概率测试题4
概率论习题试题集4
一、填空题1. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望____________)(2=+-XeX E 。
2. 若随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，且3.0)42(=<<X P ，则__________)0(=<X P 。
3. 已知离散随机变量X 服从参数为2的泊松分布，即 ,2,1,!2)(2===-k e k k X P k ，则23-=X Z 的数学期望___________)(=Z E 。
4. 已知连续型随机变量X 的概率密度为1221)(-+-=x xe xf π，则________________,__________==DX EX 。
5. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且)2()1(===X P X P ，则________________,__________==DX EX 。
6. 设离散随机变量X 的取值是在两次独立试验中事件A 发生的次数，如果在这些试验中事件发生的概率相同，并且已知,9.0=EX 则________=DX 。
7. 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为4.0，则2X 的数学期望_____________2=EX 。
8. 设随机变量X 与Y 相互独立，4,2==DY DX ，则______________)2(=-Y X D 。
（12）9.若随机变量321,,X X X 相互独立，且服从相同的两点分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.08.010，则∑==31i i X X 服从_________分布，___________________,__________==DX EX 。
10.设随机变量X 与Y 相互独立，其概率密度分别为：⎩⎨⎧≤≤=其他,010,2)(x x x ϕ，⎩⎨⎧>=--其他,05,)()5(y e y y ϕ，则_______________)(=XY E 。
二、选择题1. 已知随机变量X 服从二项分布，且44.1,4.2==DX EX ，则二项分布的参数p n ,的值为（ ）（A ）6.0,4==p n ； （B ）4.0,6==p n ； （C ）3.0,8==p n ；（D ）1.0,24==p n 。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷4(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，则( ) A．(X，Y)是服从均匀分布的二维随机变量B．Z=X+Y是服从均匀分布的随机变量C．Z=X-Y是服从均匀分布的随机变量D．Z-X2是服从均匀分布的随机变量正确答案：A解析：当X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布时，(X，Y)的概率密度为所以，(X，Y)是服从均匀分布的二维随机变量．因此本题选(A)．知识模块：概率论与数理统计2．设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，则随机变量Z=Y-X 的概率密度fZ(z)= ( )A．B．C．D．正确答案：C解析：记Z的分布函数为FZ(z)，则其中Dz={(x，y)Θy-x≤z)如图3-1的阴影部分所示，知识模块：概率论与数理统计3．设随机变量X与Y相互独立，且X～N，则概率P{｜X-Y｜＜1} ( ) A．随σ1与σ2的减少而减少B．随σ1与σ2的增加而增加C．随σ1的增加而减少，随σ2的减少而增加D．随σ1的增加而增加，随σ2的减少而减少正确答案：C解析：由X～N，从而由于Ф(x)是x的单调增加函数，因此当σ1增加时，减少；当σ2减少时增加．因此本题选(C)．知识模块：概率论与数理统计4．设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0，1)，Y～B(n，p)(0＜p＜1)，则X+Y的分布函数( )A．为连续函数B．恰有n+1个间断点C．恰有1个间断点D．有无穷多个间断点正确答案：A解析：记Z=X+Y，则Z的分布函数是n+1个连续函数之和，所以为连续函数．因此本题选(A)．知识模块：概率论与数理统计5．现有10张奖券，其中8张为2元的，2张为5元的．今从中任取3张，则奖金的数学期望为( )A．6B．7．8C．9D．11．2正确答案：B解析：记奖金为X，则X全部可能取的值为6，9，12，并且知识模块：概率论与数理统计填空题6．设二维随机变量的分布律为则随机变量Z=Y.min{X，Y}的分布律为________正确答案：解析：Z全部可能取值为0，1，2，3，且P(Z=0)=P{Y.min{X，Y}=0}=P{min{X，Y}=0}=P{X=0)=P{Z=1}=P{Y.min{X，Y}=1}=P{Y=1，min{X，Y}=1}=P{X=1，Y=1)=P{Z=2}=P(Y.min{X，Y}=2}=P{Y=2，min{X，Y}=1}=P{X=1，Y=2}=P{Z=3}=P{Y．min(X，Y}=3)=P{Y=3，min{X，Y}=1}=P(X=1，Y=3)=所以Z的分布律为知识模块：概率论与数理统计7．设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为1的指数分布，则随机变量的概率密度为_______正确答案：解析：X的概率密度为知识模块：概率论与数理统计8．一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0．10，0．20，0．30，设备部件状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，则X的方差DX为________正确答案：0．46解析：X的全部可能取值为0，1，2，3，且P{X=0}=(1-0．10)×(1-0．20)×(1-0．30)=0．504，P{X=1}=(1-0．10)×(1-0．20)×0．30+(1-0．10)×(1-0．30)×0．20+(1-0．20)×(1-0．30)×0．10=0．398，P{X=2}=(1-0．10)×0．20×0．30+(1-0．20)×0．10×0．30+(1-0．30)×0．10×0．20=0．092，P{X=3}=0．10×0．20×0．30=0．006，所以EX=0×0．504+1×0．398+2×0．092+3×0．006=0．6，E(X2)=02×0．504+12×0．398+22×0．092+32×0．006=0．82．DX=E(X2)-(EX)2=0．82-(0．6)2=0．46．知识模块：概率论与数理统计9．设随机变量X的概率密度为为________正确答案：解析：知识模块：概率论与数理统计10．设随机变量Y服从参数为1的指数分布，记则E(X1+X2)为_______正确答案：解析：所以E(X1+X2)=EX1+EX2=e-1+e-2= 知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(概率论与数理统计)模拟试卷4(题后含答案及解析)
考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X与Y都服从正态分布，则( )A．X与Y一定独立．B．(X，Y)服从二维正态分布．C．X与Y未必独立．D．X+Y服从一维正态分布．正确答案：C解析：事实上，X与Y都服从正态分布，二者在已知条件下得不到它们之间的必然联系．(X，Y)服从二维正态分布的充分必要条件是aX+bY服从一维正态分布，其中x，b不同时为0．即使(X，Y)服从二维正态分布，X与Y也未必服从正态分布，因此选项(B)和(D)都不正确．知识模块：概率论与数理统计2．边缘分布均为正态分布的二维随机变量其联合分布( )A．必为二维正态分布．B．必为均匀分布．C．不一定为二维正态分布．D．由两个边缘分布确定．正确答案：C解析：边缘分布可由联合概率分布确定，但联合概率分布需要在诸如独立等条件下才能由边缘分布确定，因此(D)不正确．例如，如果(X，Y)的概率密度为f(x，y)=(1+sinxsiny)，一∞＜x，y＜+∞．其不服从二维正态分布，但X和Y都服从标准正态分布．知识模块：概率论与数理统计3．设随机变量X，Y，Z相互独立，且X服从N(1，2)，Y服从N(2，2)，Z服从N(3，7)，a=P{X＜Y}，b=P{Y＜Z}，则( )A．a＞b．B．a＜b．C．a=b．D．a，b大小不能确定．正确答案：A解析：由于X服从N(1，2)，Y服从N(2，2)，且X与Y相互独立，从而X 一Y服从N(一1，4)，同理Y-Z服从N(一1，9)．从而a＞b．知识模块：概率论与数理统计4．设相互独立的随机变量X1和X2的分布函数分别为F1(x)和F2(x)，概率密度分别为f1(x)和f2(x)，则随机变量Y=min(X1，X2)的概率密度f(x)=( ) A．f1(x)f2(x)．B．f1(x)F1(x)+f2(x)F2(x)．C．f1(x)[1一F2(x)]+f2(x)[1一F1(x)]．D．f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)．正确答案：C解析：Y=min(X1，X2)的分布函数为FY(x)=1一[1一F1(x)][1一F2(x)]，所以fY(x)=F’Y(x)=f1(x)[1一F2(x)]+f2(x)[1-F1(x)]，因此选(C)．知识模块：概率论与数理统计5．设(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度fX｜Y(x｜y)为( ) A．fX(x)．B．fY(y)．(c)fX(x)fY(y)．C．．D．考查二维正态分布的独立性的判断和应用，如果(X，Y)服从二维正态分布，X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关．正确答案：A解析：由于X与Y不相关，从而X与Y独立，所以fX｜Y(x｜y)=fX(x)．知识模块：概率论与数理统计6．设随机变量X和Y相互独立，且都服从指数分布E(λ)，则下列结论正确的是( )A．X+Y服从E(2λ)．B．X-Y服从E(2λ)．C．min(X，Y)服从E(2λ)．D．max(X，Y)服从E(2λ)．正确答案：C解析：由于X和Y相互独立，且都服从E(λ)，其分布函数为F(x)=min(X，Y)的分布函数Fmin(x)=1-[1-F(x)]2=1—e-2λx，x＞0．即min(X，Y)服从E(2λ)．知识模块：概率论与数理统计7．设随机变量X与Y相互独立，且X在区间(0，1)上服从均匀分布，Y 的概率分布为P{Y=0}=P{Y=1}=P{Y=2}=，记FZ(z)=的分布函数，则函数FZ(z)的间断点的个数为( )A．0个．B．1个．C．2个．D．3个．正确答案：B解析：因为X在区间(0，1)上服从均匀分布，显然，z=0是FZ(z)的间断点，因此选(B)．知识模块：概率论与数理统计8．设X，Y为连续型随机变量，且P{XY≤0}=，则P{min(X，Y)≤0}=( ) A．B．C．D．正确答案：D解析：事件{max(X，Y)≥0}的对立事件为{X＜0，Y＜0}，由P{max(X，Y)≥0}=．又{XY≤0}{min(X，Y)≤0}，且{X＜0，Y＜0}={min(X，Y)≤0}一{XY≤0}，故P{min(X，Y)≤0}=P{X＜0，Y＜0}+P{XY≤0}=．知识模块：概率论与数理统计9．设X1，X2，…，Xn相互独立同分布，每个分布函数均为F(x)，记X=min(X1，…，Xn)，Y=max(X1，…，Xn)，则(X，Y)的分布函数F(x，y)当y ＞x时在(x，y)处的值为( )A．[F(x)F(y)]nB．[F(y)]n一[F(y)一F(x)]nC．[F(y)]n一[F(y)一F(x)F(y)]n．D．[r(x)]n一[F(x)一F(y)]n．正确答案：B解析：r(x，y)=P{X≤x，Y≤y}=P{x≤+∞，Y≤y}一P{X＞x，Y≤y} =P{Y≤y}一P{X＞x，y≤y}=P{max(X1，X2，…，Xn)≤y}-P{min(X1，X2，…，Xn)＞x，max(X1，X2，…，Xn)≤y}=[F(y)]n一P{X1＞x，…，Xn＞x，X1≤y，…，Xn≤y}=[F(y)]n一P{x＜X1≤y，x＜X2≤y，…，x＜Xn≤y}=[F(y)]n一P{x＜X1≤)，}P{x＜X2≤y}…P{x＜Xn≤y}=[F(y)]n一[F(y)-F(x)]n (y＞x)．知识模块：概率论与数理统计填空题10．设(X，Y)的概率密度为f(x，y)=，一∞＜x，y＜+∞，则Z=X—Y的概率密度fZ(z)=__________。
真题考试：2021 概率论与数理统计(经管类)真题及答案(4)
真题考试：2021 概率论与数理统计（经管类）真题及答案(4)共100道题1、设X，Y为随机变量，E(X)=E(Y)=1，Cov(X，Y)=2，则E(2XY)= 【】（单选题）A. -6B. -2C. 2D. 6试题答案：D2、设随机变量x的概率密度为（单选题）A. 0B. 1/4C. 1/2D. 1试题答案：B3、设P(B)=0.6， P(A|-B)=0.5，则P(A-B)= （单选题）A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4试题答案：B4、设P(B)=0.6， P(A|-B)=0.5，则P(A-B)= （单选题）A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4试题答案：B5、设随机变量x满足E(X2)=20, D(X)=4,则E(2X)= （单选题）A. 4B. 8C. 16D. 32试题答案：B6、设随机变量X的分布函数为F(x)，则下列结论正确的是（单选题）A. F(+∞)=-1B. F(+∞)=0C. F(-∞)=0D. F(-∞)=1试题答案：C7、（单选题）A.B.C.D.试题答案：A8、（单选题）A. N（-1，3）B. N（-1，9）C. N（1，3）D. N（1，9）试题答案：B9、设随机变量X的分布律为（单选题）A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.8试题答案：B10、设随机变量X~ B（3,1/5）,则P{X=2}= （单选题）A. 1/125B. 12/125C. 3/25D. 12/25试题答案：B11、（单选题）A.B.C.D.试题答案：C12、为样本方差，则下列结论成立的是（单选题）A.B.C.D.试题答案：A13、设X1,X2...X10是来自总体X的样本，且X ~ N(0,1)，（单选题）A.B.C.D.试题答案：B14、已知X与Y的协方差Cov(X，Y)=-1/2，则Cov(一2X，Y)= 【】（单选题）A. -1/2B. 0C. 1/2D. 1试题答案：D15、有6部手机，其中4部是同型号甲手机，2部是同型号乙手机，从中任取3部，恰好取到一部乙手机的概率是（单选题）A. 1/20B. 1/10C. 3/10D. 3/5试题答案：D16、设随机变量X的分布函数为F(x)，则下列结论中不一定成立的是（单选题）A.B.C.D.试题答案：D17、（单选题）A. N（-1，3）B. N（-1，9）C. N（1，3）D. N（1，9）试题答案：B18、设随机变量X与Y的相关系数为0.5，D(X)=9，D(Y)=4，则D(3X-Y)= 【】（单选题）A. 5B. 23C. 67D. 85试题答案：C19、设随机变量X在[-2,2]上服从均匀分布，则P{X≥1}= （单选题）A. 0B. 1/4C. 1/2D. 1试题答案：B20、设随机事件A,B满足P(A)=0.2，P(B)=0.4, P(B|A=0.6，则P(B-A)= （单选题）A. 0.16B. 0.2C. 0.28D. 0.32试题答案：C21、已知随机变量X~N(-2,2),则下列随机变量中,服从N(0,1) 分布的是（单选题）A.B.C.D.试题答案：D22、设二维随机变量(X,Y)的分布律为则P{x=0}=（单选题）A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.5试题答案：D23、设随机变量X~ B（3,1/5）,则P{X=2}= （单选题）A. 1/125B. 12/125C. 3/25D. 12/25试题答案：B24、设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，则(X，Y)关于X的边缘分布函数Fx(x)=（单选题）A.B.C.D.试题答案：A25、设二维随机变量(X，Y)的分布律为则P{X=Y}=（单选题）A. 0.2B. 0.25C. 0.3D. 0.5试题答案：D26、设A,B为随机事件，则（单选题）A.B.C.D.试题答案：D27、甲袋中有3个红球1个白球，乙袋中有1个红球2个白球，从两袋中分别取出一个球，则两个球颜色相同的概率是（单选题）A. 1/6B. 1/4C. 1/3D. 5/12试题答案：D28、设总体X~ N(μ,σ2)，x1,x2...x n为来自该总体的样本，X为样本均值，S2为样本方差，则μ的极大似然估计为（单选题）A.B.C.D.试题答案：A29、服从的分布是（单选题）A.B.C.D.试题答案：C30、有6部手机，其中4部是同型号甲手机，2部是同型号乙手机，从中任取3部，恰好取到一部乙手机的概率是（单选题）A. 1/20B. 1/10C. 3/10D. 3/5试题答案：D31、设随机变量x的概率密度为（单选题）A. 1/4B. 1/2C. 2/3D. 3/4试题答案：A32、设随机变量X的分布律为（单选题）A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.8试题答案：B33、设随机变量X～B(3，0.2)，则P{X>2}= 【】（单选题）A. 0.008B. 0.488C. 0.512D. 0.992试题答案：A34、设α是假没检验中犯第一类错误的概率，H。
概率初步试题及答案
概率初步试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 某事件的概率为0.5，那么它的对立事件的概率是（）。
A. 0.5B. 0C. 1D. 0.3答案：C2. 抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是（）。
A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 1答案：A3. 随机变量X服从二项分布B(n,p)，其中n=10，p=0.3，那么P(X=3)是（）。
A. 0.3B. 0.03C. 0.09D. 0.33答案：C4. 某次考试，甲、乙、丙三人的成绩独立，甲通过的概率为0.7，乙通过的概率为0.6，丙通过的概率为0.5，那么三人都通过的概率是（）。
A. 0.21B. 0.35C. 0.105D. 0.05答案：C5. 已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ=0，σ^2=1，那么P(-1<X<1)是（）。
A. 0.6826B. 0.95C. 0.8413D. 0.9772答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 概率的取值范围是（）。
答案：[0,1]2. 随机变量X服从泊松分布，其参数λ=4，则P(X=2)=（）。
答案：0.33. 某次实验中，事件A和事件B是互斥的，且P(A)=0.4，P(B)=0.3，则P(A∪B)=（）。
答案：0.44. 已知随机变量X服从均匀分布U(0,3)，则E(X)=（）。
答案：1.5三、计算题（每题10分，共20分）1. 已知随机变量X服从二项分布B(5,0.2)，求P(X≥3)。
答案：P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C_5^3*0.2^3*0.8^2+C_5^4*0.2^4*0.8+0.2^5=0.0512+0.0128+0.00032=0.064322. 已知随机变量X服从正态分布N(2,4)，求P(1<X<3)。
答案：P(1<X<3)=Φ((3-2)/2)-Φ((1-2)/2)=Φ(0.5)-Φ(-0.5)=0.6915-0.3585=0.333四、解答题（共40分）1. 某班有50名学生，其中有20名女生，30名男生。
概率论与数理统计试卷4
《概率论与数理统计》试卷4一、填空题（每小题3分，共15分）1. 已知随机变量X 的分布函数为F (x )=A +B arctan x ，则A =____，B =____，概率密度函数f (x )=_ _________.2. 设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式P {|X －Y | ≥ 6}≤ .3. 设X 1，X 2，X 3，X 4是来自正态总体N (0, 32)的简单随机样本，X = a (X 1－2X 2)2＋b (3X 3－4X 4)2.则当a = ，b = 时，统计量X 服从χ2分布，其自由度为 .4. 设总体X~),(2σμN ，则~)1(22σS n -_ _分布, E (S 2) =__ _，D (S 2)=_ _.5. 设随机变量X ，Y 相互独立都服从正态分布)3,0(2N ，而X 1, X 2,…,X 9和Y 1, Y 2,…, Y 9分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则统计量922221921Y Y Y X X X U ++++++=服从_ _ _分布，参数为_ __.二、选择题（每小题3分，共15分）1． 已知X 服从参数为n , p 的二项分布且() 3.6E X =，2()14.4E X =，则n , p 的值分别为 ( )(A) 6, 0.6 (B) 12, 0.3 (C) 36, 0.1 (D) 24, 0.152． 设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,1)和N (1,1), 则( )(A) P {X +Y ≤0}=0.5 (B) P {X +Y ≤1}=0.5 (C) P {X -Y ≤0}=0.5 (D) P {X -Y ≤1}=0.53． 设随机变量X ，Y 都服从标准正态分布，则（ ） （A ）X +Y 服从正态分布 （B ）X 2+Y 2服从χ2分布（C ）X 2和Y 2都服从χ2分布 （D ）X 2/Y 2服从F 分布4． 设两个随机变量X 与Y 相互独立同分布：P {X = －1} = 0.5，P {X= 1}= 0.5，则下列各式成立的是（ ）（A ） P {X = Y } = 0.5 （B ）P {X =Y } = 1（C ）P {X ＋Y = 0} = 0.25 （D ）P {X Y = 1} = 0.255． 设X 1，X 2，…，X n 是来自正态总体N (0，1)的简单随机样本，X 、S 分别是样本的均值和样本标准差，则有（ ）（A ）~(0,1)nX N （B ）~(0,1)X N （C ）~(1)Xt n S - （D ）221~()ni i X n χ=∑ 三、（10分）某射手进行射击，每次射击击中目标的概率为p （0 < p < 1），射击进行到击中目标两次时为止.令X 表示第一次击中目标时的射击次数，Y 表示第二次击中目标时的射击次数，试求X 、Y 的联合分布列p ij ，条件分布列p i |j , p j |i 及条件期望E {X |Y = n }. 四、（15分）某种电子仪器由甲乙两部件构成，以X ，Y 分别表示甲乙两部件的寿命（以小时计）.已知X 和Y 的联合分布函数为0.50.50.5()1e e e , 0,0(,)0, x y x y x y F x y ---+⎧--+≥≥=⎨⎩其它(1) 关于X ，Y 的边缘分布函数F X (x )及F Y (y )； （2）问X 和Y 是否相互独立，为什么？（3）求X 与Y 的联合概率密度f (x , y )； （4）计算两个部件的寿命都超过100小时的概率.五、（10分）某单位内部有260部电话分机，每个分机有4％的时间要用外线通话，可以认为各个电话分机用不用外线是相互独立的，问总机要备有多少条外线才能以95％的把握保证各个分机在用外线时不必等候.( Φ (1.65)=0.9505 Φ (1.64)=0.9495 )六、（10分）某化工厂的产品中含硫量的百分比在正常情形下服从正态分布N (μ, σ 2).为了知道设备经过维修后产品中平均含硫量的百分比μ是否改变，测试了9个产品，它们含硫量的百分比的均值和方差分别为： 4.364 0.054x s ==，试求 （1） μ的置信水平为0.9的置信区间；（2） 能否认为含硫量的百分比显著小于 4.55？（显著性水平α＝0.05）七、（10分）设某种商品每年的需求量X （以万吨计）服从[2, 4]上的均匀分布，设每售出1吨这种商品可以获利3万元，假设销售不出而囤积于仓库，则每吨需要花费1万元保管费，问需要组织多少货源，才能使商店获得的期望利润最大.八、（15分）设X 1, X 2, …, X n 是取自下列指数分布的一个样本，1e , 0()0 , 0x x f x x θθ-⎧≥⎪=⎨⎪<⎩(1) 试求θ的矩估计量ˆθ；(2) 证明ˆθ是θ 的无偏、一致、有效估计.参考答案： 一、填空题1. 1/2 ，1/π， 1/π (1+x 2)2. 1/123. 1/45，1/225，24. χ2, σ 2, 2σ4/ (n -1)5. t , 9 二、选择题1. A2. B3. C4. A5. D 三、解：据题意知P ij = P {X = i , Y = j } = p 2q j －2, 1 ≤ i < j = 2, 3, …其中q =1－p ，又2122111i j i i j i p q p p qpq q-∞--=+===-∑, i =1, 2, (1)1222211(1)j j j j j ij i i p p p q j p q ----=-===-∑∑, j =2, 3, …于是条件分布列为|11ij i j jp p p j ==- 1 ≤ i < j = 2, 3, (22)1|1j ijj i j i i i p p q p pq p pq----=== j > i , i = 1, 2, … 这时E {X |Y = n }11|11112n n i n i i nip in --=====-∑∑. 四、解：（1）F X (x )＝F X (x ，＋∝)＝0.51e , 00, x x -⎧-≥⎨⎩其它F Y (x )＝F Y (＋∝，y )＝0.51e , 00, y y -⎧-≥⎨⎩其它（2）因为 F (x ，y )＝F X (x )·F Y (y )，所以X 和Y 相互独立（3）f (x , y )＝0.5()20.25e, 0,00, x y x y F x y -+⎧>>∂=⎨∂∂⎩其它（4）P (X >100, Y >100) =0.5()100100100100(,)d d 0.25e d d x y f x y x y x y +∞+∞+∞+∞-+=⎰⎰⎰⎰=100e - 五、解：令1, 0, i i X i ⎧=⎨⎩第个分机要用外线第个分机不用外线i =1, 2, …, 260则P (X i = 1) = 0.04 = p (q =1－p = 0.96)如果260架分机中同时使用外线的分机数为X ，显然有X 2601i i X ==∑据题意是要求确定最小的整数x ，使得P (X < x ) ≥ 0.95成立.因为n = 260较大，所以有P (X < x)P =<22e d t bt --∞≈其中b.查标准正态分布表，知道Φ (1.65) = 0.9505 > 0.95，故取b = 1.65，于是260x p =以 p = 0.04、q = 0.96及b = 1.65代入，即可求得x ≈ 15.61 取x = 16，所以总机要备有16条外线才能以95％的把握保证各个分机在用外线时不必等候.六、解：（1）μ的置信水平为0.1的置信区间为（0.10.122(8),(8)x x ）＝（4.297, 4.397） 假设H 0：μ ≥ μ0 = 4.55，备择假设H 1：μ <μ0 = 4.55由0.05(8)}0.05x P t <-=，查表－t 0.05(8) =－1.8595，x －10.28，故拒绝H 0，认为含硫量的百分比显著小于4.55. （t 0.1(8)=1.3968, t 0.1(9)=1.3830, t 0.05(8)=1.8595,t 0.05(9)=1.8331）七、解：设需要组织货源a 吨，商店获得的利润L (X ,a ) = 3, 3(), a X aX a X X a≥⎧⎨--<⎩X 的分布函数为1, 24()20, x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它期望利润为(,)EL X a =4214)d 3d 2aa x a x a x -+⎰⎰（=212d (2)3(4)2a x x a a a a --+-⎰2272d 132a x x a a =-+⎰令d (,)0d EL X a a=，得2a －7a ＋13 = 0，解得 a = 2.6 八、证明：（1）总体均值1()d e d xEX xf x x x x θθθ-+∞+∞-∞===⎰⎰所以θ 的矩估计量ˆθ＝11ni i X n =∑（2） 1︒ 因为E X = E 11ni i X n =∑= θ ，所以X 是θ 的无偏估计2︒ 由辛钦大数定律，对任意的ε > 0, 11lim {||}1ni n i P X n θε→∞=-<=∑,所以X是θ 的一致估计. 3︒ 先求出信息量I (θ),2log (,)1(log )f x x xθθθθθθθ∂∂=--=-+∂∂ 2222234log (,)11[()][()][2]f X X X X E E E θθθθθθθ∂=-+=-+∂223421212θθθθθθ=-+＝21()nI nθθ=222111()()n i i D X D X n n n nθθ====∑ 所以X 是θ 的有效估计.。
概率论与数理统计第四章测试题
第4章 随机变量的数字特征一、选择题1．设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y 的方差是 (A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 442．若随机变量X 和Y 的协方差(),0Cov X Y =，则以下结论正确的是（ ） (A) X 与Y 相互独立 (B) D(X+Y)=DX+DY(C) D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY 3．设随机变量X 和Y 相互独立，且()()221122,,,X NY N μσμσ::，则2Z X Y =+:（ ） (A) ()221212,2N μμσσ++ (B) ()221212,N μμσσ++(C) ()2212122,4N μμσσ++ (D) ()2212122,4N μμσσ--4．设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y 与η=X-Y 不相关的充要条件为(A) EX=EY (B) E(X 2)- (EX)2= E(Y 2)- (EY)2(C) E(X 2)= E(Y 2) (D) E(X 2)+(EX)2= E(Y 2)+ (EY)25．设X 、Y 是两个相互独立的随机变量且都服从于()0,1N ，则()max ,Z X Y =的数学 期望()E Z =（ ）(B) 6．设X 、Y 是相互独立且在()0,θ上服从于均匀分布的随机变量，则()min ,E X Y =⎡⎤⎣⎦（ ） (A)2θ (B) θ (C) 3θ (D) 4θ7．设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY 是X 和Y （ ） (A) 不相关的充分条件，但不是必要条件 (B) 独立的充分条件，但不是必要条件 (C) 不相关的充分必要条件 (D) 独立的充分必要条件 8．若离散型随机变量X 的分布列为(){}()1121,2,2nnn P X n =-⋅==L ，则()E X =（ ） (A) 2 (B) 0 (C) ln2 (D) 不存在9．将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于（A ）－1 （B ）0 （C ）21 （D ）110．设随机变量X 和Y 独立同分布，具有方差2σ>0，则随机变量U=X+Y 和V=X-Y （A ）独立 (B) 不独立 （C ） 相关 (D) 不相关11．随机变量X 的方差存在，且E(X)=，则对于任意常数C ，必有 。
大学概率论习题四详解
大学概率论习题四详解(A)1、设随机向量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，对任意d c b a ,,,（d c b a <<,），证明：),(),(),(),(),(c a F c b F d a F d b F d Y c b X a P +--=≤<≤<。
解 ),(),(),(d y c a X P d Y c b X P d Y c b X a P ≤<≤-≤<≤=≤<≤<),(),(),(),(c a F c b F d a F d b F +--=2、一台仪表由二个部件组成，以X 和Y 分别表示这二个部件的寿命（单位：小时），设),(Y X 的分布函数为⎩⎨⎧>>+--=+---其他00010*******y x e e e y x F y x y x ,,),()(...求二个部件的寿命同时超过120小时的概率。
解 ),(∞<<∞<<Y X P 120120090701111120120120120424221212121.)()()(),(),(),(),(......==+--+----=+∞-∞-∞∞=------e e e e e e F F F F 3、设X 等可能的取1,2,3,4中的一个，Y 等可能的取1,… ,X 中的一个，求),(Y X 的联合分布及关于Y 的边缘分布列。
解 易见，X 和Y 的取值都是1,2,3,4，且X 取i 的概率为41,此时Y 取i ,, 1中一数j 的概率为i1,因此ij Y i X P 41===),(,而当j i <时0===),(j Y i X P 。
于是得到),(Y X 的联合分布：关于Y 的边缘分布列：4、某射手，每次击中目标的概率为p )10(<<p ，射击进行到第二次击中目标为止，设i X 表示第i次击中目标时所射击的次数)2,1(=i ，求),(21X X 的联合分布列、边缘分布。
(常考题)北师大版初中数学七年级数学下册第六单元《概率初步》测试(包含答案解析)(4)
一、选择题1．学完《概率初步》这一章后，老师让同学结合实例说一说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（）A．小智说，做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是2 3B．小慧说，某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖C．小通说，射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是12D．小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一2．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，下列说法正确的是（）A．大量反复抛掷每100次出现正面朝上50次B．连续抛掷10次不可能都正面朝上C．抛掷硬币确定谁先发球的规则是公平的D．连续抛掷2次必有1次正面朝上3．某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下图是这种幼树在移植过程中成活情况的一组数据统计结果．下面三个推断：①当移植棵数是1500时，该幼树移植成活的棵数是1356，所以“移植成活”的概率是0．904；②随着移植棵数的增加，“移植成活”的频率总在0．880附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计这种幼树“移植成活”的概率是0．880；③若这种幼树“移植成活”的频率的平均值是0．875，则“移植成活”的概率是0．875．其中合理的是（）A．①③B．②③C．①D．②4．下列说法正确的是（）A．扔100次硬币，都是国徽面向上，是不可能事件B．小芳在扔图钉游戏中，扔10次，有6次都是钉尖朝下，所以钉尖朝下的可能性大C．王明同学一直是级部第一名，他能考上重点高中是必然事件D．投掷一枚均匀的骰子，投出的点数是10，是一个确定事件5．事件：“在只装有3个红球和4个黑球的袋子里，摸出一个白球”是（）A．可能事件B．不可能事件C．随机事件D．必然条件6．下列事件中，是必然事件的为( )A．3天内会下雨B．打开电视机，正在播放广告C．367人中至少有2人公历生日相同D．抛掷1个均匀的骰子，出现4点向上7．“学习强国”的英语“Learningpower”中，字母“n”出现的频率是（）A．1 B．12C．213D．28．下列说法正确的是（）A．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件B．“随机抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上”是随机事件C．一组数据的中位数可能有两个D．一组数据的波动越大，方差越小9．一个不透明的袋中有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小林在袋中放入10个与红球形状大小完全相同的白球，每次摇匀后随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，则袋中的红球个数约为( )A．6 B．16 C．22 D．2410．为了估计抛掷同一枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率，小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的次数为420次，凸面向下的次数为580次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率约为（）A．0.42 B．0.50 C．0.58 D．0.7211．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（）A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球B．摸出的三个球中至少有一个球是白球C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球D．摸出的三个球中至少有两个球是白球12．以下事件为必然事件的是（）A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数小于6B．多边形的内角和是360C．二次函数的图象不过原点D．半径为2的圆的周长是4π二、填空题13．九年级某班有50名同学，在一次数学测试中有35名同学达到优秀，课上老师随机抽取一名同学回答问题，则抽到在此次测试中数学成绩达到优秀的概率是_____．14．一个均匀的正方体，6个面中有1个面是黄色的、2个面是红色的、3个面是绿色的．任意掷一次该正方体，则绿色面朝上的可能性是____．15．必然事件发生的概率是____．16．一个不透明的布袋中放有大小、质地都相同四个红球和五个白球，小敏第一次从布袋中摸出一个红球后放回布袋中，接看第二次从布袋中摸球，那么小敏第二次还是摸出红球的可能性为_____．17．如果在五张完全相同的纸片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、等腰梯形，打乱后随机抽取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于_____．18．不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个白球的概率是16，则口袋里有蓝球_____个.19．在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增加到14人，其中任取7名裁判的评分作为有效分，这样做的目的是 ______．20．在一个不透明的袋子中有10个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的概率约为30%，估计袋中白球有_____个．三、解答题21．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个.若从中任意摸出一个白球的概率是1 3 .（1）求盒子中黑球的个数；（2）求任意摸出一个球是黑球的概率；（3）能否通过改变盒子中球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为14，若能，请写出你的修改方案.22．一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共10个，它们除了颜色外完全相同，其中黄球个数比白球个数的3倍少2个，从袋中摸出一个球是黄球的概率为0.4.（1）求袋中红、黄、白三种颜色的球的个数；（2）向袋中放入若干个红球，使摸出一个球是红球的概率为0.7，求放入红球的个数；（3）在（2）的条件下，求摸出一个球是白球的概率.23．现有足够多除颜色外均相同的球，请你从中选9个球设计摸球游戏.（1）使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等；（2）使摸到红球、白球、黑球的概率都相等；（3）使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都小于摸到黑球的概率.24．（7分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=－x＋3与两坐标轴围成一个△AOB．现将背面完全相同，正面分别标有数l、2、3、、的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点P的横坐标，再在剩下的4张卡片中任取一张，将该卡片上的数作为点P的纵坐标，请用所学的知识求出点P落在△AOB内部的概率．25．甲，乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标的三个数值为-7，-1，3．乙袋中的三张卡片上所标的数值为-2，1，6．先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出的卡片上的数值，把x，y分别作为点P的横坐标和纵坐标．（1）请用列表法或画树状图的方法写出点P（x，y）的所有情况；（2）求点P落在双曲线6yx=-上的概率．26．“初中生骑电动车上学”的现象越来越受到社会的关注，某校利用“五一”假期，随机抽查了本校若干名学生和部分家长对“初中生骑电动车上学”现象的看法，统计整理制作了的统计图，请回答下列问题：（1）这次抽查的家长总人数是多少？（2）请补全条形统计图和扇形统计图；（3）从这次接受调查的学生中，随机抽查一个学生，则抽到持哪一类态度学生的可能性大？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】试验次数足够大时，频率才可以表示概率，A选项试验次数过少，所以错误；5%是每张均有%的可能中奖，而不是100张彩票一定会有5张中奖，偷换概念；概率题一定要考虑样本空间，然后确定样本，C中还有脱靶的可能，所以错误；抛掷一枚均匀硬币，结果只有两种正面朝上和正面朝下，且每次发生的可能是相等的，每做一次，正面朝上的概率都是二分之一．【详解】小智说，做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，但是试验次数少，因此不能确定钉尖朝上的概率，所以A错误；小慧说，某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票不一定会有5张中奖，所以B 错误；小通说，射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是1 2不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，还有脱靶的可能，所以C错误；小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一，所以D正确．故选：D．【点睛】本题考察了频率和概率的区别，等可能时间概率的计算；在初中课程中认为当试验次数足够大时，频率可以表示概率；等可能事件中，n件事发生的概率都是相等的，因此每件事发生的概率是1n．2．C解析：C【分析】根据概率的意义逐一判断即可得．【详解】A. 大量反复抛掷每100次出现正面朝上接近50次，此选项错误；B. 连续抛掷10次可能都正面朝上，但可能性较小，此选项错误；C. 通过抛掷硬币确定两人谁先发球的比赛规则是公平的，此选项正确；D. 连续抛掷2次可能有1次正面朝上，此选项错误.故选C【点睛】本题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．3．D解析：D【分析】根据统计图中的数据和频率与概率的关系，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【详解】当移植棵数是1500时，该幼树移植成活的棵数是1356，所以此时“移植成活”的频率是0.904，但概率不一定是0.904，故①错误，随着移植棵数的增加，“移植成活”的频率总在0.880附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计这种幼树“移植成活”的概率是0.880，故②正确，若这种幼树“移植成活”的频率的平均值是0.875，则“移植成活”的概率也不一定是0.875，因为某一次或几次的频率太高或太低会影响估计概率，概率是一件事情发生的可能性，故③错误，故选：D.【点睛】此题考查频率与概率，统计图，解题关键在于看懂图中数据.4．D解析：D【分析】利用概率的意义、随机事件的定义及可能性的大小的知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、扔100次硬币，都是国徽面向上，是随机事件，故错误；B、扔10次，有6次都是钉尖朝下，不能说明钉尖朝下的可能性大，故错误；C、王明同学一直是级部第一名，他能考上重点高中是随机事件，故错误；D、投掷一枚均匀的骰子，投出的点数是10，是一个确定事件，正确，故选D．【点睛】考查了可能性的大小及随机事件的知识，解题的关键是了解概率的意义、随机事件的定义及可能性的大小的知识，难度不大．5．B解析：B【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】“在只装有3个红球和4个黑球的袋子里，摸出一个白球”是不可能事件；故选B．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6．C解析：C【解析】【分析】根据随机事件与必然事件的定义逐一进行判断即可.【详解】A.3天内会下雨是随机事件，故该选项不符合题意，B.打开电视机，正在播放广告是随机事件，故该选项不符合题意，C.367人中至少有2人公历生日相同是必然事件，故该选项符合题意，D.抛掷1个均匀的骰子，出现4点向上是随机事件，故该选项不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了随机事件与必然事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；在一定条件下，必然会发生的事件称为必然事件，事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件.7．C解析：C【分析】直接利用频率的定义分析得出答案．【详解】∵“学习强国”的英语“Learningpower”中，一共有13个字母，n有2个，∴字母“n”出现的频率是：213故选C．【点睛】此题主要考查了频率的求法，正确把握定义是解题关键．8．B解析：B【解析】【分析】利用必然事件的定义,中数的定义,方差的定义即可作出判断.【详解】解：A. “打开电视机，正在播放《新闻联播》”是随机事件，错误.B. “随机抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上”是随机事件,正确.C. 一组数据的中位数有1个，错误.D. 一组数据的波动越大，方差越大，错误.故选B.【点睛】本题考查了必然事件的定义,中位数的定义,方差的性质,难度适中.9．A解析：A【解析】【分析】根据口袋中有10个白球，利用红色小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．【详解】解：设袋中的红球的个数为x，根据题意，得：解得：x=6，经检验：x=6是原分式方程的解，∴袋中红球的个数为6，故选：A．【点睛】本题考查用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解题关键．10．A解析：A【解析】【分析】根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可．【详解】∵抛掷同一枚啤酒瓶盖420+580=1000次．经过统计得“凸面向上”的次数约为420次， ∴抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为4201000=0.42， 故选A ．【点睛】本题主要考查概率的意义、等可能事件的概率，大量重复试验事件发生的频率约等于概率． 11．A解析：A【分析】根据必然事件的概念：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件分析判断即可.【详解】A 、是必然事件；B 、是随机事件，选项错误；C 、是随机事件，选项错误；D 、是随机事件，选项错误．故选A ．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明12．D解析：D【分析】必然事件是指一定会发生的事件，概率为1，根据该性质判断即可．【详解】 掷一枚质地均匀的骰子，每一面朝上的概率为16，而小于6的情况有5种，因此概率为56，不是必然事件，所以A 选项错误； 多边形内角和公式为()2180n -︒，不是一个定值，而是随着多边形的边数n 的变化而变化，所以B 选项错误；二次函数解析式的一般形式为2y ax bx c =++()0a ≠，而当c=0时，二次函数图象经过原点，因此不是必然事件，所以C 选项错误；圆周长公式为2C r π=，当r=2时，圆的周长为4π，所以D 选项正确．故选D ．【点睛】本题考查了必然事件的概念，关键是根据不同选项所包含的知识点的概念进行判断对错；必然事件发生的概率为1，随机事件发生的概率为0<P<1，不可能事件发生的概率为0．二、填空题13．【分析】根据概率的计算公式计算即可【详解】∵有50名同学有35名同学达到优秀∴此次测试中数学成绩达到优秀的概率是=；故答案为：【点睛】本题考查了简单概率的计算熟记概率计算公式是解题的关键解析：7 10．【分析】根据概率的计算公式计算即可．【详解】∵有50名同学，有35名同学达到优秀，∴此次测试中数学成绩达到优秀的概率是3550=7 10；故答案为：7 10．【点睛】本题考查了简单概率的计算，熟记概率计算公式是解题的关键．14．【分析】根据简单事件的概率公式计算解答【详解】6个面中有1个面是黄色的2个面是红色的3个面是绿色的任意掷一次该正方体则绿色面朝上的可能性是故答案为：【点睛】此题考查简单事件的概率理解事件中绿色发生的解析：1 2【分析】根据简单事件的概率公式计算解答．【详解】6个面中有1个面是黄色的、2个面是红色的、3个面是绿色的．任意掷一次该正方体，则绿色面朝上的可能性是31 62 ，故答案为：12．【点睛】此题考查简单事件的概率，理解事件中绿色发生的可能性大小是解题的关键．15．1【分析】必然事件就是一定会发生的事件它的概率为1【详解】必然事件发生的概率是1即P（必然事件）=1故答案为1【点睛】本题考查了随机事件解决本题需要正确理解必然事件不可能事件随机事件的概念必然事件指解析：1【分析】必然事件就是一定会发生的事件，它的概率为1.【详解】必然事件发生的概率是1，即P（必然事件）=1.故答案为1.【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．16．【分析】小敏第一次从布袋中摸出一个红球的概率为第二次从布袋中摸出一个红球的概率为据此可得两次摸出的球都是红球的概率【详解】∵小敏第一次从布袋中摸出一个红球的概率为第二次从布袋中摸出一个红球的概率为∴解析：16 81.【分析】小敏第一次从布袋中摸出一个红球的概率为49，第二次从布袋中摸出一个红球的概率为49，据此可得两次摸出的球都是红球的概率．【详解】∵小敏第一次从布袋中摸出一个红球的概率为49，第二次从布袋中摸出一个红球的概率为49，∴两次摸出的球都是红球的概率为：49×49=1681．故答案为16 81．【点睛】本题主要考查了概率的计算，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．【解析】【分析】由五张完全相同的卡片上分别画有平行四边形矩形菱形等边三角形等腰梯形其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有矩形菱形然后直接利用概率公式求解即可求得答案【详解】∵五张完全相同的卡片上分别解析：2 5【解析】【分析】由五张完全相同的卡片上分别画有平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、等腰梯形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有矩形、菱形，然后直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】∵五张完全相同的卡片上分别画有平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、等腰梯形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有矩形、菱形，∴现从中任意抽取一张，卡片上所写的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为25， 故答案为:25． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意：概率=所求情况数与总情况数之比．18．9【解析】解：设口袋里有蓝球m 个则口袋里共有（2+1+m ）个小球由题意得：解得：m=9故答案为9解析：9 【解析】解：设口袋里有蓝球m 个，则口袋里共有（2+1+m ）个小球，由题意得：21216m =++，解得：m =9．故答案为9．19．减少有效分中有受贿裁判评分的可能性【解析】若有1人受贿则原先有受贿裁判评分的概率是现在有受贿裁判评分的概率为所以这样做的目的是减少有效分中有受贿裁判评分的可能性故答案为减少有效分中有受贿裁判评分的可解析：减少有效分中有受贿裁判评分的可能性 【解析】若有1人受贿,则原先有受贿裁判评分的概率是79,现在有受贿裁判评分的概率为714,所以这样做的目的是减少有效分中有受贿裁判评分的可能性,故答案为减少有效分中有受贿裁判评分的可能性.20．3【分析】根据摸到白球的概率公式=40列出方程求解即可【详解】解：不透明的布袋中的小球除颜色不同外其余均相同共有10个小球其中白色小球x 个根据古典型概率公式知：P （白色小球）==30解得：x=3故答解析：3 【分析】根据摸到白球的概率公式10x=40%，列出方程求解即可． 【详解】解：不透明的布袋中的小球除颜色不同外，其余均相同，共有10个小球，其中白色小球x 个，根据古典型概率公式知：P （白色小球）=10x=30%， 解得：x=3． 故答案为3．考点：已知概率求数量．三、解答题21．（1）7个黑球；（2）715；（3）能，方案见解析. 【分析】（1）利用概率公式求出总数，进而可得出盒子中黑球的个数； （2）直接利用概率公式得出答案；（3）利用概率公式计算得出符合题意的方法． 【详解】解：（1）()153573÷-+=（个）， 答：盒子中有7个黑球；（2）任意摸出一个球共出现15种等可能的结果，其中摸到黑球的有7种，P （摸到黑球）715=； （3）能，方案：往盒子中放入一个同样大小的红球，任意摸出一个球共出现16种等可能的结果，其中摸到红球的有4种.P （摸到红球）3111154+==+（方案不唯一） 【点睛】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n． 22．（1）袋中红、黄、白三种颜色的球的个数分别是4个、4个、2个；（2）向袋中放入10个红球；（3）摸出一个球是白球的概率是0.1. 【解析】 【分析】（1）根据概率的性质可求出黄球的个数，再求出白球的个数，即可求解 （2）设放入红球x 个，根据概率公式可列出方程进行求解； （3）根据概率公式即可求出摸出一个球是白球的概率 【详解】（1）黄球个数：100.44⨯=（个），白球个数：()4232+÷=（个），红球个数：10424--=（个），即袋中红、黄、白三种颜色的球的个数分别是4个、4个、2个；（2）设放入红球x 个，则()4100.7x x +=+⨯，10x =，即向袋中放入10个红球； （3）()20.11010P ==+摸出一个球是白球，即摸出一个球是白球的概率是0.1.【点睛】此题主要考查概率的应用，解题的关键是熟知简单事件的概率求解. 23．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）设计红球和白球的个数相等即可； （2）让红球、白球、黑球的个数都相等即可；（3）让红球和白球的个数相等，且小于黑球的个数即可． 【详解】解：可以按如下设计：（1）袋中放入红球4个，白球4个，黑球1个，则P （红球）P =（白球）49=,P （黑球）19=； （2）袋中放入红球3个，白球3个，黑球3个，则P （红球）P =（白球）P =（黑球）13=； （3）袋中放入红球2个，白球2个，黑球5个，则P （红球）P =（白球）29P <（黑球）59=； 【点睛】考查概率公式的应用；用到的知识点为：在总数一定的情况下，相应数量越多，概率越大． 24．1231（2,1） （3,1）（,1）（,1）2（1,2）（3,2）（,2）（,2）3（1,3）（2,3）（,3）（,3）（1,）（2,）（3,）（,）（1,）（2,）（3,）（,）当时，∴点（1,），（1,）在△AOB内部，当时，∴点（2,），（2,）在△AOB内部，当时，∴设上述点在△AOB内部，当时，则点（,1）（,2），（,）在△AOB内部，当时，则点（,1）（,2）, （,）在△AOB内点，则点P在△AOB的内部概率P(内部)【解析】试题分析：由列表法得到所有的点，再找出在△AOB内部的点的个数即可．试题由题意得，列表如下：1231（1,2）（1,3）（1，）（1，）2（2,1）（2,3）（2，）（2，）3（3,1）（3,2）（3，）（3，）（,1）（,2）（,3）（，）（,1）（,2）（,3）（，）所有的点共有20个，当x=1时，y=2，点（1，），（1，）在△AOB内部，有2个；当x=2时，y=1，点（2，），（2，）在△AOB内部，有2个；当x=3时，y=0，没有点在△AOB内部，有0个；当x=时，y=，点（，1），（,2），（，）在△AOB内部，有3个；当x=时，y=，点（，1），（,2），（，）在△AOB内部，有3个；可以发现落在△AOB内的点共有10个，所以点P落在△AOB内的概率为=．考点：1．概率公式；2．一次函数的性质．25．（1）列表见解析；（2）点P落在双曲线6yx=-上的概率是29．【解析】试题分析：（1）列表得出所有等可能的情况数即可；（2）判断落在双曲线上点的情况数，求出所求的概率即可．试题（1）列表如下：﹣7﹣13﹣2（﹣7，﹣2）（﹣1，﹣2）（3，﹣2）1（﹣7，1）（﹣1，1）（3，1）6（﹣7，6）（﹣1，6）（3，6）所有等可能的情况有9种；（2）落在双曲线6yx=-上的点有：（3，﹣2），（﹣1，6）共2个，则P=29．考点：列表法与树状图法．26．（1）这次调查了100个家长；（2）图形见解析；（3）持“赞成”态度的学生估计约有300个.【解析】试题分析：（1）根据“无所谓”的人数除以占的百分比得到调查的总家长数；（2）由调查家长的总数求出“反对”的人数，补全条形统计图，求出“反对”与“赞成”的百分比，补全扇形统计图即可；（3）求出学生中“赞成”的百分比，乘以1200即可得到结果．试题（1）根据题意得：20÷20%=100（个），则这次调查了100个家长；（2）家长“反对”的人数为100﹣（10+20）=70（个）；占的百分比为70÷100=70%；“赞成”占的百分比为10÷100=10%；补全统计图，如图所示：（3）根据题意得：1200×=300（个），则持“赞成”态度的学生估计约有300个，考点：1、条形统计图；2、扇形统计图；3、用样本估计总体。
概率论与数理统计 自测题4
=
1 n
n
∑
i=1
Xi
,则【
】
( A)
Cov(
X1
,
Y
)
=
σ2 n
.
(C)
D(
X1
+
Y
)
=
(n
+ n
2)
σ
2.
(B) Cov( X1,Y ) = σ 2.
(D)
D( X1
−Y
)
=
n +1σ n
2.
三、计算
1.
设随机变量X1服从 λ
=
1 2
的指数分布，X2的概率分布密度函数
f
(
x)
=
⎧⎪⎨cxe−
x 2
A 18
B9
C 30
D 36
3.设X是随机变量，EX=μ，DX=σ2，则对任意常数C，必有 【 】
A
E(X-C)2=EX2-C2
B E(X-C)2=E(X-μ)2
C
E(X-C)2≤E(X-μ)2
D E(X-C)2≥E(X-μ)2
23
4．设随机变量 X 的密度函数为
f (x) =
π
(1
1 +
x
2
)
(−∞
10.随机变量 X 服从参数为λ的指数分布，则 P{X > DX } = 。
1 0.15 0.20
。 .
二、选择题
1.设随机变量
X
的概率密度函数为
f
（
x
）=
⎧⎪0.1e−0.1x ⎨
x>0
，则 E（2X+1）=【
】
⎪⎩ 0
《概率论与数理统计》试题带答案(四)
《概率论与数理统计》试题带答案1.设随机变量X 的分布律为求E （X ），E （X 2），E （2X +3）. 【解】(1) 11111()(1)012;82842E X =-⨯+⨯+⨯+⨯= (2) 2222211115()(1)012;82844E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=(3) 1(23)2()32342E X E X +=+=⨯+=2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.故 ()0.58300.34010.07020.00730405E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 0.501,=52()[()]iii D X x E X P ==-∑222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.=-⨯+-⨯++-⨯=3.设随机变量X 的分布律为X -1 0 1 Pp 1 p 2 p 3且已知E （X ）=0.1,E (X 2)=0.9,求P 1，P 2，P 3. 【解】因1231P P P ++=……①,又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②,222212313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=……③由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P ===4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则(){|}{}Nk P A P A X k P X k ===∑全概率公式1{}{}1().NNk k k P X k kP X k N Nn E X N N========∑∑5.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x求E （X ），D （X ）. 【解】1221()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞-∞==+-⎰⎰⎰213320111.33x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰ 故 221()()[()].6D XE X E X =-=6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U =2X +3Y +1； （2） V =YZ -4X .【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=⨯+⨯+=(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X -因独立1184568.=⨯-⨯=7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ），D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=(2) 22(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=⨯+⨯= 8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<.,0,0,10,其他x y x k试确定常数k ，并求E （XY ）. 【解】因1001(,)d d d d 1,2x f x y x y x k y k +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰故k =210()(,)d d d 2d 0.25xE XY xyf x y x y x x y y +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰.9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为f X （x ）=⎩⎨⎧≤≤;,0,10,2其他x x f Y （y ）=(5)e ,5,0,.y y --⎧>⎨⎩其他求E （XY ）.【解】方法一：先求X 与Y 的均值12()2d ,3E X x x x ==⎰ 5(5)5()e d 5e d e d 51 6.z y y z z E Y y yz z z +∞+∞+∞=-----=+=+=⎰⎰⎰令由X 与Y 的独立性，得2()()()6 4.3E XY E X E Y ==⨯=方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为(5)2e ,01,5,(,)()()0,,y X Y x x y f x y f x f y --⎧≤≤>==⎨⎩其他 于是11(5)2(5)552()2ed d 2de d 6 4.3y y E XY xy x x y x xy y +∞+∞----===⨯=⎰⎰⎰⎰10.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为f X （x ）=⎩⎨⎧≤>-;0,0,0,22x x x e f Y （y ）=⎩⎨⎧≤>-.0,0,0,44y y y e求（1） E （X +Y ）;（2） E （2X -3Y 2）. 【解】22-200()()d 2ed [e]e d xx x X X xf x x x x x x +∞+∞+∞--+∞-∞==-⎰⎰⎰201e d .2x x +∞-==⎰401()()d 4e dy .4y Y E Y yf y y y +∞+∞--∞==⎰⎰22242021()()d 4e d .48y Y E Y y f y y y y +∞+∞--∞====⎰⎰从而(1)113()()().244E X Y E X E Y +=+=+=(2)22115(23)2()3()23288E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=11.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-.0,0,0,22x x cx xke求（1） 系数c ;（2） E （X ）;（3） D （X ）. 【解】(1) 由222()d e d 12k x cf x x cx x k+∞+∞--∞===⎰⎰得22c k =. (2) 222()()d()2e d k x E X xf x x x k x x +∞+∞--∞==⎰⎰22220π2ed .k x kx x +∞-==⎰(3) 22222221()()d()2e .kxE X x f x x x k x k +∞+∞--∞==⎰⎰故 222221π4π()()[()].24D X E X E X k k k⎛-=-=-= ⎝⎭ 12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X ，求E （X ）和D （X ）.【解】设随机变量X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X 的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知9{0}0.750,12P X === 39{1}0.204,1211P X ==⨯= 329{2}0.041,121110P X ==⨯⨯= 3219{3}0.005.1211109P X ==⨯⨯⨯=X 0 1 2 3 P0.7500.2040.0410.005由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.E X =⨯+⨯+⨯+⨯=22222222()075010.20420.04130.0050.413()()[()]0.413(0.301)0.322.E X D X E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯==-=-=13.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,414x x xe为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和 -200元 /41/411{100}{1}e d e 4x P Y P X x +∞--==≥==⎰1/4{200}{1}1e.P Y P X -=-=<=-故1/41/41/4()100e(200)(1e )300e 20033.64E Y ---=⨯+-⨯-=-= (元).14.设X 1，X 2，…，X n 是相互独立的随机变量，且有E （X i ）=μ，D （X i ）=σ2，i =1，2，…，n ，记∑==n i i S X n X 12,1，S 2=∑=--ni i X X n 12)(11. （1） 验证)(X E =μ，)(X D =n2σ；（2） 验证S 2=)(11122∑=--ni i X n X n ； （3） 验证E （S 2）=σ2.【证】(1) 1111111()()().n nn i i i i i i E X E X E X E X nu u n n n n ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑22111111()()n nni i i ii i i D X D X D X X DXn nn ===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑之间相互独立2221.n n nσσ==(2) 因222221111()(2)2nnnniii ii i i i i XX X X X X X nX X X ====-=+-=+-∑∑∑∑2222112nnii i i X nX X nX X nX ===+-=-∑∑故22211()1ni i S X nX n ==--∑. (3) 因2(),()i i E X u D X σ==,故2222()()().i i i E X D X EX u σ=+=+同理因2(),()E X u D X nσ==,故222()E X u nσ=+.从而222221111()()[()()]11n ni i i i E s E X nX E X nE X n n ==⎡⎤=-=-⎢⎥--⎣⎦∑∑221222221[()()]11().1n i i E X nE X n n u n u n n σσσ==--⎡⎤⎛⎫=+-+=⎢⎥⎪-⎝⎭⎣⎦∑15.对随机变量X 和Y ，已知D （X ）=2，D （Y ）=3，Cov(X ,Y )= -1,计算：Cov （3X -2Y +1，X +4Y -3）. 【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()X Y X Y D X X Y D Y -++-=+- 3210(1)8328=⨯+⨯--⨯=- (因常数与任一随机变量独立，故Cov(X ,3)=Cov(Y ,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=221,1,π0,.x y ⎧+≤⎪⎨⎪⎩其他试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的. 【解】设22{(,)|1}D x y x y =+≤.2211()(,)d d d d πx y E X xf x y x y x x y +∞+∞-∞-∞+≤==⎰⎰⎰⎰ 2π1001=cos d d 0.πr r r θθ=⎰⎰同理E (Y )=0. 而 Cov(,)[()][()](,)d d X Y x E x y E Y f x y x y +∞+∞-∞-∞=--⎰⎰222π1200111d d sin cos d d 0ππx y xy x y r r r θθθ+≤===⎰⎰⎰⎰, 由此得0XY ρ=,故X 与Y 不相关. 下面讨论独立性，当|x |≤1时，1()X f x y 当|y |≤1时，1()Y f y x..显然()()(,).X Y f x f y f x y ≠故X 和Y 不是相互独立的.17.设随机变量（X ，Y ）的分布律为验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X 与Y 显然不独立，由联合分布律易求得X ，Y 及XY 的分布律，其分布律如下表由期望定义易得E （X ）=E （Y ）=E （XY ）=0.从而E (XY )=E (X )·E (Y ),再由相关系数性质知ρXY =0,即X 与Y 的相关系数为0，从而X 和Y 是不相关的. 又331{1}{1}{1,1}888P X P Y P X Y =-=-=⨯≠==-=- 从而X 与Y 不是相互独立的.18.设二维随机变量（X ，Y ）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov （X ，Y ），ρXY .【解】如图，S D =12，故（X ，Y ）的概率密度为题18图2,(,),(,)0,x y D f x y ∈⎧=⎨⎩其他. ()(,)d d D E X xf x y x y =⎰⎰11001d 2d 3x x x y -==⎰⎰ 22()(,)d d D E X x f x y x y =⎰⎰112001d 2d 6x x x y -==⎰⎰ 从而222111()()[()].6318D XE X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 同理11(),().318E Y D Y == 而 11001()(,)d d 2d d d 2d .12x D D E XY xyf x y x y xy x y x xy y -====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 所以 1111Cov(,)()()()123336X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-. 从而 11362()()111818XY D X D Y ρ-===-⨯ 19.设（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=1ππsin(),0,0,2220.x y x y ,⎧+≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩其他求协方差Cov （X ，Y ）和相关系数ρXY . 【解】π/2π/2001π()(,)d d d sin()d .24E X xf x y x y x x x y y +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰ ππ22222001ππ()d sin()d 2.282E X x x x y y =+=+-⎰⎰ 从而 222ππ()()[()] 2.162D X E X E X =-=+- 同理 2πππ(),() 2.4162E Y D Y ==+- 又 π/2π/200π()d sin()d d 1,2E XY x xy x y x y =+=-⎰⎰ 故 2ππππ4Cov(,)()()()1.2444X Y E XY E X E Y -⎛⎫⎛⎫=-=--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222π4(π4)π8π164.πππ8π32π8π32)()2162XY D Y ρ-⎛⎫- ⎪--+⎝⎭===-=-+-+-+- 20.已知二维随机变量（X ，Y ）的协方差矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4111，试求Z 1=X -2Y 和Z 2=2X -Y 的相关系数.【解】由已知知：D (X )=1,D (Y )=4,Cov(X ,Y )=1.从而 12()(2)()4()4Cov(,)1444113,()(2)4()()4Cov(,)414414,D Z D X Y D X D Y X Y D Z D X Y D X D Y X Y =-=+-=+⨯-⨯==-=+-=⨯+-⨯= 12Cov(,)Cov(2,2)Z Z X Y X Y =--2Cov(,)4Cov(,)Cov(,)2Cov(,)2()5Cov(,)2()215124 5.X X Y X X YY Y D X X YD Y =--+=-+=⨯-⨯+⨯=故 12122)()Z Z D Z ρ===21.对于两个随机变量V ，W ，若E （V 2），E （W 2）存在，证明：［E （VW ）］2≤E （V 2）E （W 2）.这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy -Schwarz ）不等式.【证】令2(){[]},.g t E V tW t R =+∈显然 22220()[()][2]g t E V tW E V tVW t W ≤=+=++222[]2[][],.E V t E VW t E W t R =++∀∈可见此关于t 的二次式非负，故其判别式Δ≤0，即2220[2()]4()()E VW E W E V ≥∆=-2224{[()]()()}.E VW E V E W =-故222[()]()()}.E VW E V E W ≤22.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F （y ）.【解】设Y 表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间X ~E (λ),E (X )=1λ=5. 依题意Y =min(X ,2).对于y <0,f (y )=P {Y ≤y }=0.对于y ≥2,F (y )=P (X ≤y )=1.对于0≤y <2,当x ≥0时，在(0,x )内无故障的概率分布为P {X ≤x }=1 -e -λx ,所以F (y )=P {Y ≤y }=P {min(X ,2)≤y }=P {X ≤y }=1 -e -y/5.23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z 的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【解】（1） Z 的可能取值为0，1，2，3，Z 的概率分布为33336C C {}C k k P Z k -==, 0,1,2,3.k =因此，()0123.202020202E Z =⨯+⨯+⨯+⨯= (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有30(){}{|}k P A P Z k P A Z k ====∑191921310.202062062064=⨯+⨯+⨯+⨯= 24.假设由自动线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布N （μ,1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T （单位：元）与销售零件的内径X 有如下关系T =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤<-.12,5,1210,20,10,1X X X 若若若问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？【解】(){10}20{1012}5{12}E T P X P X P X =-<+≤≤-> {10}20{1012}5{12}(10)20[(12)(10)]5[1(12)]25(12)21(10) 5.P X u u P u X u u P X u u u u u u u u =--<-+-≤-≤--->-=-Φ-+Φ--Φ---Φ-=Φ--Φ--故2/2d ()125(12)(1)21(10)(1)0(()e ),d 2x E T u u x u ϕϕϕπ-=-⨯---⨯-= 令 这里 得 22(12)/2(10)/225e21e u u ----=两边取对数有 2211ln 25(12)ln 21(10).22u u --=-- 解得 125111ln 11ln1.1910.91282212u =-=-≈(毫米) 由此可得，当u =10.9毫米时，平均利润最大.25.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤.,0,0,2cos 21其他πx x 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于π/3的次数，求Y 2的数学期望.（2002研考）【解】令 π1,,3(1,2,3,4)π0,3i X Y i ⎧>⎪⎪==⎨⎪≤⎪⎩X . 则41~(4,)ii Y Y B p ==∑.因为 ππ{}1{}33p P X P X =>=-≤及π/30π11{}cos d 3222x P X x ≤==⎰,所以111(),(),()42,242i i E Y D Y E Y ===⨯= 2211()41()()22D YE Y EY =⨯⨯==-, 从而222()()[()]12 5.E Y D Y E Y =+=+=26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间T i (i =1,2)服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T =T 1+T 2的概率密度f T (t )，数学期望E （T ）及方差D （T ）.【解】由题意知： 55e ,0,()0,0t i t f t t -⎧≥=⎨<⎩. 因T 1,T 2独立，所以f T (t )=f 1(t )*f 2(t ).当t <0时，f T (t )=0;当t ≥0时，利用卷积公式得55()5120()()()d 5e 5e d 25e tx t x t T f t f x f t x x x t +∞-----∞=-==⎰⎰ 故得 525e ,0,()0,0.t T t t f t t -⎧≥=⎨<⎩由于T i ~E (5),故知E (T i )=15,D (T i )=125(i =1,2)因此，有E (T )=E (T 1+T 2)=25. 又因T 1,T 2独立，所以D （T ）=D （T 1+T 2）=225. 27.设两个随机变量X ，Y 相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X -Y |的方差.【解】设Z =X -Y ，由于22~0,,~0,,22X N Y N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且X 和Y 相互独立，故Z ~N （0，1）.因22()()(||)[(||)]D X Y D Z E Z E Z -==-22()[()],E Z E Z =-而 22/2()()1,(||)||e d 2πz E Z D Z E Z z z +∞--∞===⎰2/22e dπ2πzz z+∞-==⎰，所以2(||)1πD X Y-=-.28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0<p<1)，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X，求E （X）和D（X）.【解】记q=1 -p,X的概率分布为P{X=i}=q i -1p,i=1,2,…，故12111()().1(1)i ii iq pE X iq p p q pq q p∞∞-=='⎛⎫'=====⎪--⎝⎭∑∑又221211121()()i i ii i iE X i q p i i q p iq p∞∞∞---=====-+∑∑∑2232211()12112.(1)iiqpq q pqp q ppq q pq p p p∞=''⎛⎫''=+=+⎪-⎝⎭+-=+==-∑所以22222211()()[()].p pD XE X E Xp p p--=-=-=题29图29.设随机变量X和Y的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布.（如图），试求随机变量U=X+Y的方差.【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2[E(XY) -E(X)·E(Y)].由条件知X和Y的联合密度为2,(,),(,)0,0.x y Gf x yt∈⎧=⎨<⎩{(,)|01,01,1}.G x y x y x y=≤≤≤≤+≥从而11()(,)d2d2.X xf x f x y y y x+∞-∞-===⎰⎰因此11122300031()()d2d,()2d,22XE X xf x x x x E X x x=====⎰⎰⎰22141()()[()].2918D X E X E X =-=-= 同理可得 31(),().218E Y D Y == 11015()2d d 2d d ,12x G E XY xy x y x x y y -===⎰⎰⎰⎰ 541Cov(,)()()(),12936X Y E XY E X E Y =-=-=- 于是 1121()().18183618D U D X Y =+=+-= 30.设随机变量U 在区间[ -2,2]上服从均匀分布，随机变量X =⎩⎨⎧->-≤-，U ，U 1,11,1若若 Y =⎩⎨⎧>≤-.1,11,1U ，U 若若 试求（1）X 和Y 的联合概率分布；（2）D （X +Y ）.【解】（1） 为求X 和Y 的联合概率分布，就要计算（X ，Y ）的4个可能取值( -1, -1),( -1,1),(1, -1)及(1,1)的概率.P {x = -1,Y = -1}=P {U ≤ -1,U ≤1}112d d 1{1}444x x P U ---∞-=≤-===⎰⎰ P {X = -1,Y =1}=P {U ≤ -1,U >1}=P {∅}=0, P {X =1,Y = -1}=P {U > -1,U ≤1}11d 1{11}44x P U -=-<≤==⎰ 21d 1{1,1}{1,1}{1}44x P X Y P U U P U ===>->=>=⎰. 故得X 与Y 的联合概率分布为 (1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(,)~1110424X Y ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (2) 因22()[()][()]D X Y E X Y E X Y +=+-+,而X +Y 及（X +Y ）2的概率分布相应为 202~111424X Y -⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦, 204()~1122X Y ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 从而11()(2)20,44E X Y +=-⨯+⨯= 211[()]042,22E X Y +=⨯+⨯= 所以22()[()][()] 2.D X Y E X Y E X Y +=+-+=31.设随机变量X 的概率密度为f (x )=x -e 21，（ -∞<x <+∞） (1) 求E （X ）及D （X ）；（2） 求Cov(X ,|X |),并问X 与|X |是否不相关？（3） 问X 与|X |是否相互独立，为什么？【解】(1)||1()e d 0.2x E X xx +∞--∞==⎰2||201()(0)e d 0e d 2.2x x D X x x x x +∞+∞---∞=-==⎰⎰ (2) Cov(,|)(||)()(||)(||)X X E X X E X E X E X X =-=||1||e d 0,2x x x x +∞--∞==⎰ 所以X 与|X |互不相关.(3) 为判断|X |与X 的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域-∞<x <+∞中的子区间（0,+∞）上给出任意点x 0，则有0000{}{||}{}.x X x X x X x -<<=<⊂<所以000{||}{} 1.P X x P X x <<<<<故由00000{,||}{||}{||}{}P X x X x P X x P X x P X x <<=<><<得出X 与|X |不相互独立.32.已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布N （1，32）和N （0，42），且X 与Y 的相关系数ρXY = -1/2，设Z =23Y X +. （1） 求Z 的数学期望E （Z ）和方差D （Z ）；（2） 求X 与Z 的相关系数ρXZ ；（3） 问X 与Z 是否相互独立，为什么？【解】(1) 1().323X Y E Z E ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ()2Cov ,3232XY X Y D Z D D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11119162Cov(,),9432X Y =⨯+⨯+⨯⨯ 而 1Cov(,)()3462XY X Y D Y ρ⎛⎫==-⨯⨯=- ⎪⎝⎭ 所以 1()146 3.3D Z =+-⨯=(2) 因()()11Cov(,)Cov ,Cov ,Cov ,3232X Y X Z X X X X Y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 119()(6)3=0,323D X =+⨯-=- 所以 0.()()XZ D X D Z ρ==(3) 由0XZ ρ==，得X 与Z 不相关.又因1~,3,~(1,9)3Z N X N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以X 与Z 也相互独立.33.将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 表示正面向上和反面向上的次数.试求X 和Y 的相关系数XY ρ.【解】由条件知X +Y =n ，则有D （X +Y ）=D （n ）=0.再由X ~B (n ,p ),Y ~B (n ,q )，且p =q =12, 从而有 ()()4nD X npq D Y === 所以 0()()()2()()XY D X Y D X D Y D X D Y ρ=+=++2,24XY n nρ=+ 故XY ρ= -1. 34. -1 0 10 10.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20试求X 和Y 【解】由已知知E (X )=0.6,E (Y )=0.2，而XY 的概率分布为YX -1 0 1 P 0.080.720.2所以E （XY ）= -0.08+0.2=0.12Cov(X ,Y )=E (XY ) -E (X )·E (Y )=0.12 -0.6×0.2=0从而 XY ρ=035.对于任意两事件A 和B ，0<P (A )<1，0<P (B )<1,则称ρ=())()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P ⋅-为事件A 和B 的相关系数.试证：（1） 事件A 和B 独立的充分必要条件是ρ=0； （2） |ρ|≤1.YX【证】（1）由ρ的定义知，ρ=0当且仅当P (AB ) -P (A )·P (B )=0.而这恰好是两事件A 、B 独立的定义，即ρ=0是A 和B 独立的充分必要条件. (2) 引入随机变量X 与Y 为1,,0,A X A ⎧⎪=⎨⎪⎩若发生若发生;1,,0,B Y B ⎧⎪=⎨⎪⎩若发生若发生. 由条件知，X 和Y 都服从0 -1分布，即01~1()()X P A P A ⎧⎨-⎩ 01~1()()Y P B P B ⎧⎨-⎩ 从而有E (X )=P (A ),E (Y )=P (B ),D (X )=P (A )·P (A ),D (Y )=P (B )·P (B ),Cov(X ,Y )=P (AB ) -P (A )·P (B )所以，事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|ρ|≤1. 36. 设随机变量X 的概率密度为f X (x )=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-.,0,20,41,01,21其他x x令Y =X 2，F （x ,y ）为二维随机变量（X ，Y ）的分布函数，求：(1) Y 的概率密度f Y (y )； (2) Cov(X ,Y );(3)1(,4)2F -. 解： (1) Y 的分布函数为2(){}{}Y F y P Y y P X y =≤=≤.当y ≤0时， ()0Y F y =，()0Y f y =； 当0＜y ＜1时，(){{0}{0Y F y P X P X P X =≤≤=≤<+≤≤=，()Y f y =；当1≤y <4时，1(){10}{02Y F y P X P X =-≤<+≤≤=+()Y f y =；当y ≥4时，()1Y F y =，()0Y f y =. 故Y 的概率密度为1,()04,0,.Y y f y y <<=≤<⎪⎩其他 (2) 0210111()()d d d 244+X E X =xf x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--,02222210115()()()d d d )246+X E Y =E X =x f x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--,02233310117()()()d d d 248+X E XY =E Y =x f x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--,故 Cov(X,Y ) =2()()()3E XY E X E Y =⋅-.(3) 2111(,4){,4}{,4}222F P X Y P X X -=≤-≤=≤-≤11{,22}{2}22P X X P X =≤--≤≤=-≤≤-11{1}24P X =-≤≤-=.。
概率论与数理统计第四章测试题
第4章随机变量得数字特征一、选择题1.设两个相互独立得随机变量X与Y得方差分别为4与2,则随机变量3X-2Y得方差就是(A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 442.若随机变量与得协方差,则以下结论正确得就是( )(A) 与相互独立(B) D(X+Y)=DX+DY(C) D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY3.设随机变量与相互独立,且,则( )(A) (B)(C) (D)4.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量ξ=X+Y与η=X-Y不相关得充要条件为(A) EX=EY (B) E(X2)- (EX)2= E(Y2)- (EY)2(C) E(X2)= E(Y2) (D) E(X2)+(EX)2= E(Y2)+ (EY)25.设、就是两个相互独立得随机变量且都服从于,则得数学期望( ) (A) (B) 0 (C) (D)6.设、就是相互独立且在上服从于均匀分布得随机变量,则( )(A) (B) (C) (D)7.设随机变量与得方差存在且不等于0,则D(X+Y)=DX+DY就是X与Y( )(A) 不相关得充分条件,但不就是必要条件(B) 独立得充分条件,但不就是必要条件(C) 不相关得充分必要条件(D) 独立得充分必要条件8.若离散型随机变量得分布列为,则( )(A) 2 (B) 0 (C) ln2 (D) 不存在9.将一枚硬币重复掷n次,以X与Y分别表示正面向上与反面向上得次数,则X与Y得相关系数等于(A)－1 (B)0 (C) (D)110.设随机变量X与Y独立同分布,具有方差>0,则随机变量U=X+Y与V=X-Y(A)独立(B) 不独立(C) 相关(D) 不相关11.随机变量X得方差存在,且E(X)=μ,则对于任意常数C,必有。
(A)E(X-C)2=E(X2)-C2(B)E(X-C)2=E(X-μ)2(C)E(X-C)2< E(X-μ)2(D)E(X-C)2≥ E(X-μ)212.设X~U(a,b), E(X)=3, D(X)=, 则P(1<X<3) =( )(A)0 (B) (C) (D)二、填空题1.设表示10次独立重复射击命中目标得次数,每次命中目标得概率为0、4,则2.设一次试验成功得概率为,进行了100次独立重复试验,当时,成功得次数得标准差得值最大,其最大值为3.设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,随机变量,则得方差DY=4.,,,则,5.设随机变量服从于参数为得泊松分布,且已知,则6.设(X,Y)得概率分布为:则＝。
概率练习题(4)
概率练习题（4）1、如图，是由四个直角边分别是3和4的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，小亮随机的往大正方形区域内投针一次，则针扎在阴影部分的概率是2、汶川大地震时，航空兵空投救灾物质到指定的区域（圆A ）如图所示，若要使空投物质落在中心区域（圆B ）的概率为12，则B ⊙与A ⊙的半径之比为 ．3、如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是 ．4、小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为（ ）。
A 、B 、C 、D 、5、在3 □ 2 □（－2）的两个空格□中，任意填上“+”或“－”，则运算结果为3的概率是 ．6、九年级1班将竞选出正、副班长各1名，现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加竞选．（1）男生当选正班长的概率是 ；（2）请用列表或画树状图的方法求出两位女生同时当选正、副班长的概率．7、一枚均匀的正方形骰子，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，连续抛掷两次，朝上的数字分别是m ，n 。
若把m ，n 作为点A 的横、纵坐标，那么点A （m ，n ）在函数y=2x 的图像上的概率是多少？8、在科技馆里，小亮看见一台名为帕斯卡三角的仪器，如图18所示，当一实心小球从入口落下，它在依次碰到每层菱形挡块时，会等可能地向左或向右落下。
（1）试问小球通过第二层A 位置的概率是多少？（2）请用学过的数学方法模拟试验，并具体说明小球下落到第三层B 位置和第四层C 位置处的概率各是多少？第1题第2题第3题第4题9、如图所示是中国象棋棋盘的一部分，图中红方有两个马，黑方有三个卒子和一个炮，按照中国象棋中马的行走规则(马走日字，如：按图16中的箭头方向走)，红方的马现在走一步能吃到黑方棋子的概率是多少？10、在下列直角坐标系中，（1）请写出在ABCD 内．（不包括边界）横、纵坐标均为整数的点，且和为零的点的坐标；（2）在ABCD 内．（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求该点的横、纵坐标之和为零的概率．11、我市长途客运站每天6：30－7：30开往某县的三辆班车，票价相同，但车的舒适程度不同．小张和小王因事需在这一时段乘车去该县，但不知道三辆车开来的顺序．两人采用不同的乘车方案：小张无论如何决定乘坐开来的第一辆车，而小王则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．若第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；若第二辆车不如第一辆车，他就上第三辆车．若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等，请你思考并回答下列问题：（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种可能？（2）请列表分析哪种方案乘坐优等车的可能性大？为什么？12、田忌赛马是一个为人熟知的故事，传说战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马比田忌的马强，有一天，齐王要与田忌赛吧，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹各赛一次，赢得两局都为胜，看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强……（1）如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？（2）如果齐王将马按上中下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？（要求写出双方对阵的所有情况）13、.某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动．在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当做数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入．（1）小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明．（2）小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规完：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平．（3）在（2）的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问小军至少几次进入迷宫中心？20．（1）树状图略.……………… 3分41()123P ==进入迷宫中心.……………………4分 （2）不公平，理由如下：………………5分 法一：由树状图可知，51()3P =的倍数，521()126P ==非的倍数的奇数，561()122P ==非的倍数的偶数．所以不公平.………………6分 法二：从（1）中树状图得知，不是5的倍数时，结果是奇数的有2种情况，而结果是偶数的有6种情况，显然小李胜面大，所以不公平.………………6分法三：由于积是5的倍数时两人得分相同，所以可直接比较积不是5的倍数时，奇数、偶数的概率. P (奇数)＝14，P (偶数)＝34，所以不公平.………………6分 可将第二道环上的数4改为任一奇数.……………………7分（3）设小军x 次进入迷宫中心，则2x +3(10－x )≤28，………………8分解之得x ≥2.所以小军至少2次进入迷宫中心.………………9分。
概率论与数理统计(经管类)-平时测验4
1.5 假设检验时，若增加样本容量，则犯两类错误的概率（） 您没有作答 不变 都减小 都增大 一个增大一个减小
见教材第8章两类错误的介绍。
1.6
随机变量 您没有作答
,且X,Y,Z相互独立，则
2.5
2.5
2.5 （）
F分布的定义
1.7 设x1，x2，…，x10是来自正态总体N（
）的样本，其样本均值和样本方差分别为
2.5
您没有作答
N(0，16) N(0，0.16)
N(0，0.04) N(0，1.6)
来自正态分布
的样本均值 服从
，n为样本个数
1.31 在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（）
2.5
您没有作答
在H0不成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率 在H0不成立的条件下，经检验H0被接受的概率 在H0成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率 在H0成立的条件下，经检验H0被接受的概率
您没有作答
未知时，单个正态总体均值双边检验，则检验统计量为
1.11 总体X~N（μ,σ2），σ2已知， 为样本均值，Sn2=
)2，S2=
2.5 )
2，检验假设H0:μ=μ0时采用的统计量是（） 您没有作答
Z= T= T= T=
已知时，单个正态总体均值双边检验，则检验统计量为Z=
1.12 设总体X~N（μ， ）其中μ未知，x1,x2,x3,x4为来自总体X的一个样本，则以下关于μ的四 2.5
2.5
您没有作答
定义6.3.3设
为取自某总体的样本，则它关于样本均值 的平均偏差平方和
称为样本方差，其算术根
称为样本标准差。
1.37 设总体
，其中 未知，现由来自总体 的一个样本
概率论与数理统计自考(习题卷4)
概率论与数理统计自考(习题卷4)第1部分：单项选择题，共38题，每题只有一个正确答案,多选或少选均不得分。
1.[单选题]已知随机变量X只能取值-1,0,1,2,其相应的概率依次为,则P{X<1|X≠0}=( )。
A)4/25B)8/25C)12/25D)16/25答案:B解析:① 求c:,解得,得X的分布律2.[单选题]设随机变量X服从参数为2的指数分布, 随机变量Y =2X+2, 则E(Y)=A)0.5B)1C)2D)3答案:D解析:本题考察指数分布的数字特征及随机变量函数的数字特征。
已知~,则,所以,故选择D.3.[单选题]设随机变量X与Y的方差分别为4和9,斜方差为4.2,则相关系数为A)0.7B)0.4C)0.5D)0.9答案:A解析:4.[单选题]已知D(X)=9,D(Y)=16,ρXY=0.4,则D(X+Y)为A)9.4B)16.4C)34.5D)34.6答案:D解析:因为,因此Cov(X,Y)=3×4×0.4=4.8,而D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 Cov(X,Y)=9+16+2×4.8=34.6,因此选D。
5.[单选题]在某大学抽查100个学生,调查他们自觉储蓄的比例,情况如下:A)0.9475B)0.9321C)0.8702D)0.6356答案:A解析:Eξ=7.99, Dξ=0.21,切比雪夫不等式:即学生储蓄率为ξ%与平均水平7.99%相差不足两个百分点(ξ=2)的概率不小于0.94756.[单选题]设X1,…Xn为来自正态总体N(μ,σ2)的简单随机样本,则数学期望等于()。
A)n3(n-1)μ·σ2B)(n-1)μ·σ2C)n2(n-1)μ·σ2D)n3(n-1)μ·σ答案:A解析:由于-X,S 是相互独立的,则7.[单选题]设总体X服从正态分布N(0, σ2), X,S2分别为容量是n的样本的均值和方差,则可以作出服从自由度为n-l的t分布的随机变量()。
人教A版(2019)必修二第十章概率单元测试卷(4)(提高版)解析版
人教A版（2019）必修二第十章概率单元测试卷（4）（提高版）1.先后抛掷质地均匀的一角、五角的硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件中包含3个样本点的是A. “至少一枚硬币正面向上”B. “只有一枚硬币正面向上”C. “两枚硬币都是正面向上”D. “两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上”2.一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前一定能摸出红球，则k的最小值为A. 10B. 15C. 16D. 173.投掷一枚普通的正方体骰子，四名同学各自发表了以下见解：①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率；②只要连掷6次，一定会“出现1点”；③投掷前默念几次“出现6点”，投掷结果“出现6点”的可能性就会加大；④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于其中正确的见解有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器。
经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为，而实体店里的家用小电器的合格率约为现工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是A. B. C. D.5.抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件至少1枚正面朝上，至多2枚正面朝上，事件没有硬币正面朝上，则下列正确的是A. B. C. D.6.一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次每次只敲击一个数字键得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为A. B. C. D.7.一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则行人到达路口能够通过的概率为A. B. C. D.8.在古装电视剧《知否》中，甲､乙两人进行一种投壶比赛，比赛投中得分情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜.假设甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，乙的投掷水平与甲相同，且甲､乙投掷相互独立.比赛第一场，两人平局;第二场，甲投了个“贯耳”，乙投了个“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为A. B. C. D.9.下列对各事件发生的概率判断正确的是A. 某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B. 三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为C. 甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为D. 设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是10.如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是A. A，B两个盒子串联后畅通的概率为B. D，E两个盒子并联后畅通的概率为C. A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为D. 当开关合上时，整个电路畅通的概率为11.下列说法中正确的有A. 做9次抛掷一枚质地均匀的硬币的试验，结果有5次出现正面，所以出现正面的概率是B. 盒子中装有大小和形状相同的3个红球，3个黑球，2个白球，每种颜色的球被摸到的可能性相同C. 从，，，，0，1，2中任取一个数，取得的数小于0和不小于0的可能性不相同D. 设有一大批产品，已知其次品率为，则从中任取100件，次品的件数可能不是10件12.多选从甲袋中摸出1个白球的概率为，从乙袋内摸出1个白球的概率是，从两个袋内各摸1个球，那么概率不为的事件是A. 2个球都是白球B. 2个球都不是白球C. 2个球不都是白球D. 2个球恰好有1个白球13.一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品，从这批产品中任意抽5件，记A为“恰有1件次品”，B为“至少有2件次品”，C为“至少有1件次品”，D为“至多有1件次品”．现给出下列结论：①；②是必然事件；③；④其中正确的结论为__________写出序号即可14.某大学选拔新生进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生是否通过考核选拔进入这三个社团相互独立.某新生参加社团时，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则_____.15.通过模拟试验产生了20组随机数：6830 3013 7055 7430 7740 4422 78842604 3346 0952 6807 9706 5774 57256576 5929 9768 6071 9138 6754如果恰好有三个数在1，2，3，4，5，6中，表示恰好有三次击中目标，则四次射击中恰好有三次击中目标的概率约为________，四次射击全都击中目标的概率约为________.16.已知向量，，其中x随机选自集合，y随机选自集合。
概率练习题4
试卷编号： 班级 学号 姓名 考核对象： 注意：1．重修必须注明（重修）2．试卷背面为草算区装 订 线大连工业大学201 ～201 学年 第 学期 《 》试卷（ ） 共 页第 页说明：“阅卷总分”由阅卷人填写；“复核总分”由复核人填写，复核总分不得有改动。
一、填空题（每空3分，共15分）1． 设()4.0=A P ， ()3.0=B P 且A ，B 互不相容，求，()=B A P .2． 设X 与Y 相互独立，且2)(=X E ，3)(=Y E ，1)()(==Y D X D ，则=-])[(2Y X E 。
3． 设n X X X ,,,21 是取自总体),(2σμN 的样本，则统计量∑=-ni iX122)(1μσ服从 分布。
4． 设),3(~),,2(~p B Y p B X ，且95}1{=≥X P ，则=≥}1{Y P 。
5． 设随机变量X 的密度函数为()2,01,0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他，用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21X 出现的次数，则()2P Y == 。
二、单选题（每小题3分，共15分）1．设事件A 与B 互不相容，且()0≠A P ，()0≠B P ，则下面结论正确的是（ ）(A) A 与B 互不相容; (B)()0>A B P ; (C) ()()()B P A P AB P =; (D)()()A P B A P =2．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他，，03x 121)(x f ，则方差()X D = （ ）(A) 2； (B)12； (C) 3； (D) 133．设()x x f sin =是某个连续型随机变量X 的概率密度函数，则X 的取值范围是（ ）()A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π； ()B []π,0； ()C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ； ()D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,ππ 4．设()2,~σμN X ，b aX Y -=，其中a 、b 为常数，且0≠a ，则~Y （ ）()A ()222,b a b a N +-σμ； ()B ()222,b a b a N -+σμ； ()C ()22,σμa b a N +； ()D ()22,σμa b a N -5．设总体X 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 是取自总体X 的一个样本，则非统计量是（ ）. （A ）1231()3X X X ++ （B ）122X X μ++ （C ）123max(,,)X X X （D ）12321()X X X σ++三、计算题（10分）袋中有15个球，其中有9个新球，6个旧球，第一次比赛时从中任意取一个，比赛完后仍放回袋中，第二次比赛时再从袋中任意取一个，试求： (1) 第一次恰好抽到新球的概率；(2) 第二次恰好抽到新球的概率；(3) 已知第二次恰好抽到新球，求第一次也抽到新球的概率．试卷编号：班级学号姓名考核对象：注意：1．重修必须注明（重修）2．试卷背面为草算区装订线大连工业大学201 ～201 学年第学期《》试卷（）共页第页四、计算题（12分）设随机变量X的分布律为X -1 0 3p 0.2 0.3 0.5（1）求X的分布函数；（2）求13122+=+=XZXY及的分布律；（3）13122+=+=XZXY及期望五、计算题（12分）设二维随机变量()YX,的联合密度函数为()221,cx y x yf x y⎧<<=⎨⎩其它，⑴试求常数c；⑵求边缘密度函数．（3）判断X与Y是否相互独立。
第四章概率测试题
'第四章测试题一、填空题：1、将弯曲的河道改直，可以缩短航程，是因为：两点之间， 最短。
2、已知线段CD ，延长CD 到B ，使CD DB 21=则CD= cm ，AC= cm 。
3、如图1,B 、C 两点在线段AD 上，(2)如果CD=4cm,BD=7cm,B 是AC4、22．5°= 度 分；12°245、如图2，O A ⊥OB ，∠BOC=30°，OD 平分∠7、三条直线AB ，CD ，EF ，若A B ∥EF ，CD ∥EF6、时针从2点到10分走到2点35分，它的分针转了______度.8、如图3，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B 、D 两点落在B ′、D ′点处，若得∠AOB ′=700, 则∠B ′OG 的度数为 。
二、选择题：1、同一平面内两两相交的三条直线,如果最多有m 个交点,最少有n 个交点,( )A ．1B ．2C ．3D ．4 2、若M 是AB 的中点，C 是MB 上任意一点，那么与MC 相等的是（ ）.A. 12（AC-BC ）B. 12（AC+BC ）C. AC-12BCD. BC-123、在同一平面内,有三条直线a ，b ，c ，如果,,c b c a ⊥⊥那么a 与b 的位置关系是（ ）A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定4、甲、乙、丙、丁四位同学在判断时钟的时针和分针互相垂直的时刻，他们每个人都说两个时刻，其中说对的是( )A ．甲说3时整和3时30分B ．乙说6时15分和6时45分C ．丙说9时整和12时15分D ．丁说3时整和9时整 5、下列说法中，正确的有（ ）A ．过两点有且只有一条直线B ．连结两点的线段叫做两点的距离C ．两点之间，线段最短D ．AB ＝BC ，则点B 是线段AC 的中点 6、 直线a 外有一定点A ，A 到a 的距离是5，P 是直线a 上的任意一点，则( ) A 、AP>5 B 、AP ≥5 C 、AP=5 D 、AP<5B7、AB=10，AC=16，那么AB的中点与AC的中点的距离为（）A、13B、3或13C、3D、68、一个人从A点出发向北偏东60°的方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC的度数是( )A、75°B、105°C、45°D、135°9、如图4，与OH相等的线段有（）A、8B、7C、6D、410用图示胶滚涂出的( )A B C D三、解答题：1、如图，已知∠AOB，画图并回答：⑴画∠AOB的平分线OP；⑵在OP上任取两点C、D，过C、D分别画OA、OB交OA于E，F，交OB于G、H，⑶量出CE，CG，DF，DH⑷过C作MC∥OB交OA于M2、如图已知点C为AB上一点，AC＝12cm, CB＝32AC，D、E分别为AC、AB的中点求DE的长。
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安庆一中必修三第三章概率测试题
一、选择题（3分×10=30分）
1、如果事件A 、B 是互斥事件，则 [ ]
A 、A
B +是必然事件 B 、A B +是必然事件
C 、A 与B 一定互斥 C 、A 与B 一定不互斥 2、设A 、B 是互斥事件，它们都不发生的概率是
1
3且()3()p A p B =，则()p A =[ ]
A 、
23
B 、
12
C 、
13
D 、16
3、一个家庭有三个小孩，所有可能的基本事件的个数是 [ ]
A 、4
B 、6
C 、8
D 、10
4、平面上画有等距的平行线组，间距为(0)a a >，把一枚半径为(2)r r a <的硬币随机掷在平面上，硬币与平行线相交的概率 [ ]
A 、
2a r a
- B 、
2a r a
- C 、
a r a
- D 、
2r a
5、掷两个骰子，恰好出现一个点数比另一个点数大3的概率 [ ]
A 、
16
B 、
12
C 、
112
D 、
14
6、有100张卡片（从1号到100号），从中任取一张，取到的卡片是6或8的倍数的概率
[ ]
A 、0.24
B 、0.23
C 、0.15
D 、0.14
7、掷一枚硬币，若出现正面记1分，出现反面记2分，则恰好得3分的概率为 [ ]
A 、
58
B 、
18
C 、
14
D 、
12
8、在区间（0，1）中，随机的取出两数，其和小于
12
的概率 [ ]
A 、
18
B 、
14
C 、
34
D 、78
9、A、B两人约定6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应该等候另一个一刻钟，过
时即离开，两人能会面的概率[ ]
A、
5
16
B、
7
16
C、
2
3
D、
4
9
10、3名代表都以相同的概率分配到4个单位中的任一个工作，则至少有2人被分配到同一单位工作的概率[ ]
A、3
8
B、
1
2
C、
5
8
D、
3
4
安庆一中必修三第三章《概率》测试题
班级 姓名 成绩
一、选择题（3分×10=30分）
二、填空题（3分×5=15分）
11、在1万2km 的海域中有402km 的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探时
随机的，钻到石油层的概率是 ；
12、同学4人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中各拿出一张贺卡，则贺卡不同的
分配方法有 种；
13、在平面直角坐标系中，点(,)A x y 的,{0,1,2,3,4,5}x y ∈且x y ≠，则点A 在线y x
=的上方的概率 ；
14、将骰子先后各抛一次，用,a b 分别记录它们的点数，若(,)M a b 落在不等式22x y m +≤（m 为常数）所表示的区域内，设为事件A 使()1p A =，则m 的最小值为 ； 15、从3双规格相同颜色不同的手套中任取2只，恰成一双（颜色不同的也可成为一双）的概率 ； 三、解答题（9分×5+10分=55分）
16、某射手在一次射击中命中9环概率0.28，命中8环的概率是0.19，少于8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率。
17、如图060AOB ∠=，2O A =，5O B =,在线段O B 上任取一点C ，求 （1）A C O ∠为钝角的概率； （2）A O C ∠为锐角三角形的概率。
18、一工厂有A 、B 两名独立工作的机器，平均来说，每台机器24小时发生故障一次，若修理A 需2小时，修理B 需3 小时，试求生产在24小时内能进行的概率。
A
O
B
C
19、把长度为1的线段任意分成三段，求分得的三条线段能构成三角形的概率。
20、随意安排甲、乙、丙三人在三天节日中值班，每人值班一天，求甲安排在乙前面的概
率。
21、盒中装有标上1、2、3、4的卡片各2张。
从盒中任意抽3张，每张卡片被抽到的可
能性相等。
求
（1）抽出的3张卡片上的最大数字是4的概率；
（2）抽出的3张卡片中有2张卡片上的数字是3的概率。