新二平面向量数量积的物理背景及其含义用1

平面向量数量积的重要性质:
设 a、b是非零向量，e是与b方向相同的 单位向量，是a与e 的夹角，则:
1a • e e • a a cos
2a b a •b 0 判断两个向量垂直的依据

3a
//
b
a
•
b


| a || b |,当a与b同向时
| a || b |,当a与b反向时
平面向量数量积的重要性质:
4a• a a2 a2
或
a

a•
a

a2
求向量模的依据
5cos a • b 00,180 0 a b 求向量夹角的依据
6a • b a b
平面向量数量积的运算率:
(1)交换律：a • b b • a
(2)数乘结合律：(a) •b (a •b) a •(b) (3)分配律：(a b) •c a •c b•c
2.4.1平面向量的数量积的物理 背景
及其含义
复习：平面向量数量积的定义:
已知两个非零向量
r a
和
r b
，它们的夹角为
rr
,
我们把数量 a b cos 叫做 a 与 b 的数量积
(或内积),记作 a • b .
a • b a b cos
规定：零向量与任意向量的数量积为0．
即 a•00
说明：a • b中间的“• ”在向量的运算中不能省略，也不
a b a b a 2a • b b 5
二、利用向量的垂直解题:
r r rr
例例31、:已知 a 5，b 4，a与b的夹角为60o，问当k为何值时，
rrr r 向量ka b与a 2b垂直？
解：（k a b）（a 2b）（k a b）•（a 2b） 0

r b
r ，a
r b
？
解：因为
uur 2 a

r a
2

r2 25, b

r2 b

25
rr a•b
r a
•
r b
cos
55 cos

25
32
r r
r r 2 r2 r r r2
a b a b a 2a • b b 5 3
r r
r r 2 r2 r r r2
数量积不满足结合律和消去率
(a •b) •c a •(b•c)
a•c b•ca b
r r r2 r 2 1.a • a a a
r r r r r 2 r 2
2. a b • a b a b
r r r ur r r r ur r r r ur
新疆 王新敞
奎屯
2
ka
（2k
1）a
•
b

2
2b

0
2
2
k a （2k 1）a b cos60o 2b 0
25k （2k 1）5 4 1 2 42 0 k 14
2
15
当k 14时，向量ka b与a 2b垂直。 15
三、利用 a • b a b cos 求夹角:
rr 例例33、: 设m和n是两个单位向量，其夹角为

3
，
r r uur r r r
求a=2m+n， b=2n-3m的夹角？
解：ar
•
r b

ur r 2m n
•
r ur 2n 3m
ur r r 2 ur 2 ur r
4m • n 2n 6m 3m • n
2
2
能写成a b , a b 表示向量的另一种运算（外积）．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ar
r b
|
ar
||
r b
|
cos

两向量的数量积是一个实数，是一个数量
这个数值的大小不仅和向量的模有关，还和它们的夹角有关
夹a角b的 的范正围负0

正

90
90
0
90 180 负
数量积符号由cos的符号所决定
m• n 2n 6m

2
27
m • n cos 2 n 6 m
3
2
练习:已知 a 2，b 3，a与b的夹角为120 o，求
1a •b2a2

2
b
3
2a

b
•
a 3b
4a b 5a b
解：1a • b a b cos120o 23 ( 1) 3
2a2
2
b

a
2

b
2

49

2
5
3 2a b
•
a 3b
2
2a
2
5a •b 3b
2
2
2 a 5 a b cos120o 3b 8 15 27 34
4a b
(a b)2
2
2
a 2a • b b
469
3. a b • c d a • c a • d b • c b • d
r r 2 r 2 r r r 2
4. a b a 2a • b b
一、利用 a
2
a
a • a 求模:
例例2、2:已知
r a

r b

5，向量ar与br的夹角为3
，求
r a
7
5a b
(a b)2
2
2
a 2a • b b
469
19
练习:
uuur 1、已知ABC中，AB

av,
uuur AC

bv,当av

v b

0
或av
v b

0时，试判断ABC的形状。
uuur r uuur r r r 变式：已知ABC中，AB a, BC b,当a b 0时， 试判断ABC的形状。
公特
式 变
殊
形化
重要性质
B
b

O | b | cos
a • b a b cos
a
A
rr r
r rr
数量积a b等于a的长度 a 与b在a的
r
方向上的投影数量 b cos的乘积.
【总一总★成竹在胸】
对功W=|F||s|cos结构分析
抽 象
数形
几何
意义 结合
向量数量积的定义 a→·→b=| a | | b | cos
三、投影:
B b
O
a B1 A
OB1 b cos
b cos 叫做向量 b 在 a 方向上得投影
三、投影:
A1 B b

O
a
A
AA1 a cos
a cos 叫做向量 a 在 b 方向上得投影
练一练：
若 | a | 4 ,| b | 8 , a与b夹角为 （1）当 300时a在b上的投影为2 3 （2）当 900时a在b上的投影为 0 （3）当 1200时a在b上的投影为 2 （4）当 1200时b在a上的投影为 4
说明：
（1）
B
B
b
b

O
a B1 A
θ为锐角时，
| b | cosθ＞0

B1 O
aA
θ为钝角时，
| b | cosθ＜0
当 = 0时投影为|b| 当 = 180时投影为-|b|.
B b

O(B1 ) a
A
θ为直角时，
| b | cosθ=0
（2）投影也是一个数量，不是向量。
四、平面向量数量积的几何意义: