2019-2020学年河南省洛阳市数学高二第二学期期末预测试题含解析

2019-2020学年河南省洛阳市数学高二第二学期期末预测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．若复数z 满足()12z i i =+，则z 的虚部为（ ） A ．1
B ．2
C ．i
D ．2i
2．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是( )
A ．420
B ．210
C ．70
D ．35
3．设0a >，0b >，则“lg()0ab >”是“lg()0a b +>”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知点P 在直径为2的球面上，过点P 作球的两两相互垂直的三条弦PA ，PB ，PC ，若PA PB =，则PA PB PC ++的最大值为 A ．23B ．4
C ．222
D ．3
5．下面给出了四种类比推理：
①由实数运算中的=⋅⋅a b b a 类比得到向量运算中的=⋅⋅a b b a ；
②由实数运算中的 (⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)类比得到向量运算中的(⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)； ③由向量a 的性质2
2
||=a a 类比得到复数z 的性质2
2
||z z =；
④由向量加法的几何意义类比得到复数加法的几何意义； 其中结论正确的是 A ．①②
B ．③④
C ．②③
D ．①④
6．若离散型随机变量X 的分布列为
X
1
P
2
a 2
2
a 则X 的数学期望()E X =（ ） A ．2
B ．2或
12
C ．
12
D ．1
7．已知()
5
2232x x --21001210a a x a x a x =++++L ，则0110a a a ++=（ ）
A ．240-
B ．186
C ．240
D ．304
8．某人射击一次命中目标的概率为1
2，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为（ ） A ．3
6
61()2
C
B ．2641()2A
C ．2641()2C
D ．16
41()2
C
9．已知复数z 满足(1)1i z i +⋅=-，则z 的共轭复数z =（ ） A ．i
B ．
12
i C ．12
i -
D ．i -
10．若存在实数a ，b ，使不等式24ln 22e x ax b x ≤+≤+对一切正数x 都成立（其中e 为自然对数的底数），则实数a 的最小值是（ ）. A ．2e B ．4
C ．e
D ．2
11．
()sin 2x dx ππ-
+⎰的值为（ ）
A ．0
B ．42π-
C ．4π
D ．42π+
12．已知向量()1,,a x =v ()2,4b =-v ，()//a a b -v
v v ，则x =（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．3
D ．1
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．命题“x R ∃∈，330x x +-=”的否定是______.
14．现有3位男学生3位女学生排成一排照相，若男学生站两端，3位女学生中有且只有两位相邻，则不同的排法种数是_____．（用数字作答）
15．已知函数()()21ln f x f x x =-'，则()f x 的极大值为________．
16．已知棱长为1的正四面体P ABC -，PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成角的取值范围为____________； 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．函数f(x)对任意的m ，n R ∈，都有()()()1f m n f m f n +=+-，并且0x >时，恒有()1f x > (1)求证：f(x)在R 上是增函数
(2)若(6)4f =，解不等式2(4)2f a a +-<
18．如图，已知三点A ，P ，Q 在抛物线2:8C x y =上，点A ，Q 关于y 轴对称（点A 在第一象限）， 直线PQ 过抛物线的焦点F .
（Ⅰ）若APQ ∆的重心为8,33G ⎛⎫
⎪⎝⎭
，求直线AP 的方程；
（Ⅱ）设OAP ∆，OFQ ∆的面积分别为2212,S S ，求22
12S S +的最小值．
19．（6分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC ⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v ．
（1）求证：tan 3tan B A =；
（2）若cos 5
C =
，求A 的值． 20．（6分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos (0)ρθρ=>.M 为曲线1C 上的动点，点P 在射线OM 上，且满足||||20OM OP ⋅=. （Ⅰ）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设2C 与x 轴交于点D ，过点D 且倾斜角为56
π
的直线l 与1C 相交于,A B 两点，求||||DA DB ⋅的值.
21．（6分）已知函数()1212x
x
a f x -⋅=+是R
上的奇函数(a 为常数)，()22g x x x m =-+，m R ∈. （1）求实数a 的值；
（2）若对任意[]11,2x ∈-，总存在[]20,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围； （3）若不等式()()ln ln 22ln 2f t f t t +->-成立，求证实数t 的取值范围.
22．（8分）已知函数2
()ln ()f x x ax x a =-+-∈R ．
（1）当3a =时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值；
（2）当函数()f x 在1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调时，求a 的取值范围． 参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】
利用复数的乘法法则将复数z 表示为一般形式，可得出复数z 的虚部. 【详解】
()21222z i i i i i =+=+=-+Q ，因此，复数z 的虚部为1，故选A.
【点睛】
本题考查复数的概念与复数的乘法运算，对于复数问题，一般是利用复数的四则运算将复数表示为一般形式，进而求解，考查计算能力，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】
将不同的染色方案分为：AC 相同和AC 不同两种情况，相加得到答案. 【详解】
按照SABCD 的顺序：
当AC 相同时：染色方案为54313180⨯⨯⨯⨯= 当AC 不同时：染色方案为54322240⨯⨯⨯⨯= 不同的染色方案为：420种 故答案为A 【点睛】
本题考查了加法原理和乘法原理，把染色方案分为AC 相同和AC 不同两种情况是解题的关键. 3．A 【解析】 【分析】
由lg()0ab >，可推出1ab >，可以判断出,a b 中至少有一个大于1.由lg()0a b +>可以推出1a b +>，
,a b 与1的关系不确定，这样就可以选出正确答案.
【详解】
因为lg()0ab >，所以1ab >，0a >，0b >，显然,a b 中至少有一个大于1，如果都小于等于1，根据不等式的性质可知：乘积也小于等于1，与乘积大于1不符.
由lg()0a b +>，可得1a b +>，,a b 与1的关系不确定，显然由“lg()0ab >”可以推出lg()0a b +>，但是由lg()0a b +>推不出lg()0ab >，当然可以举特例：如2
3
a b ==
，符合1a b +>，但是不符合1ab >，因此“lg()0ab >”是“lg()0a b +>”的充分不必要条件，故本题选A.
【点睛】
本题考查了充分不必要条件的判断，由1ab >，0a >，0b >，判断出,a b 中至少有一个大于1，是解题
的关键. 4．A 【解析】 【分析】
由题意得出22222222PA PB PC PA PC ++=+=，设PA θ=
，2sin PC θ=02πθ⎛⎫
<<
⎪⎝
⎭
，利用三角函数辅助角公式可得出2PA PB PC PA PC ++=+的最大值. 【详解】
由于PA 、PB 、PC 是直径为2的球的三条两两相互垂直的弦，
则2
2
2
2
2
2
22PA PB PC PA PC ++=+=，所以22
124
PA PC +=，
设PA θ=
，2sin 02PC πθθ⎛
⎫=<< ⎪⎝
⎭，
()
22sin PA PB PC PA PC θθθϕ∴++=+=+=+，
其中ϕ为锐角且tan ϕ=PA PB PC ++的最大值为 A.
【点睛】
本题考查多面体的外接球，考查棱长之和的最值，在直棱柱或直棱锥的外接球中，若其底面外接圆直径为
2r ，高为h ，其外接球的直径为2R ，则2R =
，充分利用这个模型去解题，可简化计算，
另外在求最值时，可以利用基本不等式、柯西不等式以及三角换元的思想来求解． 5．D 【解析】 【分析】
根据向量数量积的定义、复数的运算法则来进行判断． 【详解】
①设a r 与b r 的夹角为θ，则cos a b a b θ⋅=⋅r r r r ，cos b a b a θ⋅=⋅r r r r ，则a b b a ⋅=⋅r r r r
成立；
②由于向量的数量积是一个实数，设a b m ⋅=r r ，b c n ⋅=r r
，
所以，()a b c mc ⋅⋅=r r r r 表示与c r 共线的向量，()
a b c na ⋅⋅=r r r r 表示与a r
共线的向量，
但a r 与b r
不一定共线，()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 不一定成立；
③设复数(),z x yi x y R =+∈，则2
22z x y =+，()(
)2
2
2
2
2z x yi x y
xyi =+=-+是一个复数，所以
2
2z z =不一定成立；
④由于复数在复平面内可表示的为向量，所以，由向量加法的几何意义类比可得到复数加法的几何意义，这个类比是正确的．故选D ． 【点睛】
本题考查数与向量、向量与复数之间的类比推理，在解这类问题时，除了考查条件的相似性之外，还要注意定义的理解，考查逻辑推理能力，属于中等题． 6．C 【解析】 【分析】
由离散型随机变量X 的分布列，列出方程组，能求出实数a ，由此能求出X 的数学期望. 【详解】
解：由离散型随机变量X 的分布列，知：
22
012012122a a a a ⎧≤≤⎪⎪
⎪
≤≤⎨⎪
⎪+=⎪⎩
，解得1a =， ∴X 的数学期望111()01222
E X =⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】
本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量X 的分布列等基础知识，是基础题. 7．A 【解析】 【分析】
首先令0x =，这样可以求出0a 的值，然后把2232x x --因式分解，这样可以变成两个二项式的乘积的形式，利用两个二项式的通项公式，就可以求出110a a 、的会下，最后可以计算出0110a a a ++的值. 【详解】
令0x =，由已知等式可得：5
0=232a =，
()5
5552[(12)(2)]2((2)3122)x x x x x x =-+=-⋅+--，
设5
(12)x -的通项公式为：51551(2)(2)r r r r r r r T C x C x -+=⋅⋅-=⋅-⋅，则常数项、x 的系数、5x 的系数分别为：0155555(2)2C C C --⋅⋅、、；
设5(2)x +的通项公式为：5512r r r
r T C x -+=⋅⋅‘’‘
’‘，则常数项、x 的系数、5x 的系数分别为： 4501555522C C C ⋅⋅、、，
0115401555522)(2240,a C C C C =⋅⋅⋅=-⋅⋅+-5551055(2)32a C C =-⋅⋅=-，
所以01103224032240a a a ++=--=-，故本题选A. 【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，正确求出通项公式是解题的关键. 8．C 【解析】 【分析】
根据n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，可得这名射手射击命中3次的概率，再根据相互独立事件的概率乘法运算求得结果. 【详解】
根据射手每次射击击中目标的概率是
1
2
，且各次射击的结果互不影响，故此人射击6次，3次命中的概率为6
36
1C 2⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭
， 恰有两次连续击中目标的概率为24
36
A C ，
故此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为6
6
2
3246
436A 11C A 2C 2⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 故选B 【点睛】
本题主要考查独立重复试验的概率问题，熟记概念和公式即可，属于常考题型. 9．A 【解析】 【分析】
由条件求出z ，可得复数z 的共轭复数． 【详解】
∵z （1+i ）＝1﹣i ，
∴z ()()
2
1(1)111i i i i i --=
==-++-i ， ∴z 的共轭复数为i ， 故选A ．
【点睛】
本题主要考查共轭复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题． 10．B 【解析】 【分析】
分别画出()4f x elnx =和2()22g x x =+的图象，依题意存在实数a ，b ，使不等式24ln 22e x ax b x ≤+≤+对一切正数x 都成立，要求参数a 的最小值，临界条件即为直线
l ：y ax b =+恰为函数()4f x elnx =和2()22g x x =+的公切线，设函数2()22g x x =+上的切点()00,A x y ，
则04a x =，即转化为求0x ，设函数()4f x elnx =的切点为()11,B x y ，表示出切线方程，即可得到方程组，
整理得到2
002ln 10x e x --=，令()2
0002ln 1g x x e x =--，求出令0x 即可得解；
【详解】
解：分别画出()4f x elnx =和2()22g x x =+的图象，依题意存在实数a ，b ，使不等式
24ln 22e x ax b x ≤+≤+对一切正数x 都成立，要求参数a 的最小值，临界条件即为直线
l ：y ax b =+恰为函数()4f x elnx =和2()22g x x =+的公切线，设函数2()22g x x =+上的切点()00,A x y ，
()00x >，()4g x x '=，所以04a x =，
所以切线方程为(
)
()2
000224y x x x x -+=-，整理得2
00422y x x x =-+，同时直线l 也是函数
()4f x elnx =的切线，设切点为()11,B x y ，所以切线方程为()111
44ln e
y e x x x x -=
-，整理得11
444ln e
y x e e x x =
-+， 所以01201442244ln e x x x e e x
⎧=⎪⎨⎪-+=-+⎩
，整理得200122ln e x e e x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，即2
002ln 10x e x --=，令
()20002ln 1g x x e x =--，则(
)(
00
000
222x x
e g x x x x +'=-=
，所以()0
g x
在(上单调
递减，在
)
+∞上单调递增，故(
)0min 10g x g
==-<，
显然()10g =，故当01x =时044a x ==取得最小值，即实数a 的最小值为4， 故选：B ．
【点睛】
本题考查利用导数分析恒成立问题，两曲线的公切线问题，属于中档题． 11．C 【解析】
分析：直接利用微积分基本定理求解即可.
详解：
()()sin 2cos 2|x dx x x π
π
ππ-
-
+=-+⎰
()cos 2cos 24πππππ=-+---=，故选C.
点睛：本题主要考查微积分基本定理的应用，特殊角的三角函数，意在考查对基础知识的掌握情况，考查计算能力，属于简单题. 12．A 【解析】 【分析】
先求出a b -v v
的坐标，再根据向量平行的坐标表示，列出方程，求出x . 【详解】
(3,4)a b x -=-v v
Q 由()
//a a b -r r r 得，1(4)30x x ⨯--=
解得2x =-，故选A ． 【点睛】
本题主要考查向量的加减法运算以及向量平行的坐标表示． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．3,30x R x x ∀∈+-≠ 【解析】 【分析】
特称命题的否定为全称命题，即可求解. 【详解】
解：由题意知，原命题的否定是：3,30x R x x ∀∈+-≠. 故答案为: 3,30x R x x ∀∈+-≠. 【点睛】
本题考查了命题的否定.易错点是混淆了命题的否定和否命题的概念.这类问题的常见错误是没有改变量词，或者对于大于的否定变成了小于. 14．72 【解析】 【分析】
对6个位置进行16～编号，第一步，两端排男生；第二步，2，3或4，5排两名女生，则剩下位置的排法是固定的. 【详解】
第一步：两端排男生共2
36A =，
第二步：2，3或4，5排两名女生共22
32212C A ⨯=， 由乘法分步原理得：不同的排法种数是61272⨯=. 【点睛】
本题若没有注意2位相邻女生的顺序，易出现错误答案36. 15．
【解析】
2(1)2(1)()1(1)1,(1)11f f f x f f x '''=
-'-='∴=Q ，因此()2ln f x x x =-，2
()102f x x x
-='=∴=Q 时取极大值2ln22-
16．140,arctan 7⎡⎢⎣⎦
；
【解析】 【分析】
当E 与A 重合时，直线BE 与平面ABC 所成角为0最小，当E 从A 向D 移动时，直线BE 与平面ABC 所
成角逐渐增大，到达D 点时角最大．
【详解】
如图，O 是P 在底面ABC 上的射影，M 是D 在底面ABC 上的射影，由于D 是PC 中点，则M 是CO 中点，正四面体棱长为1，则6PO =，3CO =，162DM PO ==132CM OC ==30MCB ∠=︒， ∴2222cos BM CM BC CM BC MCB =+-⋅⋅∠22337(
121cos3012=+-⨯︒=， 712
BM = ∴6
146tan 712
DM DBM BM ∠===14arctan DBM ∠= ∴所求角的范围是14[0,arctan 7
． 故答案为14[0,arctan
7
． 【点睛】 本题考查直线与平面所成的角，解题时首先要作出直线与平面所成的角，同时要证明所作角就是要求的角，最后再计算，即一作二证三计算．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．（1）证明见解析（2）不等式2(4)2f a a +-<的解集为:(3,2)-.
【解析】
【分析】
(1)利用212111()()()()f x f x f x x x f x -=-+-=21()1f x x --和增函数的定义证明;
(2)先通过赋值法得到(2)2f =,再根据(1)的增函数可解得不等式的解集.
【详解】
(1)证明:任取12x x <,则212111()()()()f x f x f x x x f x -=-+-
=2111()()1()f x x f x f x -+--
=21()1f x x --,
因为12x x <,所以210x x ->,
因为0x >时，恒有()1f x >,
所以21()1f x x ->,所以21()10f x x -->,
所以21()()0f x f x ->,
所以21()()f x f x >,
根据增函数的定义可知, f(x)在R 上是增函数.
(2)在()()()1f m n f m f n +=+-中,令2m n ==得(22)(2)(2)1f f f +=+-,
即(4)2(2)1f f =-,
在()()()1f m n f m f n +=+-中,令4,2m n ==得(42)(4)(2)1f f f +=+-,
即(6)(4)(2)1f f f =+-,
所以(6)2(2)1(2)13(2)2f f f f =-+-=-,
又(6)4f =,所以3(2)24f -= ,所以(2)2f =,
所以2(4)2f a a +-<等价于2
(4)(2)f a a f +-<,
因为函数()f x 在R 上是增函数,
所以242a a +-<,即260a a +-<,
所以(3)(2)0a a +-<,
所以32a -<<,
所以不等式2(4)2f a a +-<的解集为:(3,2)-.
【点睛】
本题考查了用定义证明增函数,利用增函数的性质解不等式,属于中档题.
18． (Ⅰ) :5480AP x y --=；(Ⅱ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)设A,P,Q 三点的坐标，将重心表示出来，且A,P,Q 在抛物线上，可解得A,P 两点坐标，进而求得直线
AP ；(Ⅱ)设直线PQ 和直线AP ，进而用横坐标表示出2212S S +，讨论求得最小值。

【详解】
(Ⅰ)设()11,A x y ,()22,P x y ,11,Q x y -（）则2122,33x y y G +⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 所以212833233
x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以()128,82A P （，），，所以:5480AP x y --= (Ⅱ)设2PQ y mx =+：
由228y mx x y
=+⎧⎨=⎩得28160,x mx --=所以()1216,x x -=-即1216x x = 又设:AP y kx n =+
由28y kx n x y
=+⎧⎨=⎩得2880x kx n --=，所以12816,x x n =-=所以2n =- 所以2,AP y kx =-：即AP 过定点0-2E （，） 所以1212112
OAP OEP OEA S S S S OE x x x x ∆∆∆==-=-=- 21112
OFQ S S OF x x ∆==⋅= 所以(
)2222221221121223223232S S x x x x x x +=-+=-+≥-= 当且仅当7
94412
2,2x x ==时等号成立 所以2212S S +
的最小值为
【点睛】
本题主要考查抛物线的方程与性质、直线与抛物线的位置关系以及圆锥曲线中的最值问题，属于抛物线的综合题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.
19．（1）见解析；（2）
4
π． 【解析】
试题分析：（1）已知的向量的数量积，要证明的是角的关系，故我们首先运用数量积定义把已知转化为三
角形的边角关系，由已知可得··cos =3?·cos AB AC A BA BC B ，即·cos =3?cos AC A BC B ，考虑到求证式只是角的关系，因此我们再应用正弦定理把式子中边的关系转化为角的关系，即有
sin ?cos =3sin ?cos B A A B ，而这时两边同除以cos cos A B 即得待证式（要说明cos cos A B ，均不为零）.（2）要求解A 的大小，一般是求出这个角的某个三角函数值，本题应该求tan A ，因为（1）中有
可利用，思路是cos sin tan tan()tan C C C A B A ⇒⇒⇒+⇒.
试题解析：(1)∵·3?AB AC BA BC =u u u r u u u r u u u r u u u r ,∴··cos =3?·cos AB AC A BA BC B ,
即·cos =3?cos AC A BC B . 2分
由正弦定理,得=sin sin AC BC B A
,∴sin ?cos =3sin ?cos B A A B . 4分 又∵0A B π<+<,∴cos 0? cos 0A B >>，.∴sin sin =3?cos cos B A B A
即tan 3tan B A =. 6分 (2)∵5cos 0C C π=<<,∴2525sin 1=55C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
.∴tan 2C =.8分 ∴()tan 2A B π⎡⎤-+=⎣⎦,即()tan 2A B +=-.∴tan tan 21tan ?tan A B A B
+=--. 10分 由 (1) ,得24tan 213tan A A =--,解得1tan =1? tan =3
A A ，-. 12分 ∵cos 0A >,∴tan =1A .∴=4A π
. 14分
考点：（1）向量的数量积的定义与正弦定理；（2）已知三角函数值，求角.
20．（Ⅰ）5x =；（Ⅱ）5.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）首先依据动点,P M 的极坐标的关系找到点P 的极坐标方程，再化为直角坐标方程；（Ⅱ）首先根据条件确定直线l 的参数方程，依据参数t 的几何意义，结合解方程，利用韦达定理得到解.
【详解】
（Ⅰ）设P 的极坐标为(),(0)ρθρ>，M 的极坐标为()11,(0)ρθρ>， 由题设知1,4cos OP OM ρρθ===.所以4cos 20ρθ=，
即2C 的极坐标方程cos 5(0)ρθρ=>，所以2C 的直角坐标方程为5x =.
（Ⅱ）交点()5,0D ，所以直线l 的参数方程为35,12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），
曲线1C 的直角坐标方程()22
400x y x x +-=≠， 代入得：23350t t -+=，70∆=>，
设方程两根为12,t t ，则12,t t 分别是,A B 对应的参数， 所以125DA DB t t ⋅==.
【点睛】
本题考查直线与圆的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，突显了直观想象的考查.
21．（1）1a =.（2）82,35
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.（3）()0,e 【解析】
【分析】 ()1因为函数()1212
x
x a f x -⋅=+是R 上的奇函数，令()00f =可求a ； ()2对任意[]11,2x ∈-，总存在[]20,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，故只需满足()f x 值域是()g x 的值域的子集；
()3由不等式()()222f lnt f lnt lnt +->-得，()()()22f lnt lnt f lnt lnt ->---，构造
()()h x f x x =-利用单调性可求解正实数t 的取值范围．
【详解】
（1）因为()f x 为R 上的奇函数，
所以()00f =，即103
a -=，解得得1a =， 当1a =时，由()()12211221
x x x x f x f x -----===-++得()f x 为奇函数， 所以1a =.
（2）因为[]20,3x ∈，且()g x 在[]0,1上是减函数，在[]1,3上为增函数
所以()g x 在[]0,3上的取值集合为[]1,3m m -+.
由()()()()22ln 212122ln 2
'12x x x x x f x -+--⋅=+()122ln 2012x x +-=<+，
得()f x 是减函数，
所以()f x 在[]1,2-上是减函数，
所以()f x 在[]1,2-上的取值集合为31,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.
由“任意[]11,2x ∈-，总存在[]20,3x ∈，使得()()12f x g x =成立”
()f x 在[]1,2-上的取值集合是()g x 在[]0,3上的取值集合的子集， 即[]31,1,353
m m ⎡⎤-⊆-+⎢⎥⎣⎦. 则有315m -≤-，且133m +≥，解得：8235
m -≤≤. 即实数m 的取值范围是82,35
⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦. （3）记()()h x f x x =-，则()()''10h x f x =-<，
所以()h x 是减函数，
不等式()()ln ln 22ln 2f t f t t +->-等价于
()()()ln ln 2ln 2ln f t t f t t ->---，即()()ln 2ln h t h t >-，
因为()h x 是减函数，
所以ln 2ln t t <-，
解得0t e <<，
所以实数t 的取值范围是()0,e .
【点睛】
本题主要考查了函数最值的求法，通过子集的关系求参数的范围，构造函数求参数范围，属于难题．
22． (1) 函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
最大值是2,最小值是2ln 2-；(2) (9,,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭ 【解析】
【分析】
(1)代入3a =,求导分析函数的单调性与最值即可.
(2)由题得'()0f x ≤或'()0f x ≥在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
上恒成立,求导后参变分离求最值即可.
【详解】 (1) 3a =时, ()()22111231'()23x x x x f x x x x x
---+-=-+-==-. 函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
仅有极大值点1x =,故这个极大值点也是最大值点,
故函数在1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦最大值是()12f =, 又()()15322ln 2ln 22ln 20244f f ⎛⎫⎛⎫-=--+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故()122f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭
, 故函数在1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()22ln 2f =-. 故函数在1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦最大值是2,最小值是2ln 2- (2) 1'()2f x x a x =-+-,令1()2=+g x x x ,则21'()2g x x
=-,
则函数在1,22⎛ ⎝⎭递减,在,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭递增,由132g ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()922g =,2g ⎛= ⎝⎭
故函数()g x 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭的值域为92⎡⎫⎪⎢⎣⎭.
若'()0f x ≤在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
恒成立,即12a x x ≤+在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立,只要a ≤若要'()0f x ≥在1,22⎛⎫
⎪⎝⎭恒成立,即12a x x ≥+在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立,
只要92a ≥.即a 的取值范围是(
9,,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】
本题主要考查求导分析函数在区间内的最值问题以及根据函数的单调性求参数范围的问题.包括参变分离求函数最值问题等.属于中档题.。