赤峰市2018届高三数学上学期第三次月考试题 文

内蒙古赤峰市2018届高三数学上学期第三次月考试题 文 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知,a b R ∈， 为虚数单位， ()()2137a i i b i ++=-+,则a b -=（ )
A 。

9 B. -9 C. 24 D 。

-34 2．若集合，,则（ ） A 。

B. C. D 。

3．下列选项中，说法正确的是（ ）
A 。

命题“2
,0xR x x ∃∈-≤”的否定是“2
,0xR x x ∃∈->”
B. 命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的充分不必要条件
C 。

命题“若2
2
a m
b m ≤，则a b ≤"是假命题
D. 命题“在A B C 中，若1s in 2
A <
,则6
A π<
”的逆否命题为真命题
4．正项数列｛a n }成等比数列，a 1+a 2=3，a 3+a 4=12，则a 4+a 5的值是（ )
A 。

—24
B 。

21
C 。

48
D 。

24 5．《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，其中卷六《均输》里有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等,问各得几何."意思是:“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列,其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等。

”（“钱"是古代的一种重量单位)，则其中第二人分得的钱数是（ ）
A 。

B 。

1 C. D 。

6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何
体的体积为( ）
A. 2
B. 1 C 。

D 。

［. 7．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f （x ）=x 2+2x ，若f （2﹣a 2）＞f （a ）,则实数a 的取值范
围是( ） A ．（﹣∞，﹣1）∪(2，+∞) B ．(﹣2，1） C ．（﹣1，2) D ．(﹣∞，﹣2）∪(1,+∞） 8．如图所示，程序框图的功能是 ［］
A ．求{n
1}前10项
和 B ．求｛n
21
｝前10项和
C ．求｛n
1
｝前
11项和 D ．求｛
n
21
}前11
项和
9．如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图,则由图可估计样本的平均重量与中位数分别为（ ）
A 。

13,12
B 。

12，12
C 。

11,11 D. 12，11
10．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且BC 边上的高为3
6a ，则c b b c
+
的最大值是（ ）
A 。

8
B 。

6 C. 32 D 。

4
11．
已知双曲线C ： x a
-y b
=1(a ＞0，b ＞0）的右焦点F 和A （0，b)
的连线与C 的一条渐近线相交于点P ，且2P F A P =,则双曲线C
的离心率为（ ）
A 。

3
B 。

3 C. 4 D 。

2
12．已知函数()()()
21,,2x x
fx e a e e a e x b a b R =+--+∈(其中e
为自然对数底数）
在1x =取得极大值，则a 的取值范围是（ ）
A 。

0a <
B 。

0a ≥
C 。

0ea -≤<
D 。

a e <-
二．填空题：本大题共4小题,每小题5分。

13．设{}n
a 是递增等差数列,前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是_____．
14．已知2sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭则
()5
c o s c o s 3x x π⎛⎫-++=
⎪⎝⎭___________。

15．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[
)0+∞，上单调递增，若实数a 满足
()()21
2l o g l o g 21f a f a f ⎛⎫
+≤ ⎪⎝⎭,则实数a
的取值范围为
______________[］
16．设函数
()1
f x x x =-
．对任意[)1,x ∈+∞， ()()0f m x m f x +<恒成立,则实数
m 的取值范围是__________．
三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．在A B C ∆中,角,,A BC
所对的边分别为,,a b c ,且满足c o s sin b a C A =.
（1)求角A 的大小；
（2）若边长2a =，求A B C ∆的面积的最大值.
18．随着资本市场的强势进入,互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷。

为了解共享单车在A 市的使用情况,某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析,得到表格:(单位：人）
的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关？
（2)现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.
（i ）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；
(ii ）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率. 参考公式： ()
()()()()2
2
n a d b c K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++。

参考数据：
(
)2
P K k ≥ 0。

15
0.10 0。

05 0。

025 0。

010 0
k
2.072
2.706
3.841
5。

024 6。

635
19．如图,四棱锥P A B C D -中，底面四边形A
B C D 是直角梯形, 0
90A D C ∠=， A D P ∆是边长为2的等边三角形， Q 是AD 的中点, M 是棱
PC 的中点， 1,3,6B C C DP B ===．
（1）求证：平面P A D ⊥平面A B C D ;
（2）求三棱锥B P Q M -的体积．
20．已知抛物线C 的顶点在原点，
焦点在x 轴上，且抛物线上有一点()4,P m 到焦点的
距离为5。

（1)求该抛物线C 的方程;
(2)已知抛物线上一点(),4Mt
，过点M 作抛物线的两条弦M D 和ME ，且M D M E ⊥，判断直线DE 是否过定点?并说明理由。

21．已知函数
()2
l n 23f x xx =-+，
()()'4l n g xfx x a x =++
()
0a ≠。

（1）求函数()f x 的单调区间；
(2)若关于x 的方程()g x a =有实数根，求实数a 的取值范围。

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程］
在平面直角坐标系xO y 中,直线过点()1,0，倾斜角为α,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是
24cos 1cos θρθ
=
-．
(1)写出直线的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； (2）设直线与曲线C 交于,A B 两点,证明： 24
sin A B α=
．
23．[选修4-5：不等式选讲］
设a ， b ， c 均为正数，且1a b c ++=，证明: (1）
a b b ca c ++≤； （2)
222
1a b c b c a ++≥
文数答案
1—5．ABCDC 6-10．CBDBD 11—12．DD
13．2 14．1- 15．
1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 16．(),1-
∞-
17．（1）A=；（23
（1）
3c o s sin 3b a C A =,得3
s i n s i n c o s i n s i n 3B A C C A =+,即
(
)3s i n s i n c o s i ns i n AC A C C A +=+，得3
s i n c o s i n s i n 3C A C A =，
t a n 33A A π
∴==
（2)222
c o s 2b c a A b c +-=，即224b c b c +-=， ()243bc b c +-=，
()(2
2
3424b c b c b c ∴=+-≥-,即
4b c ≤(当b c =时等号成立）,
13
s i n 32S b c c ∆
∴==≤
18．(1）能在犯错误的概率不超过0。

15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关；
（2）(i ）经常使用共享单车的有3人，偶尔或不用共享单车的有2
人.(ii) 9
10
试题解析：
（1）由列联表可知，
()2
2200704060302.198
130********K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为2.1982.072>,
所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车
情况与年龄有关。

（2）（i )依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中,经常使用共享单车的有60
53100
⨯
=（人)，偶尔或不用共享单车的有4052100
⨯
=（人）.
（ii ）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a ， b ， c ；偶
尔或不用共享单车的2人分别为d ， e 。

则从5人中选出2人的所有可能结果为(),a b ， (),a c , (),a d ， (),a e ， (),b c , (),b d ， (),b e ， (),c d ，
(),c e , (),d e 共10种。

［］
其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为(),d e 共1种，
故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率
19
11010P =-
=。

19．（1）∵底面四边形A B C D 是直角梯形， Q
是AD 的中点，
∴1,//B C Q D A D B C ==，∴四边形B C D Q 为平行四边形, ∴//C D B Q ,∵0
90A D C ∠=, ∴Q B A D ⊥， 3P Q =， 又22,P A P D A D Q ===，是AD 的中点，故
又3,6Q B C D P B ===，∴222
P B P Q Q B =+,由勾股定理
可知P Q Q B ⊥,又P Q A D Q ⋂=，∴B Q ⊥平面P A D ，又B Q ⊂平面A B C D ，∴平面
P A D ⊥平面A B C D ；
（2）解：连接C Q , ∵2P A P D ==, Q 是AD 的中点， ∴P Q A D ⊥，
∵平面P A D ⊥平面A B C D ，且平面P A D ⋂平面A B C D A D =，
∴P Q ⊥平面A B C D ,又M 是棱PC 的中点,
故11
22B P Q M P B Q C M B Q C P D Q C P B Q C P B Q C
V V V V V V ------=-=-=， 而
13
3,1322B Q C
P Q S ==⨯⨯=， ∴1131
·33322P B Q C B Q C
V S P Q -∆==⨯⨯=，∴
111224B P Q M V -=⨯=． 1．（1）单调递增区间为
10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，单调递减区间为
1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
;（2）
()[),01,-∞⋃+∞。

（1）依题意，得
()()()2
1212114'4x x x
f x x x x x +--=-==， ()0,x
∈+∞。

令()'0f x >,即120x ->,解得
1
02
x <<
;令()'0f x <,即120x -<，解得
1
2x >
,
故函数
()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调递减区间为
1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭. （2)由题得,
()()'4g xfx x a l n x =++ 1
alnx x =+.
依题意,方程10alnx a x +-=有实数根，即函数()1
h x a ln x a x =+-存在零点, 又()22
11
'a a x h x x x x -=-+=，令()'0h x =，得1x a
=。

当0a <时， ()'0
h x <，即函数()h x 在区间()0
,+∞上单调递减，而()
110h a =->，
1
11
1111a
a h e a a a e --⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111110a e e -=-<-<,所以函数()
h x 存在零
点；
当0a >时， ()'h x ， ()h x 随x 的变化情况如表：
x 10,a ⎛⎫
⎪⎝⎭
1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
()'h x
-
+
()
h x [］
极小值
所以
11h a a l n a a l n a a a ⎛⎫
=+-=- ⎪⎝⎭为函数()
h x 的极小值,也是最小值。

当
10h a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即01a <<时，函数()h x 没有零点；当10h a ⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭，即1a ≥时,注意到
()
110h a =-≤，
()
11
0h e a a e e =+-=>，
所以函数()h x 存在零点。

综上所述,当()[),01,a ∈-∞⋃+∞时，方程()g x a
=有实数根。

20．（1）24y x =。

（2）()8,4-
（1)由题意设抛物线方程为2
2y
p x =，其准线方程为
2
p x =-
,∵()4,P m 到
焦点的距离等于A 到其准线的距离 ∴452
p
+
=，∴2p =.∴抛物线C 的
方程为2
4y x =。

(2）由（1）可得点()4,4M
，可得直线DE 的斜率不为0，设直线DE 的方程为： x
m y t =+， 联立2{
4x m y t y x
=+=，得2440y m y t --=，则216160mt ∆=+>①.
设()()11
22
,,,D x yE x y ，则1
2
12
4,4yy m y y t +==-.
∵
()()1122
4,44,4M D M E x y x y ⋅=--⋅-- EMBED Equation.DSMT4
()()12121212416416x x x xy y y y =-+++-++
()2
2
221
2
1
2
1212
4164164444y y y y y y y y ⎛⎫=⋅-+++-++ ⎪⎝⎭
EMBED
Equation.DSMT4
()()()2
212121212
343216
y y y y y y y y =-++-++ 2
2
161232160t m t m =--+-=
即2
2
12321616t t m m -+=+,得： ()()22
6421t m -=+，
∴()6221t m -=±+，即48t m =+或44t m =-+，
代人①式检验均满足0∆>，∴直线
DE
的方程为：
()4848x m y m m y =++=++或
()
44xm y =-+。

∴直线过定点()8,4-（定点()4,4不
满足题意，故舍去）。

22．(1）直线的参数方程为1{
x tc o s y ts in αα
=+=（为参数），曲线C 的直角坐
标方程为2
4y x =.
（2）设直线与曲线C 交于
,A B
两点所对应的参数为1
2
,t t ，则
()()2
s i n 41c o s t t αα=+，
即22
s i n 4c o s40t t αα
--=，
而
122s i n A B t t α=-==
()2
2
2
24c o s 4s i n 44s i n s i n ααα
α+
⨯⨯= 23．证明:（1)由a 2
＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ,c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .
由题设得(a ＋b ＋c ）2＝1,即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1，所以3(ab ＋bc ＋ca ）≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤。

（2）因为
故＋(a ＋b ＋c ）≥2（a ＋
b＋c)，
即≥a＋b＋c。

所以≥1。