2018年秋九年级数学上册第二十四章圆练习(新版)新人教版

第二十四章 圆
24．1 圆的有关性质
24．1.1 圆
01 基础题
知识点1 圆的有关概念
圆上各点到定点(圆心)的距离都等于定长(半径)；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
如图，在圆O 中，弦有AC ，AB ，半径有OA ，OB ，OC ，直径是AB ，ABC ︵，CAB ︵是优弧，劣弧有AC ︵，BC ︵，半圆是AB ︵
，OA ＝OB ＝OC ．
1．下列条件中，能确定一个圆的是(C )
A ．以点O 为圆心
B ．以2 cm 长为半径
C ．以点O 为圆心，以5 cm 长为半径
D ．经过点A
2．下列命题中正确的有(B )
①弦是连接圆上任意两点的线段；②半径是弦；③直径是圆中最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．如图所示，在⊙O 中，弦有AC ，AB ，直径是AB ，优弧有ABC ︵，CAB ︵，劣弧有AC ︵，BC ︵
.
第3题图 第4题图
4．如图，在⊙O 中，点B 在⊙O 上，四边形AOCB 是矩形，对角线AC 的长为5，则⊙O 的半径长为5．
知识点2 圆中的半径相等
5．如图，AB 是⊙O 的直径，∠C＝20°，则∠BOC 的度数是(A )
A ．40°
B ．30°
C ．20°
D ．10°
第5题图 第6题图
6．如图，已知AB ，CD 是⊙O 的两条直径，∠ABC＝30°，那么∠BAD 等于(D )
A ．45°
B ．60°
C ．90°
D ．30°
7．如图，在△ABC 中，BD ，CE 是两条高，点O 为BC 的中点，连接OD ，OE ，求证：B ，C ，D ，E 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上．
证明：∵BD，CE 是两条高， ∴∠BDC ＝∠BEC ＝90°.
∵△BEC 为直角三角形，点O 为BC 的中点， ∴OE ＝OB ＝OC ＝1
2BC.
同理：OD ＝OB ＝OC ＝1
2
BC.
∴OB ＝OC ＝OD ＝OE.
∴B，C ，D ，E 在以O 为圆心的同一个圆上．
8．如图，AB ，AC 为⊙O 的弦，连接CO ，BO 并延长，分别交弦AB ，AC 于点E ，F ，∠B＝∠C.求证：CE ＝BF.
证明：∵OB，OC 是⊙O 的半径， ∴OB ＝OC.
又∵∠B ＝∠C，∠BOE ＝∠COF， ∴△EOB≌△FOC (ASA )． ∴OE ＝OF.
∵CE ＝CO ＋OE ，BF ＝BO ＋OF ， ∴CE ＝BF.
02中档题
9．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为(C)
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
10．下列四边形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．其中四个顶点在同一个圆上的有(B) A．1个B．2个
C．3个D．4个
11．如图，A，B是⊙O上两点，若四边形ACBO是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为(B)
A.2r
B.3r
C．r
D．2r
12．已知A，B是半径为6 cm的圆上的两个不同的点，则弦长AB的取值范围是0<AB≤12cm.
13．如图，CE是⊙O的直径，AD的延长线与CE的延长线交于点B，若BD＝OD，∠AOC＝114°，求∠A OD的度数．
解：设∠B＝x.
∵BD＝OD，
∴∠DOB＝∠B＝x.
∴∠ADO＝∠DOB＋∠B＝2x.
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO＝2x.
∵∠AOC＝∠A＋∠B，
∴2x＋x＝114°.解得x＝38°.
∴∠AOD＝180°－∠A－∠ADO＝180°－4x＝180°－4×38°＝28°.
14．如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．
解：OE＝OF.
证明：∵OA，OB是⊙O的半径，
∴OA＝OB.
∴∠OBA＝∠OAB.
又∵AE＝BF，
∴△OAE≌△OBF(SAS)．
∴OE＝OF.
15．如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E点，已知AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC 的度数．
解：连接OD.
∵AB为⊙O的直径，OC，OD为半径，AB＝2DE，
∴OC＝OD＝DE.
∴∠DOE＝∠E，∠OCE＝∠ODC.
又∵∠ODC＝∠DOE＋∠E，
∴∠OCE＝∠ODC＝2∠E.
∵∠E＝18°，∴∠OCE＝36°.
∴∠AOC＝∠OCE＋∠E＝36°＋18°＝54°.
03综合题
16．如图，AB，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，点P，Q为弧CB上的任意两点，作PE⊥CD，PF⊥AB，QM⊥CD，QN⊥AB，则线段EF，MN的大小关系为EF＝ MN.(填“＜”“＞”或“＝”)
24．1.2 垂直于弦的直径
01 基础题
知识点1 认识垂径定理
(1)圆是轴对称图形，它的对称轴有无数条；
(2)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
图1
如图1，在⊙O 中，点A 是圆上一点，OA⊥弦CD 于点B ，则BC ＝BD ，AC ︵＝AD ︵
.
1．(黔西南中考)如图，在⊙O 中，半径OC 与弦AB 垂直于点D ，且AB ＝8，OC ＝5，则CD 的长是(C )
A ．3
B ．2.5
C ．2
D ．1
第1题图 第2题图
2．(遵义仁怀市期末)如图，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB 于点E ，且CE ＝2，OB ＝4，则AB 的长为(D ) A ．2 3 B ．4 C ．6 D ．4 3
3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为M ，下列结论不一定成立的是(D )
A ．CM ＝DM B.C
B ︵＝DB ︵
C ．∠AC
D ＝∠ADC D ．OM ＝MB
第3题图 第4题图
4．(黔西南中考)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD⊥AB 于点E ，已知CD ＝4，AE ＝1，则⊙O 的半径为52
．
知识点2 垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
如图1，在⊙O 中，点A 是圆上一点，OA 与弦CD 交于点B ，且BC ＝BD ，则∠OBD＝90°，AC ︵＝AD ︵
. 5．如图，⊙O 的弦AB ＝8，M 是AB 的中点，且OM ＝3，则⊙O 的半径等于(D )
A ．8
B ．2
C ．10
D ．5
第5题图第6题图
6．如图，⊙O的弦AB＝8，P是劣弧AB的中点，连接OP交AB于C，且PC＝2，则⊙O的半径为5.
知识点3垂径定理的应用
7．(南宁中考)在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB＝160 cm，则油的最大深度为(A)
A．40 cm
B．60 cm
C．80 cm
D．100 cm
8．(茂名中考)如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB 为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(即CD)为0.5米．
易错点忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”
9．下列说法正确的是(D)
A．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧
B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心
C．过弦的中点的直径垂直于弦
D．平分弦所对的两条弧的直径平分弦
02 中档题
10．(黔东南中考)如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD＝22.5°，若CD＝6 cm，则AB 的长为(B)
A．4 cm B．3 2 cm
C．2 3 cm D．2 6 cm
第10题图第11题图
11．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝16 cm，则球的半径为(B) A．10 3 cm B．10 cm
C．10 2 cm D．8 3 cm
12．如图，在⊙O中，AB，AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB＝8 cm，AC＝6 cm，那么
⊙O 的半径OA 长为5__cm .
第12题图 第13题图
13．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与A ，B 重合)，过点O 作OC⊥AP 于点C ，OD⊥PB 于点D ，则CD 的长为4．
14．(遵义中考)如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝4，点M 是OA 的中点，过点M 的直线与⊙O 交于C ，D 两点．若∠CMA
＝45°，则弦CD
15．(佛山中考)如图，⊙O 的直径为10 cm ，弦AB ＝8 cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．
解：作直径MN⊥弦AB ，交AB 于点D ，由垂径定理，得AD ＝DB ＝1
2AB ＝4 cm.
又∵⊙O 的直径为10 cm ，连接OA ，则OA ＝5 cm.
由勾股定理，得OD ＝OA 2
－AD 2
＝3 cm. ∴OP 的长度范围是3 cm≤OP≤5 cm.
03 综合题
16．(湖州中考)已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D(如图所示)．
(1)求证：AC ＝BD ；
(2)若大圆的半径R ＝10，小圆的半径r ＝8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．
解：(1)证明：过点O 作OE⊥AB 于点E. 则CE ＝DE ，AE ＝BE. ∴AE －CE ＝BE －DE ， 即AC ＝BD.
(2)连接OA ，OC.
由(1)可知，OE⊥AB 且OE⊥CD， ∴CE ＝OC 2
－OE 2
＝82
－62
＝27.
AE ＝OA 2－OE 2＝102－62
＝8. ∴AC ＝AE －CE ＝8－27.
24．1.3 弧、弦、圆心角
01 基础题
知识点1 认识圆心角
圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心．顶点在圆心的角叫做圆心角． 如图，在⊙O 中，∠AOC 与∠ABC 中，是圆心角的是∠AOC ．
1．如图所示，图中的圆心角(小于平角的)有(B )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．已知圆O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为5 cm ，则弦AB 所对的圆心角∠AOB＝60°.
知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角⇔所对的弧相等⇔所对的弦也相等． 如图，∠AOB＝∠COD ⇔AB ︵＝CD ︵
⇔AB ＝CD.
3．如图，已知AB 为⊙O 的直径，点D 为半圆周上的一点，且AD ︵所对圆心角的度数是BD ︵
所对圆心角度数的两倍，则圆心角∠BOD 的度数为60°.
第3题图 第4题图
4．(兰州中考)如图，在⊙O 中，点C 是AB ︵
的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝(A )
A ．40°
B ．45°
C ．50°
D ．60°
5．(贵港中考)如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵
，∠COD＝34°，则∠AEO 的度数是(A )
A ．51°
B ．56°
C ．68°
D ．78°
第5题图 第6题图
6．如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵
，∠A＝30°，则∠B＝(B )
A ．150°
B ．75°
C ．60°
D ．15°
7．如图，AB ，DE 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，且AD ︵＝CE ︵
，求证：BE ＝CE.
证明：∵∠BOE ＝∠AOD， ∴BE ︵＝AD ︵. 又∵AD ︵＝CE ︵， ∴BE ︵＝CE ︵. ∴BE ＝CE.
易错点 对圆中的有关线段的关系运用不当而致错
8．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且AD ＝BC ，则AB 与CD 的大小关系为(B )
A ．A
B >CD B ．AB ＝CD
C ．AB <C
D D ．不能确定
02 中档题
9．如图，在⊙O 中，已知弦AB ＝DE ，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C ，F ，则下列说法中正确的个数为(D )
①∠DOE ＝∠AOB ；②AB ︵＝DE ︵
；③OF ＝OC ；④AC ＝EF .
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．已知⊙O 中，M 为AB ︵
的中点，则下列结论正确的是(C )
A ．A
B ＞2AM B ．AB ＝2AM
C ．AB ＜2AM
D ．AB 与2AM 的大小不能确定
11．如图，AB 是半圆O 的直径，E 是OA 的中点，F 是OB 的中点，ME⊥AB 于点E ，NF⊥AB 于点F.下列结论：①AM ︵
＝MN ︵＝BN ︵
；②ME＝NF ；③AE＝BF ；④ME＝2AE.其中正确结论的序号是①②③．
12．如图所示，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，交AD ，BC 于E ，F ，延长BA 交⊙A 于G ，求证：GE ︵＝EF ︵
.
证明：连接AF.
∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD∥BC.
∴∠GAE ＝∠B， ∠EAF ＝∠AFB.
又∵AB，AF 为⊙A 的半径，AB ＝AF ， ∴∠B ＝∠AFB. ∴∠GAE ＝∠EAF. ∴GE ︵＝EF ︵.
13．(教材9上P84例3变式)如图，AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵
，∠COD ＝60°.
(1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC ∥BD .
解：(1)△AOC 是等边三角形． ∵AC ︵＝CD ︵，
∴∠AOC ＝∠COD ＝60°. 又∵OA ＝OC ，
∴△AOC 是等边三角形． (2)证明：∵AC ︵＝CD ︵
，∴OC⊥AD.
∵∠AOC ＝∠COD ＝60°，
∴∠BOD ＝180°－(∠AOC ＋∠COD )＝60°. ∵OD ＝OB ，
∴△ODB 为等边三角形． ∴∠ODB ＝60°.
∴∠ODB ＝∠COD ＝60°. ∴OC∥BD.
03 综合题
14．如图，∠AOB＝90°，C ，D 是AB ︵
的三等分点，连接AB 分别交OC ，OD 于点E ，F ，求证：AE ＝BF ＝CD.
证明：连接AC ，BD.
∵AC ︵＝CD ︵＝DB ︵
，∠AOB ＝90°，
∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝13∠AOB ＝1
3×90°＝30°，AC ＝CD ＝BD.
∵OA ＝OB ，
∴∠OAB ＝∠ABO ＝45°.
∴∠AEC ＝∠AOC ＋∠OAB ＝75°. ∵在△AOC 中，OA ＝OC ，
∴∠ACO ＝180°－∠AOC 2＝180°－30°
2＝75°.
∴∠AEC ＝∠ACO.
∴AE ＝AC. 同理BF ＝BD. ∴AE ＝BF ＝CD.
24.1.4 圆周角
第1课时 圆周角定理及其推论
01 基础题
知识点1 圆周角定理
(1)顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角，图中是圆周角的是∠ABC ；
(2)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图，在⊙O 中，∠ABC＝1
2
∠AOC.
1．(遵义桐梓县期末)如图，已知点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB＝50°，则∠AOB 的度数为(B )
A ．50°
B ．100°
C ．25°
D ．70°
第1题图 第2题图
2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OA ，OB ，∠OBA＝50°，则∠C 的度数为(B )
A ．30°
B ．40°
C ．50°
D ．80°
3．(柳州中考)如图，在⊙O 中与∠1一定相等的角是(A )
A ．∠2
B ．∠3
C ．∠4
D ．∠5
第3题图 第4题图
4．(娄底中考)如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O 上，斜边和一直角边分别与⊙O 相交于A 、B 两点，P 是优弧AB 上任意一点(与A ，B 不重合)，则∠APB＝30°．
知识点2 圆周角定理的推论
同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
如图，在⊙O 中，若AB ＝CD ，则∠ACB＝∠DAC ；若AD 是直径，则∠ACD＝90°；若∠ACD＝90°，则AD 是直径．
5．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠A＝35°，则∠B 的度数是(C )
A ．35°
B ．45°
C ．55°
D ．65°
第5题图 第6题图
6．(绍兴中考)如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵
，∠AOB＝60°，则∠BDC 的度数是(D )
A ．60°
B ．45°
C ．35°
D ．30°
7．(黔西南中考)如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵
，∠BAC＝50°，则∠AEC 的度数为(A )
A ．65°
B ．75°
C ．50°
D ．55°
第7题图 第8题图
8．如图，已知AB 是⊙O 的直径，∠D＝40°，则∠CAB 的度数为50°.
易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错
9．已知⊙O 的弦AB 的长等于⊙O 的半径，则此弦AB 所对的圆周角的度数为30°或150°．
02 中档题
10．(广州中考)如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB⊥CD，垂足为E ，连接CO ，AD ，∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是(D )
A ．AD ＝2O
B B ．CE ＝EO
C ．∠OCE ＝40°
D ．∠BOC ＝2∠BAD
第10题图 第11题图
11．(遵义仁怀市期末)如图，AB ︵是半圆，连接AB ，点O 为AB 的中点，点C ，D 在AB ︵
上，连接AD ，CO ，BC ，BD ，OD.若∠COD＝62°，且AD∥OC，则∠ABD 的大小是(B )
A ．26°
B ．28°
C ．30°
D ．32°
12．(南昌中考)如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B 的度数为(D )
A ．40°
B ．45°
C ．50°
D ．55°
第12题图 第13题图
13．(贵阳中考)如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠BOD＝130°，AC∥OD 交⊙O 于点C ，连接BC ，则∠B＝40度．
14．如图，⊙C 经过原点，并与两坐标轴分别交于A ，D 两点，已知∠OBA＝30°，点A 的坐标为(2，0)，则点D 的
第14题图 第15题图
15．(遵义道真县月考改编)如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，AP⊥BC 于点P ，AM 为⊙O 的直径．若∠BAM＝15°，则∠CAP＝15°.
16．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，以AB 为直径的⊙O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，且点D 为边BC 的中点．
(1)求证：△ABC 为等边三角形； (2)求DE 的长．
解：(1)证明：连接AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°.
∵点D 是BC 的中点，
∴AD 是BC 的垂直平分线．∴AB ＝AC. 又∵AB ＝BC ，∴AB ＝AC ＝BC. ∴△ABC 为等边三角形． (2)连接BE.
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°.∴BE⊥AC. ∵△ABC 是等边三角形，
∴AE ＝EC ，即E 为AC 的中点． 又∵D 是BC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线．
∴DE ＝12AB ＝1
2
×2＝1.
03 综合题
17．(东营中考)如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8 cm ，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵
，M 是AB 上一动点，CM ＋DM 的最小值为8__cm .
第2课时圆内接四边形
01 基础题
知识点圆内接四边形的性质
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆，圆内接四边形的对角互补．
如图，四边形ABCD内接于⊙O，则∠A＋∠BCD＝180°.
1．如图所示，图中∠A＋∠C＝(B)
A．90° B．180°
C．270° D．360°
第1题图第2题图
2．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B) A．115° B．105° C．100° D．95°
3．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是(D)
A．1∶2∶3∶4 B．1∶3∶2∶4
C．4∶2∶3∶1 D．4∶2∶1∶3
4．(娄底中考)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是AB∥CD．
第4题图第5题图
5．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝30°，D是弧AC的中点，则∠DAC的度数是30度．
6．圆内接四边形相邻三个内角度数的比为2∶1∶7，求这个四边形各内角的度数．
解：根据圆内接四边形的对角互补可知，其对角和相等，所以四个内角的度数的比为2∶1∶7∶8.
设这四个内角的度数分别为2x°，x°，7x°，8x°，则
2x＋x＋7x＋8x＝360.解得x＝20.
2x＝40，7x＝140，8x＝160.
答：这个四边形各内角的度数分别为40°，20°，140°，160°.
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：
(1)AD＝CD；
(2)AB是⊙O的直径．
证明：(1)∵四边形ABCD 内接于⊙O， ∴∠ADC ＝180°－∠B ＝130°. ∵∠ACD ＝25°，
∴∠DAC ＝180°－∠ACD －∠D ＝180°－25°－130°＝25°. ∴∠DAC ＝∠ACD. ∴AD ＝CD.
(2)∵∠BAC ＝∠BAD －∠DAC ＝65°－25°＝40°，∠B ＝50°， ∴∠ACB ＝180°－∠B －∠BAC ＝180°－50°－40°＝90°. ∴AB 是⊙O 的直径．
易错点 对圆内接四边形的概念理解不清导致错误
8．(来宾中考)如图，在⊙O 中，点A 、B 、C 在⊙O 上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°．
02 中档题
9．(广东中考)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，DA ＝DC ，∠CBE＝50°，则∠DAC 的大小为(C )
A ．130°
B ．100°
C ．65°
D ．50°
10．(聊城中考)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵
，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E 的度数为(B )
A ．45°
B ．50°
C ．55°
D ．60°
第10题图 第11题图
11．(南京中考)如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝215°．
12．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为(0，4)，M 是圆上一点，∠BMO＝120°.求⊙C 的半径．
解：∵四边形ABMO内接于⊙C，
∴∠BAO＋∠BMO＝180°.
∵∠BMO＝120°，
∴∠BAO＝60°.
在Rt△ABO中，AO＝4，∠BAO＝60°，
∴AB＝8.
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙C的直径．
∴⊙C的半径为4.
13．(苏州中考)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD.连接AC交圆O于点F，连接AE，DE，DF.
(1)求证：∠E＝∠C；
(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数．
解：(1)证明：连接AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.
∵CD＝BD，
∴AD垂直平分BC.
∴AB＝AC.∴∠B＝∠C.
又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C.
(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD＝180°－∠E.
又∵∠CFD＝180°－∠AFD，
∴∠CFD＝∠E＝55°.
∵∠E＝∠C＝55°，
∴∠BDF＝∠C ＋∠CFD＝110°.
03 综合题
14．(佛山中考)如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.
(1)若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；
(2)若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；
(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．
解：(1)证明：∵∠DCE ＝∠BCF，∠E ＝∠F， 又∵∠ADC ＝∠E ＋∠DCE，∠ABC ＝∠F ＋∠BCF， ∴∠ADC ＝∠ABC.
(2)由(1)知∠ADC ＝∠ABC， ∵四边形ABCD 内接于⊙O， ∴∠ADC ＋∠ABC ＝180°. ∴∠ADC ＝90°.
在Rt△ADF 中，∠A ＝90°－∠F ＝90°－42°＝48°. (3)连接EF.
∵四边形ABCD 为圆的内接四边形， ∴∠ECD ＝∠A.
∵∠ECD ＝∠CEF ＋∠CFE， ∴∠A ＝∠CEF ＋∠CFE.
∵∠A ＋∠CEF ＋∠CFE ＋∠DEC ＋∠BFC ＝180°， ∴2∠A ＋α＋β＝180°. ∴∠A ＝90°－α＋β
2
.
小专题7 圆周角定理——教材P90T14的变式与应用
【教材母题】 如图，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.判断△ABC 的形状，并证明你的结论．
解：△ABC 为等边三角形．
证明：∵∠APC ＝∠ABC，∠CPB ＝∠BAC， 又∵∠APC ＝∠CPB ＝60°， ∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°. ∴∠ACB ＝60°.
∴△ABC 为等边三角形．
【问题延伸1】 求证：PA ＋PB ＝PC.
证明：在PC 上截取PD ＝AP ，连接AD ，如图， ∵∠APC ＝60°，
∴△APD 是等边三角形．
∴AD ＝AP ＝PD ，∠ADP ＝60°，∠ADC ＝120°. ∵∠APB ＝∠APC ＋∠BPC ＝120°， ∴∠ADC ＝∠APB.
在△APB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠ABP ＝∠ACD，∠APB ＝∠ADC，AP ＝AD ，
∴△APB≌△ADC (AAS )．
∴BP ＝CD.
又∵PD ＝AP ，∴PA ＋PB ＝PC.
证明线段的和、差、倍、分问题的常见做法是“截长补短”法，具体做法是：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．
【问题延伸2】 若BC ＝23，点P 是AB ︵
上一动点(异于点A ，B)，求PA ＋PB 的最大值．
解：由上题知PA ＋PB ＝PC ，要使PA ＋PB 最大，则PC 为直径，作直径BG ，连接CG.∴∠G ＝∠BAC ＝60°，∠BCG ＝90°.∵BC ＝23，∴BG ＝4.即PA ＋PB 的最大值为4.
直径是圆中最长的一条弦，在求最值的问题中经常用到这一结论．
1．如图，四边形APBC 是圆内接四边形，延长BP 至E ，若∠EPA＝∠CPA，判断△ABC 的形状，并证明你的结论．
解：△ABC 是等腰三角形，理由： ∵四边形APBC 是圆内接四边形， ∴∠EPA ＝∠ACB.
∵∠EPA ＝∠CPA，∠CPA ＝∠ABC， ∴∠ACB ＝∠ABC. ∴AB ＝AC.
∴△ABC 是等腰三角形．
2．如图，A ，P ，B ，C 是半径为8的⊙O 上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.
(1)求证：△ABC 是等边三角形； (2)求圆心O 到BC 的距离OD.
解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠APC ＝60°，∠BAC ＝∠APC ＝60°， ∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°. ∴△ABC 是等边三角形． (2)连接OB ，OC.
可得∠BOC ＝2∠BAC ＝2×60°＝120°. ∵OB ＝OC ，
∴∠OBD ＝∠OCD ＝1
2×(180°－120°)＝30°.
∵∠ODB ＝90°，∴OD ＝1
2
OB ＝4.
3．(广州中考改编)如图，点A ，B ，C ，D 在同一个圆上，且C 点为一动点(点C 不在BAD ︵
上，且不与点B ，D 重合)，∠ACB＝∠ABD＝45°.
(1)求证：BD 是该圆的直径；
(2)连接CD ，求证：2AC ＝BC ＋CD.
证明：(1)∵AB ︵＝AB ︵
，
∴∠ACB ＝∠ADB ＝45°. ∵∠ABD ＝45°，
∴∠BAD ＝90°.
∴BD 是该圆的直径．
(2)在CD 的延长线上截取DE ＝BC ，连接EA ， ∵∠ABD ＝∠ADB，∴AB ＝AD.
∵∠ADE ＋∠ADC ＝180°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ABC ＝∠ADE. 在△ABC 和△ADE 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE，BC ＝DE ，
∴△ABC≌△ADE (SAS )． ∴∠BAC ＝∠DAE.
∴∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAE ＋∠CAD. ∴∠BAD ＝∠CAE ＝90°.
∵AD ︵＝AD ︵
，∴∠ACD ＝∠ABD ＝45°. ∴△CAE 是等腰直角三角形． ∴2AC ＝CE.
∴2AC ＝DE ＋CD ＝BC ＋CD.
小专题8 与圆的性质有关的计算与证明
类型1 求角度
1．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，BA ，DC 的延长线交于点E ，AB ＝2CE ，∠E＝25°，则∠BOD＝75°．
2．(南京中考)如图，A ，B 是⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点(P 不与A ，B 重合)，我们称∠APB 是⊙O 上关于点A ，B 的滑动角．
已知∠APB 是⊙O 上关于点A ，B 的滑动角．
(1)若AB 是⊙O 的直径，则∠APB 的度数是90°；
(2)若⊙O 的半径是1，AB ＝2，则∠APB 的度数是45°或135°__．
3．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，则∠CEB 的度数为100°．
第3题图 第4题图
4．(永州中考)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点D 是AC ︵的中点，点E 是BC ︵
上的一点．若∠CED＝40°，则∠ADC＝100度．
5．(南京中考)如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 相交于点E ，连接AC ，AE.若∠D＝78°，则∠EAC＝27°．
类型2 求长度
6．(黔东南中考)如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，∠A＝15°，半径为2，则弦CD 的长为(A )
A ．2
B ．－1
C. 2
D ．4
第6题图 第7题图
7．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为
__．
8．如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB
第8题图第9题图
9．如图，AB，AC，AD为⊙O的弦，∠BAC＝60°，∠DAC＝30°，AB＝4，AD＝6，则CD
10．(十堰中考)如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交⊙O于点D.若AC＝6，BD＝52，则BC 的长为8．
24.2点和圆、直线和圆的位置关系
24．2.1点和圆的位置关系
01 基础题
知识点1点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：(1)点P在圆外⇨d>r；(2)点P在圆上⇨d＝r；(3)点P在圆内⇨d＜r．
1．若⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，那么点A与⊙O的位置关系是(C) A．点A在圆外B．点A在圆上
C．点A在圆内D．不能确定
2．(遵义中考模拟)已知⊙O半径为6，点P在⊙O内，则OP长可能是(A)
A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知⊙O半径为3 cm，点P到圆心O的距离为3 cm，则点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O上．
4．已知⊙O的半径为6 cm，点P在圆外，则线段OP的长度的取值范围是OP＞6__cm．
5．已知⊙O的半径为7 cm，点A为线段OP的中点，当OP满足下列条件时，分别指出点A与⊙O的位置关系．
(1)OP＝8 cm；(2)OP＝14 cm；(3)OP＝16 cm.
解：(1)在圆内．(2)在圆上．(3)在圆外．
知识点2三角形的外接圆与外心
不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形外接圆的圆心叫外心，它是三角形三条边垂直平分线的交点；一个三角形的外接圆有1个，一个圆的内接三角形有无数个．
6．下列关于三角形的外心的说法中，正确的是(C)
A．三角形的外心在三角形外
B．三角形的外心到三边的距离相等
C．三角形的外心到三个顶点的距离相等
D．等腰三角形的外心在三角形内
7．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，最少使用2次就可以找到圆形工件的圆心．
第7题图第8题图
8．如图，△ABC的外接圆圆心的坐标是(－2，－1)．
知识点3反证法
反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．
9．用反证法证明“平行于同一条直线的两条直线互相平行”时，先假设平行于同一条直线的两条直线相交成立，然后经过推理与平行公理相矛盾．
10．用反证法证明：若∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则其中至少有一个角不大于60°.
证明：假设∠A，∠B，∠C都大于60°.则有∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形的内角和等于180°相矛盾．因此假设不成立，即∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°.
易错点概念不清
11．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③三角形的外心到三角形三边的距离相等；④圆有且只有一个内接三角形．其中正确的是②(填序号)．
02 中档题
12．已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2－2x＋d＝0有实数根，则点P(D) A．在⊙O的内部
B．在⊙O的外部
C．在⊙O上
D．在⊙O上或⊙O的内部
13．用反证法证明“两条直线相交只有一个交点”应该先假设(A)
A．两条直线相交至少有两个交点
B．两条直线相交没有两个交点
C．两条直线平行时也有一个交点
D．两条直线平行没有交点
14．如图，在△ABC中，BC＝3 cm，∠BAC＝60°，那么△ABC的圆形纸片所覆盖．
15．若O为△ABC的外心，且∠BOC＝60°，则∠BAC＝30°或150°．
16．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，斜边AB边上的高为CD，若以点C为圆心，分别以R1＝2，R2＝2.4，R3＝3为半径作⊙C1，⊙C2，⊙C3，试判断点D与这三个圆的位置关系．
解：由勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝5，
由面积公式，得CD＝2.4，
∴d＝CD＝2.4.
∴d>R1，d＝R2，d<R3.
∴点D在⊙C1的外部，在⊙C2上，在⊙C3的内部．
17．如图，已知，△ABC中，∠A＝25°，∠B＝40°.
(1)求作：⊙O，使得⊙O是△ABC的外接圆；(要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法)
(2)综合应用：在你所作的圆中，求∠AOB的度数．
解：(1)如图．
作法：分别作边AB，AC的垂直平分线GH，EF，交于点O，以O为圆心，以OA为半径的圆就是△ABC的外接圆．(2)在优弧AB上取一点D，连接DA，DB.
∵∠CAB＝25°，∠CBA＝40°，
∴∠C＝180°－∠CAB－∠CBA＝115°.
∵四边形CADB是圆的内接四边形，
∴∠ADB＝180°－∠C＝180°－115°＝65°.
∴∠AOB＝2∠ADB＝130°.
24．2.2 直线和圆的位置关系 第1课时 直线和圆的位置关系
01 基础题
知识点1 直线与圆的位置关系的判定
如图，直线l 与⊙O 有三种位置关系：
(1)图1中直线l 与⊙O 相交，有两个公共点，这条直线叫做圆的割线．
图1 图2 图3
(2)图2中直线l 与⊙O 相切，有1个公共点，这条直线叫做圆的切线． (3)图3中直线l 与⊙O 相离，无公共点．
1．(梧州中考)已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为(C )
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．无法确定
2．已知一条直线与圆有公共点，则这条直线与圆的位置关系是(D )
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．相切或相交
3．(张家界中考)如图，∠O＝30°，C 为OB 上一点，且OC ＝6，以点C 为圆心，半径为3的圆与OA 的位置关系是(C )
A ．相离
B ．相交
C ．相切
D ．以上三种情况均有可能
4．⊙O 的半径为6，一条弦长63，以3为半径的同心圆与这条弦的关系是(A )
A ．相切
B ．相交
C ．相离
D ．相切或相交 5．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝4 cm ，BC ＝2 cm ，以C 为圆心，r 为半径的圆与AB 有何种位置关系？请你写出判断过程．
(1)r ＝1.5 cm ；(2)r ＝ 3 cm ；(3)r ＝2 cm . 解：过点C 作CD⊥AB，垂足为D. ∵AB ＝4，BC ＝2，∴AC ＝2 3.
又∵S △ABC ＝12AB·CD ＝1
2BC·AC，
∴CD ＝BC·AC
AB ＝ 3.
(1)r ＝1.5 cm 时，相离． (2)r ＝ 3 cm 时，相切． (3)r ＝2 cm 时，相交．
知识点2 直线与圆的位置关系的性质
已知⊙O 的半径为r ，圆心到直线l 的距离为d ，根据直线和圆相交，相切，相离的定义，可以得到： (1)直线l 与⊙O 相交⇔d ＜r ；(2)直线l 与⊙O 相切⇔d ＝r ；(3)直线l 与⊙O 相离⇔d ＞r.
6．设⊙O 的半径为4，点O 到直线a 的距离为d ，若⊙O 与直线a 至多只有一个公共点，则d 的取值范围为(C )
A ．d ≤4
B ．d ＜4
C ．d ≥4
D ．d ＝4
7．(益阳中考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为(－3，0)，将⊙P 沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为(B )
A ．1
B ．1或5
C ．3
D ．5
8．(西宁中考)⊙O 的半径为R ，点O 到直线l 的距离为d ，R ，d 是方程x 2
－4x ＋m ＝0的两根，当直线l 与⊙O 相切时，m 的值为4．
9．如图，在Rt △ABC 中，∠A＝90°，∠C＝60°，BO ＝x ，⊙O 的半径为2，求当x 在什么范围内取值时，AB 所在的直线与⊙O 相交，相切，相离？
解：过点O 作OD⊥AB，垂足为D.
∵∠A ＝90°，∠C ＝60°，∴∠B ＝30°. ∴OD ＝12OB ＝1
2
x.
当AB 所在的直线与⊙O 相切时，OD ＝r ＝2.
∴BO ＝4.
∴0<x<4时，相交；x ＝4时，相切；x>4时，相离．
易错点 题意理解不清
10．已知⊙O 的半径为2，直线l 上有一点P 满足PO ＝2，则直线l 与⊙O 的位置关系是相切或相交．
02 中档题
11．(遵义汇川月考)如图，在Rt △ABC 中，∠B＝90°，∠A＝60°，BC ＝4 cm ，以B 为圆心，2 cm 长为半径作圆，则⊙B 与AC 的位置关系是(B )
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D．外切
12．(百色中考)以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是(D) A．0≤b<2 2 B．－22≤b≤2 2
C．－23<b<2 3 D．－22<b<2 2
13．(铜仁模拟)已知如图，∠BOA＝30°，M是OB上一点，以M为圆心、2 cm为半径作⊙M，点M在射线OB上运动，当OM＝5 cm时，⊙M与直线OA的位置关系是相离．
第13题图第14题图
14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC≠BC，点M是边AC上的动点．过点M作MN∥AB交BC于点N，现将△MNC 沿MN折叠，得到△MNP.若点P在AB上．则以MN为直径的圆与直线AB的位置关系是相交．
15．如图所示，半径为2的⊙P的圆心在直线y＝2x－1上运动．
(1)当⊙P和x轴相切时，写出点P的坐标；并判断此时y轴与⊙P的位置关系；
(2)当⊙P和y轴相切时，写出点P的坐标；并判断此时x轴与⊙P的位置关系；
(3)⊙P是否能同时与x轴和y轴相切？若能，写出点P的坐标；若不能，说明理由．
解：(1)∵⊙P的圆心在直线y＝2x－1上，
∴圆心坐标可设为(x，2x－1)．
当⊙P和x轴相切时，
2x－1＝2或2x－1＝－2，
解得x1＝1.5，x2＝－0.5.
∴P1(1.5，2)，P2(－0.5，－2)．
∵1.5<2，|－0.5|<2，
∴y轴与⊙P相交．
(2)当⊙P和y轴相切时，x＝2或－2.
得2x－1＝3或2x－1＝－5.
∵|－5|>2，3>2，
∴x轴与⊙P相离．
(3)不能．∵当x＝2时，y＝3，
当x＝－2时，y＝－5，|－5|≠2，3≠2，
∴⊙P不能同时与x轴和y轴相切．
03 综合题
16．(永州中考)如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l 的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：
(1)当d＝3时，m＝1；
(2)当m＝2时，d的取值范围是1＜d＜3．
第2课时切线的判定与性质
01 基础题
知识点1切线的判定
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，∵AB⊥BC，∴BC为⊙O的切线．
1．下列说法中，正确的是(D)
A．AB垂直于⊙O的半径，则AB是⊙O的切线
B．经过半径外端的直线是圆的切线
C．经过切点的直线是圆的切线
D．圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
2．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，AD，BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD.判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由．
解：PD是⊙O的切线．
理由如下：
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°.
∴∠ADO＋∠ODB＝90°.
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB.
∵∠PDA＝∠PBD，
∴∠ADO＋∠PDA＝90°，即∠PDO＝90°.
又∵直线PD经过⊙O半径的外端，
∴PD是⊙O的切线．
知识点2切线的性质
圆的切线垂直于过切点的半径．
如图，直线AB是⊙O的切线，切点为A，则∠OAB＝90°．
3．如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，⊙O 的半径为2，若∠OBA＝30°，则OB 的长为(B )
A ．4 3
B ．4
C ．2 3
D ．2
第3题图 第4题图
4．(黔南中考)如图，已知直线AD 是⊙O 的切线，点A 为切点，OD 交⊙O 于点B ，点C 在⊙O 上，且∠ODA＝36°，则∠ACB 的度数为(D )
A ．54°
B ．36°
C ．30°
D ．27°
5．如图，PA 切⊙O 于A ，PO 交⊙O 于B ，若PA ＝6，PB ＝3，则⊙O 的半径是(C )
A ．5
B ．4
C ．4.5
D ．3.5
第5题图 第6题图
6．如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心，若∠B＝25°，则∠C 等于40°. 7．(济南中考)如图，AB 与⊙O 相切于点C ，∠A＝∠B，⊙O 的半径为6，AB ＝16.求OA 的长．
解：连接OC.
∵AB 与⊙O 相切于点C ， ∴OC⊥AB.
∵∠A ＝∠B，∴OA ＝OB. ∴AC ＝BC ＝1
2AB ＝8.
∵OC ＝6，
∴OA ＝62
＋82
＝10.
易错点 判断圆和各边相切时考虑不全面而漏解
8．如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形OABC ，B(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心P 的坐标为(1，1)或(3，1)或(2，0)或(2，2)．
02 中档题
9．(教材9上P 101习题T 5变式)如图，两个同心圆的半径分别为4 cm 和5 cm ，大圆的一条弦AB 与小圆相切，则弦AB 的长为(C )
A ．3 cm
B ．4 cm
C ．6 cm
D ．8 cm。