高二选修45不等式与排序不等式(课堂PPT)
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排序不等式 课件
bc ca ab
由排序不等式：顺序和≥乱序和得：
a ＋b ＋c b ＋c ＋a ， bc ca ab bc ca ab
a ＋b ＋c c ＋a ＋b ， bc ca ab bc ca ab
两式相加得：2( a ＋ b ＋ c ) 3.
bc ca ab
所以 a ＋ b ＋ c 3 .
bc ca ab 2
(1,2,3) (30,25,45)
和
S1=a1b1+a2b2+a3b3=220 (最大值)
备注 顺序和
S2=a1b1+a2b3+a3b2=205 乱序和
S3=a1b2+a2b1+a3b3=215 乱序和
对应关系
和
(1,2,3) (30,45,25)
S4=a1b2+a2b3+a3b1=195
(1,2,3) (45,25,30)
2.首先分析待证不等式的结构特点，左端是 1 1右 1端，是
abc
a8 b8 应 c该8 分离成积的和形式，首先构造右端，寻找有序
a3b3c3
实数组，然后根据结论证明本题需要两次利用排序不等式.
【证明】1.如图,ha=bsin C，hb=csin A, hc=asin B,不妨设a≥b≥c.由大角对大边 可知A≥B≥C. ①若A≤90°，则有sin A≥sin B≥sin C,由顺序和≥乱序和， 可得asin A+bsin B+csin C≥asin B+bsin C+csin A. ②若A>90°,此时sin A=sin(B+C),因为B+C为锐角,故亦有 sin A≥sin B≥sin C.由顺序和≥乱序和，可得asin A+bsin B+csin C≥asin B+bsin C+csin A. 综上可知,asin A+bsin B+csin C≥ha+hb+hc成立.
人教版高中数学选修4-5第3讲 柯西不等式与排序不等式2ppt课件
2．若 a21＋a22＋…a2n＝1，b21＋b21＋…＋b2n＝4，则 a1b1＋a2b2
＋…anbn 的最大值为( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
答案： C
3．已知 a，b，c 为正实数，且 a＋2b＋3c＝9，求 3a＋ 2b ＋ c的最大值________．
解析： 3a＋ 2b＋ c
＝
3
a1·1a1＋
a2·1a2＋…＋
an·1an2＝n2.
于是a1＋a2n＋…an≥a11＋a12＋n …＋a1n.
②
由①，②知原不等式成立．
柯西不等式的几何背景
柯西不等式有着丰富的几何背景，运用向量的数量积在不 等式和几何之间架起一座桥梁，就可以用几何的背景解释不等 式．设 α＝(a1，a2，…，an)，β＝(b1，b2，…bn)，由|α|·|β|≥|α·β|， 可得i∑＝n1a2i i∑＝n1b2i ≥(∑i＝n1aibi)2.
≥[1x＋2x＋…＋(n－1)x＋a·nx]2.
①
∵0≤a≤1，∴a≥a2，根据柯西不等式得
n(12x＋22x＋…＋(n－1)2x＋a·n2x)
≥(12 ＋ 12 ＋ … ＋ 12){(1x)2 ＋ (2x)2 ＋ … ＋ [(n － 1)x]2 ＋
(a·nx)2}≥[1x＋2x＋…＋(n－1)x＋a·nx]2，
∴要证
f(2x)≥2f(x)，只要证
12x＋22x＋…＋n－12x＋a·n2x
lg
n
≥2lg1x＋2x＋…＋nn－1x＋a·nx，
即证12x＋22x＋…＋nn－12x＋a·n2x
≥1x＋2x＋…＋nn－1x＋a·nx2，
也即证 n[12x＋22x＋…＋(n－1)2x＋a·n2x]
人教A版选修4-5 第三章 三 排序不等式 课件(25张)
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
解：由顺序和最大知 a1c1＋a2c2＋…＋a5c5 的最大值为 a1b1＋ a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5＝2×3＋7×4＋8×6＋9×10＋12×11 ＝304. 由反序和最小知 a1c1＋a2c2＋a3c3＋a4c4＋a5c5 的最小值为 a1b5 ＋ a2b4 ＋ a3b3 ＋ a4b2 ＋ a5b1 ＝ 2×11 ＋ 7×10 ＋ 8×6 ＋ 9×4 ＋ 12×3＝212. 所以 a1c1＋a2c2＋…＋a5c5 的最大值为 304，最小值为 212.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
利用排序不等式求最值 设 a1，a2，a3 为正整数，且各不相等，求 a1＋a222＋a332的 取值范围．
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
【解】 设 a1，a2，a3 按从小到大排成一列为 b1，b2，b3，则 有 b1＜b2＜b3，所以 b1≥1，b2≥2，b3≥3. 又312＜212＜112， 所以由乱序和≥反序和，且 a1，a2，a3 各不相等，得 a1＋a222＋a332＞b332＋b222＋b1≥13＋12＋1＝161， 所以 a1＋a222＋a332的取值范围是161，＋∞.
栏目 导引
第三讲 柯西不等式与排序不等式
3．若 a＜b＜c，x＜y＜z，则下列各式中值最大的一个是( ) A．ax＋cy＋bz B．bx＋ay＋cz C．bx＋cy＋az D．ax＋by＋cz 答案：D
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第三讲 柯西不等式与排序不等式
4．设两组数 1，2，3，4 和 4，5，6，7 的顺序和为 A，反序 和为 B，则 A＝________，B＝________． 解析：A＝1×4＋2×5＋3×6＋4×7＝4＋10＋18＋28＝60. B＝1×7＋2×6＋3×5＋4×4＝7＋12＋15＋16＝50. 答案：60 50
第三讲 柯西不等式与排序不等式
解：由顺序和最大知 a1c1＋a2c2＋…＋a5c5 的最大值为 a1b1＋ a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5＝2×3＋7×4＋8×6＋9×10＋12×11 ＝304. 由反序和最小知 a1c1＋a2c2＋a3c3＋a4c4＋a5c5 的最小值为 a1b5 ＋ a2b4 ＋ a3b3 ＋ a4b2 ＋ a5b1 ＝ 2×11 ＋ 7×10 ＋ 8×6 ＋ 9×4 ＋ 12×3＝212. 所以 a1c1＋a2c2＋…＋a5c5 的最大值为 304，最小值为 212.
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第三讲 柯西不等式与排序不等式
利用排序不等式求最值 设 a1，a2，a3 为正整数，且各不相等，求 a1＋a222＋a332的 取值范围．
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第三讲 柯西不等式与排序不等式
【解】 设 a1，a2，a3 按从小到大排成一列为 b1，b2，b3，则 有 b1＜b2＜b3，所以 b1≥1，b2≥2，b3≥3. 又312＜212＜112， 所以由乱序和≥反序和，且 a1，a2，a3 各不相等，得 a1＋a222＋a332＞b332＋b222＋b1≥13＋12＋1＝161， 所以 a1＋a222＋a332的取值范围是161，＋∞.
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第三讲 柯西不等式与排序不等式
3．若 a＜b＜c，x＜y＜z，则下列各式中值最大的一个是( ) A．ax＋cy＋bz B．bx＋ay＋cz C．bx＋cy＋az D．ax＋by＋cz 答案：D
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第三讲 柯西不等式与排序不等式
4．设两组数 1，2，3，4 和 4，5，6，7 的顺序和为 A，反序 和为 B，则 A＝________，B＝________． 解析：A＝1×4＋2×5＋3×6＋4×7＝4＋10＋18＋28＝60. B＝1×7＋2×6＋3×5＋4×4＝7＋12＋15＋16＝50. 答案：60 50
选修4-5 《排序不等式》(课件)
a1bn+a2bn-1+……+anb1
≤a1c1+a2c2+……+ancn ≤a1b1+a2b2+……+anbn(当且仅当 a1=a2=……an或b1=b2=……bn, 等号成立)
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2010年上学期
例1.有10人各拿一只水桶去接水, 设 水龙头注满第i(i=1, 2, ……, 10)个人的水 桶需要ti分, 假定这些ti各不相同, 问只有 一个水龙头时, 应如何安排10人的顺序, 使他们等候的总时间最少？这个最小时 间等于多少？
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2010年上学期
例2.设a1, a2, ……, an是互不相同的 正整数, 求证：
1
1 2
1 3
1 n
a1
a2 22
a3 23
an n2
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2010年上学期
学法大视野
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2010年上学期
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探究2: 研读教材P41-P42几何角度 猜想排序不等式。
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2010年上学期
排序不等式的证明推导： 教材P42-P43分析。
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2010年上学期
定理：排序不等式(又称排序原理)
设a1≤a2≤ …… ≤ an, b1≤b2≤… ≤ bn为 两组实数, c1, c2, ……, cn是b1, b2, ……, bn 的任一排列, 则：
人教A版选修4-5 第3章 第3课时排序不等式 课件(20张)
第3课时 排序不等式
定理：(排序不等式，又称排序原理)
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，
c2 ， … ， cn 是 b1 ， b2 ， … ， bn 的 任 一排 列 ， 则a1b1 ＋
a2b2
＋
…
＋
anbn≥______________________≥_____________
③若 a，b，c 为正数，且 a＋b＋c＝1，，则 a2＋b2＋c2≥13；
④(a＋b)1a＋1b≥4. A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】(1)由二维柯西不等式，得①成立； (2)由排序不等式，得②成立； (3)由三维柯西不等式，得③成立； (4)缺条件a，b大于0，不成立．
3．若 A＝x21＋x22＋x23＋x24，B＝x1x2＋x2x3＋x3x4＋x4x1(x1，x2， x3，x4 均为正数)，则 A，B 的大小关系是______．
两式相加得：2S≥1a＋1b＋1c≥3·3 a1bc＝3. ∴S≥32，即a3b1＋c＋b3a1＋c＋c3a1＋b的最小值为32.
利用排序原理证明不等式 【例 2】 设 a>0，b>0，c>0，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b ＋c. 【解题探究】 本例可以由柯西不等式，也可以由排序不 等式进行证明．如何构造出三维柯西不等式的形式或适当的序 列是解决问题的关键．
1.关键在于构造出三维柯西不等式或排序 不等式的形式，利用不等式的变形形式解决问题．
2．本例可以推广为证明：aa221＋aa223＋…＋aa2n－n 1＋aa12n≥a1＋a2 ＋…＋an(其中 a1，a2，a3，…，an 为正数)，所用方法与本例一 样．
定理：(排序不等式，又称排序原理)
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，
c2 ， … ， cn 是 b1 ， b2 ， … ， bn 的 任 一排 列 ， 则a1b1 ＋
a2b2
＋
…
＋
anbn≥______________________≥_____________
③若 a，b，c 为正数，且 a＋b＋c＝1，，则 a2＋b2＋c2≥13；
④(a＋b)1a＋1b≥4. A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】(1)由二维柯西不等式，得①成立； (2)由排序不等式，得②成立； (3)由三维柯西不等式，得③成立； (4)缺条件a，b大于0，不成立．
3．若 A＝x21＋x22＋x23＋x24，B＝x1x2＋x2x3＋x3x4＋x4x1(x1，x2， x3，x4 均为正数)，则 A，B 的大小关系是______．
两式相加得：2S≥1a＋1b＋1c≥3·3 a1bc＝3. ∴S≥32，即a3b1＋c＋b3a1＋c＋c3a1＋b的最小值为32.
利用排序原理证明不等式 【例 2】 设 a>0，b>0，c>0，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b ＋c. 【解题探究】 本例可以由柯西不等式，也可以由排序不 等式进行证明．如何构造出三维柯西不等式的形式或适当的序 列是解决问题的关键．
1.关键在于构造出三维柯西不等式或排序 不等式的形式，利用不等式的变形形式解决问题．
2．本例可以推广为证明：aa221＋aa223＋…＋aa2n－n 1＋aa12n≥a1＋a2 ＋…＋an(其中 a1，a2，a3，…，an 为正数)，所用方法与本例一 样．
1新人教A版高中数学(选修4-5)《不等式》ppt课件]
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1 d 1 c cd cd 0,因此 1 d 1 c 0.
由a 0及性质4 , 得
a d
a c
0.
由a b 0,
1 c
0及性质4 , 得
a d b c
a d b c .
a c
b c
0.
由性质2 , 得
0.
根据性质6, 有
从上述基本事实可知要比 , 较两个实数的大小 可以转 , 化为比较它们的差与的大 0 小.这是研究不等关系的一 个出发点 .
例1
比较 x 3 x 7 和 x 4 x 6
的大小 .
分析 通过考察它们的差与 的大小关系 0 , 得出这两个多项式的大 小关系.
解
因为 x 3 x 7 x 4 x 6
:
这个基本事实可以表示 ab ab 0; a b ab 0; a b a b 0.
上面的符号 相推出 .
为
" " 表示 " 等价于 " , 即可以互
0是正数 与负数 的 分界 点 , 它为 实数 比 较大小 提 供了 " 标杆".
思考
从上述基本事实出发 比较
,
你认为可以用什么方法 两个实数的大小 ?
2 2
x 10 x 21 x 10 x 24 3 0
所以 x 3 x 7 x 4 x 6 .
探究
我们知道 , 等式有 " 等式两边同 " "等
加 或减 一个 数 , 等式仍然成立 式两边 同乘
或除于 一个数
6 如果 a b 0, 那么n
由a 0及性质4 , 得
a d
a c
0.
由a b 0,
1 c
0及性质4 , 得
a d b c
a d b c .
a c
b c
0.
由性质2 , 得
0.
根据性质6, 有
从上述基本事实可知要比 , 较两个实数的大小 可以转 , 化为比较它们的差与的大 0 小.这是研究不等关系的一 个出发点 .
例1
比较 x 3 x 7 和 x 4 x 6
的大小 .
分析 通过考察它们的差与 的大小关系 0 , 得出这两个多项式的大 小关系.
解
因为 x 3 x 7 x 4 x 6
:
这个基本事实可以表示 ab ab 0; a b ab 0; a b a b 0.
上面的符号 相推出 .
为
" " 表示 " 等价于 " , 即可以互
0是正数 与负数 的 分界 点 , 它为 实数 比 较大小 提 供了 " 标杆".
思考
从上述基本事实出发 比较
,
你认为可以用什么方法 两个实数的大小 ?
2 2
x 10 x 21 x 10 x 24 3 0
所以 x 3 x 7 x 4 x 6 .
探究
我们知道 , 等式有 " 等式两边同 " "等
加 或减 一个 数 , 等式仍然成立 式两边 同乘
或除于 一个数
6 如果 a b 0, 那么n
专题七第2讲选修45不等式选讲课件共41张PPT
【变式训练2】 已知函数f (x)＝x＋m2 ＋|x－m|(m>0)。 (1)当m＝1时，求函数f (x)的最小值； (2)若存在x∈(0,1)，使得不等式f (x)≤3成立，求实数m的取值范围。
解 (1)当m＝1时，f (x)＝|x＋2|＋|x－1|， 因为|x＋2|＋|x－1|≥|(x＋2)－(x－1)|＝3， 当且仅当(x＋2)(x－1)≤0，即－2≤x≤1时等号成立， 所以f (x)的最小值为3。
方法悟通
解决不等式恒成立、能成立、恰成立问题的策略
不等式 恒成立
问题
不等式f (x)>A在区间D上恒成立，等价于在区间D 上f (x)min>A。 不等式f (x)<B在区间D上恒成立，等价于在区间D 上f (x)max<B
不等式 能成立 问题
不等式 恰成立 问题
在区间D上存在实数x使不等式f (x)>A成立，等价 于在区间D上f (x)max>A。 在区间D上存在实数x使不等式f (x)<B成立，等价 于在区间D上f (x)min<B 不等式f (x)>A在区间D上恰成立，等价于不等式f (x)>A的解集为D。 不等式f (x)<B在区间D上恰成立，等价于不等式f (x)<B的解集为D
(2)由题意得存在x∈(0,1)，使得x＋m2 ＋|x－m|≤3成立， ①当m≥1时，x＋m2 ＋|x－m|≤3等价于m2 ＋m≤3，所以1≤m≤2。
②当0<m<1时，f
(x)＝x＋
2 m
＋|x－m|＝ 2m2x＋＋mm2，－0m<，x<mm≤，x<1，
则f
(x)min＝
2 m
＋
m，所以m2 ＋m≤3，所以1≤m≤2，与“0<m<1”矛盾，此时m无解。 综上，实数m的取值范围为[1,2]。
5.4柯西不等式与排序不等式 课件(人教A版选修4-5)
又因
1 1 1 1 ... 2 2 2 3 n2
由排序不等式，得：
an bn a2 a3 b2 b3 a1 2 2 ... 2 b1 2 2 ... 2 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 2 ... n 2 1 ... 2 3 n 2 3 n
1 1 4 ∴ ab bc ac
例6：若 a, b, c R
a b c 3 求证： bc ca ab 2
分析：左端变形
a b c 1 1 1 bc ca ab
1 1 1 (a b c)( ) bc ca ab
9 ∴只需证此式 2
x y x y ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
例题
例1.已知a,b为实数,证明：
(a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2
例2.求函数y 5 x 1 10 2 x的最大值.
例3.设a,b∈R+,a+b=1,求证
二维形式的柯西不等式）: (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
三维形式的柯西不等式）:
(a a a ) (b b b )
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3
( a1b1 a2b2 a3b3 )
2
n维形式的柯西不等式）: 2 2 2 2 2 2 (a1 a2 ... an ) (b1 b2 ... bn )
y
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1) 0
0
高二数学人选修课件第二章排序不等式
理解排序不等式在实际问题中的应用
排序不等式在实际问题中有着广泛的应用，学生应能理解其应用背景和实际意义 ，提高分析问题和解决问题的能力。
排序不等式的定义和性质
• 排序不等式的定义：对于两组实数$a_1, a_2, \ldots, a_n$和$b_1, b_2, \ldots, b_n$，若$a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n$，$b_1 \leq b_2 \leq \ldots \leq b_n$，则有$a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n \leq a1b{\sigma(1)} + a2b{\sigma(2)} + \ldots + anb{\sigma(n)}$，其中$\sigma$是$1, 2, \ldots, n$的任意一个排列，当且仅当$a_1 = a_2 = \ldots = a_n$或$b_1 = b_2 = \ldots = b_n$时等号成立。
二者的证明方法相似
均值不等式和排序不等式的证明方法都采用了数学归纳法、反证法等，这些方法在证明过程中起到了关键作用。
与柯西不等式的联系
柯西不等式是排序不等式的推广
柯西不等式是排序不等式在更广泛条件下的推广和应用。当排序不等式中的权值满足一 定条件时，可以转化为柯西不等式进行求解。
二者的应用场景相互补充
顺序和
对于同样的两个有序实数序列$a$和$b$，如果将$a$序列中 的元素与$b$序列中同样位置的元素相乘并求和，得到的结 果称为顺序和，记作$S_顺$。即$S_顺 = a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_nb_n$。
乱序和与反序和
乱序和
排序不等式在实际问题中有着广泛的应用，学生应能理解其应用背景和实际意义 ，提高分析问题和解决问题的能力。
排序不等式的定义和性质
• 排序不等式的定义：对于两组实数$a_1, a_2, \ldots, a_n$和$b_1, b_2, \ldots, b_n$，若$a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n$，$b_1 \leq b_2 \leq \ldots \leq b_n$，则有$a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n \leq a1b{\sigma(1)} + a2b{\sigma(2)} + \ldots + anb{\sigma(n)}$，其中$\sigma$是$1, 2, \ldots, n$的任意一个排列，当且仅当$a_1 = a_2 = \ldots = a_n$或$b_1 = b_2 = \ldots = b_n$时等号成立。
二者的证明方法相似
均值不等式和排序不等式的证明方法都采用了数学归纳法、反证法等，这些方法在证明过程中起到了关键作用。
与柯西不等式的联系
柯西不等式是排序不等式的推广
柯西不等式是排序不等式在更广泛条件下的推广和应用。当排序不等式中的权值满足一 定条件时，可以转化为柯西不等式进行求解。
二者的应用场景相互补充
顺序和
对于同样的两个有序实数序列$a$和$b$，如果将$a$序列中 的元素与$b$序列中同样位置的元素相乘并求和，得到的结 果称为顺序和，记作$S_顺$。即$S_顺 = a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_nb_n$。
乱序和与反序和
乱序和
柯西不等式与排序不等式复习课件-高二下学期数学人教A版选修4-5
xi3
n
2
1
1i , j n
1
1
2
xi
xi x j
n 1
满足
x x
i 1
i i 1
x1 xn n
●
【证明提示】：
● 由排序不等式与柯西不等式易证之
n
n
n
xi x 2j
xi3
xi3
2
2
2
1
1i , j n
1i , j n
1i , j n
是(
1
● A．43
)
50
B． 19
C．
50
69 D．172
● 解：
● 由柯西不等式得
● [( x ＋8) 2 ＋2( y －2) 2 ＋( z ＋10) 2 ][8 2 ＋2(－2) 2 ＋10 2 ]
● ≥[8( x ＋8)＋(－4)( y －2)＋10( z ＋10)] 2 ＝29584 ，
x 8
a 4 2a 2b b 5
2
2
3
● 所以 4a a 2 a 2b b 3
a 4 2a 2b b 5
● 的最大值是2.
2
4a 2 a 2 a 2b b 3
2
2a 2a b 2ab
3
2
3 2
2
达标题 ：
● 例题4．已知x, y, z∈R，且8 x －4 y ＋10 z ＝172，则( x ＋8) 2 ＋2( y-2 ) 2 ＋( z ＋10) 2 的最小值
● 证明：不妨设
505
a
n
2
1
1i , j n
1
1
2
xi
xi x j
n 1
满足
x x
i 1
i i 1
x1 xn n
●
【证明提示】：
● 由排序不等式与柯西不等式易证之
n
n
n
xi x 2j
xi3
xi3
2
2
2
1
1i , j n
1i , j n
1i , j n
是(
1
● A．43
)
50
B． 19
C．
50
69 D．172
● 解：
● 由柯西不等式得
● [( x ＋8) 2 ＋2( y －2) 2 ＋( z ＋10) 2 ][8 2 ＋2(－2) 2 ＋10 2 ]
● ≥[8( x ＋8)＋(－4)( y －2)＋10( z ＋10)] 2 ＝29584 ，
x 8
a 4 2a 2b b 5
2
2
3
● 所以 4a a 2 a 2b b 3
a 4 2a 2b b 5
● 的最大值是2.
2
4a 2 a 2 a 2b b 3
2
2a 2a b 2ab
3
2
3 2
2
达标题 ：
● 例题4．已知x, y, z∈R，且8 x －4 y ＋10 z ＝172，则( x ＋8) 2 ＋2( y-2 ) 2 ＋( z ＋10) 2 的最小值
● 证明：不妨设
505
a
人教版高中数学选修4-5 第三讲 三 排序不等式 (共30张PPT)教育课件
:
那
你
的
第
一
部
戏
有
没
有
胆
怯
，
像
费
里
尼
拍
第
一
部
戏
时
就
穿
戴
得
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
爬
上
来
的
我
清
楚
怎
么
运
作
这
个
东
西
(
电
影
拍
摄
)
所
以
为
什
么
很
多
时
候
在
现
场
我
不
想
等
。
你
可
但
是
当
我
拍
完
一
个
镜
头
，
下
一
个
镜
头
试
完
镜
后
我
希
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就是Leabharlann 如果我告
诉
你
怎
么
弄
，
1
5
分
钟
后
你
还
没
有
弄
完
我
就
不
耐
烦
像
如
果
我
自
己
经有限步调整，可知一切和数中，最 大和数所对应的情况只能是数组{ci} 由小到大的情况，最大和数是顺序和， 即S≤S2.
2019年最新-人教版高中数学选修4-5课件：第三讲3.3排序不等式ppt课件
解：由题意不妨设 a≥b≥c＞0， 1 1 1 所以 ab≥ac≥bc， ≥ ≥ . c b a 1 1 1 1 1 1 由排序原理，知 ab·＋ac·＋bc·≥ab· ＋ac· ＋bc· c b a b a c ＝a＋c＋b.
类型 2 [典例 2]
利用排序不等式求最值 x2 y2 设正数 x，y，z 满足 xyz＝1，求 ＋ y＋ z z＋ x
S ＝ a1c1 ＋ a2c2 ＋…＋ ancn 叫做数组 (a1 ， a2 ，…， an) 和(b1，b2，…，bn)的乱序和．
2．排序原理或排序不等式 设 a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn 为两组实数，c1， c2，…，cn 是 b1，b2，…，bn 的任一排列，那么，a1bn＋ anbn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋… ＋anbn，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 或 b1＝b2＝…＝bn 时， 反序和等于顺序和．
解析：由基本概念知(1)(2)正确，(3)不正确，因为乱 序和也可能是 35 或其他等．由排序不等式可知(4)正确． 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．有两组数 1，2，3 与 10，15，20，它们的顺序和、 反序和分别是( A．100，85 C．95，80 ) B．100，80 D．95，85
1 1 证明：(1)由题意设 a≥b＞0，则 a ≥b ，b≥a，
2 2
a2 b2 所以 ≥ ， b a 根据排序原理，知 a2 1 b2 1 a2 1 b2 1 · ＋ · ≥ · ＋ · ， b b a a b a a b
a2 b2 a b 即b ＋a ≥b＋a.
类型 1 [典例 1] b . a
利用排序不等式证明不等式(自主研析) (1)设 a， b
高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.2 排序不等式课件5高二选修45数学课件
12/8/2021
第十六页，共三十页。
小值．
利用(lìyòng)排序不等式求最值 设 a，b，c 为任意正数，求b＋a c＋c＋b a＋a＋c b的最
解：不妨设 a≥b≥c>0， 则 a＋b≥a＋c≥b＋c，b＋1 c≥c＋1 a≥a＋1 b.
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由排序不等式，得 b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥b＋b c＋c＋c a＋a＋a b， b＋a c＋c＋b a＋a＋c b≥b＋c c＋c＋a a＋a＋b b.
(逆序和)___a_1b_n_＋__a_2b_n_－_1_＋_…__＋_a_n_b_1 _______.
其中j1，j2，…，jn是1,2，…，n的任一排列方式．上式当且 仅当a1＝a2＝…＝an(或b1＝b2＝…＝bn)时取等号．
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已知两组数1,2,3和45,25,30，若c1，c2，c3是45,25,30的一个 (yī ɡè) 排 列 ， 则 c1 ＋ 2c2 ＋ 3c3 的 最 大 值 是 ________ ， 最 小 值 是 ________.
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第二十页，共三十页。
2．已知 x，y，z 是正数，且 x＋y＋z＝1，求 t＝xy2＋yz2＋zx2的 最小值．
解：不妨设 x≥y≥z>0， 则 x2≥y2≥z2，1z≥1y≥1x. 由乱序和≥逆序和，得 xy2＋yz2＋zx2≥x2·1x＋y2·1y＋z2·1z＝x＋y＋z.
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第十三页，共三十页。
【点评】 (1)利用排序不等式证明所证不等式中所给字母 的大小顺序(shùnxù)已确定的情况，关键是根据所给字母的大小顺 序(shùnxù)构造出不等式中所需要的带大小顺序(shùnxù)的两个数组．
人教版高中数学选修4-5课件：模块复习课 第三课 柯西不等式、排序不等式与数学归纳法 (共63张PPT)
3.排序不等式 设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数, c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则 a1bn+a2bn-1+…+anb1≤________________ ≤a1b1+a2b2+…+anbn. a1c1+a2c2+…+ancn
4.数学归纳法 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的 所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤: (1)证明当____时,命题成立. (2)假设当nn==kn(0 k∈N+,且k≥n0)时,命题成立.证明 ______时,命题也成立.
2 3 4 2n 1 2n 2
【证明】1- 1 1 1 ... 1 1 2 3 4 2n 1 2n
(1 1 1 1 1 1 ) 2(1 1 1 1 ) 2 3 4 2n 1 2n 2 4 6 2n
1 1 1 1 . 所n以1求n证式2 等价2于n 1<2n
<.
4
1 1 ... 1
n=k+1
【易错警示】 关注数学归纳法应用时常出现的三个错误 (1)对假设设而不用. (2)机械套用数学归纳法中的两个步骤致误. (3)没有搞清从k到k+1的跨度.
类型一 利用柯西不等式证明不等式 【典例1】若n是不小于2的正整数,求证:
4 ＜1- 1 1 1 ... 1 1 ＜ 2 .
7
【变式训练】1.用数学归纳法证明:
(1 1)(1 1)(1 1) (1 1 ) 2 (n∈N+).
【证3明】4(1)当5n=1时,左n边 2=1n- 2 ,右边=
aA bB cC . abc 3
方法二:不妨设A>B>C,则有a>b>c,
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一、二维形式的柯西不等式
定理 1(二维形式的柯) 西 若a,不 b,c,d等 都式 是
实数 ,则(a 2b 2)c (2d2)(a c b)2 d
当且仅 ad当 bc时,等号成 . 立
证 :(a 明 2b 2)c (2d2)a 2 c2b 2 d2a 2 d2b 2 c2 (a b c2 d (a ) d b)2 c(a c b)2 d
(4柯 ) 西不等式的向量 形 式.
当 且 仅当 是 零 向,或 量存 在 实 k, 数 使k时,等号成. 立
(5二 ) 维形式的三角不等式 x12y12 x22y22 (x1x2)2(y1y2)2
(6)(x1x3)2(y1y3)2(x2x3)2(y2y3)2 (1 xx2)2(y1y2)2
从平面向量的几何能背得景到 ，
a x
2
பைடு நூலகம்
b y
2
当且仅当 x b y a ,即 x a 时取等号 .
y
xy b
( x y )min ( a b )2
变式引申:
若 2x3y1,求 4x29y2的最,并 小求 值最 .
解 :由柯西不等式 (4 x 2 9 y 2 )(12 12 ) (2 x 3 y)2 1,
将平面向量的坐标，代化入简后得二维形式 的柯西不等 ( a :1 2 式 a 2 2 )( b 1 2 b 2 2 ) ( a 1 b 1 a 2 b 2 )
当且仅当 a1b2 a2b1时,等号成立 . 类 似 地 ,从 空 间 向 量 的 几 何 也背 能景 得 到
,将空间向量的坐标 ， 代入
一般形式的三角不等式 x12 x22 xn2 y12 y22 yn2
(x1y1)2 (x2 y2)2 (xnyn)2
补充例题:
例 1已x,知 y,a,bR ,且 a xb y1求 ,xy的最 .
解
:
x,
y,a,b
R ,
a x
b y
1,
x y ( x )2 ( y )2
( a b )2
例 2设 a ,b R ,a b 1求 , a 1 证 b 1 4
例 3求函 y5数 x11 02x的最大
复习:
(1)二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式 (a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR) 当 且 仅 ad当 bc时,等 号 成 . 立 (2) a2b2 c2d2a cbd (3) a2b2 c2d2a cbd
值_是 _ 11 ____
25
5.若 ab1,则 (a1)2(b1)2的最_小 2 __值 __是
a
b
小结:
(1)二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式 (a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR) 当 且 仅 ad当 bc时,等 号 成 . 立 (2) a2b2 c2d2a cbd (3) a2b2 c2d2a cbd
化简后得
( a 1 2 a 2 2 a 3 2 ) ( b 1 2 b 2 2 b 3 2 ) ( a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 )
当且仅 ,当 共线,即 时 0,或存在一 k, 个 使得 ai kbi(i1,2,3)时，等号成 . 立
猜想柯西不等式的一般形式
( a 1 2 a 2 2 a n 2 ) b 1 2 ( b 2 2 b n 2 ) ( a 1 b 1 a 2 b 2 a n b b ) 2
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2 x 1 3 y 1,即2 x 3 y时取等号 .
由 22
x x
3y 3y
得 1
x y
1 4 1 6
4 x 2 9 y 2的最小值为 1 , 最小值点为 ( 1 , 1 )
2
46
补充练习
1.若a,bR,且a2b210,则ab的取值范 (A )围是
A-.2 5,2 5
B.2 10,2 10
C. 10, 10 D. 5, 5
2.已知 xy1,那么 2x23y2的最小(B值 ) 是
A5. 6
B. 6 5
C.25 36
D.36 25
3.函y数 21x2x1的最大 _3 _值 __为 _
4.设 实 x,y满 数 3x 足 22y26,则 P2xy的 最 大
， 分析：设 A a1 2a2 2 an 2B a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n ， Cb1 2b2 2 bn 2 则不等式就 AC是 B2
构造二次函数
f(x)(a1 2a2 2 an 2)x22(a1b1a2b2 anbn)x (b1 2b2 2 bn 2)
二维形式的柯西不等式的变式:
(1) a2b2 c2d2a cbd
(2) a2b2 c2d2a cbd
定理2 (柯西不等式的向量形) 式
设, 是两个向量,则 .
当 且 仅 当是 零 向 量, 或 存 在 实 数k, 使 k时,等号成立.
例 1 已 a , b 为 知 , 证 ( 实 a 4 b 4 ) 明 a 2 ( 数 b 2 ) ( a 3 b 3 ) 2
x12 y12 2 x12 y12 x22 y22 x22 y22
x12 y12 2 x1x2 y1 y2 x22 y22
x12 y12 2( x1x2 y1 y2 ) x22 y22
x 12
2 x1x2
x22
y12
2 y1 y2
y
2 2
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
(4柯 ) 西不等式的向量 形 式.
当 且 仅当 是 零 向,或 量存 在 实 k, 数 使k时,等号成. 立
定3 理 (二 维 形 式 的)三 设 x1角 ,y1,x不 2,y2等 R式
那 么 x12y12 x2 2y2 2 (x1x2)2(y1y2)2
证明: ( x12 y12 x22 y22 )2
x 1 2 y 1 2 x 2 2 y 2 2 ( x 1 x 2 ) 2 ( y 1 y 2 ) 2
二维形式的三角不等式 x12y12 x22y22 (x1x2)2(y1y2)2
三维形式的三 x12角 y12不 z12等 x2 2 式 y2 2z2 2 (x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2
定理 1(二维形式的柯) 西 若a,不 b,c,d等 都式 是
实数 ,则(a 2b 2)c (2d2)(a c b)2 d
当且仅 ad当 bc时,等号成 . 立
证 :(a 明 2b 2)c (2d2)a 2 c2b 2 d2a 2 d2b 2 c2 (a b c2 d (a ) d b)2 c(a c b)2 d
(4柯 ) 西不等式的向量 形 式.
当 且 仅当 是 零 向,或 量存 在 实 k, 数 使k时,等号成. 立
(5二 ) 维形式的三角不等式 x12y12 x22y22 (x1x2)2(y1y2)2
(6)(x1x3)2(y1y3)2(x2x3)2(y2y3)2 (1 xx2)2(y1y2)2
从平面向量的几何能背得景到 ，
a x
2
பைடு நூலகம்
b y
2
当且仅当 x b y a ,即 x a 时取等号 .
y
xy b
( x y )min ( a b )2
变式引申:
若 2x3y1,求 4x29y2的最,并 小求 值最 .
解 :由柯西不等式 (4 x 2 9 y 2 )(12 12 ) (2 x 3 y)2 1,
将平面向量的坐标，代化入简后得二维形式 的柯西不等 ( a :1 2 式 a 2 2 )( b 1 2 b 2 2 ) ( a 1 b 1 a 2 b 2 )
当且仅当 a1b2 a2b1时,等号成立 . 类 似 地 ,从 空 间 向 量 的 几 何 也背 能景 得 到
,将空间向量的坐标 ， 代入
一般形式的三角不等式 x12 x22 xn2 y12 y22 yn2
(x1y1)2 (x2 y2)2 (xnyn)2
补充例题:
例 1已x,知 y,a,bR ,且 a xb y1求 ,xy的最 .
解
:
x,
y,a,b
R ,
a x
b y
1,
x y ( x )2 ( y )2
( a b )2
例 2设 a ,b R ,a b 1求 , a 1 证 b 1 4
例 3求函 y5数 x11 02x的最大
复习:
(1)二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式 (a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR) 当 且 仅 ad当 bc时,等 号 成 . 立 (2) a2b2 c2d2a cbd (3) a2b2 c2d2a cbd
值_是 _ 11 ____
25
5.若 ab1,则 (a1)2(b1)2的最_小 2 __值 __是
a
b
小结:
(1)二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式 (a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR) 当 且 仅 ad当 bc时,等 号 成 . 立 (2) a2b2 c2d2a cbd (3) a2b2 c2d2a cbd
化简后得
( a 1 2 a 2 2 a 3 2 ) ( b 1 2 b 2 2 b 3 2 ) ( a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 )
当且仅 ,当 共线,即 时 0,或存在一 k, 个 使得 ai kbi(i1,2,3)时，等号成 . 立
猜想柯西不等式的一般形式
( a 1 2 a 2 2 a n 2 ) b 1 2 ( b 2 2 b n 2 ) ( a 1 b 1 a 2 b 2 a n b b ) 2
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2 x 1 3 y 1,即2 x 3 y时取等号 .
由 22
x x
3y 3y
得 1
x y
1 4 1 6
4 x 2 9 y 2的最小值为 1 , 最小值点为 ( 1 , 1 )
2
46
补充练习
1.若a,bR,且a2b210,则ab的取值范 (A )围是
A-.2 5,2 5
B.2 10,2 10
C. 10, 10 D. 5, 5
2.已知 xy1,那么 2x23y2的最小(B值 ) 是
A5. 6
B. 6 5
C.25 36
D.36 25
3.函y数 21x2x1的最大 _3 _值 __为 _
4.设 实 x,y满 数 3x 足 22y26,则 P2xy的 最 大
， 分析：设 A a1 2a2 2 an 2B a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n ， Cb1 2b2 2 bn 2 则不等式就 AC是 B2
构造二次函数
f(x)(a1 2a2 2 an 2)x22(a1b1a2b2 anbn)x (b1 2b2 2 bn 2)
二维形式的柯西不等式的变式:
(1) a2b2 c2d2a cbd
(2) a2b2 c2d2a cbd
定理2 (柯西不等式的向量形) 式
设, 是两个向量,则 .
当 且 仅 当是 零 向 量, 或 存 在 实 数k, 使 k时,等号成立.
例 1 已 a , b 为 知 , 证 ( 实 a 4 b 4 ) 明 a 2 ( 数 b 2 ) ( a 3 b 3 ) 2
x12 y12 2 x12 y12 x22 y22 x22 y22
x12 y12 2 x1x2 y1 y2 x22 y22
x12 y12 2( x1x2 y1 y2 ) x22 y22
x 12
2 x1x2
x22
y12
2 y1 y2
y
2 2
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
(4柯 ) 西不等式的向量 形 式.
当 且 仅当 是 零 向,或 量存 在 实 k, 数 使k时,等号成. 立
定3 理 (二 维 形 式 的)三 设 x1角 ,y1,x不 2,y2等 R式
那 么 x12y12 x2 2y2 2 (x1x2)2(y1y2)2
证明: ( x12 y12 x22 y22 )2
x 1 2 y 1 2 x 2 2 y 2 2 ( x 1 x 2 ) 2 ( y 1 y 2 ) 2
二维形式的三角不等式 x12y12 x22y22 (x1x2)2(y1y2)2
三维形式的三 x12角 y12不 z12等 x2 2 式 y2 2z2 2 (x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2