六年级奥数周周练 第25周 最大最小问题 (教师版)
小学六年级奥数——最大与最小(竞赛班)
小学六年级奥数——最大与最小【知识要点】研究某种量（或几种量）在一定条件下取得最大值或最小值的问题，我们称为最大与最小问题.在日常生活、科学研究和生产实践中，存在大量的最大与最小问题.如，把一些物资从一个地方运到另一个地方，怎样运才能使路程尽可能短，运费最省；一项（或多项）工作，如何安排调配，才能使工期最短、效率最高等等，都是最大与最小问题.这里贯穿了一种统筹的数学思想-最优化原则.概括起来就是：要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果.这一原则在生产、科学研究及日常生活中有广泛的应用.【例题】例1 （1）把14拆成两个自然数的和，如何拆可以使乘积最大？（2）14分拆为3个自然数之和，使它们的乘积最大.（3）14分拆为几个自然数之和，使它们的乘积最大.例2、（1）把1、2、3、4组成两位数乘两位数的算式，积最大与最小分别是多少？（2）1、2、3、4、5组成两位数乘三位数的算式，积最大与最小分别是多少？例3.用长和宽分别是4厘米和3厘米的长方形小木块,拼成一个正方形,最少要用这样的木块多少块？例4、975⨯935⨯972⨯( ),要使这个连乘积的最后四个数字都是零.在括号内最小应填 .例5、在一条公路上，每隔100千米有一个仓库，共5个.一号仓库存货10吨，二号仓库存货20吨，五号仓库存货40吨，三、四号仓库空着.现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要0.8元运费，那么最少要花多少运费？【池中戏水】1．下面算式中的两个方框内应分别填和______,才能使这道整数除法题的余数最大.□÷25=104…□2、100个自然数,它们的总和是10000,在这些数里,奇数的个数比偶数的个数多,那么这些数里至多有多少个偶数？3.把小正方体的六个面分别写上1、2、3、4、5、6.拿两个这样的正方体,同时掷在桌子上.每次朝上的两个面上的数的和,最小可能是 .最大可能是 ,可能出现次数最多的两个面的数的和是 .4、王奶奶有一个24米长的篱笆，想围成一个长方形的养鸡场，这个养鸡场的面积最大可以是多少平方米？如果一边靠墙呢？【江中畅游】1．某车场每天有4辆汽车经过A1、A2、A3、A4、A5、A6六个点组织循环运输（如图）.在A1点装货，需6个工人；在A2点卸货，需4个工人；在A3点装货，需8个工人；在A4点卸货，需5个工人；在A5点装货需3个工人；在A6点卸货，需4个工人.若每个点固定工人太多，会造成人力浪费，我们可以让装卸工人跟车走.这样有人跟车，有人固定，问最少要安排多少名装卸工人？【海中冲浪】1.王大伯从家(A点处)去河边挑水,然后把水挑到积肥潭里(B点处).请帮他找一条最短路线,在下图表示出来,并写出过程.AB··河。
六年级奥数分册第25周 最大最小问题-名师推荐
第二十五周 最大最小问题专题简析：人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。
最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。
例1：a 和b 是小于100的两个不同的自然数，求a －b a+b的最大值。
根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。
所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99a －b a+b 的最大值是99－199+1 =4950答：a －b a+b 的最大值是4950。
练习1：1、 设x 和y 是选自前100个自然数的两个不同的数，求x －y x+y的最大值。
2、 a 和b 是小于50的两个不同的自然数，且a ＞b ，求a －b a+b的最小值。
3、 设x 和y 是选自前200个自然数的两个不同的数，且x ＞y ，①求x+y x －y的最大值；②求x+y x －y的最小值。
例2：有甲、乙两个两位数，甲数27 等于乙数的23。
这两个两位数的差最多是多少？ 甲数：乙数=23 ：27=7：3，甲数的7份，乙数的3份。
由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56 答：这两个两位数的差最多是56。
练习2：1、 有甲、乙两个两位数，甲数的310 等于乙数的45。
这两个两位数的差最多是多少？ 2、 甲、乙两数都是三位数，如果甲数的56 恰好等于乙数的14。
这两个两位数的和最小是多少？3、 加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？例3：如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。
问：这样的数对共有多少个？在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－8921＝1078，被减数和剑术同时减去1后，又得到一个满足题意条件的四位数对。
六年级(下)举一反三 最大最小问题
第二十五周 最大最小问题专题简析：人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。
最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。
例1：a 和b 是小于100的两个不同的自然数，求a －b a+b的最大值。
根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。
所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99a －b a+b 的最大值是99－199+1 =4950答：a －b a+b 的最大值是4950。
练习1：1、 设x 和y 是选自前100个自然数的两个不同的数，求x －y x+y的最大值。
2、 a 和b 是小于50的两个不同的自然数，且a ＞b ，求a －b a+b的最小值。
3、 设x 和y 是选自前200个自然数的两个不同的数，且x ＞y ，①求x+y x －y的最大值；②求x+y x －y的最小值。
例2：有甲、乙两个两位数，甲数27 等于乙数的23。
这两个两位数的差最多是多少？ 甲数：乙数=23 ：27=7：3，甲数的7份，乙数的3份。
由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56 答：这两个两位数的差最多是56。
练习2：1、 有甲、乙两个两位数，甲数的310 等于乙数的45。
这两个两位数的差最多是多少？ 2、 甲、乙两数都是三位数，如果甲数的56 恰好等于乙数的14。
这两个两位数的和最小是多少？3、 加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？例3：如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。
问：这样的数对共有多少个？在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－8921＝1078，被减数和剑术同时减去1后，又得到一个满足题意条件的四位数对。
6奥—25最大最小问题
动动手，动动脑
把50拆成几个自然数的和，再求出这些数的 乘积，如何拆解可以使乘积最大？
动动手，动动脑
把2001拆成几个自然数的和，再求出这些数 的乘积，如何拆解可以使乘积最大？
例题
04
三个连续自然数，后面两个数的积与前面 两个数的积之差是114。这三个数中最小的 是多少？
03 数字是最小数字的2倍，这6个三位数中最小的数是
多少？
02Βιβλιοθήκη 练一练1、三个连续的奇数，后两个数的积与前两 个数的积之差是252。三个数中最小的数是______.
练一练
2、a、b、c是从小到大排列的三个数， 且a－b＝b－c，前两个数的积与后两个 数的积之差是280。如果b＝35，那么c是_____。
练一练
例题5
三个数字能组成6个不同的三位数。这6 个三位数的和是2886。求所有这样的6 个三位数中的最小的三位数。
05
练一练
1、有三个数字能组成6个不同的三位数。这6个不同的
01
三位数的和是3108。所有这样的6个三位数中最大的一 个是多少？
练一练
02
2、 有三个数字能组成6个不同的三位数。这6 个不同的三位数的和是2220。所有这样的6
个三位数中最小的一个是多少？
练一练
3、用a、b、c能组成6个不同的三位数。这6个三位数 相加的和是2886。已知a、b、c三个数字中，最大的
a和b是小于100的两个不同的自然数， 求的最大值。
例题1
练习1： 11111
练一练
练一练
练一练
例题2
111111
练一练
2、111111111
六年级奥数最大最小问题
最大最小问题例1：两个自然数的和是15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？例2：比较下面两个乘积的大小：A=57128463×87596512B=57128460×87596515例3：用长36米的竹篱围成一个长方形菜园，围成菜园的最大面积是多少？例4：口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问一次最少摸出几个小球，才能保证至少有4个小球颜色相同？例5：口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。
其中红球3个，黄球5个，蓝球10个。
现在一次从中任意取出n个，为保证这几个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？习题：1把25枚硬币分别放入8个空盒子中，要求每个盒子都要有硬币，那么其中的盒子中，最少可能有多少个硬币，最多能有几个硬币？2：今有甲、乙两个整数，其和为91，这两个数各为多少时，它们的乘积最大？最大是多少？3：有A、B两个整数，如果A×B=48，那么A、B各等于多少时，A+B最小？4：用长为28米的篱笆围成一块长方形菜地，应该怎样分别长宽，使围住的长方形菜地面积最大，并求出这个最大面积？5：用1~9这九个数字组成3个三位数，每个数字只用一次，使这3个三位数相乘的积尽可能大，这3个三位数各是多少？6：口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共20个。
其中红球4个，黄球6个，蓝球10个。
问一次最少取出几个，才能保证至少有6个小球颜色相同？7：若a、b、c、d是4个互不相同的自然数，且abcd=1988，则a+b+c+d的最大值是多少？8：比较A、B的大小：A=123456789×987654321B=123456788×9876543229：一张圆桌有12个座位，部分座位已有就座，乐乐来后一看，他无论坐哪一个作为，都将与已经就座的人相邻。
问：在乐乐之前已就座的最少有几个人？10：一个布袋里有红色、黄色、黑色袜子各20只。
六年级奥数--最大最小问题
六年级奥数——最大最小问题一、知识要点人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。
最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。
二、精讲精练【例题1】a 和b 是小于100的两个不同的自然数，求a －b a+b的最大值。
根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。
所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99a －b a+b 的最大值是99－199+1 =4950答：a －b a+b 的最大值是4950。
练习1：1、设x 和y 是选自前100个自然数的两个不同的数，求x －y x+y的最大值。
2、a 和b 是小于50的两个不同的自然数，且a ＞b ，求a －b a+b的最小值。
3、设x 和y 是选自前200个自然数的两个不同的数，且x ＞y ，①求x+y x －y的最大值；②求x+y x －y的最小值。
有甲、乙两个两位数，甲数27等于乙数的23。
这两个两位数的差最多是多少？甲数：乙数=23：27=7：3，甲数的7份，乙数的3份。
由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56答：这两个两位数的差最多是56。
练习2：1、有甲、乙两个两位数，甲数的310等于乙数的45。
这两个两位数的差最多是多少？2、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的56恰好等于乙数的14。
这两个两位数的和最小是多少？3、加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？【例题3】如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。
问：这样的数对共有多少个？在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－8921＝1078，被减数和剑术同时减去1后，又得到一个满足题意条件的四位数对。
二年级奥数周周练 第25周 年龄问题 (教师版)答案
第25周年龄问题一、知识要点小朋友，今年你8岁，明年你几岁？妈妈今年34岁，比你大26岁，明年妈妈比你大多少岁呢？这一周我们就讨论和年龄有关的数学问题。
在解答年龄问题时，要记住：每过一年，每人年龄都要长大一岁。
今年两人差几岁，再过几年两人还差几岁，这个差是不会变的。
二、精讲精练【例题1】爷爷今年65岁，小明今年8岁，5年以后，爷爷比小明大几岁？【思路导航】根据题意：“爷爷今年65岁，小明今年8岁”，可以得出爷爷今年比小明大65－8＝57（岁），因为每过一年，小明和爷爷的年龄都会增长一岁，而爷爷和小明的年龄差总是不变的，所以5年以后，爷爷比小明还是大57岁。
65－8＝57（岁）答：5年以后，爷爷比小明大57岁。
练习1：1.妈妈今年40岁，小兵今年13岁，10年以后，小兵比妈妈小几岁?40－13＝27（岁）答：10年以后，小兵比妈妈小27岁。
2.有甲、乙两个纸盒，甲盒中有30个乒乓球，乙盒中有27个乒乓球，现在从两个盒子里都拿走18个乒乓球，甲盒中剩下的乒乓球比乙盒中的多几个？30－27＝3（个）答：甲盒中剩下的乒乓球比乙盒中的多3个。
3.15年前，爷爷62岁，小冬10岁，今年爷爷比小冬大多少岁？62－10＝52（岁）答：今年爷爷比小冬大52岁。
【例题2】小华今年8岁，她比爸爸小27岁，5年前爸爸多少岁？5年后爸爸多少岁？【思路导航】根据题意可以求出爸爸今年27＋8＝35（岁），那么5年前，爸爸的年龄就为35－5＝30（岁），5年后，爸爸的年龄就为35＋5＝40（岁）。
27＋8＝35（岁）25－5＝30（岁）35＋5＝40（岁）答：5年前爸爸30岁，5年后爸爸40岁。
练习2：1.小宝宝今年2岁，她比妈妈小25岁，7年前妈妈多少岁？7年后妈妈多少岁？25＋2＝27（岁）27－7＝20（岁）27＋7＝34（岁）答：7年前妈妈20岁，7年后妈妈34岁。
2.爸爸今年30岁，小红比爸爸小26岁，3年后小红几岁？3年前小红几岁？30－26＝4（岁）4＋3＝7（岁）4－3＝1（岁）答：3年后小红7岁，3年前小红1岁。
小学数学 第25周 最大最小问题
第二十五周 最大最小问题专题简析：人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。
最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。
例1：a 和b 是小于100的两个不同的自然数，求的最大值。
a －b a +b根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。
所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99的最大值是= a －b a +b 99－199+14950答：的最大值是。
a －b a +b 4950练习1：1、设x 和y 是选自前100个自然数的两个不同的数，求的最大值。
x －y x +y2、a 和b 是小于50的两个不同的自然数，且a ＞b ，求的最小值。
a －b a +b3、设x 和y 是选自前200个自然数的两个不同的数，且x ＞y ，①求的最大值；②x +y x －y求的最小值。
x +y x －y例2：有甲、乙两个两位数，甲数等于乙数的。
这两个两位数的差最多是多少？2723甲数：乙数=：=7：3，甲数的7份，乙数的3份。
由甲是两位数可知，每份的数量2327最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56 答：这两个两位数的差最多是56。
练习2：1、有甲、乙两个两位数，甲数的等于乙数的。
这两个两位数的差最多是多少？310452、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的恰好等于乙数的。
这两个两位数的和最小是5614多少？3、加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？例3：如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。
问：这样的数对共有多少个？在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－8921＝1078，被减数和剑术同时减去1后，又得到一个满足题意条件的四位数对。
六年级奥数——最大与最小问题（附习题及解答）
第六讲最大与最小问题先看一个简单的问题妈妈让小明给客人烧水沏茶.洗开水壶要用1分钟烧开水要用15分钟洗茶壶要用1分钟洗茶杯要用1分钟拿茶叶要用2分钟小明估算了一下完成这些工作要花20分钟.为了使客人早点喝上茶按你认为最合理的安排多少分钟就能沏茶了这个题目取材于华罗庚教授1965年发表的《统筹方法平话》. 开水壶不洗不能烧开水因而洗开水壶是烧开水的先决条件没开水、没茶叶、不洗壶杯则不能泡茶这些又是泡茶的先决条件.因此我们可以列出它们的相互关系图从上图中很容易看出最省时间的办法是先洗开水壶用1分钟接着烧开水用15分钟在等待水开的过程中可以完成洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶水开了就沏茶这样仅用16分钟就能沏茶了这是没有“窝工”的最合理的安排用最少的时间完成了工作. 像这样研究某种量或几种量在一定条件下取得最大值或最小值的问题我们称为最大与最小问题. 在日常生活、科学研究和生产实践中存在大量的最大与最小问题.如把一些物资从一个地方运到另一个地方怎样运才能使路程尽可能短运费最省一项或多项工作如何安排调配才能使工期最短、效率最高等等都是最大与最小问题.这里贯穿了一种统筹的数学思想-最优化原则.概括起来就是要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下争取获得在可能范围内的最佳效果.这一原则在生产、科学研究及日常生活中有广泛的应用. 一、数、式、方程组中的最大最小问题例1 把14拆成几个自然数的和再求出这些数的乘积如何拆可以使乘积最大分析与解答这要考虑到一些隐含着的限制条件可以这样思考①要使14拆成的自然数的乘积最大所拆成的数的个数要尽可能多多一个可以多乘一次但1不应出现因为1与任何数的积仍为原数. ②拆出的加数不要超过4例如5它还可以拆成2和3而2×35所以加数大于4的数还要继续拆小. ③由于422又42×2因此拆出的加数中可以不出现4. ④拆出的加数中2的个数不能多于两个.例如拆成三个2不如拆成两个3.因为三个2的积为8两个3的积为9这就是说应尽可能多拆出3. 页码1/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM 因为143×42所以把14拆成3、3、3、3、2时积为3×3×3×3×2162最大. 对最大与最小问题一要注意变化规律即弄清思路又要注意限制条件对于字母则要根据其特点进行讨论分析. 例2 已知p·q-1x其中p、q为质数且均小于1000x是奇数那么x的最大值是____. 分析与解答由p·q-1xx为奇数可知q·px1是偶数又因为p、q为质数所以p、q中必有一个为偶质数2.不妨设p2. 为了使x尽可能大只须取q为最大的三位质数997.这时x达到最大值2×997-11993. 方程中有参数和其他条件也可能出现最大或最小问题. 的根为自然数则最小自然数a____. 分析与解答由原方程可得例4 求同时满足abc62a-bc3且b≥c≥0的a的最大值及最小值. 分析既然是求a的最大值及最小值就要想办法将b及c用a的代数式表示出来再根据b≥c≥0来求.求b及c可将abc62a-bc3看作含b、c的二元一次方程组页码2/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM 二、统筹方法中教学思想方法的初步应用在开始引例中引用了华罗庚教授《统筹方法平话》中的例子统筹方法是生产建设和企业管理中合理安排工作的一种科学方法它对于进行合理调度、加快工作进展、提高工作效率、保证工作质量是十分有效的所用数学思想是朴素而精彩的. 例5 5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟.如果只有一个水龙头试问怎样适当安排他们的打水顺序使所有人排队和打水时间的总和最小并求出最小值. 分析这是我们经常遇到而不去思考的问题其中却有着丰富的数学思想.5个人排队一共有5×4×3×2×1120种顺序要把所有情形的时间总和都计算出来加以比较就太繁琐了.凭直觉应该把打水时间少的人排在前面所费的总时间会省些.试用“逐步调整”法求解. 解首先证明要使所用总时间最省应该把打水时间需1分钟的人排在第一位置. 假如第一位置的人打水时间要a分钟其中2≤a≤5而打水需1分钟的人排在第b位其中2≤b≤5我们将这两个人位置交换其他三人位置不动.这样调整以后第b位后面的人排队和打水所费时间与调整前相同并且前b个人打水所费时间也未受影响但第二位至第b位的人排队等候的时间都减少了a-1分钟这说明调整后五个人排队和打水时间的总和减少了.换言之要使所费时间最省就要把打水需1分钟的人排在第一位置. 其次根据同样的道理再将打水需2分钟的人调整到第二位置将打水需3、4、5分钟的人逐次调整到三、四、五位.所以将五人按照打水所需时间由少到多的顺序排队所费的总时间最省得出5人排队和打水时间总和的最小值是1×52×43×34×25×135分钟. 本题所用的逐步调整法是一个很朴素的数学思想它使我们思考问题过程简化更有趣味. 例6 一个水池底部安有一个常开的排水管上部安有若干个同样粗细的进水管当打开4个进水管时需要5小时才能注满水池当打开2个进水管时需要15小时才能注满水池现在需要在2小时内将水池注满那么至少要打开多少个进水管分析本题没给出排水管的排水速度因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系才能确定至少要打开多少个进水管. 页码3/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM 解本题是具有实际意义的工程问题因没给出注水速度和排水速度故需引入参数.设每个进水管1小时注水量为a排水管1小时排水量为b根据水池的容量不变我们得方程4a-b×52a-b×15化简得4a-b6a-3b即ab. 这就是说每个进水管1小时的注水量等于排水管1小时的排水量. 再设2小时注满水池需要打开x个进水管根据水池的容量列方程得xa-a×22a-a×15 化简得2ax-2a15a 即2xa17a.a≠0 所以x8.5 因此至少要打开9个进水管才能在2小时内将水池注满. 注意x8.5这里若开8个水管达不到2小时内将水池注满的要求开8.5个水管不切实际.因此至少开9个进水管才行. 例7 在一条公路上每隔100千米有一个仓库共5个.一号仓库存货10吨二号仓库存货20吨五号仓库存货40吨三、四号仓库空着.现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里如果每吨货物运输1千米需要0.8元运费那么最少要花多少运费分析与解答由于运费是以每吨货物运输1千米为单位即吨·千米计量的因此要使运费最省就要把所有货物运往离货物最多的仓库适当近的地方集中. 我们依次计算以一、二、…、五号仓库为集中点所需的运费0.8×20×10040×40014400元0.8×10×10040×30010400元0.8×100×20020×10040×2009600元0.8×10×30020×20040×1008800元0.8×10×40020×3008000元. 因此把所有货物集中到五号仓库所需的运费最少运费为8000元. 说明①由例7的枚举解法中我们可以看出如果某处货物的重量大于或等于货物总重量的一半那么把货物往此处集中花的运费是最少或最少之一的.这可以叫做“小往大处靠”原则. 可以解释如下.把各个仓库用A1A2…An表示Ai中的货物重量为mi把所有页码4/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM货物集中到Ai的运输吨·千米数为ai它与集中货物到A所需的运输费用成正比货物总重量为Mm1m2…mn. a1相比较把货物集中到Ai2≤i≤n的运输吨·千米数ai所增加的至少是m1·A1Ai所减少的至多是m2m3…mn·A1Ai这里A1Ai表示A1与Ai之间的距离. ∴ai≥a1. 这说明了“小往大处靠”原则是正确的. 处靠”原则不成立.例如.在例7中一、二、五号仓库中的存货如果分别为30吨、10吨、30吨那么容易知道把货物集中到二号仓库运费最少. 例8 若干箱货物总重19.5吨每箱重量不超过353千克今有载重量为1.5吨的汽车至少需要几辆才能把这些箱货物一次全部运走分析与解答如果认为19.5÷1.513因此只需13辆汽车就可以把这些箱货物一次全部运走这就把题意理解错了.因为货物是整箱装的每辆汽车不一定都能满载.请先看一个反例它说明甚至15辆车都不一定能一次运完. 例如这批货物共装有65只箱子其中64箱的重量都是301千克不超过353千克另一箱的重量是236千克那么总重量为301×6423619500千克. 恰好符合总重为19.5吨的要求由于301×51505千克即5只重量为301千克的箱子的总和超过1.5吨因此每辆汽车最多只能装4只重量为301千克的箱子15辆汽车最多只能装4×1560只重量为301千克的箱子这样必然有4只重量为301千克的箱子无法再装运了. 既然15辆汽车无论如何无法一次运完上例中的65只箱子那么16辆汽车能不能一次运完这些货物呢答案是肯定的.事实上301×42361440千克不超过1.5吨这就是说第16辆汽车可以装余下的4只重量为301千克的箱子和1只重量为236千克的箱子.所以16辆汽车可以一次运完这些箱货物. 页码5/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM 问题到这里仍然没有彻底解决.因为每箱货物的重量只要求不超过353千克除此别无具体数量的限制所以我们还应该对于一般情况上例仅是一种特殊情况来验证16辆汽车确实能一次运完全部箱子. 首先让12辆汽车装货刚刚超过1.5吨即若取下最后装的一只箱子就不超过1.5吨再从这12辆汽车上把每辆车最后装的那只箱子卸下来并把这12只箱子分别装上另外3辆空车每车4箱由于每车4箱总重量不超过4×3531412千克. 因此也不超过1.5吨.这时12315辆车就装完原来前12辆车上全部货物总重量超过1.5×1218吨. 而且每辆车载重不超过1.5吨于是剩下来装车的箱子总重量不足19.5-181.5吨可以把它们全部装在第16辆车上运走. 三、最短的路线几何中的最大最小问题例9 下图直线l表示一条公路A、B表示公路同一侧的两个村子现在要在公路l上修建一个汽车站问这个汽车站建在哪一点时A村与B村到汽车站的距离之和最短分析与解答如果A、B两个村子在公路l的两侧问题就简单了只要把A、B两点连接起来与公路l 的交点就是建站的地方因为两点之间线段最短. A、B两村在公路l的同侧的情形我们用“对称”的方法来解决先求出A点关于l的对称点A连结AB与l交点于C点则C点就是汽车站应建的那个点. 为什么ACBC是距离最短呢我们假设不选C点而选择C外的一点C显然有ACCBACCBAB ACCBACCB. 根据“连接两点的线中直线段最短”有ACCBAB所以选择C点能使ACCB距离最短. 利用这种对称原理可以解决很多复杂的问题. 例10 设牧马营地在M每天牧马人要赶着马群先到河边饮水再到草地吃草然后回营地.问怎样的放牧路程最短页码6/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM 分析与解答依题意每一条放牧路线都是一个三角形的三条边我们设法把这条路线变成两个固定点之间的连线. 根据“对称”原理设草地的边线是l1河流的岸线是l2下图.令M关于l1、l2的对称点分别是M1、M2连结MM 分别交l1、l2于A、B则路线M→B→A→M就是最短路线读者可自己证明其路线最短. 几何中的最大与最小问题很多待学习一些知识后将有很多有趣的最大与最小的问题等待你去解决. ??页码7/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM习题六且不大于2则n的最大值是____. 2.赵师傅要加工某项工程五个相互无关的部件急需的5个零件如果加工零件A、B、C、D、E所需时间分别是5分钟、3分钟、7分钟、4分钟、6分钟.问应该按照什么次序加工使工程各部件组装所需要的总时间最少这个时间是多少3.下图小明住在甲村奶奶住在乙村星期天小明去看奶奶先在北山坡打一捆草又在南山坡砍一捆柴给奶奶送去.请问小明应选择怎样的路线使路程最短 4.某车场每天有4辆汽车经过A1、A2、A3、A4、A5、A6六个点组织循环运输如图.在A1点装货需6个工人在A2点卸货需4个工人在A3点装货需8个工人在A4点卸货需5个工人在A5点装货需3个工人在A6点卸货需4个工人.若每个点固定工人太多会造成人力浪费我们可以让装卸工人跟车走.这样有人跟车有人固定问最少要安排多少名装卸工人??页码1/1习题六2011-10-28ada99:11242_SR.HTM习题六解答1.510.2.65分钟.加工顺序为B、D、A、E、C.3.如下图用“对称”方法找出甲和乙连接甲乙后交北山坡于A交南山坡于B.小明应在A处打草在B处砍柴.4.22名. ??页码1/1习题六解答2011-10-28ada99:11243_SR.HTM。
六年级奥数之最大最小问题
1.a 和 b 是小于 100 的两个不同的自然数，求 的最大值。
a+b x －y x －y最大最小问题a －ba+b2.设 x 和 y 是选自前 100 个自然数的两个不同的数，求的最大值。
x －yx+ya －b3.a 和 b 是小于 50 的两个不同的自然数，且 a ＞b ，求的最小值。
4.设 x 和 y 是选自前 200 个自然数的两个不同的数，且 x ＞y ，x+y x+y ①求 的最大值；②求 的最小值。
7 3 10 5 6 42 25.有甲、乙两个两位数，甲数 等于乙数的 。
这两个两位数的差最多是多少？3 46 有甲、乙两个两位数，甲数的 等于乙数的 。
这两个两位数的差最多是多少？5 17.甲、乙两数都是三位数，如果甲数的 恰好等于乙数的 。
这两个两位数的和最小是多少？8.加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做 48 个、32 个、28 个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？9.如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。
问：这样的数对共有多少个？10.两个四位数的差是8921。
这两个四位数的和的最大值是多少？11.如果两个三位数的和是525，就说这两个三位数组成一个数对。
那么这样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的差最小是多少？最大是多少？12.如果两个四位数的差是3456，就说这两个数组成一个数对。
那么，这样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的和最大是多少？最小是多少？7 14 2113.三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是 114。
这三个数中最小的是多少？14.桑连续的奇数，后两个数的积与前两个数的积之差是252。
三个数中最小的数是______.15.a 、b 、c 是从小到大排列的三个数，且 a －b ＝b －c ，前两个数的积与后两个数的积之差是 280。
如果 b ＝35，那么 c是_____。
小学奥数训练六年级第25周最大最小问题
第25周最大最小问题专题简析人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。
最大最小问题涉及的知识多，灵活性强，解题时，要善于综合运用所学的知识。
王牌例题1a和b是小于100的两个不同的正整数。
求的最大值。
【思路导航】根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小，所以b= 1;由b= 1可知，分母比分子大2，也就是说，所求的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此，a=99。
的最大值是答的最大值是49/50举一反三11. 设×和y是选自前100个正整数的两个不同的数。
求的最大值。
2. a和b是小于50的两个不同的正整数，且a>b，求的最小值。
3. ×和y是选自前200个正整数的两个不同的数，且×>y；。
①求的最大值;②求的最小值。
王牌例题2有甲、乙两个两位数，甲数的2/7等于乙数的2/3。
这两个两位数的差最大是多少？【思路导航】甲数：乙数== 7 ： 3，甲数是7份，乙数是3份。
由甲数是两位数可知，每份的数量最多是14，甲数与乙数相差4份，所以甲、乙两数的差最大是14×(7—3) = 56。
答:这两个两位数的差最大是56。
举一反三21.有甲、乙两个两位数，甲数的3/10等于乙数的4/5.这两个两位数的差最大是多少？2•甲、乙两数都是三位数，如果甲数的5/6恰好等于乙数的1/4，那么甲、乙两数的和最小是多少？3.加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每小时三道工序完成的个数相同，至少要安排多少名工人？王牌例题3把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？【思路导航】这要考虑一些隐含的限制条件，可以这样思考：①要使14拆成的自然数的乘积最大，所拆成的数的个数要尽可能多，但1不应出现，因为1与任何数的积仍为原数。
小学六年级奥数训练第二十五周最大最小问题
那么这样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的差最 小是多少？最大是多少？ 3、 如果两个四位数的差是 3456，就说这两个数组成一个数对。那 么，这样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的和最大 是多少？最小是多少？
例 2：
2
2
有甲、乙两个两位数，甲数 7 等于乙数的 3 。这两个两位数的差
最多是多少？
22 甲数：乙数 =3 ：7 =7 ：3，甲数的 7 份，乙数的 3 份。由甲是
两位数可知，每份的数量最大是 14，甲数与乙数相差 4 份，所以，
甲、乙两数的差是 14×（ 7-3 ）=56
答：这两个两位数的差最多是
序完成的个数相同，至少要安排多少工人？
2
例 3： 如果两个四位数的差等于 8921，就是说这两个四位数组成一个数
对。问：这样的数对共有多少个？ 在这些数对中，被减数最大是 9999，此时减数是 9999－8921＝
1078，被减数和剑术同时减去 1 后，又得到一个满足题意条件的四位 数对。为了保证减数是四位数，最多可以减去 78，因此，这样的数 对共有 78+1＝79 个。
例 4． 三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是 114。
这三个数中最小的是多少？ 因为：最大数×中间数－最小数×中间数＝ 114，即：（最大数－
最小数）×中间数＝ 114
3
小学六年级奥数训练 第二十五周 最大最小问题
专题简析： 人们碰到的各种优化问题、 高效低耗问即小学阶段的最大最小问题。 最大最小问题设计到的知 识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。
六年级奥数最大和最小问题
最大和最小问题（二）[同步巩固演练]1、 一个整数乘以13后，乘积的最后三位数是123，那么这样的整数中最小的是_____________。
2、 一把钥匙只能开一把锁。
现有8把钥匙和8把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试____________次才能配好全部的钥匙和锁。
3、 将135个苹果分成若干份，并且使其中任意两堆苹果数都不相同，最多可以分成____________份。
4、（全国小奥赛试题）现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各一个，最多可以称出______________种不同的重量。
5、（“我爱数学”少年夏令营竞赛试题）在给定的2×8的方格表中，第一行的8个方格内；依次写着1,2,3,4,5,6,7,8（如下表）。
如果再把1,2,3,4,5,6,7,8按适当次序分别填入第二行的8个方格内，使得每列两数之差（大数减小数）的8个差数两两不同，那么第二行所显示的八位数的最大可能值是_____________。
6、ABCD 表示一个四位数，EFG 表示一个三位数，A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 代表1与9中不同的数字。
已知,1993=+EFG ABCD 问：乘积EFG ABCD ⨯的最大值与最小值差多少？[能力拓展平台] 1、（全国小奥赛试题）前五次考试的总分是428分，第六次至第九次的平均分，比前五次平均分多1.4分。
现在要进行第十次考试，要使后五次平均分高于所有十次的平均分，那么第十次至少要考__________分。
（注：每次考试的分数都是整数）。
1、 在下图中，每个数字表示走这段路所需要的时间（单位：分钟），求A 到B 的最短时间。
3、甲城有157吨货物要运到乙城，大卡车载重量是5吨，小卡车的载重量是3吨，耗油量分别是10升和7.5升，用多少辆大卡车及小卡车来运输，耗油量最省？4、（全国小奥赛试题）已知从1开始连续n 个自然数相乘，1×2×3×…×n乘积的尾部恰有25个连续的0，那么n 的最大值是多少？5、 某健身球由一个黑球和一个白球组成一套。
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1第25周最大最小问题一、知识要点人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。
最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。
二、精讲精练【例题1】a 和b 是小于100的两个不同的自然数（不包括0），求a －b a+b的最大值。
【思路导航】根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。
所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99。
a －b a+b 的最大值是99－199+1=4950答：a －b a+b 的最大值是4950。
练习1：1.设x 和y 是小于100的两个不同的自然数（不包括0），求x －y x+y的最大值。
根据题意可知，当x 的取值越大，y 的取值越小，x －y x+y的值越大。
因此，当x ＝100，y ＝1时，x －y x+y 的值最大，最大为100－1100＋1＝99101。
2.a和b是小于50的两个不同的自然数（不包括0），且a＞b，求a－ba+b的最小值。
根据题意可知，要使分数的值最小，应使分子尽可能小，使分母尽可能大。
因此，当a＝49，b＝48时，a－ba+b的值最小，最小为49－4849＋48＝197。
3.设x和y是选自以1开始的200个自然数中的两个不同的数，且x＞y，①求x+yx－y的最大值；②求x+yx－y的最小值。
①当x＝200，y＝199时，x+yx－y的值最大，最大为200＋199200－199＝399；②当x＝200，y＝1时，x+yx－y的值最小，最小为200＋1200－1＝201199。
2【例题2】有甲、乙两个两位数，甲数27等于乙数的23。
这两个两位数的差最多是多少？【思路导航】甲数：乙数=23：27=7：3，甲数7份，乙数3份。
由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56。
答：这两个两位数的差最多是56。
练习2：1.有甲、乙两个两位数，甲数的310等于乙数的45。
这两个两位数的差最多是多少？甲数：乙数=45：310=8 ：3，甲数8份，乙数3份。
由甲是两位数可知，每份的数量最大是12，甲数与乙数相差5份，所以，甲、乙两数的差是12×（8-3）=60。
答：这两个两位数的差最多是60。
2.甲、乙两数都是三位数，如果甲数的56恰好等于乙数的14。
这两个三位数的和最小是多少？甲数：乙数=14：56=3 ：10，甲数3份，乙数10份。
由甲是三位数可知，每份的数量最小是34，甲数与乙数的和是13份，所以，甲、乙两数的和是34×（3＋10）=442。
答：这两个三位数的和最小是442。
33.加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？想法一：第一、二、三道工序所需的工人数的比是148：132：128＝14：21：24，所以至少安排14+21+24＝59个工人。
想法二：48、32、28这三个数的最小公倍数是672，因此三道工序每天至少要完成的零件个数都是672个。
第一道工序的工人：672÷48=14人；第二道工序的工人：672÷32=21人，第三道工序的工人：672÷28=24人。
所以至少安排14+21+24＝59个工人。
答：至少要安排59个工人。
4【例题3】如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。
问：这样的数对共有多少个？【思路导航】在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－8921＝1078，被减数和减数同时减去1后，又得到一个满足题意条件的四位数对。
为了保证减数是四位数，最多可以减去78，因此，这样的数对共有78+1＝79个。
答：这样的数对共有79个。
练习3：1.两个四位数的差是8921。
这两个四位数的和的最大值是多少？9999+（9999－8921）＝11077答：这两个四位数的和的最大值是11077。
2.如果两个三位数的和是525，就说这两个三位数组成一个数对。
那么这样的数对共有多少个？组成数对的两个数的差最小是多少？最大是多少？两个三位数中较小数最大是（521－1）÷2＝262，100～262共有163个自然数,所以组成的数对共有163个，组成数对的两个数的差最小是263－262＝1,最大是（525－100）－100＝325。
答：这样的数对共有163个，组成数对的两个数的差最小是1,最大是325。
3.如果两个四位数的差是3456，就说这两个数组成一个数对。
那么，这样的数对共有多少个？组成数对的两个数的和最大是多少？最小是多少？这样的数对共有（9999－3456）－1000+1＝5544个，组成数对的两个数的和最大是（9999－3456）+9999＝16542，两个数的和最小是（1000+3456）+1000＝5456。
答：这样的数对共有5544个，组成数对的两个数的和最大是16542，最小是5456。
56 【例题4】三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是114。
这三个数中最小的是多少？【思路导航】由题意可知：最大数×中间数－最小数×中间数＝114，即：（最大数－最小数）×中间数＝114，而三个连续自然数中，最大数－最小数＝2，因此，中间数是114÷2＝57，最小数是57－1＝56。
答：这三个数中最小的是56。
练习4：1.三个连续的奇数，后两个数的积与前两个数的积之差是252。
三个数中最小的数是______。
由题意可知：最大数×中间数－最小数×中间数＝252，即：（最大数－最小数）×中间数＝253，而三个连续奇数中，最大数－最小数＝4，因此，中间数是252÷4＝63，最小数是63－2＝61。
答：三个数中最小的数是61。
2.a 、b 、c 是从小到大排列的三个数，且a －b ＝b －c ，前两个数的积与后两个数的积之差是280。
如果b ＝35，那么c 是_____。
根据题意可得（a －c ）×b ＝280，进而可以推出a －c ＝280÷b ＝280÷35＝8，那么a －b ＝b －c ＝8÷2＝4，所以，c ＝35－4＝31。
3.被分数67，514，1021除得的结果都是整数的最小分数是______。
由题意可知，所求分数的分子是6，5，10的最小公倍数为30，分母是7，14，21的最大公约数为7，所以答案是307。
答：被分数67，514，1021除得的结果都是整数的最小分数是307。
【例题5】三个数字能组成6个不同的三位数。
这6个三位数的和是2886。
求所有这样的6个三位数中的最小的三位数。
【思路导航】因为三个数字分别在百位、十位、个位各出现了2次。
所以，2886÷222能得到三个数字的和。
设三个数字为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为＝（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2＝（a+b+c）×222＝2886即a+b+c＝2886÷222＝13答：所有这样的6个三位数中，最小的三位数是139。
练习5：1.有三个数字能组成6个不同的三位数。
这6个不同的三位数的和是3108。
所有这样的6个三位数中最大的一个是多少？符合题意的三个数字之和是3108÷222＝14，因此，所有这样的6个三位数中最大的一个是941（三个数字不能有0，否则就不能排出6个不同的三位数）。
答：所有这样的6个三位数中最大的一个是941。
2.有三个数字能组成6个不同的三位数。
这6个不同的三位数的和是2220。
所有这样的6个三位数中最小的一个是多少？符合题意的三个数字之和是2220÷222＝10，因此，所有这样的6个三位数中最小的一个是127。
答：所有这样的6个三位数中最小的一个是127。
3.用a、b、c能组成6个不同的三位数。
这6个三位数相加的和是2886。
已知a、b、c三个数字中，最大的数字是最小数字的2倍，这6个三位数中最小的数是多少？符合题意的三个数字之和是2886÷222＝13，又因为三个数字中最大的数字是最小数字的2倍，因此，这6个三位数中最小的数是346。
答：这6个三位数中最小的数是346。
7。