【书城】2017年高考通关讲练高考数学(理科)课标通用第6辑：六、解三角形.doc

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2017高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习讲义：透视全国高考揭秘命题规律(二)含答案

透视全国高考揭秘命题规律（二)—-平面几何与解三角形（方程思想的应用)(2015·高考全国卷Ⅱ）△ABC 中,D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 的面积是△ADC 面积的2倍．(1）求错误!；(2)若AD ＝1，DC ＝错误!，求BD 和AC 的长．【解】（1）S △ABD ＝错误!AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD . 因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC 。

由正弦定理可得错误!＝错误!＝错误!.(2）因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝错误!。

在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ,AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC 。

故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6。

由(1)知AB ＝2AC ,所以AC ＝1.第一步：作出示意图、并适当标注已知元素．第二步:将条件和结论相结合进行对照，视其关系选择相关定理列式．(要特别关注两三角形公共边（角）或邻角（邻补角)的关系，列方程（组）求解)第三步：求解过程中应注意三角形所固有的性质（例如:内角和定理，边角大小对应关系,两边之和(差）与第三边的关系等）．附:三角形中四个可引用定理公式1．射影定理：a cos B＋b cos A＝c,a cos C＋c cos A＝b，b cos C＋c cos B＝a.2．内角平分线定理:△ABC内角A的平分线交BC于D,则错误!＝BDDC。

3．中线长公式：△ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b,c,则BC边上的中线长M a＝错误!错误!.4．海伦面积公式：△ABC三内角A、B、C的对边分别为a,b,c，则S△＝错误!错误!。

【满足】专题11解三角形三年高考2017数学理真题分项版解析解析版

【关键字】满足1.【2017山东，理9】在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】试题分析：所以，选A.【考点】1.三角函数的和差角公式2.正弦定理.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的正弦公式转化为含有，，的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.2.【2016高考新课标3理数】在中，，边上的高等于,则（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】试题分析：设边上的高线为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C．考点：余弦定理．3.【2016高考天津理数】在△ABC中，若,BC=3，,则AC= （）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】A【解析】试题分析：由余弦定理得,选A.考点：余弦定理【名师点睛】1.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．4.【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos△BDC=_______．【答案】【解析】试题分析：取BC中点E，DC中点F，由题意：，△ABE中，，，．又，，综上可得，△BCD面积为，．【考点】解三角形5.【2015高考北京，理12】在中，，，，则．【答案】1【解析】考点定位：本题考点为正弦定理、余弦定理的应用及二倍角公式，灵活使用正弦定理、余弦定理进行边化角、角化边.【名师点睛】本题考查二倍角公式及正弦定理和余弦定理，本题属于根底题，题目所求分式的分子为二倍角正弦，应用二倍角的正弦公式进行恒等变形，变形后为角的正弦、余弦式，灵活运用正弦定理和余弦定理进行角化边，再把边长代入求值.6.【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是.【答案】8.【解析】，因此，即最小值为8.考点：三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形中恒有，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识7.【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD中，△A=△B=△C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是.【答案】（，）【解析】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，△B=△C=75°，△E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，△B=△BFC=75°，△FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）.【考点定位】正余弦定理；数形结合思想8.【2016高考新课标2理数】的内角的对边分别为，若，，，则．【答案】【解析】试题分析：因为，且为三角形内角，所以，，又因为，所以.考点：三角函数和差公式，正弦定理. 能用到。

2017版新步步高高考数学大一轮复习讲义课件：第3章三角函数、解三角形 3.3

(k∈Z) 上递增；
(k∈Z)
＋2kπ，
3π
2
在 [2kπ，π＋2kπ]
(k∈Z)
上递减
＋2kπ]
π
2
x＝＋2kπ(k∈Z)
ymax＝1;
x＝－
π
2
＋2kπ(k∈Z)
ymin＝－1
上递增；
在(－
π
2
π
＋kπ，
2
(k∈Z)
＋kπ)
上递增
(k∈Z) 上递减
时,
时；
当x＝ 2kπ(k∈Z) 时，
ymax＝1；
2
π
5π
所以 2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ (k∈Z).故选 B.
6
6
第十七页，编辑于星期六：三点十三分。
解析答案
(2)函数

π
π

f(x)＝3sin2x－在区间[0， ]上的值域为(
6
2

3 3

A.－，
2 2

3

B.－，3
2

3
3
3
3

C.－
＋
≥
，
2
4 2
所以
π 3π

ωπ＋4≤ 2 ，
1
5
解得2≤ω≤4.
第二十四页，编辑于星期六：三点十三分。
思维升华
解析答案

π

(1)函数 f(x)＝sin－2x＋的单调减区间为
3

π
5

，kπ＋12π，k∈Z
kπ－
12

《新步步高》2017版高考数学(理)人教A版(全国)一轮复习第4章三角函数、解三角形4.2文档

1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sinαcosα＝tanα.2．下列各角的终边与角α的终边的关系【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(×)(2)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立．(×)(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．(×)(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．(√)1．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于( )A ．－513B ．－1213C.513D.1213答案 B解析 ∵sin α＝513，α是第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1213.2．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2 答案 A解析由于1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1，故cos x sin x －1＝12.3．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为( )A ．－255B.255 C ．±255D.52答案 B解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈(－π2，0)，得cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. 答案－23解析 ∵⎝⎛⎭⎫π6－α＋⎝⎛⎭⎫α－2π3＝－π2，∴α－2π3＝－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，x ≤2000，x －16，x >2000，则f [f (2 016)]＝________.答案－1解析 ∵f [f (2 016)]＝f (2016－16)＝f (2000)， ∴f (2000)＝2cos 2000π3＝2cos 23π＝－1.题型一同角三角函数关系式的应用例1 (1)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A ．－43B.54 C ．－34D.45(2)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32B.32C ．－34D.34答案 (1)D (2)B解析 (1)由于tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θcos 2θ－2sin 2θcos 2θ＋1＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45.(2)∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1答案 A解析由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，消去sin α得：2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0， ∴cos α＝－22. 又α∈(0，π)， ∴α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.题型二诱导公式的应用例2 (1)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值为________． (2)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}答案 (1)－13(2)C解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. (2)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.∴A 的值构成的集合是{2，－2}．思维升华 (1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角．②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．(1)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12，则cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________.(2)sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)sin(－1050°)＝________. 答案 (1)12(2)1解析 (1)∵⎝⎛⎭⎫π3－α＋⎝⎛⎭⎫π6＋α＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝12.(2)原式＝－sin1200°cos1290°－cos1020°sin1050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°) ＝－sin120°cos210°－cos300°sin330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin60°cos30°＋cos60°sin30° ＝32×32＋12×12＝1. 题型三同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例3 (1)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ) A.355B.377C.31010D.13(2)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝________________________________________________________________________. 答案 (1)C (2)－916解析 (1)2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0化简为－2tan α＋3sin β＋5＝0，①tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化简为 tan α－6sin β－1＝0.②由①②消去sin β，解得tan α＝3. 又α为锐角，根据sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝31010.(2)∵方程5x 2－7x －6＝0的根为－35或2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝－35－45＝34，∴原式＝cos α(－sin α)sin α·cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－916.思维升华利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．(1)已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin(π＋α)等于( )A.35 B ．－35C.45D ．－45(2)已知sin(π－α)－cos(π＋a )＝23⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π，则sin α－cos α等于( )A ．0 B.12 C.32D.43答案 (1)D (2)D解析 (1)由已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，得cos α＝35，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝45，∴sin(π＋α)＝－sin α＝－45.(2)由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sin α＋cos α＝23①，将①两边平方得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169. 又π2＜α＜π，所以sin α＞0，cos α＜0，sin α－cos α>0，则sin α－cos α＝43.7．分类讨论思想在三角函数中的应用典例 (1)已知sin α＝255，则tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝________.(2)在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，则C ＝________. 思维点拨利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论．解析 (1)∵sin α＝255＞0，∴α为第一或第二象限角． tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ①当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55，原式＝1sin αcos α＝52.②当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55，原式＝1sin αcos α＝－52.综上①②，原式＝52或－52.(2)由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ， ①3cos A ＝2cos B ，②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22，当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝712π.当cos A ＝－22时，cos B ＝－32. 又A 、B 是三角形的内角， ∴A ＝34π，B ＝56π，不合题意．综上，C ＝712π.答案 (1)52或－52 (2)712π温馨提醒 (1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘及三角形内角和定理的应用．[方法与技巧]同角三角函数基本关系是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角函数求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝…；(4)运用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤．[失误与防范]1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．A 组专项基础训练 (时间：30分钟)1．若cos α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan α等于( ) A ．－24B.24C ．－2 2D ．2 2答案 C解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0 ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－(13)2＝－232，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.2．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin α·cos α等于( )A.25 B ．－25C.25或－25 D ．－15答案 B解析由sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)得sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2， ∴sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25，故选B. 3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1答案 B解析由角α的终边落在第三象限得sin α＜0，cos α＜0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.4．已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则sin α等于( )A.32B ．－32C.12 D ．－12答案 B解析由2tan α·sin α＝3得，2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，又－π2<α<0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－32.5．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2017)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．－3答案 D解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2017)＝a sin(2017π＋α)＋b cos(2017π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－3.6．已知α为钝角，sin(π4＋α)＝34，则sin(π4－α)＝_________________________________________. 答案－74解析因为α为钝角，所以cos(π4＋α)＝－74，所以sin(π4－α)＝cos[π2－(π4－α)]＝cos(π4＋α)＝－74. 7．化简：sin 2(α＋π)·cos (π＋α)·cos (－α－2π)tan (π＋α)·sin 3(π2＋α)·sin (－α－2π)＝_________________________________________.答案 1解析原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1. 8．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________．答案 0解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 9．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝________. 答案 0解析原式＝cos α1＋sin 2αcos 2α＋sin α1＋cos 2αsin 2α＝cos α1cos 2α＋sin α1sin 2α＝cos α1－cos α＋sin α1sin α＝0.10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin2α.解由已知得sin α＝2cos α.(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.B 组专项能力提升(时间：15分钟)11．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3答案 D解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.12．若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵△ABC 是锐角三角形，则A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ＞0，B ＞π2－A ＞0，∴sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ， sin B ＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝cos A ， ∴cos B －sin A ＜0，sin B －cos A ＞0，∴点P 在第二象限，选B.13．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6等于( ) A.12B.32 C ．0D ．－12答案 A解析由已知，得f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫176π＋sin 176π ＝f ⎝⎛⎭⎫116π＋sin 116π＋sin 176π ＝f ⎝⎛⎭⎫56π＋sin 56π＋sin 116π＋sin 176π ＝0＋12＋⎝⎛⎭⎫－12＋12＝12. 14．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin (3π2＋θ)＋cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)＝________. 答案 2解析由题意可得tan θ＝2，原式＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2. 15．若tan α＝1m，α∈(π，2π)，则cos α＝________. 答案－m 1＋m 21＋m 2解析由tan α＝sin αcos α＝1m和sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝m 21＋m 2，当m ＞0时，α为第三象限角，cos α＜0，所以cos α＝－m 21＋m 2＝－m 1＋m 21＋m 2；当m ＜0时，α为第四象限角，cos α＞0，所以cos α＝m 21＋m 2＝－m 1＋m 21＋m 2. 故cos α＝－m 1＋m 21＋m 2.。

2017-2019年高考真题数学(理)分项汇编_专题10 解三角形

专题10 解三角形1．【2018年高考全国Ⅱ理数】在ABC △中，cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ． BCD ．【答案】A【解析】因为223cos 2cos 121,25C C =-=⨯-=-⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则，故选A.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.2．【2018年高考全国Ⅲ理数】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2B ．π3 C ．π4D ．π6【答案】C【解析】由题可知2221sin 24ABCa b c S ab C +-==△，所以2222sinC a b c ab +-=，由余弦定理2222cos a b c ab C +-=，得sin cos C C =，因为()0,πC ∈，所以π4C =，故选C. 【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.3．【2017年高考山东卷理数】在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B =D ．2B A =【答案】A【解析】由题意知sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+，所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，故选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得c c ==-，所以2a c ==，11sin 22ABC S ac B ==⨯=△ 【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．5．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【答案】5，10【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以5BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.6．【2018年高考浙江卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．【答案】7，3【解析】由正弦定理得sinsin a A b B =，所以πsin sin 3B == 由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.解答本题时，根据正弦定理得sin B ，根据余弦定理解出c .7．【2017年高考浙江卷】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2．点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【答案】,24【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==，∴1sin 2BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=△． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos 4BDC ∠=或cos 4BDC ∠=-（舍去）．综上可得，△BCD 面积为2，cos 4BDC ∠=．【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．8．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）60A ︒=；（2）sin C =【解析】（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-，()sin 1202sin A C C ︒+-=，即1cos sin 2sin 222C C C ++=，可得()cos 602C ︒+=-．由于0120C ︒︒<<，所以()sin 602C ︒+=，故()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+=．【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.9．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）()82. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=．由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=．因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°．（2）由题设及（1）知△ABC的面积4ABC S a =△．由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△．因此，△ABC 面积的取值范围是82⎛ ⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 10．【2019年高考北京卷理数】在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-．（1）求b ，c 的值；（2）求sin （B –C ）的值．【答案】（1）7b =，5c =；（2. 【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.因为2b c =+，所以2221(2)3232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭. 解得5c =. 所以7b =.（2）由1cos 2B =-得sin B =.由正弦定理得sin sin 14c C B b ==. 在ABC △中，∠B 是钝角，所以∠C 为锐角.所以11cos 14C ==.所以sin()sin cos cos sin 7B C B C B C -=-=. 【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．【2019年高考天津卷理数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（1）求cos B 的值；（2）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．【答案】（1）14-；（2）716+-. 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =．由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅．（2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos 8B B B ==-，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭．【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．12．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）3c =；（2）5.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得23=，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.13．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+.【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，1CQ=此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为3 4 .因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为43 -，直线PB的方程为42533 y x=--.所以P（−13，9），15PB==.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），所以线段AD：36(44)4y x x=-+-剟.在线段AD上取点M（3，154），因为5OM=<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.14．【2018年高考全国Ⅰ理数】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =BC .【答案】（1（2）5. 【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin 45sin ADB =︒∠，所以sin ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠==（2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=. 在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯ 25=.所以5BC =.【名师点睛】求解此类问题的突破口：一是观察所给的四边形的特征，正确分析已知图形中的边角关系，判断是用正弦定理，还是用余弦定理，求边角；二是注意大边对大角，在解三角形中的应用.15．【2017年高考全国Ⅰ理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A. （1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长.【答案】（1）23；（2）3+. 【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =. 由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-. 所以2π3B C +=，故π3A =. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得b c +=.故△ABC 的周长为3【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.16．【2018年高考天津卷理数】在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-. （1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值.【答案】（1）π3；（2）b sin(2)A B -. 【解析】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．（1）在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =．又因为(0π)B ∈，，可得B =π3．（2）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b ．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a <c ，故cosA =因此sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin A B A B A B -=-=1127-=【名师点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．17．【2017年高考全国Ⅱ理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin2BA C +=．（1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．【答案】（1）15cos 17B =；（2）2b =．【解析】（1）由题设及A B C ++=π，可得2sin 8sin 2BB =，故()sin 41cos B B =-．上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=，解得cos 1B =(舍去)，15cos 17B =．（2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故14=sin 217△ABC S ac B ac =．又=2ABC S △，则172ac =．由余弦定理及6a c +=得：()()222217152cos 21cos 362(1)4,217b ac ac B a c ac B =+-=+-+=-⨯⨯+= 所以2b =．【名师点睛】解三角形问题是高考的高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理，三角形的面积公式等知识进行求解．解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者之间的关系，这样的题目小而活，备受命题者的青睐．18．【2018年高考北京卷理数】在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（1）求∠A ；（2）求AC 边上的高．【答案】（1）π3；（2 【解析】（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B 7=．由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A∴sin A ． ∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2）， ∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A 11()72-+．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7=，∴AC 边上的高为2．【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，基本步聚是：第一步，定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步，定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边、角之间的互化；第三步，求结果.19．【2017年高考天津卷理数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =．（1）求b 和sin A 的值；（2）求πsin(2)4A +的值．【答案】（1）b sin A 的值为13（2）26. 【解析】（1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =．由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =．由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin a B A b ==．所以，b sin A（2）由（1）及a c <，得cos 13A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-．故πππsin(2)sin 2cos cos 2sin 44426A A A +=+=．【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值．（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．20．【2017年高考全国Ⅲ理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin 0A A =，a ，b =2. （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积.【答案】（1）4c =；（2【解析】（1）由已知可得tan A =2π3A =. 在ABC △中，由余弦定理得22π2844cos 3c c =+-，即22240c c +-=.解得6c =- (舍去)，4c =.（2）由题设可得π2CAD ∠=，所以π6BAD BAC CAD ∠=∠-∠=. 故ABD △面积与ACD △面积的比值为1πsin 26112AB AD AC AD ⋅⋅=⋅.又ABC △的面积为142sin 2BAC ⨯⨯∠=所以ABD △【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. （1）由题意首先求得2π3A =，然后利用余弦定理列方程，边长取方程的正实数根可得4c =；（2）利用题意首先求得ABD △的面积与ACD △的面积的比值，然后结合ABC △的面积可求得ABD △.21．【2017年高考江苏卷】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【答案】（1）16cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)；（2）20cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处．因为40AC AM ==，所以30MC ==，从而3sin 4MAC =∠，记AM 与水面的交点为1P ，过1P 作P 1Q 1⊥AC ，Q 1为垂足，则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1=12，从而AP 1=1116sin P MACQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ．同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1．记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处．过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32．因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而140GG ===．设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-．在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=．因为02βπ<<，所以24cos 25β=．于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠．记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ，故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)【名师点睛】解答本题时，（1）转化为直角三角形ACM 中，利用相似性质求解AP 1；（2）转化到三角形EGN 中，先利用直角梯形性质求角1EGG ∠，再利用正弦定理求角ENG ∠，最后根据直角三角形求高，即为l 没入水中部分的长度．解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果．22．【2017年高考北京卷理数】在△ABC 中，A ∠=60°，c =37a . （1）求sin C 的值；（2）若a =7，求△ABC 的面积.【答案】（1）14；（2）【解析】（1）在△ABC 中，因为60A ∠=︒，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7214c A C a ==⨯=. （2）因为7a =，所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）.所以△ABC 的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理实现边角互化；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. （1）根据正弦定理sin sin a cA C=求sin C 的值；（2）根据条件可知7,3,a c ==根据余弦定理求出b 的值，最后利用三角形的面积公式1sin 2S bc A =进行求解即可.。

非常考案通用版2017版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第6节正弦定理余弦定理课件

法二 (化角为边) 同法一可得 2a2cos A sin B＝2b2cos B sin A，
2 2 2 2 2 2 b ＋ c － a a ＋ c － b 由正、余弦定理得 a2b· ＝b2a· ， 2bc 2ac
∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0. ∴a＝b 或 c2＝a2＋b2， ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
[变式训练] 在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C. (1)求角 A 的大小； (2)若 sin B＋sin C＝ 3，试判断△ABC 的形状．
【解】 (1)由 2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C，得 2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即 bc＝b2＋c2－a2， b2＋c2－a2 1 ∴cos A＝＝2， 2bc ∴A＝60° .
[规律总结] 正、余弦定理的应用原则 (1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用． (2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．
考向 2 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状题型：解答题难度：中
能力考点
命题指数：★★☆
bsin A＜a＜b 两解
a≥b 一解
a＞b 一解
二、三角形常用面积公式 1 1．S＝ a· h (h 表示边 a 上的高)． 2 a a 1 1 1 ac sin B bc sin A 2 2 2．S＝2absin C＝_________ ＝_________ . 1 3．S＝2r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．

2017年高考通关讲练高考数学(理科)-课标通用-第3辑：六、2016年高考题《导数》专练含解析

六、2016年高考题《导数》专练1．(2016▪高考山东卷理）若函数y =f (x ）的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y =f （x ）具有T 性质。

下列函数中具有T 性质的是A ．y =sin xB ．y =ln xC ．y =e xD ．y =x 32．(2016▪高考四川卷理）设直线l 1,l 2分别是函数f （x )=ln ,01,ln ,1x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是A ．(0，1）B ．(0，2)C ．(0，+∞)D ．（1,+∞)3．(2016▪高考全国Ⅱ卷理）若直线y=kx +b 是曲线y =ln x +2的切线，也是曲线y =ln(x +1)的切线，则b = 。

4．（2016▪高考全国Ⅲ卷理）已知f （x ）为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+,则曲线y =f （x ）在点(1,−3)处的切线方程是_______________.5．(2016▪高考全国Ⅰ卷理）已知函数2()(2)e(1)xf x x a x =-+-有两个零点.（I)求a 的取值范围；（II ）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x+<.6．（2016▪高考北京卷理）设函数()ea xf x x bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+。

(I ）求a ，b 的值；（II ）求()f x 的单调区间。

7．(2016▪高考山东卷理）已知()221()ln ,x f x a x x a x -=-+∈R 。

（I ）讨论()f x 的单调性;（II)当1a =时，证明()3()2f x f 'x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立。

大高考2017版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第二节三角函数的图象与性质课件理

(5)函数 y＝sin4x－π7 的周期为________. 解析 T＝2π 4 ＝π2 .
答案
π 2
高考AB卷
学法大视野
(6)函数y＝|sin x＋2|的周期是________. 解析 y＝sin x＋2的图象在x轴上方，与y＝|sin x＋2|的图象相同，故y＝|sin x＋2|与y＝sin x＋2周期相同为2π. 答案 2π

kπ+
π 2
,
0

,
k Ζ
kπ 2
，0，
k∈Z
对称轴
x＝kπ ＋π2 ，k∈Z
x kπ,
k Z
无
周期
2π
2π
π
高考AB卷
学法大视野
2.周期性 (1)一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x
取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)
(0，1)，π2 ，0， (π，－1) ，3π2 ，0，(2π ，1).
高考AB卷
学法大视野
2.y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义
y＝Asin(ωx ＋φ)(A＞0，
ω ＞0)， x∈[0，＋∞)
振幅周期
2π
A T＝
频率
相位初相

f＝T1＝ 2π ω x＋φ φ
2π
0
－A
0
高考AB卷
学法大视野
4.函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤
就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 .

2017年高考全国卷Ⅰ理科数学试题及详细解析(最新整理)

D． A B
【答案】A
【详解】 A x x 1 ， B x 3x 1 x x 0
∴ A B x x 0 ， A B x x 1 ，
∴选 A
2. 如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）
B． 5z 2x 3y
C． 3y 5z 2x
D．
3y 2x 5z
【答案】D 【详解】取对数： x ln 2 y ln 3 ln 5 .
x ln 3 3 y ln 2 2
∴ 2x 3y x ln 2 z ln 5 则 x ln 5 5
z ln 2 2 ∴ 2x 5z ∴ 3y 2x 5z ，故选 D
13答案wwwaidyclubwwwaidyclub2wwwaidyclubwwwaidyclub的系数为151535答案项系数为c615某多面体的三视图如图所示其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成正方形的边长为俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干是梯形这些梯形的面积之和为16答案详解由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面123wwwaidyclubwwwaidyclub1000的最小偶数两个空白框中可以分别填入大于1000时输出且框图中在否时输出1000排除已知曲线c1sin2x上各点的横坐标伸长到原来的个单位长度得到曲线c2c1上各点的横坐标伸长到原来的个单位长度得到曲线倍纵坐标不变再把得到的曲线向左平移上各点的横坐标缩短到原来的个单位长度得到曲线c2纵坐标不变再把得到的曲线向右平移c1上各点的横坐标缩短到原来的个单位长度得到曲线倍纵坐标不变再把得到的曲线向左平移12详解首先曲线c1c2统一为一三角函数名可将c1用诱导公式处理

专题06 解三角形-五年(2017-2021)高考数学真题分项详解(新高考地区专用)(解析版)

专题06 解三角形【2021年】一、【2021·浙江高考】我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为1S ，小正方形的面积为2S ，则12S S =___________.【答案】25 【解析】【分析】分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可.【详解】由题意可得，大正方形的边长为：5a =，则其面积为：21525S ==，小正方形的面积：212543412S ⎛⎫=-⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，从而1225251S S ==. 故答案为：25.【2021·浙江高考】在ABC 中，60,2B AB ∠=︒=，M 是BC的中点，AM =则AC =___________，cos MAC ∠=___________.【答案】(1).(2).【分析】由题意结合余弦定理可得=8BC ，进而可得AC ，再由余弦定理可得cos MAC ∠. 【详解】由题意作出图形，如图，在ABM 中，由余弦定理得2222cos AM AB BM BM BA B =+-⋅⋅，即21124222BM BM =+-⨯⨯，解得=4BM （负值舍去），所以=2=2=8BC BM CM ，在ABC 中，由余弦定理得22212cos 464228522AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以AC =在AMC 中，由余弦定理得222cos2AC AM MC MAC AM AC +-∠===⋅.故答案为：13.二、【2021·江苏高考】记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知b 2=ac ，点D 在边AC 上，BDsin∠ABC =asinC ． (1)证明：BD =b ；(2)若AD =2DC ，求cos∠ABC ．【答案】解：(1)证明：由正弦定理知，bsin∠ABC =csin∠ACB =2R ， ∴b =2Rsin∠ABC ，c =2Rsin∠ACB ， ∵b 2=ac ，∴b ⋅2Rsin∠ABC =a ⋅2Rsin∠ACB ，即bsin∠ABC =asinC ， ∵BDsin∠ABC =asinC ．(2)由(1)知BD=b，∵AD=2DC，∴AD=23b，DC=13b，在△ABD中，由余弦定理知，cos∠BDA=BD 2+AD2−AB22BD⋅AD=b2+(23b)2−c22b⋅23b=13b2−9c212b2，在△CBD中，由余弦定理知，cos∠BDC=BD 2+CD2−BC22BD⋅CD=b2+(13b)2−a22b⋅13b=10b2−9a26b2，∵∠BDA+∠BDC=π，∴cos∠BDA+cos∠BDC=0，即13b2−9c212b2+10b2−9a26b2=0，得11b2=3c2+6a2，∵b2=ac，∴3c2−11ac+6a2=0，∴c=3a或c=23a，在△ABC中，由余弦定理知，cos∠ABC=a2+c2−b22ac =a2+c2−ac2ac，当c=3a时，cos∠ABC=76>1(舍)；当c=23a时，cos∠ABC=712；综上所述，cos∠ABC=712．【知识点】余弦定理、正弦定理【解析】(1)利用正弦定理求解；(2)要能找到隐含条件：∠BDA和∠BDC互补，从而列出等式关系求解．本题考查正弦定理及余弦定理的内容，是一道好题．【2020年】一、【2020·北京高考】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πDay).历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔⋅卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔⋅卡西的方法，π的近似值的表达式是()A. 3n(sin30°n +tan30°n) B. 6n(sin30°n+tan30°n)C. 3n(sin60°n +tan60°n) D. 6n(sin60°n+tan60°n)【答案】A【知识点】解三角形的实际应用、合情推理（归纳、类比推理）【解析】【分析】本题考查数学中的文化，考查圆的内接和外切多边形的边长的求法，考查运算能力，属于基础题．设内接正6n边形的边长为a，外切正6n边形的边长为b，运用圆的性质，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求值．【解答】解：如图，设内接正6n边形的边长为a，外切正6n边形的边长为b，可得a=2sin360°12n =2sin30°n，b=2tan360°12n =2tan30°n，则2π≈6na+6nb2=6n(sin30°n+tan30°n)，即π≈3n(sin30°n +tan30°n)，故选：A．【2020·北京高考（理）】在△ABC中，a+b=11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(Ⅰ)a的值；(Ⅱ)sinC和△ABC的面积．条件①：c=7，cosA=−17；条件②：cosA=18，cosB=916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】解：选择条件①，(Ⅰ)由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA ，即a 2−b 2=49−14b ×(−17)=49+2b ， ∴(a +b)(a −b)=49+2b ， ∵a +b =11，∴11a −11b =49+2b ，即11a −13b =49，联立{a +b =1111a −13b =49，解得a =8，b =3，故a =8．(Ⅱ)在△ABC 中，sinA >0， ∴sinA =√1−cos 2A =4√37，由正弦定理可得 asinA =csinC ， ∴sinC =csinA a =7×4√378=√32， ∴S △ABC =12absinC =12×8×3×√32=6√3．选择条件②，(Ⅰ)在△ABC 中，sinA >0，sinB >0，C =π−(A +B)， ∵cosA =18，cosB =916， ∴sinA =√1−cos 2A =3√78，sinB =2B =5√716，由正弦定理可得asinA =bsinB ， ∴a b=sinA sinB =65， ∵a +b =11， ∴a =6，b =5，故a =6；(Ⅱ)在△ABC 中，C =π−(A +B)，∴sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =3√78×916+5√716×18=√74， ∴S △ABC =12absinC =12×6×5×√74=15√74．【知识点】三角形面积公式、两角和与差的三角函数公式、余弦定理、正弦定理【解析】本题考查了同角的三角函数的关系，两角和的正弦公式，正余弦定理，三角形的面积公式等知识，考查了运算能力求解能力，转化与化归能力，属于中档题．选择条件①(Ⅰ)由余弦定理求出(a+b)(a−b)=49+2b，再结合a+b=11，即可求出a的值，(Ⅱ)由正弦定理可得sin C，再根据三角形的面积公式即可求出，选择条件②(Ⅰ)根据同角的三角函数的关系和正弦定理可得ab =sinAsinB=65，再结合a+b=11，即可求出a的值，(Ⅱ)由两角和的正弦公式求出sin C，再根据三角形的面积公式即可求出．二、【2020·浙江高考】在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2bsinA−√3a=0．(1)求角B；(2)求cosA+cosB+cosC的取值范围．【答案】解：(1)∵2bsinA=√3a，∴2sinBsinA=√3sinA，∵sinA≠0，∴sinB=√32，，∴B=π3，(2)∵△ABC为锐角三角形，B=π3，∴C=2π3−A，，△ABC为锐角三角形，，，解得，，，，∴cosA+cosB+cosC的取值范围为(√3+12,32 ]．【知识点】求正弦型函数的值域或最值、辅助角公式(三角函数的叠加及应用（北师）)、利用正弦定理解三角形、两角和与差的余弦公式【解析】本题考查了正弦定理，三角函数的化简，三角函数的性质，属于较难题．(1)根据正弦定理可得sinB=√32，结合角的范围，即可求出，(2)根据两角和与差的余弦公式，以及利用正弦函数的性质即可求出．三、【2020·天津高考】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=2√2，b=5，c=√13．(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)求sin A的值；(Ⅲ)求sin(2A+π4)的值．【答案】解：(Ⅰ)由余弦定理以及a=2√2，b=5，c=√13，则cosC=a2+b2−c22ab =2×2√2×5=√22，∵C∈(0,π)，∴C=π4；(Ⅱ)由正弦定理，以及C=π4，a=2√2，c=√13，可得sinA= asinCc =2√2×√22√13=2√1313；(Ⅲ)由a<c，及sinA=2√1313，可得cosA=√1−sin2A=3√1313，则sin2A=2sinAcosA=2×2√1313×3√1313=1213，∴cos2A=2cos2A−1=513，∴sin(2A+π4)=√22(sin2A+cos2A)=√22(1213+513)=17√226．【知识点】二倍角正弦公式、利用正弦定理解三角形、两角和与差的正弦公式、二倍角余弦公式、利用余弦定理解三角形【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．(Ⅰ)根据余弦定理即可求出C的大小；(Ⅱ)根据正弦定理即可求出sin A的值；(Ⅲ)根据同角的三角函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．【2019年】一、【2019·北京高考（理）】在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=−12．(1)求b，c的值；(2)求sin(B−C)的值．【答案】解：(1)∵a=3，b−c=2，cosB=−12．∴由余弦定理，得b2=a2+c2−2accosB=9+(b−2)2−2×3×(b−2)×(−12)，∴b=7，∴c=b−2=5；(2)在△ABC中，∵cosB=−12，∴sinB=√32，由正弦定理有：csinC =bsinB，∴sinC=csinBb =5×√327=5√314，∵b>c，∴B>C，∴C为锐角，∴cosC=1114，∴sin(B−C)=sinBcosC−cosBsinC=√32×1114−(−12)×5√314=4√37．【知识点】利用正弦定理解三角形、两角和与差的正弦公式、利用余弦定理解三角形【解析】本题考查了正弦定理、余弦定理和两角差的正弦公式，属基础题．(1)利用余弦定理可得b2=a2+c2−2accosB，代入已知条件即可得到关于b的方程，解方程即可；(2)sin(B−C)=sinBcosC−cosBsinC，根据正弦定理可求出sin C，然后求出cos C，代入即可得解．【2019·北京高考（文）】在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=−12．(1)求b，c的值；(2)求sin(B+C)的值．【答案】解：(1)∵a=3，b−c=2，cosB=−12．∴由余弦定理，得b2=a2+c2−2accosB=9+(b−2)2−2×3×(b−2)×(−12)，∴b=7，∴c=b−2=5；(2)在△ABC中，∵cosB=−12，∴sinB=√32，由正弦定理有：asinA =bsinB，∴sinA=asinBb =3×√327=3√314，∴sin(B+C)=sin(π−A)=sinA=3√314．【知识点】利用正弦定理解三角形、利用余弦定理解三角形【解析】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．(1)利用余弦定理可得b2=a2+c2−2accosB，代入已知条件即可得到关于b的方程，解方程即可；(2)sin(B+C)=sin(π−A)=sinA，根据正弦定理可求出sin A．二、【2019·浙江高考】在△ABC中，，AB=4，BC=3，点D在线段AC上，若，则BD=；．【答案】12√257√2 10【知识点】余弦定理、正弦定理在平面几何中的应用、利用正弦定理解三角形、两角和与差的正弦公式【解析】【分析】本题考查三角形的正弦定理和解直角三角形，考查三角函数的恒等变换，化简整理的运算能力，属于中档题．解直角三角形ABC，可得sin C，cos C，在三角形BCD中，运用正弦定理可得BD；再由三角函数的诱导公式和两角和差公式，计算可得所求值．【解答】解：如图所示，在直角三角形ABC中，AB=4，BC=3，可得AC=5，sinC=45，在△BCD中，由正弦定理可得3√22=BDsinC，可得BD=12√25；根据三角形内角和可知∠CBD=135°−C，sin∠CBD=sin(135°−C)=√22(cosC+sinC)=√22×(45+35)=7√210，即有cos∠ABD=cos(90°−∠CBD)=sin∠CBD=7√210，故答案为12√25；7√210．三、【2019·天津高考（理）】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2a，3csinB= 4asinC．(Ⅰ)求cos B的值；(Ⅱ)求sin(2B+π6)的值．【答案】解：(Ⅰ)在三角形ABC中，由正弦定理得bsinB =csinC，所以bsinC=csinB，又由3csinB=4asinC，得3bsinC=4asinC，即3b=4a，又因为b+c=2a，得b=4a3，c=2a3，由余弦定理可得cosB=a2+c2−b22ac=a 2+49a2−169a22⋅a⋅23a=−14；(Ⅱ)由(Ⅰ)得sinB=√1−cos2B=√154，从而sin2B=2sinBcosB=−√158，cos2B=cos2B−sin2B=−78，故sin(2B+π6)=sin2Bcosπ6+cos2Bsinπ6=−√158×√32−78×12=−3√5+716．【知识点】二倍角正弦公式、利用正弦定理解三角形、两角和与差的正弦公式、二倍角余弦公式、利用余弦定理解三角形【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．(Ⅰ)根据正余弦定理可得；(Ⅱ)根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得．【2019·天津高考（文）】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2a，3csinB=4asinC．(Ⅰ)求cos B的值；(Ⅱ)求sin(2B+π6)的值．【答案】解：(Ⅰ)在三角形ABC中，由正弦定理得bsinB =csinC，所以bsinC=csinB，又由3csinB=4asinC，得3bsinC=4asinC，即3b=4a，又因为b+c=2a，得b=4a3，c=2a3，由余弦定理可得cosB=a2+c2−b22ac=a 2+49a2−169a22⋅a⋅23a=−14；(Ⅱ)由(Ⅰ)得sinB=√1−cos2B=√154，从而sin2B=2sinBcosB=−√158，cos2B=cos2B−sin2B=−78，故sin(2B+π6)=sin2Bcosπ6+cos2Bsinπ6=−√158×√32−78×12=−3√5+716．【知识点】二倍角正弦公式、利用正弦定理解三角形、两角和与差的正弦公式、二倍角余弦公式、利用余弦定理解三角形【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．(Ⅰ)根据正余弦定理可得；(Ⅱ)根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得．四、【2019·上海高考】在△ABC中，AC=3，3sinA=2sinB，且cosC=14，则AB=．【答案】√10【知识点】正弦定理及变形、利用余弦定理解三角形【解析】【分析】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生的转化和计算能力，属于基础题．利用正弦定理可得BC=2，利用余弦定理即可得出结论．【解答】解：∵3sinA=2sinB，∴由正弦定理可得：3BC =2AC ，∴由AC =3，可得：BC =2，∵cosC =14，∴由余弦定理可得：14=32+22−AB 22×3×2，∴解得：AB =√10．故答案为：√10．【2018年】一、【2018·北京高考（理）】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a =7，b =8，cosB =−17． (1)求A ；(2)求AC 边上的高．【答案】解：(1)∵a <b ，∴A <B ，即A 是锐角，∵cosB =−17，∴sinB =√1−cos 2B =√1−(−17)2=4√37，由正弦定理，a sinA =b sinB ，得sinA =asinB b =7×4√378=√32，又A 为锐角，则A =π3;(2)由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB ，即64=49+c 2+2×7×c ×17，即c 2+2c −15=0，得(c −3)(c +5)=0，解得c =3或c =−5(舍)，则AC边上的高ℎ=csinA=3×√32=3√32．【知识点】由一个三角函数值求其他三角函数值、利用正弦定理解三角形、利用余弦定理解三角形【解析】本题考查正弦定理，余弦定理，属于中档题．(1)由正弦定理，进行求解即可;(2)利用余弦定理求出c的值，即可求出h．【2018·北京高考（文）】若△ABC的面积为√34(a2+c2−b2)，且∠C为钝角，则∠B=；ca的取值范围是．【答案】π3(2,+∞)【知识点】正切型函数的定义域、值域和最值、三角形面积公式、利用正弦定理解决范围与最值问题、两角和与差的正弦公式、利用余弦定理解三角形【解析】【分析】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．利用余弦定理，转化求解即可．【解答】解：△ABC的面积为√34(a2+c2−b2)，可得：√34(a2+c2−b2)=12acsinB，sinBcosB=√3，可得：tanB=√3，所以B=π3，∠C为钝角，A∈(0,π6)，所以1tanA∈(√3,+∞)，c a =sinCsinA=sin(A+B)sinA=cosB+1tanAsinB=12+√321tanA∈(2,+∞)，故答案为：π3；(2,+∞)．二、【2018·浙江高考】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=√7，b=2，A=60°，则sinB=(1)，c=(2)．【答案】√2173【知识点】余弦定理、正弦定理【解析】【分析】本题考查正弦定理、余弦定理，属于简单题．由正弦定理得√7sin60°=2sinB，由此能求出sin B，由余弦定理得cos60°=4+c2−72×2c，由此能求出c．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=√7，b=2，A=60°，∴由正弦定理得：asinA =bsinB，即√7sin60°=2sinB，解得sinB=2×√32√7=√217．由余弦定理得：cosA=b2+c2−a22bc ，即cos60°=4+c2−72×2c，解得c=3或c=−1(舍)，故答案为：√217；3．三、【2018·天津高考（理）】△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)设a=2，c=3，求b和的值．【答案】解：(Ⅰ)在△ABC中，由正弦定理得asinA =bsinB，得bsinA=asinB，又bsinA=acos(B−π6)，∴asinB=acos(B−π6)，即sinB=cos(B−π6)=cosBcosπ6+sinBsinπ6=√32cosB+12sinB，∴tanB=√3，又B∈(0,π)，∴B=π3．(Ⅱ)在△ABC中，a=2，c=3，B=π3，由余弦定理得b=√a2+c2−2accosB=√7，由bsinA=acos(B−π6)，得sinA=√37，∵a<c，∴cosA=7，∴sin2A=2sinAcosA=4√37，cos2A=2cos2A−1=17，∴sin(2A−B)=sin2AcosB−cos2AsinB=4√37×12−17×√32=3√314．【知识点】二倍角正弦公式、利用正弦定理解三角形、两角和与差的正弦公式、两角和与差的余弦公式、二倍角余弦公式、利用余弦定理解三角形【解析】本题考查两角和与差的三角函数公式，考查正余弦定理的运用，考查运算求解能力，是中档题．(Ⅰ)由正弦定理得bsinA=asinB，结合bsinA=acos(B−π6)，由此能求出B．(Ⅱ)由余弦定理得b=√7，由bsinA=acos(B−π6)，得sinA=√3√7，cosA=√7，由此能求出sin(2A−B)．【2017年】一、【2017·北京高考（理）】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc.若，则△ABC的形状是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【知识点】正弦定理及变形、利用余弦定理判断三角形的形状【解析】【分析】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．由已知b 2+c 2=a 2+bc ，利用余弦定理可得cosA =12，可得A =π3，由sin B ⋅sinC =sin 2A ，利用正弦定理可得bc =a 2，代入b 2+c 2=a 2+bc ，可得b =c.由此可以确定三角形形状．【解答】解：因为b 2+c 2=a 2+bc ，所以bc =b 2+c 2−a 2，利用余弦定理可得cosA =b 2+c 2−a 22bc =12，因为，故，因为，利用正弦定理可得bc =a 2，代入b 2+c 2=a 2+bc 可得(b −c)2=0，故b =c ，所以△ABC 为等边三角形．故选C ．【2017·北京高考（理）】在△ABC 中，∠A =60°，c =37a.(1)求sin C 的值；(2)若a =7，求△ABC 的面积．【答案】解：(1)∠A =60°，c =37a ，由正弦定理可得sinC =37sinA =37×√32=3√314； (2)a =7，则c =3，∴C <A ，∵sin 2C +cos 2C =1，又由(1)可得cosC =1314，∴sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC=√32×1314+12×3√314=4√37， ∴S △ABC =12acsinB =12×7×3×4√37=6√3．【知识点】诱导公式——π±α、－α型、三角形面积公式、由一个三角函数值求其他三角函数值、利用正弦定理解三角形、两角和与差的正弦公式【解析】本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式和三角形的面积公式，属于基础题．(1)根据正弦定理即可求出答案；(2)根据同角三角函数的关系求出cos C，再根据两角和的正弦公式求出sin B，根据面积公式计算即可．二、【2017·浙江高考】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是(1)，cos∠BDC=(2)．【答案】√152√10 4【知识点】二倍角公式及其应用【解析】【分析】本题考查了二倍角公式，等高三角形的面积比为底边比，关键是未知三角形面积和已知三角形面积的转化，属于中档题．如图，取BC的中点E，根据勾股定理求出AE，再求出S△ABC，再根据S△BDC=12S△ABC即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出cos∠BDC．【解答】解：如图，取BC的中点E，∵AB=AC=4，BC=2，∴BE=12BC=1，AE⊥BC，∴AE=√AB2−BE2=√15，∴S△ABC=12BC⋅AE=12×2×√15=√15，∵BD=2，根据等高三角形的面积比为底边比，∴S △BDC =12S △ABC =√152， ∵BC =BD =2，∴∠BDC =∠BCD ， ∴∠ABE =2∠BDC在Rt △ABE 中，∵cos∠ABE =BE AB =14，∴cos∠ABE =2cos 2∠BDC −1=14， ∴cos∠BDC =√104，故答案为：√152，√104三、【2017·天津高考（理）】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a >b ，a =5，c =6，sinB =35．(Ⅰ)求b 和sin A 的值；(Ⅱ)求sin(2A +π4)的值．【答案】解：(Ⅰ)在△ABC 中，∵a >b ，故由sinB =35，可得cosB =45．由已知及余弦定理，有b 2=a 2+c 2−2accosB=25+36−2×5×6×45=13，∴b =√13．由正弦定理a sinA =b sinB ，得sinA =asinB b =3√1313． ∴b =√13，sinA =3√1313； (Ⅱ)由(Ⅰ)及a <c ，得cosA =2√1313， ∴sin2A =2sinAcosA =1213，cos2A =1−2sin 2A =−513．故sin(2A +π4)=sin2Acos π4+cos2Asin π4=1213×√22−513×√22=7√226．【知识点】二倍角正弦公式、由一个三角函数值求其他三角函数值、利用正弦定理解三角形、利用余弦定理解三角形【解析】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，同角三角函数关系，考查倍角公式的应用，属于中档题．(Ⅰ)由已知结合同角三角函数基本关系式求得cos B ，再由余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sin A ； (Ⅱ)由同角三角函数基本关系式求得cos A ，再由倍角公式求得sin2A ，cos2A ，展开两角和的正弦得答案．【2017·天津高考（文）】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知asinA =4bsinB ，ac =√5(a 2−b 2−c 2)(Ⅰ)求cos A 的值；(Ⅱ)求sin(2B −A)的值【答案】(Ⅰ)解：由a sinA =b sinB ，得asinB =bsinA ，又asinA =4bsinB ，两式作比得：a 4b =b a ，∴a =2b ．由ac =√5(a 2−b 2−c 2)，得b 2+c 2−a 2=−√55ac ，由余弦定理，得cosA =b 2+c 2−a 22bc =−√55ac ac =−√55； (Ⅱ)解：由(Ⅰ)，可得sinA =2√55，代入asinA =4bsinB ，得sinB =asinA 4b =√55．由(Ⅰ)知，A 为钝角，则B 为锐角，∴cosB =√1−sin 2B =2√55，于是sin2B =2sinBcosB =45，cos2B =1−2sin 2B =35，故sin(2B −A)=sin2BcosA −cos2BsinA=45×(−√55)−35×2√55=−2√55．【知识点】二倍角正弦公式、由一个三角函数值求其他三角函数值、利用正弦定理解三角形、两角和与差的正弦公式、利用余弦定理解三角形【解析】本题考查正，余弦定理在解三角形中的应用，三角函数二倍角公式及和差角公式的应用，属于中档题．(Ⅰ)由正弦定理得asinB=bsinA，结合asinA=4bsinB，得a=2b.再由ac=√5(a2−b2−c2)，得b2+c2−a2=−√55ac，代入余弦定理的推论可求cos A的值；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得sinA=2√55，代入asinA=4bsinB，得sin B，进一步求得cosB.利用倍角公式求sin2B，cos2B，展开两角差的正弦可得sin(2B−A)的值．四、【2017·上海高考】已知函数f(x)=cos2x−sin2x+12，x∈(0,π)．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=√19，角B所对边b=5，若f(A)=0，求△ABC的面积．【答案】解：(1)函数f(x)=cos2x−sin2x+12=cos2x+12，x∈(0,π)，由2kπ−π≤2x≤2kπ，k∈Z，解得kπ−12π≤x≤kπ，k∈Z，∵x∈(0,π)，可得f(x)的单调递增区间为[π2,π)；(2)设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=√19，角B所对边b=5，若f(A)=0，即有cos2A+12=0，A为锐角，解得2A=23π，即A=13π，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA，化为c2−5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB=2×√19×2<0，即有B为钝角，∴c=2不成立，则c=3，经检验符合条件，△ABC的面积为S=12bcsinA=12×5×3×√32=15√34．【知识点】三角形面积公式、判断余弦型函数的单调性或求解单调区间、二倍角余弦公式、利用余弦定理解三角形【解析】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．(1)由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，可得所求单调增区间；(2)由f(A)=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．。

2017年高考通关讲练高考数学(理科)-课标通用-第6辑：五、三角恒等变换含解析

五、三角恒等变换1.两角和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。

③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

2.简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆）.本考点是高考的热点，尤其是三角恒等变换考查比较频繁．主要考查三角函数式的化简、求值及公式的变形、逆用．在选择题、填空题、解答题中都有所体现,求解时要正确选用公式，做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形，同时注意转化与化归思想的运用。

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin （α±β)＝sin αcos β±cos αsin β． cos （α∓β）＝cos αcos β±sin αsin β．tan （α±β）＝tan tan 1tan tan αβαβ±．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α．cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α．22tan tan 21tan ααα=-．3．有关公式的逆用、变形等（1）tan α±tan β＝（1∓tan αtan β）tan （α±β）．（2）cos 2α＝21cos 21cos 2,sin 22ααα+-=．(3）1＋sin 2α＝（sin α＋cos α）2， 1－sin 2α＝（sin α－cos α)2，sin cos 2sin()4αααπ±=±。

4．函数f (α）＝a sin α＋b cos α（a ，b 为常数），可以化为22()sin()f a b ααϕ=++（其中tan b a ϕ=）或22()cos()f a b ααϕ=+-（其中tan a bϕ= ）.cos15°cos30°+cos105°sin30°的值是A ．22B 3C ．12D ．1【答案】A【解析】cos15°cos30°+cos105°sin30° =cos15°cos30°+cos(90°+15°)sin30° =cos15°cos30°−sin15°sin30°=cos45°=22．故选A 。

2017版新步步高高考数学大一轮复习讲义课件：第3章三角函数、解三角形 3.4

1.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx ＋φ)(A>0， ω>0)，x∈R
振幅 A
周期
2π T＝ ω
频率 ω
f＝T1＝ 2π
相位初相 ωx＋φ φ
答案第四页，编辑于星期六：三点十三分。
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：
x
0－φ
题型一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例 1 已知函数 y＝2sin2x＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；解 y＝2sin2x＋π3的振幅 A＝2，周期 T＝22π＝π，初相 φ＝π3.
解析答案第十九页，编辑于星期六：三点十三分。
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；解令 X＝2x＋π3，则 y＝2sin2x＋π3＝2sin X.
3.(2015·湖南)将函数 f(x)＝sin 2x 的图象向右平移 φ0＜φ＜2π个单位后
得到函数 g(x)的图象，若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2 的 x1，x2，有|x1－x2|min
＝π3，则 φ 等于(
)
A.51π2
B.π3
C.π4
D.π6
1 2 3 4 5 第十一页解，编析辑答于星案期六：三点十三分。
A.y＝sin3π0t＋π6
B.y＝sin－6π0t－π6
C.y＝sin－3π0t＋π6
D.y＝sin－3π0t－π3
第三十三页，编辑于星期六：解三点析十答三分案。
命题点2 方程根(函数零点问题)
例 4 已知关于 x 的方程 2sin2x－ 3sin 2x＋m－1＝0 在π2，π上有两个不同的实数根，则 m 的取值范围是________.

2017版新步步高高考数学大一轮复习讲义课件：第3章三角函数、解三角形 3.6

4－3 3 (2)已知 cosθ＋π4＝ 1100，θ∈0，π2，则 sin2θ－π3＝___1_0____. 解析由题意可得，cos2θ＋π4＝1＋cos22θ＋π2＝110，
cos2θ＋2π＝－sin 2θ＝－54，即 sin 2θ＝54.
因为 cosθ＋π4＝ 1100>0，θ∈0，π2，所以 0<θ<π4，2θ∈0，π2，根据同角三角函数基本关系式可得 cos 2θ＝35，由两角差的正弦公式可得
123 45
解析答案第九页，编辑于星期六：三点十三分。
4.若
f(x)＝2tan
2sin2 x－ x
2x－1x，则
sin 2cos 2
f1π2的值为___8___.
解析
1－2sin2 ∵f(x)＝2tan x＋ 1
x 2
2sin x
＝2tan
x＋2scionsxx＝sin
2 xcos
x＝sin42x，
得c2oassiθn21θ－－2siansiθn－θa＝＝01，，
由 θ∈－π2，π2知 cos θ≠0， a＝－1，
解得θ＝－π6.
思维升华第二十八页，编辑于星期六：解三析点十答三案分。
跟踪训练3
(1)(2014·课标全国Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为 ___1_____. 解析因为f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x ＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)，－1≤sin(x－φ)≤1，所以f(x)的最大值为1.
π
A.3
B. 3
C.6
D.4
解析由已知可得 tan A＋tan B＝ 3(tan A·tan B－1)，

高考数学解答题高分宝典专题01 三角函数与解三角形(直通高考)理-人教版高三全册数学试题

专题01三角函数与解三角形1．（2017·浙江卷）已知函数22sin cos 23sin cos ()()x x x f x x x =--∈R ．（1）求2()3f π的值．（2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）2；（2）最小正周期为π，单调递增区间为2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ． ()cos 232f x x x =-2sin(2)6x π=-+．所以()f x 的最小正周期是π．由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π≤+≤+π∈Z ，解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ，所以，()f x 的单调递增区间是2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数()ϕω+=x A y sin 的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即()ϕω+=x A y sin ，然后利用三角函数u A y sin =的性质求解．2．（2017·新课标Ⅰ卷理）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A.（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1，a =3，求ABC △的周长. 【答案】（1）23；（2）333+．（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin 2B C B C -=-，即1cos()2B C +=-. 所以2π3B C +=，故π3A =. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即2()39b c bc +-=，得33b c +=.故△ABC 的周长为333+【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 3．（2017·江苏卷）已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，取得最大值3；5π6x =时，取得最小值23-．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,3)=-b ，a ∥b ，所以3cos 3sin x x -=．若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是3tan 3x =-．又，所以5π6x =．4．若函数()()ππsin 0,0,22f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如下图所示. （1）求函数的解析式；（2）设π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且，求的值.【答案】（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）43310+. 【解析】（1）由题图得，，3π5π3π43124T =+=，解得，于是由2ππT ω==，得．∵π2π2sin 233f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴2ππ2π32k k ϕ+=+∈Z ,，即π2π6k k ϕ=-∈Z ,，又ππ22ϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，∴π6ϕ=-， ∴()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．∴2ππ4cos 21sin 2665αα⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∴ππsin 2sin 266αα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππππsin 2cos cos 2sin 6666αα⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 33415252=⨯+⨯43310+=．5．已知向量()1,sin x =a ，()cos ,3x =b . （1）若⊥a b ，求tan2x 的值；（2）令()f x =⋅a b ，把函数()f x 的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所得图象沿x 轴向左平移π12个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递增区间. 【答案】（1）3-；（2）()5πππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .()π2sin 6f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），得到π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，再把所得图象沿x 轴向左平移π12个单位，得到()π2sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，()g x ∴6．已知ABC △的三个内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，且()2cos cos cos B c A a C b +=. （1）证明：,,A B C 成等差数列；（2）若ABC △，求b 的最小值.【答案】（1）见解析；（2.【解析】（1）因为()2cos cos cos B c A a C b +=，所以由正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin B C A A C B +=，即()2cos sin sin B A C B +=. 在ABC △中，()sin sin A C B +=且sin 0B ≠，所以1cos 2B =. 因为()0,πB ∈，又因为πA B C ++=，所以,,A B C 成等差数列.（2 所以6ac =.所以222222cos 6b a c ac B a c ac ac =+-=+-≥=，当且仅当a c =时取等号.所以b .7．如图，在ABC △中，π,23B BC ==，点D 在边AB 上，,AD DC DE AC =⊥，E 为垂足. （1）若BCD △的面积为33，求AB 的长；（2）若62ED =，求角A 的大小.【答案】（1）2723+；（2）π4. 【解析】（1）∵BCD △的面积为33，π,23B BC ==， ∴1π32sin 233BD ⨯⨯⨯=， ∴23BD =.（2）∵6DE =，∴sin DE CD AD A === 在BCD △中，由正弦定理可得sin sin BC CDBDC B=∠. ∵2BDC A ∠=∠，∴2sin22sin sin60A A =︒，∴cos 2A =.【名师点睛】此题主要考查了正弦定理、余弦定理、以及三角恒等变换中倍角公式在解三角形中的应用，属于中档题型，也是常考考点.在解决此类问题的过程中，常将所求角、边与已知的角、边转化集中到同一个三角形，再运用三角公式进行恒等变形及运算，以已知角为线索，寻找合适的正弦定理、余弦定理，从而解决问题.8．已知函数πππ()cos(2)2sin()cos()()344f x x x x x =-+--∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期及()f x 在区间π2π[,]上的值域；（2）在ABC △中，5AB =，ABC △的面积.【答案】（1）πT =（2）2或4.πsin(2)6x =-.)(x f ∴的最小正周期为2ππ2T ==； ∵π2π[,]123x ∈， ∴π7π2[0,]66x -∈， ∴max ππππ()()sin(2)sin 13362f x f ==⨯-==，min 2π2ππ7π1()()sin(2)sin 33662f x f ==⨯-==-, ∴()f x 在区间π2π[,]123上的值域是1[,1]2-. （2）由1()2f A =得π1sin(2)62A -=，即π6A =，由余弦定理得272553(23)(33)0b b b b =+-⇒--=，∴23b =33b =∴ABC △的面积为1153523222ABC S ∆=⨯⨯⨯=或11153533224ABC S ∆=⨯⨯⨯=.9．已知函数5()sin(2)2sin()cos()644f x x x x ππ3π=---+. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若[,]123x ππ∈，且()4()cos(4)3F x f x x λπ=---的最小值是32-，求实数λ的值. 【答案】（1）πT =，单调递增区间为[,],63k k k πππ-π+∈Z ；（2）12λ=.13cos 2sin 2cos 222x x x =+- sin(2)6x π=-.∴22T π==π，由222,262k x k k ππππ-≤-≤π+∈Z ，得,63k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， ∴函数()f x 的单调递增区间为[,],63k k k πππ-π+∈Z . （2）()4()cos(4)3F x f x x λπ=---24sin(2)[12sin (2)]66x x λππ=-----22sin (2)4sin(2)166x x λππ=----222[sin(2)]126x λλπ=----，∵[,]123x ππ∈，∴0262x ππ≤-≤， ∴0sin(2)16x π≤-≤.①当0λ<时，当且仅当sin(2)06x π-=时，()f x 取得最小值1-，这与已知不相符； ②当01λ≤≤时，当且仅当sin(2)6x λπ-=时，()f x 取得最小值212λ--，由已知得23122λ--=-，解得12λ=；【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，二倍角公式，两角和与差的正、余弦公式，考查了转化思想与分类讨论思想、逻辑推理能力与计算能力.（1）求解关于三角函数的图象与性质的问题时，一定要将函数解析式化简为()sin()f x A x ωϕ=+（()cos()f x A x ωϕ=+）的形式，再根据正弦（余弦）函数的性质求解即可；（2）化简可得()2[sin(2)6F x x π=-22]12λλ---，可以利用换元法将此式变形为22()1y t λ=--22λ-，πsin(2)[0,1]6t x =-∈，然后利用对称轴t λ=与定义域[0,1]之间的关系进行讨论，即分0λ<、1λ>、01λ≤≤三种情况讨论求解即可.10．在海岛A 上有一座海拔1km 的山峰，山顶设有一个观察站P ，有一艘轮船按一固定方向作匀速直线航行，上午11:00时，测得此船在岛北偏东15、俯角为30的B 处，到11:10时，又测得该船在岛北偏西45、俯角为60的C 处.（1）求船的航行速度；（2）求船从B 到C 行驶过程中与观察站P 的最短距离.【答案】（1）221km/h ；（2）259km 14.在ACB △中，154560CAB ∠=+=，∴由余弦定理得()223321323cos60333BC ⎛⎫=+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 216221km/h,3x ∴=⨯=∴船的航行速度为221km/h .（2）作AD BC ⊥于点,D 当船行驶到点D 时，AD 最小，从而PD 最小，此时，333sin6033271421AB AC AD BC ⋅⋅===∴==，PD∴船在行驶过程中与观察站P。

2017高考数学(理)(新课标版)考前冲刺复习讲义：透视全国高考揭秘命题规律(六)含答案

透视全国高考揭秘命题规律（六）-—概率与统计(全国卷第18题)统计与概率(2015·高考全国卷Ⅱ）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．A地区用户满意度评分的频率分布直方图B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组［50，60）[60,70)[70，80）［80，90）[90，100］频数2814106(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可);B地区用户满意度评分的频率分布直方图（2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．【解】(1)如图所示．通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散．（2）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；C B 表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P（C A）的估计值为(0。

01＋0。

02＋0.03)×10＝0。

6，P（C B)的估计值为（0。

005＋0。

02)×10＝0。

25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．第一步:从统计图（频率分布直方图、茎叶图、扇形图、条形图、折线图等)提取相关的信息与数据。

第二步：根据统计原理和方法，理清统计量之间的关系.第三步：将问题“翻译”为“数据”，根据问题要求用数据刻画（或估计）问题.回归分析问题（2016·高考全国卷丙）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014（1）由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（2)建立y关于t的回归方程（系数精确到0。

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六、解三角形（1）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. （2）应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.本考点一直是高考的热点，尤其是已知边角求其他边角，判断三角形的形状，求三角形的面积考查比较频繁，既有直接考查两个定理应用的选择题或填空题，也有考查两个定理与和差公式、倍角公式及三角形面积公式综合应用的解答题，解题时要掌握正、余弦定理及灵活运用，注意函数与方程思想、转化与化归思想在解题中的应用.在ABC △中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则sin sin b c=B C. 2．常见变形sin sin sin 1,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B b a B b A a C c A b C c B B b A a C c======（）2;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b c A B C A B A C B C A B C+++++======+++++（）3::sin :sin :sin ;a b c A B C =（）3．余弦定理4===2.sin sin sin a b cR R ABC A B C（）正弦定理的推广：，其中为△外接圆的半径三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222co s ,a b c b c =+-=，4．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===5．三角形面积公式（1）三角形的高的公式：h A =bsinC=csinB,h B =csinA=asinC,h C =asinB=bsinA ．（2）三角形的面积公式：S=21absinC ，S=21bcsinA ，S=21casinB.（2016新课标II ，理）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b= . 【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为ABC △的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[π()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C =-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 【考点定位】正弦定理【解题必备】正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．在ABC △中，若11,2,c os 4a b C ===，则c=________________，sinA=__________________.【答案】2【解析】根据余弦定理，得2222212cos 122124,4c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=解得2c =.由1,2,2,a b c ===得2222222217cos ,22228c b a A bc +-+-===⨯⨯ 所以5s i n =.A =【考点定位】余弦定理【解题必备】利用余弦定理解三角形的步骤在ABC △中，已知2AB =，3,60.AC A == （1）求BC 的长；（2）求sin 2C 的值.【答案】（1）BC （2）sin 2=7C . 【解析】（1）由余弦定理知，22212cos 4922372BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以BC（2）由正弦定理，知,sin sin AB BC C A =所以sin sin AB C A BC =⋅==因为AB BC <，所以C 为锐角，则cos C ===因此sin 22sin cos 27C C C =⋅=⨯= 【考点定位】正弦定理与余弦定理的综合应用【解题必备】利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件（即边和角）作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．在ABC △中，内角A,B,C 所对边的边长分别是a,b,c.已知2,.3c C π==（1）若ABC △,a b 的值；（2）若sinB=2sinA ，求ABC △的面积.【答案】（1）a=2，b=2；（2.【解析】（1）由余弦定理，得224,a b ab +-= 又ABC △1sin 2S ab C =4ab =，联立得方程组224,4a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩解得2, 2.a b == （2）由余弦定理，得224,a b ab +-=由正弦定理，得2,b a =联立得方程组224,2a b ab b a⎧+-=⎨=⎩解得a b == 所以ABC △的面积1sin =23S ab C =【考点定位】三角形的面积【解题必备】求三角形面积的解题思路在求三角形的面积时，若存在三角形边长平方和的情况，一般联想到用余弦定理来解决；若存在边长乘积时，一般联想到用公式111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===解决.如右图，在地平面上有一旗杆OP ，为了测量它的高度h ，在地面上选一基线AB ，测得AB=20 m,在A 点处测得P 点的仰角∠OAP=30°,在B 点处测得P 点的仰角∠OBP=45°，又测得∠AOB=60°，求旗杆的高度h ．（结果保留整数）【解析】因为在Rt AOP △中，∠OAP=30°，OP=h ，所以OA=tan 30OP︒．在Rt BOP △中，∠OBP=45°，所以OB==tan 45OP︒h ．在AOB △中，AB=20，∠AOB=60°，由余弦定理得AB 2=OA 2+OB 2－2×OA×OBcos60°，即202=)2+h 2－h×21，解得h 2=34400-≈176.4，所以h ≈13．答：旗杆高度约为13 m ．【考点定位】解三角形的应用题【名师点睛】高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．1．在△ABC 中，若tanA·tanB ＜1，则该三角形一定是A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上都有可能2．已知锐角三角形的三边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是A ．8＜a<10B ．aC ．a ＜10D ＜a ＜83．（1）已知△ABC 中，sin :sin :sin =1:2:3A B C ，则a:b:c =_______；（2）已知△ABC 中，∠A =60︒，a =则++sin +sin +sin a b cA B C=_______.4．在平面四边形ABCD 中，75,2,A B C B C ===︒=∠∠∠ 则AB 的取值范围是．5．在△ABC 中，C=60°，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 则a bb c c a+++=_________． 6．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30 的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为30 ，则此山的高度CD =m ．7．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos 2cos 2.cos A C c aB b--=（I ）求sin sin CA的值；（II ）若cosB=14，2b =,求ABC △的面积.参考答案1．B 【解析】由已知条件，得sin sin cos()cos 1,0,0,cos cos cos cos cos cos A B A B CA B A B A B+⋅<><即即说明cosA ，cosB ，cosC 中有且只有一个为负．因此△ABC 一定是钝角三角形．2．B 【解析】若a 是最大边，则22213133a a a +>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，即3＜a ＜10；若3是最大边，则22213133a a a +>⎧⎪+>⎨⎪<⎩, 即3＞a ＞a=3时符合题意，综上a，故选B. 3．（1）1:2:3；（2） 2【解析】（1）根据正弦定理的变形，可得=sin :sin :sin =1:2:3a:b:c A B C . （2）方法一：设=sin sin a b A B ==(>0)sin ck k C，sin sin sin a k A b k B c k C ===则有，，，从而sin sin sin a b c k A k B k Ck ++++==，又2sin a k A =，所以sin sin sin a b c A B C ++++=2. 方法二：根据正弦定理的变形，可得2sin sin sin sin a b c aA B C A++++==.4．【解析】如图，连接AC ，设BCA ∠=α，BAC ∠=β．在ABC △中，根据正弦定理可得sin sin AB BCαβ=，则 sin 2sin(105)2sin(75)2(sin 75cos cos75sin )sin sin sin sin BC αββββAB ββββ︒-︒+︒+︒====，又sin 75︒=︒=，所以AB =由753075,10575βββ<︒⎧︒<<︒⎨︒-<︒⎩可得tan 2β<<，AB <．5．1 【解析】∵C=60°,∴a 2+b 2－c 2=ab ，∴a 2+b 2=ab+c 2，∴()()()()()()()()122ac a b bc b c c a a b.b c c a b c c a b c c a ++++++===++++++ 6．6100 【解析】依题意， 30=∠BAC ， 105=∠ABC ，在ABC △中，由 180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ，所以 45=∠ACB ，因为600=AB m ，由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=，即2300=BC m ，在Rt BCD △中，因为 30=∠CBD ，2300=BC ，所以230030tan CDBC CD ==，所以6100=CD m ．7．（I ）sin sin C A =2；（II ）4【解析】（Ⅰ）由正弦定理，得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C = 所以cos 2cos 2cos A C c a B b --= =2sin sin sin C AB-,即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-,即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin CA=2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知sin sin c C a A==2,即c=2a,又因为2b =, 所以由余弦定理，得2222cos b c a ac B =+-，即222124224a a a a =+-⨯⨯,解得1a =,所以c=2,又因为cosB=14，所以，故ABC △的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯⨯1．正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 2．三角形解的个数的探究（以已知a b ，和A 解三角形为例）（1）从代数角度来看：①若sin sin 1b AB=a>，则满足条件的三角形的个数为0，即无解；②若sin sin 1b A B=a =，则满足条件的三角形的个数为1；③若sin sin 1b AB=a<，则满足条件的三角形的个数为1或2. 注：对于（3），由sin 0sin 1b AB=a<<可知B 可能为锐角，也可能为钝角，此时应由“大边对大角”“三角形内角和等于180°”等进行讨论. （2）从几何角度来看：①当A 为锐角时，一解一解两解无解②当A 为钝角或直角时，一解一解无解无解3．利用余弦定理解三角形的步骤典例1 在ABC △中，若3C B =，求c的取值范围．典例2 已知,21,21a a a -+是钝角三角形的三边，求实数a 的取值范围.。