2020年全国高考数学·第21讲 平面向量的数量积
2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍专题6.3 平面向量的数量积及其应用(解析版)
第六篇 平面向量与复数 专题6.03 平面向量的数量积及其应用【考试要求】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 【知识梳理】1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积(或内积)a ·b ＝|a ||b |cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角. (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.(3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2. 3.平面向量数量积的运算律(1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律). (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).【微点提醒】1.两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b>0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b<0且a ，b 不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( ) (2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (4)若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 【解析】 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝|a ||c |·cos 〈a ，c 〉，所以向量b 和c 不一定相等. 【教材衍化】2.(必修4P108A10改编)设a ，b 是非零向量.“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】 设a 与b 的夹角为θ.因为a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝|a |·|b |，所以cos θ＝1，即a 与b 的夹角为0°，故a ∥b .当a ∥b 时，a 与b 的夹角为0°或180°， 所以a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝±|a |·|b |，所以“a ·b ＝|a |·|b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件.3.(必修4P108A2改编)在圆O 中，长度为2的弦AB 不经过圆心，则AO →·AB →的值为________. 【答案】 1【解析】 设向量AO →，AB →的夹角为θ，则AO →·AB →＝|AO →||AB →|·cos θ＝|AO →|cos θ·|AB →|＝12|AB →|·|AB→|＝12×(2)2＝1. 【真题体验】4.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A.4 B.3C.2D.0【答案】 B【解析】 a ·(2a －b )＝2|a |2－a ·b ＝2×12－(－1)＝3.5.(2018·上海嘉定区调研)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1，1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( ) A.13＋6 2 B.2 5 C.30D.34【答案】 D【解析】 依题意得a 2＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2，|3a ＋b |＝（3a ＋b ）2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34.6.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 【答案】 7【解析】 由题意得a ＋b ＝(m －1，3)，因为a ＋b 与a 垂直，所以(a ＋b )·a ＝0，所以－(m －1)＋2×3＝0，解得m ＝7. 【考点聚焦】考点一 平面向量数量积的运算【例1】 (1)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4，1)共线，则m ·n ＝( ) A.0B.4C.－92D.－172(2)(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A.－15B.－9C.－6D.0【答案】 (1)D (2)C【解析】 (1)由题意得2k －1－4k ＝0，解得k ＝－12，即m ＝⎝⎛⎭⎫－2，－12， 所以m ·n ＝－2×4＋⎝⎛⎭⎫－12×1＝－172. (2)连接OA .在△ABC 中，BC →＝AC →－AB →＝3AN →－3AM →＝3(ON →－OA →)－3(OM →－OA →)＝3(ON →－OM →)，∴BC →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6.【规律方法】 1.数量积公式a ·b ＝|a ||b |cos θ在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解，较为简捷、明了.2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.【训练1】 (1)在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC ＝π2，D 是AC 的中点，E 在BC 上，且AE ⊥BD ，则AE →·BC →等于( ) A.16B.12C.8D.－4(2)(2019·皖南八校三模)已知|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，则(a ＋2b )·a ＝________. 【答案】 (1)A (2)1＋ 2【解析】 (1)以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，A (4，0)，B (0，0)，C (0，6)，D (2，3).设E (0，t )，BD →·AE →＝(2，3)·(－4，t )＝－8＋3t ＝0，∴t＝83，即E ⎝⎛⎭⎫0，83， AE →·BC →＝⎝⎛⎭⎫－4，83·(0，6)＝16. (2)因为|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°， 所以(a ＋2b )·a ＝a 2＋2a ·b ＝|a |2＋2|a |·|b |cos 45°＝1＋ 2. 考点二 平面向量数量积的应用 角度1 平面向量的垂直【例2－1】 (1)(2018·北京卷)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m ).若a ⊥(m a －b )，则m ＝________. (2)(2019·宜昌二模)已知△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( ) A.2215B.103C.6D.127【答案】 (1)－1 (2)A【解析】 (1)a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )，∴a 2＝1，a ·b ＝－1， 由a ⊥(m a －b )得a ·(m a －b )＝0，即m a 2－a ·b ＝0. ∴m －(－1)＝0，∴m ＝－1. (2)因为AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，所以有AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AB →·AC →＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0， 解得λ＝2215.【规律方法】1.当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算.2.数量积的运算a·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a·b ＝0，但不能说a ⊥b.角度2 平面向量的模【例2－2】 (1)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________. (2)(2019·杭州调研)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________. 【答案】 (1)10 (2)5【解析】 (1)由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0， 所以α·β＝12，所以(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4×12＋22＋4×12＝10，所以|2α＋β|＝10.(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A (2，0)，设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b ).所以PA →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5，3b －4y )， 所以|PA →＋3PB →|＝25＋（3b －4y ）2(0≤y ≤b )，所以当y ＝34b 时，|PA →＋3PB →|取得最小值5.【规律方法】1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.角度3 平面向量的夹角【例2－3】 (1)(2019·衡水中学调研)已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为________.(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.【答案】 (1)π3(2)⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3 【解析】 (1)将|a ＋b |＝|a －b |两边平方，得a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，∴a ·b ＝0. 将|a ＋b |＝233|a |两边平方，得a 2＋b 2＋2a ·b ＝43a 2，∴b 2＝13a 2.设a ＋b 与a －b 的夹角为θ，∴cos θ＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b |·|a －b |＝a 2－b 2233|a |·233|a |＝23a 243a 2＝12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c <0，即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3. 又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，此时2a －3b 与c 反向，不合题意.综上，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3. 【规律方法】1.研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0或π；注意向量夹角的取值范围是[0，π]；若题目给出向量的坐标表示，可直接套用公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求解.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【训练2】 (1)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________.(2)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.(3)(2017·山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________. 【答案】 (1)2 (2)23 (3)33【解析】 (1)由a ⊥b ，得a ·b ＝0， 又a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )， ∴－6＋3m ＝0，则m ＝2. (2)法一 |a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝2 3.法二 (数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3. (3)由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝（3e 1－e 2）2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2.同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝（3e 1－e 2）·（e 1＋λe 2）|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋（3λ－1）e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12， 解得λ＝33. 考点三 平面向量与三角函数【例3】 (2019·潍坊摸底)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影. 【答案】见解析【解析】(1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1，c ＝－7舍去，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.【规律方法】 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路：(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.【训练3】 (2019·石家庄模拟)已知A ，B ，C 分别为△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin 2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长. 【答案】见解析【解析】(1)由已知得m ·n ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ， 所以sin 2C ＝sin C ，所以cos C ＝12.又0<C <π，所以C ＝π3.(2)由已知及正弦定理得2c ＝a ＋b . 因为CA →·(AB →－AC →)＝CA →·CB →＝18， 所以ab cos C ＝18，所以ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab 所以c 2＝4c 2－3×36， 所以c 2＝36，所以c ＝6. 【反思与感悟】1.计算向量数量积的三种方法定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2.求向量模的常用方法利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. 【易错防范】数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量.数量积运算不满足结合律，(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c ). 【核心素养提升】【数学运算、数学建模】——平面向量与三角形的“四心”1.数学运算是指在明晰运算的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.通过学习平面向量与三角形的“四心”，学生能进一步发展数学运算能力，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.2.数学建模要求在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，能够在关联的情境中，经历数学建模的过程，理解数学建模的意义.本系列通过学习平面向量与三角形的“四心”模型，能够培养学生用模型的思想解决相关问题.设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0. (3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0. 类型1 平面向量与三角形的“重心”【例1】 已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA→＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( ) A.△ABC 的内心 B.△ABC 的垂心 C.△ABC 的重心D.AB 边的中点 【答案】 C【解析】 取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →， ∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]，∴OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →]＝2（1－λ）3OD →＋1＋2λ3OC →，而2（1－λ）3＋1＋2λ3＝1，∴P ，C ，D 三点共线，∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心. 类型2 平面向量与三角形的“内心”问题【例2】 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOB →＋yOC →，其中x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063B.1463C.4 3D.6 2【答案】 B【解析】 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 的面积的2倍.在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则 12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263， 所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763.故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463.类型3 平面向量与三角形的“垂心”问题【例3】 已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP→＝OA →＋λ⎝⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B + AC →|AC →|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.重心 B.垂心C.外心D.内心【答案】 B【解析】 因为OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B + AC →|AC →|cos C ， 所以AP →＝OP →－OA →＝λ⎝⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B + AC →|AC →|cos C ， 所以BC →·AP →＝BC →·λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB→|AB →|cos B + AC →|AC →|cos C ＝λ(－|BC →|＋|BC →|)＝0，所以BC →⊥AP →，所以点P 在BC 的高线上， 即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心. 类型4 平面向量与三角形的“外心”问题【例4】 已知在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝6，AC ＝2，点O 为△ABC 的外心，若AO →＝xAB →＋yAC →，则有序实数对(x ，y )为( ) A.⎝⎛⎭⎫45，35 B.⎝⎛⎭⎫35，45 C.⎝⎛⎭⎫－45，35D.⎝⎛⎭⎫－35，45 【答案】 A【解析】 取AB 的中点M 和AC 的中点N ，连接OM ，ON ，则OM →⊥AB →，ON →⊥AC →， OM →＝AM →－AO →＝12AB →－(xAB →＋yAC →)＝⎝⎛⎭⎫12－x AB →－yAC →， ON →＝AN →－AO →＝12AC →－(xAB →＋yAC →)＝⎝⎛⎭⎫12－y AC →－xAB →. 由OM →⊥AB →，得⎝⎛⎭⎫12－x AB →2－yAC →·AB →＝0，① 由ON →⊥AC →，得⎝⎛⎭⎫12－y AC →2－xAC →·AB →＝0，② 又因为BC →2＝(AC →－AB →)2＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2，所以AC →·AB →＝AC →2＋AB →2－BC→22＝－12，③把③代入①、②得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＋y ＝0，4＋x －8y ＝0，解得x ＝45，y ＝35.故实数对(x ，y )为⎝⎛⎭⎫45，35.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.已知向量a ＝(m －1，1)，b ＝(m ，－2)，则“m ＝2”是“a ⊥b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 A【解析】 当m ＝2时，a ＝(1，1)，b ＝(2，－2)， 所以a ·b ＝(1，1)·(2，－2)＝2－2＝0， 所以a ⊥b ，充分性成立；当a ⊥b 时，a ·b ＝(m －1，1)·(m ，－2)＝m (m －1)－2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1，必要性不成立. 所以“m ＝2”是“a ⊥b ”的充分不必要条件.2.(2019·北京通州区二模)已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝1，|2a －b |＝1，则|a |＝( ) A.12B.1C. 2D.2【答案】 A【解析】 由题意得a ·b ＝|a |×1×12＝|a |2，又|2a －b |＝1，∴|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4|a |2－2|a |＋1＝1，即4|a |2－2|a |＝0，又|a |≠0， 解得|a |＝12.3.(2019·石家庄二模)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( ) A.π3B.2π3C.5π6D.π6【答案】 D【解析】 设|b |＝1，则|a ＋b |＝|a －b |＝2. 由|a ＋b |＝|a －b |，得a ·b ＝0，故以a 、b 为邻边的平行四边形是矩形，且|a |＝3， 设向量a ＋b 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ·（a ＋b ）|a |·|a ＋b |＝a 2＋a ·b |a |·|a ＋b |＝|a ||a ＋b |＝32，又0≤θ≤π，所以θ＝π6.4.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，若E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且满足BE BC ＝AF AB＝λ，则当AE →·DF →＝0时，λ的值所在的区间是( )A.⎝⎛⎭⎫18，14B.⎝⎛⎭⎫14，38 C.⎝⎛⎭⎫38，12D.⎝⎛⎭⎫12，58【答案】 B【解析】 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2， 可得〈AD →，BC →〉＝60°，所以〈AB →，AD →〉＝60°，〈AB →，BC →〉＝120°，所以AB →·AD →＝4×2×12＝4，AB →·BC →＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4，AD →·BC →＝2×2×12＝2， 又BE BC ＝AF AB＝λ，所以BE →＝λBC →，AF →＝λAB →， 则AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →， DF →＝AF →－AD →＝λAB →－AD →， 所以AE →·DF →＝(AB →＋λBC →)·(λAB →－AD →) ＝λAB →2－AB →·AD →＋λ2AB →·BC →－λAD →·BC →＝0，即2λ2－7λ＋2＝0，解得λ＝7＋334(舍去)或λ＝7－334∈⎝⎛⎭⎫14，38. 5.(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A.I 1＜I 2＜I 3B.I 1＜I 3＜I 2C.I 3＜I 1＜I 2D.I 2＜I 1＜I 3【答案】 C【解析】 如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角，根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →||CA →|·cos ∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，∴OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，∴|OA →||OB →|<|OC →||OD →|， 而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，∴OA →·OB →>OC →·OD →， 即I 1>I 3.∴I 3<I 1<I 2. 二、填空题6.(2019·杭州二模)在△ABC 中，三个顶点的坐标分别为A (3，t )，B (t ，－1)，C (－3，－1)，若△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，则t ＝________. 【答案】 3【解析】 由已知，得BA →·BC →＝0， 则(3－t ，t ＋1)·(－3－t ，0)＝0，∴(3－t )(－3－t )＝0，解得t ＝3或t ＝－3， 当t ＝－3时，点B 与点C 重合，舍去.故t ＝3.7.若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a ，b 夹角θ的余弦值为________. 【答案】 －13【解析】 |a |＝|a ＋2b |，两边平方得， |a |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝|a |2＋4|b |2＋4|a ||b |·cos θ. 又|a |＝3|b |，所以0＝4|b |2＋12|b |2cos θ，得cos θ＝－13.8.(2019·佛山二模)在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2，AB ＝1，D 为BC 的中点，E 在斜边AC 上，若AE →＝2EC →，则DE →·AC →＝________. 【答案】 13【解析】 如图，以B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (0，0)，A (1，0)，C (0，2)，所以AC →＝(－1，2).因为D 为BC 的中点，所以D (0，1)， 因为AE →＝2EC →，所以E ⎝⎛⎭⎫13，43， 所以DE →＝⎝⎛⎭⎫13，13，所以DE →·AC →＝⎝⎛⎭⎫13，13·(－1，2)＝－13＋23＝13.三、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1). (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值. 【答案】见解析【解析】(1)由题设知AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)， 则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4). 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)由题设知：OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ，5＋t ). 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得 (3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115.10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )(0≤θ≤π2).(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →.【答案】见解析【解析】(1)由题设知AB →＝(n －8，t )， ∵AB →⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0. 又∵5|OA →|＝|AB →|，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8. 当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8， ∴OB →＝(24，8)或OB →＝(－8，－8). (2)由题设知AC →＝(k sin θ－8，t )， ∵AC →与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16， t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ ＝－2k (sin θ－4k )2＋32k .∵k >4，∴0<4k<1，∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k .由32k ＝4，得k ＝8， 此时θ＝π6，OC →＝(4，8)，∴OA →·OC →＝(8，0)·(4，8)＝32. 【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，点P 满足CP ＝2，则PA →·PB →的最大值为( ) A.9 B.16C.18D.25【答案】 B【解析】 ∵∠C ＝90°，AB ＝6，∴CA →·CB →＝0，∴|CA →＋CB →|＝|CA →－CB →|＝|BA →|＝6，∴PA →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝PC →2＋PC →·(CA →＋CB →)＋CA →·CB → ＝PC →·(CA →＋CB →)＋4，∴当PC →与CA →＋CB →方向相同时，PC →·(CA →＋CB →)取得最大值2×6＝12， ∴PA →·PB →的最大值为16.12.(2018·浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( ) A.3－1 B.3＋1 C.2D.2－ 3【答案】 A【解析】 设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min＝|CA →|－|CB →|＝3－1.13.(2019·安徽师大附中二模)在△ABC 中，AB ＝2AC ＝6，BA →·BC →＝BA →2，点P 是△ABC 所在平面内一点，则当PA →2＋PB →2＋PC →2取得最小值时，AP →·BC →＝________. 【答案】 －9【解析】 ∵BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos B ＝|BA →|2， ∴|BC →|·cos B ＝|BA →|＝6， ∴CA →⊥AB →，即A ＝π2，以A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则B (6，0)，C (0，3)，设P (x ，y )，则PA →2＋PB →2＋PC →2＝x 2＋y 2＋(x －6)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＝3x 2－12x ＋3y 2－6y ＋45＝3[(x －2)2＋(y －1)2＋10]∴当x ＝2，y ＝1时，PA →2＋PB →2＋PC →2取得最小值，此时AP →·BC →＝(2，1)·(－6，3)＝－9.14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →.(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值.【答案】见解析【解析】(1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )， 即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0，所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝6，即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2).故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3（2＋1）2， 因此△ABC 的面积的最大值为32＋32. 【新高考创新预测】15.(新定义题型)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α⊗β＝|α||β|cos θ，其中θ为α和β的夹角.若两个非零的平面向量a 和b 满足：①|a |≥|b |；②a 和b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4；③a ⊗b 和b ⊗a 的值都在集合{x |x ＝n 2，n ∈N }中，则a ⊗b 的值为________. 【答案】 32【解析】 a ⊗b ＝|a ||b |cos θ＝n 2，b ⊗a ＝|b ||a |cos θ＝m 2，m ，n ∈N .由a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，知cos 2θ＝mn 4∈⎝⎛⎭⎫12，1，故mn ＝3，m ，n ∈N .因为|a |≥|b |，所以0<b ⊗a ＝m 2<1，所以m ＝1，n ＝3，所以a ⊗b ＝32.。
高考数学一轮复习讲义平面向量数量积
变式训练 1
(1)若向量 a 的方向是正南方向，向量 b 的方向是正东方向，且|a|
＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝______.
(1)如图所示，由已知，作O→A＝a， O→B＝b，O→A、O→B的方向分别是正南、正东方 向，且|a|＝|b|＝1，则O→C＝－3a 的方向是正北 方向，|O→C|＝|－3a|＝3|a|＝3，O→D＝O→A＋O→B＝ a＋b 的方向是东南方向，|a＋b|＝ 2(四边形 OADB 是正方形)， 且O→C与O→D的夹角是∠COD＝135°，所以(－3a)·(a＋b)＝3× 2 ×cos 135°＝3 2×－ 22＝－3.
探究提高
方法一的难点是如何利用条件建立|c|的表达式，突破这一难点的 方法就是结合条件利用向量的数量积将|c|用|a＋b|cos θ＝ 2cos θ 来表示即可．方法二的难点是如何建立 c 坐标的关系式，要突 破这一难点就要先设向量 a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，再由 条件建立 c 的坐标的关系式x－122＋y－122＝12即可．方法三的 难点是对向量几何意义的挖掘，突破这一难点，要由条件得出向 量 c 是向量 a，b，a－c，b－c 构成的圆内接四边形的对角线．
答案 (1)－3 (2) 3
向量的夹角与向量的模
例 2 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61， (1)求 a 与 b 的夹角 θ； (2)求|a＋b|； (3)若A→B＝a，B→C＝b，求△ABC 的面积．
运用数量积的定义和|a|＝ a·a. 解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6. ∴cos θ＝|aa|·|bb|＝4－×63＝－12.
2020年高考数学(理)总复习：平面向量(解析版)
2020年高考数学（理）总复习：平面向量题型一 平面向量的概念及线性运算 【题型要点】对于利用向量的线性运算、共线向量定理和平面向量基本定理解决“用已知向量(基向量)来表示一些未知向量”的问题．解决的关键是：①结合图形，合理运用平行四边形法则或三角形法则进行运算；②善于用待定系数法【例1】在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2【解析】 如图所示，建立平面直角坐标系：设A (0,1)，B (0,0)，C (2,0)，D (2,1)，P (x ，y )，根据等面积公式可得圆的半径r ＝25，即圆C 的方程是(x －2)2＋y 2＝45，AP →＝(x ，y －1)，AB →＝(0，－1)，AD →＝(2,0)，若满足AP →＝λAB →＋μAD →，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2μy －1＝－λ，μ＝x 2，λ＝1－y ，所以λ＋μ＝x 2－y ＋1，设z ＝x 2－y ＋1，即x 2－y ＋1－z ＝0，点P (x ，y )在圆(x －2)2＋y 2＝45上，所以圆心到直线的距离d ≤r ，即|2－z |14＋1≤25，解得1≤z ≤3，所以z 的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.【答案】 A【例2】．点O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋OB →＋4OC →＝0，设△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1、S 2，则S 1S 2＝( )A.18B.16C.14D.12【解析】 延长OC 到D ，使OD ＝4OC ，延长CO 交AB 于E .∵O 为△ABC 内一点，且满足OA →＋OB →＋4OC →＝0，∴OD →＋OA →＋OB →＝0，∴O 为△DAB 重心，E 为AB 中点，∴OD ∶OE ＝2∶1，∴OC ∶OE＝1∶2，∴CE ∶OE ＝3∶2，∴S △AEC ＝S △BEC ，S △BOE ＝2S △BOC .∵△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1、S 2，∴S 1S 2＝16.故选B.【答案】 B ．题组训练一 平面向量的概念及线性运算1．在梯形ABCD 中，AB →＝3DC →，则BC →等于( ) A ．－13AB →＋23AD →B ．－23AB →＋43AD →C.23AB →－AD → D ．－23AB →＋AD →【解析】 在线段AB 上取点E ，使BE ＝DC ，连接DE ，则四边形BCDE 为平行四边形，则BC →＝ED →＝AD →－AE →＝AD →－23AB →；故选D.【答案】 D2．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足：OP →＝13⎪⎭⎫ ⎝⎛++C O B O A O22121，则P 一定为△ABC 的( )A ．重心B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．AB 边中线的中点D ．AB 边的中点【解析】 如图所示：设AB 的中点是E ，∵O 是三角形ABC 的重心，OP →＝13⎪⎭⎫ ⎝⎛++C O B O A O 22121＝13()OE →＋2OC →，∵2EO →＝OC →， ∴OP →＝13()4EO →＋OE →＝EO →，∴P 在AB 边的中线上，是中线的三等分点，不是重心，故选B.【答案】 B3．设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2P A →，则△P AB 与△PBC 的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.34【解析】 因为CP →＝2P A →，所以|CP →||P A →|＝21，又△P AB 在边P A 上的高与△PBC 在边PC 上的高相等，所以S △P AB S △PBC ＝|P A →||CP →|＝12.【答案】 B题型二 平面向量的平行与垂直 【题型要点】(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)： ①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.(2)设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (3)利用向量平行或垂直的充要条件可建立方程或函数是求参数的取值．【例3】已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b |＝( )A．9 B．3C.109 D．310【解析】向量a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－1)，∴2a＋b＝(1，x－8)，由(2a＋b)⊥c，可得1＋8－x＝0，解得x＝9.则|b|＝(－3)2＋92＝310.故选D.【答案】 B【例4】．已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b与a＋λb平行，则λ＝________.【解析】∵a＝(3,2)，b＝(2，－1)，∴λa＋b＝(3λ＋2，2λ－1)，a＋λb＝(3＋2λ，2－λ)，∵λa＋b∥a＋λb，∴(3λ＋2)(2－λ)＝(2λ－1)(3＋2λ)，解得λ＝±1【答案】±1题组训练二平面向量的平行与垂直1．设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.【解析】由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，解得m＝－2.【答案】－22．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是()A.55 B.15C．－55D．－15【解析】∵a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，∴a－c＝(3－k,3)，∵(a－c)∥b，∴(3－k)·3＝3×1，∴k＝2，∴a·c＝3×2＋1×(－2)＝4，∴|a|＝10，|c|＝22，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·c |a |·|c |＝410·22＝55，故选A. 【答案】 A题型三 平面向量的数量积 【题型要点】(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路： ①直接利用数量积的定义； ②建立坐标系，通过坐标运算求解．(2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．【例5】在平行四边形ABCD 中，|AD →|＝3，|AB →|＝5，AE →＝23AD →，BF →＝13BC →，cos A ＝35，则|EF →|＝( )A.14 B ．2 5 C ．4 2D ．211【解析】如图，取AE 的中点G ，连接BG ∵AE →＝23AD →，BF →＝13BC →，∴AG →＝12AE →＝13AD →＝13BC →＝BF →，∴EF →＝GB →，∴|GB →|2＝|AB →－AG |2＝AB →2－2AB →·AG →＋AG →2＝52－2×5×1×35＋1＝20，∴|EF →|＝|GB →|＝25，故选B. 【答案】 B【例6】．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB →|＝2，OC →＝53OA →－23OB →.若M是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( )A ．3B ．2 3C ．2D ．－3【解析】 因为点M 是线段AB 的中点，所以OM →＝12()OA →＋OB →，|OA ＝|OB |＝|AB |＝2，所以△ABC 是等边三角形，即〈OA →，OB →〉＝60°，OA →·OB →＝2×2×cos60°＝2，OC →·OM →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-B O A O B O A O21213235＝56OA →2－13OB 2＋12OA →·OB → ＝56×22－13×22＋12×2＝3，故选A. 【答案】 A题组训练三 平面向量的数量积1．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1【解析】 以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线AD 为y 轴，D 为坐标原点建立坐标，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，所以P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y ) 所以PB →＋PC →＝(－2x ，－2y )，P A →·(PB →＋PC →)＝2x 2－2y (3－y )＝2x 2＋2223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y －32≥－32 当P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0时，所求的最小值为－32，故选B.【答案】 B2．已知向量|OA →|＝3，|OB →|＝2，OC →＝mOA →＋nOB →，若OA →与OB 的夹角为60°，且OC →⊥AB →，则实数mn的值为( )A.16B.14 C ．6D ．4【解析】 OA →·OB →＝3×2×cos60°＝3， ∵OC →＝mOA →＋nOB →，OC →⊥AB →，∴(mOA →＋nOB →)·AB →＝(mOA →＋nOB →)·(OB →－OA →)＝(m －n )OA →·OB →－mOA →2＋nOB →2＝0，∴3(m －n )－9m ＋4n ＝0，∴m n ＝16，故选A.【答案】 A题型四 数与形相辅相成求解向量问题【例7】 在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1] 【解析】 法一：设出点D 的坐标，利用向量的坐标运算公式及向量模的运算公式求解．设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，C (3,0)，得(x －3)2＋y 2＝1. 又∵OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.∴|OA →＋OB →＋OD →|的几何意义为点P (1，－3)与圆(x －3)2＋y 2＝1上点之间的距离，由|PC |＝7知，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是1＋7，最小值是7－1.故选D.法二：根据向量OA →＋OB →的平行四边形法则及减法法则的几何意义，模的几何意义求解． 如图，设M (－1，3)，则OA →＋OB →＝OM →，取N (1，－3)，∴OM →＝－ON →.由|CD →|＝1，可知点D 在以C 为圆心，半径r ＝1的圆上， ∴OA →＋OB →＋OD →＝OD →－ON →＝ND →，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝|ND →|，∴|ND →|max ＝|NC →|＋1＝7＋1，|ND →|min ＝7－1. 【答案】 D题组训练四 数与形相辅相成求解向量问题已知|b |＝1，非零向量a 满足〈a ，b －a 〉＝120°，则|a |的取值范围是________． 【解析】如图，设CA →＝b ，CB →＝a ，则b －a ＝BA →，在△ABC 中，AC ＝1，∠ABC ＝60°. 根据圆的性质：同弧所对的圆周角相等．作△ABC 的外接圆，当BC 为圆的直径时，|a |最大，此时|a |＝BC ＝1sin 60°＝233； 当B ，C 无限接近时，|a |＝BC →0.故|a |的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛332,0 【答案】 ⎥⎦⎤⎝⎛332,0 【专题训练】 一、选择题1．已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b |＝( ) A ．9 B ．3 C.109D ．310【解析】 向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，∴2a ＋b ＝(1，x －8)， 由(2a ＋b )⊥c ，可得1＋8－x ＝0，解得x ＝9.则|b |＝(－3)2＋92＝310.故选D. 【答案】 D2．已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ∵向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)， ∴a ＋b ＝(3，k ＋2)，又a ＋b 与a 共线． ∴(k ＋2)－3k ＝0，解得k ＝1，∴a ·b ＝(1,1)·(2,2)＝1×2＋1×2＝4，故选D. 【答案】 D3．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a ＋b )，则向量a 在向量a ＋2b 方向上的投影为( )A ．－1313B.1313C ．－113D.113【解析】∵a ⊥(a ＋b )，∴a ·(a ＋b )＝1＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－1，∴|a ＋2b |2＝1＋4a ·b ＋16＝13，则|a ＋2b |＝13，又a ·(a ＋2b )＝a ·(a ＋b )＋a ·b ＝－1，故向量a 在向量a ＋2b 方向上的投影为－113＝－1313.选A.【答案】 A4．已知A ，B ，C 是圆O 上的不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)【解析】 由题意可得OD →＝kOC →＝kλOA →＋kμOB →(0＜k ＜1)，又A ，D ，B 三点共线可得kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k＞1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.【答案】 B5．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD ＝4，BC ＝6，若CD →＝mBA →＋nBC →(m ，n ∈R )，则mn＝( ) A ．－3 B ．－13C.13D ．3【解析】 过点A 作AE ∥CD ，交BC 于点E ，则BE ＝2，CE ＝4，所以mBA →＋nBC →＝CD →＝EA →＝EB →＋BA →＝－26BC →＋BA →＝－13BC →＋BA →，所以m n ＝1－13＝－3.【答案】 A6．如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝( )A ．2 B.83 C.65D.85【解析】 法一 如图以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，AM →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1，BN →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21，AC →＝(1,1)．∵AC →＝λAM →＋μBN →＝λ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1＋μ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21＝⎪⎭⎫⎝⎛+-μλμλ2,2，∴⎩⎨⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解之得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.法二 以AB →，AD →作为基底，∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点，∴AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12AD →，BN →＝BC →＋CN →＝AD →－12AB →，因此AC →＝λAM →＋μBN →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-2μλAB →＋⎪⎭⎫ ⎝⎛+μλ2AD →，又AC →＝AB →＋AD →，因此⎩⎨⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得λ＝65且μ＝25.所以λ＋μ＝85【答案】 D7．如图所示，直线x ＝2与双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线交于E 1，E 2两点．记OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，任取双曲线C 上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2(a ，b ∈R )，则ab 的值为( )A.14 B ．1 C.12D.18【解析】由题意易知E 1(2,1),E 2(2，－1)，∴e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，故OP →＝a e 1＋b e 2＝(2a ＋2b ，a －b )，又点P 在双曲线上，∴(2a ＋2b )24－(a －b )2＝1，整理可得4ab ＝1，∴ab＝14. 【答案】 A8．在平面直角坐标系中，向量n ＝(2,0)，将向量n 绕点O 按逆时针方向旋转π3后得向量m ，若向量a 满足|a －m －n |＝1，则|a |的最大值是( )A ．23－1B ．23＋1C ．3D.6＋2＋1【解析】 由题意得m ＝(1，3)．设a ＝(x ，y )，则a －m －n ＝(x －3，y －3)，∴|a －m －n |2＝(x －3)2＋(y －3)2＝1，而(x ，y )表示圆心为(3，3)的圆上的点，求|a |的最大值，即求该圆上点到原点的距离的最大值，最大值为23＋1.【答案】 B9．已知锐角△ABC 的外接圆的半径为1，∠B ＝π6，则BA →·BC →的取值范围为__________．【解析】 如图，设|BA →|＝c ，|BC →|＝a ，△ABC 的外接圆的半径为1，∠B ＝π6.由正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝2，∴a ＝2sin A ，c ＝2sin C ，C ＝5π6－A ，由⎩⎨⎧0<A <π20<5π6－A <π2，得π3<A <π2，∴BA →·BC →＝ca cos π6＝4×32sin A sin C ＝23sin A sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-A 65π ＝23sin A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+A A sin 23cos 21＝3sin A cos A ＋3sin 2A ＝32sin2A ＋3(1－cos2A )2＝32sin2A ＋32cos2A ＋32＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＋32. ∵π3<A <π2，∴π3<2A －π3<2π3，∴32<sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ≤1，∴3<3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＋32≤3＋32.∴BA →·BC →的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛+233,3. 【答案】 ⎥⎦⎤ ⎝⎛+233,310．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在的平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心【解析】 因为|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以点O 到三角形的三个顶点的距离相等，所以O 为△ABC 的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0，得NA →＋NB →＝－NC →＝CN →，由中线的性质可知点N 在三角形AB 边的中线上，同理可得点N 在其他边的中线上，所以点N 为△ABC 的重心；由P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，得P A →·PB →－PB →·PC →＝PB →·CA →＝0，则点P 在AC 边的垂线上，同理可得点P 在其他边的垂线上，所以点P 为△ABC 的垂心．【答案】 C11．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21，n ＝⎪⎭⎫⎝⎛0,6π，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ上的最大值是( )A ．4B ．2C ．2 2D ．2 3【解析】 因为点P 在y ＝cos x 的图象上运动，所以设点P 的坐标为(x 0，cos x 0)，设Q 点的坐标为(x ，y )，则OQ →＝m ⊗OP →＋n ⇒(x ，y )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21⊗(x 0，cos x 0)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛0,6π⇒(x ，y )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+00cos 4,621x x π⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，即⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00cos 462xy x x π⇒y ＝4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ， 即f (x )＝4cos ⎪⎭⎫⎝⎛-32πx ，当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ时， 由π6≤x ≤π3⇒π3≤2x ≤2π3⇒0≤2x －π3≤π3， 所以12≤cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ≤1⇒2≤4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ≤4，所以函数y ＝f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ的最大值是4，故选A. 【答案】 A 二、填空题12．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别在边CD 和BC 上，且DC →＝3 DE →，BC →＝3 BF →，若AC →＝mAE →＋nAF →，其中m ，n ∈R ，则m ＋n ＝________.【解析】 由题设可得AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋13AD →＝AB→＋13AD →，又AC →＝mAE →＋nAF →，故AC →＝mAD →＋13mAB →＋nAB →＋13nAD →＝(13m ＋n )AB →＋(m ＋13n )AD →，而AC →＝12(AB →＋AD →)，故⎩⎨⎧13m ＋n ＝12m ＋13n ＝12⇒m ＋n ＝32.故应填答案32.【答案】 3213．若函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+48ππx (－2＜x ＜14)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l与函数f (x )的图象交于B 、C 两点，O 为坐标原点，则(OB →＋OC →)·OA →＝________.【解析】 ∵－2＜x ＜14，∴f (x )＝0的解为x ＝6，即A (6,0)，而A (6,0)恰为函数f (x )图象的一个对称中心，∴B 、C 关于A 对称，∴(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA |2＝2×36＝72. 【答案】 7214．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点， 则|P A →|2＋|PB →|2|PC →|2＝________.【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系， 设|CA →|＝a ，|CB →|＝b ，则A (a,0)，B (0，b ) ∵点D 是斜边AB 的中点，∴D ⎪⎭⎫⎝⎛2,2b a ， ∵点P 为线段CD 的中点，∴P ⎪⎭⎫⎝⎛4,4b a ∴|PC →|2＝24⎪⎭⎫ ⎝⎛a ＋24⎪⎭⎫ ⎝⎛b ＝a 216＋b 216|PB →|2＝24⎪⎭⎫ ⎝⎛a ＋24⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b ＝a 216＋9b 216|P A →|2＝24⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a ＋24⎪⎭⎫ ⎝⎛b ＝9a 216＋b 216∴|P A →|2＋|PB →|2＝9a 216＋b 216＋a 216＋9b 216＝10⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+161622b a ＝10|PC →|2，∴|P A →|2＋|PB →|2|PC →|2＝10.【答案】 1015.在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝1t ，AC ＝t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若AP →＝4AB →|AB →|＋AC →|AC →|，则△PBC 面积的最小值为________．【解析】 由题意建立如图所示的坐标系，可得A (0,0)，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,1t ，C (0，t )，∵AP →＝4AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝(4,0)＋(0,1)＝(4,1)，∴P (4,1)；又|BC |＝221⎪⎭⎫⎝⎛+t t ，BC 的方程为tx ＋y t ＝1，∴点P 到直线BC 的距离为d ＝221114⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+t t t t ，∴△PBC 的面积为S ＝12·|BC |·d＝12·221⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t ·221114⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+t t t t＝12|4t ＋1t －1|≥12·|24t ·1t －1|＝32， 当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时取等号，∴△PBC 面积的最小值为32.【答案】 32。
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
平面向量的数量积
平面向量的数量积
什么是平面向量的数量积？
平面向量的数量积，也被称为点积或内积，是指两个向量之间
的运算结果。
它通过将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加得
到一个标量值。
数量积的计算公式
假设有两个平面向量A和B，其坐标分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)，则它们的数量积被定义为以下公式：
A ·
B = (Ax * Bx) + (Ay * By)
数量积的性质
交换律
两个向量的数量积满足交换律，即 A · B = B · A。
分配律
数量积满足分配律，即对于向量A和向量B，以及标量k，有
以下等式成立：
k(A · B) = k(Ax * Bx) + k(Ay * By)
数量积的意义
计算角度
通过数量积的计算公式，我们可以得到两个向量之间的夹角的
余弦值。
具体地，设向量A和向量B之间的夹角为θ，则有以下等
式成立：
cosθ = (A · B) / (|A| * |B|)
其中，|A| 和 |B| 分别表示向量A和向量B的长度。
因此，通过计算数量积，我们可以得到向量之间的夹角。
判断垂直与平行关系
若两个向量的数量积为0，则它们垂直；若两个向量的数量积
不为0且它们的长度相等，则它们平行。
该文档介绍了平面向量的数量积的定义、计算公式以及性质。
同时，说明了数量积在计算角度和判断垂直与平行关系方面的意义。
2020年高考数学(理)之平面向量 专题03 平面向量的数量积及应用(解析版)
平面向量03 平面向量的数量积及应用一、具本目标：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 考纲解读：1.以考查向量的数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.与三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，中等难度，但是解决以上问题的桥梁.3.备考重点：(1) 理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题. 二、知识概述： 一）主要公式：1.向量的数量积：已知两个非零向量a r 、b r ，它们的夹角为θ，则r a ·b rθcos . 若a r =(1x ,1y ),b r =(2x ,2y )，则a r ·b r=2121y y x x +.2.向量的模：若a r =(,)x y ，则|a r.3.两向量的夹角余弦值：>=<=,cos cos θa ba b×r r r r.【考点讲解】4.向量垂直的等价条件：a r ⊥b r ⇔0r r a b?⇔02121=+y y x x .二）主要知识点： 1.两个向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量和，作OA u u u r ＝，OB u u u r＝，则∠AOB ＝θ 叫做向量与的夹角．（2）夹角范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°与同向时，夹角θ＝0°；与反向时，夹角θ＝180°.（3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作⊥. 2.平面向量数量积：（1）已知两个非零向量与θ⋅叫做与的数量积，记作⋅，即⋅θcos ，其中θ是与的夹角．规定00=⋅a.当⊥时，θ＝90°，这时0r ra b?.（2）⋅的几何意义：数量积⋅等于与在θcos 的乘积．3.向量数量积的性质：（1）=⋅=（2）>=<=,cos cos θa ba b×r r r r (θ为与的夹角). （3≤⋅4.数量积的运算律（1）交换律：⋅=⋅. （2）分配律：()⋅+⋅=⋅+（3）对()()()R λλλλ⋅=⋅=⋅∈,.5.数量积的坐标运算：设()()2211,,,y x b y x a ==，有下面的结论：（1）2121y y x x +=⋅.（2）a r ⊥b r ⇔0r r a b?⇔02121=+y y x x .（3.2121y x +=（4）>=<=b a ,cos cosθr r r r a ba b×=(θ为与的夹角).1．【2019年高考全国I 卷】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解析】本题考查的是向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 【答案】B2.【2019年高考全国II 卷】已知AB u u u r =(2,3)，AC u u u r =(3，t )，BC uuu r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r=（ ） A ．−3 B ．−2 C ．2 D ．3【解析】本题考点为平面向量的数量积.由(1,3)BC AC AB t =-=-u u u r u u u r u u u r，1BC ==u u u r ，得3t =，则(1,0)BC =u u u r ，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=u u u r u u u rg g ．故选C ．【答案】C3.【2018年高考全国II 卷】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【解析】本题主要考查平面向量的数量积.因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a ,所以选B.【真题分析】4.【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是（ ）A 1BC ．2D ．2【解析】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题.设a =(x,y),e =(1,0),b =(m,n)， 则由⟨a,e ⟩=π3得a ⋅e =|a|⋅|e|cos π3,x =12√x 2+y 2,∴y =±√3x ，由b 2−4e ·b +3=0得m 2+n 2−4m +3=0,(m −2)2+n 2=1,因此|a −b |的最小值为圆心(2,0)到直线y =±√3x的距离21，为√3−1.选A. 【答案】A5.【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u r 与AC u u ur 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积.AB u u u r 与AC u u u r的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即22||||AB AC AC AB +>-u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为AC AB BC -=u u u r u u u r u u u r ，所以|AB u u u r +AC u u u r |>|BC uuu r|；当|AB u u u r +AC u u u r |>|BC uuu r |成立时，|AB u u u r +AC u u u r |2>|AB u u u r -AC u u u r |2AB ⇒u u u r •AC u u u r >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以ABu u u r与AC u u u r 的夹角为锐角.故“AB u u u r 与AC uuu r 的夹角为锐角”是“|AB u u u r +AC uuur |>|BC u u u r |”的充分必要条件,故选C ．【答案】C6.【2018年高考北京卷理数】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】222222699+63333-=+-=⇔⇔-++⋅=⋅+a a b a b a b a b a b b a a b b ，因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+6=0-⋅+=⋅+⇔⋅⇔a a b b a a b b a b a ⊥b ，即“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的充分必要条件.故选C.7.【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r则·BC OM u u u r u u u u r 的值为（ ）A ．15-B ．9-C ．6-D ．0【解析】如图所示，连结MN ，由BM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,CN ⃑⃑⃑⃑⃑ =2NA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 可知点M,N 分别为线段AB,AC 上靠近点A 的三等分点，则BC⃑⃑⃑⃑⃑ =3MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3(ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )， 由题意可知：OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=12=1，OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =1×2×cos120∘=−1， 结合数量积的运算法则可得：BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3(ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3ON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −3OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=−3−3=−6. 本题选择C 选项.【答案】C8.【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________． 【解析】向量(4,3),(6,)m =-=⊥，，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b . 【答案】89.【2019年高考全国III 卷】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________.【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c22133⋅==⨯⋅a c a c ． 【答案】2310.【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u r u u u r___________．【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，5,AB AD ==则0)B，5()22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BEy x =-， 直线AE的斜率为-y x =.由(3y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-，所以1)E -.所以5(,)1)122BD AE =-=-u u u r u u u r g g .【答案】1-11.【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABAC的值是___________．【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r g g g ，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g 22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ， 得2213,22AB AC =u u u r u u u r即,AB =u u u r u u r故ABAC=.12.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r ；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，；∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r ； 当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【答案】-313.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ，所以|2|+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为【答案】14.【2017年高考山东卷理数】已知12,e e与的夹角为60︒，则实数的值是___________．【解析】∵221212112122)()λλλλ-⋅+=⋅-⋅-=e e e e e e e，12|2-===e，12||λ+===e ecos60λ=︒3λ=．1.已知向量(1,2)a=r，(1,1)b=-r，则()(2)a b a b+•-=r r r r（）A．2 B．-2 C．-3 D．4【解析】因)4,1(2),1,2(-=-=+baba，故224412)1()2()(=-=⨯+⨯-=-⋅+baba，应选A. 【答案】A2.已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos<m，n>=13.若n⊥（t m+n），则实数t的值为（）A.4B.–4C.94D.–94【解析】由43m n=u r r，可设3,4(0)m k n k k==>u r r，又()n tm n⊥+r u r r，所以22221()cos,34(4)41603n tm n n tm n n t m n m n n t k k k tk k⋅+=⋅+⋅=⋅<>+=⨯⨯⨯+=+=r u r r r u r r r u r r u r r r.所以4t=-，故选B.【答案】B12-e12λ+e eλ∴【模拟考场】3.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ）A.85-B.81 C.41 D.811【解析】设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，∴11()22DE AC b a ==-u u u r u u u r r r ，33()24DF DE b a ==-u u u r u u u r r r，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r ，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=u u u r u u u r r r r ，故选B.【答案】B4.已知向量a r 与b r 的夹角为60°，||2a =r ，||5b =r，则2a b -r r 在a r 方向上的投影为（ ）A ．23 B ．2 C ．52 D ．3【解析】由已知条件可知，2a b -r r 在a ra b a 2，其中()360cos 2=⋅-=⋅-=⋅-ο.23=.【答案】A5. 在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=u u u r u u u r ，当6A π=时，ABC ∆的面积为________.【解析】本题考点是平面向量的数量积、三角函数同角关系、三角形的面积公式的应用.由题意可知tan AB AC A ⋅=u u u r u u u r 得，⋅=u u u r u u u rAB AC tantan 26||||cos tan ,||||cos 3cos 6A AB AC A A AB AC A ππ⋅=⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以，11221||||sin sin 223636ABC S AB AC A π∆=⋅=⨯⨯==u u u r u u u r .【答案】166.已知向量,,21==，若对任意单位向量，均有6≤⋅+⋅ ,则⋅的最大值是 ．【解析】本题考点是平面向量的数量积及不等式的性质的具体应用．由题意可知221|(a b)||a ||b ||a b ||a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅+≤++⋅≤⇒⋅≤r r r r r r r r r r r r r r r ，即最大值为12.【答案】127.在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r则AE AF ⋅u u u r u u u r 的值为 ．【解析】本题考点是平面向量的数量积及向量的线性运算， 在等腰梯形ABCD 中,由AB ∥DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o得12AD BC ⋅=u u u r u u u r ,1AB AD ⋅=u u u r u u u r ,12DC AB =u u u r u u u r,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+12132 221131218=⋅+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAB AD BC AD AB BC AB111291331818=++-=【答案】29188.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．【解析】本题考点是平面向量的线性运算及数量积的运算，由题意可设==,，则()()433=-=+-⋅+=⋅b a b a CABA ，()()1-=-=+-⋅+=⋅，.85813==则()().8722=-=+-⋅+=⋅【答案】789.设向量()2log 3,a m =r，()3log 4,1b =-r ，且a b ⊥r r ，则m 的值为__________．【解析】因为a b ⊥rr ，所以有0r r a b?，可以得到23log 3log 40m -=，则23lg3lg4log 3log 42lg2lg3m ==⨯=，应填答案2. 【答案】210.在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =u u u r u u u r ，()AE AC AB λλ∈=-R u u u r u u u r u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r，则λ的值为___________.【解析】由题意可知：360cos ==⋅ο，()32313232+=-+=+=，()-⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅λ3231=433293143233-=⨯-⨯-⨯+⨯λλ， 所以可得113=λ. 【答案】11311.已知3a =r ， 4b =r ， 0a b ⋅=r r ，若向量c r 满足()()0a c b c -⋅-=r r r r，则c r 的取值范围是__________．【解析】易知5a b +=r r ，由()()0a c b c -⋅-=r r r r，且0a b ⋅=r r ，可得：()2cos ,5cos ,=+=+⋅+=+r r r r r r r r r r r r r r c a b c a b c a b c c a b c .所以0c =r 或5cos ,c a b c =+r r rr，由此可得c r的取值范围是[]0,5. 【答案】[]0,512.已知两个不共线的向量b a ,，它们的夹角为θ13==，x 为正实数．(1)若b a 2+与b a 4-垂直，求tan θ；(2)若θ＝π6，求x -的最小值及对应的x 的值，并判断此时向量与x -是否垂直．【解析】(1)因为2+与4-垂直，所以()()042=-⋅+.所以08222=-⋅-b b a a ，所以32－2×3×1×cos θ－8×12＝0， 所以cos θ＝16，又θ∈(0，π)，sin θ＝1－cos 2θ＝356，所以tan θ＝sin θcos θ＝35.。
高中数学第六章平面向量及其应用-向量的数量积课件及答案
【对点练清】 1．(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量 a ，b 的夹角为 45°，ka －b 与 a 垂直，则 k＝_____.
解析：由题意，得 a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝ 22.因为向量a ＝ka
2－a ·b ＝k－
22＝0，解得
【学透用活】 [典例 3] (1)已知 e1 与 e2 是两个互相垂直的单位向量，若向量 e1＋ke2 与 ke1＋e2 的夹角为锐角，则 k 的取值范围为_________． (2)已知非零向量 a ，b 满足 a ＋3b 与 7a －5b 互相垂直，a －4b 与 7a －2b 互相垂直，求 a 与 b 的夹角． [解析] (1)∵e1＋ke2 与 ke1＋e2 的夹角为锐角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke21＋ke22＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.当 k ＝1 时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为 0，不符合题意，舍去．综上， k 的取值范围为 k＞0 且 k≠1. 答案：(0,1)∪(1，＋∞)
(3)设非零向量 a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ>0⇔a ·b >0.
(√)
(4)|a ·b |≤a ·b .
( ×)
2．若向量 a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与 b 的夹角为 60°，则 a ·b 等于 ( )
1 A.2
3 B.2
C．1＋
3 2
D．2
答案：A
3．已知|a |＝1，|b |＝2，设 e 是与 a 同方向上的单位向量，a 与 b 的夹 角为π3，则 b 在 a 方向上的投影向量为______．
(4)|a ·b |≤__|_a_|_|_b_|.
2．平面向量数量积的运算律：
(完整版)《平面向量的数量积》教学设计及反思
《平面向量的数量积》教学设计及反思交口第一中学赵云鹏平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。
向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。
一、总体设想：本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。
教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。
二、教学目标：1.了解向量的数量积的抽象根源。
2.了解平面的数量积的概念、向量的夹角3.数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义4.理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算三、重、难点：【重点】1.平面向量数量积的概念和性质2.平面向量数量积的运算律的探究和应用【难点】平面向量数量积的应用四、课时安排：2课时五、教学方案及其设计意图：1．平面向量数量积的物理背景平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。
首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F 的所做的功为Wθ⋅F，这里的θ是矢量F和s的夹角，也即是两个=scos⋅向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。
这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b的数量积的概念。
2．平面向量数量积（内积）的定义已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积的定义a⋅b = |a||b|cosθ无法得到，因此另外进行了规定。
2020-2021学年人教版必修四数学课件2.4平面向量的数量积(二)
| b | cos 0
数量积a b等于 | a | 与投影 | b | cos的乘积。
练习
• P119 练习 3
小结：
• 1. a b | a || b | cos
• 2.
a bab 0
2
a
|
a
|2
可用来求向量的模
3.投影
作业
• A.小结 • B.P121 A3
a
|
a
|2
(1) | a | 2，
2
a
22 4
(2) | a | 10，
2
a
102 100
(3) | a | 8，
2
a a 82 64
2
(4)a
4，
|
a
|2
2
a
4
,| a |
42
2
(5)a
7，
|
a
|2
2
a
7
,| a |
7
求向量模的方法
数量积运算律
• 经验证，数量积满足如下运算率
(1)a b b a
(2)( a) b (a b) ( a) b
(3)(a b) c a c b c
常用公式
(1)(a
b)2
2
a
2a
b
2
b
2
2
(2)(a b) (a b) a b
例题Байду номын сангаас
已知 | a | 6,| b | 4,a与b的夹角为60，求
a
b，
2
a
,
2
b,
(a 2b) (a 3b),
时候为正，什么时候为负？
a b | a || b | cos
2022年高考数学核心考点专题训练专题21 平面向量的数量积(含解析)
2OE；③AH在AB向量上的投影向量的模为
2．
2
其中正确结论的个数为( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
10. 设向量 a,b,c,满足 a = b = 2,a ⋅ b = 2, a − c ⋅ b − c = 0,则 c 的最小值为
A. 3+1 2
B. 3−1 2
C. 3 − 1
11. 在给出的下列命题中，不正确的是( )
−5 10
=−
10，所以
2
B
错误：
因为a
−
b
=
(5,0)，所以
cos
<
a，a
−
b
>=
a⋅(a−b) |a|×|a−b|
=
10 5×5
=
2 5，所以
5
C
正确;
因为c
=
(
5 5
,
25 5
)，所以a
⋅
c
=2×
5 5
+
1
×
25 5
=
45 5
≠
0，所以a与c不垂直，所以 D
错误．
故选 C．
20.
已知向量m =
⋅
OB
=
OA
⋅
OC,AO
=
λ(
AB |AB|
+
AC |AC|
)则ΔABC
为等腰三角形
D. 已知平面向量OA，OB，OC满足 OA = OB = OC = r(r > 0)，且OA + OB + OC = 0，则△ ABC
是等边三角形
12. 已知不共线向量OA,OB夹角为α, OA = 1, OB = 2,OP = 1 − t OA,OQ = tOB 0 ≤ t ≤ 1), PQ 在 t = t0
高二数学 平面向量数量积课件
ab
12 a在b方向上的投影是 | a | cos 5
b在a方向上的投影是 | b | cos 4
再接再厉 如图，△ABC为等腰直角三角形，且直角
边AB=1，求 AB BC BC CA CA BA
解： AB BC, AB BC 0
BC 1, CA 2, 且 BC与CA 的夹角是135
B b B b b B
O
a
A
B1 当为锐角时，
b cos 0
B1
O
a A
O( B1 ) a
A
当 为钝角时， b cos 0
当 为直角时， b cos 0
当 0时， b cos b
当 180时， b cos b
F
F S =| F || S | cos
所以a·b=2×3 ×(－0.5)= －3.
(2) a⊥b, 所以 a·b=0. (3) a//b, 所以 a·b=6或－6.
例4. 如图，△ABC为等腰直角三角形，且
直角边AB=1，求 AB BC BC CA CA BA
解： AB BC, AB BC 0 又 | BC | 1,| CA | 2, BC, CA 135
３ 判断正误：
已知a,b是实数 ,且a 0,若a b 0，则b 0 正确 已知a,b是向量,且a 0,若a b 0，则b 0 错误
想一想
已知 a 5, b 4 (1)若a与b的夹角 =120, 求a b;
解： 1 （1） a b a b cos 5 4 cos120 5 4 ( ) 10 2
BC CA 1 2 cos135 1
2020高考知识点25 平面向量的数量积—人教A版高考数学自编知识点复习讲义
【例2】已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝ ，则|b|＝________.
【解析】∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，∴a·b＝|a||b|cos45°＝ |b|，|2a－b|2＝4－4× |b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3 .故填3 .
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．若a·b＝|a||b|，则 cos〈a，b〉＝1，即〈a，b〉＝0，可得a∥b；若a∥b，则〈a，b〉＝0或π，此时a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|.故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．故选A.
【例1】、若a，b，c均为非零向量，则下列说法正确的是____________．(填写序号即可)
①a·b＝± · ⇔a∥b；
②a⊥b⇔a·b＝0；
③a·c＝b·c⇔a＝b；
④(a·b)·c＝a·(b·c)．
【解析】：a·b＝ cosθ，θ为a，b的夹角，则cosθ＝±1，①正确；②显然正确；③错误，如a＝－b，a⊥c，则a·c＝b·c＝0，但a≠b；④错误，因为数量积的运算结果是一个数，即等式左边为c的倍数，等式右边为a的倍数．故填①②.
知识点25、平面向量的数量积
数量积的概念
已知两个非零向量a与b，我们把数量 cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，
记作a·b，即a·b＝ cosθ ，其中θ是a与b的夹角，
说明：|a|cosθ(或|b|cosθ)叫向量a在b方向(b在a方向)的投影
2020年高考数学专题复习平面向量的数量积及应用举例
第3讲平面向量的数量积及应用举例1.向量的夹角2.平面向量的数量积3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c ).( )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(6)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( ) A ．－32B ．0C ．32D ．3解析：选A.依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，故选A. 已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选A.由两向量的夹角公式，可得cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝12×32＋32×121×1＝32，则∠ABC ＝30°.(2019·温州市高考模拟)已知向量a ，b 满足|b |＝4，a 在b 方向上的投影是12，则a ·b＝________.解析：a 在b 方向上的投影是12，设θ为a 与b 的夹角，则|a |·cos θ＝12，a ·b ＝|a|·|b |·cos θ＝2.答案：2(2017·高考浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.解析：法一：(|a ＋b |＋|a －b |)2＝(a ＋b )2＋(a －b )2＋2|a ＋b |·|a －b |＝2a 2＋2b 2＋2|a＋b |·|a －b |＝10＋2|a ＋b |·|a －b |，而|a ＋b |·|a －b |≥|(a ＋b )·(a －b )|＝|a 2－b 2|＝3，所以(|a ＋b |＋|a －b |)2≥16，即|a ＋b |＋|a －b |≥4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值为4.又|a ＋b |＋|a －b |2≤（a ＋b ）2＋（a －b ）22＝a 2＋b 2＝5，所以|a ＋b |＋|a －b |的最大值为2 5.法二：由向量三角不等式得，|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )－(a －b )|＝|2b |＝4.又|a ＋b |＋|a －b |2≤（a ＋b ）2＋（a －b ）22＝a 2＋b 2＝5，所以|a ＋b |＋|a －b |的最大值为2 5.答案：4 2 5平面向量数量积的运算(1)(2017·高考浙江卷) 如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3 ＜ I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 3(2)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1【解析】 (1) 如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，所以∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角.根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →|·|CA →|·cos ∠AOB <0，所以I 1<I 2，同理得，I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，所以OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，所以|OA →|·|OB →|<|OC →|·|OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，所以OA →·OB →>OC →·OD →，即I 1>I 3.所以I 3<I 1<I 2.(2) 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)，设P (x ，y )，则PA →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，所以PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2(y －32)2－32，当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，为－32，选择B.【答案】 (1)C (2)B在本例(2)的条件下，若D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD →·AE →等于________.解析：法一：(通性通法)因为D ，E 是边BC 的两个三等分点，所以BD ＝DE ＝CE ＝23，在△ABD 中，AD 2＝BD 2＋AB2－2BD ·AB ·cos 60°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋22－2×23×2×12＝289，即AD ＝273，同理可得AE ＝273，在△ADE 中，由余弦定理得cos ∠DAE ＝AD 2＋AE 2－DE 22AD ·AE＝289＋289－⎝ ⎛⎭⎪⎫2322×273×273＝1314，所以AD →·AE →＝|AD→|·|AE →|cos ∠DAE ＝273×273×1314＝269.法二：(光速解法)如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A (0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，所以AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－3，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－3，所以AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－3＝269.答案：269(1)向量数量积的两种运算方法①当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. ②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)数量积在平面几何中的应用解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，常利用解析法，巧妙构造坐标系，利用坐标求解.1.(2019·杭州中学高三月考)若A ，B ，C 三点不共线，|AB →|＝2，|CA →|＝3|CB →|，则CA →·CB →的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，3C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，3 解析：选D.设|CB →|＝x ，则|CA →|＝3|CB →|＝3x ，由于A ，B ，C 三点不共线，能构成三角形，如图：由三角形三边的性质得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3x >23x ＋2>x x ＋2>3x，解得12<x <1，由余弦定理的推论得，cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝x 2＋9x 2－46x 2＝10x 2－46x2， 所以CA →·CB →＝|CA →||CB →|cos C ＝3x 2×10x 2－46x2＝5x 2－2， 由12<x <1得，－34<5x 2－2<3， 故选D.2.已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________.解析：由题意，令e ＝(1，0)，a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，则由|a ·e |＋|b ·e |≤6，可得|cos α|＋2|cos β|≤ 6.①令sin α＋2sin β＝m ，②①2＋②2得4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1＋m 2对一切实数α，β恒成立，所以4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1，故a ·b ＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤12.答案：12平面向量的夹角与模(高频考点)平面向量的夹角与模是高考的热点，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题.主要命题角度有：(1)求两向量的夹角； (2)求向量的模； (3)两向量垂直问题；(4)求参数值或范围.角度一 求两向量的夹角(2019·绍兴一中高三期中)若|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解析】 因为|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |， 所以|a ＋b |2＝|a －b |2，两边平方 可得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2， 化简可得a ·b ＝0，设向量a ＋b 与a 的夹角为θ，则可得cos θ＝（a ＋b ）·a |a ＋b ||a |＝a 2＋a ·b|a ＋b ||a |＝|a |22|a |2＝12，又θ∈[0，π]，故θ＝π3. 【答案】 B角度二 求向量的模(2018·高考浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A ．3－1B ．3＋1C ．2D ．2－ 3【解析】 法一：设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A.法二：由b 2－4e ·b ＋3＝0得b 2－4e ·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0.设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以|a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA →|－|BC →|≥3－1.故选A.【答案】 A角度三 两向量垂直问题已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.求k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?【解】 由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16.因为(a ＋2b )⊥(k a －b )， 所以(a ＋2b )·(k a －b )＝0，k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0. 所以k ＝－7.即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．角度四 求参数值或范围已知△ABC 是正三角形，若AC →－λAB →与向量AC →的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是________．【解析】 因为AC →－λAB →与向量AC →的夹角大于90°，所以(AC →－λAB →)·AC →<0，即|AC →|2－λ|AC →|·|AB →|cos 60°<0，解得λ>2.故填(2，＋∞)．【答案】 (2，＋∞)(1)求平面向量的夹角的方法①定义法：利用向量数量积的定义知，cos θ＝a ·b|a ||b |，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a ·b ，|a |，|b |或者找出这三个量之间的关系；②坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝；(2)求向量的模的方法①公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量模的运算转化为数量积运算．②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．1．(2019·浙江新高考研究联盟)已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝k ，|c |＝2－k 且a ＋b ＋c ＝0，则b 与c 夹角的余弦值的取值范围是________．解析：设b 与c 的夹角为θ，由题b ＋c ＝－a ， 所以b 2＋c 2＋2b ·c ＝1.即cos θ＝2k 2－4k ＋32k 2－4k ＝1＋32（k －1）2－2. 因为|a |＝|b ＋c |≥|b －c |，所以|2k －2|≤1. 所以12≤k ≤32.所以－1≤cos θ≤－12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 2．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．解析：因为AP →⊥BC →，所以AP →·BC →＝0. 又AP →＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →， 所以(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0， 即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0，所以(λ－1)|AC →||AB →|cos 120°－9λ＋4＝0.所以(λ－1)×3×2×(－12)－9λ＋4＝0.解得λ＝712.答案：712向量数量积的综合应用(2019·金华十校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影． 【解】 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，则B ＝π4，由余弦定理得()422＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1.故向量BA →在BC →方向上的投影为 |BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.平面向量与三角函数的综合问题(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin A2，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos A 2，－cos A 2，且2m ·n ＋|m |＝22，则∠A ＝________．解析：因为2m ·n ＝2sin A 2cos A 2－2cos 2 A 2＝sin A －(cos A ＋1)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4－1，又|m |＝1，所以2m ·n ＋|m |＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4＝22，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4＝12.因为0<A <π，所以－π4<A －π4<3π4，所以A －π4＝π6，即A ＝5π12.答案：5π122．(2017·高考江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]， 所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.平面向量中的最值范围问题(1)(2019·杭州市高三模拟)在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 是AB 的中点，E ，F 分别是边BC 、AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →的最小值等于( )A ．54B ．154C ．174D ．174(2)(2019·浙江新高考研究联盟联考)已知向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，|a －b |＝3，则|a |＋|b |的取值范围是( )A ．[3，5]B ．[4，5]C ．[3，4]D ．[4，7]【解析】 (1)以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：则A (0，4)，B (3，0)，C (0，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.设E (x ，0)，则F (0，1－x 2)，0≤x ≤1. 所以DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，－2，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1－x 2－2.所以DE →·DF →＝94－32x ＋4－21－x 2＝254－3x 2－21－x 2.令f (x )＝254－3x 2－21－x 2，当x ≠1时，则f ′(x )＝－32＋2x1－x 2. 令f ′(x )＝0得x ＝35.当0≤x ＜35时，f ′(x )＜0，当35＜x ＜1时，f ′(x )＞0.所以当x ＝35时，f (x )取得最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝154.当x ＝1时，f (1)＝254－32＝194＞154，故选B.(2)|a |＋|b |≥max{|a ＋b |，|a －b |}＝4，(|a |＋|b |)2≤|a ＋b |2＋|a －b |2＝25，所以|a |＋|b |≤5.【答案】 (1)B (2)B求解向量数量积最值问题的两种思路(1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．(2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值． 1．已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝1，若e 为平面单位向量，则|a ·e |＋|b ·e |的最大值是__________．解析：由a ·b ＝1，|a |＝1，|b |＝2可得两向量的夹角为60°，建立平面直角坐标系，可设a ＝(1，0)，b ＝(1，3)，e ＝(cos θ，sin θ)，则|a ·e |＋|b ·e |＝|cos θ|＋|cosθ＋3sin θ|≤|cos θ|＋|cos θ|＋3|sin θ|＝3|sin θ|＋2|cos θ|≤7，所以|a ·e |＋|b ·e |的最大值为7.答案：72．(2019·金华十校高考模拟)若非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，则cos 〈a ，b 〉的最小值为________．解析：非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，可得a ·b ＝15(a 2＋4b 2)＝15(|a |2＋4|b |2)≥15·2|a |2·4|b |2＝45|a |·|b |，即有cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |≥45·|a |·|b ||a |·|b |＝45，当且仅当|a |＝2|b |，取得最小值45.答案：45求向量模的常用方法利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b <0，反之也不成立．易错防范(1)a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . (2)a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能推出b ＝c ，即消去律不成立． [基础达标]1．已知A ，B ，C 为平面上不共线的三点，若向量AB →＝(1，1)，n ＝(1，－1)，且n ·AC →＝2，则n ·BC →等于( )A ．－2B ．2C ．0D ．2或－2解析：选B.n ·BC →＝n ·(BA →＋AC →)＝n ·BA →＋n ·AC →＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.2．(2019·温州市十校联合体期初)设正方形ABCD 的边长为1，则|AB →－BC →＋AC →|等于( )A ．0B ． 2C ．2D ．2 2解析：选C.正方形ABCD 的边长为1，则|AB →－BC →＋AC →|2＝|DB →＋AC →|2＝|DB →|2＋|AC →|2＋2DB →·AC →＝12＋12＋12＋12＝4，所以|AB →－BC →＋AC →|＝2，故选C.3．(2019·温州市十校联合体期初)已知平面向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，且a ·c >0，b ·c >0.( )A ．若a ·b <0则x >0，y >0B ．若a ·b <0则x <0，y <0C ．若a ·b >0则x <0，y <0D ．若a ·b >0则x >0，y >0解析：选A.由a ·c >0，b ·c >0，若a ·b <0， 可举a ＝(1，1)，b ＝(－2，1)，c ＝(0，1)， 则a ·c ＝1>0，b ·c ＝1>0，a ·b ＝－1<0， 由c ＝x a ＋y b ，即有0＝x －2y ，1＝x ＋y ， 解得x ＝23，y ＝13，则可排除B ；若a ·b >0，可举a ＝(1，0)，b ＝(2，1)，c ＝(1，1)，则a ·c ＝1>0，b ·c ＝3>0，a ·b ＝2>0，由c ＝x a ＋y b ，即有1＝x ＋2y ，1＝y ，解得x ＝－1，y ＝1， 则可排除C ，D.故选A.4．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，所以2AC →·BA →＝0，所以AC →⊥AB →.所以∠A ＝90°，又因为根据条件不能得到|AB →|＝|AC →|.故选C.5．已知正方形ABCD 的边长为2，点F 是AB 的中点，点E 是对角线AC 上的动点，则DE →·FC →的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.以A 为坐标原点，AB →、AD →方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则F (1，0)，C (2，2)，D (0，2)，设E (λ，λ)(0≤λ≤2)，则DE →＝(λ，λ－2)，FC →＝(1，2)，所以DE →·FC →＝3λ－4≤2.所以DE →·FC →的最大值为2.故选B.6．(2019·金华市东阳二中高三月考)若a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1，则b 与a －b 的夹角的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 解析：选B.因为|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1， 不妨设|a ＋b |＝1，则|a |＝|b |＝λ.令OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则平行四边形OACB 为菱形．故有△OAB 为等腰三角形，故有∠OAB ＝∠OBA ＝θ， 且0<θ<π2.而由题意可得，b 与a －b 的夹角， 即OB →与BA →的夹角，等于π－θ，△OAC 中，由余弦定理可得|OC |2＝1＝|OA |2＋|AC |2－2|OA |·|AC |·cos 2θ＝λ2＋λ2－2·λ·λcos 2θ，解得cos 2θ＝1－12λ2.再由33≤λ≤1，可得12≤12λ2≤32，所以－12≤cos 2θ≤12，所以π3≤2θ≤2π3，所以π6≤θ≤π3，故2π3≤π－θ≤5π6，即b 与a －b 的夹角π－θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6.7．(2019·温州市十校联合体期初)已知平面向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么|a －2b |＝________．解析：因为平面向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，所以a ·b ＝4·4·cos 120°＝－8，所以|a －2b |＝（a －2b ）2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝16－4·（－8）＋4·16＝112＝47.答案：478．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设e 1，e 2为单位向量，其中a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 2，且a 在b 上的投影为2，则a ·b ＝________，e 1与e 2的夹角为________．解析：设e 1，e 2的夹角为θ，因为a 在b 上的投影为2， 所以a ·b |b |＝（2e 1＋e 2）·e 2|e 2|＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2，解得cos θ＝12，则θ＝π3. a ·b ＝(2e 1＋e 2)·e 2＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2. 答案：2π39. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点Q 为边CD 上一个动点，CQ →＝λQD →，点P 为线段BQ (含端点)上一个动点．若λ＝1，则PA →·PD →的取值范围为________．解析：当λ＝1时，Q 为CD 的中点． 设AB →＝m ，AD →＝n ，BP →＝μBQ →(0≤μ≤1)．易知BQ →＝－12m ＋n ，AP →＝AB →＋BP →＝m ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋μn ， DP →＝AP →－AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋μn －n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋(μ－1)n ，所以PA →·PD →＝AP →·DP →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋μn ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋（μ－1）n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12μ2＋4μ(μ－1)＝5μ2－8μ＋4.根据二次函数性质可知，当μ＝45时上式取得最小值45；当μ＝0时上式取得最大值4.所以PA →·PD →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4 10．(2019·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)，则凸四边形ABCD 的面积为________；AB →·CD →的取值范围是________． 解析：由AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)得AC →⊥BD →，且|AC →|＝2，|BD →|＝2，所以凸四边形ABCD 的面积为12×2×2＝2；因为ABCD 为凸四边形，所以AC 与BD 交于四边形内一点，记为M ，则AB →·CD →＝(MB →－MA →)·(MD →－MC →)＝MB →·MD →＋MA →·MC →－MB →·MC →－MA →·MD →，设AM →＝λAC →，BM →＝μBD →，则λ，μ∈(0，1)，且MA →＝－λAC →，MC →＝(1－λ)AC →， MB →＝－μBD →，MD →＝(1－μ)BD →，所以AB →·CD →＝－4μ(1－μ)－4λ(1－λ)∈[－2，0)，所以有λ＝μ＝12时，AB →·CD →取到最小值－2.答案：2 [－2，0)11．已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，1，n ＝(cos x ，1)．(1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．解：(1)由m ∥n 得，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－cos x ＝0，展开变形可得，sin x ＝3cos x ， 即tan x ＝ 3.(2)f (x )＝m ·n ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋34，由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z 得，－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z .又x ∈[0，π]，所以当x ∈[0，π]时，f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.12．(2019·金华市东阳二中高三月考)设O 是△ABC 的三边中垂线的交点，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，已知b 2－2b ＋c 2＝0，求BC →·AO →的取值范围．解：因为O 是△ABC 的三边中垂线的交点，故O 是三角形外接圆的圆心， 如图所示，延长AO 交外接圆于点D .因为AD 是⊙O 的直径，所以∠ACD ＝∠ABD ＝90°. 所以cos ∠CAD ＝ACAD ，cos ∠BAD ＝AB AD. 所以AO →·BC →＝12AD →·(AC →－AB →)＝12AD →·AC →－12AD →·AB → ＝12|AD →||AC →|·cos ∠CAD －12|AD →||AB →|· cos ∠BAD ＝12|AC →|2－12|AB →|2＝12b 2－12c 2＝12b 2－12(2b －b 2)(因为c 2＝2b －b 2) ＝b 2－b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122－14.因为c 2＝2b －b 2>0，解得0<b <2.令f (b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122－14.所以当b ＝12时，f (b )取得最小值－14.又f (0)＝0，f (2)＝2. 所以－14≤f (b )<2.即AO →·BC →的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2.[能力提升]1．(2019·嘉兴市高考模拟)已知平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，若向量c满足|a －b ＋c |≤1，则|c |的最大值为( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：选D.由平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，可得|a|·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1·1·cos 〈a ，b 〉＝12，由0≤〈a ，b 〉≤π，可得〈a ，b 〉＝π3，设a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，c ＝(x ，y )，则|a －b ＋c |≤1，即有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ，y －32≤1，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322≤1，故|a －b ＋c |≤1的几何意义是在以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32为圆心，半径等于1的圆上和圆内部分，|c |的几何意义是表示向量c 的终点与原点的距离，而原点在圆上，则最大值为圆的直径，即为2.2．(2019·温州市高考模拟)记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥bb ，a ＜b ，已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ＝λa ＋μb (λ，μ≥0，且λ＋μ＝1)，则当max{c ·a ，c ·b }取最小值时，|c |＝ ( )A ．255B ．223C ．1D ．52解析：选A.如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，则a ＝(1，0)，b ＝(0，2)，因为λ，μ≥0，λ＋μ＝1，所以0≤λ≤1.又c ＝λa ＋μb ，所以c ·a ＝(λa ＋b －λb )·a ＝λ；c ·b ＝(λa ＋b －λb )·b ＝4－4λ.由λ＝4－4λ，得λ＝45.所以max{c ·a ，c ·b }＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.令f (λ)＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.则f (λ)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，1.所以f (λ)min ＝45，此时λ＝45，μ＝15，所以c ＝45a ＋15b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25. 所以|c |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝255.故选A.3．(2019·瑞安市龙翔高中高三月考)向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈(0，π)，①若m ∥n ，则tan x ＝________；②若m 与n 的夹角为π3，则x ＝________．解析：m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈(0，π)，①由m ∥n ，得22cos x ＋22sin x ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝0，因为0<x <π，所以π4<x ＋π4<5π4，则x ＋π4＝π，x ＝34π.所以tan x ＝－1.②由m 与n 的夹角为π3，得cos π3＝22sin x －22cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222·sin 2x ＋cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0<x <π，所以－π4<x －π4<3π4，则x －π4＝π6，x ＝5π12. 答案：①－1 ②5π124．(2019·宁波市余姚中学高三期中)已知向量OA →，OB →的夹角为60°，|OA →|＝2，|OB →|＝23，OP →＝λOA →＋μOB →.若λ＋3μ＝2，则|OP →|的最小值是________，此时OP →，OA →夹角的大小为________．解析：向量OA →，OB →的夹角为60°，|OA →|＝2，|OB →|＝23，即有OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 60°＝2×23×12＝23，若λ＋3μ＝2，可得λ＝2－3μ，则|OP →|＝|λOA →＋μOB →|＝λ2OA →2＋μ2OB →2＋2λμOA →·OB →＝4λ2＋12μ2＋43λμ＝4（λ＋3μ）2－43λμ ＝16－43（2－3μ）μ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－332＋12≥23， 当μ＝33，λ＝1时，|OP →|的最小值为2 3. 由OP →＝OA →＋33OB →， 可得OP →·OA →＝OA →2＋33OA →·OB →＝4＋33·23＝6， 则cos 〈OP →，OA →〉＝OP →·OA →|OP →|·|OA →|＝623·2＝32， 由0°≤〈OP →，OA →〉≤180°，可得〈OP →，OA →〉＝30°.答案：2 3 30°5．(2019·绍兴市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝4，|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，求(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2的最大值．解：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，a －b 与a －c 所成夹角为θ，则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2＝|AB |2|AC |2－|AB |2|AC |2cos 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2∠CAB ＝4S 2△ABC ，因为|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，所以b ，c 的夹角为60°，设B (3，0)，C (1，3)，则|BC |＝7，所以S △OBC ＝12×3×2×sin 60°＝332， 设O 到BC 的距离为h ，则12·BC ·h ＝S △OBC ＝332，所以h ＝3217， 因为|a |＝4，所以A 点落在以O 为圆心，以4为半径的圆上，所以A 到BC 的距离最大值为4＋h ＝4＋3217. 所以S △ABC 的最大值为12×7×⎝⎛⎭⎪⎫4＋3217＝27＋332， 所以(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2的最大值为4⎝ ⎛⎭⎪⎫27＋3322＝(47＋33)2.6. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．(1)若θ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值； (2)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m ·n 的最小值及对应的θ值．解：(1)设D (t ，0)(0≤t ≤1)，由题意知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22， 所以OC →＋OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22， 所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＋12， 所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|最小，为22. (2)由题意得C (cos θ，sin θ)，m ＝BC →＝(cos θ＋1，sin θ)，则m ·n ＝1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4， 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 所以π4≤2θ＋π4≤5π4， 所以当2θ＋π4＝π2， 即θ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4取得最大值1. 所以m ·n 的最小值为1－2，此时θ＝π8.。
2020年高考数学三角函数、三角形、平面向量 专题14 平面向量的数量积 文(含解析)
专题14平面向量的数量积一、本专题要特别小心:1。
平面向量数量积的模夹角公式的应用2。
平面向量数量积的坐标公式应用问题3. 向量垂直的应用4.向量的数量积问题等综合问题5。
向量夹角为锐角、钝角时注意问题6。
向量数量积在解析几何中应用7.向量数量积在三角形中的应用.二．【学习目标】1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力学问题．三．【方法总结】1。
要准确理解两个向量的数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的五个重要性质及三个运算规律。
向量的数量积的运算不同于实数乘法的运算律，数量积不满足结合律：（a·b )·c ≠a ·（b·c )；消去律：a·b ＝a·c b ＝c ；a·b ＝0 a ＝0或b ＝0，但满足交换律和分配律。
2。
公式a·b ＝｜a ||b ｜cos θ；a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；|a |2＝a 2＝x 2＋y 2的关系非常密切,必须能够灵活综合运用.3。
通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断相应的两直线是否垂直.4.a∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0与a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0要区分清楚. 四．【题型方法】 （一）向量的数量积 例1. 在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F在CD ，若，则AE BF ⋅的值（ ）A ．2B ．2C ．0D ．1【答案】A【解析】建立如图所示的坐标系，可得()0,0A ，()20B ，,()2,1E，(),2F x ，，(),2AF x =， 解得1x =，()1,2F ∴，,.故选A项．练习1. 在中，，,点是所在平面内的一点，则当取得最小值时，A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，，以A为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，则,设，则，所以当x=2,y=1时取最小值，此时.故选：B.练习2. 如图所示,已知点O为ABC的重心，OA OBAB=,则AC BC⋅的值⊥，6为___________。
平面向量数量积PPT教学课件_1
胚胎干细胞应用 （1）治疗人类顽症：
如帕金森综合症、少年糖尿病等。
（2）培育人造组织器官： 解决供体器官不足、免疫排斥等。
（3）研究体外细胞分化。
变式：已知 a 6, b =4, a 2b a 3b
72
求 a与b的夹角 .
例4.已知 a 3, b 4，a b 5,求 2a b 的值.
例5.已知 a 3, b 4，且a与b不共线，k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
胚胎工程专题复习
胚胎工程
胚胎工程指对动物早期胚胎或配子所进行 的多种显微操作和处理技术，如胚胎移植、体 外受精、胚胎分割、胚胎干细胞培养等技术。 经过处理后获得的胚胎，还需要移植到雌性动 物体内生产后代，以满足人类的各种需求。
a b a b cos
其中θ是 a 与b 的夹角.规定，零向量与任一向量的数量积为零，
即a 0 0。 b cos 叫做向量b 在 a 方向上的投影. B
OB1 b cos
b
θ O
aA
B1
例1.已知 a 3, b =4,a与b的夹角 =120 ，求a b
变式：已知 a 3, b =4,a与b的夹角 =120 ，
桑椹胚 ：由具有全能性细胞构成，细胞数在32个左右，
排列紧密，形似桑椹
囊胚（内含囊胚腔） 内细胞团：发育成胎儿各组织
滋养层细胞：发育成胎膜和胎盘
原肠胚（内含原肠腔）
胎儿形成
体外受精和早期胚胎培养
一、试管动物技术 1．试管动物技术是指：通过_人__工__操__作____使卵子和精子 在体__外__条__件__下___成熟和受精，并通过培养发育为早__期__胚__胎后 再经移植产生后代的技术。 2．这项技术的前期工作包括_体__外__受__精____和_早__期__胚__胎____。
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2020年全国高考数学 第21讲 平面向量的数量积考纲解读理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系.掌握数量积的坐标表示，会进行两个平面向量数量积的运算.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题及其他一些实际问题.命题趋势探究平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、求夹角、距离等是每年必考内容，单独命题时，以选择、填空题的形式出现，注意考查向量的运算及性质，高考中，与向量有关的解答题一般与其他内容相结合（如解析几何、三角函数、平面几何）进行考查，重在考查向量的工具性作用，向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，应引起重视.将考查平面向量的数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数结合的解答题也是热点之一，每年高考分值一般保持在8分左右.知识点精讲一、平面向量的数量积(1) 已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a 与b 的夹角．记作,a b ，并规定,a b []0,π∈.如果a 与b 的夹角是2π，就称a 与b 垂直，记为a b ⊥.(2) |a || b |cos ,a b 叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a b ⋅,即a b ⋅＝| a || b |cos ,a b . 规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是a b ⋅=0. 两个非零向量a 与b 平行的充要条件是a b ⋅＝±| a || b |.二、平面向量数量积的几何意义数量积a b ⋅等于a 的长度| a |与b 在a 方向上的射影| b |cos θ的乘积．即a b ⋅＝| a || b |cos θ.( b 在a 方向上的射影| b |cos θa b a⋅=;a 在b 方向上的射影| a |cos θa b b⋅=).三、平面向量数量积的重要性质 性质1 ||cos e a a e a θ⋅=⋅=. 性质2 .a b a b 0⊥⇔⋅=性质3 当a 与b 同向时||||a b a b ⋅=；当当a 与b 反向时-||||a b a b ⋅=.22||a a a a ⋅==或||a 性质4 cos ().||||a ba 0b 0a b 且θ⋅=≠≠性质5 ||||||.a b a b ⋅≤注利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题.四、平面向量数量积满足的运算律 （1）a b=b a ⋅⋅（交换律）；（2）()=()(a b a b a b λλλλ⋅⋅=⋅为实数）； （3）(+)=a b c a c b c ⋅⋅+⋅（分配律）。
数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅，不可约分=a b a c b c ⋅⋅⇒=.五、平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量11221212=(x ,y ),=(x ,y ),x x +y y a b a b 则⋅=由此得到（1） 若2222=(,),||+||x y x y a a a a 则或===（2） 设1122(x ,y ),(x ,y ),,A B A B 则两点间距离||(AB x =（3） 设1122=(x ,y ),=(x ,y ),a b a b 是与θ的夹角，则121222221122cos x x y y xyx y○1非零向量,,a b a b ⊥的充要条件是12120x x y y .○2由121222221122|cos |||1x x y y x y x y 得2222212121122()()|()x x y y x y x y .六、向量中的易错点（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且||||||a b a b .（2）当a 0时，由0a b 不能推出b 一定是零向量，这是因为任一与a 垂直的非零向量b 都有0a b .当a0时，且a b a c 时，也不能推出一定有b c ，当b 是与a 垂直的非零向量，c 是另一与a 垂直的非零向量时，有0a b a c ，但b c .（3）数量积不满足结合律，即(a b)c (b c)a ，这是因为(a b)c 是一个与c 共线的向量，而(b c)a 是一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以(a b)c 不一定等于(b c)a ，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当0ab 且(0)λλa b （或0a b ，且(0))λλa b题型归纳及思路提示题型79 平面向量的数量积 思路提示平面向量的数量积的计算有其定义式和坐标式，若告诉坐标或容易建立坐标系利用坐标计算，否则运用定义式.这里要考虑将向量尽可能转化为共线或垂直. 一、平面向量的数量积 例5.19（1）在=⋅==∠∆AC AB 则,4,90中，0AC C ABC Rt （ ） A ． -16 B. -8 C. 8 D.16（2）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则=⋅CB DE ________;DC DE ⋅的最大值为___________. （3）在中ABC ∆，M 是BC 的中点AM=1，点P 在AM 上且满足PM 2AP =，则)PB (PA PC +⋅等于 ( )A ．94- B. 34- C. 34 D.94变式1 如图5-27所示，在平行四边形ABCD 中，BD AP ⊥，垂足为P ，且3=AP ，则AC AP ⋅=_____________.图5-27DO CAPB变式2 在3,2,1中，===∆AC BC AB ABC ，若G 为ABC ∆的重心，则AC AG ⋅=_____________.例5.20 如图5-28所示，在矩形ABCD 中，2,2==BC AB ，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若BF AE ⋅=⋅则,2AF AB 的值是：_____________.变式1 如图5-30所示在D AC AB BAC ABC ,1,2,120中，0===∠∆是边BC 上一点，=⋅=BC AD BD DC 则,2______________.变式2 如图5-31所示，在=⋅==⊥∆AD AC AD BC AB AD ABC 则,1||,中，____________.变式3 已知ABC ∆为等边三角形，AB=2.设点P ，Q 满足=-=⋅∈-==λλλλ则,23若,,)1(,CP BQ R AC AQ AB AP （ ）. A ． 21B ．221±C ．2101± D.2223±-图5-28DAE图5-30图5-31例5.21 已知向量a,b,c 满足,|12|2,a+b+c 0a |,|b |,|c 则a b b c c a_____________.变式1在,6||,4||,3||中，若===∆AC BC AB ABC 则CA BC BC AB ⋅+⋅AB CA ⋅+=____________.变式2 向量a,b,c 满足,a b c 0且a b,||1||2a b ,，则||c ______.变式3 设向量a,b,c 满足,a b c 0且(),a b c a b,若|1a |,,则222|||||a b |c _____________.例5.22 设a,b,c 是单位向量且0a b ,则(a c)(b c)的最小值为（ ）.A ．2- B. 22- C. 1- D.21-变式1 已知a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0,(ac)(b c)则||c 的最大值是（ ）A ．1 B. 2 C. D.2变式2 若平面向量a,b 满足|23a b |，则a b 的最小值是：_____.例5.23 在ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则AB AC =____________.变式1 设ABC ，0P 是边AB 上一点，满足01,4P BAB 且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ,则（ ） A. 090ABCB.090BACC. ABAC C. AC BC变式2 点P 是棱长为1的正方体1111ABCDA B C D 的底面1111A B C D 上一点，则1PA PC 的取值范围是（ ）.A. 1[1,]4 B. 11[,]24 C. [1,0] C. 1[,0]2二．平面向量的夹角求夹角，用数量积，由||||cos a b a b 得121222221122cos||||x x y y xyx y a ba b ，进而求得向量a,b 的夹角. 例5.24 已知向量(13),(2,0),a ,b 则a,b 的夹角是___________.例5.25 已知a,b 是非零向量且满足(2),(2),a b a b a b 则a,b 的夹角是（ ）.A ．6πB ．3πC ．23π D.56π例5.26 已知向量a,b,c 满足|12,,a |,|b |,c a b c a 则a,b 的夹角为（ ）A ．6πB ．3πC ．23π D.2π变式1 已知a,b 是非零向量，且满足||||||a b a b ，则a 与ab 的夹角是_________.变式2 若平面向量α,β满足||1,||1αβ，且以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为12，则α,β的夹角的取值范围是___________.例题5.27 已知||2,||1,a b a,b 的夹角为045，求使向量a b 与a b 的夹角为锐角的的取值范围.分析由公式cos ||||a ba b 可知，夹角若为锐角，则cos0，即0a b，同时也应注意从以上结果中排除同向共线这一情形.变式1 设两个向量12,e e ，满足1212||2,||1,,e e e e 的夹角为3，若向量1227t e e 与12t e e 的夹角为钝角，求实数t 的范围.变式2 已知a 与b 均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题：1222:||1[0,);:||1(,];33p p ab ab 32:||1[0,);:||1(,];33p p a b a b 其中的真命题是（ ） A ．14,p p B ．13,p p C ．23,p p D.24,p p变式3 若向量a 与b 不共线，0,()a aa bc a b a b且，则向量a 与c 的夹角为（ ） A ．0 B ．6π C ．3π D.2π三、平面向量的模长 求模长，用平方，2||a a .例5.28 已知||||5a b ，向量a 与b 的夹角为3π，求||,||a b a b .变式1 已知向量,a b 满足||1,||2,a b ,a b 的夹角为060，则||ab =________.变式2 已知向量,a b 满足||1,||2,a b ||a b =2,则||a b 等于()A ．1 BC变式3在ABC 中，已知0||3,||4,60AB BC ABC求||AC .例5.29已知向量,a b 的夹角为0120,||3,||13a a b ,则||b 等于（ ）A ．5B ．4C ．3D.1变式1 已知向量,a b 的夹角为045,||1,|2|10a a b ,则||b = .变式2 已知||||2,(2)()2a b a b a b ，则,a b 的夹角为________.变式3 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,||||BC AB AC AB AC ,则||AM （ ）A ．8B ．4C ．2D.1例5.30 已知平面向量(,)α,βα0αβ，满足||1β，且αβα与的夹角0120，则||α的取值范围是______.变式1 若a,b,c 均为单位向量，且0,()()0a b a c b c |，则||a b c 的最大值为（ ）A 1B ．1C D.2变式2 已知,a b 为单位向量，0a b ，若向量c 满足||--c a b ，则||c 的取值范围是（ ）A ．1,21]B ．1,22]C ．1] D.2]例5.31 在平面上，121212,||||1,AB AB OB OB AP AB AB ，若1||2OP ，则||OA 的取值范围是（ ）A ．(0,2B ．,22C ．(2 D.(,2变式1 在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则222||||||PA PB PC （）A ．2B ．4C ．5D.10最有效训练题21（限时45分钟）1.已知向量(1,1),2(4,2)aa b ，则向量,a b 的夹角为（ ）.A ．6π B ．4πC ．3π D.2π 2.已知向量(1,2),(2,3)ab ，若向量c 满足()//,()c a b c a b ，则c =（ ）A ．77(,)93B ．77(,)39C ．77(,)39 D.77(,)933.已知向量,a b 满足0,||1,||2,|2|a b a b a b 则（ ）A ．0B ．C ．4 D.84.在直角梯形ABCD 中，已知//,,4,2,4BC AD AB AD AB BC AD 若P 为CD 的中点，则PA PB =（ ） A ．-5B ．-4C ．4D.55.已知向量,a b 满足||2,b a b 与的夹角为060，则b 在a 方向上的投影是_______.6.已知(1,2),(1,1)ab ，且λa a b 与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.7.已知向量(3,1),(0,1),(,3),2k a b c a b c 若与垂直，则k =_______.8.已知两点(1,0),(1,0)MN ,且点P 使,,NM NP PM PN MP MN 成公差为非负实数的等差数列.（1）求点P 的轨迹方程；（2）若θ为PM 与PN 的夹角，求θ的取值范围.9.已知向量2(2cos ,2sin ),(sin ,cos ),(3),ααααt ab x a bkt y a b 且0x y（1）求函数()kf t 的表达式；（2）若]3,1[ t ，求()f t 的最大值与最小值.。