2019-2020学年高中数学 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课后习题 新人教A版选修2-2.doc
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
第一章 导数及其应用
[解] ∵p0＝1，∴p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t.
根据基本初等函数的导数公式表，有p′(t)＝(1.05t)′＝
1.05t·ln1.05. ∴p′(10)＝1.0510·ln1.05≈0.08(元/年)． 因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/ 年的速度上涨．
[点拨] 在第10个年头，商品的价格上涨的速度，即
(2)若f(x)＝xn，则f′(x)＝②________. (3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝③________. (4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝④________. (5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝⑤________.
(6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝⑥________.
第一章 导数及其应用
[分析] 求函数的导数主要有直接求导和先变形然后 再求导两种方法，要注意正确区分．
[解]
(1)y′＝(tanx)′＝(
sinx cosx
)′＝
(sinx)′cosx－sinx(cosx)′ cos2x＋sin2x 1 ＝ (cosx)2 ＝cos2x. (cosx)2 (2)y′＝(3x2＋x· cosx)′＝(3x2)′＋(x· cosx)′＝6x＋ x′· cosx＋x· (cosx)′＝6x＋cosx－xsinx. x x 1 2 (3)y′＝[( x－2) －sin 2 · 2 ]′＝[( x－2) ]′－( 2 cos
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在给定点处的变化率。
在微积分中有许多基本的初等函数，它们都有对应的导数公式和导数的运算法则。
下面，我将介绍一些常见的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则。
1.常数函数导数公式：如果f(x)=C，其中C为常数，则其导数为f'(x)=0。
2.幂函数导数公式：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
例如：f(x)=x^3，则f'(x)=3x^23.指数函数导数公式：如果f(x)=e^x，则其导数为f'(x)=e^x。
例如：f(x)=e^2，则f'(x)=e^24.对数函数导数公式：如果f(x) = ln(x)，则其导数为f'(x) = 1/x。
例如：f(x) = ln(2)，则f'(x) = 1/25.三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = sin(x)，则其导数为f'(x) = cos(x)。
(2) 如果f(x) = cos(x)，则其导数为f'(x) = -sin(x)。
(3) 如果f(x) = tan(x)，则其导数为f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = arcsin(x)，则其导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。
(2) 如果f(x) = arccos(x)，则其导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。
(3) 如果f(x) = arctan(x)，则其导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
导数的运算法则：1.常数乘法法则：设c为常数，f(x)为可导函数，则(cf(x))' = c*f'(x)。
例如：如果f(x)=2x，则f'(x)=2*1=22.求和差法则：设f(x)，g(x)为可导函数，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
'
0.05eu 0.05e0.0 5x 1.
3函数y sinπx φ可以看作函数 y sinu和
u πx φ的复合函数 .
由复合函数求导法则有
' y'x yu u'x sinu' πx φ'
π cosu π cosπx φ.
我们无法用现有的方法 求函数 y lnx 2 的导数 . 下面, 我们先分析这个函数的 结构特点 . 若设 u x 2x 2 , 则y ln u.从而 y lnx 2 可以看成是由 y ln u 和u x 2x 2 经过 " 复 合" 得到的, 即y可以通过中间变量 u表示为自变量 x 的函数 . 如果把 y 与u的关系记作 y f u, u 和 x 的关系记作 u gx ,那么这个 " 复合 " 过程可表示为 y f u f gx lnx 2 . 我们遇到的许多函数都 可以看成是由两个函数 经过
思考 如何求函数y ln x 2 的导数呢?
" 复合" 得到的, 例如,函数y 2 x 3 由y u2和u 2 x 3" 复合" 而成,等等.
2
一般地 , 对于两个函数 y f u和u gx , 如果通过 变量 u, y可以表示成 x的函数 ,那么称这个函数为函 数y f u 和u g x 的 复 合 函 数 (composite fun ction),记作 y f gx . 复合函数 y f gx 的导数和函数 y f u,u gx 的 ' ' ' 导数间的关系为 y x yu ux .
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
3.2.2基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则
知源中学高二数学备课组
湖南省长沙市一中卫星远程学校
1.f(x)在x＝x0处导数f'(x0)的几何意义是曲线在 x＝x0处切线的斜率． 其切线方程为y－f(x0) ＝f'(x0)(x－x0).
2.几个常用函数的导数
(1) c 0 ; ( 3) ( x ) 2 x ;
x
x
指数函数
例用导数公式求下列函数的导数 . . (1) f ( x) x
5
1 (2) f ( x) x (4) f ( x) x
5 3
(3) f ( x) x (5) f ( x) 1 x
2
x
(6) f ( x) 3
x
(7) f ( x) 3
x
(9) f ( x) log 3 x
2.三个运算法则:
课时作业本3.2.2
1 (8) f ( x) x 2 (10) f ( x) lg x
湖南省长沙市一中卫星远程学校
1 1 2.求函数y 的图象上点(2, )处的切线方程. x 2
3.曲线y x2的一条切线方程为6 x y 9 0, 求切点的坐标.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
问题2：函数y＝x· sinx的导x) g ( x) f ( x) g ( x) 1、和(差)的导数：
2、积的导数： f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) 推论： c f ( x) c f ( x) （C为常数）
2
( 2) x 1 ; 1 1 (4) ( ) 2 . x x
2019-2020学年高中数学(人教B版 选修2-2)教师用书：第1章 导数及其应用 1.2.1、1.2.2
1.2 导数的运算1．2.1 常数函数与幂函数的导数 1．2.2 导数公式表及数学软件的应用1．能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数．(难点) 2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)[基础·初探]教材整理1 几个常用函数的导数 阅读教材P 14～P 15，完成下列问题．【答案】 0 1 2x －1x2判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y ＝x 3＋2，则y ′＝3x 2＋2.( ) (2)若y ＝1x ，则y ′＝1x2.( ) (3)若y ＝e ，则y ′＝0.( )【解析】(1)由y＝x3＋2，∴y′＝3x2.(2)由y＝1x，∴y′＝－1x2.(3)由y＝e，∴y′＝0.【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2基本初等函数的导数公式阅读教材P17，完成下列问题．【答案】0 nx n－1μxμ－1a x ln a e x1xln a1xcos x－sin x1．给出下列命题：①y＝ln 2，则y′＝1 2；②y＝1x2，则y′＝－2x3；③y＝2x，则y′＝2x ln 2；④y＝log2x，则y′＝1 xln 2.其中正确命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】对于①，y′＝0，故①错；显然②③④正确，故选C.【答案】 C2．若函数f (x )＝10x ，则f ′(1)等于( ) A.110 B ．10 C ．10ln 10D.110ln 10【解析】 ∵f ′(x )＝10x ln 10，∴f ′(1)＝10ln 10. 【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x3；(4)y ＝3x ；(5)y ＝log 5x .【精彩点拨】 首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．【自主解答】 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11. (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x5.(3)y ′＝(5x3)′＝(x 35)′＝35x －25. (4)y ′＝(3x )′＝3x ln 3. (5)y ′＝(log 5x )′＝1xln 5.1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．3．要特别注意“1x 与ln x ”，“a x 与log a x ”，“sin x 与cos x ”的导数区别．[再练一题]1．若f (x )＝x 3，g (x )＝log 3x, 则f ′(x )－g ′(x )＝__________.【导学号：05410008】【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2，g ′(x )＝1xln 3， ∴f ′(x )－g ′(x )＝3x 2－1xln 3. 【答案】 3x 2－1xln 3(1)求质点在t ＝π3时的速度； (2)求质点运动的加速度．【精彩点拨】 (1)先求s ′(t )，再求s ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.(2)加速度是速度v (t )对t 的导数，故先求v (t )，再求导． 【自主解答】 (1)v (t )＝s ′(t )＝cos t ，∴v ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＝12.即质点在t ＝π3时的速度为12. (2)∵v (t )＝cos t ，∴加速度a (t )＝v ′(t )＝(cos t )′＝－sin t .1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．[再练一题]2．(1)求函数f (x )＝13x在(1,1)处的导数；(2)求函数f (x )＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22处的导数．【解】 (1)∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x ′＝(x －13)′＝－13x －43＝－133x4， ∴f ′(1)＝－1331＝－13.(2)∵f ′(x )＝－sin x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－sin π4＝－22.[探究共研型]探究1 f (x )＝x ，f (x ) 【提示】 ∵(x )′＝1·x 1－1，(x 2)′＝2·x 2－1，(x)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12′＝12x 12－1，∴(x α)′＝α·x α－1.探究2 点P 是曲线y ＝e x 上的任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．【提示】 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近，则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ， ∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为22.求过曲线f (x )＝cos x 上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．【精彩点拨】 错误!→错误!→所求直线斜率k ＝－1f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3→利用点斜式写出直线方程【自主解答】 因为f (x )＝cos x ，所以f ′(x )＝－sin x ，则曲线f (x )＝cos x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12的切线斜率为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－sin π3＝－32， 所以所求直线的斜率为23 3， 所求直线方程为y －12＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3， 即y ＝23 3x －239π＋12.求曲线方程或切线方程时应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点.[再练一题]3．若将上例中点P 的坐标改为(π，－1)，求相应的直线方程． 【解】 ∵f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x ，则曲线f (x )＝cos x 在点P (π，－1)处的切线斜率为f ′(π)＝－sin π＝0， 所以所求直线的斜率不存在， 所以所求直线方程为x ＝π.[构建·体系]1．已知f (x )＝x α(α∈Q ＋)，若f ′(1)＝14，则α等于( ) 【导学号：05410009】 A.13 B.12 C.18D.14【解析】∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝1 4.【答案】 D 2．给出下列结论：①若y＝1x3，则y′＝－3x4；②若y＝3x，则y′＝133x；③若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.其中正确的个数是( )A．1 B．2C．3 D．0【解析】对于①，y′＝错误!＝错误!＝错误!，正确；对于②，y′＝13x13－1＝13x－23，不正确；对于③，f′(x)＝3，故f′(1)＝3，正确．【答案】 B3．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________. 【解析】∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.【答案】 14．已知函数y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝__________.【解析】设切点为(x0，y0)，∵y′＝1x，∴k＝1x0，∴y＝1x0·x，又点(x0，y0)在曲线y＝ln x上，∴y0＝ln x0，∴ln x0＝x0x0，∴x0＝e，∴k＝1e.【答案】1 e5．已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________. 【解析】设切点为(x0，y0)．因为y′＝3x ln 3，①所以k＝3x0ln 3，所以y＝3x0ln 3·x，又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，所以3x0ln 3·x0＝3x0，②所以x0＝1 ln 3＝log3 e.所以k＝eln 3.【答案】eln 3我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
1.2.2——1 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
新课讲解
例 5 已知函数 f(x)＝x (x－1)， 若 f ' (x0)＝f(x0)， 求 x0 的值．
2
新课讲解
商的导数
法则 3 两个函数的商的导数， 等于分子上函 数的导数乘分母上函数，减去分子上函数乘分 母上函数的导数，再除以分母上函数的平方
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
新课讲解
基本初等函数的导数公式 ' 1. 若f ( x ) c（c为常数），则f ( x ) 0； n 2. 若f ( x ) x（ n Q*），则f ' ( x ) nx n 1； 3. 若f ( x ) sin x，则f ' ( x ) cos x； 4. 若f ( x ) cos x，则f ' ( x ) sin x； 5. 若f ( x ) a x，则f ' ( x ) a x ln a； x ' x 6. 若f ( x ) e ，则f ( x ) e ； 1 ' 7. 若f ( x ) log a x，则f ( x ) ； x ln a 1 ' 8. 若f ( x ) ln x，则f ( x ) . x
2．判断下列求导是否正确，如果不正确，加 以改正： [(3＋x )(2－x )]'＝2x(2－x )＋3x (3＋x )． [(3＋x )(2－x )]'＝2x(2－x )－3x (3＋x )．
2 3 3 2 2 2 3 3 2 2
练习
3．求下列函数的导数： （1）y＝2x ＋3x －5x＋4； （2） y＝ax3－bx＋c； （3） y＝sinx－x＋1； 2 （4） y＝(3x ＋1)(2－x)； 2 （5） y＝(1＋x )cosx； （6） y=2 cosx-3log2 x .
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1 .
x
例1
假设某国家在20年期间的年通货膨胀 率为5﹪，物价p（单位：元）与时间t（单
位：年）有函数关系 pt p0 1 5%t ，其
中 p0 为t=0时的物价.假定某商品的 p0 1
那么在第10个年头，这种商品的价格上涨 的速度的大约是多少（精确到0.01）？
解：根据基本初等函数的导数公式表，有
3. 若 fx sin x,则 f ' x cos x; 4. 若 fx cos x,则f ' x sin x; 5. 若 fx ax,则f ' x ax lna;
6. 若 fx ex,则f ' x ex ;
7.
若fx loga x,则f ' x
1 ;
x ln a
8.
若fx ln x,则f 'x
名词解释
一般地，对于两个函数y=f(u)和 u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成 x的函数，那么称这个函数为函数 y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做 y=f(g(x)).
复合函数y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为
yx′= yu′ ux′.
即y对x的导数等于y对u的导数与 u对x的导数的乘积.
关于t的导数可以看成函数f(t)=5与g(t)= 1.05t
乘积得到导数.下面的“导数运算法则”
可以帮助我们解决两个函数加﹑减﹑乘﹑
除的求导问题.
根据导数的定义，可以推出可导 函数四则运算的求导法则
若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则
1.和(或差)的导数
法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两 个函数的导数的和(或差),即
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
公式3.若f (x) sin x,则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
公式5.若f (x) ax ,则f '(x) ax ln a(a 0);
公式6.若f (x) ex ,则f '(x) ex;
公式7.若f
(2)求 y＝1x＋x22＋x33的导数．
[解析] (1)①y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′ ＝2xsinx＋x2cosx. ②y′＝[x2(x2－1)]′＝(x2)′(x2－1)＋x2(x2－1)′ ＝2x(x2－1)＋x2·2x＝4x3－2x. (2)y′＝1x＋x22＋x33′＝1x＋2x－2＋3x－3′ ＝－x12－4x－3－9x－4＝－x12－x43－x94.
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两
个函数的导数的和(差),即:
[f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x);
应用1: 求下列函数的导数
(1)y=yx'3+s3inxx2 cos x
(2)y=x3-2x+3.
y ' 3x2 2
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函
练一练：
（1）下列各式正确的是（ C ）
A.(sin )' cos(为常数）
B（. cos x)' sin x C.(sin x)' cos x D.( x5 )' 1 x6
5
（2）下列各式正确的是（ D ）
A.(log
x a
)'
1 x
B.(log
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则二
3.
f g
x x
′
f′ x
g
x f x g x2
g′ x
g
x
0
.
如何求函数y=㏑（3x+2）的导数呢？
若设u=我3x们+无2，法则用y=现ln有u的.即方y=法㏑求（函3x数+2） 可以y=看㏑成（是x由+2y）=l的n 导u和数u.=下3x面+，2经我过们“先复合” 得到分的析，这即个y函可数以的通结过构中特间点变.量u表示为自 变量x的函数.
练习 1：指出下列函数的复合关系：
(1)y＝(a＋bxn)m； (2)y＝ln3 ex＋2；
(3)y＝3log2(x2－2x＋3)；(4)y＝sin3(x＋1x)．
解：函数的复合关系分别是：
(1)y＝um，u＝a＋bxn；
(2)y＝lnu，u＝3 v，v＝ex＋2； (3)y＝3 u，u＝log2v，v＝x2－2x＋3；
7.
若 fx loga x,则 f ' x
1 ;
x lna
8.
若 fx lnx,则f ' x
1 .
x
三角函数 指数函数 对数函数
2.导数的运算法则 1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′; 2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)+ f(x) g(x) ′;
类似的结论是：若奇函数f(x)是可导函数， 则f′(x)是偶函数．
练习 3：
若函数 f(x)是可导函数，求函数 y ＝f(1x)的导数．
[答案] y′＝－x12 f′(1x)
随堂练习
1.函数y＝(3x－4)2的导数是( )
A．4(3x－2)
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
定某商品的p0 1,那么在第10个年头,这种商品的 的价格上涨的速度大约是多少( 精确到0.01)? 解 根据基本初等函数导数公式表,有
p' t 1.05t ln1.05.
所以,p' 10 1.0510 ln1.05 0.08 元 / 年.
导数间的关系为y'x yu' u'x.
y
' x
表
示y对
x的
导
数
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
由此可得,y ln3x 2对x的导数等于y lnu对u的
导数与u 3x 2对x的导数的乘积,即
y
' x
y
' u
u'x
ln u' 3x
2'
1 u
3
3 3x 2
.
例4 求下列函数的导数
5. 若 fx ax,则 f ' x ax ln a;
6. 若 fx ex,则 f ' x ex ;
7.
若 fx loga x,则 f ' x
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
1 .
x
例1 假设某国家在20 年期间的年通货膨胀 率为
5%,物价p单位 : 元与时间t单位 : 年有如下函数
0.05x 1的复合函数.由复合函数求导法则有
y'x yu' u'x eu ' 0.05x 1 '
0.05eu 0.05e0.0 . 5x1
3函数y sinπx φ可以看作函数y sinu和
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一.docx
1.2. 2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一》教学目的：1熟练掌握基本初等函数的导数公式。
2掌握导数的四则运算法则；3能利用给出的公式和法则求解函数的导数。
教学重点难点 重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学安排：两课时教学过程：引入：复习巩固导数的基本公式，及其基本运算规律。
知识讲解：一：基本初等函数的导数公式为了方便我们将可以直接使用的基本初等函数的导数公式表如下:函数 导数 y = c y =0 y = ^ y =1 y = x 2 y =2x1 1y=- y 一 2X X y = 4x y,=^y = f(x) = x n (n^Q^ y = nx n ~[且[/(x) + c]‘ 二广(兀) \_Af= Af (x) [/(x) + g(x)]‘ =/'(x) + g(x)'和该幕函数降一次的幕的乘积。
即： 八丿v=fM=sinx 3正弦函数 的导数是余弦函数。
即： y — f (工)一COS X余弦函数~ 的导数是正弦函数的相反数。
x) =-sinx从图像上来看，正弦函数在区间上单调递增，瞬时变化率为正,和余弦函数在该区间的正负是一致的,余弦函数在区间上是单调递减，瞬时变化率为负,和正弦函数在该区间的正负是相反的，故有一个负号。
y = f(x) = ci A a x lntz4指数函数 '7 的导数是指数函数 与 的乘积。
特别的函y = f(x} = e x ,数八丿 的导数是它自身。
y=f(x) = l (gx 丄 」一5 对数函数 八)°的导数是反比例函数尢与In 。
的乘积。
特函数导数 y = cy =0y = nr"」 y = sin x• y =cosx y = cos xf y =-sinx y = f(x) = a xy = a* • In Q (a > 0) y = f(x) = e x y = e x/(兀)=log “ xy_ 1 x\na f(x) = lnx f (x)=- X关于表特别说明: 1常数函数数是以对应幕函 数的指数为系数 数是0;即")" "W 的导2 舉函数 (sinx) =cosxcosv = f （x ） = lnx —别的函数 ' 7 的导数是反比例函数兀。
学案14：1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则学习目标1．理解各个公式的证明过程，进一步理解运用定义求导数的方法． 2．掌握常见函数的导数公式． 3．灵活运用公式求某些函数的导数． 问题导学一、根据求导公式和导数运算法则求导数 活动与探究1求下列函数的导数： (1)y ＝3x 2＋2x ＋1x 2；(2)y ＝3x ＋ln x ＋5； (3)y ＝e x cos x ＋sin x ； 迁移与应用1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的导数为( ) A ．y ′＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 B ．y ′＝cos x －sin x C ．y ′＝－sin x D ．y ′＝cos x 2．求下列函数的导数． (1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝x 3·e x ．名师点睛应用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则，可迅速解决一些简单的求导问题．要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．对比较复杂的求导问题，可先进行恒等变形，再利用公式求导． 二、导数几何意义的应用 活动与探究2(1)已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ，直线l ：y ＝kx ，且直线l 与曲线C 相切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标．(2)已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R ．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程．迁移与应用1．曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为__________． 2．求过点(1，－1)与曲线y ＝f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程．名师点睛(1)根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y ＝f (x )在点x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)；瞬时速度是位移函数s (t )对时间t 的导数，即v ＝s ′|t ＝t 0．(2)注意区别“在P 处”求切线和“过P ”求切线的不同，后者点P 不一定是切点，要先设出切点再求切线． 三、导数的综合应用 活动与探究3已知函数f (x )＝x 2a －1(a ＞0)的图象在x ＝1处的切线为l ，求l 与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．迁移与应用1．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎭⎫0，π4 B ．⎣⎡⎭⎫π4，π2 C ．⎝⎛⎦⎤π2，3π4 D ．⎣⎡⎭⎫3π4，π 2．讨论关于x 的方程ln x ＝kx 的解的个数． 当堂检测1．已知函数π()=sin 2f x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，则π2f'⎛⎫ ⎪⎝⎭＝( ) A ．π2-B ．0C ．1D ．π22．下列结论正确的个数为( )①y ＝ln 2，则1'=2y ；②21=y x ，则=32'|=27x y -；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④12=log y x ，则1'=ln2y x -． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．eD ．1e4．设y ＝－2e x sin x ，则y ′＝__________．5．若曲线运动的物体的位移s 与时间t 的关系为221=2ts t t-+，则t ＝2时的瞬时速度为__________．课堂小结：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．参考答案一、根据求导公式和导数运算法则求导数活动与探究1解：(1)∵y ＝3x 2＋2x －1＋x －2，∴y ′＝6x －2x －2－2x －3＝6x －2x 2－2x 3．(2)y ′＝3x ln 3＋1x．(3)y ′＝e x cos x －e x sin x ＋cos x ． 迁移与应用 1．【答案】C【解析】∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，∴y ′＝－sin x ． 2．解：(1)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3．(2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝(3x 2＋x 3)e x ． 二、导数几何意义的应用 活动与探究2(1)解：∵直线l 过原点，∴直线l 的斜率k ＝y 0x 0(x 0≠0)．由点(x 0，y 0)在曲线C 上，得y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，∴y 0x 0＝x 20－3x 0＋2． 又y ′＝3x 2－6x ＋2， ∴k ＝0x x y ='＝3x 20－6x 0＋2．又k ＝y 0x 0，∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2， 整理得2x 20－3x 0＝0．∵x 0≠0，∴x 0＝32，此时y 0＝－38，k ＝－14．因此直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－38． (2)解：∵f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，∴f ′(x )＝12x ，g ′(x )＝ax ．设f (x )，g (x )的交点为(x 0，y 0)，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧12x 0＝ax 0，y 0＝x 0，y 0＝a ln x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12e ，x 0＝e 2，y 0＝e.∴切线斜率k ＝f ′(x 0)＝f ′(e 2)＝12e ，切点为(e 2，e)，∴切线方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0．迁移与应用1．【答案】4x －y －3＝0【解析】因为y ′＝3ln x ＋4，故y ′|x ＝1＝4，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝4(x －1)，化为一般式方程为4x －y －3＝0． 2．解：设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为：k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2．故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)．① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0．② 又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式，得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)，解得x 0＝1或x 0＝－12．故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)，即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0． 三、导数的综合应用 活动与探究3解：∵f ′(x )＝2x a ，∴f ′(1)＝2a．又f (1)＝1a －1，∴f (x )在x ＝1处的切线l 的方程是y －1a ＋1＝2a (x －1)．∴l 与坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12⎪⎪⎪⎪－1a －1⎪⎪⎪⎪a ＋12＝14⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2 ≥14×(2＋2)＝1． 当且仅当a ＝1a ，即a ＝1时，直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积最小，最小值为1．迁移与应用 1.【答案】D【解析】∵y ′＝⎝⎛⎭⎫4e x ＋1′＝－4exe x＋12＝－4e x ＋1ex ＋2≥－1，即tan α≥－1． 由正切函数图象得α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π，选D ．2．解：如图，方程ln x ＝kx 的解的个数就是直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 的交点的个数． 设直线y ＝kx 与y ＝ln x 切于P (x 0，ln x 0)，则kx 0＝ln x 0．∵(ln x )′＝1x ，∴k ＝1x 0，kx 0＝1＝ln x 0．∴x 0＝e ，k ＝1e．结合图象知：当k ≤0或k ＝1e 时，方程ln x ＝kx 有一解．当0＜k ＜1e 时，方程ln x ＝kx 有两解．当k ＞1e 时，方程ln x ＝kx 无解．当堂检测 1．【答案】A【解析】∵f (x )＝πsin 2x x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝x cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －x sin x ． ∴πππππ'=cos sin =22222f ⎛⎫--⎪⎝⎭． 2．【答案】D【解析】对①，y ＝ln 2是常数函数，y ′＝0，故①错误；对②，221==y x x -，y ′＝－2x －3＝32x -，∴y ′|x ＝3＝227-，故②正确； 对③，易知其正确； 对④，12=log y x ，11'==1ln2ln 2y x x -，故④正确． 3．【答案】A【解析】根据导数的几何意义可得，k ＝y ′|x ＝0＝e 0＝1． 4．【答案】－2e x (sin x ＋cos x )【解析】y ′＝－2[(e x )′·sin x ＋e x ·(sin x )′]＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )． 5．【答案】8 【解析】s ′＝21't t -⎛⎫⎪⎝⎭＋(2t 2)′ ＝2421t t t t --(-)＋4t ＝32t t-＋4t ． ∴t ＝2时的瞬时速度为s ′|t ＝2＝228-＋8＝8．。
122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
y '= (6 x 3 )'- (4 x 2 )' (9 x )'- (6 )' =18x2-8x9.
7
例3 求下列函数的导数．
(1) y = x2 ;（2）y=tanx;(3) y=3x2-x x5 x-9.
4.
若f
(x)
=
cos
x，则f
'(x)
=
- sin
x；
函数的导数公 式，除部分上
5. 若f ( x) = a x，则f '( x) = a x ln a； 一节已经证明
6. 若f ( x) = e x，则f '( x) = e x；
过，其他的只
7. 若f ( x) =
log a
x，则f
'(x) =
1
练习1. 求下列函数的导数．
x2 1
(1) y =
;
x
(2)y=-six n (1-2co 2xs ).
2
4
解：
(1)
(x21)2
=
2x2
- ( x2 x2
1)
=
x2 - 1 x2
= 1-
1 x2 .
法2
x2 1
Q y=
=
x
1
：
x
x
y' = ( x 1 )' ==((xx))''((1x-)1')'=1-x-2=
解：运动物体在t=3时的速度即是函数s(t)在t=3时的导数．
第五节1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
学案5 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
学生课堂活动活页
一、基本初等函数的导数公式.
例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
思考：若上式中某商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
二、导数的运算法则.
例2.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，
求函数323y x x =-+的导数．
例3.日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为 5284()(80100)100c x x x
=<<- 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%
四.课堂练习
求下列函数的导数：
（1）()lg x
f x x π=+；（2）()sin cos f x x x =；（3）2
()x x f x e =．。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
y'x表示y对x的导数
即 y对 x的导数 y对 u 等 的于 导u数 对 x的 与导数. 的
由此,y可 ln 3 得 x2对 x的导数 yln 等 u对 u的 于
导数 u3 与 x2对 x的导数 ,即 的乘积
y'xyu ' u'xln u'3x2' 1 u33x3 2.
1321,
所以,纯净度为 98%时,费用的瞬时变化率
是1321元/吨.
函数 fx 在某点处的导数的大小表示函数
在此点附近变化的快慢 .由上述 计算可知,
c' 98 25c' 90.它表示纯净度为98%左
右时净 化费用的变化率 ,大约是纯 净 度 为
90% 左右时净化费用变化率的 25 倍 .这说
当p0 5时,pt 5 1.05t.这时,求p关于t的导 数可以看成求函数ft 5与 gt 1.05t 乘积
的导数.下面的" 导数运算法则"可以帮助我们解 决两个函数加、减、乘、除的求导问题.
导数运算法则
1 . f x g x ' f 'x g 'x ;
2 . f x g x ' f ' x g x f x g ' x ;
3 . g fx x 'f'x g x g x f2 x g 'x g x 0 .
例2 根据基本初等函数的导数公式 和导数运算法则,求函数 y x3 2x 3的导数.
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
高中数学 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算
复合函数y f gx的导数和函数y f u,u gx的
导数间的关系为yx'
yu'
u
' x
.
yx' 表示y对x的导数
即y对x的导数等于 y对u的导数与u对x的导数的乘积 .
由此可得, y ln3x 2对x的导数等于y ln u对u的
导数与u 3x 2对x的导数的乘积,即
yx'
yu'
ux'
3. 若f ( x) sin x，则f '( x) cos x；
4. 若f ( x) cos x，则f '( x) sin x；
5. 若f ( x) a x，则f '( x) a x ln a；
6. 若f ( x) e x，则f '( x) e x；
ห้องสมุดไป่ตู้7. 若f ( x)
log a
g(x)
g ( x)2
(g(x) 0)
例2
求下列函数的导数: (1)y=3x(x2+2); (2)y=(2+x3)2; (3)y=(x-1)(2x2+1); (4)y=(2x2+3)(3x-2).
解: (1)∵y=3x3+6x, ∴y =(3x3) +(6x=)9x2+6. (2)∵y=4+4x3+x6, ∴y =4 +(4x3) +=(x162)x2+6x5. (3)∵y=2x3-2x2+x-1, ∴y =6x2-4x+1. (4)∵y=6x3-4x2+9x-6, ∴y =18x2-8x+9.
x，则f '( x)
1； x ln a
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019-2020学年高中数学 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）课后习题新人教A版选修2-2
课时演练·促提升
A组
1.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则a的值为()
A. B. C. D.
解析:∵f'(x)=3ax2+6x,∴f'(-1)=3a-6=4.
∴a=.
答案:B
2.函数y=(e x+e-x)的导数是()
A.(e x-e-x)
B.(e x+e-x)
C.e x-e-x
D.e x+e-x
解析:设u=e-x,v=-x,则u'x=(e v)'(-x)'=e v·(-1)=-e-x,即y'=(e x-e-x).
答案:A
3.函数f(x)=x cos x-sin x的导函数是()
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数,又不是偶函数
解析:∵f'(x)=x'cos x+x(cos x)'-cos x=-x sin x,
∴f'(-x)=x sin(-x)=-x sin x=f'(x).
∴f'(x)为偶函数.
答案:B
4.已知函数y=f(x)满足f(1)=2,f'(1)=-1,则曲线g(x)=e x f(x)在x=1处的切线斜率是()
A.-e
B.e
C.2e
D.3e
解析:g'(x)=e x f(x)+e x f'(x),g'(1)=e f(1)+e f'(1)=e.
答案:B
5.曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()
A.4e2
B.2e2
C.e2
D.e2
解析:由导数的几何意义,切线的斜率
k=y'|x=4=|x=4=e2,
所以切线方程为y-e2=e2(x-4),
令x=0,得y=-e2;令y=0,得x=2.
所以切线与坐标轴所围三角形的面积为
S=×2e2=e2.
答案:C
6.已知函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3),则f'(1)=.
解析:方法一:∵f(x)=(x2-3x+2)(x-3)=x3-6x2+11x-6,
∴f'(x)=3x2-12x+11,故f'(1)=3-12+11=2.
方法二:∵f'(x)=(x-1)'·(x-2)(x-3)+(x-1)·[(x-2)(x-3)]',
∴f'(1)=(1-2)×(1-3)=2.
答案:2
7.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为.
解析:设切点为(x0,y0),则y0=x0+1,y0=ln(x0+a),即x0+1=ln(x0+a).
∵y'=,∴=1,即x0+a=1.
∴x0+1=ln 1=0,∴x0=-1,∴a=2.
答案:2
8.已知函数f(x)=ln(ax+1)+,x≥0,其中a>0,若f'(1)=0,求a的值.
解:f'(x)=[ln(ax+1)]'+'
=,
∴f'(1)==0.∴a=1.
因此a的值为1.
9.若函数f(x)=在x=c处的导数值与函数值互为相反数,求c的值.
解:∵f(x)=,∴f(c)=.
又∵f'(x)=,
∴f'(c)=.
依题意知f(c)+f'(c)=0,∴=0.
∴2c-1=0,得c=.
B组
1.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()
A. B.
C. D.
解析:y'=-=-,设t=e x∈(0,+∞),则y'=-=-,
∵t+≥2,∴y'∈[-1,0),α∈.
答案:D
2.已知f(x)=x3+3xf'(0),则f'(1)=.
解析:f'(x)=x2+3f'(0),∴f'(0)=3f'(0),
∴f'(0)=0,∴f'(1)=1.
答案:1
3.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,则f'(1)=.
解析:令t=e x,则x=ln t,所以函数为f(t)=ln t+t,即f(x)=ln x+x,所以f'(x)=+1, 即f'(1)=+1=2.
答案:2
4.等比数列{a n}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)·(x-a2)…(x-a8),则f'(0)等于. 解析:f'(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+x[(x-a1)·(x-a2)…(x-a8)]',
∴f'(0)=a1a2…a8=(a1a8)4=84=212.
答案:212
5.已知曲线f(x)=x3-3x,过点A(0,16)作曲线f(x)的切线,求曲线的切线方程.
解:设切点为(x0,y0),
则由导数定义得切线的斜率k=f'(x0)=3-3,
∴切线方程为y=(3-3)x+16,
又切点(x0,y0)在切线上,∴y0=3(-1)x0+16,
即-3x0=3(-1)x0+16,
解得x0=-2,
∴切线方程为9x-y+16=0.
6.已知函数f(x)=ax2+bx+3(a≠0),其导函数f'(x)=2x-8.
(1)求a,b的值;
(2)设函数g(x)=e x sin x+f(x),求曲线g(x)在x=0处的切线方程.
解:(1)∵f(x)=ax2+bx+3(a≠0),
∴f'(x)=2ax+b,
又知f'(x)=2x-8,
∴a=1,b=-8.
(2)由(1)可知g(x)=e x sin x+x2-8x+3,
∴g'(x)=e x sin x+e x cos x+2x-8,
∴g'(0)=e0sin 0+e0cos 0+2×0-8=-7,
又知g(0)=3,
∴g(x)在x=0处的切线方程为y-3=-7(x-0).
即7x+y-3=0.
7.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.
(1)解:由7x-4y-12=0得y=x-3.
当x=2时,y=,∴f(2)=,①
又f'(x)=a+,f'(2)=,②
由①②得解之,得
故f(x)=x-.
(2)证明:设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y'=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-(x-x0).
令x=0得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.
令y=x得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).
所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为|2x0|=6.
故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.。