2020年江西省赣州市梅水中学高三数学文月考试卷含解析

2020年江西省赣州市梅水中学高三数学文月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设全集U是自然数集N，集合，则如图所示的阴影部分的集合为
A. B. C. D.
参考答案：
C
2. 若, 则与的夹角为
A. B. C.
D.
参考答案：
B
3. 某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中
O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）
A．48 B．64 C．96 D．128
参考答案：C
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，计算出底面的周长和高，进而可得几何体的侧面积．
【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，
∵它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，O1A1=6，O1C1=2，
∴它的俯视图的直观图面积为12，
∴它的俯视图的面积为：24，
∴它的俯视图
的俯视图是边长为：6的菱形，
棱柱的高为4
故该几何体的侧面积为：4×6×4=96，
故选：C．
4. 已知数列{a n}满足，且，则数列{a n}的通项公式为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
5. 已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）点有顶点A，O为坐标原点，以A为圆心与双曲线C的一条渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°且=2，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】设双曲线的一条渐近线方程为y=x，A（a，0），P（m，），（m＞0），由向量共线的坐标表示，可得Q的坐标，求得弦长|PQ|，运用中点坐标公式，可得PQ的中点坐标，由两直线垂直
的条件：斜率之积为﹣1，可得m=，r=，运用圆的弦长公式计算即可得到a，b的关系，即可求出离心率．
【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为y=x，A（a，0），
P（m，），（m＞0），由=2，可得Q（2m，），
圆的半径为r=|PQ|=m=m?，PQ的中点为H（m，），由AH⊥PQ，可得=﹣，
解得m=，r=．
A到渐近线的距离为d==，则|PQ|=2=r，
d=r，即有=?．
可得=，
∴e===，
故选：B
6. 已知复数z=，则z在复平面上对应的点在第（）象限．A．一B．二C．三D．四
参考答案：
D
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z==，
∴z在复平面上对应的点的坐标为（），在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
7. 已知的重心为G，角A，B，C所对的边分别为，若，则
A.1:1:1
B.
C.
D.
参考答案：
【知识点】正弦定理；向量加减混合运算及其几何意义．C8 F1
D解析：设a，b，c为角A，B，C所对的边，由正弦定理，
由△ABC的重心为G，得2sinA+sinB=﹣3sinC=﹣3sinC（﹣﹣），
整理得：（2sinA﹣3sinC）+（sinB﹣3sinC）=0，
∵，不共线，
∴2sinA﹣3sinC=0，sinB﹣3sinC=0，
即sinA=sinC，sinB=sinC，
则sinA：sinB：sinC=：：1=，
故选：D．
【思路点拨】已知等式利用正弦定理化简，整理后根据两向量不共线，表示出sinA与sinB，求出sinA，sinB，sinC之比即可．
8. 已知直线l：交双曲线：于A，B两点，过A作直线l的垂线AC 交双曲线于点C．若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. 2 D.
参考答案：
A
【分析】
联立直线x y和双曲线方程可得A，B的坐标，以及|AB|，直角三角形的性质可得|AC||AB|，设出直线AC的方程，联立双曲线方程，运用韦达定理可得C的横坐标，由弦长公式，化简计算可得a＝b，进而得到所求离心率．
【详解】联立直线x y和双曲线方程可得
x2，y2，
可设A（，），
可得|AB|＝2|OA|，
在直角三角形ABC中，∠ABC＝60°，
可得|AC||AB|，
设直线AC的方程为y x，
代入双曲线方程可得（b2﹣3a2）x2x﹣a2b20，
可得x C，
即有|x C﹣x A|＝||
，
可得|AC|＝2?，
即为a2+b2＝|b2﹣3a2|，
可得a＝b，e．
故选：A．【点睛】本题考查双曲线的方程和运用，考查直线和双曲线的位置关系，以及联立方程组，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于综合题．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方
法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).
9. 已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
B
试题分析：解：由，得；①若，设，则当，，此时
当，此时，此时；当，此时，此时
；当，此时，此时；当，此时
，此时，作出函数图象，要使有且仅有三个零点，即函数
有且仅有三个零点，则由图象可知；
②若，设，则当，，此时，此时；当
，，此时，此时；当，，此时
，此时；当，，此时，此时；当
，
，此时
，此时
；作出函数图象，要使
有
且仅有三个零点，即函数
有且仅有三个零点，则由图象可知
，所以的取值范围
，故答案为B ．
考点：函数的零点与方程的根关系．
10. 设表示两条直线，
表示两个平面，则下列命题是真命题的是（ ）
A ．若，∥，则∥
B ．若
C ．若∥，
，则
D ．若
参考答案： D 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角
的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点
，
，则
的值为
．
参考答案：
12. 已知函数y=f （x ），x∈R，给出下列结论：
①若对于任意x 1，x 2且x 1≠x 2都有＜0，则f （x ）为R 上的减函数；
②若f （x ）为R 上的偶函数，且在（﹣∞，0）内是减函数，f （﹣2）=0则f （x ）＞0的解集为（﹣2，2）；
③若f （x ）为R 上的奇函数，则y=f （x ）﹣f （|x|）也是R 上的奇函数；
④t 为常数，若对任意的x 都有f （x ﹣t ）=f （x+t ），则f （x ）的图象关于x=t 对称． 其中所有正确的结论序号为 ．
参考答案：
①
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】由单调性的定义，即可判断①；由偶函数的单调性可得f （x ）在[0，+∞）上递增，f （x ）＞0即为f （|x|）＞f （2），即有|x|＞2，计算即可判断②；由奇偶性的定义，即可判断③；由周期
函数的定义，可得f （x ）为周期函数，并非对称函数，若f （x ）满足f （t+x ）=f （t ﹣x ），则f （x ）关于直线x=t 对称，即可判断④．
【解答】解：对于①，若对于任意x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，都有
＜0，
即当x 1＜x 2时，f （x 1）＞f （x 2），则f （x ）为R 上的减函数，则①对；
对于②，若f （x ）为R 上的偶函数，且在（﹣∞，0]内是减函数，则f （x ）在[0，+∞）上递增，
f （2）=f （﹣2）=0，则f （x ）＞0即为f （|x|）＞f （2），即有|x|＞2，解得x ＞2或x ＜﹣2，则②错；
对于③，若f （x ）为R 上的奇函数，则f （﹣x ）=﹣f （x ），f （﹣x ）﹣f （|﹣x|）=﹣f （x ）﹣f （|x|），
即有y=f （x ）﹣f （|x|）不是奇函数，则③不对；
对于④，若对任意的x 都有f （x ﹣t ）=f （x+t ），即有f （x ）=f （x+2t ），
即f （x ）为周期函数，并非对称函数，若f （x ）满足f （t+x ）=f （t ﹣x ）， 则f （x ）关于直线x=t 对称，则④错． 故答案为：①．
13. 已知函数，给出下列四个结论：
①若，则； ②的最小正周期是；
③在区间上是增函数； ④的图象关于直线对
称．
其中正确的结论是 . 参考答案： ③④ 略
14. 在
中,已知
,则
参考答案：
【知识点】正余弦定理;向量的数量积的运算.C8 F3 【答案解析】 解析：
,
.
【思路点拨】先利用向量的数量积的运算，把化简，找到三边的关
系，再结合正余弦定理即可.
15. 双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线上一点，的中点在轴上，线段
的长为
，则双曲线的实轴长为 .
参考答案：
6 16. 已知
（4，﹣1），
（2，t 2﹣1），若
5，则t ＝_________.
参考答案：
±2 【分析】
结合已知，直接利用向量数量积的坐标表示代入即可求解t ．
【详解】∵（4，﹣1），
（2，t 2﹣1），
∴?
4×2﹣（t 2﹣1）＝5，
t 2＝4， 则t ＝±2． 故答案为：±2．
【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示的简单应用是，属于基础试题．
17. 已知，则 ．
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 1：所围成的封
闭图形的面积为
，曲线C 1上的点到原点O 的最短距离为
．以曲线C 1与坐标轴的交点为顶点
的椭圆记为C 2．
（1）求椭圆C 2的标准方程；
（2）设AB 是过椭圆C 2中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上的点（与O 不 重合）．
①若MO ＝2OA ，当点A 在椭圆C 2上运动时，求点M 的轨迹方程；
②若M 是l 与椭圆C 2的交点，求△AMB 的面积的最小值．
参考答案：
（1）由题意得
又
，解得
，
．
因此所求椭圆的标准方程为
． ………………………… 4分
（2）①设，，则由题设知：，．
即解得
………………………8分
因为点在椭圆C2上，所以，
即，亦即．
所以点M的轨迹方程为
．………………………10分②（方法1）设，则，
因为点A在椭圆C2上，所以，即（i）
又（ii）
（i）+（ii）得
，………………………13分
所以.
当且仅当（即）时，
. ………………………16分
（方法2）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y＝kx(k≠0)．
解方程组得，，
所以，.又解得，，所以．…………… 12分（解法1）由于
，
当且仅当时等号成立，即k＝±1时等号成立，
此时△AMB面积的最小值是S△AMB＝
．…………… 15分
当k＝0，S△AMB；
当k不存在时，S△AMB．
综上所述，△AMB面积的最小值为
．…………… 16分（解法2）因为，
又，于是，
当且仅当时等号成立，即k＝±1时等号成立．（后同方法1）
19. （本小题满分12分）已知函数，其中，．(Ⅰ)若函数的最小值为，试判断函数的零点个数，并说明理由；
(Ⅱ)若函数极小值大于零，求的取值范围．
参考答案：
（I），1分
当时，有最小值为，
所以，即，2分
因为，所以，3分
所以，
所以在上是减函数，在，上是增函数，4分
而，，5分
故函数的零点个数有3个；6分
(Ⅱ) ，令，得，7分
函数存在极值，，8分
由及（I），只需考虑的情况．
当变化时，的符号及的变化情况如下表：
因此，函数在处取得极小值，10
分
要使，必有可得，11分
所以的取值范围是．12分
20. 如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．
（1）若BE=3EC，求证：DE∥平面A1MC1；
（2）若AA1=l，求三棱锥A﹣MA1C1的体积．参考答案：
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）取BC中点为N，连结MN，C1N，则MN∥AC∥A1C1，从而DE∥NC1．由此能证明DE∥平面A1MC1．
（2）三棱锥A﹣MA1C1的体积．由此能求出结果．
【解答】证明：（1）如图1，取BC中点为N，连结MN，C1N，
∵M是AB中点，∴MN∥AC∥A1C1，
∴M，N，C1，A1共面．
∵BE=3EC，∴E是NC的中点．
又D是CC1的中点，∴DE∥NC1．
∵DE?平面MNC1A1，NC1?平面MNC1A1，
∴DE∥平面A1MC1．
解：（2）如图2，当AA1=1时，
则AM=1，A1M=，A1C1=．
∴三棱锥A﹣MA1C1的体积：
．
0＋
21. （本小题满分12分）
如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形所在圆的圆心，∠ BOA=，点C是圆弧AB上一点，广场管理部门欲沿圆弧AC和线段CD铺设一条观光小路，并且CD∥OA，若OA =120米，∠AOC=a.
(I)用a表示CD的长度；
(Ⅱ)求观光小路的圆弧AC和线段CD长度之和的最大值．
参考答案：
22.
（10分）已知△ABC中，AB=4,AC=2,.
（1）求△ABC外接圆面积.
（2）求cos(2B+)的值.
参考答案：
解析：依题意，，
所以或；………………………………………………………………..（1分）（1）当时，BC=2,△ABC是直角三角形，其外接圆半径为2，
面积为；…………………………………………………………………….（3分）当时，由余弦定理得，
BC=2,△ABC外接圆半径为R=，
面积为;……………………………………………………………………………….(5分)（2）由（1）知或，
当时, △ABC是直角三角形，∴, cos(2B+)=cos;………..7分当时,由正弦定理得，,
cos(2B+)=cos2Bcos-sin2Bsin
=(1-2sin2B)cos-2sinBcosBsin=(10分)。