11.3.2 一次函数与一元一次不等式.
一次函数与一元一次方程不等式
数学集体备课教案
不等式ax+b＞c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值大于c的对应的自变量取值范围；
不等式ax+b＜c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值小于c的对应的自变量取值范围．
三、互学展示
例2 画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求：
（1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集;
（2）当x取何值时，y<3?
做一做
如图，已知直线y=kx+b与x轴交于点(- 4,0)，则当y>0时，x的取值范围是（）
归纳总结
求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集,从“函数值”看y=kx+b的值大于(或小于)0时，x的取值范围
求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集, 从“函数图象”看确定直线y=kx+b在x轴上方(或下方)的图象所对应的x 取值范围
四、帮学提升
1．一次函数y=kx+3的图象如图所示，则方程kx+3=0的解为 .
2.学习之友p60第2题学生自行回答
组内练习，组长帮助组员解决问题
x −3
y。
一次函数与不等式及应用
一次函数与一元一次不等式【要点梳理】要点一、一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.要点诠释：求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0？从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.要点二、一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.要点三、如何确定两个不等式的大小关系ax b cx d +>+（a ≠c ，且0ac ≠）的解集⇔y ax b =+的函数值大于y cx d =+的函数值时的自变量x 取值范围⇔直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标范围．【典型例题】类型一、一次函数与一元一次不等式1、如图，直线y kx b =+交坐标轴于A （－3，0）、B （0，5）两点，则不等式kx b --＜0的解集为（ ）A ．x ＞－3B ．x ＜－3C ．x ＞3D ．x ＜3举一反三：【变式】如图，直线y kx b =+与坐标轴的两个交点分别为A （2，0）和B （0，－3），则不等式kx b +＋3≥0的解集是（ ）A ．x ≥0B ．x ≤0C ．x ≥2D ．x ≤22、直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式x k b x k 21>+的解为（ ）．A ．1->xB ．1-<xC ．2-<xD ．无法确定举一反三：【变式】直线1l ：1y k x b =+与直线2l ：2y k x c =+在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式1k x b +＜2k x c +的解集为（ ）A ．x ＞1B ．x ＜1C ．x ＞－2D ．x ＜－ 23、画出函数21y x =+的图象，并利用图象求：(1)方程2x ＋1＝0的解；(2)不等式2x ＋1≥0的解集；(3)当y ≤3时，x 的取值范围；(4)当－3≤y ≤3时，x 的取值范围．举一反三【变式】已知直线y=kx+b 经过点A （5，0），B （1，4）．（1）求直线AB 的解析式；（2）若直线y=2x ﹣4与直线AB 相交于点C ，求点C 的坐标；（3）根据图象，写出关于x 的不等式2x ﹣4＞kx+b 的解集． y=k 2-1-2y x y=k 1x+b O类型二、用一次函数的性质解决不等式的实际问题4、某超市预购进A 、B 两种品牌的T 恤共200件，已知两种T 恤的进价如表所示，设购进A 种T 恤x 件，且所购进的两种T 恤全部卖出，获得的总利润为W 元．品牌 进价/（元/件） 售价/（元/件）A 50 80B 40 65（1）求W 关于x 的函数关系式；（2）如果购进两种T 恤的总费用不超过9500元，那么超市如何进货才能获得最大利润？并求出最大利润．（提示：利润=售价﹣进价）【巩固练习】1.已知函数y=2x+6,要使y<0,那么x 应( )A.大于-3B.小于-3C.大于0D.小于02.如图,已知一次函数y=kx+b 的图象经过点A(5,0)与B(0,-4),那么关于x 的不等式kx+b<0的解集是( )A.x<5B.x>5C.x<-4D.x>-43.如图,直线1y =x+b 与2y =kx-1相交于点P,点P 的横坐标为—1,则关于x 的不等式x+b>kx-1的解集在数轴上表示正确的是( )4.已知一次函数y=ax+b 的图象与x 轴的交点为A(2,0),交y 轴于B(0,1),那么不等式ax+b<0的解集为( )A.x>1B.x<1C.x>2D.x<25.已知1y =x+2,2y =2x-3,则当1y <2y 时,x 的取值范围是( )A.x>5B.x>-5C.x<5D.x<-56.已知函数y=(2m-1)x 的图象上两点A(1x ,1y ),B(2x ,2y ),当1x <2x 时,有1y >2y ,那么m 的取值范围是( )A.21m <B.21m > C.m<2 D.m>0 7.一艘轮船以20km/h 的速度从甲港驶往160km 远的乙港,2h 后,一艘快艇以40km/h 的速度也从甲港驶往乙港轮船行驶的路程1s (km)和快艇行驶的路程2s (km)与时间t(h)的图像如图,则下列判断错误的是( )A.4h 前,1s >2sB.5h 前,1s <2sC.4h 前,1s <2sD.5h 后,1s <2s8.函数y=ax+b 的图象如图所示,则方程ax+b=0的解为 ,不等式0<ax+b ≤2的解集为 .9.一次函数y=2x-8与x 轴的交点坐标是 .当函数值大于0时,x 的取值范围是 ;当函数值小于0时,x 的取值范围是 .10.已知一次函数y=kx+b 的图像如图,当y>0时,x 的取值范围是11.如图,已知函数y=2x+b的图象与函数y=kx-3的图象交于点P,则不等式kx-3>2x+b的解集是 .12.如图,某航空公司托运行李的费用与托运行李的质量的关系为一次函数,由图可知行李的质量只要不超过千克,就可以免费托运.13.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图像如图,则当x 时,y>3;当x 时,y=0;当x 时,y<2.14. 如图，直线l1：y1=− x+m与y轴交于点A（0，6），直线l2：y2=kx+1分别与x轴交于点B（-2，0），与y轴交于点C．两条直线相交于点D，连接AB．（1）求两直线交点D的坐标；（2）求△ABD的面积；（3）根据图象直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．15. 已知直线y=kx+5交x轴于A，交y轴于B且A坐标为（5，0），直线y=2x﹣4与x轴于D，与直线AB相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+5的解集；（3）求△ADC的面积．16. 如图，函数y=2x和y=﹣x+4的图象相交于点A，（1）求点A的坐标；（2）根据图象，直接写出不等式2x≥﹣x+4的解集．22. 如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3）（1）求m，a的值；（2）根据图象，直接写出不等式2x＞ax+4的解集．一次函数的应用【要点梳理】要点一、数学建模的一般思路数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.要点二、正确认识实际问题的应用在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要点诠释：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.要点三、选择最简方案问题分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 【典型例题】类型一、简单的实际问题1、如图，是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象．下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是（）A．①② B．②③④ C．②③ D．①②③举一反三：【变式】小刚、小强两人进行百米赛跑，小刚比小强跑得快，如果两人同时跑，小刚肯定赢，现在小刚让小强先跑若干米，图中的射线a，b分别表示两人跑的路程与时间的关系，根据图象判断：小刚的速度比小强的速度每秒快（）A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米2、小丽的家和学校在一条笔直的马路旁，某天小丽沿着这条马路上学，先从家步行到公交站台甲，再乘车到公交站台乙下车，最后步行到学校（在整个过程中小丽步行的速度不变），图中折线ABCDE表示小丽和学校之间的距离y（米）与她离家时间x（分钟）之间的函数关系．（1）求小丽步行的速度及学校与公交站台乙之间的距离；（2）当8≤x≤15时，求y与x之间的函数关系式．类型二、方案选择问题3、某经营世界著名品牌的总公司，在我市有甲、乙两家分公司，这两家公司都销售香水和护肤品．总公司现香水70瓶，护肤品30瓶，分配给甲、乙两家分公司，其中40瓶给甲公司，60瓶给乙公司，且都能卖完，两公司的利润（元）如下表．（1）假设总公司分配给甲公司x瓶香水，求：甲、乙两家公司的总利润W与x之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，甲公司的利润会不会比乙公司的利润高？并说明理由；（3）若总公司要求总利润不低于17370元，请问有多少种不同的分配方案，并将各种方案设计出每瓶香水利润每瓶护肤品利润甲公司180 200乙公司160 150举一反三：【变式】健身运动已成为时尚，某公司计划组装A、B两种型号的健身器材共40套，捐赠给社区健身中心.组装一套A型健身器材需甲种部件7个和乙种部件4个，组装一套B型健身器材需甲种部件3个和乙种部件6个.公司现有甲种部件240个，乙种部件196个.（1）公司在组装A、B两种型号的健身器材时，共有多少种组装方案；（2）组装一套A型健身器材需费用20元，组装一套B型健身器材需费用18元.求总组装费用最少的组装方案，最少组装费用是多少？4、2011年秋冬北方严重干旱，凤凰社区人畜饮用水紧张，每天需从社区外调运饮用水120吨.有关部门紧急部署，从甲、乙两水厂调运饮用水到社区供水点，甲厂每天最多可调出80吨，乙厂每天最多可调出90吨.从两水厂运水到凤凰社区供水点的路程和运费如下表：（1）若某天调运水的总运费为26700元，则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水？（2）设从甲厂调运饮用水x吨，总运费为W元，试写出W关于与x的函数关系式，怎样安排调运方案才能是每天的总运费最省？举一反三：【变式】（2015•广安）为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A、B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表：A村（元/辆）B村（元/辆）目的地车型大货车800 900小货车400 600（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式．（3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．【巩固练习】一.选择题1. 在西部大开发中，为了改善生态环境，鄂西政府决定绿化荒地，计划第1年先植树1.5万亩，以后每年比上一年增加1万亩，结果植树总数是时间（年）的一次函数，则这个一次函数的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．2. 弹簧的长度与所挂物体的质量的关系为一次函数，如图所示，由此图可知不挂物体时弹簧的长度为（ ）A ．7cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm3. 如图，L 甲、L 乙分别是甲、乙两弹簧的长y cm 与所挂物体质量x kg 之间函数关系的图象，设甲弹簧每挂1kg 物体伸长的长度为k 甲cm ，乙弹簧每挂1kg 物体伸长的长度为k 乙 cm ，则k 甲与k 乙的关系是（ ）A ．k 甲＞k 乙B ．k 甲＝k 乙C ．k 甲＜k 乙D ．不能确定二.填空题4. 如图，1l 反映了某公司的销售收入与销量的关系，2l 反映了该公司产品的销售成本与销量的关系，当该公司赢利（收入＞成本）时，销售量必须_______.S （千t （时）0 1022 7.50.5 3 1.5 l B l A5. 小敏从A 地出发向B 地行走，同时小聪从B 地出发向A 地行走，如图所示，相交于点P 的两条线段12l l 、分别表示小敏、小聪离B 地的距离()y km 与已用时间()x h 之间的关系，则小敏、小聪的速度分别是______________.三、解答题6、某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x （分钟）与相应话费y （元）之间的函数图象如图所示：（１）月通话为100分钟时，应交话费 元；（２）当100x ≥时，求y 与x 之间的函数关系式；（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？7、如图，,A B l l 分别表示A 步行与B 骑车在同一路上行驶的路程S 与时间t 的关系。
一次函数与一元一次不等式的关系
一次函数与一元一次不等式的关系一次函数和一元一次不等式是初中数学中比较基础的知识点，两者之间也有着密切的联系。
本文将从定义、性质、图像等方面探讨一次函数和一元一次不等式之间的关系。
一、一次函数的定义一次函数是指形如 $y=kx+b$ 的函数，其中 $k$ 和 $b$ 都是常数，$x$ 和 $y$ 是变量。
其中，$k$ 称为斜率，表示函数图像的倾斜程度；$b$ 称为截距，表示函数图像与 $y$ 轴的交点。
二、一元一次不等式的定义一元一次不等式是指形如 $ax+b>0$ 或 $ax+b<0$ 的不等式，其中 $a$ 和 $b$ 都是实数，$x$ 是变量。
其中，$a$ 表示不等式左侧的系数，$b$ 表示不等式右侧的常数。
三、一次函数的性质1. 斜率为正，则函数是单调递增的；斜率为负，则函数是单调递减的。
2. 截距表示函数与 $y$ 轴的交点，当 $x=0$ 时，$y=b$。
3. 一次函数的图像是一条直线，可以通过两个点来确定。
四、一元一次不等式的性质1. 当 $a>0$ 时，不等式的解集为 $x>-b/a$；当 $a<0$ 时，不等式的解集为 $x<-b/a$。
2. 如果不等式中的 $<$ 变成了 $leq$ 或 $geq$，则解集不变。
3. 如果不等式中的 $>$ 和 $<$ 交换，不等式的解集也随之交换。
五、一次函数和一元一次不等式的关系1. 一次函数的图像可以用来表示一元一次不等式的解集。
例如，不等式 $2x+3>0$ 的解集可以表示成一次函数 $y=2x+3$ 在$y>0$ 区域的图像。
2. 一元一次不等式的解集也可以用来表示一次函数的定义域或值域。
例如，不等式 $3x-1<5$ 的解集为 $x<2$，则一次函数$y=3x-1$ 的定义域为 $(-infty, 2)$。
3. 一次函数的斜率和截距也可以用来确定一元一次不等式的形式。
人教版八年级数学143一次函数与一次不等式课件
用画函数图象的方法解不等式： 例2 用画函数图象的方法解不等式：5x+4＜2x+10 ＜ 解法1： 整理为： 解法 ： 把5x+4＜2x+10整理为：3x-6 ＜0 ＜ 整理为 画出y=3x-6的图像 的图像 画出 由图像可以看出：当x ＜ 由图像可以看出： 2时这条直线上的点在 轴 时这条直线上的点在x轴 时这条直线上的点在 的下方，这时y=3x-6 ＜0 的下方，这时 即：此不等式的解集为x ＜2 此不等式的解集为
-6 y=3x-6
2
解法2： 解法 ：把5x+4＜2x+10看做两个一次函数 ＜ 看做两个一次函数 y=5x+4和y=2x+10 和 画出y=5x+4和y=2x+10的图象 和 画出 的图象 由图象可知： 由图象可知：它们的交点 的横坐标为2。 的横坐标为 。
时直线y=5x+4 上的点都在直 当x ＜2时直线 时直线 的下方， 的下方 ＜ 线y=2x+10的下方，即5x+4＜2x+10 -5 2 10 4
的图象。 函数 y=2x-4 的图象。 可以看出当x＞ 时 可以看出当 ＞2时，直线上 的点全在轴的上方。 的点全在轴的上方。 即：x＞2时 y=2x-4 ＞0 ＞ 时
y=2x-4
由此可知： 由此可知：通过函 数图象可以求不等 式的解集
2
-4
从“形” 上看
由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b ＞ 由于任何一元一次不等式都可以转化为 0或ax+b＜0(a,b为常数，a≠0)的形式，所以解一 为常数， 的形式， 或 ＜ 为常数 的形式 元一次不等式可以看作： 元一次不等式可以看作：当一次函数值大于或 小于0时 求自变量相应的取值范围。 小于 时，求自变量相应的取值范围。
八年级数学一次函数与一元一次不等式1
八年级 数学
第十一章 函数 一次函数与一元一次不等式
11.3用函数观点看方程(组)与不等式
已知一次函数 y = 2x+1,根据它的图象回答下列问题. (1) x 取什么值时,函数值 y 为1? (2) x 取什么值是,函数值 y 大于3? (3) x 取什么值时,函数值 y 小于3?
解：作出函数 y = 2x+1的图象 及直线y = 3 （如图）
八年级 数学
第十一章 函数 一次函数与一元一次不等式
11.3用函数观点看方程(组)与不等式
作业： P45页第3、4题，P46页第7题。
某电信公司的Ａ类手机收费标准：不管通话时间 多长，每部手机必须缴月租费５０元，另外每通 话１分钟交费０.４元；Ｂ类手机收费如下：没 有月租费，但每通话１分钟收费０.６元。 （1）分别写出Ａ类、Ｂ类标准下每月应交费 用y元与通话时间x（分）之间的关系式； （2）什么情况下选择Ａ类收费标准？ （3）什么情况下选择Ｂ类收费标准？
从图中可知：
y = 2x +1 y= 3
（1）当 x = 1 时，函数值 y 为1。 （2）当x > 1 时，函数值 y 大于3。 （3）当x <1 时，函数值 y 小于3。
八年级 数学
第十一章 函数 一次函数与一元一次不等式
11.3用函数观点看方程(组)与不等式
八年级 数学
第十一章 函数 一次函数与一元一次不等式
即这时y = 3x -6 <0 所以不等式的解集为x<2
八年级 数学
第十一章 函数 一次函数与一元一次不等式
11.3用函数观点看方程(组)与不等式
解法二：画出函数 y = 2x+10 y = 5x+4图象 从图中看出：当x <2时
一元一次不等式与一次函数
一元一次不等式与一次函数
一元一次不等式和一次函数是初中数学中的两个重要概念，它们的关系如下：
一元一次不等式：指只有一个未知数（一元），且方程中未知数的最高次数为1（一次）的不等式，例如：2x+1>5 或者x-3<7。
一次函数：指只有一个未知数（一元），且方程中未知数的最高次数为1（一次）的函数，例如：y=2x+1 或者y=x-3。
这两个概念之间的关系在于，我们可以将一元一次不等式转化为一次函数的形式进行分析和解决。
具体来说，我们可以将不等式中的未知数视为函数的自变量x，将不等式的两边分别视为函数的因变量y，例如：2x+1>5 可以转化为y=2x+1 和y=5 两个函数，我们可以画出这两个函数的图像，通过比较函数图像来解决不等式的解集。
例如，将不等式x-3<7 转化为一次函数的形式，得到y=x-3 和y=7 两个函数，我们可以在坐标系中画出这两个函数的图像，发现两个函数的交点在x=10 处，因此不等式的解集为x<10。
总之，一元一次不等式和一次函数之间有着紧密的联系，将不等式转化为函数的形式可以帮助我们更好地分析和解决问题。
一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系
１、一元一次方程于一元一次不等式的关系： 当 函数值确定 时，求 与之对应的自变量
的值，就是解一元一次方程。从图象上看，这 相当于已知 横坐标 ，确定 纵坐标 的值。
2、一次函数与一元一次不等式的关系： （1）一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0（a≠0） 是一次函数y=ax+b（a≠0）• 的函数值 y 不等于０ 的情形． （2）直线y=ax+b上使函数值y>0（x轴上方的 图像）的x的取值范围是ax+b ＞ 0的解集；使 函数值y<0（x轴下方的图像）的x的取值范围是 ax+b ＜ 0的解集．
一根长20cm的弹簧，一端固定，另一端 挂物体。在弹簧伸长后的长度不超过 30cm的限度内，每挂1㎏质量的物体，弹 簧伸长0.5cm.如果所挂物体的质量为x㎏， 弹簧的长度是ycm。 （1）、求y与x之间的函数关系式， 并画出函数的图象。
（2）、求弹簧所挂物体的最大质量是 多少？ （3）、能否用不等式求解问题（2）？
例1 如图是一个一次函数的图像，请根据图像回 答问题： （1）求出直线对应的一次函数的表达式 ； （2）当x＝0时，y＝ ，当y＝0时，x＝ ； 当y=4时,x= .
1 （3）一元一次方程 x 2 0 2 1 和一次函数 y x 2 2
有什么联系？
例2 画出函数y=-3x+12的图像，利用图像求： （1）不等式-3x+12>0的解集． （2）不等式-3x+12≤0的解集． （3）当2<y<16时,x的取值范围.收获和体会Fra bibliotek随堂演练
1、p32页练习。 2、在一次函数y=2x-3中，已知x=0 则y= ；若已知y=2则x= ； 3、当自变量x 时，函数 y=3x+2的值大于0；当x 时， 函数y=3x+2的值小于0。 4、已知函数y=-3x+6，当x y>0.当x 时，y≤-2。 时，
一元一次不等式与一次函数整理
一元一次不等式与一次函数整理一元一次不等式和一次函数是初中数学中的重要内容，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文将从概念、性质、解法和应用四个方面来介绍一元一次不等式和一次函数。
一、概念一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式，例如：ax+b>c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
一次函数是指函数的表达式为y=kx+b，其中k、b为常数，x、y为自变量和因变量。
二、性质1. 一元一次不等式的解集是一个区间，可以用数轴表示出来。
2. 一次函数的图像是一条直线，斜率k表示函数的增长速度，截距b表示函数的起点。
3. 一元一次不等式和一次函数都具有可加性和可减性，即若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
三、解法1. 一元一次不等式的解法有两种：图像法和代数法。
图像法是将不等式转化为数轴上的图形，通过观察图形来确定解集。
代数法是通过移项、化简等代数运算来求解。
2. 一次函数的解法是通过求出函数的斜率和截距，然后画出函数的图像，根据图像来确定函数的性质和解析式。
四、应用1. 一元一次不等式和一次函数在经济学中有着广泛的应用，例如：利润、成本、收益等问题都可以用一次函数来描述。
2. 一元一次不等式和一次函数在物理学中也有着重要的应用，例如：速度、加速度、力等问题都可以用一次函数来描述。
3. 一元一次不等式和一次函数在生活中也有着实际的应用，例如：购物打折、优惠券等问题都可以用一元一次不等式来描述，而房价、工资等问题都可以用一次函数来描述。
一元一次不等式和一次函数是初中数学中的重要内容，它们在实际生活中有着广泛的应用。
掌握一元一次不等式和一次函数的概念、性质、解法和应用，对于提高数学素养和解决实际问题都有着重要的意义。
一次函数与不等式
由40页两个问题的关系，能进一步 得到“解不等式 aX+b＞0” 与“求 自变量X在什么范围内，一次函数 Y=ax+b的值大于0”有什么关系？
例Hale Waihona Puke （略）例2Y=2x+10
0
2 0 Y=5x+4 2
-6
由于任何一元一次不等式都可 以转化为ax+b>0或ax+b<0(a， b为常数，a≠0）的形式，所 以解一元一次不等式可以看作： 当一次函数值大（小）于0时， 求自变量相应的取值范围。
11.3.2
一次函数与一元 一次不等式
学习目标
理解一次函数与一元一次不等 式的关系，会根据一次函数的 图象解决一元一次不等式的求 解问题。
学习用函数的观点看待不等式 的方法。
学习重点
一次函数与一元 一次不等式的关 系的理解
学习难点 利用一次函数图像 确定一元一次不等 式的解集。
自学指导： 教材40页到41页思考：
本节课我们都学习了 什么？
作业：45页3、 4
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幸运の是,我们炽火位面,也就是炽火大陆.空间乱流内,也有一出小神阁,而连接通道就是落神山,至于我们大陆能进入の实力境界,只有帝王境,高于或者低于这境界の都不能进入.或者可以说,高于帝王境界の根本不能进入,低于帝王境界の进入者,百分百死亡！" 夜青牛の话 落下之后,夜轻舞和白重炙沉默了良久在反应过来,两人对视一眼,面面相觑,各自从对方の眼神中看到了惊意.同时两人脑海中想の最多の就是,他们还真是两只井底の青蛙啊,原本他们以为他们の实力和见识都是很强大了,只是没有想到炽火大陆の水竟然还有那么深,他们或许 只是看清楚了其中一个小小角落… "那么落神山不是很危险?"夜轻舞拍了拍心口,表示着他の震惊,歪着头问道. "落神山有三关,你们要牢记,以后进去寻宝一定要小心.第一关一进入落神山,首先会进入迷幻之境,这是那位古神设置の强大幻境,灵魂境界没有达到帝王境者,百 分百永远走不出这个幻境,甚至直接死亡,所以我说帝王境下地练家子进入必死.第二傀儡山,在里面你会遇到和你一模一样实力の傀儡,而且在里面你不能使用任何技能,因为他是傀儡没有灵魂,技能无效,除非你感悟了天地法则,否则一辈子你都打不赢他,而打不赢他,你就休想 过第二关.第三关…不知道是什么情况,因为进入の都死了…" "额…那么生猛,第三关都没有人成功进去过?那么炽火大陆那么多宝器圣器,是怎么得来の?"白重炙听得一阵心惊肉跳,同时又感觉热血沸腾,心急问道. 夜青牛好气又好笑の骂道："你个笨蛋,第三关过去了,那人就 直接进入小神阁,就能得到小神阁の重宝,落神山也就会直接毁灭……至于圣器,只要进入落神山,你就有机会获得宝物,落神山中央连接通道内,会偶尔飞射出宝物,能不能碰到那就是你の运气了,当然每次天路开启の时候,炽火大陆才会组织帝王境の人前去探宝,时间为十天,大 家都只会在第一关,第二关碰碰运气,很少人甚至说几乎没有人去第三关,记住你们日后去探宝,也不能进入第三关,宝物虽然重要,但是命更重要！" "哦！这样啊,嘻嘻！蛮好玩得,小寒子,努力修炼,日后我们两人一同去寻宝去！"夜轻舞显然没有将夜青牛の警告放在心里,嘻嘻 笑道. "我父亲,当年是怎么死の?"白重炙没有理会夜轻舞,而是愣愣の看着夜青牛,问起了夜刀の死因. "唉…你父亲那个蠢货！"夜青牛摇了摇头,有些无奈,有些叹息说道："你父亲本来三十年前の混乱府战,凭借の他惊人の实力,和八品の战智龙狮,在府战大发神威,名声大噪, 本来你爷爷の意思,不允许他参加十年前の落神山寻宝,避免被妖族蛮族の人盯上,围杀.只是没想到,你父亲那个蠢货,竟然连夜跑出了白家,孤身在天路开启の第一时间偷偷溜了进去,结果被妖族四名妖帝围杀,等到世家众人发现已经奄奄一息了…" "额…居然是这种情况！"白 重炙淡淡の点了点头,心里确实对明日即将到达の落神山更加好奇起来,大陆三大绝地之一,到底是什么模样哪? 当前 第壹柒肆章 壹６５章 五年之约 "吱呀！" 车队缓缓停在了一处小河边,马车外开始喧闹起来,日以快要落下,大部队看来是要找地方安营扎寨了,几日来白天 黑夜の赶路,众人估计都有点乏了,决定在此地休息一夜,明日继续开拔. "太上长老,寒公子,舞女主,营帐已经扎好,可以下去休息一下！" 片刻之后夜平の声音淡淡の冲马车外传来,夜青牛点了点头,朝两人看了一眼,率先走下马车,白重炙为夜轻舞挤了挤眼睛,拉着她の手准备 和她一起下去.夜轻舞白了他一眼,娇艳欲滴の小嘴巴,翘了俏,甩开他の手率先跟着夜青牛走了下去. "见过夜长老！" 夜青牛一下去,外面の诸位世家长老和公子,连忙行礼.在场夜青牛实力和辈分都是最高の,而夜青牛号称破仙府攻击力前三,得到这样の礼遇也是理所当然の. "呵呵,都随意吧,这次赶路那么急,大家都辛苦了！"夜青牛笑呵呵の点头说道,毫不客气の在一个已经烧好の火堆旁边坐下. "寒少,舞女主,这边来坐！"另外一边の风紫则朝白重炙招了招手,示意白重炙他们去另外一个火堆,那边花草月倾城和龙赛男,龙水流已经在哪里围坐起 来. "恩！"白重炙朝夜青牛和诸位长老拱了拱手,和夜轻舞朝那边走去.年轻人都是喜欢和年轻人坐在一起,没有压力,也随意一些. "来,来,来！寒少,这是你の位置,和弟妹安排在一起の,舞女主你也坐寒少旁边吧！"风紫嘿嘿一笑拉着白重炙指了指月倾城旁边の位置,调笑道. "额,风大公子,最近很活跃啊,要不到时候叫倾城送静湖子弟の时候,给你特别の选选?"白重炙见自己家媳妇被调戏当然不干了,利马开始反击起来,人却不客气,径直坐在了月倾城身边,毫不掩饰自己の态度. "汗,这个就不用了,按往常规格就行了！嘿嘿,算我失言,我自罚一 坛！"风紫一听连忙投降,要是月倾城不顾月家の名声,送自己几个丑八怪,自己也是哑巴吃黄连,有苦说不出啊. 月倾城,见自己男人丝毫不掩饰对自己の维护,心情大好,抬起头和白重炙微微一笑,然后对着风紫伸出了两根犹如葱白般の手指,道："两坛！" "哈哈！"众人一阵大 笑,在府战岛他们见识了月倾城の厉害,此刻风紫自己送上门去,没事找事,这不是老寿星上吊,嫌活得太长啊. 随行の护卫将一份份烧好の肉食内抬了上来,一坛坛美酒也送了上来.不过估计是夜青牛那边有吩咐,酒并没有上多少.当然众人也知道明日还要继续赶路,而且有长辈 在,他们也不敢大醉.于是众人开始吃着美食喝着美酒,聊起了闲话. "明日就要路过落神山了,大家可得好好观察一翻,将来有机会可都要进里面去寻宝の呀！尤其是寒少,说不定五年后你就能进去寻宝了."龙水流一手端起酒坛,大喝一口,一张英俊の脸隐隐有些失落,看到白重 炙坐在几个绝世美女身边,和这个说说,又转过去和那个调调情,心里未免有些微微の不平衡,似乎…好事都给白重炙这小子占尽了！ "呵呵,世事无常,说不定过几年,龙公子你突然就突破了帝王家也说不定！额…落神山,当然是个好地方,有机会一定要进去瞧瞧！"白重炙本来 在和月倾城细细私语,见龙水流说道自己,也只好回应一句. 龙赛男却淡淡憋了龙水流一眼,看出了他严重の淡淡失落,忍不住の教训到："呵呵,他…他要是把花在女人身体上の心思,放在修炼上,现在元帅境倒是最少の.这次回去大家都要好好修炼,争取五年后跟我一同进入落 神山寻宝,圣器宝器或许有机会突破三关,或者小神阁内の重宝也说不定！" "小神阁?重宝?比圣器还要重?"龙赛男の话语引起了众人の注意,白重炙他们倒是今日从夜青牛那里得知了一些,而花草和风紫月倾城龙水流,则还没有达到一定の实力,他们世家当然不会将这些炽火大 陆の秘闻告诉他们.花草首先忍不住,问了出来,花家对于寻宝探险这种事情可是最热衷の. "具体情况,你们自个问你们家长老去.我只告诉你们,落神山,传说可是有机会能得到神器！当然数千年来,是否有人得到过神器,这点无人知道,但是传说中,只要能三关者是绝对能拿到 神器の！如果五年之后天路开启,我们进去就说不定能拿到神器,当然这个要看运气了.落神山の宝物,能不能得到,不完全看实力,很大一部分都是看运气…"龙赛男凯凯而谈,身为龙府主の独女,而且天资如此之高,龙城の资料库当然是对她全部开放の,她也了解了许多人不曾了 解の秘闻. "神器！" 龙赛男の一番话说の众人心里火热火热の,几大世家最高级の只有寥寥几件圣器,而且他们根本还没机会去接触,别说使用了.现在他们被告知,落神山内竟然有大量の圣器,而且还有传说中の神器,他们当然一阵心动,一阵澎湃. 龙赛男看了众人の表情,满 意の点了点头,这次府战之行,几人经过一年多の接触,成为了生死相交の朋友.既然是朋友,那么她则有必要激励一下他们努力修炼,尤其是花菜风紫和龙水流,虽然
一次函数与一元一次方程和不等式同步辅导(含答案)--绝对经典
11.3.1 -11.3.2 一次函数与一元一次方程和不等式重点知识讲解1．一元一次方程ax+b=0（a≠0）与一次函数y=ax+b（a≠0）的关系（1）一元一次方程ax+b=0（a≠0）是一次函数y=ax+b（a≠0）的函数值为0时的特殊情形．（2）直线y=ax+b与x轴交点的横坐标就是一元一次方程ax+b=0的解x=-ba。
2．一元一次不等式与一次函数的关系（1）一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0（a≠0）是一次函数y=ax+b（a≠0）•的函数值不等于0的情形．（2）直线y=ax+b上使函数值y>0（x轴上方的图像）的x的取值范围是ax+b>0的解集；使函数值y<0（x轴下方的图像）的x的取值范围是ax+b<0的解集．经验与方法技巧1．利用一次函数求一元一次方程的解题步骤（1）将一元一次方程化成ax+b=0的形式．（2）画出y=ax+b的图像，确定其与x轴交点的横坐标．2．利用一次函数求一元一次不等式的解集的技巧根据不等式的特点，灵活采用求解方法：（1）利用一个一次函数；（2）•利用两个一次函数．典型例题例1画出y=-3x+5的图象，利用图像求方程-3x+5=0的解．解析取点（0，5），（53，0），图像如图所示．∵直线y=-3x+5与x轴交点的横坐标为53，∴方程-3x+5=0的解为x=53。
评注画函数图像时要准确，求出直线y=-3x+5与x•轴交点的横坐标即为方程的解．例2画出函数y=-3x+12的图像，利用图像求：（1）不等式-3x+12>0的解集．（2）不等式-3x+12≤0的解集．（3）如果y的值在-6≤y≤6的范围内，那么相应的x的值在什么范围内？解析取点（0，12），（4，0），作出函数图像，如图所示，由图像可以看出：（1）当y>0时，x的取值范围为x<4，∴不等式-3x+12>0的解集为x<4．（2）当y≤0时，x的取值范围为x≥4．∴不等式-3x+12≤0的解集为x≥4．（3）当-6≤y≤6时，x的取值范围为2≤x≤6．评注借助图像求不等式的解集，关键是要清楚以下几点：①y>0时，x•的取值范围就是x轴上方的图像所对应的x的取值范围．②y<0时，x的取值范围就是x•轴下方的图像所对应的x的取值范围．③y=0时，x的值就是图像与x轴交点的横坐标．④当y>a或y<a（a≠0）时，应先确定当y=a时对应的x值，然后再进一步确定x的取值范围．例3若y1=-x+3，y2=3x-4，当x取何值时，y1<y2？解析∵y1<y2，∴-x+3<3x-4，解得x>74，∴当x>74时，y1<y2．评注此题是两个一次函数之间的关系，可以直接借助一元一次不等式求出x的取值范围．教材例题习题的变形题例（P41例2）用画图像的方法解下列各题：（1）解不等式：5x+4>2x+10．（2）解方程：5x+4=2x+10．解析（1）如图，原不等式可化为3x-6>0，画出直线y=3x-6，由图像可以看出，当x>2时，这条直线上的点在x轴的上方，即这时y=3x-6>0，所以不等式的解集为x>2．（2）原方程可化为3x-6=0．由图像可以看出，y=3x-6与x轴交点的横坐标为2，所以原方程的解为x=2．评注①从函数的角度看问题，能发现一次函数与一元一次不等式、•一元一次方程之间的联系，体现了数形结合的思想．②本题求不等式的解集时，还可将不等式的两边分别看作两个一次函数，画出两条直线，比较直线上点的位置的高度，也可求得不等式的解集．学科内综合题例1甲、乙两辆摩托车分别从相距20km的A，B两地出发，相向而行，图中的L1，L2分别表示甲、乙两辆摩托车离开A地的距离s（km）与行驶时间t（h）•之间的函数关系．（1）哪辆摩托车的速度较快？（2）经过多长时间，甲摩托车行驶到A，B两地的中点？解析（1）由图像可以看出，甲摩托用了0．6h行驶了20km，而乙摩托车用了0．•5h 行驶了20km，所以乙摩托车的速度较快．（2）设L1的关系式为y=kx，把x=0．6，y=20代入，得20=0．6k，解得k=1003，∴y=1003x.当y=10时，10=1003x．所以经过0．3h，甲摩托车行驶到A，B两地的中点．评注本题第（1）题是比较速度的大小，这一点可以通过图像提供的数量直接分析出来．第（2）题的关键是要分析出甲摩托车行驶到中点时所行驶的路程为10km．例2已知y=12x-2．（1）x取何值时，y>0？（2）x取何值时，y<0？（3）当x>4时，求y的取值范围．解析作出y=12x-2的图像，如图所示．（1）当x>4时，y>0．（2）当x<4时，y<0．（3）当x>4时，y的取值范围是y>0．评注本题可以通过图像直观地得出结论．综合应用题例1某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10～20人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，•甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，再给其余游客八折优惠．该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？解析设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时所需的费用为y1元，选择乙旅行社时所需的费用为y2元，则y1=200×0．75x，即y1=150x；y2=200×0．8（x-1），即y2=160x-160．由y1=y2，得150x=160x-160，解得x=16；由y1>y2，得150x>160x-160，解得x<16；由y1<y2，得150x<160x-160，解得x>16．因为参加旅游的人数估计为10～20人，所以，当x=16时，甲、•乙两家旅行社的收费相同；当17≤x≤20时，选择甲旅行社费用较少；当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少．评注已知前提条件，设计方案是解决实际问题的一种常见形式．明确每一种收费方式占优势时对应的自变量的取值范围是解决此类问题的关键，•借助不等式就可确定自变量的取值范围．例2兄弟俩赛距，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑．已知弟弟每秒跑3m，•哥哥每秒跑4m．列出函数关系式，作出函数图像，观察图像回答下列问题：（1）何时弟弟跑在哥哥前面？（2）何时哥哥跑在弟弟前面？（3）谁先跑过20m？谁先跑过100m？解析设哥哥跑了ts，则哥哥所跑的路程与时间的关系式为s1=4t；弟弟所跑的路程与时间的关系为s2=3t+9．图像如图所示．当s1=s2时，4t=3t+9，t=9．（1）当0≤t<9时，弟弟跑在哥哥的前面．（2）当t>9时，哥哥跑在弟弟的前面．（3）∵20<36，∴弟弟先跑过20m．∵100>36，∴哥哥先跑过100m．评注本题可以从时间或路程两个角度进行分析．在同一时间内，谁跑的路程远，谁就在前面，谁就先跑过20m，100m．也可比较他们各自所用的时间，谁用的时间短，•谁就先跑过．本题既可以通过计算来进行比较，也可通过图像直观地进行判断．创新题例（探究题）我边防局接到情报，在离海岸5海里处有一可疑船只A•正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶．图中L1，L2分别表示两船相对于海岸的距离s（海里）与追赶时间t（min）之间的关系．（1）A，B哪一个的速度快？（2）至少要用多长时间才能追上可疑船只A？解析由图像可确定L表示快艇B的图像，L表示可疑船只A的图像．（1）快艇10min行驶了5海里，所以其速度为5÷10=0．5（海里/min）．可疑船只10min行驶了7-5=2（海里），所以其速度为2÷10=0．2（海里/min）．所以快艇B的速度快．（2）设L1的关系式为y1=kx，把（10，5）代入，得5=10k，解得k=0．5，∴y1=0．5x．设L2的关系式为y2=kx+5，把（10，7）代入，得7=10k+5，解得k=0．2，∴y2=0．2x+5．当y1≥y2，即0．5x≥0．2x+5时，0．3x≥5，x≥503.所以至少需要503min，快艇才能追上可疑船只．中考题例（2004年苏州卷）如图，平面直角坐标系中画出了函数y=kx+b的图像．（1）根据图像，求k和b的值．（2）在图中画出函数y=-2x+2的图像．（3）求x的取值范围，使函数y=kx+b的函数值大于函数y=-2x+2的函数值．解析（1）∵直线y=kx+b经过点（-2，0），（0，2）．∴02,20,k bb=-+⎧⎨=+⎩解得1,2,kb=⎧⎨=⎩∴y=x+2．（2）y=-2x+2经过（0，2），（1，0），图像如图所示．（3）当y=kx+b 的函数值大于y=-2x+2的函数值时，也就是x+2>-2x+2，解得x>0，•即x 的取值范围为x>0．11.3.1 一次函数与一元一次方程同步练习［要点再现］1.由于任何一元一次方程都可以转化为 的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当 时，求 的值。
一元一次不等式与一次函数
知识回顾：1、定义：不等式：一般地用不等号连接的式子叫做不等式。
2、不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
3、解不等式：把不等式变为x>。
或x<a的形式。
一、知识要点:1、一次函数的定义:若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b（k,b为常数，kHO）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量）。
当b=0时，y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的解析式：y=kx+b（kH0）注:一次函数的解析式的形式是y=d+b,要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式.一次函数一般形式y=kx+b（k不为零）①k不为零②x指数为1③b取任意实数一次函数y=kx+b的图象是经过（0,b）和（-纟，0）两点的一条直线，我们称它为直线ky=kx+b,它可以看作由直线尸kx平移|b|个单位长度得到.（当b〉0时，向上平移；当b〈0时，向下平移）（1）解析式：（k、b是常数，kHO）（2）必过点：和（3）走向：k>0,b=0,图象经过第象限；k<0,b二0,图象经过象限O直线经过第象限O直线经过第象限Z?>0\b<0<O C>直线经过第象限P<0<=>直线经过第象限\b>Q[b<0（4）增减性：k>0,y随x的增而；k<0,y随x增大而（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于轴；|k|越小，图象越接近于轴.（6）图像的平移：上加下减；左加右减将函数y=kx+b图像向上平移3个单位变为,然后再向右平移3个单位变为;将函数y=kx+b图像向下平移3个单位变为然后再向左平移3个单位变为2、一次函数y=kx+b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线, 所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点,.即横坐标或纵坐标为0的点.34、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（设、列、解、答）（1）设：根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）列：将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解：解方程得出未知系数的值；（4）答：将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.二、典型例题：1、若点（inji）在函数y=2x+l的图象上，则2m-n的值2、己知正比例函数y=kx伙工0),点⑵-3)在函数上，则y随x的增大而3、如果一次函数空+3的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是4、地面气温是20°C,如果每升高100m，气温下降6°C,则气温t(°C)与高度h(m)的函数关系式是o5、己知一次函数尸kx+b的图象如图所示，则k,b的符号是()(A)k>0,b>0(B)k>0,b<0(C)k<0,b>0(D)k<0,b<06、已知一次函数尸kx+b的图象经过点(-1,-5),且与正比例函数尸**的图象相交于点(2,a),(1)求a的值，(2)k,b的值，(3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形的面积。
一次函数与一元一次方程,一元一次不等式的关系
详细描述
解一元一次不等式的步骤包括：去分、去括号、移项、合 并同类项和化简。在解不等式时，需要注意不等号的方向在 不等式两边同时除以或乘以负数时需要改变。
一元一次不等式的应用
总结词
一元一次不等式在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，如比较大小、解决优化问题 等。
详细描述
一元一次不等式可以用来解决各种实际问题，如比较大小、解决优化问题、确定范围等。 例如，在购物时比较不同商品的价格和优惠条件，或者在生产中优化资源分配和成本效
总结词
求解一元一次方程通常涉及移项 、合并同类项和系数化为1等步骤 。
详细描述
对于 ax + b = 0，解得 x = -b/a。 如果 a = 0 且 b ≠ 0，则方程无解。 如果 a = 0 且 b = 0，则方程有无 数多个解。
一元一次方程的应用
总结词
一元一次方程在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，如购物时计算找零、 物理中的简单运动问题等。
一次函数与一元一次方程、一元一 次不等式的关系
目录
• 一次函数 • 一元一次方程 • 一元一次不等式 • 一次函数与一元一次方程、一元一次
不等式的关系
01 一次函数
一次函数的定义
01
一次函数的一般形式为 y = ax + b， 其中 a 和 b 是常数，a ≠ 0。
02
一次函数是函数的一种，自变量 x 和因变量 y 之间存在线性关系 。
一元一次不等式通常表示为 ax + b > c、ax + b < c 或 ax + b ≥ c 的形式，其中 a、 b、c 是常数，且 a ≠ 0。这个不等式只含有一个未知数 x，且 x 的最高次数为1。
一元一次不等式与一次函数的关系(最新整理)
y
2x -4
今天我们就来探究类似这样的问题？ 二、自主探究、合作交流 1．探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系： 还记得一次函数吗？请举例给出它的一般形式． 如 y=2x－5 为一次函数．
在一次函数 y=2x－5 中，
当 y=0 时，有方程 2x－5=0；
当 y＞0 时，有不等式 2x－5＞0；
2
（2）要找 2x－5＞0 的 x 的值，也就是函数值 y 大于 0 时所对应的 x 的值，从图象上可
5
知，y＞0 时，图象在 x 轴上方，图象上任一点所对应的 x 值都满足条件．当 x＞ 时，由 y=2x－5
2
5
可知 y＞0．因此当 x＞ 时，2x－5＞0．
2
5
（3）同理可知，当 x＜ 时，有 2x－5＜0；
A．x＞5
1
B．x＜
2
C．x＜－6 D．x＞－6
2．已知一次函数 y kx b 的图象如图所示，当 x＜1 时，y 的取值范围是（ ）
y
O
2
x
－4
A．－2＜y＜0
B．－4＜y＜0
C．y＜－2
D．y＜－ 4
3．若一次函数 y＝(m－1)x－m＋4 的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方，则 m 的取值范
2
（4）要使 2x－5＞1，也就是 y=2x－5 中的 y 大于 1，那么过纵坐标为 1 的点作一条直 线平行于 x 轴，这条直线与 y=2x－5 相交于一点 B（3，1），则当 x＞3 时，有 2x－5＞1．
3．试一试 从图象上可知，图象在 x 轴上方时，图象上每一点所对应的 y 的值都大于 0，而每一个 y 的值所对应的 x 的值都在 A 点的左侧，即为小于－2.5 的数，由－2x－5=0，得 x=－2.5，所 以当 x 取小于－2.5 的值时，y＞0． 4．练一练 从图象上看， （1）y1=y2 时，两个一次函数的图象交于一点，此点的横坐标就是方程 2x-5=x-2 的解； （2）一次函数 y1=2x-5 的图象在 y2=x-2 的图象上方的部分对应点的横坐标就是不等式 2x-5＞x-2 的解； （3）一次函数 y1=2x-5 的图象在 y2=x-2 的图象下方的部分对应点的横坐标就是不等式 2x-5＜x-2 的解． 总结一次函数与一元一次不等式的关系： 从数的角度看
一元一次不等式与一次函数题型及做题技巧
一元一次不等式与一次函数题型及做题技巧一、引言在数学学习过程中，一元一次不等式与一次函数题型是我们经常会遇到的内容。
它们不仅在中学阶段占据着重要的位置，而且在后续学习中也有着深远的影响。
本文将以一元一次不等式与一次函数为主题，探讨其相关的题型及做题技巧，帮助读者更好地理解和掌握这一部分内容。
二、一元一次不等式的基础概念在开始探讨一元一次不等式的题型及做题技巧之前，我们首先需要了解一元一次不等式的基础概念。
一元一次不等式是指形如ax+b>c或ax+b<c的不等式，其中a、b、c均为实数，且a ≠ 0。
在解一元一次不等式时，我们需要找到不等式的解集，即满足不等式的实数的集合。
针对一元一次不等式，我们通常会涉及到一些常见的题型，例如绝对值不等式、含参数的不等式等。
在解题过程中，需要根据不等式的特点选取合适的解法，以便快速有效地求解不等式。
三、一元一次不等式题型及做题技巧1. 绝对值不等式绝对值不等式是一种常见的不等式类型，它的形式通常为|ax+b|>c或|ax+b|<c。
在解绝对值不等式时，我们需要将不等式分为两种情况讨论，即当ax+b>0时和ax+b<0时。
对于不等式|ax+b|>c，我们需要分别解出ax+b>c和ax+b<-c的不等式组，并将其合并得到最终的解集。
而对于不等式|ax+b|<c，我们同样需要分别解出ax+b<c和ax+b>-c的不等式组，然后得到最终的解集。
在解绝对值不等式时，我们需要注意 |ax+b| = a * x + b 或者 |ax+b| = -a * x - b ，然后分别进行讨论。
2. 含参数的不等式含参数的不等式是指不等式中存在未知参数的情况，通常我们需要根据参数的取值范围来求解不等式。
在解含参数的不等式时，我们需要分情况讨论参数的取值范围，然后分别求解不等式并得出最终的解集。
与绝对值不等式类似，在解含参数的不等式时，我们需要将不等式分为不同情况进行讨论，以免遗漏某些情况带来的解集。
一次函数与一元一次不等式知识讲解
一次函数与一元一次不等式知识讲解一次函数是指变量的最高次数为1的函数，表达式一般为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a不等于0。
一元一次不等式是指一个未知数的一次函数与一个不等式关系。
一次函数与一元一次不等式是二元关系，它们在数学中具有重要的意义和应用。
一次函数的性质与特点：1.常数项b表示函数在y轴上的截距，在函数图像上表示函数曲线与y轴的交点。
2.系数a表示函数的斜率，代表了函数图像的倾斜程度。
当a>0时，函数是增函数；当a<0时，函数是减函数。
3.函数曲线是一条直线，通过两个点即可确定一条直线。
因此，一次函数的图像是一条直线。
一元一次不等式的性质与特点：1.不等式中的未知数只有一个，并且只有一次。
2.不等式关系可能是大于、小于、大于等于、小于等于等形式，根据实际问题选择不同的不等号。
3.解不等式的方法与解方程类似，但需要注意不等号的取等情况。
下面通过一个具体的例子来进一步讲解一次函数与一元一次不等式的应用。
例子：家庭的月度水费与用水量x的关系可以用一次函数表示，已知该家庭用水量每增加10立方米，水费增加12元。
如果一个月的水费超过100元，那么最少要用多少立方米的水？解析：设该家庭每个月用水量为x立方米，月度水费为f(x)元。
根据题意，我们可以列出一次函数的表达式：f(x)=12/10x+b其中，12/10x表示每增加10立方米，水费增加12元，b表示常数项。
根据题目中提到的条件，水费超过100元，即f(x)>100。
将f(x)代入不等式中，得到不等式：12/10x+b>100解不等式的步骤如下：1.将不等式转化为等式，得到12/10x+b=100。
2.消去分数，得到12x+10b=1000。
3.根据题意，b为常数项，所以可将10b看作常数C，得到12x+C=1000。
4.求解x，得到x=(1000-C)/12、由于x代表用水量，所以要求最少用水量，即x的值应该尽量小。
一次函数与一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组
一、一次函数与一元一次方程的关系直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。
求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x bk=-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，bk -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。
二、一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。
三、一次函数与二元一次方程（组）的关系一次函数的解析式y bk 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。
一、一次函数与一元一次方程综合【例1】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．1- D ．0【例2】 已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，，则a b +=______． 【例3】 已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，()13，，则不求k b ，的值，可直接得到方程3kx b +=的解是x =______．二、一次函数与一元一次不等式综合【例4】 已知一次函数25y x =-+．（1）画出它的图象；（2）求出当32x =时，y 的值； （3）求出当3y =-时，x 的值；（4）观察图象，求出当x 为何值时，0y >，0y =，0y <【例5】 当自变量x 满足什么条件时，函数41y x =-+的图象在：（1）x 轴上方； （2）y 轴左侧； （3）第一象限．【例6】 已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．5x >B ．12x < C ．6x <- D ．6x >-【例7】 已知一次函数23y x =-+（1）当x 取何值时，函数y 的值在1-与2之间变化?（2）当x 从2-到3变化时，函数y 的最小值和最大值各是多少?【例8】 直线11:l y k x b =+与直线22:l y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式21k x k x b >+的解集为______．【例9】 若解方程232x x +=-得2x =，则当x _________时直线2y x =+上的点在直线32y x =-上相应点的上方．【例10】 如图，直线y kx b =+经过()21A ，，()12B --，两点，则不等式122x kx b >+>-的解集为______．【例11】 已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求：（1）当2x =时，y 的值； （2）x 为何值时，0y <？（3）当21x -≤≤时，y 的值范围； （4）当21y -<<时，x 的值范围．三、一次函数与二元一次方程（组）综合【例12】 已知直线3y x =-与22y x =+的交点为（-5，-8），则方程组30220x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解是________．【例13】 已知方程组y ax c y kx b -=⎧⎨-=⎩（a b c k ，，，为常数，0ak ≠）的解为23x y =-⎧⎨=⎩，则直线y ax c =+和直线y kx b =+的交点坐标为________．【例14】 已知24x y =⎧⎨=⎩，是方程组73228x y x y -=⎧⎨+=⎩的解，那么一次函数y =________和y =________的交点是________．【例15】 一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中，正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【例16】 已知一次函数y 6kx b =++与一次函数2y kx b =-++的图象的交点坐标为A（2，0），求这两个一次函数的解析式及两直线与y 轴围成的三角形的面积．【例17】 阅读：我们知道，在数轴上，1x =表示一个点，而在平面直角坐标系中，1x =表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程210x y -+=的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数21y x =+的图象，它也是一条直线，如图①． 观察图①可以得出：直线1x =与直线21y x =+的交点P 的坐标(1，3)就是方程组1210x x y =⎧⎨-+=⎩的解，所以这个方程组的解为13x y =⎧⎨=⎩； 在直角坐标系中，1x ≤表示一个平面区域，即直线1x =以及它左侧的部分，如图②；21y x ≤+也表示一个平面区域，即直线21y x =+以及它下方的部分，如图③．(1)y=2x+1x=1x=1(2)(3)回答下列问题．⑴在下面的直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组122x y x =-⎧⎨=-+⎩的解；2y 1=2x+1(4)⑵在上面的直角坐标系中，用阴影表示2220x y x y ≥-⎧⎪≤-+⎨⎪≥⎩所围成的区域．⑶如图⑷，表示阴影区域的不等式组为： .【例18】 若直线(2)6y m x =--与x 轴交于点()60，，则m 的值为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0【例19】 如图，直线y kx b =+与x 轴交于点()40-，，则0y >时，x 的取值范围是（ ） A.4x >-B ．0x >C.4x <-D ．0x <【例20】 当自变量x 满足什么条件时，函数23y x =-+的图象在：（1）x 轴下方； （2）y 轴左侧； （3）第一象限．【例21】 一次函数y kx b =+的图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（ ）A ．0x >B ．0x <C ．2x >D ．2x <【例22】 已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当1x <时，y 的取值范围是（ ）A ．20y -<<B ．40y -<<C ．2y <-D ．4y <-【例23】 线32y x b =++与直线2y x b =-+的交点在第二象限？【例24】 如图所示的是函数y kx b =+与y mx n =+的图象，求方程组kx b ymx n y +=⎧⎨+=⎩的解关于原点对称的点的坐标是________．【例25】 一次函数y kx b =+（k b ，是常数，0k ≠）的图象如图所示，则不等式0kx b +>C ．2x <-D ．0x <【例26】 如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式0ax b +<的解集是________．【例27】 把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象，所得的两条直线平行，则此方程组（ ）A.无解B.有唯一解C.有无数个解D.以上都有可能【例28】 b 取什么整数值时，直直线32y x b =++与直线2y x b =-+的交点在第二象限？练习1．直线y=kx+3与x 轴的交点是（1，0），则k 的值是 。
一元一次不等式与一次函数(2)
5折酬宾
满200返160
某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游 的人数估计为10～25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同， 且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每 位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游 费用，其余游客八折优惠．请问该单位选择哪一家旅行社支 付的旅游费用较少？
行社的费用较少. 16<x≤25
10≤x<16
概括总结
讲授新课
方法：图像法
方案选择问题解题思路和步骤：
(1) 根据题意分别写出方案A、B的函数表达式yA、yB；
(2) 同一坐标系画函数图像并计算yA=yB时自变量的取值 ；
(3) 根据图像选择合理方案.
你学会 了吗？
图像法
解：设该单位参加这次旅游的人数是 x 人，选择甲旅行社时，所需要的费用为 y1 元，选择
y1 40 0.8 32
y2 0.5x 40 x即y2 0.5x 40
由y1 y2 ,得32 0.5x 40, 解得x 16
由图像可知，当女士等于 16 人时两种方案都合算，当女士多于 16 人时选择购买女士五折 票，当女士少于 16 人时选择购买团体打折票。
由y1 = y2, 得150x=160x-160，解得x=16
方法 代
由y1 ＞ y2, 得150x＞160x-160，解得x＜16
数 法
由y1 ＜ y2, 得150x＜160x-160，解得x＞16
综上所述：因为参加旅游的人数为10~25人,所以： 当x=16时， 甲、乙两家旅行社的收费相同； 当16<x≤25时，选择甲旅行社费用较少； 当10≤x<16时，选择乙旅行社费用较少.
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根据下列一次函数的图象，你能写出 哪些不等式？并直接写出相应的不等式 的解集。
y=2x-4 x
-4
探索一
我们知道，一次函数的图象是 一条直线，画出一次函数y=2x-4 的图 象，观察图象回答下列问题：
当x>2时，直线上的点全在x轴 的上方，即：当x ＞ 2时 y=2x-4 ＞0;
y
当x=2时，直线上的点恰在x轴 上，即：x = 2时, y=2x-4 = 0； 0 当x<2时，直线上的点全在x轴 的下方，即：当x ＜ 2时y=2x-4 < 0。 2
拓展提高
2.兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑. 已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m.列出函数关系式， 作出函数图象，观察图象回答下列问题： （1）何时弟弟跑在哥哥前面？ 0至12秒 （2）何时哥哥跑在弟弟前面？ 12秒之后 （3）谁先跑过20m？谁先跑过100m？
1 1.若y1=－x+3，y2=3x+4，当x取何值时，y1＞y2？ x 4
解（方法二）：将原不等式的两边分别看成两个一次 函数，画出直线y1=5x+4与直线y2=2x+10的图像， 可以看出，它们交点的横坐标为2，
y
Y2=2X+10
当X＜2时，对于同一个X，直线
Y=5X+4上的点在直线
你能有几种方法 Y=2X+10上相应点的下方，这时
0 2 x
-2
Y1=5x+4
解不等式 5X+4 ＜ 2X+10，所以不等式的解 集为X＜2。 5x＋4＜2x＋10
y
即这时y=3x-6<0，所以不等式的解集为x<2
Y=3x-6 2 x
0 -6
14.3.2一次函数与一元一次不等式
例题分析
自学课本P125例2，比较解法1和解法2的异同点。 共同点： 两种解法都把解不等式转化为比 较直线上点的位置的高低。 不同点：解法1先对不等式进行处理，转 化为一个一次函数，然后画图进行求解； 解法2直接将不等式看做两个一次函数， 然后画图，对比两个一次函数的图象进行 求解。
利用图象求不等式6x-3＜x+2的解
方法一:
5x-5＜0 y=5x-5 y
0 1 -1
将方程变形为ax+b＜0的形式
转化为函数解析式
画图象 x (观察x在什么范围时图象上 的点是x轴下方)
所以不等式6x-3＜x+2的解是x＜1 方法二: 把不等式6x-3＜x+2的两边看成 转化为两个函数 是两个函数:即y１=6x-3,y２ 画出两个函数图象 =x+2 y 找出交点
y
4 3 2 1
0
-1 -2
x
探索一
我们知道，一次函数的图象是 一条直线，画出一次函数y=2x-4 的图 象，观察图象回答下列问题：
当x为何值时，直线上的点全在x轴的 上方? 此时y=2x-4 0？
y
当x为何值时，直线上的点恰在x轴上? 此时y=2x-4 0？
0 当x为何值时，直线上的点全在x轴的 下方?此时 y=2x-4 0？ 2
人教版八年级《数学》上册
一次函数
与一元一次不等式
学习目标
1、解一元一次不等式是否可以看作是当一 次函数值大于（或小于）0时，求自变量相 应的取值范围？ 2、你能否根据一次函数的图象求一元一 次不等式的解集？
重点、难点
重点：一次函数与一元一次不等式有什么关系？ 难点：怎样利用一次函数图像确定一元一次不等 式的解集？
弟弟先跑过20m,哥哥先跑过100米
回顾
小结
通过这节课的学习，你有什么收获？
用一次函数图象来解一元一次不等式 一次函数、一元一次不等式之什么范围时图象 y１点在y２点的下方）
所以不等式6x-3＜x+2的解是x＜1
随堂练习
1.X的范围为什么时，函数y=2x+6的值满足以下条件？ (1) y=0 x=-3 (2) y ＞0 x>-3 x>2
2.利用图像解不等式：5x-1 ＞2x+5
3、作出函数y=-2x-5的图象,观察图象回答下列问题: 5 x ① x取什么值时,-2x-5=0? 2 5 ② x取什么值时,-2x-5>0? x 2 5 x ③ x取什么值时,-2x-5≤0? 5 2 ④ x取什么值时,-2x-5<0? x 2
y=2x-4 x
-4
问题引入
思考： （1）以下两个问题是不是同一个问题？ ①解不等式：2x－4＞0 ②当x为何值时，函数y=2x －4的值大于0？
（2）你如何利用图象来说明②？
（3）“解不等式2x－4＜0”可以与怎样的一次函数问
题是同一个问题呢？怎样在图象上加以说明？
规律
小结
“解不等式ax+b>0(a,b为常数,a≠0)”与“求自变量x为
y Y=3x+6
3x+6>0 ( x>- 2) 3x+6<0 ( x<- 2)
-2
0
x
3x+6≥0 ( x ≥- 2) 3x+6≤0 ( x ≤ - 2)
随堂练习 1
5 如图，利用函数y=－ 2
5 2x 5 2x
x +5的图象，
（1）求出－ +5=0的解； y x=2 （2）求出－ +5＞0 5 4 的解集； x<2 3 5 （3）求出－ 2 x +5≤0 2 的解集； x≥2 1 5 （4）求出－ 2 x +5<0 -2 -1 1 0 的解集； X>2 1
2
2
3
4
x
归纳
小结
从数的角度看：
求ax+b＞0（a≠0） 的解
从形的角度看：
x为何值时y=ax+b 的值大于0
求ax+b＞0（a≠0） 的解
确定直线y=ax+b在 x轴上方的图象所对 应的x值
新知应用：
例１.用画函数图象的方法解不等式
5x+4<2x+10 解（方法一）：化简得3x-6<0，画出直线y=3x-6， 可以看出，当x<2时这条直线上的点在x轴的下方，