新北师大版九年级数学上册期末考试复习卷含答案解析(60)

（共25题）
一、选择题（共10题）
1. 如图，点 B 在反比例函数 y =6
x (x >0) 的图象上，点 C 在反比例函数 y =−2
x (x >0) 的图象上，且 BC ∥y 轴，AC ⊥BC ，垂足为点 C ，交 y 轴于点 A ，则 △ABC 的面积为 ( )
A ． 3
B ． 4
C ． 5
D ． 6
2. 如图，电子蚂蚁 P ，Q 在边长为 1 个单位长度的正方形 ABCD 的边上运动，电子蚂蚁 P 从点 A 出发，以 3
2
个单位长度/秒的速度绕正方形作顺时针运动，电子蚂蚁 Q 从点 A 出发，以 1
2
个
单位长度/秒的速度绕正方形作逆时针运动，则它们第 2018 次相遇在 ( )
A ．点 A
B ．点 B
C ．点 C
D ．点 D
3. 下列多项式在实数范围内可以因式分解的是 ( ) A ． x 2−x +6 B ． x 2+x +6 C ． x 2−6x +12 D ． x 2−6x −12
4. 已知函数 y =x −5，令 x =1
2，1，3
2，2，5
2，3，7
2，4，9
2，5，可得函数图象上的十个点．在这十个点中随机取两个点 P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，则 P ，Q 两点在同一反比例函数图象上的概率是 ( ) A ． 1
9
B ． 4
45
C ． 7
45
D ． 2
5
5. 已知实数 x ，y 满足 (x 2+y 2+1)(x 2+y 2−3)=5，则 x 2+y 2 的值为 ( ) A ． 4 B ． −2 C ． 4 或 −2 D ． 4 或 2
6. 如果 2x =3y （x ，y 均不为 0），那么下列各式中正确的是 ( )
A ． x
y =2
3
B ． x
x−y =3
C ．
x+y y
=5
3
D ． x x+y =2
5
7.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，BC上，AE=BF=1，动点P从
点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，经过若干次反弹，当动点P第一次回到点E时，动点P所经过的路程长为( )
A．4√10B．8+4√10C．8√10D．8+6√10
8.下列两个三角形不一定相似的是( )
A．两条直角边比都是2:3的两个直角三角形
B．腰与底的比都是2:3的两个等腰三角形
C．有一个内角为50∘的两个直角三角形
D．有一个内角为50∘的两个等腰三角形
9.如图，正方形纸片ABCD的边长为15，E，F分别是CD，AD边上的点，连接AE，把正方形
纸片沿BF折叠，使点A落在AE上的一点G，若CE=7，则GE的长为( )
A．3B．49
17C．4D．37
15
10.已知线段a，b，c，作线段x，使a:b=c:x，则正确的作法是( )
A．B．C．D．
二、填空题（共7题）
11.将分别写有“创建”、“智慧”、“校园”的三张大小、质地相同的卡片随机排列，那么恰好排列成“创
建智慧校园”的概率是．
12.如图，在矩形ABCD中，若AC=2AB，则∠AOB=．
13.如图，在矩形ABCD中，E是DC上一点，AE=AB，AB=2AD，则∠EBC的度数是．
14.如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则
CE=．
15.如图，分别过第二象限内的点P作x，y轴的平行线，与y，x轴分别交于点A，B，与双曲线
y=6
分别交于点C，D．下面三个结论，
x
①存在无数个点P使S△AOC=S△BOD；
②存在无数个点P使S△POA=S△POB；
=S△ACD．
③存在无数个点P使S
四边形OAPB
所有正确结论的序号是．
16.如图，已知△ABC中，CA=CB=4，∠C=45∘，D是线段AC上一点（不与A，C重合），
连接BD，将△ABD沿AB翻折，使点D落在点E处，延长BD与EA的延长线交于点F，若△BEF是直角三角形，则AF的长为．
17.若反比例函数图象上有一点(a,b)，且ab=−4，则该函数的解析式是．
三、解答题（共8题）
18.如图，矩形OABC的边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上，B点的坐标为
(1,3)．矩形OʹAʹBCʹ是矩形OABC绕B点逆时针旋转得到的．Oʹ点恰好在x轴的正半轴上，OʹCʹ交AB于点D．
(1) 求点Oʹ的坐标，并判断△OʹDB的形状（要说明理由）．
(2) 求边CʹOʹ所在直线的解析式．
(3) 延长BA到M使AM=1，在（2）中求得的直线上是否存在点P，使得△POM是以线
段OM为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
19.如图，点E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD上的一点，且DF=BE．求证：AF=CE．
20.已知：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60∘，点P是射线BC上的一个动点，∠PAQ=
60∘，交射线CD于点Q，设点P到点B的距离为x，PQ=y．
(1) 求证：△APQ是等边三角形．
(2) 求y关于x的函数解析式．
21.如图，长方形AOBC在直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，已知点C的坐标是
(8,4)．
(1) 求对角线AB所在直线的函数关系式；
(2) 对角线AB的垂直平分线MN交x轴于点M，连接AM，求线段AM的长；
(3) 在（2）的条件下，若点P是直线AB上的一个动点，当△PAM的面积与长方形AOBC
的面积相等时，求点P的坐标．
22.在数学课堂上，小明同学将两个完全相同的直角三角形重合在一起．如图①所示，∠C=90∘，点
A与点D重合，点B与点E重合，CA=kCB．
(1) 操作发现：当k=1时，将△DCE绕点C顺时针旋转90∘，发现此情况下线段BE和线
段AD存在特殊的数量和位置关系：
数量关系：，
位置关系：；(请直接写出答案)
(2) 问题产生：当k=1时，如图②，将△DCE绕点C顺时针旋转α(0∘<α<90∘)，连接
BE，AD，在此情况下，（1）中的结论是否还成立呢？请给予你的解释或证明；
(3) 问题延伸：将（2）中的条件“k=1”调整为“k=2”，如图③，其他条件不变．
（i）求此条件下线段BE和线段AD的数量关系和位置关系；
（ii）在旋转过程中，当E点恰好落在线段AB上时，若BC=1，求点C到直线AD的距离．
23.游乐园一种新型水上滑道如图，其中线段PA表示距离水面（x轴）高度为5m的平台（点P
在y轴上）．滑道AB可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD可以看作二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B为二次函数BCD的顶点，且点B到水面的距离BE=2m，点B
m，与点B的水平到y轴的距离是5m．当小明从上面下滑到点C时，与水面的距离CG=3
2距离CF=2m．
(1) 求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围；
(2) 求整条滑道ABCD的水平宽度；
(3) 若小明站在平台上相距y轴1m的点M处，用水枪朝正前方向下“扫射”，水枪出口N距
m，喷出的水流呈抛物线形，设这条抛物线的二次项系数为p，若水流最终落在滑离平台3
2
道BCD上（包括B，D两点），直接写出p的取值范围．
24.已知一个正方体盒子的表面积为24dm2，求每个面的边长是多少．
25.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的
交点）和点E，点O．
(1) 画出一个格点△DEF，使它与△ABC相似，且点B与点E为对应点，△DEF与△ABC
；
的相似比为3
2
(2) 以图中的点O为位似中心，将△ABC作同向位似变换，且周长缩小到原来的1
，得到△
2 GHI．
答案
一、选择题（共10题） 1. 【答案】B
【解析】作 BD ⊥BC 交 y 轴于 D ， ∵BC ∥y 轴，AC ⊥BC ， ∴ 四边形 ACBD 是矩形， ∴S 矩形ACBD =6+2=8， ∴△ABC 的面积为 4．
【知识点】反比例函数系数k 的几何意义
2. 【答案】C
【解析】设两只电子蚂蚁每隔 x 秒相遇一次， 根据题意得：(3
2+1
2)x =1×4，解得：x =2．
∵ 电子蚂蚁 Q 从点 A 出发，以 1
2 个单位长度/秒的速度绕正方形作逆时针运动， ∴ 它们第 1 次相遇在 B 点，第 2 次相遇在 C 点， 第
3 次相遇在 D 点，第
4 次相遇在 A 点， 第
5 次相遇在 B 点，第
6 次相遇在 C 点，⋯． 又 ∵2018÷4=504⋯⋯2，
∴ 第 2018 次相遇和第 2 次相遇地点相同，即第 2018 次相遇在点 C ． 【知识点】几何问题、正方形的性质
3. 【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式
4. 【答案】B
【解析】 ∵ 函数 y =x −5，x =1
2
，1，3
2
，2，5
2
，3，7
2
，4，9
2
，5，
∴ 对应的 y 是 −92，−4，−72，−3，−52，−2，−32，−1，−12，0．对应的 xy 是 −94，−4，−21
4，−6，−25
4，−6，−21
4，−4，−9
4，0．设反比例函数的解析式为 y =k
x ，
∴在同一反比例函数图象上的点满足xy=k．
∵从十个点中取两个点，共有45种情况，其中xy相等的组合有4种，故两点在同一反比例函数图象上的概率是4
45
．故选B．
【知识点】反比例函数的概念、公式求概率
5. 【答案】A
【解析】(x2+y2+1)(x2+y2−3)=5，
∴(x2+y2)2−2(x2+y2)−3=5，
∴(x2+y2)2−2(x2+y2)−8=0，
即：[(x2+y2)−1]2=9，
∴(x2+y2)=−2或4，
又∵x2+y2≥0，
∴x2+y2=4．
【知识点】配方法
6. 【答案】B
【解析】∵2x=3y，
∴x
y =3
2
，故A错误；
B．∵2x=3y，
∴x
y =3
2
，
∴x
x−y =3
3−2
=3，故B正确；
C．∵2x=3y，
∴x
y =3
2
，
∴x+y
y =3+2
2
=5
2
，故C错误；
D．∵2x=3y，
∴x
y =3
2
，
∴x
x+y =3
3+2
=3
5
，故D错误．
【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算
7. 【答案】C
【解析】根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为1
3
，第一次碰撞点为F，在反射的过程中，根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得，
第二次碰撞点为 G ，在 DA 上，且 DG =1
6DA ， 第三次碰撞点为 H ，在 DC 上，且 DH =1
3DC ， 第四次碰撞点为 M ，在 CB 上，且 CM =13BC ， 第五次碰撞点为 N ，在 DA 上，且 AN =16AD ，
第六次回到 E 点，AE =1
3
AB ，
由勾股定理可以得出 EF =√10，FG =3√10
2
，GH =
√10
2
，HM =√5，MN =
3√102
，NE =
√10
2
， 故小球经过的路程为：√10+
3√102
+
√10
2
+√10+
3√102
+
√102
=8√10．
【知识点】相似三角形的应用
8. 【答案】D
【解析】A ．两条直角边的比都是 2:3 的两个直角三角形，根据两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；
B ．腰与底的比都是 2:3 的两个等腰三角形，等腰三角形，两条腰相等，根据三边对应成比例，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；
C ．有一个内角为 50∘
的两个直角三角形，两角对应相等两三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；
D ．有一个内角为 50
∘
的两个等腰三角形，内角是 50
∘
的等腰三角形需要注意的是，这个角
是顶角还是底角，情况不一样不一定相似． 【知识点】两角分别相等
9. 【答案】B
【知识点】轴对称的性质、正方形的性质
10. 【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例定理
二、填空题（共7题） 11. 【答案】 1
6
【知识点】树状图法求概率
12. 【答案】60°
【知识点】矩形的性质
13. 【答案】15∘
【解析】提示：∠BAE=∠DEA=30∘，∠ABE=75∘，
∴∠EBC=15∘．
【知识点】30度所对的直角边等于斜边的一半、矩形、三角形的外角及外角性质
14. 【答案】5
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，∠D=90∘．
∴∠AEB=∠CBE．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB．
∴CD=AE=4，DE=AD−AE=BC−AE=7−4=3．
在Rt△CDE中，根据勾股定理得CE=√CD2+DE2=√42+32=5．
【知识点】等腰三角形的判定、矩形的性质、勾股定理
15. 【答案】①②③
【解析】如图，
设C(m,6
m )，D(n,6
n
)，则P(n,6
m
)，
∵S△AOC=3，S△BOD=3，∴S△AOC=S△BOD；
∴①正确；
∵S△POA=−1
2n×6
m
=−3
m
，S△POB=−1
2
n×6
m
=−3
m
，
∴S△POA=S△POB；∴②正确；
∵S
四边形OAPB =−n×6
m
=−6n
m
，S△ACD=1
2
×m×(6
m
−6
n
)=3−3m
n
，
∴当−6n
m =3−3m
n
，即m2−mn−2n2=0，
∴m=2n（舍去）或m=−n，此时P点为无数个，∴③正确．
故答案为①②③．
【知识点】反比例函数的解析式、坐标平面内图形的面积、反比例函数系数k的几何意义
16. 【答案】4√2或4√2−4
【解析】①当∠E=90∘时，由折叠性质可知∠ADB=∠E=90∘，如图所示．
在△ABC中，CA=CB=4，∠C=45∘，
∴∠ABC=∠BAC=1
2
(180∘−∠C)=67.5∘．
∵∠BDC=90∘，∠C=45∘，
∴△BCD为等腰直角三角形．
∴CD=√2
2
BC=2√2，∠DBC=45∘．
∴∠EBA=∠DBA=∠ABC−∠DBC=67.5∘−45∘=22.5∘．
∴∠EBF=45∘．
∴∠F=90∘−45∘=45∘．
∴△ADF为等腰直角三角形．
∴AF=√2AD=√2(CA−CD)=√2(4−2√2)=4√2−4．
②当∠EBF=90∘时，如图所示，
由折叠的性质可知∠ABE=∠ABD=45∘，
∵∠BAD=∠CAB，
∴△ABD∽△ACB．
∴AB
AC =AD
AB
．
由情况①中的AD=4−2√2，BD=2√2，可得AB=√AD2+BD2=4√2−√2．
∴AD=AB2
AC =32−16√2
4
=8−4√2．
∴CD=AC−AD=4−(8−4√2)=4√2−4．∵∠DBC=∠ABC−∠ABD=22.8∘，
∵∠E=∠ADB=∠C+∠DBC=67.5∘，∴∠F=22.5∘=∠DBC．
∴EF∥BC．
∴△ADF∽△CDB．
∴AD
CD =AF
BC
．
∴AF=AD⋅BC
CD =√2)×4
4√2−4
=4√2．
∵∠E=∠BDA
=∠C+∠DBC
=45∘+67.5∘−∠ABD
=112.5∘−∠ABD,
∠EBF=2∠ABD，
∴∠E+∠EBF=112.5∘+∠ABD>90∘．
∴∠F不可能为直角．
综上所述，AF的长为4√2或4√2−4．
【知识点】两角分别相等、图形成轴对称、基本定理
17. 【答案】y=−4
x
【知识点】反比例函数的解析式
三、解答题（共8题）
18. 【答案】
(1) 如图，连接OB，OʹB，则OB=OʹB，
∵四边形OABC是矩形，
∴BA⊥OA，
∴AO=AOʹ．
∵B点的坐标为(1,3)，
∴OA=1，
∴AOʹ=1，
∴点Oʹ的坐标是(2,0)．
△OʹDB为等腰三角形，
理由如下：在△BCʹD与△OʹAD中，
{∠Cʹ=∠DAOʹ=90∘,∠BDCʹ=∠OʹDA, BCʹ=AOʹ=1.
∴△BCʹD≌△OʹAD(AAS)，
∴BD=OʹD，
∴△OʹDB是等腰三角形．
(2) 设点D的坐标为(1,a)，则AD=a，∵点B坐标是(1,3)，
∴OʹD=3−a．
在Rt△ADOʹ中，AD2+AOʹ2=OʹD2，
∴a2+12=(3−a)2，
解得a=4
3
，
∴点D的坐标为(1,4
3
)．
设直线CʹOʹ的解析式为y=kx+b，
则{2k+b=0, k+b=4
3
,
解得{k=−4
3
,
b=8
3
.
∴边CʹOʹ所在直线的解析式：y=−4
3x+8
3
．
(3) P(2,0)或(8
7,8 7 )
【解析】
(3) ∵AM=1，AO=1，且AM⊥AO，∴△AOM是等腰直角三角形．
① PM是另一直角边时，∠PMA=45∘，∴PA=AM=1，点P与点Oʹ重合，
∴ 点 P 的坐标是 (2,0)．
② PO 是另一直角边，∠POA =45∘，则 PO 所在的直线为 y =x ， ∴ {y =−4
3x +8
3,y =x,
解得 {
x =87,
y =87.
∴ 点 P 的坐标为 P (2,0) 或 (87,8
7)．
【知识点】一次函数与三角形的综合、一次函数的解析式、矩形的性质
19. 【答案】法一，证 △ADF ≌△CBE ．
【解析】法二，证四边形 AFCE 为平行四边形． 【知识点】矩形的性质
20. 【答案】
(1) 连接 AC ．在菱形 ABCD 中， ∵AB =BC ，∠B =60∘， ∴△ABC 是等边三角形．
∴AC =AB ，∠BAC =∠BCA =60∘． ∵∠PAQ =60∘， ∴∠BAP =∠CAQ ． ∵AB ∥CD ，∠B =60∘， ∴∠BCD =120∘． ∴∠ACQ =∠B =60∘． ∴△ABP ≌△ACQ ． ∴AP =AQ ． 又 ∵∠PAQ =60∘， ∴△APQ 是等边三角形．
(2) 由 △APQ 是等边三角形，得 AP =PQ =y ．
作 AH ⊥BC 于点 H ，由 AB =4，BH =2，∠B =60∘，得 AH =2√3． ∴y =√(x −2)2+12，即 y =√x 2−4x +16．
【知识点】解析式法、菱形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、角角边、等边三角形的判定
21. 【答案】
(1) ∵ 四边形 AOBC 为长方形，且点 C 的坐标是 (8,4)， ∴ AO =CB =4，OB =AC =8，
∴ A 点坐标为 (0,4)，B 点坐标为 (8,0)．
设对角线 AB 所在直线的函数关系式为 y =kx +b ，将 A (0,4)，B (8,0) 代入，
得 {4=b,0=8k +b, 解得：{k =−1
2,b =4.
∴ 对角线 AB 所在直线的函数关系式为 y =−1
2x +4．
(2) ∵ 四边形 AOBC 为长方形，且 MN ⊥AB ， ∴ ∠AOB =∠MNB =90∘， ∵ ∠ABO =∠MBN ， ∴ △AOB ∽△MNB ， ∴
MB AB
=BN
BO ，
∵ AO =CB =4，OB =AC =8，
∴ 由勾股定理得：AB =√AO 2+OB 2=4√5， ∵ MN 垂直平分 AB ， ∴ BN =AN =1
2AB =2√5． ∴
MB AB
=BN
BO =
2√58
=4√
5，
∴ MB =5，
∴ OM =OB −MB =8−5=3，
∴ 由勾股定理可得：AM =√AO 2+OM 2=5．
(3) ∵ A 点坐标为 (0,4)，B 点坐标为 (8,0)，MN 是 AB 的垂直平分线， ∴ 点 N 是 AB 的中点，MN ⊥AB ， ∴ N 点坐标为 (4,2)，
∴ MN =√(4−3)2+22=√5， ∵ S △PAM =S 四边形OACB =4×8=32， ∴ AP =
√5
=
64√5
5
， 设点 P 坐标为 (m,−1
2m +4)， 则
(64√55)
2
=∣m ∣2+∣∣−12m ∣∣
2
， 解得 m =±1285
，
故点 P 的坐标为 (
1285
,−445
) 或 (−
1285
,845
)． 【知识点】一次函数的解析式、勾股定理、矩形的性质、两角分别相等、平面直角坐标系及点的坐标
22. 【答案】
(1) 相等；垂直．
(2) 成立．
证明：延长DA，BE交于点H，
由题意知CB=CA=CE=CD，∠BCA=∠ECD=90∘，
∵∠BCE+∠ECA=∠ACD+∠ECA=90∘，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，BC=AC，∠BCE=∠ACD，EC=DC，∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴∠ADC=∠BEC，BE=AD．
∵∠BEC+∠HEC=180∘，
∴∠ADC+∠HEC=180∘，在四边形HECD中，∠ECD=90∘，∴∠H=90∘，即BE⊥AD．
故（1）的结论成立．
(3) （i）如图，连接AD，BE，延长BE交AD于H，
由题意可得CB
AC =EC
CD
=1
2
，∠BCA=∠ECD=90∘，
∵∠BCE+∠ECA=∠ACD+∠ECA=90∘，∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴BE
AD =BC
AC
=1
2
，∠ADC=∠BEC，
∵∠BEC+∠HEC=180∘，
∴∠ADC+∠HEC=180∘，
∵在四边形HECD中，∠ECD=90∘，
∴∠BHD=90∘，即BE⊥AD．
故BE=1
2
AD，且BE⊥AD．
（ii）如图，连接AD，过点C作CM⊥AB于点M，作CN⊥AD于点N，易得∠B=∠BEC=∠CDA，
∵∠BMC=∠CND=90∘，
∴△BMC∽△DNC，
∴CM
CN =CB
CD
=1
2
，
由三角形ABC的面积得BC⋅AC=CM⋅AB，
则CM=
√5=2√5
5
，故CN=4√5
5
，
即点C到直线AD的距离为4√5
5
．
【知识点】性质与判定综合（D）、旋转及其性质23. 【答案】
(1) 由题意得：点B(5,2)，则k=5×2=10，
故反比例函数的表达式为：y=10
x
(2≤x≤5)；
(2) 点B(5,2)，点C(7,3
2
)，
则抛物线的表达式为：y=a(x−5)2+2，
将点C的坐标代入上式并解得：a=−1
8
，
故抛物线的表达式为：y=−1
8
(x−5)2+2，
令y=0，则x=1（舍去）或9，
故ABCD的水平宽度=9−2=7；
(3) 点M(1,5)，点N(1,13
2
)，则点N是抛物线的顶点，
而点D(9,0)，点C(7,3
2
)，
抛物线的表达式为：y=p(x−1)2+13
2
，
将点D的坐标代入上式并解得：p=−13
128
；
同理把点B的坐标代入抛物线表达式并解得：p=−9
32
，
故−9
32≤p≤−13
128
．
【知识点】拱桥问题、反比例函数的应用
24. 【答案】设每个面的边长是x dm．
根据题意，得6x2=24.整理，得x2=4.由此可得x=±2.即x1=2,x2=−2(舍去).答：每个面的边长是2dm．
【知识点】直接开平方法
25. 【答案】
(1) 答案不唯—．如图所示，△DEF即为所求作图形．
(2) 如图所示，△GHI即为所求作图形．
【知识点】三边成比例、作图--位似变换。