理论力学复习课
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一、质点的达朗贝尔原理
设质量m为的质点，在主动力F
F 、约束反力 N 的作用下运
动，其加速度为a，如图（a）所示。
FN
FN
a
F
M
F
M
FI
(b)
(a)
对质点M应有 上式可改写为
由于 FI ma ，则上式记作：
F FN ma F FN (ma) 0
FN 1 FN 2 FN 3 F
FN 1 FN 3
c)
FN 2
FN 1 FN 2 FN 3 0
3). 四杆结点 a).X结点，当结点无荷载时，共线两杆内力相等且符号相同 b).K结点，当结点无荷载时，非共线两杆内力相等符号相反。
FN 3 FN 1 FN 4
a) b) α
FN 1 F F N3 N4
F FN FI 0
这说明，在质点运动的任一瞬时，质点所受的主动力、约束 反力与质点的惯性力的矢量和为零。也可理解为：在质点运 动的任一瞬时，质点所受的主动力、约束反力与虚加的质点 的惯性力构成一零力系，这即为质点的达朗贝尔原理。
动能定理
一．质点的动能
T 1 m v2 2
左边交换求和与导数运算的顺序，而
LO mO (mi vi ), mO ( Fi ( i ) ) 0,则
dLO (e) (e) mO ( Fi ) M O dt
——质点系对固定点的动量矩定理
质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有 外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。
α
FN 2
α
FN 2
FN 4 FN 3
已知点作平面曲线运动，其运动方程为：
x x(t )
y y(t )
求在任一瞬时该点的切向加速度、法向加速度及轨迹曲线的曲率半径。 解：由已知的运动方程求得动点在任一瞬时的速度与加速度的大小为
ν ( x) 2 ( y ) 2 a ( x) 2 ( y ) 2
动 量 矩
1．质点的动量矩
质点对点O的动量矩： 质点对轴Z的动量矩：
mO (mv ) r mv
mz (mv ) mO (mv xy )
mO (mv ) 2OAB
mz (mv ) 2OA' B'
正负号规定与力对轴矩的规
定相同对着轴看：
顺时针为负 逆时针为正
质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：
（2） 若 M z (e) 常量，则 =常量，刚体作匀变速转动。
将 J z M z
(e)
与 ma F 比较，刚体的转动惯量 J z 是刚
体转动惯性的度量。
刚体对轴的转动惯量
定义刚体对Z轴的转动惯量的定义为
J z mi ri
若刚体的质量是连续分布，则
2
J z m r 2 dm
刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动
状态改变的难易程度。
转动惯量恒为正值，国际单位制中单位 kg· m2 。
1．转动惯量的计算
（１）积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）
例： 匀质细直杆长为l ,质量为m 。 求：（1）对z轴的转动惯量； （2）对z' 轴的转动惯量 。
公理一（二力平衡公理） 作用于刚体的二力,其平衡的充分必要条件是：此二力 大小相等，方向相反，作用线沿同一直线。 公理二（增减平衡力系公理） 在作用于刚体的任一力系上，增加或减去一平衡力系， 原力系的效应不变。 公理三（力的平行四边形法则） 作用于物体同一点上的二力可以合成为一个力（称为合 力）。合力作用点仍在该点，合力的大小和方向由以两分力 为邻边构成的平行四边形的对角线确定。 公理四（作用和反作用定律） 两物体间的相互作用力，总是大小相等，方向相反，作 用线沿同一直线。 公理五（刚化公理） 若可变形体在已知力系作用下处于平衡状态，则如将这 个已变形但平衡的物体变为刚体，其平衡不受影响。适用于 处于平衡状态下的物体和物体系统都适用。
2
定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。
(3) 平面运动刚体
Lz mz (mvC ) J C
平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质 心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。
动量矩定理
（一）质点的动量矩定理
单杆： 如在同一结点的所有内力为未知的杆中，除某 一杆外，其余各杆均共线，则该杆称为此结点的单杆 零杆：在桁架中，轴力为零的杆件。 1).两根杆的结点 a). 若结点上无荷载，则二杆全为零。
b).若荷载沿其中一杆的方向，则该杆轴力为F，另一杆 为零 杆。
F
FN 1 a) FN 2 0 FN 2 0 FN 2 FN 1 b) FN 1 F FN 2 0 FN 2
来处理。
例：钟摆： 均质直杆m1, l ； 均质圆盘：m2 , R 。 求 JO 。
【解】
JO
1 1 2 JO杆 JOC 3 m1l 2 m2 R 2 m2 (l R) 2
1 1 m1l 2 m2 (3R 2 2l 2 4lR) 3 2
质点和质点系的达朗贝尔原理
质点系的动量矩守恒 （1）当 M O （2）当
( e)
0
时，
LO
常矢量。
M z 0
( e)
时，
Lz
常量。
刚体绕定轴的转动微分方程
对于一个定轴转动刚体
Lz J z
d (e) ( J z ) M z dt
代入质点系动量矩定理，有
J z M z
(e)
d 2 (e) —刚体定轴转动微分方程 或 Jz 2 Mz dt
料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。
（3）平行移轴定理
同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。
J z ' J zC md 2
刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动 惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。
（4）计算转动惯量的组合法
当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每 一部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动 惯量。 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值
2). 有单杆的结点 a).在图示荷载作用下单杆3的轴力利用Fy=0 可求。 b).在荷载沿单杆作用下，则单杆轴力等于F，另两杆轴力相等。
c).单杆结点上无荷载作用，则单杆轴力等于0。
F F
FN 1 FN 3
a)
α
FN 2
F sin
FN 1 FN 3
b)
FN 2
FN 1 FN 2 FN 3
M O (m(v )
z
M z (mv )
动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。
2．质点系的动量矩
质系对点O动量矩: 质系对轴Z动量矩：
LO mO (mi vi ) ri mi vi
Lz mz (mi vi )LO z
3. 刚体动量矩计算：
(1)平动刚体
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
若
mO ( F )0 (mz ( F )0) 则 mO (mv ) 常矢量
(mz (mv ) 常量)
称为质点的动量矩守恒。
（二）质点系的动量矩定理
自锁现象
若作用于物体的全部主动力的合力作用线在摩擦 角之内,则无论这个力怎样大,物块必保持静止。
FR FR
f f
自锁
f
f ,0 f 不发生自锁
f FRA FRA
PAG 2
结点平衡的特殊情况（零杆的判别）
对质点Mi ： 对质点系，有
d (i ) ( e) mO (mi vi ) mO ( Fi ) mO ( Fi ) (i 1,2,3,,n) dt d (i ) ( e) m ( m v ) m ( F ) m ( F dt O i i O i O i ) (i 1,2,3,,n)
l 2 l 2
解： J
z
l 0
m 1 2 x dx ml l 12
2
Jz'
m 1 x dx ml 2 l 3
2
（2） 回转半径
由
Jz 所定义的长度 z 称为刚体对 z 轴的回转半径。 m
J z m z
2
z 仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材 对于均质刚体，
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
(e) (e) (e) dLx ( e ) dL y ( e ) dL z (e) m x ( Fi ) M x , m y ( Fi ) M y , mz ( Fi ) M z dt dt dt
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固定轴的动量 矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同 一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。 定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的 动量矩。
质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在 质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定 理。 将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d d d mx (mv ) mx ( F ), m y (mv ) m y ( F ), mz (mv ) mz ( F ) dt dt dt
d (mv ) F dt
两边叉乘矢径 左边可写成
r
, 有
r
d (mv ) r mv ) dr mv dt dt dt dr 而 mv v mv 0 , r F mO ( F ) , dt
故：
d d (r mv ) r F , [mO (mv )]mO ( F ) dt dt
二．质点系的动能 T 1m v 2 i i
2
对于任一质点系：（ vi ' 为第i个质点相对质心的速度）
1 2 1 T MvC mi vi ' 2 2 2
柯尼希定理
三．刚体的动能 1．平动刚体
2．定轴转动刚体
3．平面运动刚体
1 2 T Mv C 2 1 T J z 2 2
1 T I P 2 （P为速度瞬心） 2
1 1 2 M vC J C 2 2 2
I P I C Md 2
虚位移法解多块静定梁，书P310例14.3
解决两类问题：
（1）已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。
（2）已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。 但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。
特殊情况：
（1） 若 M z (e) mz (F (e) ) 0 ,则 0, 恒量，刚体作匀速转
动或保持静止。
LO mO (mvC ) rC mvC
(ri mi vi mi ri vC rC mvC )
Lz mz (mvC )
平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点（轴）的 动量矩。
(2) 定轴转动刚体
Lz mz (mi vi ) mi ri J z
切向加速度的大小为：
dν xx y y a dt ( x)2 ( y ) 2
an a a
2 2
2
法向加速度的大小为：
xy yx ( x)2 ( y)2
2 3 2
( x) ( y ) ν2 轨迹曲线的曲率半径为： an xy y x
设质量m为的质点，在主动力F
F 、约束反力 N 的作用下运
动，其加速度为a，如图（a）所示。
FN
FN
a
F
M
F
M
FI
(b)
(a)
对质点M应有 上式可改写为
由于 FI ma ，则上式记作：
F FN ma F FN (ma) 0
FN 1 FN 2 FN 3 F
FN 1 FN 3
c)
FN 2
FN 1 FN 2 FN 3 0
3). 四杆结点 a).X结点，当结点无荷载时，共线两杆内力相等且符号相同 b).K结点，当结点无荷载时，非共线两杆内力相等符号相反。
FN 3 FN 1 FN 4
a) b) α
FN 1 F F N3 N4
F FN FI 0
这说明，在质点运动的任一瞬时，质点所受的主动力、约束 反力与质点的惯性力的矢量和为零。也可理解为：在质点运 动的任一瞬时，质点所受的主动力、约束反力与虚加的质点 的惯性力构成一零力系，这即为质点的达朗贝尔原理。
动能定理
一．质点的动能
T 1 m v2 2
左边交换求和与导数运算的顺序，而
LO mO (mi vi ), mO ( Fi ( i ) ) 0,则
dLO (e) (e) mO ( Fi ) M O dt
——质点系对固定点的动量矩定理
质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有 外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。
α
FN 2
α
FN 2
FN 4 FN 3
已知点作平面曲线运动，其运动方程为：
x x(t )
y y(t )
求在任一瞬时该点的切向加速度、法向加速度及轨迹曲线的曲率半径。 解：由已知的运动方程求得动点在任一瞬时的速度与加速度的大小为
ν ( x) 2 ( y ) 2 a ( x) 2 ( y ) 2
动 量 矩
1．质点的动量矩
质点对点O的动量矩： 质点对轴Z的动量矩：
mO (mv ) r mv
mz (mv ) mO (mv xy )
mO (mv ) 2OAB
mz (mv ) 2OA' B'
正负号规定与力对轴矩的规
定相同对着轴看：
顺时针为负 逆时针为正
质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：
（2） 若 M z (e) 常量，则 =常量，刚体作匀变速转动。
将 J z M z
(e)
与 ma F 比较，刚体的转动惯量 J z 是刚
体转动惯性的度量。
刚体对轴的转动惯量
定义刚体对Z轴的转动惯量的定义为
J z mi ri
若刚体的质量是连续分布，则
2
J z m r 2 dm
刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动
状态改变的难易程度。
转动惯量恒为正值，国际单位制中单位 kg· m2 。
1．转动惯量的计算
（１）积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）
例： 匀质细直杆长为l ,质量为m 。 求：（1）对z轴的转动惯量； （2）对z' 轴的转动惯量 。
公理一（二力平衡公理） 作用于刚体的二力,其平衡的充分必要条件是：此二力 大小相等，方向相反，作用线沿同一直线。 公理二（增减平衡力系公理） 在作用于刚体的任一力系上，增加或减去一平衡力系， 原力系的效应不变。 公理三（力的平行四边形法则） 作用于物体同一点上的二力可以合成为一个力（称为合 力）。合力作用点仍在该点，合力的大小和方向由以两分力 为邻边构成的平行四边形的对角线确定。 公理四（作用和反作用定律） 两物体间的相互作用力，总是大小相等，方向相反，作 用线沿同一直线。 公理五（刚化公理） 若可变形体在已知力系作用下处于平衡状态，则如将这 个已变形但平衡的物体变为刚体，其平衡不受影响。适用于 处于平衡状态下的物体和物体系统都适用。
2
定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。
(3) 平面运动刚体
Lz mz (mvC ) J C
平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质 心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。
动量矩定理
（一）质点的动量矩定理
单杆： 如在同一结点的所有内力为未知的杆中，除某 一杆外，其余各杆均共线，则该杆称为此结点的单杆 零杆：在桁架中，轴力为零的杆件。 1).两根杆的结点 a). 若结点上无荷载，则二杆全为零。
b).若荷载沿其中一杆的方向，则该杆轴力为F，另一杆 为零 杆。
F
FN 1 a) FN 2 0 FN 2 0 FN 2 FN 1 b) FN 1 F FN 2 0 FN 2
来处理。
例：钟摆： 均质直杆m1, l ； 均质圆盘：m2 , R 。 求 JO 。
【解】
JO
1 1 2 JO杆 JOC 3 m1l 2 m2 R 2 m2 (l R) 2
1 1 m1l 2 m2 (3R 2 2l 2 4lR) 3 2
质点和质点系的达朗贝尔原理
质点系的动量矩守恒 （1）当 M O （2）当
( e)
0
时，
LO
常矢量。
M z 0
( e)
时，
Lz
常量。
刚体绕定轴的转动微分方程
对于一个定轴转动刚体
Lz J z
d (e) ( J z ) M z dt
代入质点系动量矩定理，有
J z M z
(e)
d 2 (e) —刚体定轴转动微分方程 或 Jz 2 Mz dt
料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。
（3）平行移轴定理
同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。
J z ' J zC md 2
刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动 惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。
（4）计算转动惯量的组合法
当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每 一部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动 惯量。 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值
2). 有单杆的结点 a).在图示荷载作用下单杆3的轴力利用Fy=0 可求。 b).在荷载沿单杆作用下，则单杆轴力等于F，另两杆轴力相等。
c).单杆结点上无荷载作用，则单杆轴力等于0。
F F
FN 1 FN 3
a)
α
FN 2
F sin
FN 1 FN 3
b)
FN 2
FN 1 FN 2 FN 3
M O (m(v )
z
M z (mv )
动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。
2．质点系的动量矩
质系对点O动量矩: 质系对轴Z动量矩：
LO mO (mi vi ) ri mi vi
Lz mz (mi vi )LO z
3. 刚体动量矩计算：
(1)平动刚体
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
若
mO ( F )0 (mz ( F )0) 则 mO (mv ) 常矢量
(mz (mv ) 常量)
称为质点的动量矩守恒。
（二）质点系的动量矩定理
自锁现象
若作用于物体的全部主动力的合力作用线在摩擦 角之内,则无论这个力怎样大,物块必保持静止。
FR FR
f f
自锁
f
f ,0 f 不发生自锁
f FRA FRA
PAG 2
结点平衡的特殊情况（零杆的判别）
对质点Mi ： 对质点系，有
d (i ) ( e) mO (mi vi ) mO ( Fi ) mO ( Fi ) (i 1,2,3,,n) dt d (i ) ( e) m ( m v ) m ( F ) m ( F dt O i i O i O i ) (i 1,2,3,,n)
l 2 l 2
解： J
z
l 0
m 1 2 x dx ml l 12
2
Jz'
m 1 x dx ml 2 l 3
2
（2） 回转半径
由
Jz 所定义的长度 z 称为刚体对 z 轴的回转半径。 m
J z m z
2
z 仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材 对于均质刚体，
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
(e) (e) (e) dLx ( e ) dL y ( e ) dL z (e) m x ( Fi ) M x , m y ( Fi ) M y , mz ( Fi ) M z dt dt dt
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固定轴的动量 矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同 一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。 定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的 动量矩。
质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在 质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定 理。 将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d d d mx (mv ) mx ( F ), m y (mv ) m y ( F ), mz (mv ) mz ( F ) dt dt dt
d (mv ) F dt
两边叉乘矢径 左边可写成
r
, 有
r
d (mv ) r mv ) dr mv dt dt dt dr 而 mv v mv 0 , r F mO ( F ) , dt
故：
d d (r mv ) r F , [mO (mv )]mO ( F ) dt dt
二．质点系的动能 T 1m v 2 i i
2
对于任一质点系：（ vi ' 为第i个质点相对质心的速度）
1 2 1 T MvC mi vi ' 2 2 2
柯尼希定理
三．刚体的动能 1．平动刚体
2．定轴转动刚体
3．平面运动刚体
1 2 T Mv C 2 1 T J z 2 2
1 T I P 2 （P为速度瞬心） 2
1 1 2 M vC J C 2 2 2
I P I C Md 2
虚位移法解多块静定梁，书P310例14.3
解决两类问题：
（1）已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。
（2）已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。 但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。
特殊情况：
（1） 若 M z (e) mz (F (e) ) 0 ,则 0, 恒量，刚体作匀速转
动或保持静止。
LO mO (mvC ) rC mvC
(ri mi vi mi ri vC rC mvC )
Lz mz (mvC )
平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点（轴）的 动量矩。
(2) 定轴转动刚体
Lz mz (mi vi ) mi ri J z
切向加速度的大小为：
dν xx y y a dt ( x)2 ( y ) 2
an a a
2 2
2
法向加速度的大小为：
xy yx ( x)2 ( y)2
2 3 2
( x) ( y ) ν2 轨迹曲线的曲率半径为： an xy y x