2011-2012学年第二学期石家庄期末高二理科答案定稿

石家庄市2011-2012学年度第二学期期末考试
高二数学（理科答案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分） 1-5 CBCDC 6-10 CBACC 11-12 DB 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13. 710 14. 2164 15. 21
3
t
三、解答题 17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）解法一：因为如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式的的中间一项1
2+n T 的二
项式的系数最大，……………3分
所以512
=+n
, 8=∴n .……………5分
解法二：二项式n x )1(-的第5项的二项式系数为4
n C ，
由题意可得不等式45
43
,
.
n n n n C C C C ⎧>⎪⎨>⎪⎩…………3分 解得97<<n ，*N n ∈,8=∴n .……………5分 （Ⅱ）当1=x 时，08210=++++a a a a ， -----①
当1-=x 时，2562883210==++-+-a a a a a -----② 由①②可得1288420=++++a a a a ,………………9分 当0=x 时，10=a
1278642=+++∴a a a a .………………12分 18.（本小题满分12分） 解：
------6分
（Ⅱ）∵2
250(2015105)8.3337.87930202525
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ , ∴99.5％的把握认为是否会俄语与性别有关.----------------12分 19.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）若1a =,32()3f x x x x =--，(1)3f =-,……………3分 2()323f x x x '=--,(1)2f '=-,
所以曲线()f x 在点(1,(1)f )处的切线方程为2+10x y +=.………………6分 （Ⅱ）解：因为()f x 在区间[1,)+∞上是增函数， 2()3230f x x ax '=--≥在[)+∞,1上
恒成立，即x
x a 23
23-≤ 在[)+∞,1上恒成立．………………8分
令x
x x h 2323)(-=
,02323)(2>+='x x h ,
所以()h x 在[)+∞,1上是增函数；………………10分 所以0)1(=≤h a .………………12分 20. （本小题满分12分） （Ⅰ）解：由直方图可得
140003.0200065.020025.020=⨯+⨯+⨯+⨯x
解得0125.0=x ， …………3分
学生上学不少于40分钟的百分比为： 25.040003.0200065.0=⨯+⨯=25%，该校学生申请在校住宿的百分比估计为25%. …………6分 （Ⅱ）X 可能取得值为0,1,2,3,4.由直方图可知每一个学生的时间少于20分钟的概率为4
1，
)4,3,2,1,0()4
3()41()(44===-k C k x P k
k k --------8分
分
812727310123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（或1
414
EX =⨯=）
所以X 的均值为1.……………12分 21．（本小题满分12分）
此题第三问应为（Ⅲ）证明不等式：n
n 1
31211)1ln(++++<+ *()N n ∈.因印刷厂的印刷问
题给老师和学生造成了一定的困扰，敬请谅解！ 解：（Ⅰ）()ln(1)1f x x '=++，
当1
1x e
>-时，()0f x '>;
当11
1-<<-e
x 时，()0f x '<.
)(x f ∴的单调递增区间⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,11e ,单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--11,1e ……………3分
（Ⅱ）)]1ln(x [2)1ln(22)(x x x x g +-=+-= ，
则x
x x x g +=+-='12)111(2)(, 当0x >时，()0g x '>; 当10x -<<时，()0g x '<.
所以函数)(g x 在)0,1(-上为减函数，在),0(∞+上为增函数.…………5分 则函数)(g x 的最小值为0)0(g = ,
所以，要使方程a x =)(g 有解，则0≥a ，即a 的最小值为0 .……………7分
(Ⅲ)由（Ⅱ）可知： 0)]1ln(x [2)(g ≥+-=x x 在),1(∞+-上恒成立
所以 x x ≤+)1ln(，当且仅当x=0时等号成立.
令)(1x *N n n ∈=，则)1,0(∈x 代入上面不等式得：n n 1
)11ln(<+, 即n n n 11ln <+， 即 n
n n 1
ln )1ln(<-+,…………10分 所以，11ln 2ln <-，212ln 3ln <-，313ln 4ln <-，…，n
n n 1
ln )1ln(<-+
将以上n 个等式相加即可得到：
n
n 1
31211)1ln(++++<+ . ……………………………
…12分22. （本小题满分10分） 解：连结BD, 又因AB 为⊙O 的直径，
所以 90=∠ADB ，……………3分
30CD ACB =∠=︒,在BCD ∆中，2BC =,
又AB BC =，所以2=AB .…………5分 连结0D,
1OD OB ∴==，
30=∠ACB ，DE BC ⊥,在DEC ∆
中,2
DE =.……………8分 OD OA = ， 30=∠∴ADO ，可知 90=∠∴ODE ，
2
7
143=
+=
∴OE ……………10分 23. （本小题满分10分） 解：（Ⅰ）设点P 、Q 的极坐标分别为(ρ0，θ)、(ρ，θ)，则
)sin (cos 2)sin (cos 42
1
210θθθθρρ+=+⋅==，
点Q 轨迹C 2的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)，…………2分
两边同乘以ρ，得)sin cos (22θρθρρ+=，
C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2．………5分 （Ⅱ）将l 的方程代入曲线C 2的直角坐标方程，得
(t cos φ＋1)2＋(t sin φ－1)2＝2，即t 2＋2(cos φ－sin φ)t ＝0， t 1＝0，t 2＝2sin φ－2cos φ，……………8分
由直线l 与曲线C 2有且只有一个公共点，得sin φ－cos φ＝0，
因为0≤φ＜π，所以φ＝ π
4． ………………10分 24. （本小题满分10分） 解：（Ⅰ）1a =时，.314)(++-=ax x x f ，
当41≥
x 时，7)(≤x f ，解得14
1
≤≤x ； 当41
<x 时，7)(≤x f ，解得114
x -≤<.………………3分
综上可得，原不等式的解集为{}11x x -≤≤ (5)
A O
B
E D
C
（Ⅱ）1(4)2,()4
()4131(4)4,()4
a x x f x x ax a x x ⎧
++≥⎪⎪=-++=⎨⎪-+<⎪⎩……………7分
函数()f x 有最小值的充要条件为⎩⎨⎧≤-≥+0
40
4a a 即44≤≤-a ……………………10分。