湖南省怀化市大桥江中学2019-2020学年高一数学文期末试卷含解析

湖南省怀化市大桥江中学2019-2020学年高一数学文期
末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 以N（3,-5）为圆心，并且与直线相切的圆的方程为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
略
2. 利用斜二测画法画平面内一个三角形的直观图得到的图形还是一个三角形，那么直观图三角形的面积与原来三角形面积的比是（）
A． B． C． D
参考答案：
B
略
3. 已知，F（﹣2）=10，则F（2）的值为（）A．-22 B．10 C．-
10 D．22
参考答案：
A
4. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（）
(A)与 (B)与
(C)与 (D) 与（且
）
参考答案：
D
5. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
试题分析：从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为，甲被选中
包含的基本事件的个数，所以甲被选中的概率，故选B．
考点：古典概型及其概率的计算．
6. 下列大小关系正确的是（）
A．0.43＜30.4＜log40.3 B．0.43＜log40.3＜30.4
C．log40.3＜0.43＜30.4 D．log40.3＜30.4＜0.43
参考答案：
C
【考点】指数函数单调性的应用．
【专题】常规题型．
【分析】结合函数y=0.4x，y=3x，y=log4x的单调性判断各函数值与0和1的大小，从而比较大小．
【解答】解：∵0＜0.43＜0.40=1，30.4＞30=1，log40.3＜log0.41=0
∴log40.3＜0.43＜30.4
故选C
【点评】本题是指数函数与对数函数的单调性的简单应用，在比较指数（对数）式的大小时，若是同底的，一般直接借助于指数（对数）函数的单调性，若不同底数，也不同指（真）数，一般与1（0）比较大小．
7. （4分）已知定义在实数集R上的函数f（x）满足：①对任意实数都有f（x+2）=f
（x）；②当x∈时，f（x）=cos x．若关于x方程f（x）=a在区间上恰有三个不同的实数解x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围为（）
A．（2，3）B．（3，4）C．（4，5）D．（5，6）
参考答案：
C
考点：根的存在性及根的个数判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据函数的周期性，作出函数f（x）的图象，利用函数的对称性以及数形结合即可得到结论．
解答：由f（x+2）=f（x）得函数的周期为2；
当x∈时，f（x）=cos x．
作出函数f（x）在区间上的图象如图，
∵关于x方程f（x）=a在区间上恰有三个不同的实数解x1，x2，x3，
∴不妨设x1＜x2＜x3，
则满足0＜x1＜1，x2，x3，关于x=2对称，即x2+x3=4，
则x1+x2+x3=4+x1，
∵0＜x1＜1，∴4＜4+x1＜5，
即x1+x2+x3的取值范围为（4，5），
故选：C
点评：本题主要考查函数与方程的应用，利用函数的周期性和对称性，利用数形结合是解决本题的关键．
8. 已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则（）
A．有最大值，为8 B．是定值6
C．有最小值，为2 D．与P点的位置有关
参考答案：
B
9. 已知向量，，若，则k等于（）
A. 5
B. 3
C. 2
D. -3
参考答案：
D
【分析】
先根据向量的加减运算求出的坐标，然后根据求出k的值。

【详解】
故选D.
【点睛】本题考查向量的数乘和加减运算，向量垂直的坐标运算，是基础的计算题。

10. 函数y=x在[－1, 1]上是（）
A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （5分）下面给出五个命题：
①已知平面α∥平面β，AB，CD是夹在α，β间的线段，若AB∥CD，则AB=CD；
②a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c一定是异面直线；
③三棱锥的四个面可以都是直角三角形．
④平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ?α；
⑤三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直；
其中正确的命题编号是（写出所有正确命题的编号）
参考答案：
①③④⑤
考点：命题的真假判断与应用．
专题：作图题；空间位置关系与距离．
分析：利用空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，对①②③④⑤五个选项逐一判断即可．
解答：①∵AB∥CD，
∴过AB与CD作平面γ，使得γ与α与β各有一条交线BC与AD，则四边形ABCD为平行四边形，故AB=CD，①正确；
②a，b是异面直线，b，c是异面直线，如图，
显然a，c相交，不是异面直线，故②错误；
③三棱锥的四个面可以都是直角三角形，如图：
PA⊥底面ABC，BC⊥AB，则BC⊥平面PAB，于是BC⊥PB，从而该三棱锥的四个面都是直角三角形，故③正确；
④平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，
由面面平行的性质得，PQα，故④正确；
对于⑤，三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直，正确，下面进行证明：
设三棱锥P﹣ABC中，PB⊥AC，PC⊥AB，
求证：PA⊥BC
证明：作PH⊥平面ABC，垂足H，分别连结AH、BH、CH，与AB、BC、AC分别交于F、D、E 点，
CH是PC在平面ABC的射影，且PC⊥AB，根据三垂线定理，CH（CF）⊥AB，
同理可得，BH（BE）⊥AC，
H是两条高线的交点，故H是三角形ABC的垂心，
故AD⊥BC，
AD是PA在平面ABC的射影，
∴PA⊥BC．
综上所述，①③④⑤正确．
故答案为：①③④⑤．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间直线间的位置关系、线面垂直的判定与性质、面面平行的性质及三垂线定理的应用，考查作图与推理分析的能力，属于中档题．
12. 设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S5=5，S9=27，则S7= ．
参考答案：
14
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，S5=5，S9=27，
∴，
解得．
∴S7==﹣7+21=14．
故答案为：14．
13. 方程解的个数为__________．
参考答案：
2
略
14. 在中，所对的边分别是，已知，则的形状是．
参考答案：
直角三角形
略
15. 已知点，，向量，若，则实数的值
为．
参考答案：
16. 设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和,且长为的棱与长为的棱异面,则的取值范围是 .
参考答案：
17. 如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点，则图中直角三角形有▲个.（要求：只需填直角三角形的个数，不需要具体指出三角形名称）
参考答案：
4个
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f（x）=x2+ax+3﹣a，a∈R．
（1）求a的取值范围，使y=f（x）在闭区间[﹣1，3]上是单调函数；
（2）当0≤x≤2时，函数y=f（x）的最大值是关于a的函数M（a），求M（a）．
参考答案：
【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明．
【专题】计算题；证明题；分类讨论；函数的性质及应用．
【分析】（1）函数f（x）=x2+ax+3﹣a图象的对称轴为，结合二次函数的性质可得或，从而解得．
（2）由二次函数的性质知，讨论0，2与对称轴的距离，从而确定最大值即可．【解答】解：（1）函数f（x）=x2+ax+3﹣a图象的对称轴为，
∵f（x）在闭区间[﹣1，3]上是单调函数，
∴或，
∴a≤﹣6或a≥2．
（2）当，即a≥﹣2时，
由二次函数的性质可得，
M（a）=f（2）=7+a，
当﹣＞1，即a＜﹣2时，
M（a）=f（0）=3﹣a，
故M（a）=．
【点评】本题考查了二次函数的图象及性质应用，同时考查了分类讨论的思想应用．19. 已知函数f（x）=ln．
（1）求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）对于x∈[2，6]，f（x）＞ln恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】（1）对数函数的指数大于0，从而求解定义域．根据函数的奇偶性进行判断即可．
（2）利用对数函数的性质化简不等式，转化为二次函数的问题求解m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=ln，
∴＞0，
解得：x＞1或x＜﹣1，
函数f（x）的定义域为{x|x＞1或x＜﹣1}．
f（x）=ln，
那么：f（﹣x）=ln=ln（）=ln=﹣ln=﹣f（x）
故函数f（x）是奇函数；
（2）由题意：x∈[2，6]，
∴（x﹣1）（7﹣x）＞0，
∵＞0，可得：m＞0．
即：ln＞ln恒成立，
整理：ln﹣ln＞0，
化简：ln＞0，
可得：＞1，
（x+1）（7﹣x）﹣m＞0，即：﹣x2+6x+7＞m，（x∈[2，6]）恒成立，只需m小于﹣x2+6x+7的最小值．
令：y=﹣x2+6x+7=﹣（x﹣3）2+16
开口向下，x∈[2，6]，
当x=6时，y取得最小值，即，
所以：实数m的取值范围（0，7）．
20. 某企业上半年产品产量与单位成本资料如表：
且已知产量x与成本y具有线性相关关系（a，b用小数表示，结果精确到0.01）．
（1）求出y关于x的线性回归方程（给出数据x i y i=1481）；
（2）指出产量每增加1000件时，单位成本平均变动多少？
（3）假定产量为6000件时，单位成本为多少元？
参考答案：
【考点】线性回归方程．
【专题】函数思想；综合法；概率与统计．
【分析】（1）利用回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；
（2）根据回归方程中的b回答；
（2）把x=6代入回归方程求出成本的估计值．
【解答】解：（1）==3.5， ==71．
=22+32+42+32+42+52=79， =1481，
∴b==≈﹣1.82．
a==71+1.82×3.5=77.37．
∴y关于x的线性回归方程是=﹣1.82x+77.37．
（2）∵b=﹣1.82＜0，产量x的单位为千件，∴产量每增加1000件时，单位成本平均减少1.82元．
（3）当x=6时， =﹣1.82×6+77.37=66.45．
∴当产量为6000件时，单位成本大约为66.45元．
【点评】本题考查了线性回归方程的解法，线性回归方程的含义，利用回归方程进行数值估计，属于基础题．
21. 已知函数的部分图像如图所示.
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式及f(x)的单调递增区间；
（Ⅱ）把函数y= f(x)图像上点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移
个单位，得到函数y= g(x)的图象，求关于x的方程在
时所有的实数根之和.
参考答案：
（Ⅰ）由题设图象知，周期，. ……1分
∵点在函数图象上，即
又∵，∴，从而. …………2分
又∵点在函数图象上，∴. …………3分
故函数的解析式为.------4分
令，
递增区间------6分
（Ⅱ）依题意，得∵的周期，
∴在内有2个周期. ------ 7分
令，所以，
即函数的对称轴为.
又，则------ 8分
且，所以在内有4个实根
不妨从小到大依次设为，则，.------ 10分
∴关于的方程在时所有的实数根之和为
. ------12分
22. （12分）已知函数（为常数），函数
定义为：对每一个给定的实数，
（1）求证：当满足条件时，对于,；
（2）设是两个实数，满足，且，若，求函数在区间上的单调递增区间的长度之和.（闭区间的长度定义为）
参考答案：
（1）由的定义可知，（对所有实数）等价于
（对所有实数）这又等价于，即
对所有实数均成立. （*）Ks5u
由于的最大值为，
故（*）等价于，即，所以当时，
（2）分两种情形讨论
（i）当时，由（1）知（对所有实数）
则由及易知，
再由的单调性可知，
函数在区间上的单调增区间的长度
为（参见示意图1）
（ii）时，不妨设，则，于是
当时，有，从而；
当时，有
从而；
当时，，及，由方程
解得图象交点的横坐标为
⑴
显然，
这表明在与之间。

由⑴易知
综上可知，在区间上，（参见示意图2）
故由函数及的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为，由于，即，得
⑵
故由⑴、⑵得
综合（i）（ii）可知，在区间上的单调增区间的长度和为。