人教新课标版数学高二数学选修1-1练习3-2-2-2导数的运算法则

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人教版高中数学选修1-1第三章3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

旧知回顾求函数的导数的方法是:00f(x +Δx)-f(x )Δy =;Δx ΔxΔx →0Δy y =lim .Δx（1）求增量（2）算比值（3）求极限0)()(0x x x f x f ='='知识要点21)(),2)(),3)(),14)(),y f x c y f x x y f x x y f x x ========'1y =；'2y x =；21'.y x =-'0y =；新课导入由上节课的内容可知函数y=x2的导数为y’=2x，那么，于一般的二次函数y=ax2+bx+c，它的导数又是什么呢?这就需要用到函数的四则运算的求导法则.又如我们知道函数y=1/x 2的导数是=-2/x 3，那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?y 学习了这节课，就可以解决这些问题了！3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标知识与能力（1）掌握基本初等函数的导数公式.（2）会运用导数的运算法则及简单复合函数的复合过程.过程与方法（1）通过丰富的实例，了解求函数的导数的流程图.（2）理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．情感态度与价值观经历由实际问题中抽象出导数概念，使同学们体会到通过导数也能刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型.教学重难点重点理解简单复合函数的复合过程.难点函数的积、商的求导法则的推导及复合函数的结构分析.知识要点为了方便，今后我们可以直接使用下面的初等函数的导数公式表：()();x f ,c x f .'01==则若()()();nx x f ,N n x x f .n 'n 12-*=∈=则若()();x cos x f ,x sin x f .'==则若3()();x sin x f ,x cos x f .'-==则若4()();a ln a x f ,a x f .x 'x ==则若5基本初等函数的导数公式()();e x f ,e x f .x 'x ==则若6()();a ln x x f ,x log x f .'a 17==则若()().x x f ,x ln x f .'18==则若例 1假设某国家在20年期间的年通货膨胀率为5﹪，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有函数关系，其中为t=0时的物价.假定某商品的那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度的大约是多少（精确到0.01）？()()015%t p t p =+0p 01p=()' 1.05ln1.05.tp t =()()./..ln .p ,'年元所以0800510511010≈=解：根据基本初等函数的导数公式表，有因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.如果上式中的某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？5p当时，，这时，求P 关于t 的导数可以看成函数f(t)=5与g(t)= 乘积得到导数.下面的“导数运算法则”可以帮助我们解决两个函数加﹑减﹑乘﹑除的求导问题.05p =()5 1.05t p t =⨯ 1.05t若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则根据导数的定义，可以推出可导函数四则运算的求导法则1.和(或差)的导数法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即 (u v)u v '''±=±1.和(或差)的导数 (u v)u v '''±=±)()()(x v x u x f y ±==证明：[][])()()()(x v x x v x u x x u -∆+±-∆+=vu ∆±∆=x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆x v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim )()(''x v x u ±=例 2'23cos x x =+ y 求y= + sin x 的导数.3x 解：由导数的基本公式得：例 3'3'421x x =-- y 解：由导数的基本公式得：求的导数. 42y =x -x -x +32.积的导数法则2 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即请同学们自己证明()()()()()()f x g x =f x g x +f x g x ⨯⎡⎤⎣⎦′′′知识拓展推论(:=')CCu'u例422求的导数y=2x-3x+5x-4？解：由导数的基本公式得：'4655=-+=-y x x x例 52y =(2x +3)(3x -2)求的导数？'2223(4)(32)(23)3128691889y x x x x x x x x =-++⨯=-++=-+解：由导数的基本公式得：3.商的导数法则3 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即 []0000020'()()()()f(x)[]'|g(x)()x x f x g x fx g x g x ='-=2x y =sinx 的导数.例62'2''2()sin (sin )sin x x x x y x⋅-⋅=解：222sin cos sin x x x xx-=例7 2x +3y =x =3x +3求在点处的导数.2'221(3)(3)2(3)x x x y x ⋅+-+⋅=+解：22263(3)x x x --+=+'329183241|(93)1446x y =--+-∴===-+()()()()()()()()()2f x f x g x f x g x 3.g x 0.g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦′′′导数的运算法则1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′;2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′;如何求函数y=㏑（x+2）的函数呢？我们无法用现有的方法求函数y=㏑（x+2）的导数.下面，我们先分析这个函数的结构特点.若设u=x+2（x>-2），则y=ln u.即y=㏑（x+2）可以看成是由y=ln u和u=x+2（x>-2）经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.名词解释一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做y=f(g(x)).复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为 x u x y =y u ′′′.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.()()x u x 13 y =y u =lnu 3x +2=3=u 3x +2⨯⨯ ′′′′′ 问题解答由此可得，y=㏑(3x+2)对x 的导数等于y= ㏑u 对u 的导数与u=3x+2对x 的导数的乘积，即)(x f 例8()2y =2x +3求函数的导数.'''x u x y y u =⋅()()''223u x =⋅+4812.u x ==+解：函数可以看作函数和的复合函数.由复合函数求导法则有 ()223y x =+3y u =23u x =+课堂小结1.由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2.导数的运算法则 ()()()()()()()()()2f x f x g x -f x g x3.=g x 0g x g x ⎡⎤≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦′′′1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′3.复合函数的复合过程利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变量是复合函数求导的关键.高考链接 (2008海南、宁夏文)设，若()ln f x x x = ，则（）A. B.C. D. 0'()2f x =0x =2e e ln 22ln 2B2ax y =a 062=--y x =a 121-21-(2008全国Ⅱ卷文)设曲线在点（1, )处的切线与直线平行,则A ．1B ．C ．D ． ( ) A随堂练习()()()()''3'''32323y x x x x =-+=-+解因为23 2.x =-1、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数的导数. 323y x x =-+随堂练习()()()()0.0511;2sin ,.x y ey x πϕπϕ-+==+其中均为常数2、求下列函数的导数u -0.05x+1=-0.05e =-0.05e .x u x y =y u ⨯′′′()()u=e -0.05x +1⨯′′（1）函数可以看做函数和的复合函数.由复合函数的求导法则有 -0.05x+1y =e u y =e u =-0.05x +1()()2y =sin πx +φy =sinu u =πx +φ.函数可以看作函数和的复合函数由复合函数求导法则有().φx πcos πu cos π+=='x 'u 'x u y y ⋅=()()''φx πu sin +⋅=习题答案练习（第18页）''''1.()27,(2)3,(6) 5.12.(1);ln2f x x f fyx=-=-==所以，'(2)2;xy e='4(3)106;y x x=-'(4)3sin 4cos ;y x x =--''1(5)sin;331(6).21x y y x =-=-。

高二数学导数运算法则

1 4 答案: (1) y 2 3 ; x x
1 x2 ( 2) y ; 2 2 (1 x )
1 ( 3) y ; 2 cos x
( 4) y
6x3 x 1 x
2
;
例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零?
1 4 t 4
解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在始点. (2) s(t ) t 3 12t 2 32t , 令s(t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8,
故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均相切,求l的方程. 解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).
对于S1 , y 2 x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2 , y 2( x 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x

人教新课标版数学高二-数学选修1-1备选高考题库 3-2-2 导数的运算法则

1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( ) A ．－2e x cos x B ．－2e x (sin x ＋cos x ) C ．2e x sin x D ．－2e x sin x[答案] B[解析] y ′＝－2(e x )′sin x ＋(－2)e x (sin x )′ ＝－2e x sin x －2e x cos x ＝－2e x (sin x ＋cos x )．2．对任意的x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则此函数解析式可以为( )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4＋1C ．f (x )＝x 4－2D ．f (x )＝－x 4 [答案] C[解析] A 中，f ′(x )＝4x 3，f (1)＝1，B 中，f ′(x )＝4x 3，f (1)＝2，D 中，f ′(x )＝－4x 3，故选C.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2 [答案] A[解析] ∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A.π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角[答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.5．曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为________．[答案] 19[解析] ∵y ′＝x 2＋1，∴k ＝2，切线方程y －43＝2(x －1)，即6x－3y －2＝0，令x ＝0得y ＝－23，令y ＝0得x ＝13，∴S ＝12×13×23＝19.6．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为________．[答案] 3[解析] y ′＝x 2－3x ，令x 2－3x ＝12，得x ＝3或x ＝－2，但原函数的定义域为(0，＋∞)，故x ＝3.7．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．[解析] ∵y ′＝2ax ＋b ，∴x ＝2代入得 4a ＋b ＝1，①又抛物线过点(1,1)及(2,1)， ∴a ＋b ＋c ＝1，② 4a ＋2b ＋c ＝－1，③由①②③联立得a ＝3，b ＝－11，c ＝9. 8．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为13x －y －32＝0. (2)解法一：设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x＝3x 20＋1，解之得，x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直， ∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎨⎧x 0＝1y 0＝－14，或⎩⎨⎧x 0＝－1y 0＝－18.∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14.即4x －y －18＝0或4x －y －14＝0.。

高中数学新课标人教A版选修1-1《3.2.2 导数的运算法则》课件

x 2x (1)y＝－sin21－2cos 4；
1＋ x 1－ x (2)y＝＋； 1－ x 1＋ x (3)y＝x· tan x.
1 g′（x）时，有g（x）′＝－ 2 . g （x）
(3)对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商
f（x）的导数运算中，不能出现[f(x)· g(x)]′＝f′(x)· g′(x)以及 g（x）′
f′（x）＝这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积 g′（x）与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．
2．变形化简，减少求导的运算量应用和、差、积的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积和商的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．
题型一求导法则的直接运用【例 1】求下列函数的导数． (1)y＝3x－lg x； x＋3 (3)y＝ 2 ； x ＋3 (2)y＝(x2＋1)(x＋1)； (4)y＝－sin x＋ex.
是什么？提示 f(x)，g(x)都有导数，且 g(x)≠0.
名师点睛 1．运用导数运算法则的注意事项 (1)对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可． (2)①对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差，即[f1(x)± f2(x)± …± fn(x)]′＝f1′(x)± f2′(x)±…±f′ n (x)． ②[ af(x)± bg(x)]′＝af′(x)± bg′(x)； ③当 f(x)＝1
题型二导数求导法则的灵活运用【例 2】求下列函数的导数： 2 (1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(2)y＝xsin x－cos x； x5＋ x7＋ x9 (3)y＝； x x x (4)y＝x－sin cos . 2 2 [ 思路探索 ] 可先对函数解析式进行化简化为基本初等函数的和、差、积、商，再用基本初等函数的导数公式和四则运算法则求解．

人教新课标A版高二数学《选修1-1》3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

1 2 3 ＋＋－－－ (3)y′＝ x x2 x3 ′＝(x 1＋2·x 2＋3·x 3)′ 1 4 9 －－－＝－x 2－4x 3－9x 4＝－ 2－ 3－ 4. x x x xsinx－2 xsinx 2 － (4)y′＝ cosx cosx ′＝ cosx ′ ＝ xsinx－2 ′cosx＋ xsinx－2 sinx cos2x
【答案】(1)y′＝4x－3 (2)y′＝2x＋4 1 (3)y′＝cosx－sinx (4)y′＝ 2 (5)y′＝6x＋5. cos x
题目类型一、导数的四则运算法则的应用
[例 1] 求下列函数的导数：
(1)y＝(x＋1)2(x－1)； (2)y＝x2sinx； 1 2 3 (3)y＝ x＋x2＋x3； 2 (4)y＝xtanx－ . cosx
第三章导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则二）
能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数
本节重点：导数的四则运算法则及其运用．本节难点：导数的四则运算法则的理解运用．
1．可导函数的四则运算法则是解决函数四则运算形式的求导法则，也是进一步学习导数的基础，因此，必须透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及规律，以达到巩固知识、提升能力的目的． 2．有了函数的和、差、积、商的求导法则，以及常见函数的导数公式，对一些简单函数的求导问题，便可直接应用法则和公式很快地求出导数，而不必每一问题都回到定义．
∴－3－x2 0＝2x0(1 －x0)，解得 x＝－1 或 x0＝3. ∴过点(1，－ 3)的该抛物线切线方程为 y－1＝－2(x ＋1) 或 y－9＝6(x－3)，即 2x＋y＋1＝0 或 6x－y－9＝0.

选修1-1第三章第2节导数公式及运算法则(文)

='])([x kf )(x f k '； =±)'(v u ''v u ±；=)'(uv u v v u '+'； =⎪⎭⎫ ⎝⎛'v u 2v uv v u '-'(0)v ≠。

知识点一：利用公式与运算法则求导数例1 求下列函数的导数：（1）cos x y e x = （2）ln 1x y x =- （3）2tan y x x =+ （4）x y xe -=思路分析：看清结构，根据公式和法则进行运算。

解答过程：（1）x e x e x e x e y x x x x sin cos )(cos cos )(-='+'=')sin (cos x x e x -=1(1)ln ln (ln )(1)(1)ln ln 1(x x x x x x xx x x--''-----21324354()()(sin )sin cos ()()(sin cos )2cos ()()(2cos )2(cos sin )()()[2(cos sin )]4sin x x xxxxxxxxxxf x f x e x e x e xf x f x e x e x e xf x f x e x e x e x f x f x e x e x e x''===+''==+=''===-''==-=-……观察规律，发现每求4次导，sin x e x 循环出现，且导数值变为上个周期的－4倍， 1234567829101112(0)(0)(0)(0)01225(0)(0)(0)(0)0(4)(8)(8)5(4)(0)(0)(0)(0)5(4)f f f f f f f f f f f f +++=+++=+++=+-+-+-=⨯-+++=⨯- …… 所以：20122502(0)55(4)5(4)...5(4)i f =+⨯-+⨯-++⨯-∑解题后的思考：与判别式法求切线相比，用导数求切线，扩大了可求切线的函数图象的范围，且运算量小。

人教新课标版数学高二- 数学选修1—1练习第三章3.2.1~2几个常用函数的导数

§3.2 导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)一、基础过关1.下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12 ②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2 ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2A.0B.1C.2D.32.过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，2B.⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2C.⎝⎛⎭⎫－12，－2D.⎝⎛⎭⎫12，－2 3.已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A.4B.－4C.5D.－5 4.函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( )A.1条B.2条C.3条D.不确定5.若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于( )A.64B.32C.16D.86.若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________.7.曲线y ＝14x 3在x ＝1处的切线的倾斜角的正切值为______.二、能力提升8.已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A.1eB.－1eC.－eD.e 9.直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.10.求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4.11.求与曲线y ＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直于点P 的直线方程.12.已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离.三、探究与拓展13.设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 012(x).答案1.D2.B3.A4.B5.A6.10ln 107.－34 8.D 9.ln 2－110.解 (1)y ′＝32x (2)y ′＝－4x 5(3)y ′＝355x 2(4)y ′＝1x ·ln 2(5)y ′＝cos x 11.3x ＋y －28＝012.解根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.13.解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4， ∴f 2 012(x )＝f 0(x )＝sin x .。

高中人教a版数学选修1-1课时作业3-2-2(2)导数的运算法则 word版含答案

故曲线＝－＋在点()处的切线方程是－＝－，即＝－＋.
在坐标系中画出直线＝－＋，＝与＝，
注意到直线＝－＋与＝的交点坐标是(，)，
直线＝－＋与轴的交点坐标是()，
结合图形不难得知，这三条直线所围成的三角形的面积等于××＝.
．设()＝＋＋＋的导数′()满足′()＝，′()＝－，其中常数，∈.求曲线＝()在点(，())处的切线方程．
由′()＝－＝，得＝或＝.
若<，则函数()的极大值点为＝，且()极大值＝()＝，极小值点为＝，且()极小值＝＝，此时只需>，即可解得<－；
若>，则()极大值＝()＝>，此时函数()一定存在小于零的零点，不符合题意．
综上可知，实数的取值范围为(－∞，－)．
．求曲线＝＋在点()处的切线在轴上的截距是．
解析：′()＝(＋)′＝＋，
课时作业(四)
一、选择题
．()＝＋＋，若′(－)＝，则的值等于()
解析：∵′()＝＋，
∴′(－)＝－＝.
∴＝.
答案：
．函数＝(－)的导数′＝()
．(－)．－
．－(－)．(－)
解析：′＝( －)×( －)′＝( －)×(－)＝－( －).
答案：
．若函数＝()＝在＝处的导数值与函数值互为相反数，则的值()
．等于．等于
．等于．不存在
解析：′＝()′＝，
∴′()＝，又()＝，依题意得＋＝，解得＝.
答案：
．若函数()＝′(－)－＋，则′(－)的值为()
．．－
．．
解析：∵()＝′(－)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＋，
∴′()＝′(－)－.
∴′(－)＝′(－)×(－)－.
∴′(－)＝－.
答案：

人教新课标版数学高二选修1-1练习3-2-2导数的运算法则

2.2.1一、选择题1．函数y ＝cos x x 的导数是( )A ．－sin xx 2 B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos xx 2 D ．－x cos x ＋cos xx 2[答案] C[解析] y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′x －cos x ·(x )′x 2＝－x sin x －cos xx 2.2．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是() A.193 B.163C.133D.103[答案] D[解析] f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∵f ′(－1)＝3a －6，∴3a －6＝4，∴a ＝103.3．曲线运动方程为s ＝1－tt 2＋2t 2，则t ＝2时的速度为()A ．4B ．8C ．10D ．12[答案] B[解析] s ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－t t 2′＋(2t 2)′＝t －2t 3＋4t ， ∴t ＝2时的速度为：s ′|t ＝2＝2－28＋8＝8.4．函数y ＝(2＋x 3)2的导数为( )A ．6x 5＋12x 2B ．4＋2x 3C ．2(2＋x 3)2D ．2(2＋x 3)·3x [答案] A[解析] ∵y ＝(2＋x 3)2＝4＋4x 3＋x 6，∴y ′＝6x 5＋12x 2.5．下列函数在点x ＝0处没有切线的是( )A ．y ＝3x 2＋cos xB ．y ＝x sin xC ．y ＝1x ＋2xD ．y ＝1cos x [答案] C[解析] ∵函数y ＝1x ＋2x 在x ＝0处无定义，∴函数y ＝1x ＋2x 在点x ＝0处没有切线．6．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的导数为( ) A ．－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋xB ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－xC ．－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－xD ．－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 [答案] D[解析] ∵y ＝sin π4cos x －cos π4·sin x＝22cos x －22sin x ，∴y ′＝22(－sin x )－22cos x ＝－22(sin x ＋cos x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，故选D. 10．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝(x －1)2＋3(x －1)B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －1[答案] A[解析] f (x )＝(x －1)2＋3(x －1)＝x 2＋x －2，f ′(x )＝2x ＋1，f ′(1)＝3.二、填空题11．若函数f (x )＝1－sin x x ，则f ′(π)________________．[答案] π－1π2[解析] f ′(x )＝(1－sin x )′·x －(1－sin x )x ′x 2＝sin x －x cos x －1x 2， ∴f ′(π)＝sinπ－πcosπ－1π2＝π－1π2.12．曲线y ＝1x 和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是____________．[答案] 34[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1x y ＝x 2得交点为(1,1)，y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，y ′＝(x 2)′＝2x ， ∴曲线y ＝1x 在点(1,1)处的切线方程为x ＋y －2＝0，曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线方程为2x －y －1＝0，两切线与x 轴所围成的三角形的面积为34.13．设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，若已知f ′(x )＝x cos x ，则f (x )＝________.[答案] x sin x ＋cos x[解析] ∵f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x ＝(a －d －cx )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x .为使f ′(x )＝x cos x ，应满足⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＝0，c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0，解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0，c ＝0，d ＝1.从而可知，f (x )＝x sin x ＋cos x .14．设f (x )＝ln a 2x (a >0且a ≠1)，则f ′(1)＝________.[答案] 2ln a[解析] ∵f (x )＝ln a 2x ＝2x ln a ，∴f ′(x )＝(2x ln a )′＝2ln a (x )′＝2ln a ，故f ′(1)＝2ln a .。

高二人教A版数学选修1-1同步练习3-2-2导数的运算法则 Word版含答案

2.2.1导数的运算法则一、选择题1．函数y ＝cos x x 的导数是( )A ．－sin xx 2 B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos xx 2 D ．－x cos x ＋cos xx 2[答案] C[解析] y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′x －cos x ·(x )′x 2＝－x sin x －cos xx 2.2．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是() A.193 B.163C.133D.103[答案] D[解析] f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∵f ′(－1)＝3a －6，∴3a －6＝4，∴a ＝103.3．曲线运动方程为s ＝1－tt 2＋2t 2，则t ＝2时的速度为() A ．4 B ．8C ．10D ．12[答案] B[解析] s ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t t 2′＋(2t 2)′＝t －2t 3＋4t ，∴t ＝2时的速度为：s ′|t ＝2＝2－28＋8＝8.4．函数y ＝(2＋x 3)2的导数为( )A ．6x 5＋12x 2B ．4＋2x 3C ．2(2＋x 3)2D ．2(2＋x 3)·3x[答案] A[解析] ∵y ＝(2＋x 3)2＝4＋4x 3＋x 6，∴y ′＝6x 5＋12x 2.5．下列函数在点x ＝0处没有切线的是( )A ．y ＝3x 2＋cos xB ．y ＝x sin xC ．y ＝1x＋2x D ．y ＝1cos x [答案] C[解析] ∵函数y ＝1x＋2x 在x ＝0处无定义， ∴函数y ＝1x＋2x 在点x ＝0处没有切线． 6．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的导数为( )A ．－cos ⎝⎛⎭⎫π4＋xB ．cos ⎝⎛⎭⎫π4－xC ．－sin ⎝⎛⎭⎫π4－xD ．－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 [答案] D[解析] ∵y ＝sin π4cos x －cos π4·sin x ＝22cos x －22sin x ， ∴y ′＝22(－sin x )－22cos x ＝－22(sin x ＋cos x ) ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，故选D. 7．已知函数f (x )在x ＝x 0处可导，函数g (x )在x ＝x 0处不可导，则F (x )＝f (x )±g (x )在x ＝x 0处( )A ．可导B ．不可导C ．不一定可导D ．不能确定 [答案] B8．(x －5)′＝( )A ．－15x －6 B.15x －4 C ．－5x －6D ．－5x 4[答案] C [解析] (x －5)′＝－5x －6.9．函数y ＝3x (x 2＋2)的导数是( )A ．3x 2＋6B ．6x 2C ．9x 2＋6D ．6x 2＋6[答案] C [解析] ∵y ＝3x (x 2＋2)＝3x 3＋6x ，∴y ′＝9x 2＋6.10．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝(x －1)2＋3(x －1)B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －1[答案] A[解析] f (x )＝(x －1)2＋3(x －1)＝x 2＋x －2，f ′(x )＝2x ＋1，f ′(1)＝3.二、填空题11．若函数f (x )＝1－sin x x，则f ′(π)________________． [答案] π－1π2[解析] f ′(x )＝(1－sin x )′·x －(1－sin x )x ′x 2＝sin x －x cos x －1x 2， ∴f ′(π)＝sinπ－πcosπ－1π2＝π－1π2. 12．曲线y ＝1x和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是____________．[答案] 34[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x y ＝x 2得交点为(1,1)， y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，y ′＝(x 2)′＝2x ， ∴曲线y ＝1x 在点(1,1)处的切线方程为x ＋y －2＝0，曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线方程为2x －y －1＝0，两切线与x 轴所围成的三角形的面积为34. 13．设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，若已知f ′(x )＝x cos x ，则f (x )＝________.[答案] x sin x ＋cos x[解析] ∵f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x ＝(a －d －cx )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x .为使f ′(x )＝x cos x ，应满足⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＝0，c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0，解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0，c ＝0，d ＝1.从而可知，f (x )＝x sin x ＋cos x .14．设f (x )＝ln a 2x (a >0且a ≠1)，则f ′(1)＝________.[答案] 2ln a[解析] ∵f (x )＝ln a 2x ＝2x ln a ，∴f ′(x )＝(2x ln a )′＝2ln a (x )′＝2ln a ，故f ′(1)＝2ln a .三、解答题15．求下列函数的导数．(1)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)； (2)1＋x 1－x ＋1－x 1＋x； (3)f (x )＝ln x ＋2xx 2. [解析] (1)∵f ′(x )＝[2x 5＋8x 4－5x 3＋2x 2＋8x －5]′，∴f ′(x )＝10x 4＋32x 3－15x 2＋4x ＋8.(2)∵f (x )＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2. (3)f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫ln x x 2＋2x x 2′＝⎝⎛⎭⎫ln x x 2′＋⎝⎛⎭⎫2xx 2′ ＝1x ·x 2－ln x ·2x x 4＋2x (ln2·x 2－2x )x 4＝(1－2ln x )x ＋(ln2·x 2－2x )·2xx 4＝1－2ln x ＋(ln2·x －2)2xx 3. 16．已知f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝x 2＋cx ＋d ，又f (2x ＋1)＝4g (x )，且f ′(x )＝g ′(x )，f (5)＝30，求g (4)．[解析] 题设中有四个参数a 、b 、c 、d ，为确定它们的值需要四个方程．由f (2x ＋1)＝4g (x )，得4x 2＋2(a ＋2)x ＋(a ＋b ＋1)＝4x 2＋4cx ＋4d . 于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝2c ， ①a ＋b ＋1＝4d ， ② 由f ′(x )＝g ′(x )，得2x ＋a ＝2x ＋c ，∴a ＝c .③由f (5)＝30，得25＋5a ＋b ＝30.④∴由①③可得a ＝c ＝2.由④得b ＝－5，再由②得d ＝－12. ∴g (x )＝x 2＋2x －12.故g (4)＝16＋8－12＝472. 17．(2010·湖北文，21)设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1.求b ，c 的值．[解析] 由f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，得f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，f ′(0)＝b ，又由曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，得f(0)＝1，f′(0)＝0，故b＝0，c＝1.18．已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象都过点P(2,0)，且在点P处有公共切线，求f(x)、g(x)的表达式．[解析]∵f(x)＝2x3＋ax图象过点P(2,0)，∴a＝－8.∴f(x)＝2x3－8x.∴f′(x)＝6x2－8.对于g(x)＝bx2＋c，图象过点P(2,0)，则4b＋c＝0.又g′(x)＝2bx，g′(2)＝4b＝f′(2)＝16，∴b＝4.∴c＝－16.∴g(x)＝4x2－16.综上，可知f(x)＝2x3－8x，g(x)＝4x2－16.。

高中数学选修1-1精品课件1：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

1 ，可以转化为y=
x3
x
2 3
，y=x-3
后再求导.
（4）对解析式较复杂的，要先化简解析式，再选择公式进行求
导，化简时注意化简的等价性.
【典例训练】
1.若y=10x，则y′|x=1=_________.
2.求下列函数的导数：
（1）y=x7；（2）y=
1 x2
；（3）y=
3 x；
（4）y=2sin
题目类型三、导数的综合应用【技法点拨】
导数的综合应用的解题技巧 (1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在.
(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题.遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题.可以结合导数的几何意义分析.
【解析】1.依题意，y′|x=x1=
，1
2 x1
∵n与m垂直，
（6）若f(x)=ex，则f′(x)=_ex_；
（7）若f(x)=logax，则f′(x)=
1 (a>0且a≠1)；
xlna
(8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
x
1.利用导数的定义求导与导数公式求导的区别导函数定义本身就是函数求导的最基本方法，但导函数是由极限定义的，所以函数求导总是要归结为求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，但是用导函数定义推导出常见函数与基本初等函数公式后，求函数的导函数就可以用公式直接求导了，简洁迅速.
第三章导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）

高中数学选修1-1 第三章导数第2节导数的运算

第2节导数的运算1.基本初等函数的导数公式表y ＝f (x )y ′＝f ′(x ) y ＝c y ′＝0y ＝x n (n ∈N ＋)y ′＝nx n －1，n 为正整数y ＝x μ(x >0，μ≠0且μ∈Q) y ′＝μx μ－1，μ为有理数 y ＝a x (a >0，a ≠1，x >0) y ′＝a x ln a y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0)y ′＝1x ln ay ＝sin x y ′＝cos_x y ＝cos xy ＝－sin_x例1：求下列函数的导数：(1)y ＝x 12 (2)y ＝5x 3 (3)y ＝log 2x (4)y ＝2sin x 2cos x2 （5）y=2018sin60°[精解详析] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11；(2)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 25-＝355x 2；(3)y ′＝(log 2x )′＝1x ln 2； (4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2′＝(sin x )′＝cos x .（5）0练习：下列导数运算正确的是（） A ．（sinx ）'=﹣cosx B ．C ．（3x ）'=3xD ．解：（sinx ）′=cosx ；（log2x ）′=；（3x ）′=3x ln3；（）′=﹣，故选：B ．例2：函数y=2x 在x=0处的导数是（）A．0 B．1 C．ln2 D．解：∵y′=2x ln2，∴y′|x=0=ln2，故选：C．练习：函数y=在x=1处的导数值为（）A．﹣B．2 C．1 D．解：∵，∴f′（1）=．故选：D．例3：若函数f（x）=sinx，则=（）A．B．C．1 D．0 解：根据题意，f（x）=sinx，则f′（x）=cosx，则f（x）+f′（x）=sinx+cosx，则=sin+cos=+=；故选：B．练习：已知函数f（x）=，则f′（）=（）A．﹣B．﹣C．﹣8 D．﹣16 解：函数的导数f′（x）=﹣2x﹣3=﹣，则f′（）=﹣=﹣16，故选：D．例4：若f（x）=x5，f′（x0）=20，则x0的值为（）A．B．±C．﹣2 D．±2 解：函数的导数f′（x）=5x4，∵f′（x0）=20，∴5x04=20，得x04=4，则x0=±，故选：B．练习：设f（x）=lnx，若f′（x0）=2，则x0=（）A ．2B ．C ．D ．ln2解：f （x ）=lnx ，则f′（x ）=， f′（x 0）=2，可得x 0=．故选：B ．2．导数的四则运算法则 (1)设f (x )，g (x )是可导的，则法则语言叙述[]f (x )±g (x )′＝f ′(x )±g ′(x )两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数和(或差)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子的差除以分母的平方(2)特别地，[cf (x )]′＝cf ′(x )， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)．例5：已知函数，且f'（x 0）=4，则x 0= ．解：函数的导数f′（x ）=2x ﹣8，∵f'（x 0）=4， ∴2x 0﹣8=4，即2x 0=12得x 0=3．故答案为：3．练习：已知函数y=ax 2+b 在点（1，3）处的导数为2，则= ．解：函数y=ax 2+b 的导数为y′=2ax ，由函数在点（1，3）处的切线斜率为2，可得f （1）=a +b=3，f′（1）=2a=2，解得a=1，b=2．则=2．故答案为2例6：已知函数f（x）的导数为f′（x），若有f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（2）=（）A．﹣12 B．12 C．6 D．﹣6解：根据题意，f（x）=3x2+2xf′（2），则导数f′（x）=6x+2f′（2），令x=2可得：f′（2）=12+2f′（2），解可得f′（2）=﹣12，故选：A．练习：（1）设f（x）=sinx+2xf'（），f'（x）是f（x）的导函数，则f'（）=．解：∵f（x）=sinx+2xf'（），∴f'（x）=cosx+2f'（），令x=，可得：f'（）=cos+2f'（），解得f'（）=﹣，则f'（）=+2×=﹣1．故答案为：﹣1．（2）已知函数f（x）=f′（）sinx+cosx，则f（）的值为（）A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1解：∵f（x）=f′（）sinx+cosx，∴f′（x）=f′（）cosx﹣sinx，令x=，则f′（）=f′（）cos﹣sin=f′（）﹣，则f′（）==﹣（），则f（x）=﹣（）sinx+cosx，则f（）=﹣（）sin+cos=﹣（）×+=﹣1，故选：D．例7：设y=﹣2e x sinx，则y′等于（）A．﹣2e x cosx B．﹣2e x sinxC．2e x sinx D．﹣2e x（sinx+cosx）解：∵y=﹣2e x sinx，∴y′=（﹣2e x）′sinx+（﹣2e x）•（sinx）′=﹣2e x sinx﹣2e x cosx=﹣2e x（sinx+cosx）．故选：D．练习：已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为．解：因为f（x）=axlnx，所以f′（x）=alnx+ax=alnx+a，又f′（1）=3，所以a=3；故答案为：3．例8：函数的导数是（）A．B．﹣sinxC．D．解：根据导数的运算法则可得，y′====﹣故选：C．练习：设f′（x）是函数的导函数，则f'（0）的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．解：根据题意，，其导数f′（x）==﹣，则f'（0）=﹣1；故选：C．例9：已知函数f（x）=e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为．解：函数f（x）=e x lnx，则f′（x ）=e x lnx +•e x ； ∴f′（1）=e•ln1+1•e=e ．故答案为：e ．练习：已知函数f （θ）=，则 f′（0）= ．解：函数f （θ）=，则 f′（θ）==所以f′（0）= 故答案为例10：设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[精解详析] (1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝2a －b 2＝12.①又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝a ＋b 4＝74.②(2分)由①②得⎩⎨⎧ 4a －b ＝1，4a ＋b ＝7，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(6分)(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．(8分)令x＝0得y＝－6x0，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－6x0)．(9分)令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．(10分)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x0|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.(12分)练习：设函数f（x）=ax+（a，b∈Z），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3（1）求f（x）的解析式（2）求f（x）在点（3，f（3））处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积．解：（1）函数f（x）=ax+（a，b∈Z），导数f′（x）=a﹣，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3，可得f（2）=2a+=3，f′（2）=a﹣=0，解方程可得a=1，b=﹣1，（分数舍去），则f（x）=x+；（2）由f（x）的导数为f′（x）=1﹣，可得在点（3，f（3））处的切线斜率为1﹣=，切点为（3，），则在点（3，f（3））处的切线方程为y﹣=（x﹣3），令x=0，可得y=﹣=；令y=0，可得x=3﹣=﹣，则切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为××=．。

高中数学人教A版选修1-1课件：3.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》

1．知识：基本初等函数的导数公式及导数运算法则； 2．思想：数形结合思想、归纳思想、分层思想.
（一）书面作业必做题 P18 习题1.2
A组 5,6,7题
B组 2题
选做题 1.y cos x 的导数是 _________;
x 2.函数y ax2 1的图象与直线y x相切，则a= ______; 3.已知函数y x ln x. (1)求这个函数的导数； (2)求这个函数在点x 1处得切线方程.
总是比别人学得慢
一看就懂一做就错
看得懂，但不会做
总是比别人学得差不会举一反三
什么是学习力-含义
管理知识的能力（利用现有知识解决问题）
学习知识的能力（学习新知识速度、质量等）
长久坚持的能力（自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方式
案例式学习
顺序式学习
冲刺式学习
什么是学习力-高效学习必备习惯
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过
"复合"得到的,例如,函数y 2x 32由y u2和u 2x 3
"复合"而成, 等等.
一般地, 对于两个函数y f u和u gx,如果通过变量u, y可以表示成x的函数, 那么称这个函数为函数y f u和 u gx的复合函数(composite functio#39; x
ln
u ' 3x
2'
1 u
3
3 3x
2
.
例4 求下列函数的导数
1 y 2x 32 ; 2 y e0.05x1 ;
3 y sinx 其中 ,均为常数 .
解 1函数y 2x 32可以看作函数y u3和
u 2x 3的复合函数.

高中数学第三章导数及其应用 3.2 导数的运算 3.2.2 导数的四则运算法则习题课件新人教B版选修1-1

＝ ax3 ＋ bx2 － 3x 满足 f′(1) ＝ f′( － 1) ＝ 0，求过点(0,16)与曲线y＝f(x)相切的直线的方程．
解：f′(x)＝3ax2＋2bx－3，由 f′(1)＝f′(－1)＝0，得
3a＋2b－3＝0 3a－2b－3＝0
，解得ab＝＝10
知识点二
导数的运算法则的应用
3. 函数 f(x)＝lnxx，则 f′(1)＝________. 解析：f′(x)＝1－x2lnx，∴f′(1)＝1．答案：1
4. [2014·安徽肥西中学期末]曲线y＝x3－3x2＋1在x＝ 1处的切线方程为________．
解析：∵y＝x3－3x2＋1， ∴y′＝3x2－6x. ∴曲线在x＝1处的切线斜率为k＝3－6＝－3. 且f(1)＝－1，∴切线方程为3x＋y－2＝0. 答案：y＋3x－2＝0
2．函数y＝x2·sinx的导数是( ) A． 2x·sinx＋x2·cosx B． x2·cosx C． 2x·cosx D． 2x·sinx－x2·cosx 解析： y′ ＝ (x2sinx)′ ＝ (x2)′sinx ＋ x2·(sinx)′ ＝ 2xsinx ＋ x2cosx. 答案：A
.
∴f(x)＝x3－3x.
设过点(0,16)与曲线 y＝f(x)相切的切线的切点为(x0， y0)，
则 f′(x0)＝3(x20－1)，切线方程为 y－(x30－3x0)＝3(x20－1)·(x－x0)．依题意，点 A(0,16)在切线上，有 16－(x30－3x0)＝3(x20－1)(－x0)，得 x0＝－2，所以切点坐标为(－2，－2)，切线方程为 9x－y＋16＝ 0.
3.2 导数的运算
导数的四则运算法则
[目标导航] 1．掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 2. 能利用导数的四则运算法则求函数的导函数．

高二数学,人教A版选修1-1, 3.2.2导数的运算法则, 课件

探究一
探究二
探究三
思想方法
自主解答: (1)由题意得 f'(x)=3x2+1,∴曲线 y=f(x)在点(3,14)处的切线的斜率为 f'(3)=28. ∴切线的方程为 28x-y-70=0. 3 (2)法一:设切点为(x0,��0 +x0-16), 2 则直线 l 的斜率为 f'(x0)=3��0 +1, 3 2 ∴直线 l 的方程为 y=(3��0 +1)(x-x0)+��0 +x0-16. 3 2 又直线 l 过原点(0,0),∴0=(3��0 +1)(-x0)+��0 +x0-16, 3 整理得��0 =-8,∴x0=-2. ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26). 法二:设直线 l 的方程为 y=kx,切点为(x0,y0), 则 k= 又
答案: 1 和 0
探究一Βιβλιοθήκη 探究二探究三思想方法
导数几何意义的综合应用【例1】已知函数f(x)=x3+x-16. (1)求曲线y=f(x)在点(3,14)处的切线方程; (2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标; (3)若曲线y=f(x)的某一切线与直线y=4x-16平行,求切点坐标与切线的方程. 思路点拨:利用导数的几何意义求解,但要注意(2)中切线经过原点,而原点不在曲线上,故应另设切点;(3)中可知切线斜率,也应设出切点进行求解.
解析: ��
答案: B
【做一做 3】已知函数 f(x)=ax3+2bln x,若曲线 y=f(x)在点(1,f(1)) 处的切线方程为 y=2x-3,则 a+b=( ) A.

人教新课标版数学高二-人教数学选修2-2练习 .2导数的运算法则

选修2-2 第一章 1.2 1.2.2 第2课时一、选择题1．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] D[解析] y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′ ＝2(x ＋1)·(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1， ∴y ′|x ＝1＝4.2．(2014·贵州湄潭中学高二期中)曲线f (x )＝x ln x 在点x ＝1处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋2 B ．y ＝2x －2 C ．y ＝x －1 D ．y ＝x ＋1[答案] C[解析] ∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴在点x ＝1处曲线f (x )的切线方程为y ＝x －1.3．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和是( )A ．n n ＋1B ．n ＋2n ＋1C ．n n －1D ．n ＋1n[答案] A[解析] ∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1， ∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，∴数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和为：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，故选A.4．二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a >0，b >0，则f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2－b 24a，顶点⎝⎛⎭⎫－b 2a ，－b24a 在第三象限，故选C. 5．函数y ＝sin2x －cos2x 的导数是( ) A ．y ′＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B ．y ′＝cos2x －sin2x C ．y ′＝sin2x ＋cos2x D ．y ′＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 [答案] A[解析] y ′＝(sin2x －cos2x )′＝(sin2x )′－(cos2x )′ ＝2cos2x ＋2sin2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 6．(2013·烟台质检)已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )[答案] B[解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图象为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B.二、填空题7．(2013·天津红桥区高二段测)已知函数f (x )＝x ·2x ，当f ′(x )＝0时，x ＝________. [答案] －1ln2[解析] f ′(x )＝2x ＋x ·2x ln2＝2x (1＋x ln2)，由f ′(x )＝0及2x >0知，1＋x ln2＝0，∴x ＝－1ln2.8．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________. [答案] π6[解析] f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)， f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋φ＋5π6. 若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则f (0)＋f ′(0)＝0，即0＝2sin ⎝⎛⎭⎫φ＋5π6，∴φ＋5π6＝k π(k ∈Z )．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.9．(2014·江西临川十中期中)已知直线y ＝2x －1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．[答案] 12ln2[解析] ∵y ＝ln(x ＋a )，∴y ′＝1x ＋a，设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝2x 0－1，y 0＝ln(x 0＋a )，且1x 0＋a ＝2，解之得a ＝12ln2.三、解答题10．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f (x )的解析式．[解析] ∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1. 又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e. ∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，∴切点为(1，－1)． ∴a ＋c ＋1＝－1. ∵f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ， ∴4a ＋2c ＝1. ∴a ＝52，c ＝－92.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.一、选择题11．(2014·新课标Ⅱ理，8)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] 本题考查导数的基本运算及导数的几何意义．令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，∴f ′(x )＝a －1x ＋1.∴f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3，故选D.12．(2013·全国大纲文，10)已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝( )A ．9B ．6C ．－9D ．－6[答案] D[解析] y ′＝4x 3＋2ax ，y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8， ∴a ＝－6.13．已知y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，当y ′＝2时，x 等于( ) A ．π3B ．23πC ．π4D ．π6[答案] C[解析] y ′＝(tan x )′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ＝2， ∴cos 2x ＝12，∴cos x ＝±22，∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x ＝π4. 14．(2014·辽宁六校联考)设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x 的导函数y ＝f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线斜率为32，则切点的横坐标为( )A ．ln22B ．－ln22C ．ln2D ．－ln2[答案] C[解析] f ′(x )＝e x －a e －x ，由f ′(x )为奇函数，得f ′(x )＝－f ′(－x )，即(a －1)(e x ＋e－x )＝0恒成立，∴a ＝1，∴f (x )＝e x ＋e －x ，设切点的横坐标为x 0，由导数的几何意义有e x 0－e－x 0＝32，解得x 0＝ln2，故选C.二、填空题15．(2014·三亚市一中月考)曲线y ＝x2x －1在点(1,1)处的切线为l ，则l 上的点到圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0上的点的最近距离是________．[答案] 22－1 [解析] y ′|x ＝1＝－1(2x －1)2|x ＝1＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d ＝22，圆的半径r ＝1，∴所求最近距离为22－1.16．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________． [答案] 2[解析] 设切点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，y 0＝ln(x 0＋a )，又∵y ′|x ＝x 0＝1x 0＋a＝1. ∴x 0＋a ＝1，∴y 0＝0，x 0＝－1，∴a ＝2. 三、解答题17．求下列函数的导数：(1)y ＝x sin 2x ； (2)y ＝e x ＋1e x －1；(3)y ＝x ＋cos x x ＋sin x ； (4)y ＝cos x ·sin3x .[解析] (1)y ′＝(x )′sin 2x ＋x (sin 2x )′ ＝sin 2x ＋x ·2sin x ·(sin x )′＝sin 2x ＋x sin2x .(2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝－2e x (e x －1)2 .(3)y ′＝(x ＋cos x )′(x ＋sin x )－(x ＋cos x )(x ＋sin x )′(x ＋sin x )2＝(1－sin x )(x ＋sin x )－(x ＋cos x )(1＋cos x )(x ＋sin x )2＝－x cos x －x sin x ＋sin x －cos x －1(x ＋sin x )2. (4)y ′＝(cos x ·sin3x )′＝(cos x )′sin3x ＋cos x (sin3x )′ ＝－sin x sin3x ＋3cos x cos3x ＝3cos x cos3x －sin x sin3x .18．设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1.求b ，c 的值．[解析] 由f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，得f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，f ′(0)＝b ，又由曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，得f (0)＝1，f ′(0)＝0，故b ＝0，c ＝1.。