ，点P (e,1)是曲线上一点，求曲线在点P 处的切线方程． 【解析】∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x ，∴y ′|x ＝e ＝1e ，即切线斜率为1e .∴切线方程为y －1＝1e(x －e)，即x －e y ＝0.【变式探究】本例中的曲线不变，求过点(0,0)的切线方程． 【解析】因为点(0,0)不在曲线上，所以设切点Q (a ，b )．则切线斜率k ＝y ′|x ＝a ＝1a，又k ＝b －0a －0＝b a，且b ＝ln a∴a ＝e ，b ＝1，∴切线方程为x －e y ＝0. 【方法归纳】(1)求过点P 的切线方程时应注意，P 点在曲线上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的；(2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值．【跟踪训练2】已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 垂直的曲线y ＝x 2的切线方程．【解析】∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则y ′|0x x ＝＝2x 0，又∵直线PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线垂直于直线PQ ，∴2x 0＝－1，即x 0＝－12，所以切点为M ⎝⎛⎭⎫－12，14.∴所求的切线方程为y －14＝－⎝⎛⎭⎫x ＋12， 即4x ＋4y ＋1＝0.易错辨析 混淆幂函数与指数函数求导公式致错【例3】曲线f (x )＝2x 在点(0,1)处的切线方程为________． 【答案】y ＝x ln 2＋1【解析】∵f (x )＝2x ，∴f ′(x )＝2x ln 2，∴f ′(0)＝ln 2 故所求切线方程为y －1＝(x －0)ln 2 即y ＝x ln 2＋1. 【易错警示】 1.出错原因记错导数公式(a x )′＝a x ln a ，与幂函数y ＝x α的求导公式混淆. 2.纠错心得利用导数公式求导时，应先弄清是指数函数，还是幂函数.一、单选题1．若函数5()(2cos )sin 2f x a x x x =-+（其中a 为参数）在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【分析】先求解函数的导数，再根据函数的单调性建立不等式，将问题转化为不等式恒成立问题，进而求解参数的值. 【解析】根据题意，()22259cos 2sin 2cos cos 4cos 22f x a x x x a x x '=+-+=-+()f x 在R 上单调递增 ()0f x ∴'≥ 在R 上恒成立令cos x t =，[]1,1t ∈-，则 ()f x '可写为 ()[]294,1,12g t at t t =-+∈-根据题意()g t 在[]1,1-上的最小值非负()()1010g g ⎧-≥⎪∴⎨≥⎪⎩解得 1122a -≤≤，所以选项B 正确故选：B.2．已知函数()tan f x x =，则4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭等于（ ）A ．12 BC ．1D ．2【答案】D 【分析】先对函数求导，然后求出4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭即可【解析】由()sin tan cos x f x x x ==，得2222cos sin 1()cos cos x x f x x x+=='，所以2124cos4f ππ⎛⎫=='= ⎪⎝⎭， 故选：D3．已知函数()()2e e ln ex f x f x '=⋅⋅-（e是自然对数的底数），则()e f 等于（ ） A ．e 1- B ．21e-C ．1D ．11e-【答案】C 【分析】利用导数的运算可得出关于()e f '的方程，求出()e f '的值，可得出函数()f x 的解析式，进而可求得()e f 的值. 【解析】因为()()2e e ln e xf x f x '=⋅⋅-，则()()2e e 1e f f x x ''=-， 所以，()()1e 2e e f f ''=-，所以，()1e e f '=，故()2ln exf x x =-，因此，()e 2lne 11f =-=. 故选：C.4．函数()ln 25y x x =+的导数为（ ）A ．()2ln 25y x x '=+B ．25xy x '=+ C ．()ln 2525xy x x '=+++ D ．()2ln 2525xy x x '=+++ 【答案】D 【分析】利用复合函数的求导法则，乘法公式的求导法则及基本初等函数的导数公式对函数()ln 25y x x =+求导即可. 【解析】因为()ln 25y x x =+，所以()()()ln 25ln 25ln 25y x x x x x x ''⎡''=+=⎤⎡+++⎤⎣⎦⎣⎦()()()12ln 2525ln 252525xx x x x x x =++⋅⋅+=++++'. 故选：D.5．若()e ln2xf x x =，则()f x '等于（ ）A ．e e ln 22xx x x+B ．e ln 2xx x -C ．e e ln 2xxx x+D ．12e x x⋅【答案】C 【分析】直接根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得； 【解析】解：()()()ee ln 2e ln 2e ln 2xxx x f x x x x x'''=⋅+⋅=+.故选：C. 6．函数()1f x x=在2x =和3x =处的导数的大小关系是（ ） A ．()()23f f ''< B ．()()23f f ''> C ．()()23f f ''= D ．不能确定【答案】A 【分析】求出函数导数即可比较. 【解析】 ()1f x x =，()21f x x '∴=-，所以()()112,349f f ''=-=-，即()()23f f ''<.故选：A.7．给出下列命题：①ln 2y =，则12y ；②21y x=，则3227x y ==-'；③2x y =，则2ln 2x y '=；④2log y x =，则1ln 2y x '=.其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【分析】利用求导公式和法则逐个分析判断即可 【解析】①中ln 2y =为常数函数，故0y '=，故①错误； 对于②，∵32y x '=-，∵3227x y ==-'，故②正确； 显然③④正确. 故选：C.8．下列导数运算正确的是（ ） A ．()121x x-'=B ．11ln 222x x'⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．()cos sin x x '=D ．()1ln 1x x x'+=+【答案】D 【分析】利用求导公式和法则逐个分析判断即可 【解析】因为()121x x -'=-，11ln 222x x'⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()cos sin x x '=-，()1ln 1x x x '+=+，所以选项A ，B ，C 均不正确，选项D 正确， 故选：D.二、多选题9．（多选）以下运算正确的是（ ）A ．211x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()sin cos x x '=C ．()22ln 2x x '=D ．()1lg ln10x x =-' 【答案】BC 【分析】利用基本初等函数的导数公式，依次计算判断即可 【解析】对于A ，因为1211()x x x -'⎛⎫'==- ⎪⎝⎭，所以A 不正确； 对于B ，因为()sin cos x x '=，所以B 正确； 对于C ，因为()22ln 2x x '=，所以C 正确； 对于D ，因为()1lg ln10x x '=，所以D 不正确. 故选：BC.10．下列求导运算不正确的是（ ） A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫=⎪⎝⎭C ．()555log x x x '=D ．()2cos 2sin x x x x '=-【答案】ACD 【分析】利用基本初等函数的导数公式和运算法则求解. 【解析】2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 错误； 2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确； ()55ln 5xx'=，故C 错误；()22cos 2cos sin xx x x x x '=-，故D 错误．故选：ACD11．下列各式正确的是（ ） A ．sin cos 33ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()cos sin x x '=C ．()sin cos x x '=D ．'⎛ ⎝【答案】CD 【分析】直接根据导数的运算公式计算即可. 【解析】对于A ，sin 03π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，故错误；对于B ，()cos sin x x '=-，故错误； 对于C ，()sin cos x x '=，故正确； 对于D ，'⎛=⎝ 故选：CD.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。