2011年高考一轮数学复习 8-4直线与圆锥曲线的位置关系 理 同步练习(名师解析)
高考一轮数学复习 8-4直线与圆锥曲线的位置关系 理 同步练习(名师解析)
第8章 第4节 知能训练·提升考点一：交点问题 1．直线kx －y ＋k ＋1＝0与椭圆x 225＋y 216＝1公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．随k 值而改变解析：由题意知，直线可化为y －1＝k (x ＋1)，故直线过定点(－1,1)，而(－1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆必相交．答案：C2．直线y ＝2k 与曲线9k 2x 2＋y 2＝18k 2|x |(k ∈R ，且k ≠0)的公共点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧9k 2x 2＋y 2＝18k 2|x |，y ＝2k ，得(|x |－1)2＝59，∴|x |＝1±53.∴x ＝1＋53或1－53或－1－53或－1＋53，因此直线与曲线公共点个数为4.故选D.答案：D3．有且只有一个公共点是直线和抛物线相切的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件解析：当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个公共点，但直线与抛物线不相切，故有且只有一个公共点是直线和抛物线相切的必要非充分条件．答案：C考点二：弦长问题 4．斜率为1的直线l 与椭圆x24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455C.4105D.8105解析：设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，联立椭圆方程消y 得5x 2＋8tx ＋4t 2－4＝0.弦长|AB |＝2·4·5－t 25≤4105.答案：C5．设直线l 过双曲线x 2－y 23＝1的一个焦点，交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA →·OB →＝0，求|AB |的值．解：不妨设直线AB 过右焦点F (2,0)，其斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)． 代入双曲线方程，得3x 2－k 2(x －2)2＝3， 即(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，从而y 1y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2) ＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝k 2·(4k 2＋3k 2－3－8k 2k 2－3＋4)＝－9k 2k 2－3.∵OA →·OB →＝0，∴OA ⊥OB ， ∴y 1x 1·y 2x 2＝－1即x 1x 2＋y 1y 2＝0 ∴4k 2＋3k 2－3－9k 2k 2－3＝0， 解得k 2＝35.此时Δ＝16k 2＋4(3－k 2)(4k 2＋3)＞0，又当AB ⊥x 轴时，点A (2,3)，B (2，－3)不满足条件． 故由焦点弦长公式，得|AB |＝2ab 2(k 2＋1)|a 2k 2－b 2|＝2×1×3×(35＋1)|35－3|＝4.6．(2010·黄冈模拟)设椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么A 、B 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y －1＝0的解．由ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，两式相减，得 a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1，所以y 1＋y 2x 1＋x 2＝a b ，即2y c 2x c ＝a b ，y c x c ＝a b ＝22，所以b ＝2a ① 再由方程组消去y 得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0， 由|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2 ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2 2.得(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4，即(2b a ＋b )2－4·b －1a ＋b＝4②由①、②解得a ＝13，b ＝23，故所求的椭圆的方程为x 23＋2y 23＝1.考点三：直线与圆锥曲线综合问题7．(2010·石家庄质检一)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，它的一条准线方程为x ＝2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点A ，B 为椭圆上的两个动点，椭圆的中心到直线AB 的距离为63，求∠AOB 的大小．解：(1)由题意知c a ＝22，a 2c＝2∴a ＝2，c ＝1，故a 2＝2，b 2＝1∴椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)B (x 2，y 2)，设直线AB 的方程为x ＝±63或y ＝kx ＋b当直线AB 的方程为x ＝63时，由⎩⎨⎧x ＝63；x22＋y 2＝1，可求A (63，63)，B (63，－63) 从而OA →·OB →＝O ，可得∠AOB ＝π2.同理可知当直线AB 的方程为x ＝－63时和椭圆交得两点A ，B . 可得∠AOB ＝π2当直线AB 的方程为y ＝kx ＋b由原点到直线的距离为63，得b 1＋k 2＝63即1＋k 2＝32b 2. 又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 22＋y 2＝1消去y 得：(1＋2k 2)x 2＋4kbx ＋2b 2－2＝0 ∴x 1＋x 2＝－4kb 1＋2k 2，x 1x 2＝2b 2－21＋2k 2∴y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )，＝k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2－2k 21＋2k 2.∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2b 2－21＋2k 2＋b 2－2k 21＋2k 2＝3b 2－2(1＋k 2)1＋2k 2将1＋k 2＝32b 2代入上式得OA →·OB →＝0，所以∠AOB ＝90°8．如图，倾斜角为α的直线经过抛物线y 2＝8x 的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点．(1)求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；(2)若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明：|FP |－|FP |cos2α为定值，并求此定值．解：(1)设抛物线的标准方程为y 2＝2px ，则2p ＝8，从而p ＝4.因此焦点F (p2，0)的坐标为(2,0)，又准线方程的一般式为x ＝－p2.从而所求准线l 的方程为x ＝－2.(2)解法一：如图作AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C 、D ，则由抛物线的定义知|F A |＝|AC |，|FB |＝|BD |. 记A 、B 的横坐标分别为x A 、x B ，则|F A |＝|AC |＝x A ＋p 2＝|F A |cos α＋p 2＋p 2＝|F A |cos α＋4，解得|F A |＝41－cos α，类似地有|FB |＝4－|FB |cos α，解得|FB |＝41＋cos α.记直线m 与AB 的交点为E ，则 |FE |＝|F A |－|AE |＝|F A |－|F A |＋|FB |2＝12(|F A |－|FB |) ＝12(41－cos α－41＋cos α)＝4cos αsin 2α. 所以|FP |＝|FE |cos α＝4sin 2α.故|FP |－|FP |cos2α＝4sin 2α(1－cos2α)＝4·2sin 2αsin 2α＝8.解法二：设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，直线AB 的斜率为k ＝tan α，则直线方程为 y ＝k (x －2)．将此式代入y 2＝8x 得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0，故x A ＋x B ＝4(k 2＋2)k 2.记直线m 与AB 的交点为E (x E ，y E )，则x E ＝x A ＋x B 2＝2(k 2＋2)k 2，y E ＝k (x E －2)＝4k， 故直线m 的方程为y －4k ＝－1k (x －2k 2＋4k4)． 令y ＝0，得点P 的横坐标x P ＝2k 2＋2k2＋4，故|FP |＝x P －2＝4(k 2＋1)k 2＝4sin 2α. 从而|FP |－|FP |cos2α＝4sin 2α(1－cos2a )＝4·2sin 2αsin 2α＝8为定值.1.(2009·全国Ⅱ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点．若AF →＝4FB →，则C 的离心率为( )A.65B.75C.85D.95解析：设双曲线C 的右准线为l ，过A 、B 两点分别作l 的垂线，垂足是A ′，B ′，从而得直角梯形AA ′B ′B (如图)，∵AF →＝4FB →，∴|AF →|＝4|FB →|，记|FB →|＝m ＞0，则|AF →|＝4m ，由双曲线的第二定义有|AA ′|＝4m e ，|BB ′|＝me，∵直线AB 的斜率为3，∴∠A ＝π3，cos A ＝|AA ′|－|BB ′||AB |＝3me 5m ＝35e ，∴35e ＝12，故e ＝65，选A 答案：A2．(2009·全国Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，过右焦点F 的直线l与C 相交于A 、B 两点．当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为22.(1)求a ，b 的值；(2)C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP →＝OA →＋OB →成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．解析：(1)设F (c,0)，当l 的斜率为1时，其方程为x －y －c ＝0，O 到l 的距离为|0－0－c |2＝c 2，故c 2＝22，c ＝1.由e ＝c a ＝33，得a ＝3，b ＝a 2－c 2＝ 2.(2)C 上存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP →＝OA →＋OB →成立． 由(1)知C 的方程为2x 2＋3y 2＝6.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ①当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y ＝k (x －1)．C 上的点P 使OP →＝OA →＋OB →成立的充要条件是P 点的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，且2(x 1＋x 2)2＋3(y 1＋y 2)2＝6.整理得2x 21＋3y 21＋2x 22＋3y 22＋4x 1x 2＋6y 1y 2＝6，又A 、B 在椭圆C 上，即2x 21＋3y 21＝6,2x 22＋3y 22＝6， 故2x 1x 2＋3y 1y 2＋3＝0. ①将y ＝k (x －1)代入2x 2＋3y 2＝6，并化简得(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，于是x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2，y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝－4k 22＋3k 2.代入①解得k 2＝2，此时x 1＋x 2＝32.于是y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－k 2，即P (32，－k2)．因此，当k ＝－2时，P (32，22)，l 的方程为2x ＋y －2＝0；当k ＝2时，P (32，－22)，l 的方程为2x －y －2＝0.②当l 垂直于x 轴时，由OA →＋OB →＝(2,0)知，C 上不存在点P 使OP →＝OA →＋OB →成立．综上，C 上存在点P (32，±22)使OP →＝OA →＋OB →成立．此时l 的方程为2x ±y －2＝0.3．(2009·湖北)在平面直角坐标系xOy 中，点P 到点F (3,0)的距离的4倍与它到直线x ＝2的距离的3倍之和记为d .当点P 运动时，d 恒等于点P 的横坐标与18之和．(1)求点P 的轨迹C ；(2)设过点F 的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，求线段MN 长度的最大值． 解析：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，则d ＝4(x －3)2＋y 2＋3|x －2|. 由题设知，d ＝18＋x ，即4(x －3)2＋y 2＋3|x －2|＝18＋x . ① 当x ＞2时，由①得(x －3)2＋y 2＝6－12x ， ②化简得x 236＋y227＝1.当x ≤2时，由①得(x －3)2＋y 2＝3＋x ， ③ 化简得y 2＝12x .故点P 的轨迹C 是由椭圆C 1：x 236＋y 227＝1在直线x ＝2的右侧部分与抛物线C 2：y 2＝12x在直线x ＝2的左侧部分(包括它与直线x ＝2的交点)所组成的曲线，参见图1.(2)如图2所示，易知直线x ＝2与C 1，C 2的交点都是A (2,26)，B (2，－26)，直线AF ，BF 的斜率分别为k AF ＝－26，k BF ＝26，当点P 在C 1上时，由②知|PF |＝6－12x . ④当点P 在C 2上时，由③知 |PF |＝3＋x . ⑤若直线l 的斜率k 存在，则直线l 的方程为y ＝k (x －3)． (ⅰ)当k ≤k AF ，或k ≥k BF ，即k ≤－26，或k ≥26时，直线l 与轨迹C 的两个交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)都在C 1上，此时由④知|MF |＝6－12x 1，|NF |＝6－12x 2，从而|MN |＝|MF |＋|NF |＝(6－12x 1)＋(6－12x 2)＝12－12(x 1＋x 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)x 236＋y 227＝1得(3＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－108＝0. 则x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝24k 23＋4k 2，|MN |＝12－12(x 1＋x 2)＝12－12k 23＋4k 2.因为当k ≤－26，或k ≥26时，k 2≥24，所以|MN |＝12－12k 23＋4k2＝12－123k 2＋4≤12－12324＋4＝10011.当且仅当k ＝±26时，等号成立．(ⅱ)当k AF ＜k ＜k BF ，即－26＜k ＜26时，直线l 与轨迹C 的两个交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)分别在C 1，C 2上，不妨设点M 在C 1上，点N 在C 2上，则由④⑤知，|MF |＝6－12x 1，|NF |＝3＋x 2.设直线AF 与椭圆C 1的另一交点为E (x 0，y 0)，则x 0＜x 1，x 2＜2.|MF |＝6－12x 1＜6－12x 0＝|EF |，|NF |＝3＋x 2＜3＋2＝|AF |，所以|MN |＝|MF |＋|NF |＜|EF |＋|AF |＝|AE |.而点A ，E 都在C 1上，且k AE ＝－26，由(ⅰ)知|AE |＝10011，所以|MN |＜10011.若直线l 的斜率不存在，则x 1＝x 2＝3，此时|MN |＝12－12(x 1＋x 2)＝9＜10011.综上所述，线段MN 长度的最大值为10011.若直线2x －2y ＝0与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两个交点在x 轴上的射影恰好是该双曲线的两个焦点，则此双曲线的离心率等于( )A.233B. 3C. 2 D ．2解析：由题意如图所示，当x ＝c 时，y B ＝(c 2a 2－1)·b 2＝b 2a ， 由图可知|BF 2||OF 2|＝22，∴b 2ac ＝22，∴2b 4＝a 2c 2， ∴2(c 2－a 2)2＝a 2c 2⇔2c 4＋2a 4－5a 2c 2＝0，∴2e 4－5e 2＋2＝0，∴e 2＝2或e 2＝12(舍去)，∴e ＝ 2.答案：C。
创新设计2011届高考数学理一轮复习随堂演练89直线与圆锥曲线的位置关系
51B 两点的坐标为(x i , y i )、(— x i ，— y i )，贝U S ^FAB = 2|OF ||2y i |= c|y i |< bc.答案：D2•直线y = kx + 2与抛物线y 2= 8x 有且只有一个公共点，则 k 的值为（ ）A . iB . i 或 3C . 0D . i 或 0y = kx + 2,2解析：由 2得k y — 8y +16= 0，若k = 0,则y = 2,若k 丸，贝U △= 0,即64 — 64k = 0解得y = 8x ,k = 1,因此直线y = k x + 2与抛物线y 2 = 8x 有且只有一个公共点，则 k = 0或k = 1.答案：Dx 2 y 2的3.已知椭圆C 的方程为—+ m 2= 1（m>0），如果直线y =石"x 与椭圆的一个交点椭圆的右焦点F ，则m 的值为（ ）B . 2 .2C . 8c = 16 — m 2,则点(16— m 2, 16— m 2)在椭圆 * + 活=1(m>0)上,答案：B4.斜率为1的直线1与椭圆手+y 2=1相交于A B两点，则|AB|的最大值为（）、选择题 1. AB 为过椭圆 A . b 2 8.9a 2+b 2=1中心的弦， 直线与圆锥曲线的位置关系F （c,O ）为它的焦点，则△ FAB 的最大面积为（B . abC . acD . bc解析: M 在x 轴上的射影恰好是解析：根据已知条件16— m 2 16 — m 216 + 2m 21可得m = 2 2.x 2+ 4y 2= 4,解析：设椭圆截直线于 A(x i , y i ), B(X 2, y 2)两点，由y = x +1,8 4(t 2— 1)则有 x i + X 2= — 5t , X 1X 2= 5 . 消去 y , 得 5x 2 + 8tx + 4(t 2— 1)= 0.••• |AB = J 1 + k 2|x i — X 2|=\/2( — |t)2— 4X 4(t 5 1)=A /5—2,当t = 0时, |AB |max = 4 ‘106 .直线y = kx — 2与抛物线y 2= 8x 交于A 、B 不同两点，且 AB 的中点横坐标为 2,则k 的 是 .y = kx — 2, 解析：设 A (X 1, y”、0X 2, y 2)，由 2y = 8x ,△= [ — 4( k + 2)] 2— 4 Xk 2X 4> 0, 由题意得X 1+ X 2=昨=2忆答案：2nx 2 7•倾斜角为匚的直线交椭圆—+ y 2= 1于A 、B 两点，则线段 AB 的中点M 的轨迹方程是 4 4 x 2解析：设 M(x , y), A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)，则有 ~ + y 2= 1,① ¥+y 2= 1,②1①—②得 4(X 1 + X 2)(X 1— X 2) + (y 1 + y 2)(y 1 — y 2) = 0.③n y 1 — y 2又直线 AB 的斜率 k = tan 4= = 1, • y 1 — y 2 = X 1— X 2.④4 X 1 — X 2 X 1 + X 2 y 1 + y 2 由中点坐标公式得2=X ,2 =y ,即 X 1+ X 2= 2x , y 1 + y 2= 2y.⑤把④⑤代入到③中得x =— 4y , •直线方程为x + 4y =0,X 2 2 ,4 + '= 1 , /曰 2 血由得x 2= 5 . •X1一〒,4,5X 2. 5x + 4y = 0,答案：C 、填空题5.直线y = kx + 1与椭圆m 1恒有公共点，m 的取值范围是解析：•••方程X5 + m = i 表示椭圆，.• m>0且m z 5.v 直线y = kx + 1恒过(0,1)点,•••要使直线与椭圆总有公共点，应有: m > 1, • m 的取值范围是2 2消去 y 得 k x — 4( k + 2)x + 4 =k >— 1,k =— 1 或k = 2,即 k = 2.•••点M 的轨迹方程为x + 4y = 0( — \5<x<\5).5 5 ‘ 答案：x + 4y = 0(—誓。
高三数学一轮同步训练直线与圆锥曲线的位置关系1 Word版含答案
. 直线与圆锥曲线的位置关系
.已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点若
，则．
.过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则．
.已知椭圆（＞＞）的右焦点为，右准线为，离心率过顶点(，)作,垂足为，则直线的斜率等于.
.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为.
.已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为，一条准线方程为：＝.
()求椭圆的标准方程；
()设为坐标原点，是椭圆的右焦点，点是直线上的动点，过点作的垂
线与以为直径的圆交于点，求证：线段的长为定值．
.过点(，)的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点、，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点．
（）当直线过椭圆右焦点时，求线段的长；
（Ⅱ）当点异于点时，求证：为定值．
.已知抛物线:上横坐标为的点到焦点的距离为.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设直线与抛物线交于两点，，且（，且为常数）.过弦的中点作平行于轴的直线交抛物线于点，连结、得到.
（）求证：；
（）求证：的面积为定值.
【回顾反思】
．直线与圆锥曲线的位置关系。
2011届湖南地区高考数学第一轮复习 圆锥曲线方程——直线与圆锥曲线的位置关系学案(2)
圆锥曲线方程——直线与圆锥曲线的位置关系（2）一、学习目标：1．能利用弦长公式解决直线与圆锥曲线相交所得的弦长的有关问题，会运用圆锥曲线的第二定义求焦点弦长；2．体会“设而不求”、“方程思想”和“待定系数”等方法．二、自主学习：【课前检测】1．设直线21y x =-交曲线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点， （1）若12||x x -=||AB = ．（2）12||y y -||AB = ． 2．斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于,A B 两点，则||AB = ．3．过双曲线2212y x -=的右焦点作直线l ，交双曲线于,A B 两点，若||4AB =，则这样的直线l 有（ ）()A 1条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条4．已知椭圆2224x y +=，则以(1,1)为中点的弦的长度是（ ） ()A ()B ()C ()D【考点梳理】1．弦长公式1212||||AB x x y y =-=-．2．焦点弦长：||PF e d =（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）三、合作探究：例1．如图，过抛物线22(0)y px p =>上一定点000(,)(0)P x y y >，作两条直线分别交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y ，（1）求该抛物线上纵坐标为2p的点到其焦点F 的距离；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求120y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数．例2．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点)0)(0,(>c c F 的准线l 与x 轴相交于点A ，||2||FA OF =，过点A 的直线与椭圆相交于,P Q 两点．（I ）求椭圆的方程及离心率；（II ）若,0.=求直线PQ 的方程；（III ）设)1(>=λλ，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FQ FM λ-=．例3．已知倾斜角为45︒的直线l 过点(1,2)A -和点B ，B在第一象限，||AB =.(1) 求点B 的坐标；（2）若直线l 与双曲线222:1x C y a -=(0)a >相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为(4,1)，求a 的值；（3）对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称||PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离. 已知点P 在x 轴上运动，写出点(,0)P t 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.四、课堂总结：知识：方法：思想：五、检测巩固：1．过双曲线22221x y a b -=的右焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是左焦点，若0190PFQ ∠=，则双曲线的离心率是（ ）()A ()B 1 ()C 2 ()D 32．过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ，则11p q +等于（ ） ()A 2a ()B 12a ()C 4a ()D 4a3．直线y x m =+与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点，则||AB 的最大值是（ ）()A 2 ()B 5 ()C 5 ()D 54．过抛物线24y x =的焦点，作倾斜角为α的直线交抛物线于A ，B 两点，且316=AB 则=α ．5．若过椭圆2221(02)4x y b b +=<<右焦点2F 且倾斜角为34π的直线与椭圆相交所得的弦长等于247，则b = ．6．设抛物线22(0)y px p =>，Rt AOB ∆ 内接于抛物线，O 为坐标原点，,AO BO AO ⊥所在的直线方程为2y x =，||AB =7．已知某椭圆的焦点是()()124,04,0F F -、，过点2F 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且1210F B F B +=．椭圆上不同的两点()()1122,,A x y C x y 、满足条件：222F A F B F C、、成等差数列． （Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）求弦AC 中点的横坐标；（Ⅲ）设弦AC 垂直平分线的方程为y kx m =+，求m 的取值范围．六、学习反思：。
(全国通用版)高考数学一轮复习高考达标检测 圆锥曲线的综合问题——直线与圆锥曲线的位置关系(文)
高考达标检测（三十八） 圆锥曲线的综合问题——直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且点A 在第一象限，若|AF |＝3，则直线l 的斜率为( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2 2解析：选D 由题意可知焦点F (1,0)，设A (x A ，y A )， 由|AF |＝3＝x A ＋1，得x A ＝2，又点A 在第一象限， 故A (2,22)，故直线l 的斜率为2 2.2．若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝x 有一个公共点，则实数k 的值为( ) A. 18 B ．0 C. 18或0 D ．8或0解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝x ，得ky 2－y ＋2＝0，若k ＝0，直线与抛物线有一个交点，则y ＝2， 若k ≠0，则Δ＝1－8k ＝0，∴k ＝18，综上可知k ＝0或 18.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，过点P (3,6)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (12,15)，则双曲线C 的离心率为( )A ．2 B.32 C.355D.52解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AB 的中点为N (12,15)，得x 1＋x 2＝24，y 1＋y 2＝30，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减得：x 1＋x 2x 1－x 2a2＝y 1＋y 2y 1－y 2b2，则y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝4b 25a2. 由直线AB 的斜率k ＝15－612－3＝1，∴4b 25a 2＝1，则b 2a 2＝54， ∴双曲线的离心率e ＝c a＝1＋b 2a 2＝32. 4．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA ―→·MB ―→＝0，则k ＝ ( )A.12B.22C. 2D ．2解析：选D 如图所示，设F 为焦点，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA ―→·MB ―→＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ， 又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ， 所以∠AFM ＝∠AGM ＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2.5．已知F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，A ，B 分别为其左、右顶点．O 为坐标原点，D 为其上一点，DF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段DF 交于点E ，与y 轴交于点M ，直线BE 与y 轴交于点N ，若3|OM |＝2|ON |，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 如图，设A (－a,0)，B (a,0)，M (0，2m )，N (0，－3m )． 则直线AM 的方程为y ＝2m a x ＋2m ，直线BN 的方程为y ＝3max －3m .∵直线AM ，BN 的交点D (c ，y 0)， ∴2mc a ＋2m ＝3mc a －3m ，则ca＝5，∴双曲线的离心率为5.6．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4t 2－15.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4t 2－15＝425·5－t 2， 故当t ＝0时，|AB |max ＝4105.二、填空题7．焦点是F (0,52)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为__________．解析：设所求的椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线被椭圆所截弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题意，可得弦AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，且x 1＋x 22＝27，y 1＋y 22＝－37.将A ，B 两点坐标代入椭圆方程中，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21a 2＋x 21b2＝1，y 22a 2＋x22b 2＝1.两式相减并化简，得a 2b 2＝－y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－2×－6747＝3，所以a 2＝3b 2.又c 2＝a 2－b 2＝50，所以a 2＝75，b 2＝25. 故所求椭圆的标准方程为y 275＋x 225＝1.答案：y 275＋x 225＝18．经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点，则该双曲线的离心率为________．解析：∵经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点，∴根据双曲线的几何性质知所给直线应与双曲线的一条渐近线y ＝bax 平行， ∴b a＝tan 60°＝3，即b ＝3a ， ∴c ＝a 2＋b 2＝2a ，故e ＝c a＝2. 答案：29．抛物线x 2＝4y 与直线x －2y ＋2＝0交于A ，B 两点，且A ，B 关于直线y ＝－2x ＋m 对称，则m 的值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2),联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，x －2y ＋2＝0消去y ，得x 2－2x －4＝0.则x 1＋x 2＝2，x 1＋x 22＝1.∴y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)＋2＝3，y 1＋y 22＝32.∵A ，B 关于直线y ＝－2x ＋m 对称， ∴AB 的中点在直线y ＝－2x ＋m 上， 即32＝－2×1＋m ，解得m ＝72. 答案：72三、解答题10．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，过右焦点F 2(c,0)垂直于x 轴的直线与椭圆交于P ，Q 两点且|PQ |＝433，又过左焦点F 1(－c,0)作直线l 交椭圆于两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 上两点A ，B 关于直线l 对称，求△AOB 面积的最大值．解：(1)由题意可知|PQ |＝2b 2a ＝433. ①又椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝33，则b 2a 2＝23， ② 由①②解得a 2＝3，b 2＝2， ∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)由(1)可知左焦点F 1(－1,0),依题意，直线l 不垂直x 轴，当直线l 的斜率k ≠0时，可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，则直线AB 的方程可设为y ＝－1kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ＋m ，x 23＋y22＝1，整理得(2k 2＋3)x 2－6kmx ＋3k 2m 2－6k 2＝0，Δ＝(－6km )2－4×(2k 2＋3)(3k 2m 2－6k 2)＞0，则m 2k 2－2k 2－3＜0， ③ x 1＋x 2＝6km 2k 2＋3，x 1x 2＝3k 2m 2－6k 22k 2＋3. 设AB 的中点为C (x C ，y C )， 则x C ＝x 1＋x 22＝3km 2k 2＋3，y C ＝2k 2m2k 2＋3. ∵点C 在直线l 上，∴2k 2m 2k 2＋3＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫3km 2k 2＋3＋1， 则m ＝－2k －3k， ④此时m 2－2－3k 2＝4k 2＋6k2＋10＞0与③矛盾，故k ≠0时不成立.当直线l 的斜率k ＝0时，A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)(x 0＞0，y 0＞0)， ∴△AOB 的面积S ＝12·2y 0·x 0＝x 0y 0.∵x 203＋y 202＝1≥2 x 203·y 202＝63x 0y 0，∴x 0y 0≤62. 当且仅当x 203＝y 202＝12时取等号．∴△AOB 的面积的最大值为62. 11．已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，E 上一点(3，m )到焦点的距离为4.(1)求抛物线E 的方程；(2)过F 作直线l ，交抛物线E 于A ，B 两点，若直线AB 中点的纵坐标为－1，求直线l 的方程．解：(1)抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p2，由抛物线的定义可知3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2 ＝4，解得p ＝2，∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)法一：由(1)得抛物线E 的方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)， 设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，整理得y 2－y 1x 2－x 1 ＝4y 2＋y 1(x 1≠x 2)． ∵线段AB 中点的纵坐标为－1， ∴直线l 的斜率k AB ＝4y 2＋y 1＝4－1×2＝－2， ∴直线l 的方程为y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0. 法二：由(1)得抛物线E 的方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)， 设直线l 的方程为x ＝my ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1消去x ，得y 2－4my －4＝0.设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵线段AB 中点的纵坐标为－1， ∴y 1＋y 22 ＝4m2＝－1，解得m ＝－12， ∴直线l 的方程为x ＝－12y ＋1，即2x ＋y －2＝0.12．(2018·海口调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右顶点分别为A ，B ，其离心率e ＝12，点M 为椭圆上的一个动点，△MAB 面积的最大值是2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过椭圆C 右顶点B 的直线l 与椭圆的另一个交点为D ，线段BD 的垂直平分线与y 轴交于点P ，当PB ―→·PD ―→＝0时，求点P 的坐标．解：(1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，12×2ab ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知B (2,0)，设直线BD 的方程为y ＝k (x －2)，D (x 1，y 1)， 把y ＝k (x －2)代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，所以2＋x 1＝16k 23＋4k 2⇒x 1＝8k 2－63＋4k 2，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－63＋4k 2，－12k 3＋4k 2， 所以BD 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 2，－6k 3＋4k 2，则直线BD 的垂直平分线方程为y －－6k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －8k 23＋4k 2，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2k 3＋4k 2. 又PB ―→·PD ―→＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2k 3＋4k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－63＋4k 2，－14k 3＋4k 2＝0，化简得64k 4＋28k 2－363＋4k 22＝0⇒64k 4＋28k 2－36＝0，解得k ＝±34. 故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，27或⎝⎛⎭⎪⎫0，－27.1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，离心率为22，设过右焦点的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，过A ，B 作直线x ＝2的垂线AP ，BQ ，垂足分别为P ，Q .记λ＝|AP |＋|BQ ||PQ |，若直线l 的斜率k ≥3，则λ的取值范围为__________．解析：∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，离心率为22，∴⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝c ＝1，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.∵过右焦点的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ， ∴设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k x －1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0,设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1＞y 2， 则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，∴λ＝|AP |＋|BQ ||PQ |＝2－x 1＋2－x 2y 1－y 2＝4－x 1＋x 2kx 1－1－k x 2－1＝4－x 1＋x 2kx 1＋x 22－4x 1x 2＝4－4k22k 2＋1k⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 22k 2＋12－4×2k 2－22k 2＋1＝2k 2＋2k＝2＋2k2.∵k ≥3，∴当k ＝3时，λmax ＝ 2＋23＝263，当k →＋∞时，λmin →2，∴λ的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤2，263. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤2，263 2．已知动点M 到定点F (1,0)的距离比M 到定直线x ＝－2的距离小1. (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点F 任意作互相垂直的两条直线l 1，l 2，分别交曲线C 于点A ，B 和M ，N .设线段AB ，MN 的中点分别为P ，Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点；(3)在(2)的条件下，求△FPQ 面积的最小值．解：(1)由题意可知，动点M 到定点F (1,0)的距离等于M 到定直线x ＝－1的距离， 根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹C 是抛物线， 所以点M 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.由题意可设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k x －1得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝(2k 2＋4)2－4k 4＝16k 2＋16>0.因为直线l 1与曲线C 交于A ，B 两点， 所以x 1＋x 2＝2＋4k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝4k.所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1＋2k2，2k .由题知，直线l 2的斜率为－1k，同理可得点Q 的坐标为(1＋2k 2，－2k )．当k ≠±1时，有1＋2k2≠1＋2k 2，此时直线PQ 的斜率k PQ ＝2k＋2k1＋2k2－1－2k2＝k1－k2.所以直线PQ 的方程为y ＋2k ＝k1－k 2(x －1－2k 2)，整理得yk 2＋(x －3)k －y ＝0. 于是直线PQ 恒过定点E (3,0)；当k ＝±1时，直线PQ 的方程为x ＝3，也过点E (3,0)． 综上所述，直线PQ 恒过定点E (3,0)． (3)由(2)得|EF |＝2，所以△FPQ 面积S ＝12|EF |⎝ ⎛⎭⎪⎫2|k |＋2|k |＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1|k |＋|k |≥4，当且仅当k ＝±1时，“＝”成立， 所以△FPQ 面积的最小值为4.。
高考数学一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系课件理
4．椭圆 ax2＋by2＝1 与直线 y＝1－x 交于 A、B 两点，若
过原点与线段 AB 中点的直线的倾斜角为 30°，则ab的值为( )
3
3
A. 4 B. 3
3 C. 2 D. 3
解析：设 AB 的中点为 M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2, y2)，
由点差法得yx11－ －yx22＝－abxy00＝－1，
解析：方法 1：设以 Q 为中点的弦 AB 端点坐标为 A(x1， y1)，B(x2，y2)，则有 y12＝8x1，y22＝8x2，
两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)． 又 x1＋x2＝8，y1＋y2＝2， 则 k＝xy22－－xy11＝y1＋8 y2＝4，
∴所求直线 AB 的方程为 y－1＝4(x－4)， 即 4x－y－15＝0. 方法 2：设弦 AB 所在的直线方程为 y＝k(x－4)＋1，
由yy＝ 2＝k8xx－4＋1， 消去 x 整理，得 ky2－8y－32k＋8＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由韦达定理得 y1＋y2＝8k. 又∵Q 是 AB 中点，∴y1＋2 y2＝1，
∴8k＝2，∴k＝4. ∴弦 AB 所在直线方程为 4x－y－15＝0.
点评：有关弦中点轨迹、中点弦所在直线的方程，中点坐 标的问题，有时采用“平方差”法，可优化解题方法，简化运 算．
＝2 5m＋20.
(3)设线段 AB 中点坐标为(x，y)，则 x＝x1＋2 x2＝－2， y＝y1＋2 y2＝2x1＋2 x2＝－4. ∴AB 中点坐标为(－2，－4).
题型三 圆锥曲线的中点弦问题 例 3 过点 Q(4,1)作抛物线 y2＝8x 的弦 AB，恰被 Q 所平分， 求 AB 所在直线的方程．
【精品含答案】高考一轮复习8.4直线与圆锥曲线的位置关系基础训练题(理科)
2009届高考一轮复习8.4 直线与圆锥曲线的位置关系基础训练题（理科）注意：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分100分，考试时间45分钟。
第I 卷（选择题部分 共36分）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. （易错警示题）直线01k y kx =++-与椭圆116y 25x 22=+公共点的个数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）随k 值而改变2. 设双曲线2222by a x -1=（0a >，0b >）的半焦距为c ，离心率为45，若直线kx y =与双曲线的一个交点的横坐标恰为c ，则k 等于（ ）（A ）54± （B ）53± （C ）209± （D ）259±3. 如图，过抛物线px 2y 2=（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BF |2|BC |=，且3|AF |=，则此抛物线的方程为（ ）（A ）x 9y 2=（B ）x 6y 2=（C ）x 3y 2=（D ）x 3y 2=4. 抛物线)0a (ax y 2≠=的准线与x 轴交于点P ，直线l 经过点P ，且与抛物线有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）（A ）]4,0[π（B ）],43[]4,0[πππ（C ）]43,4[ππ（D ）]43,2(]2,4[ππππ5. （2007·四川高考）已知抛物线3x y 2+-=上存在关于直线0y x =+对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）23 （D ）246. 椭圆1by ax 22=+与直线x 1y -=交于A 、B 两点，若过原点与线段AB 中点的直线的倾斜角为︒30，则ba的值为（ ） （A ）43（B ）33（C ）23 （D ）3第II 卷（非选择题部分 共64分）二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。
高三数学一轮专题复习第八章第2讲两直线的位置关系理试题
卜人入州八九几市潮王学校第2讲两直线的位置关系〔A 组〕1点(1，-1)到直线x-y+1=0的间隔是()(A)12(B)32(C)2(D)22.过两直线2x-y-5=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程为()A.3x+y+1=0B.3x+y-2=0C.3x+y=0D.3x+y-3=03.假设经过点(3，a )、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为的直线垂直，那么a 的值是()A. B. D.－104.设a ∈R ，那么“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行〞的()5.直线l 过点P (3,4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等间隔，那么直线l 的方程为() x ＋3y －18＝0x －y －2＝0x －2y ＋18＝0或者x ＋2y ＋2＝0x ＋3y －18＝0或者2x －y －2＝06.从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，那么反射光线所在的直线方程为 ()A.x ＋2y －4＝0 x ＋y －1＝0C.x ＋6y －16＝0x ＋y －8＝07．过点(1,2)与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为____________．8.直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，那么C 的值是________.9.假设直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,那么它们之间的间隔为.10.直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，那么实数a ＝________.11.两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足以下条件的a ，b 的值.(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的间隔相等.12.直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2).求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程.第2讲两直线的位置关系〔B组〕1.“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直〞的()A.充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2.a,b满足a+2b=1,那么直线ax+3y+b=0必过定点A.(−16,12)B.(12,16)C.(12,−16)D.(16,−12)3.设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，那么直线x sin A＋ay＋c＝0与bx－y sin B＋sin C ＝0的位置关系是 ()4.假设点A(3,5)关于直线l：y=kx的对称点在x轴上，那么k是()(B)5．A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB线段的中点为P10 (0,)a,那么线段AB的长为()A．11B．10 C．9D．86.一只虫子从点(0,0)出发,先爬行到直线l:x-y+1=0上的P点,再从P点出发爬行到点A(1,1),那么虫子爬行的最短路程是()A.√2B.27.过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，那么此直线l的方程为___________________.8.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，那么m＋n＝________.9.l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的间隔最大时，那么直线l1的方程是__________________________．10.假设直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，那么m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是________.11在△ABC 中,A(0,1),AB 边上的高CD 所在直线的方程为x+2y-4=0,AC 边上的中线BE 所在直线的方程为2x+y-3=0.(1)求直线AB 的方程.(2)求直线BC 的方程.(3)求△BDE 的面积.12.直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4).(1)在直线l 上求一点P ，使|PA |＋|PB |最小；(2)在直线l 上求一点P ，使||PB |－|PA ||最大.第2讲两直线的位置关系〔C 组〕1.过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l 1,直线2x+y-1=0为l 2,直线x+ny+1=0为l 3.假设l 1∥l 2,l 2⊥l 3,那么实数m+n 的值是()A.-10B.-2l 1：y ＝x sin α和直线l 2：y ＝2x ＋c ，那么直线l 1与l 2()会重合B.通过绕l 1上某一点旋转可以重合C.可能垂直D.可能与x 轴围成等腰直角三角形 3．曲线－＝1与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，那么m 的取值范围是()A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B．(－4,4)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－3,3)4.b ＞0，直线x-b 2y-1=0与直线(b 2+1)x+ay+2=0互相垂直，那么ab 的最小值等于() (A)1(B)2(C)2235.如图，A (4,0)、B (0,4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，那么光线所经过的路程是()6.一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，那么反射光线所在直线的斜率为〔〕 〔A 〕53-或者35-〔B 〕32-或者23-〔C 〕54-或者45-〔D 〕43-或者34- 7.点P (2,1)到直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )的最大间隔是________.8．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，那么b 的取值范围是________．9.如图，直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的间隔分别为3和2，点B 是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，那么△ABC 的面积的最小值为________.10在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的间隔之和最小的点的坐标是________.11.点P (2，－1).(1)求过P 点且与原点间隔为2的直线l 的方程；(2)求过P 点且与原点间隔最大的直线l 的方程，并求出最大间隔.(3)是否存在过P 点且与原点间隔为6的直线？假设存在，求出方程；假设不存在，请说明理由.12.如图，函数f (x )＝x ＋的定义域为(0，＋∞).设点P 是函数图象上任一点，过点P 分别作直线y ＝x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N .(1)证明：|PM |·|PN |为定值；(2)O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值.。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习试题：8.9.1直线与圆锥曲线的位置关系Word版含答案
1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题． (2)理解数形结合的思想． (3)了解圆锥曲线的简单应用． 2．定值(定点)与最值问题理解基本几何量，如：斜率、距离、面积等概念，掌握与圆锥曲线有关的定值(定点)、最值问题．3．存在性问题能够合理转化，掌握与圆锥曲线有关的存在性问题．知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．易误提醒 (1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．[自测练习]1．若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)，故选C.答案：C2．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交． 答案：A知识点二 弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋1k 2·|y 1－y 2| ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 必备方法 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝py 0.[自测练习]3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________．解析：则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝14．已知抛物线y ＝ax 2的焦点到准线的距离为2，则直线y ＝x ＋1截抛物线所得的弦长等于________．解析：由题设p ＝12a ＝2，∴a ＝14.抛物线方程为y ＝14x 2，焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1.直线过焦点F ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝x ＋1，消去x ，整理得y 2－6y ＋1＝0，∴y 1＋y 2＝6， ∴所得弦|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋1＋y 2＋1＝8. 答案：8考点一 直线与圆锥曲线的位置关系|1．(2016·兰州检测)若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1D ．0解析：∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<4.∴m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1， ∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个，故选B.答案：B2．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k2>0，解得－153<k <－1. 答案：D考点二 弦长问题|已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，O 为坐标原点，点P ⎝⎛⎭⎫－1，22在椭圆上，且PF 1→·F 1F 2→＝0，⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的标准方程；(2)当OA →·OB →＝λ，且满足23≤λ≤34时，求弦长|AB |的取值范围．[解] (1)依题意，可知PF 1⊥F 1F 2，∴c ＝1，1a 2＋12b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1.∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O ：x 2＋y 2＝1相切，则|m |k 2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∴Δ>0⇒k 2>0⇒k ≠0，x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2＝1－k 21＋2k 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋k 21＋2k 2＝λ∴23≤1＋k 21＋2k 2≤34，∴12≤k 2≤1， ∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 4＋k 2)4(k 4＋k 2)＋1设u ＝k 4＋k 2⎝⎛⎭⎫12≤k 2≤1， 则34≤u ≤2，|AB |＝22u 4u ＋1＝212－12(4u ＋1)，u ∈⎣⎡⎦⎤34，2， ∵|AB |(u )在⎣⎡⎦⎤34，2上单调递增， ∴62≤|AB |≤43.解决弦长问题的注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长．(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP |＋1|FQ |＝( )A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意可知，|PF |＝x 1＋2，|QF |＝x 2＋2，则1|FP |＋1|FQ |＝1x 1＋2＋1x 2＋2＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4，联立直线与抛物线方程消去y 得，k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，可知x 1x 2＝4，故1|FP |＋1|FQ |＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝x 1＋x 2＋42(x 1＋x 2)＋8＝12.故选A.答案：A考点三 中点弦问题|弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点．归纳起来常见的探究角度有： 1．由中点弦确定直线方程． 2．由中点弦确定曲线方程． 3．由中点弦解决对称问题． 探究一 由中点弦确定直线方程1．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2).又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：x ＋2y －8＝0探究二 由中点弦确定曲线方程2．过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为________．解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得，y ′＝x p ，切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p (x －x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p .又点M (2，－2p )位于直线MA 上，于是有－2p ＝x 1p ×2－x 212p，即x 21－4x 1－4p 2＝0；同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.由线段AB 的中点的纵坐标是6得，y 1＋y 2＝12，即x 21＋x 222p ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22p ＝12，16＋8p 22p＝12，解得p ＝1或p ＝2.答案：x 2＝2y 或x 2＝4y探究三 由中点弦解决对称问题3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 的值为( )A.32 B.52 C ．2D ．3解析：由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1<x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m ＝32，选A.答案：A对于中点弦问题，常用的解题方法是平方差法．其解题步骤为 ①设点：即设出弦的两端点坐标． ②代入：即代入圆锥曲线方程．③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开． ④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．28.设而不求整体变换思想在圆锥曲线结合问题中的应用【典例】 (2016·台州模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点与抛物线C ：x 2＝43y 的焦点重合，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e ＝12，过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若OM →·ON →＝－2，求直线l 的方程；(3)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN ∥AB ，求证：|AB |2|MN |为定值．[思维点拨] (1)待定系数法求a ，b .(2)注意判断l 的斜率是否存在．(3)利用弦长公式表示出|AB |，|MN |后整体变形得结论．[解] (1)椭圆的顶点为(0，3)，即b ＝3，e ＝c a ＝12，∴a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题可知，直线l 与椭圆必相交． ①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝4k 2－123＋4k 2＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1 ＝－5k 2－123＋4k 2＝－2，解得k ＝±2，故直线l 的方程为y ＝2(x －1)或y ＝－2(x －1)． (3)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)， 由(2)可得|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫8k 23＋4k 22－4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx消去y 并整理得x 2＝123＋4k 2，|AB |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝43(1＋k 2)3＋4k 2，∴|AB |2|MN |＝48(1＋k 2)3＋4k 212(k 2＋1)3＋4k 2＝4，为定值． [方法点评]对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值.A 组 考点能力演练1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．答案：A2．(2016·福州质检)抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2xC ．x 2＝2yD ．y 2＝－2x解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x ，故选B.答案：B3．已知双曲线 x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B ．(－3，3)C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D ．[－3，3]±33x .解析：由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.答案：C4．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12 B.22C. 2D ．2解析：如图所示，设F 为焦点，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA →·MB →＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM ＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2.答案：D5．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1 B. 2 C.32D. 3解析：由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a ＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3.答案：D6．抛物线y 2＝－12x 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________．解析：y 2＝－12x 的准线方程为x ＝3， 双曲线x 29－y 23＝1的渐近线为y ＝±33x .设抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝33x ，求得A (3，3)，同理B (3，－3)，所以|AB |＝23， 而O 到直线AB 的距离d ＝3，故所求三角形的面积S ＝12|AB |×d ＝12×23×3＝3 3.答案：3 37．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析：如图，由题知OA ⊥AF ，OB ⊥BF 且∠AOB ＝120°，∴∠AOF ＝60°.又OA ＝a ，OF ＝c ，∴a c ＝OA OF ＝cos 60°＝12，∴ca ＝2. 答案：28．直线l 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，且与椭圆相交于P ，Q 两点，M 为PQ 的中点，O 为原点．若△FMO 是以OF 为底边的等腰三角形，则直线l 的方程为________．解析：法一：由椭圆方程得a ＝2，b ＝c ＝1， 则F (－1,0)．在△FMO 中，|MF |＝|MO |， 所以M 在线段OF 的中垂线上，即x M ＝－12，设直线l 的斜率为k ，则其方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，得x 2＋2k 2(x ＋1)2－2＝0，即(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，∴x P ＋x Q ＝－4k 22k 2＋1，而M 为PQ 的中点， 故x M ＝12(x P ＋x Q )＝－2k 22k 2＋1＝－12，∴k 2＝12，解得k ＝±22.故直线l 的方程为y ＝±22(x ＋1)，即x ±2y ＋1＝0.法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，由题意知k PQ ＝－k OM，由P 、Q 在椭圆上知⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1，x222＋y 22＝1，两式相减整理得k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－x 02y 0，而k OM ＝y 0x 0，故x 02y 0＝y 0x 0，即x 20＝2y 20，所以k PQ ＝±22， 直线PQ 的方程为y ＝±22(x ＋1)，即x ±2y ＋1＝0.答案：x ±2y ＋1＝09．(2016·洛阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (3，0)，且椭圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交直线x ＝m (m >a )于M 点，若k P A ，k PM ，k PB 成等差数列，求实数m 的值．解：(1)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，3a 2＋14b 2＝1，得a 2＝4，b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l ：y ＝k (x －3)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (m ，y m )．将直线方程代入椭圆方程x 2＋4y 2＝4中，得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋12k 2－4＝0，则x 1＋x 2＝83k 21＋4k 2，x 1·x 2＝12k 2－41＋4k2.此时k P A ＝y 1－12x 1－3＝k －12(x 1－3)，k PB ＝y 2－12x 2－3＝k －12(x 2－3). ∴k P A ＋k PB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12(x 1－3)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12(x 2－3) ＝2k －x 1＋x 2－232[x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋3]＝2k －83k 21＋4k2－232⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－41＋4k 2－3·83k 21＋4k 2＋3＝2k － 3.又M (m ，y m )在直线l 上，∴y m ＝k (m －3)，则k PM ＝y m －12m －3＝k －12(m －3). 若k P A ，k PM ，k PB 成等差数列，则2k PM ＝k P A ＋k PB ，则2k －1m －3＝2k －3，解得m ＝433.10．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，－2)到该抛物线焦点的距离为2，动直线l 与C 交于两点A ，B (A ，B 异于点P )，与x 轴交于点M ，AB 的中点N ，且直线P A ，PB 的斜率之积为1.(1)求抛物线C 的方程； (2)求|AB ||MN |的最大值． 解：(1)因为点P (x 0，－2)在抛物线上， 所以2px 0＝4⇒x 0＝2p .由抛物线的定义知， 2p ＋p2＝2⇒(p －2)2＝0⇒p ＝2， 故抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)由(1)知，x 0＝1，得P (1，－2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4t ＝0.Δ＝16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0，① y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ， 因为k 1＝y 1＋2x 1－1＝y 1＋2y 214－1＝4y 1－2.同理k 2＝4y 2－2.所以k 1k 2＝4y 1－2·4y 2－2＝1，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)－12＝0， 即－4t －8m －12＝0⇒t ＝－2m －3. 代入①得m 2－2m －3>0⇒m <－1或m >3. 因为|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋m 2·16m 2＋16t ＝41＋m 2·m 2－2m －3，又y M ＝0，y N ＝y 1＋y 22＝2m ，则|MN |＝1＋m 2|y M －y N |＝21＋m 2|m |. 所以|AB ||MN |＝2m 2－2m －3|m |＝21－2m －3m2 ＝2－3⎝⎛⎭⎫1m ＋132＋43，故当m ＝－3时，|AB ||MN |取到最大值433.B 组 高考题型专练1．(2015·高考福建卷)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.由已知|AF |＝3，得2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)法一：如图，因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2.又G (－1,0)， 所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切． 法二：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)． 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0， 解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2.又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0， 从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．2．(2015·高考重庆卷)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解：(1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一：连接QF 1，如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，x 20＋y 20＝c 2， 求得x 0＝±a ca 2－2b 2，y 0＝±b 2c.由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， |QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|. 又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |， 知|QF 1|＝2|PF 1|，因此(2＋2)|PF1|＝4a，即(2＋2)(a＋a2－2b2)＝4a，于是(2＋2)(1＋2e2－1)＝4，解得e＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3.法二：连接QF1，如图，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝2|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝2|PF1|，则|PF1|＝2(2－2)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－2)a＝2(2－1)a，由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此e＝ca＝|PF1|2＋|PF2|22a＝(2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.。
高考一轮复习数学试题(新人教B版)第八章8-8直线与圆锥曲线的位置关系
1．已知直线l ：kx ＋y ＋1＝0，椭圆C ：x 216＋y 24＝1，则直线l 与椭圆C 的位置关系是( ) A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定2．(2023·长春模拟)直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，且与C 交于A ，B 两点，若使|AB |＝2的直线l 有且仅有1条，则p 等于( )A.14B.12C ．1D ．2 3．已知直线l 的方程为y ＝kx －1，双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1.若直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点，则实数k 的取值范围是( )A ．(－2，2)B ．[1，2)C ．[－2，2]D ．(1，2)4．(2022·哈尔滨模拟)已知A ，B 分别是椭圆C ：x 24＋y 2＝1的右顶点和上顶点，P 为椭圆C 上一点，若△P AB 的面积是2－1，则P 点的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．45．(多选)已知直线l ：x ＝ty ＋4与抛物线C ：y 2＝4x 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，O 为坐标原点，直线OA ，OB 的斜率分别记为k 1，k 2，则( )A ．y 1y 2为定值B ．k 1k 2为定值C ．y 1＋y 2为定值D ．k 1＋k 2＋t 为定值6．(多选)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，其中|F 1F 2|＝2c .直线l ：y ＝k (x ＋c )(k ∈R )与椭圆交于A ，B 两点，则下列说法中正确的是( )A ．△ABF 2的周长为4aB ．若AB 的中点为M ，则k OM ·k ＝b 2a 2C ．若AF 1—→·AF 2—→＝3c 2，则椭圆的离心率的取值范围是⎣⎡⎦⎤55，12D ．若|AB |的最小值为3c ，则椭圆的离心率e ＝13 7．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，斜率为12的直线l 过左焦点F 1且交C 于A ，B 两点，且△ABF 2内切圆的周长是2π，若椭圆的离心率为12，则|AB |＝________. 8．(2023·保定模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 作斜率为5的直线l 与C 交于M ，N 两点，若线段MN 中点的纵坐标为10，则F 到C 的准线的距离为________．9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，长轴长为4. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知直线l 过定点E ⎝⎛⎭⎫14，0，若椭圆C 上存在两点A ，B 关于直线l 对称，求直线l 的斜率k 的取值范围．10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，点P (5，23)在双曲线C 上．(1)求双曲线C 的方程；(2)记O 为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，若△OAB 的面积为22，求直线l 的方程．11．(2022·六安模拟)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则在椭圆上一点A (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1，试运用该性质解决以下问题：椭圆C 1：x 22＋y 2＝1，O 为坐标原点，点B 为C 1在第一象限中的任意一点，过B 作C 1的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于C ，D 两点，则△OCD 面积的最小值为( )A ．1 B. 3 C. 2 D ．212．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与C 交于A ，B 两点(点A在x 轴上方)，过A ，B 分别作l 的垂线，垂足分别为M ，N ，连接MF ，NF .若|MF |＝3|NF |，则直线AB 的斜率为________．13．(2022·济南模拟)已知抛物线C ：y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，直线l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M 1，M 2，M 3，M 4四点，则下列各式结果为定值的是( )A ．|M 1M 2|·|M 3M 4|B ．|FM 1|·|FM 4|C ．|M 1M 3|·|M 2M 4|D ．|FM 1|·|M 1M 2|14．(2022·新高考全国Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12.过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE |＝6，则△ADE 的周长是________．。
2022年高考一轮数学复习 8-4直线与圆锥曲线的位置关系 理 同步练习（名师解析）
第8章第4节知能训练·提升考点一：交点问题1．直线－＋＋1＝0与椭圆错误!＋错误!＝1公共点的个数为A．0B．1C．2 D．随值而改变解析：由题意知，直线可化为－1＝＋1，故直线过定点－1,1，而－1,1在椭圆内部，故直线与椭圆必相交．答案：C2．直线＝2与曲线922＋2＝182||∈R，且≠0的公共点的个数为A．1 B．2C．3 D．4解析：由错误!得||－12＝错误!，∴||＝1±错误!∴＝1＋错误!或1－错误!或－1－错误!或－1＋错误!，答案：D3．有且只有一个公共点是直线和抛物线相切的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件解析：当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个公共点，但直线与抛物线不相切，故有且只有一个公共点是直线和抛物线相切的必要非充分条件．答案：C考点二：弦长问题4．斜率为1的直线与椭圆错误!＋2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为A．2解析：设直线的方程为＝＋t，联立椭圆方程消得52＋8t＋4t2－4＝0弦长|AB|＝错误!·错误!≤错误!答案：C5．设直线过双曲线2－错误!＝1的一个焦点，交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，若错误!交轴于点与AB的交点为E，则|FE|＝|F A|－|AE|＝|F A|－错误!＝错误!|F A|－|FB|＝错误!错误!－错误!＝错误!所以|F与AB的交点为E E，E，则E＝错误!＝错误!，E＝E－2＝错误!，故直线m的方程为－错误!＝－错误!－错误!．令＝0，得点＞0，则|错误!，由双曲线的第二定义有|AA′|＝错误!，|BB′|＝错误!，∵直线AB的斜率为错误!，∴∠A＝错误!，co A＝错误!＝错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，故e＝错误!，选A答案：A2．2022·全国Ⅱ已知椭圆C：错误!＋错误!＝1a＞b＞0的离心率为错误!，过右焦点F 的直线与C相交于A、B两点．当的斜率为1时，坐标原点O到的距离为错误!1求a，b的值；2C上是否存在点，N两点，求线段MN长度的最大值．解析：1设点1，1，N2，2都在C1上，此时由④知|MF|＝6－错误!1，|NF|＝6－错误!2，从而|MN|＝|MF|＋|NF|＝6－错误!1＋6－错误!2＝12－错误!1＋2．由错误!得3＋422－242＋362－108＝0则1，2是这个方程的两根，所以＋2＝错误!，|MN|＝12－错误!1＋2＝12－错误!1因为当≤－2错误!，或≥2错误!时，2≥24，所以|MN|＝12－错误!＝12－错误!≤12－错误!＝错误!当且仅当＝±2错误!时，等号成立．ⅱ当AF＜＜BF，即－2错误!＜＜2错误!时，直线与轨迹C的两个交点M1，1，N2，2分别在C1，C2上，不妨设点M在C1上，点N在C2上，则由④⑤知，|MF|＝6－错误!1，|NF|＝3＋2设直线AF与椭圆C1的另一交点为E0，0，则0＜1，2＜2|MF|＝6－错误!1＜6－错误!0＝|EF|，|NF|＝3＋2＜3＋2＝|AF|，所以|MN|＝|MF|＋|NF|＜|EF|＋|AF|＝|AE|而点A，E都在C1上，且AE＝－2错误!，由ⅰ知|AE|＝错误!，所以|MN|＜错误!若直线的斜率不存在，则1＝2＝3，此时|MN|＝12－错误!1＋2＝9＜错误!综上所述，线段MN长度的最大值为错误!若直线错误!－2＝0与双曲线错误!－错误!＝1的两个交点在轴上的射影恰好是该双曲线的两个焦点，则此双曲线的离心率等于D．2解析：由题意如图所示，当＝c时，＝错误!＝错误!，B由图可知错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，∴2b4＝a2c2，∴2c2－a22＝a2c2⇔2c4＋2a4－5a2c2＝0，∴2e4－5e2＋2＝0，∴e2＝2或e2＝错误!舍去，∴e＝错误!答案：C。
高考理科数学一轮复习练习：第八篇 第7节 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系
第7节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.已知抛物线y2=2x,过点(-1,2)作直线l,使l与抛物线有且只有一个公共点,则满足上述条件的直线l共有( D )(A)0条(B)1条(C)2条(D)3条解析:因为点(-1,2)在抛物线y2=2x的左侧,所以该抛物线一定有两条过点(-1,2)的切线,过点(-1,2)与x轴平行的直线也与抛物线只有一个交点,所以过点(-1,2)有3条直线与抛物线有且只有一个交点.故选D.2.已知椭圆+=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为( B )(A)(B)- (C)2 (D)-2解析:设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=4,两式相减,得+=0,所以=-,所以k==-.故选B.3.过点P(1,1)作直线与双曲线x2-=1交于A,B两点,使点P为AB中点,则这样的直线( D )(A)存在一条,且方程为2x-y-1=0(B)存在无数条(C)存在两条,方程为2x±(y+1)=0(D)不存在解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=2,y1+y2=2,- =1,- =1,两式相减得(x1-x2)(x1+x2)- (y1-y2)(y1+y2)=0,所以x1-x2= (y1-y2),即k AB=2,故所求直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.联立可得2x2-4x+3=0,但Δ=(-4)2-4×2×3<0,此方程没有实数解,故这样的直线不存在.故选D.4.已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|等于( C )(A)2∶ (B)1∶2 (C)1∶ (D)1∶3解析:FA:y=-x+1,与x2=4y联立,得x M=-1,FA:y=-x+1,与y=-1联立,得N(4,-1),由三角形相似知==.故选C.5.(2017·柳州市、钦州市一模)过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F作直线l与双曲线交于A,B两点,使得|AB|=4b,若这样的直线有且仅有两条,则离心率e的取值范围是( D )(A)(1,) (B)(,+∞)(C)(,) (D)(1,)∪(,+∞)解析:过左焦点的直线如果与双曲线的两支相交,得最短弦为2a;如果与双曲线的一支相交得最短弦长为,此时弦垂直于x轴,因为满足|AB|=4b的弦有且仅有两条,所以得如图两种情况.或①或②由①得所以所以解得结合e>1得,1<e<,由②同理解得e>,综合可得,有2条直线符合条件时,e>或1<e<.故选D.6.已知椭圆C:+=1(a>b>0),F(,0)为其右焦点,过F且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2.则椭圆C的方程为.解析:把x=c代入椭圆方程解得y=±,所以弦长=2,则解得所以椭圆C的方程为+=1.答案:+=17.过点M(2,-2p)作抛物线x2=2py(p>0)的两条切线,切点分别为A,B,若线段AB的中点的纵坐标为6,则p的值是.解析:抛物线x2=2py是关于x的二次函数y=x2,其导函数为y′=,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则切线MA的方程是y-y1=(x-x1),即y=x-.又点M(2,-2p)位于直线MA上,于是有-2p=×2-,即-4x1-4p2=0;同理有-4x2-4p2=0,因此x1,x2是方程x2-4x-4p2=0的两根,则x1+x2=4,x1x2=-4p2.由线段AB的中点的纵坐标是6得,y1+y2=12,即==12,=12,解得p=1或p=2.答案:1或28.(2017·邯郸市二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,以抛物线C上的点M(x0,2)(x0>)为圆心的圆与线段MF相交于点A,且被直线x=截得的弦长为||,若=2,则||= .解析:由题意,|MF|=x0+.因为圆M与线段MF相交于点A,且被直线x=截得的弦长为||,所以|MA|=2(x0-).因为=2,所以|MF|=|MA|,所以x0=p,所以2p2=8,所以p=2,所以||=1.答案:1能力提升(时间:15分钟)9. F为椭圆+y2=1的右焦点,第一象限内的点M在椭圆上,若MF⊥x 轴,直线MN与圆x2+y2=1相切于第四象限内的点N,则|NF|等于( A )(A)(B) (C)(D)解析:因为MF⊥x轴,F为椭圆+y2=1的右焦点,所以F(2,0),M(2,),设l MN:y-=k(x-2),N(x,y),则O到l MN的距离d==1,解得k=(负值舍去).又因为⇒即N(,-),所以|NF|==.故选A.10.(2017·泉州市模拟)椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P,Q两点,则△F1PQ内切圆面积的最大值是.解析:因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍,且△F1PQ的周长是定值8,所以只需求出△F1PQ面积的最大值.设直线l方程为x=my+1,与椭圆方程联立得(3m2+4)y2+6my-9=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,于是=|F1F2|·|y1-y2|==12.设m2+1=t∈[1,+∞),则==,在t∈[1,+∞)内,9t+是单调递增的,所以t=1取得最大的=12·=3.所以内切圆半径r=≤,因此其面积最大值是π.答案:π11.(2017·武汉市模拟)已知直线MN过椭圆+y2=1的左焦点F,与椭圆交于M,N两点.直线PQ过原点O与MN平行,且PQ与椭圆交于P,Q两点,则= .解析:不妨取直线MN⊥x轴,椭圆+y2=1的左焦点F(-1,0),令x=-1,得y2=,所以y=±,所以|MN|=,此时|PQ|=2b=2,则==2.答案:212.(2017·鞍山市一模)设A,B分别为椭圆+=1(a>b>0)和双曲线-=1的公共顶点,P,M分别为双曲线和椭圆上异于A,B的两动点,且满足+=λ(+),其中λ∈R,|λ|>1,设直线AP,BP,AM,BM的斜率分别为k1,k2,k3,k4且k1+k2=5,则k3+k4= .解析:如图所示,因为满足+=λ(+),其中λ∈R,|λ|>1,所以-2=λ·(-2),所以O,M,P三点共线.设P(x1,y1),M(x2,y2),==k≠0.则-=1,+=1,所以=,=-,因为k1+k2=5,所以5=+===·.所以k3+k4=+==-·=-5.答案:-513.(2017·张家口市模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆E:+=1的右焦点重合,直线l过点F交抛物线于A,B两点.(1)若直线l的倾斜角为135°,求|AB|的长;(2)若直线l交y轴于点M,且=m,=n,试求m+n的值.解:(1)据已知得椭圆E的右焦点为F(1,0),所以=1,故抛物线C的方程为y2=4x.因为直线l的倾斜角为135°,所以y=-x+1,由得到(-x+1)2=4x,即x2-6x+1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=6,所以|AB|=p+x1+x2=8.(2)根据题意知斜率必存在,于是设方程为y=k(x-1),点M坐标为M(0,-k),因为A(x1,y1),B(x2,y2)为l与抛物线C的交点,得到k2x2-2(k2+2)x+k2=0,因为Δ=16(k2+1)>0,所以x1+x2=2+,x1x2=1.因为=m, =n,所以(x1,y1+k)=m(1-x1,-y1),(x2,y2+k)=n(1-x2,-y2),所以m=,n=,所以m+n=+===-1.14.(2017·贵阳市二模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为, F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,椭圆C的焦点F1到双曲线-y2=1渐近线的距离为.(1)求椭圆C的方程;(2)直线AB:y=kx+m(k<0)与椭圆C交于不同的A,B两点,以线段AB为直径的圆经过点F2,且原点O到直线AB的距离为,求直线AB的方程.解:(1)因为双曲线-y2=1的一条渐近线方程为x-y=0,椭圆C的左焦点F1(-c,0),因为椭圆C的焦点F1到双曲线-y2=1渐近线的距离为.所以d==得c=1,又离心率e==,则a=,b=1,则椭圆C的方程为+y2=1.(2)设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2), 由原点O到直线AB的距离为,得=,即m2=(1+k2), ①将y=kx+m(k<0)代入+y2=1,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,则Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=8(2k2-m2+1)=8(2k2--k2+1)=8(k2+)>0,x1+x2=-,x1x2=,因为以线段AB为直径的圆经过点F2,所以·=0,即(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即(x1-1)(x2-1)+(kx1+m)(kx2+m)=0,即(1+k2)x1x2+(km-1)(x1+x2)+m2+1=0,所以(1+k2)+(km-1)(-)+m2+1=0,化简得3m2+4km-1=0, ②由①②得11m4-10m2-1=0,得m2=1,因为k<0,所以所以AB的方程为y=-x+1.15.(2017·益阳市调研)设椭圆C:+=1(a>b>0)经过点(,),且其左焦点坐标为(-1,0).(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线l,m,其中l交椭圆于M,N,m交椭圆于P,Q,求|MN|+|PQ|的最小值.解:(1)因为2a=+=4,又c=1,所以b==,所以椭圆的方程为+=1.(2)①当直线l1,l2中有一条直线的斜率不存在时,|MN|+|PQ|=+2a=3+4=7,②当直线l1的斜率存在且不为0时,设直线l1的方程y=k(x-1),设M(x1,y1),N(x2,y2),由得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,所以x1+x2=,x1x2=,|MN|==·=,直线l2的方程为y=-(x-1),同理(只是把k代换成-)得|PQ|=,所以|MN|+|PQ|=,设t=k2+1,则t>1,所以|MN|+|PQ|===,因为t>1,所以=时,|MN|+|PQ|有最小值==<7. 综上,|MN|+|PQ|的最小值是.。
2011年高考试题分类汇编：直线与圆锥曲线的位置关系
2011年⾼考试题分类汇编：直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系●选择题1、(2011年全国卷理科第10题)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠= (A) 45 (B)35 (C)35- (D)45-2、（2011年四川卷理科第10题⽂科第11题）在抛物线2+5(0)y x ax a =-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引⼀条割线，有平⾏于该割线的⼀条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为（A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)- ●解答题1、（2011年全国卷理科第21题⽂科第21题）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-l 与C 交与A 、B 两点，点P 满⾜0.OA OB OP ++= (Ⅰ)证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同⼀圆上. 2、（2011年天津卷理科第18题）在平⾯直⾓坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三⾓形．（Ⅰ）求椭圆的离⼼率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满⾜2AM BM ?=-，求点M 的轨迹⽅程． 3、（2011年⼭东卷理科第22题）已知动直线l 与椭圆C ：22132x y +=交于()()1122,,,P x y Q x y 两不同点，且OPQ ?的⾯积OPQ S ?=O 为坐标原点．（Ⅰ）证明：2212x x +和2212y y +均为定值；（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ ?的最⼤值；，使得ODE ODG OEG S S S ===断DEG ?的形状；若不存在，请说明理由．4、（2011年⼭东卷⽂科第22题）在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=.如图所⽰，斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -.（Ⅰ）求22m k +的最⼩值；（Ⅱ）若2OG OD =?OE ，（i ）求证：直线l 过定点；（ii ）试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时ABG 的外接圆⽅程；若不能，请说明理由.5、（2011年江苏卷第18题）在平⾯直⾓坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12422=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第⼀象限，过P 作x 轴的垂线，垂⾜为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k（1）当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值；（2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ；（3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB6、（2011年浙江卷理科第21题）已知抛物线1C :3x ＝y ，圆2C :22(4)1x y +-=的圆⼼为点M（Ⅰ）求点M 到抛物线1c 的准线的距离；（Ⅱ）已知点P 是抛物线1c 上⼀点（异于原点），过点P 作圆2c 的两条切线，交抛物线1c 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的⽅程7、（2011年浙江卷⽂科第22题）（本⼩题满分15分）如图，设P 是抛物线1C ：2x y =上的动点。
高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第八节 直线与圆锥曲线的位置关系习题 理
第八节直线与圆锥曲线的位置关系[基础达标]一、选择题(每小题5分,共25分)1.不论k取何值,直线y=k(x-2)+b与曲线x2-y2=1总有公共点,则实数b的取值范围是()A.(-)B.[-]C.(-2,2)D.[-2,2]1.B【解析】直线y=k(x-2)+b恒过点(2,b),所以只要满足22-b2≥1,即b2≤3,解得-≤b≤.2.(2015·石家庄二模)已知F是抛物线x2=4y的焦点,直线y=kx-1与该抛物线交于第一象限内的交点A,B,若|AF|=3|FB|,则k的值是()A.B.C.D.2.D【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x得y2+(2-4k2)y+1=0,则y1+y2=4k2-2①,y1y2=1②,又|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,由已知y1+1=3(y2+1)③,由②③得y1=3,y2=,代入①得k= (A,B在第一象限,负值舍去).3.(2015·山东北镇中学模拟)直线x-2y+2=0经过椭圆=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.3.C【解析】由题意可知椭圆的一个焦点为(-2,0),一个顶点为(0,1),代入椭圆方程得b=1,c=2,则a=,则该椭圆的离心率为.4.(2015·河南八市联考)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过点F的直线交抛物线于A,B两点,过点A作准线l的垂线,垂足为E,当A点坐标为(3,y0)时,△AEF为正三角形,则此时△OAB的面积为()A.B.C.D.4.A【解析】如图所示,过点F作AE的垂线,垂足为点H,则H为AE的中点,因为A点坐标为(3,y0),所以AE=3+,EH=p,所以2p=3+,所以p=2,所以y2=4x,此时A(3,2),F(1,0),k AF=,所以直线AF的方程为y= (x-1),代入抛物线方程可得3(x-1)2=4x,解得x=3或,所以y=2或-,所以△AOB的面积S=S△OFB+S△OFA=×1×.5.已知曲线y=ax2与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点A,B,如果过这两个交点的直线的倾斜角是45°,则实数a的值是()A.2B.C.1D.-15.B【解析】曲线y=ax2关于点(1,1)对称的曲线方程为y=-a(x-2)2+2,设两个不同的交点A,B的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程ax2=-a(x-2)2+2,即方程ax2-2ax+2a-1=0的两根,∴x1+x2=2,∵过两个交点的直线的倾斜角是45°,∴=a(x1+x2)=1,∴a=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·宿迁质检)椭圆C: =1(a>b>0)的右焦点为F,直线y=-x与椭圆C交于A,B两点,且AF⊥BF,则椭圆C的离心率为.6. -1【解析】设左焦点为F',则四边形F'AFB是平行四边形,又AF⊥BF,所以四边形F'AFB是矩形,则OA=OF=c,又∠AOF=120°,所以AF=c,AF'=c,由椭圆定义可得AF+AF'=c+c=2a,即c=a,则离心率e=-1.7.(2015·绍兴质检)已知抛物线C:y2=4x,点M(-1,1),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若=0,则实数k的值为.7.2【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可得直线AB的方程为y=k(x-1),代入抛物线C:y2=4x,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则x1+x2=,x1x2=1,所以=(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)=x1x2+x1+x2+y1y2-(y1+y2)+2=x1x2+x1+x2+k2(x1-1)(x2-1)-k(x1+x2)+2k+2=(1+k2)x1x2+(1-k2-k)(x1+x2)+k2+2k+2=0,所以1+k2+(1-k2-k)+k2+2k+2=0,解得k=2.8.已知圆M:x2+y2+2mx-3=0(m<0)的半径为2,椭圆C: =1的左焦点为F(-c,0),若垂直于x轴且经过F点的直线与圆M相切,则a的值为.8.2【解析】∵圆M:x2+y2+2mx-3=0(m<0)的半径为2,∴m2+3=4,∴m2=1,∵m<0,∴m=-1,∴圆心M的坐标为(1,0),∵垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切,∴c=1,∴a2=1+3=4,∴a=2.三、解答题(共20分)9.(10分)求过点P(,5)且与双曲线=1有且只有一个公共点的直线的方程.9.【解析】若直线的斜率不存在,则x=,此时仅有一个交点(,0),满足条件.若直线的斜率存在,设直线的方程为y-5=k(x-),则y=kx+5-k,代入双曲线方程,得=1,即(25-7k2)x2-7×2kx(5-k)-7(5-k)2-7×25=0,当k=时,方程无解,不满足条件;当k=-时,2×5x×10=875,则方程有一解,满足条件,直线方程为y=-x+10;当k2≠时,令Δ=[14k(5-k)]2+4(25-7k2)[7(5-k)2+175]=0,化简后k无解,所以不满足条件;所以满足条件的直线有两条,分别是x=和y=-x+10.10.(10分)(2015·重庆三诊)如图,椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为,F1,F2为其左、右焦点,且|F1F2|=2,动直线l:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点.(1)求椭圆C的方程;(2)过F1,F2分别作直线l的垂线,垂足分别为P,Q,求四边形PF1F2Q面积的最大值.10.【解析】(1)由题知c=1,e=,故a=,b=1,故椭圆C的方程为+y2=1.(2)当k=0时, =2;当k≠0时,令|PF1|=d1,|QF2|=d2,则d1=,d2=,|PQ|=.由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,由题知Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0,即m2=1+2k2,所以 (d1+d2)·|PQ|==,又m2=1+2k2,故|m|>1,所以=||=<2;综上,当k=0时,取得最大值2.[高考冲关]1.(5分)(2015·哈尔滨三中二模)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=3|FB|,则k=()A.B.C.D.1.A【解析】由抛物线定义可得|FA|=x A+2,|FB|=x B+2,则x A+2=3(x B+2),x A=3x B+4①.将直线y=k(x+2),k>0代入抛物线C:y2=8x整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,则x A+x B=-4+,x A x B=4,与①联立解得x A=6,x B= (舍负),k2=,又k>0,所以k=.2.(5分)(2015·江苏盐城中学阶段检测)已知椭圆=1(a>b>0),M,N是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆上任意一点,且直线PM,PN的斜率分别为k1,k2(k1k2≠0),若椭圆的离心率为,则|k1|+|k2|的最小值为.2.1【解析】设P(x0,y0),M(x1,y1),N(-x1,-y1),则k1k2=,因为两式相减得=-=-=-1+=-,所以|k1|+|k2|≥2=1,当且仅当|k1|=|k2|=时取等号,所以|k1|+|k2|的最小值为1.3.(5分)已知正方形的一条边AB在直线y=x+4上,顶点C,D在抛物线y2=x上,则该正方形的边长为.3.3或5【解析】设CD所在直线的方程为y=x+b(b<0),由消去x得y2-y+b=0,设C(x1,y1),D(x2,y2),则y1+y2=1,y1y2=b,∴|CD|=,又AB与CD的距离d=,由四边形ABCD 为正方形有,解得b=-2或b=-6,∴正方形的边长为3或5.4.(12分)(2015·北京昌平区模拟)已知椭圆C: =1(a>b>0),右焦点F(,0),点A在椭圆上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线y=kx+m(k≠0)与椭圆C有且只有一个公共点M,且与圆O:x2+y2=a2+b2相交于P,B 两点,问k OM·k PB=-1是否成立?请说明理由.4.【解析】(1)因为椭圆C的右焦点F(,0),经过点A,所以解得a2=4,b2=1,所以椭圆C的方程是+y2=1.(2)不成立.由(1)知圆O:x2+y2=5,因为直线与椭圆C有且只有一个公共点M,所以方程组 (*)有且只有一组解,由(*)得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,从而Δ=0,即16(4k2-m2+1)=0,化简得m2=1+4k2,①x M=-,y M=kx M+m=. ②所以点M的坐标为.因为k PB=k≠0,由①可知m≠0,所以k OM×k PB=×k=-≠-1,所以k OM·k PB=-1不成立.5.(13分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA 为半径的圆F交l于B,D两点.(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.5.【解析】(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,则|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p.由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.因为△ABD的面积为4,所以|BD|·d=4,即·2p·p=4,解得p=-2(舍去),p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,所以∠ABD=30°,直线m的斜率为或-.当直线m的斜率为时,由已知可设n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.由于直线n与C只有一个公共点,故Δ=p2+8pb=0.解得b=-.因为直线m的截距b1==3,所以坐标原点到直线m,n距离的比值为3.同理,当直线m的斜率为-时,坐标原点到直线m,n的距离的比值也为3.。
高考数学一轮复习 8.4 直线与圆锥曲线的位置关系随堂检测 理(含解析)人教版.pdf
2014届高考数学一轮复习 8.4 直线与圆锥曲线的位置关系随堂检测 理（含解析）人教版
(2012·高考大纲全国卷)已知抛物线C：y＝(x＋1)2与圆M：(x－1)2＋(y－)2＝r2(r＞0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.
(1)求r；
(2)设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离．
解：(1)设A(x0，(x0＋1)2)．
对y＝(x＋1)2求导得y′＝2(x＋1)．
故l的斜率k＝2(x0＋1)．
当x0＝1时，不合题意，所以x0≠1.
圆心为M(1，)，MA的斜率k′＝.
由lMA知k·k′＝－1，
即2(x0＋1)·＝－1，解得：x0＝0，故A(0,1)，
r＝|MA|＝＝，即r＝.
(2)设(t，(t＋1)2)为C上一点，则在该点处的切线方程为
y－(t＋1)2＝2(t＋1)(x－t)，即y＝2(t＋1)x－t2＋1.
若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为，
即＝，
化简得t2(t2－4t－6)＝0，
解得t0＝0，t1＝2＋，t2＝2－.
抛物线C在点(ti，(ti＋1)2)(i＝0,1,2)处的切线分别为l，m，n，其方程分别为
y＝2x＋1，
y＝2(t1＋1)x－t＋1，
y＝2(t2＋1)x－t＋1，
②－得x＝＝2.
将x＝2代入得y＝－1，故D(2，－1)．
所以D到l的距离d＝＝.。
高考数学一轮复习 8.4 直线与圆锥曲线的位置关系课时闯关 理(含解析)人教版
【优化方案】2014届高考数学一轮复习 8.4 直线与圆锥曲线的位置关系课时闯关 理（含解析）人教版一、选择题1．(2013·福州模拟)已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A.根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.2．(2011·高考大纲全国卷)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－45解析：选D.法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5.∴cos ∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5＝－45.法二：由法一得A (4,4)，B (1，－2)，F (1,0)， ∴FA →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)， ∴|FA →|＝32＋42＝5，|FB →|＝2.∴cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →|·|FB→|＝3×0＋4×－25×2＝－45.3．已知曲线C 1的方程为x 2－y28＝1(x ≥0，y ≥0)，圆C 2的方程为(x －3)2＋y 2＝1，斜率为k (k >0)的直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与曲线C 1相交于点B ，|AB |＝3，则直线AB 的斜率为( )A.33B.12C ．1D. 3解析：选A.设B (a ，b )，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 28＝1a －32＋b 2＝3＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0.则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，故|3k－k|1＋k2＝1，∴k＝33或k ＝－33(舍去)．4．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋12解析：选D.设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝bax，而k BF＝－bc，∴ba·(－bc)＝－1，整理得b2＝ac.∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝1＋52或e＝1－52(舍去)，故选D.5．已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B 两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )A.x23－y26＝1 B.x24－y25＝1C.x26－y23＝1 D.x25－y24＝1解析：选B.∵k AB＝0＋153＋12＝1，∴直线AB的方程为y＝x－3.由于双曲线的焦点为F(3,0)，∴c＝3，c2＝9.设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，把y＝x－3代入双曲线方程，则x2a2－x－32b2＝1.整理，得(b2－a2)x2＋6a2x－9a2－a2b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6a2a2－b2＝2×(－12)，∴a2＝－4a2＋4b2，∴5a2＝4b2.又a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5.∴双曲线E的方程为x24－y25＝1.二、填空题6．(2011·高考江西卷)若椭圆x2a2＋y2b2＝1的焦点在x轴上，过点⎝⎛⎭⎪⎫1，12作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．解析：由题意可得切点A(1,0)．切点B(m，n)满足⎩⎪⎨⎪⎧n－12m－1＝－mnm2＋n2＝1，，解得B⎝⎛⎭⎪⎫35，45.∴过切点A ，B 的直线方程为2x ＋y －2＝0.令y ＝0得x ＝1，即c ＝1；令x ＝0得y ＝2，即b ＝2. ∴a 2＝b 2＋c 2＝5，∴椭圆方程为x 25＋y 24＝1.答案：x 25＋y 24＝17．(2013·广西梧州高三检测)设点F 为抛物线y ＝－14x 2的焦点，与抛物线相切于点P (－4，－4)的直线l 与x 轴的交点为Q ，则∠PQF 的值是________．解析：∵y ′＝－12x ，∴k PQ ＝y ′|x ＝－4＝2，∴直线PQ 的方程为y ＋4＝2(x ＋4)． 令y ＝0，得x ＝－2，∴点Q (－2,0)．又∵焦点F (0，－1)，∴k FQ ＝－12，∴k PQ ·k FQ ＝－1，∴∠PQF ＝π2.答案：π28．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF →＝2FD →，则C 的离心率为________．解析：法一：如图，设椭圆C 的焦点在x 轴上， B (0，b )，F (c,0)，D (x D ，y D )， 则BF →＝(c ，－b )，FD →＝(x D －c ，y D )， ∵BF →＝2FD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2x D －c ，－b ＝2y D ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝3c2，y D＝－b2.∴3c 22a 2＋－b22b 2＝1，即e 2＝13，∴ e ＝33.法二：设椭圆C 的焦点在x 轴上， 如图，B (0，b )，F (c,0)，D (x D ，y D )，则|BF |＝b 2＋c 2＝a .作DD 1⊥y 轴于点D 1，则由BF →＝2 FD →，得|OF ||DD 1|＝|BF ||BD |＝23，∴|DD 1|＝32|OF |＝32c ，即x D ＝3c2.由椭圆的第二定义得|FD |＝e (a 2c －3c 2)＝a －3c22a .又由|BF |＝2|FD |，得a ＝2a －3c2a，整理得c 2a 2＝13，即e 2＝13.∴e ＝33.答案：33三、解答题9. 已知抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其焦点为F ，准线为l ，过F 作直线m 交抛物线C 于M ，N 两点．求S △OMN 的最小值．解：由题意知F (1,0)，l ：x ＝－1， 设m ：x ＝ay ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2) 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ay ＋1y 2＝4x ⇒y 2－4ay －4＝0， 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4a y 1y 2＝－4.S △OMN ＝12|OF ||y 1－y 2|＝12y 1＋y 22－4y 1y 2＝12·16a 2＋16＝2a 2＋1≥2(a ＝0时取得等号)． 所以S △OMN 的最小值为2.10．(2012·高考重庆卷)如图所示，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线交椭圆于P 、Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求△PB 2Q 的面积．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因为△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝25 5.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2，由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1. (2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知，直线PQ 的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0. (*)设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5.又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16m 2＋1m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，知B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0， 解得m ＝±2.当m ＝2时，方程(*)化为9y 2－8y －16＝0，故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109，|y 1－y 2|＝8910，△PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|·|y 1－y 2|＝16910.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16910，综上所述，△PB 2Q 的面积为16910.11．(探究选做)(2012·高考上海卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ；(3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．解：(1)双曲线C 1：x 212－y 2＝1，左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .不妨取过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.所以所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28.(2)证明：设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b .因直线PQ 与已知圆相切，故|b |2＝1，即b 2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，2x 2－y 2＝1，得x 2－2bx －b 2－1＝0.设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－1－b 2.又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)证明：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝⎛⎭⎪⎫显然|k |>22，则直线OM 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝14＋k2，y 2＝k24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k24＋k2.同理|OM |2＝1＋k22k 2－1.设O 到直线MN 的距离为d ，因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2，所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33. 综上，O 到直线MN 的距离是定值．。
高考数学第一轮总复习084直线与圆锥曲线的位置关系(2)精品同步练习新人教A版
11. (05 全国卷Ⅰ )）已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A 、B 两点， OA OB 与 a (3, 1) 共线。 （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设 M 为椭圆上任意一点， 且 OM OA OB ( , R) ，证明 2 2 为定值。
MF 1 MF 2 0, 则点 M 到 x 轴的距离为（ C）
（A） 4 3
（B） 5 3
6 过抛物线
2
y
4x 的焦点，作倾斜角为
（C） 2 3 3
（ D） 3
的直线交抛物线于 A ，B 两点，且
用心 爱心 专心
1
16
AB
则
。
3
x2 7 若过椭圆
4
y2 b2
1(0 b
2) 右焦点 F2 且倾斜角为 3 的直线与椭圆相交 4
同步练习 g3.1084 直线与圆锥曲线的位置关系（二）
2
1 (05 全国卷
III) 已知双曲线
2
x
y
2
1 的焦点为 F1、F2，点 M 在双曲线上且
MF 1 MF 2 0, 则点 M 到 x 轴的距离为（ C）
（A） 4 3
（B） 5 3
（C） 2 3 3
（ D） 3
x2 y2 2．过双曲线 a2 b2 1 的右焦点 F2 作垂直于实轴的弦
12 设双曲线
C
:
x2 a2
y2 1(a
0) 与直线 l : x
y
（ 1）求双曲线的离心率 e 的取值范围；
1 相交于两个不Байду номын сангаас的点
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第8章 第4节 知能训练·提升考点一：交点问题 1．直线kx －y ＋k ＋1＝0与椭圆x 225＋y 216＝1公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．随k 值而改变解析：由题意知，直线可化为y －1＝k (x ＋1)，故直线过定点(－1,1)，而(－1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆必相交．答案：C2．直线y ＝2k 与曲线9k 2x 2＋y 2＝18k 2|x |(k ∈R ，且k ≠0)的公共点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧9k 2x 2＋y 2＝18k 2|x |，y ＝2k ，得(|x |－1)2＝59，∴|x |＝1±53.∴x ＝1＋53或1－53或－1－53或－1＋53，因此直线与曲线公共点个数为4.故选D.答案：D3．有且只有一个公共点是直线和抛物线相切的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件解析：当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个公共点，但直线与抛物线不相切，故有且只有一个公共点是直线和抛物线相切的必要非充分条件．答案：C考点二：弦长问题 4．斜率为1的直线l 与椭圆x24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455C.4105D.8105解析：设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，联立椭圆方程消y 得5x 2＋8tx ＋4t 2－4＝0.弦长|AB |＝2·4·5－t 25≤4105.答案：C5．设直线l 过双曲线x 2－y 23＝1的一个焦点，交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA →·OB →＝0，求|AB |的值．解：不妨设直线AB 过右焦点F (2,0)，其斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)． 代入双曲线方程，得3x 2－k 2(x －2)2＝3， 即(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，从而y 1y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2) ＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝k 2·(4k 2＋3k 2－3－8k 2k 2－3＋4)＝－9k 2k 2－3.∵OA →·OB →＝0，∴OA ⊥OB ， ∴y 1x 1·y 2x 2＝－1即x 1x 2＋y 1y 2＝0 ∴4k 2＋3k 2－3－9k 2k 2－3＝0， 解得k 2＝35.此时Δ＝16k 2＋4(3－k 2)(4k 2＋3)＞0，又当AB ⊥x 轴时，点A (2,3)，B (2，－3)不满足条件． 故由焦点弦长公式，得|AB |＝2ab 2(k 2＋1)|a 2k 2－b 2|＝2×1×3×(35＋1)|35－3|＝4.6．(2010·黄冈模拟)设椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么A 、B 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y －1＝0的解．由ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，两式相减，得 a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1，所以y 1＋y 2x 1＋x 2＝a b ，即2y c 2x c ＝a b ，y c x c ＝a b ＝22，所以b ＝2a ① 再由方程组消去y 得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0， 由|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2 ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2 2.得(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4，即(2b a ＋b )2－4·b －1a ＋b＝4②由①、②解得a ＝13，b ＝23，故所求的椭圆的方程为x 23＋2y 23＝1.考点三：直线与圆锥曲线综合问题7．(2010·石家庄质检一)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，它的一条准线方程为x ＝2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点A ，B 为椭圆上的两个动点，椭圆的中心到直线AB 的距离为63，求∠AOB 的大小．解：(1)由题意知c a ＝22，a 2c＝2∴a ＝2，c ＝1，故a 2＝2，b 2＝1∴椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)B (x 2，y 2)，设直线AB 的方程为x ＝±63或y ＝kx ＋b当直线AB 的方程为x ＝63时，由⎩⎨⎧x ＝63；x22＋y 2＝1，可求A (63，63)，B (63，－63) 从而OA →·OB →＝O ，可得∠AOB ＝π2.同理可知当直线AB 的方程为x ＝－63时和椭圆交得两点A ，B . 可得∠AOB ＝π2当直线AB 的方程为y ＝kx ＋b由原点到直线的距离为63，得b 1＋k 2＝63即1＋k 2＝32b 2. 又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 22＋y 2＝1消去y 得：(1＋2k 2)x 2＋4kbx ＋2b 2－2＝0 ∴x 1＋x 2＝－4kb 1＋2k 2，x 1x 2＝2b 2－21＋2k 2∴y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )，＝k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2－2k 21＋2k 2.∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2b 2－21＋2k 2＋b 2－2k 21＋2k 2＝3b 2－2(1＋k 2)1＋2k 2将1＋k 2＝32b 2代入上式得OA →·OB →＝0，所以∠AOB ＝90°8．如图，倾斜角为α的直线经过抛物线y 2＝8x 的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点．(1)求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；(2)若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明：|FP |－|FP |cos2α为定值，并求此定值．解：(1)设抛物线的标准方程为y 2＝2px ，则2p ＝8，从而p ＝4.因此焦点F (p2，0)的坐标为(2,0)，又准线方程的一般式为x ＝－p2.从而所求准线l 的方程为x ＝－2.(2)解法一：如图作AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C 、D ，则由抛物线的定义知|F A |＝|AC |，|FB |＝|BD |. 记A 、B 的横坐标分别为x A 、x B ，则|F A |＝|AC |＝x A ＋p 2＝|F A |cos α＋p 2＋p 2＝|F A |cos α＋4，解得|F A |＝41－cos α，类似地有|FB |＝4－|FB |cos α，解得|FB |＝41＋cos α.记直线m 与AB 的交点为E ，则 |FE |＝|F A |－|AE |＝|F A |－|F A |＋|FB |2＝12(|F A |－|FB |) ＝12(41－cos α－41＋cos α)＝4cos αsin 2α. 所以|FP |＝|FE |cos α＝4sin 2α.故|FP |－|FP |cos2α＝4sin 2α(1－cos2α)＝4·2sin 2αsin 2α＝8.解法二：设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，直线AB 的斜率为k ＝tan α，则直线方程为 y ＝k (x －2)．将此式代入y 2＝8x 得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0，故x A ＋x B ＝4(k 2＋2)k 2.记直线m 与AB 的交点为E (x E ，y E )，则x E ＝x A ＋x B 2＝2(k 2＋2)k 2，y E ＝k (x E －2)＝4k， 故直线m 的方程为y －4k ＝－1k (x －2k 2＋4k4)． 令y ＝0，得点P 的横坐标x P ＝2k 2＋2k2＋4，故|FP |＝x P －2＝4(k 2＋1)k 2＝4sin 2α. 从而|FP |－|FP |cos2α＝4sin 2α(1－cos2a )＝4·2sin 2αsin 2α＝8为定值.1.(2009·全国Ⅱ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点．若AF →＝4FB →，则C 的离心率为( )A.65B.75C.85D.95解析：设双曲线C 的右准线为l ，过A 、B 两点分别作l 的垂线，垂足是A ′，B ′，从而得直角梯形AA ′B ′B (如图)，∵AF →＝4FB →，∴|AF →|＝4|FB →|，记|FB →|＝m ＞0，则|AF →|＝4m ，由双曲线的第二定义有|AA ′|＝4m e ，|BB ′|＝me，∵直线AB 的斜率为3，∴∠A ＝π3，cos A ＝|AA ′|－|BB ′||AB |＝3me 5m ＝35e ，∴35e ＝12，故e ＝65，选A 答案：A汉唐艺交所邮币卡交易中心 吘莒咩2．(2009·全国Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，过右焦点F 的直线l与C 相交于A 、B 两点．当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为22.(1)求a ，b 的值；(2)C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP →＝OA →＋OB →成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．解析：(1)设F (c,0)，当l 的斜率为1时，其方程为x －y －c ＝0，O 到l 的距离为|0－0－c |2＝c 2，故c 2＝22，c ＝1.由e ＝c a ＝33，得a ＝3，b ＝a 2－c 2＝ 2.(2)C 上存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP →＝OA →＋OB →成立． 由(1)知C 的方程为2x 2＋3y 2＝6.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ①当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y ＝k (x －1)．C 上的点P 使OP →＝OA →＋OB →成立的充要条件是P 点的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，且2(x 1＋x 2)2＋3(y 1＋y 2)2＝6.整理得2x 21＋3y 21＋2x 22＋3y 22＋4x 1x 2＋6y 1y 2＝6，又A 、B 在椭圆C 上，即2x 21＋3y 21＝6,2x 22＋3y 22＝6， 故2x 1x 2＋3y 1y 2＋3＝0. ①将y ＝k (x －1)代入2x 2＋3y 2＝6，并化简得(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，于是x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2，y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝－4k 22＋3k 2.代入①解得k 2＝2，此时x 1＋x 2＝32.于是y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－k 2，即P (32，－k2)．因此，当k ＝－2时，P (32，22)，l 的方程为2x ＋y －2＝0；当k ＝2时，P (32，－22)，l 的方程为2x －y －2＝0.②当l 垂直于x 轴时，由OA →＋OB →＝(2,0)知，C 上不存在点P 使OP →＝OA →＋OB →成立．综上，C 上存在点P (32，±22)使OP →＝OA →＋OB →成立．此时l 的方程为2x ±y －2＝0.3．(2009·湖北)在平面直角坐标系xOy 中，点P 到点F (3,0)的距离的4倍与它到直线x ＝2的距离的3倍之和记为d .当点P 运动时，d 恒等于点P 的横坐标与18之和．(1)求点P 的轨迹C ；(2)设过点F 的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，求线段MN 长度的最大值． 解析：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，则d ＝4(x －3)2＋y 2＋3|x －2|. 由题设知，d ＝18＋x ，即4(x －3)2＋y 2＋3|x －2|＝18＋x . ① 当x ＞2时，由①得(x －3)2＋y 2＝6－12x ， ②化简得x 236＋y227＝1.当x ≤2时，由①得(x －3)2＋y 2＝3＋x ， ③ 化简得y 2＝12x .故点P 的轨迹C 是由椭圆C 1：x 236＋y227＝1在直线x ＝2的右侧部分与抛物线C 2：y 2＝12x在直线x ＝2的左侧部分(包括它与直线x ＝2的交点)所组成的曲线，参见图1.(2)如图2所示，易知直线x ＝2与C 1，C 2的交点都是A (2,26)，B (2，－26)，直线AF ，BF 的斜率分别为k AF ＝－26，k BF ＝26，当点P 在C 1上时，由②知|PF |＝6－12x . ④当点P 在C 2上时，由③知 |PF |＝3＋x . ⑤若直线l 的斜率k 存在，则直线l 的方程为y ＝k (x －3)． (ⅰ)当k ≤k AF ，或k ≥k BF ，即k ≤－26，或k ≥26时，直线l 与轨迹C 的两个交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)都在C 1上，此时由④知|MF |＝6－12x 1，|NF |＝6－12x 2，从而|MN |＝|MF |＋|NF |＝(6－12x 1)＋(6－12x 2)＝12－12(x 1＋x 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)x 236＋y 227＝1得(3＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－108＝0. 则x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝24k 23＋4k 2，|MN |＝12－12(x 1＋x 2)＝12－12k 23＋4k 2.因为当k ≤－26，或k ≥26时，k 2≥24，所以|MN |＝12－12k 23＋4k2＝12－123k 2＋4≤12－12324＋4＝10011.当且仅当k ＝±26时，等号成立．(ⅱ)当k AF ＜k ＜k BF ，即－26＜k ＜26时，直线l 与轨迹C 的两个交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)分别在C 1，C 2上，不妨设点M 在C 1上，点N 在C 2上，则由④⑤知，|MF |＝6－12x 1，|NF |＝3＋x 2.设直线AF 与椭圆C 1的另一交点为E (x 0，y 0)，则x 0＜x 1，x 2＜2.|MF |＝6－12x 1＜6－12x 0＝|EF |，|NF |＝3＋x 2＜3＋2＝|AF |，所以|MN |＝|MF |＋|NF |＜|EF |＋|AF |＝|AE |.而点A ，E 都在C 1上，且k AE ＝－26，由(ⅰ)知|AE |＝10011，所以|MN |＜10011.若直线l 的斜率不存在，则x 1＝x 2＝3，此时|MN |＝12－12(x 1＋x 2)＝9＜10011.综上所述，线段MN 长度的最大值为10011.若直线2x －2y ＝0与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两个交点在x 轴上的射影恰好是该双曲线的两个焦点，则此双曲线的离心率等于( )A.233B. 3C. 2 D ．2解析：由题意如图所示，当x ＝c 时，y B ＝(c 2a 2－1)·b 2＝b 2a ， 由图可知|BF 2||OF 2|＝22，∴b 2ac ＝22，∴2b 4＝a 2c 2， ∴2(c 2－a 2)2＝a 2c 2⇔2c 4＋2a 4－5a 2c 2＝0，∴2e 4－5e 2＋2＝0，∴e 2＝2或e 2＝12(舍去)，∴e ＝ 2. 答案：C。