2012年高考数学备考之百所名校组合卷系列_专题11_选修系列

一、填空题：1．(广东省汕头市2012届高三教学质量测评文14)（坐标系与参数方程选做题）过点(2,)3π且平行于极轴的直线的极坐标方程为 ．【答案】sin ρθ=【解析】先将极坐标化成直角坐标表示，(2,)3π化为，过且平行于x轴的直线为y =，再化成极坐标表示，即sin ρθ=法二：在极坐标系中直接构造直角三角形由其边角关系得方程sin ρθ=2．(广东省汕头市2012届高三教学质量测评文15)（几何证明选讲选做题）已知P A 是O 的切线，切点为A ，直线P O 交O 于B 、C 两点，2A C =，120P A B ∠=︒，则O 的面积为 ． 【答案】4π【解析】由弦切角定理，P A C A B C ∠=∠，由120P A B ∠=︒，90C A B ∠=︒得30P A C A B C ∠=∠=︒，在R t A B C ∆中，22224R B C A C ===⨯=，4R =，2S R π==4π．3.(江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三联考11)已知变量,a R θ∈，则22(2cos )(2sin )a a θθ-+--的最小值为 .【解析】22(2cos )(2sin )a a θθ-+-的几何意义为(),a a到()2cos ,2sin θθ距离的平方。

(),a a 表示的轨迹为y x =，()2cos ,2sin θθ+表示的轨迹为(224x y +-=又(0,到y x =是距离为5，所以(),a a到()2cos ,2sin θθ距离最小值为3。

所以22(2cos )(2sin )a a θθ-+--的最小值为9.三、解答题4. (吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试理科22)（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.PABOC（第15题图）如图，在△ABC 中，C D 是A C B ∠的平分线，△A C D 的外接圆交B C 于点E ，2A B A C =. ⑴求证：2B E A D =；⑵当1A C =，2E C =时，求A D 的长.【解析】⑴连结D E ，因为A C E D 是圆的内接四边形，所以B D E B C A ∠=∠，又D B E C B A ∠=∠，所以△BD E ∽△BC A ，即有B E D E B AC A=，而2A B A C =，所以2B E D E =.又C D 是A C B ∠的平分线，所以AD D E =，从而2B E A D =.⑵由条件得22A B A C ==，设A D t =，根据割线定理得BD BA BE BC ⋅=⋅，即()2(2)AB AD BA AD AD CE -⋅=⋅+所以(2)22(22)t t t -⨯=+，即22320t t +-=，解得12t =，即12A D =.5. (吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试理科23)（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线2C 的极坐标方程为(cos sin )10ρθθ-+=. ⑴求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； ⑵求曲线1C 上的点到曲线2C 的最远距离.【解析】⑴将cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）化为普通方程得()1122=-+y x ，将()cos sin 10ρθθ-+=化为直角坐标方程得01=+-y x .⑵ 由⑴知曲线1C 表示圆心为(0,1)，半径为1的圆，曲线2C 表示直线01=+-y x ，并且过圆心(0,1)，所以曲线1C 上的点到曲线2C 上点的最远距离等于圆的半径1.6. (吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试理科24)（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.设函数|32||12|)(-+-=x x x f ，∈x R ． ⑴解不等式()5f x ≤；B⑵若mx f x g +=)(1)(的定义域为R ，求实数m 的取值范围．【解析】⑴原不等式等价于12445x x ⎧<⎪⎨⎪-⎩≤或132225x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤或32445x x ⎧>⎪⎨⎪-⎩≤， 因此不等式的解集为]49,41[-∈x .⑵由于mx f x g +=)(1)(的定义域为R ，则0)(=+m x f 在R 上无解.又()|21||23||2123|2f x x x x x =-+---+=≥，)(x f 的最小值为2，所以2m -<，即2m >-.7. (江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三联考21)A 选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵1121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．求向量α，使得2αβ=A ．【解析】：1121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ A ，2111132212143⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ………………4分 设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则2αβ=⇔A 3243⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=12⎡⎤⎢⎥⎣⎦⇔321432x y x y +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦…………8分 3211,4322x y x x y y +==-⎧⎧∴∴⎨⎨+==⎩⎩，12α-⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦. ………………10分 8. (江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三联考21)B 选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为1222x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），若以直角坐标系xoy 的O 点为极点，ox 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=-．（1）求直线l 的倾斜角；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求AB ．9. (福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科21)（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换若二阶矩阵M 满足127103446M ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅰ）求二阶矩阵M ；（Ⅱ）把矩阵M 所对应的变换作用在曲线223861x xy y ++=上，求所得曲线的方程.【解析】（Ⅰ）记矩阵1234A ⎛⎫=⎪⎝⎭，故2A =-，故1213122A --⎛⎫ ⎪= ⎪-⎝⎭. 由已知得121710710123146461122M A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪===⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （Ⅱ）设二阶矩阵M 所对应的变换为1211x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x yy x y '=+⎧⎨'=+⎩， 解得2x x y y x y ''=-+⎧⎨''=-⎩，又223861x xy y ++=，故有223(2)8(2)()6()1x y x y x y x y ''''''''-++-+-+-=，化简得2221x y ''+=.故所得曲线的方程为2221x y +=.10.(福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科21)（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x t y θθ=⎧⎨=⎩（t 为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin()4πρθ-=（Ⅰ）求曲线C 的普通方程并说明曲线的形状；（Ⅱ）是否存在实数t ，使得直线l 与曲线C 有两个不同的公共点A 、B ，且10OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由.【解析】本题主要考查曲线的参数方程、直线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想、分类与整合思想.满分7分.解：（Ⅰ）∵0t ≠，∴可将曲线C 的方程化为普通方程：2224x y t+=.①当1t =±时，曲线C 为圆心在原点，半径为2的圆； ②当1t ≠±时，曲线C 为中心在原点的椭圆. （Ⅱ）直线l 的普通方程为：40x y -+=.联立直线与曲线的方程，消y 得222(4)4x x t++=，化简得2222(1)8120t x t x t +++=.若直线l 与曲线C 有两个不同的公共点，则422644(1)120t t t ∆=-+⋅>，解得23t >.又22121222812,,11ttx x x x tt+=-=++故12121212(4)(4)OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+++121224()1610x x x x =+++=.解得23t =与23t >相矛盾. 故不存在满足题意的实数t .11. (福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科21)（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知函数()24f x x x =-+-的最小值为m ，实数,,,,a b c n p q满足22222a b c n p q m++=++=. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）求证：4442222n p q abc++≥．【解析】本题主要考查绝对值的几何意义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力，考查函数与方程思想以及分类与整合思想.满分7分.解：（Ⅰ）法一： 26(4)()242(24)26(2)x x f x x x x x x -≥⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-+≤⎩， 可得函数的最小值为2.故2m =.法二：()24(2)(4)2f x x x x x =-+-≥---=， 当且仅当24x ≤≤时，等号成立，故2m =.（Ⅱ） 222222222[()()()]()npqa b c abc++⋅++2222()npqa b c a b c≥⋅+⋅+⋅ ……5分即：444222()2n p q abc++⨯≥2222()4n p q ++=,故4442222n p q abc++≥.12.(江苏省南京市、盐城市2012届高三第一次模拟21)13. B．(江苏省南京市、盐城市2012届高三第一次模拟)（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵1101,20201⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B，若矩阵A B对应的变换把直线l：20x y+-=变为直线'l，求直线'l的方程.【解析】C 的方程化为4cos 4sin ρθθ=+，两边同乘以ρ，得24cos 4sin ρρθρθ=+由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== ,得22440x y x y +--= ……………5分其圆心C 坐标为(2,2)，半径r =又直线l 的普通方程为20x y --=,∴圆心C 到直线l 的距离2d ==,∴弦长AB == ………10分D. (江苏省南京市、盐城市2012届高三第一次模拟)（选修4—5：不等式选讲）已知x y z 、、均为正数，求证：111()3x y z++≤.【解析】证明:由柯西不等式得2222222111111(111)()()xyzxyz++++≥++……………5分则111xyz≥++,111)3x y z++≤……10分 【点评】作为选作题部分，只要求学生掌握相应的基础知识即可，一般试题的难度相对基础，侧重基本知识，基本技能的考查，考生在选作的时候应该选择自己最优把握的试题进行规范解答。