GMM估计讲义 广义矩估计

GMM估计讲义广义矩估计
GMM估计讲义
矩条件
一个简单的线性回归模型，
yx,，,, ， 1.1 tT,1,,ttt
由残差的均值等于零可得，
Eyx(,,)()0,,E, 1.2 tttt
方程1.2是理论上的矩条件，对于数据，它的粗略样本矩条件为:
T1(yx,,,)0 1.3 ,ttT,1t
直观上，当真实值时，由于理论矩为零，样本矩应该越接近于零越好。

求解1.3，,
我们得到的矩估计量， ,
T1y,tTt,1ˆ,, 1.4 1T1x,tTt,1
x但矩条件并不唯一，在1.2两边同时乘以，由残差与变量无关的假设，我们可以得到t另一个矩条件，
Exyxx(,,)()0,,E, 1.5 tttttt
相似地，我们得到样本的矩条件，
T1(yxx,,,)0 1.6 ,tttT,1t
这样，我们可以获得,的另一个矩条件估计量，
T1yx,ttTt,1ˆ,, 1.7 1T12x,tTt,1
其与OLS估计量一致。

为了满足上述两个矩条件，我们可以使用两个矩条件的加权最小估计，即
22Jgg()()(),,,,， 1.8 12
TT11g,,,(yxx,g,,,(yx,())，()) ,,2ttt1ttTT,,11tt
wwww方程1.8说明两个矩条件是同等重要的。

一般的，我们使用权矩阵，，，，11122122
最小化目标函数，
22,JwgwggwggwggWg()()()()()()(),,,,,,,,，，，, 1.9 11112122112222 为了保证非负，在需要是正定矩阵。

Wg
EZ()0,,Z 此外还有其他的矩条件，如，是工具变量向量。

tttt
一些问题:
1(什么矩条件可以使用,Gallant and Tauchen (1996, ET). 2( 什么工具变量可以使用，Bates and White (1993, ET) and Wooldrige (1994, Handbook of Econometrics, IV)
3(怎么选择加权矩阵, W
一般程序
离散时间经济模型的动态规划行为需要运用Euler 方程:
Exbh(,)0,， 2.1 m，1ttn，0
x:向量; k，1tn，
b:估计的参数向量， l，10
klmRRR，,:，已知函数。

h
如考虑消费与投资的选择问题:
,jmax()VEUC,, 2.2 ，，,tttj，0j,{,,}CCtt，1
stCPSSPd..()，,， tttttt,1
PSd是单个资产的价格，是从时间t到t+1所持有的份额，是在时间t得到的红利。

假设ttt
1,,UCC()/(1),,,代表性消费者具有CRRA效用:，那么一阶条件为
,,，，,,CPd，ttt111，，， ,, 2.3 ,1E,,,tCP,,tt,,，，
Pd，tt，，11,b(,),,,1R,,，为净回报，则2.3可以写为: 0t，1Pt
Exbh(,)0,， 2.4 11，ttn，0
,,，，,,Ct1，,xCCR,(,,)， h(,)(1)1,,,xbR,，,tnttt，，，11,,tnt01，，C,,t,,，，其他矩条件可以通过相乘变量的滞后得到。

bz为了通过GMM估计，让是维的工具变量向量，表示经济变量信息，且是可观q0t
测的，对于变量我们有个正交条件: rmq,
Exzb[f(,,)]0,， 2.5 r，1tnt，0
kqlrf(,,):,,,，，,RRRR函数，定义为: [f(,,)](,)xzbhxbz,,， r，
1tnttnt，，0
给定任何，向量函数的样本均值为， bf
T1gbxzb,()f(,,) ， r，1,，0TtntT,1t
bgb()b2.5式暗含着越接近于，越接近于零。

的GMM估计量就是最小化立方问b0TT
题:
,， 2.6 min()()()JbgbWgb,11，TTTTb
Wgb()rr，是正定矩阵使得接近于零。

TT
WI,事实上，上述的估计程序有两步，也就是两阶段估计法。

首先，选择，通过求Tr
ˆ,b解，获得初始的一致估计量，。

第二步，依据第一步估
min()()()JbgbIgb,l，1TTrTb
,1ˆˆ计，最优加权矩阵可以通过估计得到， WS,TT
cT()jˆ,SjT,,，,，,,(,)(),(,)1jT,,， ,Tjj0cT()1，,j1
Tˆˆ,,,f(,)f(,)xxbbrr，，， ,jtntnj，，,tj,，1
1/3cTT()/0,cT(),，,cT()是正整数，当T趋近于无穷大，，，(see Newey and West
b(1987), Gallant (1987,p. 446) and Andrews (1991, EM))。

最优的GMM估计量可求解，
ˆ,JbgbWgb,min()()() TTTTb
,1ˆb是渐进正态的，协方差矩阵为,， DDW()T
TT11,,fhˆD,， (,)(,)xbxbz,,rl，,,，，tntntTbTb,,11,,tt
r我们有个参数，个正交条件，通常大于，所以我们有个不独立条件，
()rl,lrmq,l
2,且在估计中不能设置为零。

为了检验非过渡性约束，我们有Hasen’s 检验检验:
2ˆ, TJbTgbWgb,,()()()TTTTrl,
CAPM模型
r检验投资组合的效率: p
rr,，，,,,，iN,1,,，tT,1,, itiiptit
E()0,,矩条件是，; iN,1,,it
Er()0,, ，iN,1,, itpt
为了使用GMM，让
T1g,,,f()() ,TtT,1t
f(),向量函数定义为， 2Nt
,,,1t,,r,1tpt,,
,,,f() ,t,,
Nt,,,
,,rNtpt,,,
,,,,,,(,,,)是个参数向量。

2N11NN
H:,,0iN,1,,有两种方法可以检验: ，。

其一是首先估计，然后从分布,0i
2,,,,,(,),H构造检验。

二是对模型使用假设，通过GMM检验来检验过渡性约束。

1N0
rS对于第一种检验，假设在过去信息的条件下，一阶条件有效，是一致估计量，且ptT
是模型残差的协方差矩阵，
T1,,Sxx,,,,() ,TttttT,1t
T1,DIxx,,() ,TNttT,1t
,1,12,,,，，然后构造 ,,,,,TRDSDR()TTTN1，，
ˆˆRI,，(10),,,R其中且满足。

GMM testing CAPM,see MacKinlay and N Richardson (JF, 1991) and Harvey and Zhou (JEF, 1993)。