复数的运算一
复数的运算法则
复数的运算法则在数学中，复数是由实数和虚数组成的，并且以a + bi 的形式表示，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。
复数的运算法则是用来描述复数之间的加法、减法、乘法和除法运算规则。
下面将详细介绍复数的运算法则。
一、复数的加法和减法法则复数的加法法则是将实部分和虚部分分别相加。
假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中 a1, b1, a2 和 b2 都是实数。
则两个复数的和为：z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i。
复数的减法法则是将第二个复数的实部和虚部各自取相反数再相加。
假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中 a1, b1, a2 和 b2 都是实数。
则两个复数的差为：z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i。
二、复数的乘法法则复数的乘法法则是根据分配律展开计算，并根据虚数单位的性质i^2 = -1 简化计算。
假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中a1, b1, a2 和 b2 都是实数。
则两个复数的乘积为：z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i。
三、复数的除法法则复数的除法法则是通过将被除数和除数都乘以共轭复数，然后利用乘法法则进行计算。
假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中 a1, b1, a2 和 b2 都是实数，并且z2 ≠ 0。
则两个复数的商为：z1 / z2 = [(a1a2 + b1b2) / (a2^2 + b2^2)] + [(a2b1 - a1b2) / (a2^2 + b2^2)]i。
综上所述，复数的运算法则包括加法、减法、乘法和除法法则。
这些法则可以帮助我们对复数进行精确计算，并在实际问题中应用。
了解和掌握这些运算法则对于深入理解复数的性质和应用具有重要意义。
复数的四则运算(1)
(2)复数乘法的运算定理
即对任何z1,z2,z3∈C有 交换律: 结合律: 分配律:
z1z2=z2z1; (z1z2)z3=z1(z2z3);
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
x a 0 的解是什么? (2 iபைடு நூலகம்(3 2i)(1 3i).
(1 3i) (2 5i) (4 9i).
2.复数的乘法法则
(a bi)(c di)
2
ac adi bci bdi ac adi bci bd (ac bd ) (ad bc)i
点评:
1、与多项式的乘法是类似的
2、结果中把 i 2 换成-1 3、实部、虚部分别合并
为（ ）
A.1 2i
作业:P111
B.2 i
习题 1、2
C.1 2i
D.2 i
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
z1-z2=(a-c)+(b-d)i. 即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部
与虚部分别相加(减).
点评:（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0，d=0时与
实数加法法则保持一致
(2)很明显，两个复数的和差仍 然是一个复数。对于复数的加减
§3.2复数的四则运算
(一)加法 减法 乘法
学习目标: 1.理解复数代数形式的四则运算法则.
2.能用运算律进行复数的四则运算. 自学指导:
1.复数的加 减 乘运算法则是怎样的? 2.两个复数的和 差 积仍是一个复数吗? 3.复数的加 减 乘满足哪些运算律? 自学检测:P108 练习 1 , 2
复数的运算
回顾总结
1.复数的四则运算； 2.复数运算的乘方形式； 3.共轭复数的相关运算性质； 4.复数运算中的常用结论。
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复数的有关运算
⑤. z = z
⑥. z = z ⇔ z ∈ R
数或0 数或
( z 2 ≠ 0) ⑦. z + z = 0 ⇔ Z为纯虚 为纯虚
④ . z = ( z)
n
n
四.共轭复数与模的性质及其运算 共轭复数与模的性质及其运算
① . | z1 ⋅ z2 |=| z1 | ⋅ | z2 |
| z−z1 | +| z −z2 | =2a (|z1 -z2 |=2a) (5).双曲线： z − z1 | −| z − z2 | = ±2a 双曲线： 双曲线 | (|z1 - z2 |> 2a)
(6).射线：z−z1 | −| z −z2 | =±2a 射线： 射线 |
(7).圆环 圆环: r <| z − z0 |< R 圆环 复数方程与直角坐标方程的转化
1 3 1 3 二. ω = - + i(或ω＝- - i) 的性质 2 2 2 2 2 ①. 1+ ω + ω = 0
② . ω = 1 (周 T = 3) 期
3
③. ω =
1
ω
=ω
2
④ . ω n + ω n +1 + ω n + 2 = 0
一、复数的四则运算问题
1、已知复数z = 1 + i (1)设ω = z 2 + 3 z − 4，求ω； z 2 + az + b = 1 − i，求实数a，b的值 （2）如果 2 z − z +1
a + b = 1 a = −1 ⇒ ∴ a + 2 = 1 b = 2
4 2、设z + ∈ R，z − 2 |= 2，求z | z 解：设z = x + yi( x、y ∈ R，且z ≠ 0)
复数的四则运算
例6: 当n∈N*,计算in+(-i)n所有可能的取值 计算i +(-
复数的四则运算
例1：计算 (1) (1+3i)+(-4+2i) (2) (5-6i)+(-2-i)-(3+4i) (1+3i)+((5-6i)+(- i)实部、 实部、虚部对应相加减 例２：计算 (2(2)(1+2i)(3+4i)((1) (2-3i)(4+2i) (2)(1+2i)(3+4i)(-2+i) (a+bi)(a(3) (a+bi)(a-bi) (4) (1+2i)2 按多项式相乘法则进行， 按多项式相乘法则进行，以前的乘法公式 都可能使用。遇到i 化为都可能使用。遇到i2化为-1
z = a − bi
= (a + bi )(a − bi ) 2 2 = a − (bi )
=a +b
2
2
一个复数与它共轭复数之积等于模的平方
例 、 1 若 1 = −3+ i, Z2 = 4i −1, Z1 + Z = Z2,求 3 （ ） Z Z (2)设 (Z) = Z, Z1 = 3+ 4i, Z2 = i − 2,则 f(Z1 − Z2 ) f 求 (3)已 Z∈C 且 Z− 3Z = 1−5i,求 数 . 知 , 2 复 Z
练习: 练习 (A) 1
1+i1+i2+i3+…+i 2004的值为 A ) 的值为( (B) -1 (C) 0 (D) i
计算： 计算：1） i20.i50= -1
共轭复数 如果两个复数的实部相等， 如果两个复数的实部相等，虚部互为相 反数，这两个复数叫做互为共轭复数。复数z 反数，这两个复数叫做互为共轭复数。复数z 的共轭复数记为 z 即：z=a+bi 显然有： 显然有： z ⋅ z 则
复数及其运算
复数及其运算复数是数学中的一个重要概念，它在代数和几何中都扮演着重要的角色。
本文将对复数的定义、运算法则以及复数的性质做出详细的解释和说明。
一、复数的定义复数由实部和虚部组成，可以用a+bi的形式表示，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
实部和虚部都可以是实数。
二、复数的运算法则1. 加法法则：复数的加法满足交换律和结合律，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
2. 减法法则：复数的减法满足减法的定义，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
3. 乘法法则：复数的乘法按照分配律和乘法公式进行，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
4. 除法法则：复数的除法要利用到共轭复数的概念，即(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)/(c²+d²))i。
三、复数的性质1. 共轭复数：一个复数的共轭复数是指虚部符号变反，即(a+bi)的共轭复数为(a-bi)。
2. 模：复数的模是指其到原点的距离，在复平面中可以用勾股定理得到。
对于复数a+bi，其模为根号下(a²+b²)。
3. 平方根：复数的平方根可以通过求解二次方程来得到。
对于复数a+bi，其平方根为±根号下[(根号下(a²+b²)+a)/2]+[(根号下(a²+b²)-a)/2]i。
4. 范数：复数的范数是指其模的平方，也就是模的平方根。
对于复数a+bi，其范数为a²+b²。
综上所述，复数是由实部和虚部组成的数，并且复数的运算遵循特定的法则。
复数的共轭、模、平方根和范数等概念对于理解和应用复数有着重要的作用。
在代数和几何的研究中，复数的运算与复平面的结构密切相关，大大拓展了数学的领域。
通过学习复数及其运算法则，可以帮助我们更好地理解和解决涉及到复数的问题，如解方程、计算向量等。
复数运算知识点总结
复数运算知识点总结复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面对每种运算进行详细介绍。
一、加法：复数的加法即是实数部分相加，虚数部分相加。
例如，(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。
二、减法：复数的减法即是实数部分相减，虚数部分相减。
例如，(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
三、乘法：复数的乘法可以采用分配律展开。
例如，(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac - bd) + (ad + bc)i。
虚数单位i的平方为-1，所以i²=-1。
四、除法：复数的除法需要用到共轭复数。
共轭复数是指虚数部分的符号取反。
例如，对于复数a+bi，它的共轭复数是a-bi。
复数的除法可以通过乘以分子的共轭复数来得到。
例如，对于复数(a+bi)/(c+di)，乘以(c-di)/(c-di)可以得到分子的虚数部分消去，然后再进行实数部分的除法。
在实际运用时，复数的运算可以通过将复数进行分解成实数部分和虚数部分，然后进行实数的运算和虚数的运算，最后将结果合并成新的复数。
比如，对于复数(a+bi)和复数(c+di)的乘法运算，可以先计算实数部分的乘法和虚数部分的乘法，然后再合并成新的复数。
另外，复数的绝对值也是一个重要的概念。
复数的绝对值表示复数到原点的距离，可以用勾股定理来计算。
对于复数a+bi，他的绝对值表示为|a+bi| = √(a² + b²)。
在实际应用中，复数广泛用于信号处理、控制系统、电路分析等领域。
在工程和科学的计算中，复数都有着重要的作用。
因此，熟练掌握复数的运算规则，对于学习和工作都有着重要意义。
总的来说，复数是数学中一个重要的概念，它包括实数和虚数部分，可以表示为a+bi的形式。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，对于每种运算都有着明确的规则。
掌握复数的运算规则对于学习和工作都具有重要意义。
高中数学复数的运算
高中数学复数的运算复数是数学中一个重要的概念，它由实部和虚部构成，可以用来描述平面上的向量、电路中的电压和电流等等。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法等，下面将详细讨论这些运算的规则。
一、复数的表示形式复数可以用代数形式和三角形式表示。
代数形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i表示虚数单位。
三角形式为r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。
二、复数的加法两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
例如：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
三、复数的减法两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
例如：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
四、复数的乘法两个复数相乘，按照分配律，实部和虚部相互乘。
例如：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
五、复数的除法两个复数相除，可以通过乘以共轭复数来进行。
即，对于复数a+bi 来说，它的共轭复数为a-bi。
将两个复数相乘再除以共轭复数的模的平方。
例如：(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[c^2+d^2]=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad)/(c^2+d^2))i。
六、复数的运算性质复数的运算满足交换律、结合律和分配律。
七、复数的乘方和开方运算复数的乘方运算可以通过将其转化为三角形式来进行。
例如：(a+bi)^n=r^n(cos(nθ)+isin(nθ))，其中r为模长，θ为辐角。
复数的开方运算可以通过将其转化为代数形式，并利用公式进行计算。
综上所述，高中数学中涉及到复数的运算，包括加法、减法、乘法和除法等。
我们可以使用代数形式或者三角形式来表示复数，并利用相应的运算规则进行计算。
熟练掌握复数的运算规则，将有助于解决实际问题和应用到其他数学领域中。
3.2复数的运算(1)
【课题】 3.2复数的运算（一）【教学目标】知识目标：会进行复数代数形式、三角形式的运算.能力目标：通过对复数相关计算的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．【教学重点】（1）复数代数形式的加、减运算.（2）复数三角形式的乘、除、乘方运算．【教学难点】三角形式的乘法、除法、乘方运算．【教学设计】在讲解复数代数形式的运算时，可以首先指出，当数的概念扩充以后，需要把数的运算也进行扩充．例1是两个代数形式的复数进行加、减运算的知识巩固性题目，例2比例1稍微复杂一些，是三个代数形式的复数进行加、减的混合运算．例3（1）是两个代数形式的复数进行乘法运算的知识巩固性题目，例3（2）是代数形式的复数进行乘方运算．例４是求复数与其共轭复数的乘积，结果是该复数实部与虚部的平方和.这个结论非常重要，使用它可以把虚数转化为实数，在复数的除法中就要用到这个结论．复数代数形式的除法运算，类似于初中代数根式运算中的分母有理化．例5、例6都是两个代数形式的复数进行复数除法运算的知识巩固性题目，但略有不同，例5中的两个复数直接写为商的形式，而例6的两个复数未直接写为商的形式，需转化为商的形式，再进行“分母实数化”．在讲解复数的三角形式的乘、除、乘方运算时，要说明复数必须是三角形式，才可以使用复数的三角形式的乘、除、乘方运算法则，而如果不是三角形式的复数要先化为三角形式．复数的乘法、乘方、除法用三角形式来做运算，不但结果简单易记，而且重要的是它明确了复数乘法（除法）的几何意义．利用复数的三角形式进行以上运算时，一般要求把计算结果写成代数形式．例7是两个三角形式的复数进行复数乘法运算的知识巩固性题目．例8（1）是三角形式的复数直接使用乘方公式进行运算的知识巩固性题目，而例8（2）是求代数形式的复数的7次方，为了计算简便，应该首先将该复数化为三角形式，然后再利用复数三角形式的乘方公式进行运算，否则计算量比较大．例9是两个三角形式的复数进行复数除法运算的知识巩固性题目，直接按照公式进行计算即可．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】【教师教学后记】。
复数四则运算
复数四则运算复数是一种有趣而复杂的数字类型，可以表示一个或多个实数的数字。
复数由一个实数部分和一个虚数部分组成。
一般地，我们可以用z=a+bi（a和b为实数）的形式表示复数。
其中，a表示实部，b表示虚部，i表示虚数单位。
复数的四则运算是对复数进行算数操作的基本知识。
一、复数的加法复数的加法即两个复数的相加，它的运算规则是：将两个复数的实部相加，虚部相加，然后结果以新的复数的形式表示。
例如，计算复数z1=2+5i与z2=2-3i的和，我们有：z1+z2=2+5i+2-3i=4+2i上式中，4+2i即为z1,z2的和。
二、复数的减法复数的减法即两个复数的相减，它的运算规则是：将两个复数的实部相减，虚部相减，然后结果以新的复数的形式表示。
例如，计算复数z1=2+5i与z2=2-3i的差，我们有：z1-z2=2+5i-2-3i=0+8i上式中，0+8i即为z1，z2的差。
三、复数的乘法复数的乘法即两个复数的相乘，它的运算规则是：用分数形式乘，然后将实部与虚部分别相乘，最后将结果以新的复数的形式表示。
例如，计算复数z1=2+5i与z2=2-3i的积，我们有：z1z2=(2+5i)*(2-3i)=(2*2-5*3i)+(2*3i+5*2)=4-15i+6i+10=4+i上式中，4+i即为z1，z2的积。
四、复数的除法复数的除法即两个复数的相除，它的运算规则是：将分子分母换成一个复数，然后用乘法规则将分子实部与分母实部相乘，分子虚部与分母虚部相乘，再分别相减，最后将结果以新的复数的形式表示。
例如，计算复数z1=2+5i除以z2=2-3i，我们有：z1/z2=(2+5i)/(2-3i)=(2*2+5*3i)/(2*2-3*3i)-(2*3i+5*2)/(2*2-3*3i)=6+2i/1上式中，6+2i即为z1，z2的商。
综上所述，复数四则运算也就是复数的加法、减法、乘法和除法，其计算规则也是由上述运算规则及其举例来表示。
复数的基本运算与性质
复数的基本运算与性质复数是数学中的一个重要概念，在实际问题中也有广泛的应用。
复数包括实部和虚部，通常用a + bi（a是实部，b是虚部）的形式表示。
本文将介绍复数的基本运算与性质。
1. 复数的加法和减法复数的加法和减法定义如下：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i其中，a、b、c、d都是实数。
2. 复数的乘法复数的乘法定义如下：(a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i3. 复数的除法复数的除法可以通过乘法来实现，假设除数不为零，可将除法转化为乘法的倒数。
(a + bi) / (c + di) = [(a + bi) * (c - di)] / [(c + di) * (c - di)]4. 虚数单位在复数运算中，虚数单位i的平方等于-1，即i² = -1。
虚数单位i可以方便地用于表示复数的虚部。
5. 共轭复数对于复数a + bi，其共轭复数定义为a - bi。
共轭复数与原复数的实部相同，虚部相反。
6. 复数的模复数的模定义为：|a + bi| = √(a² + b²)复数的模表示了复数的长度，可以参考欧几里得距离的概念。
7. 复数的实部和虚部对于复数a + bi，实部为a，虚部为b。
8. 欧拉公式欧拉公式是数学中一个重要的公式，将复数、三角函数和指数函数联系起来。
欧拉公式表达式如下：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)其中，e是自然对数的底数，i是虚数单位，x是一个实数。
9. 复数的指数函数对于复数a + bi，指数函数的定义如下：e^(a + bi) = e^a * e^(bi) = e^a * [cos(b) + i*sin(b)]复数的指数函数主要依赖于欧拉公式。
10. 复数的幂运算对于复数a + bi和自然数n，复数的幂运算定义如下：(a + bi)^n = (a + bi) * (a + bi) * ... * (a + bi)11. 复数的根对于复数a + bi和自然数n，复数的根与复数的幂运算相对应，定义如下：(z)^n = a + bi其中，z的n次方等于a + bi。
复数的概念和运算法则
复数的概念和运算法则复数是由实数和虚数组合而成的数，它由实部和虚部构成，通常表示为a + bi的形式，其中a和b都是实数，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
复数在数学中起到重要作用，尤其在电工、物理学和工程领域中有广泛应用。
一、复数的定义和表示1. 定义：复数是由实数和虚数构成的数字，虚数单位i满足i^2 = -1。
2. 表示方法：复数一般表示为a + bi的形式，其中a为实部，bi为虚部。
实部和虚部都是实数。
二、复数的运算法则1. 加法和减法：（1）加法：两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加，例如：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i（2）减法：两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减，例如：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i2. 乘法：两个复数相乘，应用分配律，同时注意i的平方为-1，例如：(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i3. 除法：两个复数相除，需要进行分子分母的有理化，即以实数的形式写出结果，例如：(a + bi) / (c + di) = [(a + bi)(c - di)] / [(c + di)(c - di)]= [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c^2 + d^2)三、复数的共轭和模1. 共轭：复数的共轭是指保持实部不变，虚部取负的操作，例如：对于复数a + bi，它的共轭是a - bi，即实部不变，虚部取负。
2. 模：复数的模是指复数与自身共轭的乘积的平方根，例如：对于复数a + bi，它的模是|(a + bi)| = √(a^2 + b^2)四、复数的应用复数在电工、物理学和工程领域中有广泛的应用。
例如，在交流电路中，复数用于表示电压和电流的相位关系。
高一数学《复数的运算》知识点总结
高一数学《复数的运算》知识点总结复数是由实部和虚部组成的数，通常用 a+bi 的形式表示，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位，满足 i^2=-1。
一、复数的表示方式1. 管式表示：a+bi，其中 a 是实部，b 是虚部。
2. 数集表示：z∈C，表示复数 z 属于复数集合 C。
二、复数的基本运算1. 复数的加法：(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i2. 复数的减法：(a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i3. 复数的乘法：(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i4. 复数的除法：(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)]+[(bc-ad)/(c^2+d^2)]i三、复数的共轭与模1. 共轭复数：对于复数 a+bi，其共轭复数为 a-bi，可以表示为 z*，即 z 的上方加一条横线。
2. 复数的模：对于复数 a+bi，它的模为|a+bi| = √(a^2+b^2)，表示复数到原点的距离。
四、复数的乘方运算1. 模的乘方：|z^n| = |z|^n，其中 n 为非负整数。
2. 共轭的乘方：(z*)^n = (z^n)*，其中 n 为非负整数。
五、复数的除法运算1. 复数的倒数：若z = a+bi ≠ 0，则 z 的倒数为 1/z = (a-bi)/(|z|^2)。
2. 复数的开方：对于正实数 a 和非负整数 n，复数的 n 次方根有 n 个，可以表示为z = r(cosθ+isinθ)，其中r = √(a)，θ 是主值的辐角。
六、复数的指数函数1. 欧拉公式：e^(iθ) = cosθ + isinθ，其中 e 为自然对数的底。
2. 复数的指数形式：对于复数 z = a+bi，可以表示为z = re^(iθ)，其中 r = |z|，θ 是 z 的辐角。
七、复数的代数表示与三角表示之间的转换1. 代数形式转三角形式：a+bi = r(cosθ+isinθ)，其中 r = |a+bi|，θ 是辐角。
复数的四则运算
a + bi 记做(a + bi ) ÷ (c + di )或 . c + di
(a + bi) ÷ (c + di) = a + bi ac + bd bc − ad = 2 + 2 i 2 2 c + di c + d c +d
例ห้องสมุดไป่ตู้、计算
1− i (1) 1+ i
13 + 9i (2) 2 (2 + i)
是____________. ____________. 解析：设z=x+yi(x、y∈R)，则x2+y2+2x=3表示圆. 答案：以点（－1，0）为圆心，2为半径的圆
【练习】 练习】 1、在复数范围内解方程 、 (1) x2+4=0 (2) z2=2i
2、在复数范围内分解因式 、 (1) x2 + 4 (2) x4 - y4
Cz2-z1 B
z1+z2
2 、 | z 1+ z 2| = | z 1- z 2| 平行四边形OABC OABC是 平行四边形OABC是 矩形
o
z1 A
3、 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| 平行四边形OABC是 平行四边形OABC是 正方形 OABC
三、复数的乘法
o
x
A,说明下列各式所表示的几何意义 例1:已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义. 1:已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义. 已知复数
(1)|z－ (1)|z－(1+2i)| (2)|z+(1+2i)| (3)|z－ (3)|z－1| (4)|z+2i|
高中数学优质教案 复数的运算(一)
3.2复数的运算（一）【教学目标】掌握复数的加法、减法、乘法运算及意义，了解复数加减法运算的几何意义；体会迁移的思想方法；通过自学感受成功的愉悦.【教学重点】复数运算规则 【教学难点】乘法运算一、 课前预习：（教材91--93页）1. ),(R b a bi a z ∈+=的相反数：2. ),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=，=+21z z ；=-21z z ；=⋅21z z3.运算律：交换律：=+21z z ；=⋅21z z结合律：=++321)(z z z ；=⋅⋅321)(z z z 分配律：=⋅⋅)(321z z z=⋅n m z z ；=n m z )( ；=⋅n z z )(212.加法减法的几何意义：二、 课上学习：※1.教材92页练习A.2.证明：2||z z z =⋅.3.计算：2)1(i -= =+2)1(i 2014)1(i - =4.已知i z i z -=+=2,121，求：21z z ⋅，221)(z z ⋅，41z .三、 课后练习：1.下面四个命题中正确的命题个数是①0比－i 大； ②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数； ③i yi x +=+1的充要条件为1==y x ；④如果让实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应.A.0B.1C.2D.32.i i ⋅-2)1(等于A.i 22-B. i 22+C.－2D.23.已知复数z与i+均是纯虚数,则z等于(2-)2z8A.i2B.－i2C. iD.－i。
复数的运算(一)..
z (1 i)2 3(1 高i)素质·高技能·高能力·高就业
2i
4.已知复数
,且z2+az+b=1+i,求实数
a,b.
(3 i)(2 i) 6 2i 3i 1 1 i.
(2 i)(2 i)
5
解: z 2i 3 3i 3 i 2i 2i
的共轭复数，求x的值．
解：因为 4 20i 的共轭复数是 4 20i，根据复数相等的定义，
可得
x2 x 2 4,
x
2
3
x
2
20.
解得
x x
3或x 3或x
2 6
从严治校 所科学以管x理 3 ．
练习 2:
1.计算:(1+2 i )2
3 4i 高素质·高技能·高能力·高就业
22
8
7.在复数集C内，你能将 x 2 y 2分解因式吗？
(x+yi)(x-yi)
从严治校 科学管理
练习 3: 1.计算 (2 3i)(2 3i)
13高素质·高技能·高能力·高就业
2 2. 已知 f ( x) x3 2x2 5x 2 ,则 f (1 2i) =_____.
a bi ac bd bc ad (a bi) (c di) c di c2 d 2 c2 d 2 i
由刚才的求商过程可以形式上写成(体会其中的过程):
(a bi) (c di) a bi (a bi)(c di) c di (c di)(c di)
从严治校 科学管理
复数的概念及运算(一)
复数的概念及运算教学目标：掌握复数的有关概念；掌握复数的分类方法，通过复平面认识复数的几何表示，复数的减法是加法的逆运算，除法是乘法逆运算，掌握复数的加、减、乘、除、乘方运算，体会共轭复数与模的运算性质的证明过程并能应用解题。
教学重难点：掌握复数的有关概念，复数的加、减、乘、除、乘方运算，共轭复数与模的运算性质的证明过程。
教学过程：一、基础训练：1、复数22(252)(2)x x x x i ++++-为虚数，则实数x 满足__________．2、若复数212bi i-+（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部是互为相反数，则b = _______． 3、已知集合22{1,2,(31)(56)}M m m m m i =--+--，集合{1,3}P =-，{3}M P = ，则实数m 的值为__________．4、数13z i =+，21z i =-，则21z z z ⋅=在复平面内的对应点位于第__________象限5、2i -的共轭复数是_______．6、设3z i =+，则z 1等于_______． 二、典型例题：例1、已知m ∈R ，复数z =1)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，求当m 为何值时， ⑴ z ∈R ； ⑵ z 是虚数； ⑶ z 是纯虚数； ⑷ z =21+4i ．例2、⑴、已知z=1＋i ，122+-++z z b az z =1－i ，求实数a 、b 的值．⑵、已知x y R ∈，，复数12()z x x y i =--，22(41)z y x i =++，当122(1)z i z i -=-+时， ①、求12||z z ⋅； ②、求()z z 125-的值．⑶、设复数32z =的模||z =23，求实数m 的值例3、(1)复数z 满足,1=z 且()z i ⋅+43是纯虚数，求z(2)求2011321ii i i ++++的值 （3）已知bi ia -=+11其中b a ,是实数。
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(3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律
即对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有
z1 z2 z2 z1 , (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ),
z1(z2 z3 ) z1z2 z1z3.
例2
例2.计算(－2－i )(3－2i)(－1+3i)
先写成分式形式
1 2i 3 4i
(1 2i)(3 4i)
(3 4i)(3 4i)
3 6i 4i 8i2
32 42
5 10i 1 2 i
25
55
练习.计算
然后分母实数化 即可运算.(一般分子 分母同时乘以分母的 共轭复数)
化简成代数形式 就得结果.
⑴ (7 i) (3 4i) ⑵ (1 i )2 ⑶ 1 1
1 i
3 2i 3 2i
练习
练习.1.计算
⑴ (7 i) (3 4i)
1-i
⑵ (1 i )2 1 i
-1
⑶11 3 2i 3 2i
4 i
13
注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、
化简等.
2.若 x 1
2
3 2
i
,则
1 x2
x
_-__1__(.整体代入法妙)
又如计算
6.已知 z 1 3 i ,求 2z3 3z2 3z 9 的值.
22
8
7.在复数集C内，你能将 x 2 y 2分解因式吗？
(x+yi)(x-yi)
练习 3:
1.计算 (2 3i)(2 3i)
13
2 2. 已知 f ( x) x3 2x2 5x 2 ,则 f (1 2i) =_____.
4.已知复数
z
(1
i)2 2
3(1 i
i
),且z2+az+b=1+i,求实数
a,b.
解:
z
2i
2
3 i
3i
3 2
i i
(3 (2
i )( 2 i )( 2
i) i)
6
2i
5
3i
1
1
i.
所以(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,即-2i+a-ai+b=1+i,从而有: (a+b)+(-a-2)i=1+i.
2 6
所以 x 3 ．
练习 2:
1.计算:(1+2 i )2
3 4i
2.计算(i-2)(1-2i)(3+4i) -20+15i
3.计算 (1 i)3 -2+2i
4.若 z C 且 (3 z)i 1 ,则 z -__3_-_i_ . 3
5.已知 m R 且 (m i)3 R ,则 m _____3.
3-i 3. 已知 (3 i)z 10 ,则 z _____.
有两种方法考虑: 法一:直接代入计算.
法二:由 x 1 2i 得 x2 2x 5 0
整体代入妙!
(a bi) (c di) a bi x yi ,那么 x ? , y ? 除法法则: c di
a bi ac bd bc ad (a bi) (c di) c di c2 d 2 c2 d 2 i
注:在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用.
3.已知复数 x2 x 2 ( x2 3x 2)i( x R) 是 4 20i
的共轭复数，求x的值．
解：因为 4 20i 的共轭复数是 4 20i，根据复数相等的定义，
可得
x2 x 2 4,
x
2
3
x
2
20.
解得
x x
3或x 3或x
例1、计算(1－3i )+(2+5i) +(-4+9i)
解:原式= (1 2 4) (3 5 9)i = 111i
2.复数的乘法法则：
(a bi)(c di) ac adi bci bdi2
（ac bd) (bc ad)i
说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数；
(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在
解:原式= =
(6 4i 3i 2i2)(1 (8 i)(1 3i)
3i
)
复数的乘法与多项 式的乘法是类似的. 我们知道多项式的乘法用
= 8 24i i 3i2 = 5 25i 例3.计算(a+bi)(a-bi)
乘法公式可迅速展开, 运算, 类似地,复数的乘法也可大胆 运用乘法公式来展开运算.
解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2001i-20022003i+2004)=501(2-2i)=1002-1002i.
2.已知方程x2-2x+2=0有两虚根为x1, x2, 求x14+x24的值.
解: x1,2 1 i,
x14 x24 (1 i)4 (1 i)4 (2i)2 (2i)2 8.
2x3
2x2 x1
x
=
1 2
3i 2
选做作业:
1. (i 1)3 的虚部是( A )
i
(A) 8
(B) 8i
(C) 8 (D)0
i 2.计算: (1 i )2007 ______ . 1 i
3.已知复数 z (1 i)2 3(1 i) ,且 z2 az b 1 i 2i
( a 、b R ),则 a+b=___1__.
解:原式= a2 (bi)2 = a2 b2 一步到位!
注意 a+bi 与 a-bi 两复数的特点.
定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.
复数 z=a+bi 的共轭复数记作 z, 即 z a bi
思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么z z ? z z ?
练习1 1.计算:(1)i+2i2+3i3+…+2004i2004;
a b 1 a 3
a
2
1
b
4
.
C 练习 1.考察下列各命题，其中真命题是(
)
(A) z1 z2 z1 z2 (B) z12 z22 0 z1 z2 0
(C) z1 z2, z2 z3 z1 z3 (D)z z 0 z 为纯虚数
由刚才的求商过程可以形式上写成(体会其中的过程):
(a bi) (c di) a bi (a bi)(c di) c di (c di)(c di)
ac bd (bc ad )i ac bd bc ad
c2 d2
c2 d2 c2 d2 i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分母实数化
例 1.计算 (1 2i) (3 4i) 解: (1 2i) (3 4i)