初中数学竞赛有余数的除法教案：为竞赛考生量身定制

初中数学竞赛有余数的除法教案：为竞赛考生量身定制
一、教学目标
1.了解除法的概念和性质，并掌握求商与余数的方法。

2.学会使用余数理论进行整数的分类。

3.会判断被除数是否能被除数整除等问题。

二、教学重点与难点
教学重点：掌握除法的概念和性质，并灵活运用余数理论进行整数的分类。

教学难点：理解余数理论及其应用。

三、教学方法
1.探究性教学法
2.合作学习法
3.实验教学法
4.示范教学法
五、教学过程
1.概念与性质
1.1.除法的概念
除法是交换律、结合律和分配律都满足的运算。

其主要形式为a÷b=c，其中a为被除数，b 为除数，c为商，并且同时有a=b×c+r，其中r为余数。

1.2.除法的性质
（1）除数不为零。

（2）除法不满足取消律。

（3）分子分母同乘或同除不影响商的大小。

（4）同余数除数不同的除法，商是不同的。

2.求商与余数的方法
2.1.例1：79÷13
÷ 只能放在左端，所以要将79先反写一下：97。

因为13×6＝78<97<13×7，所以商为6，余数为1。

即：79÷13＝6…1。

2.2.例2：81÷7
因为7×11＝77<81<7×12，所以商为11，余数为4。

即：81÷7＝11…4。

2.3.例3：60÷4
可以直接将60÷4化简为15。

即：60÷4＝15。

3.余数理论
3.1.整除定义
如果a能被b整除，则称a为b的倍数，b为a的因数。

这里a,b均为整数。

3.2.同余定义
如果a和b除以m所得的余数相同，则称a和b在模m意义下同余。

记作a≡b(mod m)。

3.3.同余性质
同余具有传递性、反身性、对称性、合并性和分裂性。

3.4.整数分类
经过以上的学习与探究，我们将整数大致分为三类：
（1）正整数：拥有一个正整数的所有性质，如1、2、3、4、5……
（2）负整数：拥有一个负整数的所有性质，如-1，-2，-3，-4，-5……
（3）零：整数中的零。

4.判断能否被整除
当被除数为整数，除数为正整数、负整数或零时，判断能否被整除的方法也不同：
4.1.整除的概念
如果被除数a除以除数b所得的余数为零，则称a能被b整除，否则称a不能被b整除，其中a为被除数，b为除数。

4.2.整除的性质
整除满足反身性与传递性，即a能整除b，b能整除c，则a必能整除c。

4.3.判断能否被整除的条件
当判断能否被整除时，需要根据具体情况进行判断。

例如：
（1）当被除数是偶数，则能整除2。

（2）当被除数的个位数字是0或5，则能整除5。

（3）当被除数个位数字为0，十位数字为偶数，则能被10整除。

（4）当被除数个位数字为0，十位数字是3的倍数，则能被15整除。

（5）当被除数个位数字是0，十位数字是5的倍数，百位数字是偶数，则能被25整除。

六、练习
1.请计算：178÷6。

2.请判断以下数能否被497整除：
（1）298
（2）699
3.请判断整数91323是否为321的倍数。

4.请计算35÷6的余数。

5.求99除以9的余数。

七、教学总结
通过本节课的学习，我们深入了解了除法的概念和性质，并掌握了求商与余数的方法。

同时，我们学会了使用余数理论进行整数的分类，以及判断能否被整除的方法。

但我们也需要进行练习和反复巩固，才能真正掌握这些知识和技能。