高考数学必胜秘诀在哪？――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(五)平面向量

高考数学必胜秘诀在哪？――概念、方法、题型、
易误点及应试技巧总结（五）平面向量 ――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
五、平面向量
1、向量有关概念：
（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量确实是有向线段，什么缘故？（向量能够平移）。

如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±
)； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向
量有传递性；
（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C
、、共线⇔ AB AC 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是－a 。

如下列命题：（1）若a b =，则a b =。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。

（5）若,a b b c ==，则a c =。

（6）若//,//a b b c ，则//a c 。

其中正确的是_______（答：（4）（5））
2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母
来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

假如向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3.平面向量的差不多定理：假如e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a=1λe1＋2λe2。

如（1）若(1,1),a b ==[来源:学&科&网Z&X&X&K]
(1,1),(1,2)c -=-，则c =______（答：1322
a b -）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D. 1213(2,3),(,)24
e e =-=-（答：B ）；（3）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____（答：2433a b +）；（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___（答：0）
4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。

5、平面向量的数量积：
（1）两个向量的夹角：关于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==，AOB θ∠= ()0θπ≤≤称为向量a ，b 的夹角，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝
2π时，a ，b 垂直。

（2）平面向量的数量积：假如两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a •b ，即a •b ＝cos a b θ。

规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

如（1）△ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→−BC ，则=⋅BC AB _________（答：－9）；（2）已知11(1,),(0,),,22
a b c a kb d a b ==-=+=-，
c 与
d 的夹角为4π，则k 等于____（答：1）；（3）已知2,5,3a b a b ===-，
则a b +
等于____（答：23）；（4）已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____（答：30） （3）b 在a 上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。

如已知3||=→a ，5||=→b ，且12=⋅→→b a ，则向量→a 在向量→b 上的投影为______（答：5
12）
（4）a •b 的几何意义：数量积a •b 等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。

（5）向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： ②当a ，b 同向时，a •b ＝a b ，专门地，222,a a a a a a =•==；当a 与b 反向时，a •b ＝－a b ；当θ为锐角时，a •b ＞0，且 a b 、不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件；
当θ为钝角时，a •b ＜0，且 a b 、不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件；
③非零向量a ，b 夹角θ的运算公式：cos a b a b θ•=
；④||||||a b a b •≤。

如（1）已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，假如→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范畴是__
____（答：43λ<-或0λ>且13λ≠）；（2）已知OFQ ∆的面积为S ，且1=⋅−→−−→−FQ OF ，若2321<<S ，则−→−−→−FQ OF ,夹角θ的取值范畴是_________（答：(,)43ππ）；（3）已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),a x x b y y ==a 与b 之间有关系式3,0ka b a kb k +=
->其中，①用k 表示a b ⋅；②求a b ⋅的最小值，并求现在a 与b 的夹角θ的大小（答：①21(0)4k a b k k +⋅=>；②最小值为12，60θ=）
6、向量的运算： （1）几何运算：
①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b ==，那么向量AC 叫做a 与b 的和，即a b AB BC AC +=+=；
②向量的减法：用“三角形法则”：设
,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。

注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

如（1）化简：①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____；③()()AB CD AC BD ---=_____（答：①AD ；②CB ；③0）；（2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____（答：22；（3）若O 是ABC 所在平面内一点，且满足
2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 的形状为____（答：直角三角形）；（4）若D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足
0PA BP CP ++=，设
||||AP PD λ=，则λ的值为___（答：2）；（5）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，则ABC △的内角C 为____（答：120）； （2）坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则：
①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±。

如（1）已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若()AP AB AC R λλ=+∈，则当λ＝____时，点P 在第一、三象限的角
平分线上（答：12）；（2）已知1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2A B AB x y =且，,(,)22x y ππ∈-，
则x y +=
（答：6π或2π-）；（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-=，则合力123F F F F =++的终点坐标是 （答：（9,1））
②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==。

③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表
示那个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

如设(2,3),(1,5)A B -，且
13AC AB =，3AD AB =，则C 、D 的坐标分别是__________（答：11(1,),(7,9)3
-）； ④平面向量数量积：1212a b x x y y •=+。

如已知向量a ＝（sinx ，cosx ）, b
＝（sinx ，sinx ）, c ＝（－1，0）。

（1）若x ＝3π，求向量a 、c 的夹角；（2）若x ∈]4,83[ππ-
，函数b a x f ⋅=λ)(的最大值为21，求λ的值（答：1(1)150;(2)2
或21--）； ⑤向量的模：222222||,||a x y a a x y =+==+。

如已知,a b 均为单位向量，它
们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____（答：13）；
⑥两点间的距离：若()()1122,,,A x y B x y ，则()()222121||AB x x y y =-+-。

如
如图，在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=，平面上
任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是如此定义的：若
12OP xe ye =+，其中12,e e 分别为与x 轴、y 轴同方向的单
位向量，则P 点斜坐标为(,)x y 。

（1）若点P 的斜坐
标为（2，－2），求P 到O 的距离｜PO ｜；（2）求以O 为圆心，1为半径的圆
在斜坐标系xOy 中的方程。

（答：（1）2；（2）2210x y xy ++-=）；
7、向量的运算律：（1）交换律：a b b a +=+，()()a a λμλμ=，a b b a •=•；
(2)结合律：()(),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+，()()()a b a b a b λλλ•=•=•；
（3）分配律：()(),a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+，()a b c a c b c +•=•+•。

如下列命题中：① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③ 2()a b →→-2||a →
= 22||||||a b b →→→-⋅+；④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→
b ；⑤若,a b
c b ⋅=⋅则a c =；⑥22a a =；⑦2a b b a a ⋅=；⑧222()a b a b ⋅=⋅；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+。

其中正确的是
______（答：①⑥⑨）
提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地点也有区别：关于一个向量等式，能够移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即c b a c b a )()(•≠•，什么缘故？
8、向量平行(共线)的充要条件：//a b a b λ⇔=22()(||||)a b a b ⇔⋅=1212x y y x ⇔-＝0。

如(1)若向量(,1),(4,)a x b x ==，当x ＝_____时a 与b 共线且方向相同（答：
2）；（2）已知(1,1),(4,)a b x ==，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x ＝______（答：
4）；（3）设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===，则k ＝_____时，A,B,C 共线（答：－2或11） 9、向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=-
12120x x y y ⇔+=.
专门地()()AB
AC
AB AC AB AC AB AC +⊥-。

如(1)已知(1,2),(3,)OA OB m =-=，若OA OB ⊥，则m = （答：32）；（2）以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是________ （答：(1,3)或（3，－1））；
（3）已知(,),n a b =向量n m ⊥，且n
m =，则m 的坐标是________ （答：(,)(,)b a b a --或）[来源:Z+xx+k ]
10.线段的定比分点：
（1）定比分点的概念：设点P 是直线P 1P 2上异于P 1、P 2的任意一点，
若存在一个实数λ ，使12PP PP λ=，则λ叫做点P 分有向线段12PP 所成的比，
P 点叫做有向线段12PP 的以定比为λ的定比分点；
（2）λ的符号与分点P 的位置之间的关系：当P 点在线段 P 1P 2上时
⇔λ>0；
当P 点在线段 P 1P 2的延长线上时⇔λ<－1；当P 点在线段P 2P 1的
延长线上时10λ⇔-<<；若点P 分有向线段12PP 所成的比为λ，则点P 分有
向线段21
P P 所成的比为1λ。

如若点P 分AB 所成的比为34
，则A 分BP 所成的比为_______（答：73-） （3）线段的定比分点公式：设111(,)P x y 、222(,)P x y ，(,)P x y 分有向线段12PP 所成的比为λ，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，专门地，当λ＝1时，就得到线段P 1P 2的中点公式121
222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩。

在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。

在具体运算时应依照题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并依照这些点确定对应的定比λ。

如（1）若M （-3，-2），N （6，-1），且1MP MN 3--→--→=-，则点P 的坐标为_______（答：7(6,)3--）；（2）已知(,0),(3,2)A a B a +，直线12y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB =，则a 等于_______（答：２或－４）
11.平移公式：假如点(,)P x y 按向量(),a h k =平移至(,)P x y ''，则x x h y y k '=+⎧⎨
'=+⎩；曲线(,)0f x y =按向量(),a h k =平移得曲线(,)0f x h y k --=.注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如（1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a 把点(7,2)-平移到点______（答：（－８，３））；（2）函数x y 2sin =的图象按向量→a 平移后，所得函数的解析式是12cos +=x y ，则→a ＝________（答：)1,4(π
-）
12、向量中一些常用的结论：[来源:1ZXXK] （1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
（2）||||||||||||a b a b a b -≤±≤+，专门地，当 a b 、
同向或有0⇔||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=-；当 a b 、
反向或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+；当 a b 、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+(这些和实数比较类似).
（3）在ABC ∆中，①若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心的坐标为
123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭。

如若⊿ABC 的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、 （-1，-1），则⊿ABC 的重心的坐标为_______（答：24(,)33-）；[来源:学+科+网Z+X+X+K]
②1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心，专门地0PA PB PC P
++=⇔为ABC ∆的重心；
③PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心；
④向量()(0)||||
AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； ⑤||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心；[来源:学#科#网]
（3）若P 分有向线段12PP 所成的比为λ，点M 为平面内的任一点，则12
1MP MP MP λλ+=+，专门地P 为12P P 的中点122
MP MP MP +⇔=； （4）向量 PA PB PC 、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=.如平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=−→−OC −→−−→−+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹是_______（答：直线AB ）。