【北师大版】九年级数学上册：4.7《相似三角形的性质》ppt课件
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北师大版九年级上册数学《相似三角形的性质》图形的相似PPT教学课件
第四章 图形的相似
4.7 相似三角形的性质
第1课时
教学目标
理解相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应 中线的比与相似比的关系，会运用它求相关线段的长．(重点)
课前预习
(一)知识探究 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线 的比都等于 相似比 ．
(二)预习反馈
1. 如果两个相似三角形对应边的比为 4∶5，那么它们对
＝∠A.∴AA′DD′＝AA′CC′，∠A′＝∠A，∴△A′C′D′∽△ACD，∴CC′DD′＝AA′CC′＝ k.
知识点 3 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 例3 求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似 比．(请根据题意画出图形，写出已知、求证并证明)
【思路点拨】画出图形，写出已知，求证，根据相似三 角形对应角相等可得∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1，再根据 角平分线的定义求出∠BAD＝∠B1A1D1，利用两组角对应相 等的两三角形相似说明△ ABD∽△A1B1D1.
求证：AA′DD′＝k.
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′. ∵AD 是△ ABC 的高，A′D′是△ A′B′C′的高，∴∠ADB ＝∠A′D′B′＝90°， ∴△ABD∽△A′B′D′，∴AA′DD′＝AA′BB′＝k.
【归纳总结】证明文字叙述题，首先要画出图形，写出 已知、求证， 然后分析证明思路，写出证明过程．
(2)若 S△ EOD＝16，S△ BOC＝36，求AAEC的值．
解：∵△EOD∽△BOC，∴SS△△ EBOODC＝OODC2. ∵S△ EOD＝16，S△ BOC＝36，∴OODC＝32. 在△ ODC 与△ EAC 中，∵∠AEC＝∠ODC，∠OCD＝∠ACE， ∴△ODC∽△AEC， ∴OAED＝OACC，即OODC＝AAEC，∴AAEC＝23.
4.7 相似三角形的性质
第1课时
教学目标
理解相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应 中线的比与相似比的关系，会运用它求相关线段的长．(重点)
课前预习
(一)知识探究 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线 的比都等于 相似比 ．
(二)预习反馈
1. 如果两个相似三角形对应边的比为 4∶5，那么它们对
＝∠A.∴AA′DD′＝AA′CC′，∠A′＝∠A，∴△A′C′D′∽△ACD，∴CC′DD′＝AA′CC′＝ k.
知识点 3 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 例3 求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似 比．(请根据题意画出图形，写出已知、求证并证明)
【思路点拨】画出图形，写出已知，求证，根据相似三 角形对应角相等可得∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1，再根据 角平分线的定义求出∠BAD＝∠B1A1D1，利用两组角对应相 等的两三角形相似说明△ ABD∽△A1B1D1.
求证：AA′DD′＝k.
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′. ∵AD 是△ ABC 的高，A′D′是△ A′B′C′的高，∴∠ADB ＝∠A′D′B′＝90°， ∴△ABD∽△A′B′D′，∴AA′DD′＝AA′BB′＝k.
【归纳总结】证明文字叙述题，首先要画出图形，写出 已知、求证， 然后分析证明思路，写出证明过程．
(2)若 S△ EOD＝16，S△ BOC＝36，求AAEC的值．
解：∵△EOD∽△BOC，∴SS△△ EBOODC＝OODC2. ∵S△ EOD＝16，S△ BOC＝36，∴OODC＝32. 在△ ODC 与△ EAC 中，∵∠AEC＝∠ODC，∠OCD＝∠ACE， ∴△ODC∽△AEC， ∴OAED＝OACC，即OODC＝AAEC，∴AAEC＝23.
4.7 相似三角形的性质(课件)九年级数学上册(北师大版)
课堂练习
例1 如图,AD是△ABC的高， AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为
1
E。当SR= BC时，求DE长.
3
2）∵SR⟂AD,BC⟂AD,∴RS∥BC
∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C
∴△ASR∽△ABC. ∴
1
2
∴AE= AD 则DE= ℎ
3
3
AE
AD
=
SR
BC
1
3
而SR= BC
∴ ∠=
∴
′′
=
∠′ ′ ′
′ ′
∴ △
B
D
∽△ ′ ′ ′
C
A’
=k
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
B’
D’
C’
探索与思考
如图，已知△ABC∽△A’B’C’，△ABC∽△A’B’C’的相似为k，点D,E在BC边
上，点D’,E’在B’C’边上
1
1
1∶3
1∶9
对应周长的比为__________，对应面积的比为_________.
课堂练习
1 把一个三角形变成和它相似的三角形，
25
1）如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的__________倍。
10
2）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的__________倍。
1
3）如果边长缩小到原来的一半，那么面积缩小为原来的__________。
B’
D’
C’
探索与思考
如图， △ ∽△ ′ ′ ′ ，相似比为，其中 、 ′′分别是∠、∠‘的角平分线，问
AD 、 A′D′有什么关系呢？
九年级数学上册 第4章 图形的相似 4.7 相似三角形的性质课件上册数学课件
6.如图4-7-2,在平行四边形ABCD中,点E在CD上,若DE∶CE=1∶2,则 △CEF与△ABF的周长比为 ( )
A.1∶2
B.1∶3
图4-7-2 C.2∶3 D.4∶9
答案 C ∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,CD=AB.∴△CEF ∽△ABF,∵DE∶EC=1∶2,∴EC∶DC=CE∶AB=2∶3,∴C△CEF∶C△ABF= 2∶3.故选C.
4
与△DEF对应中线的比为 3 ,故选A.
4
,∴△ABC
12/11/2021
2.已知△ABC∽△DEF,且相似比为4∶3,若△ABC中BC边上的中线AM=
8,则△DEF中EF边上的中线DN=
.
答案 6
解析 由相似三角形对应线段的比等于相似比,得 A M = 4 ,∵AM=8,
DN 3
∴DN=6.
12/11/2021
(2)∵DE∥BC,∴∠EDC=∠BCD,∠DEG=∠CBG,
∴△GED∽△GBC,∴ GE=D的=周长. D E 1
GBC的周长 B C 2
∵△ADE∽△ABC,∴ S =A D E
S ABC
=D
B
E C
2
=
1 2
.
2
1 4
12/11/2021
知识点三 相似多边形的性质
相似多边形 性质
边、角
S甲
4
S甲 4
29
答案 60;24
点拨 根据相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系列出比例式,
用比例的性质列方程解题.
12/11/2021
题型一 利用相似三角形的性质计算线段的长
例1 如图4-7-4所示,在△ABC中,E、F都是BC上的点, D、G分别是AB、AC上的点,四边形DEFG是矩形,AH是 BC边上的高,AH与DG相交于点K.若BC=12,矩形DEF的 面积与△ADG的面积相等,求DG的长.
北师大初中数学九上《4.7 相似三角形的性质》PPT课件 (1)
A
若△ADE∽ △ABC,则 ∠DAE=∠BAC, ∠ADE=∠ A BC, ∠AED=∠ACB,
D
E
AD AE DE . AB AC BC
B
E A
若△ABC∽ △DEC,则
C
∠A=∠D, ∠B=∠E,
D
∠ACB=∠DCE,
AB AC BC . DE DC CE
B
C
开启 智慧
内涵与外延
△ACD∽ △ABC
AC BC AB CD.
△CBD∽ △ABC 老师的建议:上面红色字表示出的关系
△ACD∽
△CBD.
式,是几个重要的结论,若能理解记忆 并运用,将会促进能力的提高.
思
例题欣赏P129
考 分
• 如图所示,在等腰△ABC中,底
析A
边BC=60cm,高 AD=40cm,四
边形PQRS是正方形.
关系? • 如图, △ABC∽△A′B′C′,相
A
D B A′
D′ B′
似比是k(如3∶4). • (1)△ABC与△A′B′C′的面
积如何表示?
S ABC
1 AB CD 2
AB CD
S ABC
1 AB CD
AB CD
2
• (2)△ABC与△A′B′C′的面 积的比是多少?
如图, 已知△ABC, DE ∥ BC, 交AB,AC A
或其延长线于D,E,则有如下结论:
DE
结论1:平行于三角形一边直线
截其它两边(或其延长线),所截 得的三角形与原三角形相似;
B
AC
如图:在△ABC中,
BC
如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABC.
若△ADE∽ △ABC,则 ∠DAE=∠BAC, ∠ADE=∠ A BC, ∠AED=∠ACB,
D
E
AD AE DE . AB AC BC
B
E A
若△ABC∽ △DEC,则
C
∠A=∠D, ∠B=∠E,
D
∠ACB=∠DCE,
AB AC BC . DE DC CE
B
C
开启 智慧
内涵与外延
△ACD∽ △ABC
AC BC AB CD.
△CBD∽ △ABC 老师的建议:上面红色字表示出的关系
△ACD∽
△CBD.
式,是几个重要的结论,若能理解记忆 并运用,将会促进能力的提高.
思
例题欣赏P129
考 分
• 如图所示,在等腰△ABC中,底
析A
边BC=60cm,高 AD=40cm,四
边形PQRS是正方形.
关系? • 如图, △ABC∽△A′B′C′,相
A
D B A′
D′ B′
似比是k(如3∶4). • (1)△ABC与△A′B′C′的面
积如何表示?
S ABC
1 AB CD 2
AB CD
S ABC
1 AB CD
AB CD
2
• (2)△ABC与△A′B′C′的面 积的比是多少?
如图, 已知△ABC, DE ∥ BC, 交AB,AC A
或其延长线于D,E,则有如下结论:
DE
结论1:平行于三角形一边直线
截其它两边(或其延长线),所截 得的三角形与原三角形相似;
B
AC
如图:在△ABC中,
BC
如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABC.
北师大版九年级数学上册相似三角形的性质 课件
ABBCCA ABBCCA
性质3
类似三角形面积的比都等于类似比的平 方。
推 理
△ABC∽△A'B'C', AB BC CA K
AB BC CA
分别作出△ABC与△A'B'C'的高AD和 A'D'
则 SABC
1 BCAD 2
1 KBCKAD
2
K²
SABC 1 BCAD 1 BCAD
2
2
三、例题精析
类似三角形对应高的比,对应角平分线 的比,对应中线的比都等于类似比。
∵△ABC∽△A′B′C′
∴
A B F DE
A/
C
B/ F‘ D/ E/
C/
性质2 类似三角形周长的比都等于类似比。
推 理
△ABC∽△A'B'C', AB BC CA K
AB BC CA
由合比性质可得： ABBCCA KABKBCKCAK
解：设 ED＝MN＝PN＝x
∵△APN∽△ABC
∴PBNC
AE AD
∴x 80 x
120 80
∴x＝48，∴这个正方形零件的边
长为48毫米．
【变式1-1】已知，△ABC∽A'B'C',AD 与A'D'是它们的对应角平分线，已知则 它们对应高的比为（ ）
【变式1-2】已知△ABC∽△A′B′C′, 在这两个三角形的一组对应中线中，如果 较短的中线为3cm，则较长的中线为（）
【巩固训练5】如图，在平行四边形 ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1 ，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与 △DAF的面积之比为（ B ）
性质3
类似三角形面积的比都等于类似比的平 方。
推 理
△ABC∽△A'B'C', AB BC CA K
AB BC CA
分别作出△ABC与△A'B'C'的高AD和 A'D'
则 SABC
1 BCAD 2
1 KBCKAD
2
K²
SABC 1 BCAD 1 BCAD
2
2
三、例题精析
类似三角形对应高的比,对应角平分线 的比,对应中线的比都等于类似比。
∵△ABC∽△A′B′C′
∴
A B F DE
A/
C
B/ F‘ D/ E/
C/
性质2 类似三角形周长的比都等于类似比。
推 理
△ABC∽△A'B'C', AB BC CA K
AB BC CA
由合比性质可得： ABBCCA KABKBCKCAK
解：设 ED＝MN＝PN＝x
∵△APN∽△ABC
∴PBNC
AE AD
∴x 80 x
120 80
∴x＝48，∴这个正方形零件的边
长为48毫米．
【变式1-1】已知，△ABC∽A'B'C',AD 与A'D'是它们的对应角平分线，已知则 它们对应高的比为（ ）
【变式1-2】已知△ABC∽△A′B′C′, 在这两个三角形的一组对应中线中，如果 较短的中线为3cm，则较长的中线为（）
【巩固训练5】如图，在平行四边形 ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1 ，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与 △DAF的面积之比为（ B ）
新北师大版九年级数学上册《相似三角形的性质》公开课课件.ppt
相似三角形周长的比等于相似比。
A A′
B
C B′
C′
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形周长的比等于相似比。
已知： △ AB ∽△C A 'B 'C '
A
A′
求证： 证明：
AB BC CAAB A'B'B'C'C'A' A'B'
B ∵ △ AB ∽△C A 'B 'C '
C B′
C′
∴ AB BC CA (相似三角形对应边成比例) A'B' B'C' C'A'
SABC AC2
∴
SADE 32 9 SABC 52 25
∵ SABC10c0m2
∴ SADE 9 ∴ SADE36cm2 100 25
∴ S 四 B 边 C S D 形 A E B S A C D 1E 0 3 6 0 6 c2 4 m
练习： 1、 已知：△ AB ∽△C A 'B 'C '，它们的周长分别
3.7 相似三角形的性质
复习 定理 例题 小结
填空：
两个相似三角形的_对__应__角__相等，_对__应__边__成比例。
__相__似___三__角__形___对__应__高__的___比__、 ___相__似__三__角___形__对__应___中__线__的__比___、 _相___似__三__角___形__对__应__角___平__分__线___的__比___都等于相似比。
A
AM
D
D
FE
B
G
C
H
北师大版九年级数学上册4.7相似三角形的性质课件1 (共22张PPT)
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课堂练习(2)
6、如图，已知DE∥BC ，BD=3AD，S△ABC =48 ，求：△ADE的面积。
解：∵ DE∥BC ∴ ∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACB ∴ △A DE ∽△ABC ∴ BD=3AD ∴ 相似比k=AD:AB=1:2
∴ S△ADE =1/4 S△ABC =12
如果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为
原来的__1_0_0__0_0______倍；
如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为
原来的______1_0________倍。
4、△ABC∽△A′B′C′，AC: A′ C′=4:3。
〔1〕假设△ABC的周长为24cm，那么△A′B′C′的周
长为 18 cm；
边：对应边成比例
角：对应角相等 问：什么是相似比？ 相似比=对应边的比值=
相似三角形对应边上的高
有什么关系呢？
右图△A B C ， AD为 BC 边上的高。
A′
则:(1)利用方格把三角形扩大2倍，得
△A′B′C′，并作出B′C′边上的高A′ D′ 。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？AD
4.7相似三角形的性质
识别
特征 对应边上的高
课后小结
对应边上的中线
对应角的角平分线
周长 面积
课堂练习(1) (2)
相似三角形的识别
问：相似三角形的识别方法有哪些？
证三组对应 边成比例
证二组对 应角相等
证二组对应 边成比例， 且夹角相等
BACK
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边或延
长线相交,所构成的三角形与原三角形相似
〔2〕与〔1〕的相似比＝____2__:1__________，
课堂练习(2)
6、如图，已知DE∥BC ，BD=3AD，S△ABC =48 ，求：△ADE的面积。
解：∵ DE∥BC ∴ ∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACB ∴ △A DE ∽△ABC ∴ BD=3AD ∴ 相似比k=AD:AB=1:2
∴ S△ADE =1/4 S△ABC =12
如果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为
原来的__1_0_0__0_0______倍；
如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为
原来的______1_0________倍。
4、△ABC∽△A′B′C′，AC: A′ C′=4:3。
〔1〕假设△ABC的周长为24cm，那么△A′B′C′的周
长为 18 cm；
边：对应边成比例
角：对应角相等 问：什么是相似比？ 相似比=对应边的比值=
相似三角形对应边上的高
有什么关系呢？
右图△A B C ， AD为 BC 边上的高。
A′
则:(1)利用方格把三角形扩大2倍，得
△A′B′C′，并作出B′C′边上的高A′ D′ 。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？AD
4.7相似三角形的性质
识别
特征 对应边上的高
课后小结
对应边上的中线
对应角的角平分线
周长 面积
课堂练习(1) (2)
相似三角形的识别
问：相似三角形的识别方法有哪些？
证三组对应 边成比例
证二组对 应角相等
证二组对应 边成比例， 且夹角相等
BACK
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边或延
长线相交,所构成的三角形与原三角形相似
〔2〕与〔1〕的相似比＝____2__:1__________，
2019年秋北师大版九年级上学期数学课件：4.7 相似三角形的性质(共26张PPT)
5.（台州中考）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、
AC上，且
，则S△ADE∶S四边形BCED的
值为（ B）
6.（南通中考）若△ ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相 似比为1∶2，则△ABC与△DEBC上的中点，连接AM交BD
于点F，则S△BMF∶S△DFA= 1∶4 .
新识探究
如图：
△ ABC∽△ A′B′C′ 相似比为1：2，AD 是BC上高， A′D′是
B′C′上高。
A
D B
C B'
A'
D' C'
（1） △ABD与 △A′B′D′相似吗？说明理由。
AD
A′D′
新识探究
A′ A
解 ：（1）△ABD∽△ A′B′D′
理由： ∵ △ABC∽△ A′B′C′ ∴ ∠B =∠ B′
对应高的比等于_相__似__比_____
对应中线__相__等_ 对应中线的比等__相__似__比___
对应角平分线_相__等_ 对应角平分线的比等于相__似__比___
周长_相__等__
周长的比___相__似__比_________
面积__相__等__
面积的比__相__似__比__的__平__方____
知识点二
3.（张家界中考）已知△ABC与△A1B1C1相似，且面积 比为4∶25，则△ABC与△A1B1C1的相似比为 .
4.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，
DE∥BC，且AD= 周长的比为 .
1 3
AB，则△ADE的周长与△ABC的
点点对接
例1：如图所示，△ABC中，BC=18，高AD=16，它的内 接矩形的两邻边EF∶FM=5∶9，长边MF在BC边上，求 矩形EFMN的面积.
北师版九年级数学 4.7相似三角形的性质(学习、上课课件)
面积比等 于相似比
的平方
感悟新知
知2－练
例 2 如果两个相似三角形的相似比是3 ∶2，它们的周长 差为8，那么较大的三角形的周长为______. 解题秘方：紧扣“相似三角形的周长比等于相似比” 列方程求解.
感悟新知
解：设较大的三角形的周长为x，则较小 的三角形的周长为x－8. ∵这两个相似三角形的相似比为3 ∶ 2， ∴这两个三角形的周长比为3 ∶ 2. ∴x－x 8=32，解得x =24. ∴较大三角形的周长为24 . 答案：24
两个三角形高(或底)的比相混淆.
如下表：
感悟新知
图形 周 长 比
面 积 比
推理
A′ABB′＋＋BB′CC＋′＋AAC′C′=
(A′B ＋B′C ＋A′ C )·k A′B ＋B′C ＋A′C
=k
S△ ABC S△ A′ B′C′
=12B12′BCC′ ··AA论
周长比等 于相似比
∴AA′DD′=AA′BB′ =k
感悟新知
图形
对应 中线 的比
AM，A′M′分别为 △ ABC 和△ A′B′C′对应边上的 中线
知1－讲
证明过程
结论
∵△ ABC ∽△ A′B′C′，
∴∠ B=∠ B′，AA′BB′=BB′CC′ . 对应 ∵AM，A′M′分别是边BC， 中线
B′C′上的中线，∴
感悟新知
知1－讲
图形
证明过程
结论
∵△ ABC ∽△
对应
A′B′C′，∴∠ B=∠ B′. 高的
对应
∵ AD ⊥ BC，A′D′⊥ 比等
高的
B′C′，∴∠ ADB= 于相
比 AD，A′D′分别为△ ∠A′D′B′=90° .∴△ 似比
的平方
感悟新知
知2－练
例 2 如果两个相似三角形的相似比是3 ∶2，它们的周长 差为8，那么较大的三角形的周长为______. 解题秘方：紧扣“相似三角形的周长比等于相似比” 列方程求解.
感悟新知
解：设较大的三角形的周长为x，则较小 的三角形的周长为x－8. ∵这两个相似三角形的相似比为3 ∶ 2， ∴这两个三角形的周长比为3 ∶ 2. ∴x－x 8=32，解得x =24. ∴较大三角形的周长为24 . 答案：24
两个三角形高(或底)的比相混淆.
如下表：
感悟新知
图形 周 长 比
面 积 比
推理
A′ABB′＋＋BB′CC＋′＋AAC′C′=
(A′B ＋B′C ＋A′ C )·k A′B ＋B′C ＋A′C
=k
S△ ABC S△ A′ B′C′
=12B12′BCC′ ··AA论
周长比等 于相似比
∴AA′DD′=AA′BB′ =k
感悟新知
图形
对应 中线 的比
AM，A′M′分别为 △ ABC 和△ A′B′C′对应边上的 中线
知1－讲
证明过程
结论
∵△ ABC ∽△ A′B′C′，
∴∠ B=∠ B′，AA′BB′=BB′CC′ . 对应 ∵AM，A′M′分别是边BC， 中线
B′C′上的中线，∴
感悟新知
知1－讲
图形
证明过程
结论
∵△ ABC ∽△
对应
A′B′C′，∴∠ B=∠ B′. 高的
对应
∵ AD ⊥ BC，A′D′⊥ 比等
高的
B′C′，∴∠ ADB= 于相
比 AD，A′D′分别为△ ∠A′D′B′=90° .∴△ 似比
北师大版数学九年级上：4.7《相似三角形的性质(1)》ppt课件
(1)△ACD与△A'C'D'相似吗?为什么?如果
相似,指出它们的相似比;
(2)如果CD=1.5 cm,那么模型房的房梁立
柱有多高?
解:(1)相似.理由如下:
∵ AC = AB = BC , AC AB BC
∴△ABC∽△A'B'C', ∴∠A=∠C'A'D',
又∵∠ADC=∠A'D'C'=90°,
3
h3
3
（补充例题）如图所示,已知 △ABC∽△A'B'C'.△ABC与△A'B'C'的相似 比为k.
(1)若∠BAD = 1∠BAC,∠B' A'D' = 1∠B' A'C',则 AD AD等于多少?
3
3
AD
(2)若BE = 1 BC, B'E' = 1 B'C',则 AE 等于多少?
3
3
AE
解 : (1) AD AD = k. (2) AF = k.
•
10、低头要有勇气，抬头要有低气。1 9:50:37 19:50:3 719:50 5/10/20 21 7:50:37 PM
•
11、人总是珍惜为得到。21.5.1019:50: 3719:5 0May-2 110-Ma y-21
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12、人乱于心，不宽余请。19:50:3719 :50:371 9:50M onday, May 10, 2021
九年级数学上 新课标 [北师]
第4章 图形的相似
学习新知
检测反馈
钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图
相似三角形的性质第1课时课件北师大版九年级数学上册
（1）△ASR 与△ABC 类似吗？为什么？
A
解：∵ 四边形 PQRS 是正方形，
S
E
R
∴ RS∥BC.
∴ ∠ASR=∠B，∠ARS=∠C.
∴△ASR∽△ABC.
B
P
D
图5
Q
C
典例精讲
例 如图5，AD 是△ABC 的高，点 P，Q 在BC边上，点 R 在 AC 边上，
点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
（2）求正方形 PQRS 的边长.
A
解：∵ △ASR∽△ABC，∴
S
设正方形 PQRS 的边长为 x cm，
E
R
则 AE= (40–x) cm，
解得x = 24 .
答：正方形 PQRS 的边长为 24 cm.
B
P
D
图5
Q
C
当堂训练
两个类似三角形的一组对应角平分线的长分别是 2 cm 和 5
cm，求这两个三角形的类似比. 在这两个三角形的一组对应中
BC，B′C′ 的中点. 试探究 AD 与A′D′ 的比值关系，AE 与 A′E′ 呢？AF与
A′F′ 呢？
A
A′
B
D
E F
B′ D′ E′ F′
C
图2
C′
归纳小结
定理 类似三角形对应高的比，对应角平分线的比，
对应中线的比都等于类似比.
A
A′
B
F
D E
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴
C
B′ F′ D′ E′
类似比是 1 : 2.
（2）由CD : C′D′ =1:2，得C′D′ = 2CD=3 cm，即模型房的房梁立柱高3 cm.
A
解：∵ 四边形 PQRS 是正方形，
S
E
R
∴ RS∥BC.
∴ ∠ASR=∠B，∠ARS=∠C.
∴△ASR∽△ABC.
B
P
D
图5
Q
C
典例精讲
例 如图5，AD 是△ABC 的高，点 P，Q 在BC边上，点 R 在 AC 边上，
点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
（2）求正方形 PQRS 的边长.
A
解：∵ △ASR∽△ABC，∴
S
设正方形 PQRS 的边长为 x cm，
E
R
则 AE= (40–x) cm，
解得x = 24 .
答：正方形 PQRS 的边长为 24 cm.
B
P
D
图5
Q
C
当堂训练
两个类似三角形的一组对应角平分线的长分别是 2 cm 和 5
cm，求这两个三角形的类似比. 在这两个三角形的一组对应中
BC，B′C′ 的中点. 试探究 AD 与A′D′ 的比值关系，AE 与 A′E′ 呢？AF与
A′F′ 呢？
A
A′
B
D
E F
B′ D′ E′ F′
C
图2
C′
归纳小结
定理 类似三角形对应高的比，对应角平分线的比，
对应中线的比都等于类似比.
A
A′
B
F
D E
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴
C
B′ F′ D′ E′
类似比是 1 : 2.
（2）由CD : C′D′ =1:2，得C′D′ = 2CD=3 cm，即模型房的房梁立柱高3 cm.
北师大版九年级上册数学第四章《相似三角形的性质(1)》课件
2x＝1
200 7
(mm)．
答：加工成的矩形零件的边长分别为6070 mm 和
1 200 7 mm.
课 堂 练习
1．两个相似三角形的相似比为 1 , 则对应高
2
的比为_________, 则对应中线的比为_________.
2.相似三角形对应边的比为2∶3,那么对应角的 角平分线的比为______.
它们相似吗？如何证明？
新知探索
探究：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对 应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
对应高的比等于相似比k
它们的对应中线
是否也等于相似比k？
新知探索
问题2：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，分别作 △ABC和△A′B′C′对应中线AD和A′D′．AD和A′D′的比是多少？
分析：本题考查相似三角形性质的应用．解答本题需要设出所
求矩形零件的某一边长，然后借助△AEH∽△ABC求解．
解：设矩形 EFGH 为加工成的矩形零件，边 FG 在 BC
上，则点 E、H 分别在 AB、AC 上，△ABC 的高 AD 与边
EH 相交于点 P，设矩形的边 EH 的长为 x mm.
因为 EH∥BC，所以△AEH∽△ABC.所以AADP＝EBHC. 所以3030－ 002x＝20x0，解得 x＝6700(mm)，
证明：∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠B＝∠B′,
AB BC AB BC
BD1BC,BD1BC,
2
2
BD
1 BC 2
BC
AB
BD 1BC BC AB
2
∴△ABD∽△A′B′D′
AD AB k AD AB
分析：对应中线在哪两个三角形中，
北师大9年级上册4.7.1 相似三角形的性质 课件
′
（2）若BE= BC， B′E′= B′C′，则
（3）你还能提出哪些问题？与同伴交流.
新知讲解
证明： (1) ∵ △ABC∽△A′B′C′
∴∠B=∠B′ ， ∠BAC=∠B′A′C′
∵∠BAD= ∠BAC，∠B′A′D′= ∠B′A′C′，
∴∠BAD=∠B′A′D′
∴△ABD∽△A′B′D′
（1）△ ACD和△ A′ C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比.
相似；三边对应成比例；相似比为1:2.
（2）如果CD=1.5m,那么模型房的房梁立柱有多高？
3cm
新知讲解
已知△ABC∽△A′B′C′， △ABC与△A′B′C′的相似比为k，它们对应高的比
是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论.
∴′′ = ′′ =
新知讲解
（2）∵△ABC ∽△A′B ′C ′
′ ′
∴
=
′ ′
∠B＝∠B'
∵BE=
′ ′ = ′′
∴BC=3BE
′ ′ = ′ ′
∴ ′
′
=
′ ′
=
′ ′
∵∠B＝∠B'
∴△ABE ∽△A' B' E' .
又AT，A′T′分别为对应角∠BAC， ∠B′A′C′的角平分线，
1
1
∴∠BAT= ∠BAC= ∠B′A′C′=∠B′A′T′
2
2
∴△ABT∽△A′B′T′
∴
AT
AB
=
A′T′ A′B′
相似三角形对应角平分线的比等于相似比
（2）若BE= BC， B′E′= B′C′，则
（3）你还能提出哪些问题？与同伴交流.
新知讲解
证明： (1) ∵ △ABC∽△A′B′C′
∴∠B=∠B′ ， ∠BAC=∠B′A′C′
∵∠BAD= ∠BAC，∠B′A′D′= ∠B′A′C′，
∴∠BAD=∠B′A′D′
∴△ABD∽△A′B′D′
（1）△ ACD和△ A′ C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比.
相似；三边对应成比例；相似比为1:2.
（2）如果CD=1.5m,那么模型房的房梁立柱有多高？
3cm
新知讲解
已知△ABC∽△A′B′C′， △ABC与△A′B′C′的相似比为k，它们对应高的比
是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论.
∴′′ = ′′ =
新知讲解
（2）∵△ABC ∽△A′B ′C ′
′ ′
∴
=
′ ′
∠B＝∠B'
∵BE=
′ ′ = ′′
∴BC=3BE
′ ′ = ′ ′
∴ ′
′
=
′ ′
=
′ ′
∵∠B＝∠B'
∴△ABE ∽△A' B' E' .
又AT，A′T′分别为对应角∠BAC， ∠B′A′C′的角平分线，
1
1
∴∠BAT= ∠BAC= ∠B′A′C′=∠B′A′T′
2
2
∴△ABT∽△A′B′T′
∴
AT
AB
=
A′T′ A′B′
相似三角形对应角平分线的比等于相似比
九年级数学(北师大版)上册课件：4.7 相似三角形的性质
11．(2017·随州模拟)如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于
点O，则S△DOE∶S△COB＝(
A)
A．1∶4 B．2∶3 C．1∶3
D．1∶2
12．(2017·宁波模拟)如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B ＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC 与△DCA 的面积比为
7．(2016·随州)如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且
DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE
与S△CDE的比是(
)B
A．1∶3 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶25
8．(2017·黔东南模拟)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝1， BC＝3，AC与BD相交于点O，△AOD的面积为3，则△BOC的面积 是_______2．7
知识点一：相似三角形的周长比
1．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的周
长之比为( )
A
A．1∶2
B．2∶1
C．1∶4
D．4∶1
2．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，则
△ADE与△ABC的周长之比等于( ) A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶B4
3．两个相似三角形的对应边上的中线之比为2∶3，周长之和为20， 那么这两个三角形的周长分别是( ) A A．8和12 B．9和11 C．7和13 D．6和14
4．如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝6，AD＝9，∠BAD 的 平分线交 BC 于点 E，交 DC 的延长线于点 F，BG⊥AE 于点 G，BG ＝4 2，则△EFC 的周长为( D )
17．在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC
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B
答案
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2. 两个相似多边形的面积比是 9∶16, 其中较小多边形的周长为 36 cm, 则较大多边形的周长为( ) A.48 cm B. 54 cm C. 56 cm D. 64 cm
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A
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3. 点 D, E 分别在△ABC 的边 AB, AC 上, AD=2, DB=8, AC=5. 若△ADE 与△ABC 相似, 则 AE 的长为( ) A. 1. 25 B. 1 C. 4 D. 1 或 4
7.相似三角形的性质
快乐预习感知
1. 定理:相似三角形 对应高的比 、 对应角平分线的比 、 对应中线的比 都等于相似比. 2. 定理:相似三角形的周长比等于 相似比 , 面积比等 于 相似比的平方 .
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1. 若△ABC 与△DEF 的相似比为 1∶3, 则△ABC 与△DEF 的面积比 为( ) A.1∶3 B. 1∶9 C. 3∶1 D.1∶ 3
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100
答案
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6. 两个相似多边形的最长边分别为 6 cm 和 8 cm, 它们的周长之和为 56 cm, 面积之差为 28 cm2,求较小相似多边形的周长与面积.
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解 :设较小相似多边形的周长为 x cm,面积为 y cm
2
解得 x=24,y=36. 答 :较小相似多边形的周长为 24 cm,面积为 36 cm2 6
4. 两个相似三角形对应高之比为 1∶2, 那么它们对应中线之比为 ( ) A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶8
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A
答案
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5. 用一个 10 倍的放大镜放大一个六边形, 则该六边形放大后的面积 是原来的 倍.
������ ,根据题意,得 56-������
������ 6 = , 8 ������+28
=
6 8
2
.
答案