线面平行的判定与性质
平行的判定与性质
EF //平面 BB 1D 1D.第12讲平行的判定与性质1. 线面平行的定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行符号表示为：a 二二:打a 〃b= a 〃 . 3 .性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交a// :- 线平行.即: a 1 1 =a//b .:-n: =b【例1】已知P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点, 求证：AF //平面PEC证明：设PC 的中点为G ,连接EG 、FG.1•/ F 为 PD 中点， ••• GF // CD 且 GF= —CD.2•/ AB // CD , AB=CD , E 为 AB 中点， • GF // AE , GF=AE , 四边形AEGF 为平行四边形• • EG // AF , 又••• AF 二平面 PEC , EG 二平面 PEC , • AF //平面 PEC.【例2】在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱BC 、C 1D 1的中点•求证: 证明：连接AC 交BD 于0,连接0E ,贝U OE // DC , OE = 1 DC.2•/ DC // D 1C 1, DC=D 1C 1 , F 为 D 1C 1 的中点，• OE // D 1F , 0E=D 1F , 四边形D 1FE0为平行四边形•EF // D 1O.又••• EF 二平面 BB 1D 1D , DQ 二平面 BB 1D 1D , •EF //平面 BB 1D 1D.【例3】如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱 AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM //平面EFG .证明：如右图，连结DM ，交GF 于0点，连结0E ,在「BCD 中，G 、F 分别是 BD 、CD 中点， • GF//BC , ••• G 为BD 中点， • 0为MD 中点，在 AMD 中，I E 、0 为 AD 、MD 中点， • EO//AM , 又••• AM 平面EFG , E0 平面EFG , • AM // 平面 EFG .【例4】如图，已知P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、 PC 的中点•( 1)求证：MN//平面FAD ;(2)若MN =BC =4 , PA =4..3，求异面直线PA 与MN 所成的角的大小. 解：(1)取PD 的中点H ,连接AH ，由N 是PC 的中点，1• NH // DC .由 M 是 AB 的中点， • NH//AM ,-2 -即AMNH 为平行四边形.• MN //AH . 由 MN 二平面 PAD,AH 二平面 PAD ,• MN //平面 PAD .1 1(2) 连接 AC 并取其中点为 0,连接 0M 、0N ,「. 0M// - BC , 0N // - PA , -2 - 2 所以Z0NM 就是异面直线PA 与MN 所成的角，且 M0丄N0. 由 MN =BC =4 , PA =4 .3,得 0M=2, 0N=2.3.所以.ONM =30°，即异面直线 PA 与MN 成30°的角■【例5】三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心，且到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍.这一结论叫做三角形的重心定理在四面体 ABCD 中，M 、N 分别是面厶ACD 、△ BCD 的重心，在四面体的四个面中，与MN 平行的是C哪几个面？试证明你的结论.解：连结AM并延长，交CD于E,连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F 重合为一点,CiBD . ^=zV 2 =i7且该点为CD 的中点E ，由EM =_EN =1得MN // AB ,MA NB 2因此，MN //平面 ABC 且 MN //平面 ABD.【例6】经过正方体 ABCD-A^C i D i 的棱BB i 作一平面交平面 AAQ I D 于E i E ，求证：E i E // B I B证明：••• AA i// BB i, AA^平面 BEE iB i,BB i平面 BEE iB i,••• AA 〃 平面 BEE i B i . 又 二平面 ADD iA i，平面 ADD* 门平面 BEE iB^ = EE i,AA, // BB i ] •- AA i //EE i .则 二 BB i //EE i .i AA // EE ii i【例7】如图，AB 〃「，AC//BD , C 。
线面平行的判定及性质
线面平行的判定定理：
文字语言：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行
符号语言：ααα////a b a b a ⇒⎪⎭
⎪⎬⎫⊂⊄
线面平行的性质定理：
文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
符号语言：b a b a a ////⇒⎪⎭
⎪⎬⎫=⊂βαβα
面面平行的判定定理：
文字语言：一个平面内的两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行
符号语言：βαββαα////,//,⇒⎪⎭
⎪⎬⎫=⊂⊂b a A b a b a
面面平行的性质定理：
文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
符号语言：b a b a ////⇒⎪⎭
⎪⎬⎫==γβγαβα
线面垂直的判定定理：
文字语言：一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直
符号语言：ααα⊥⇒⎪⎭
⎪⎬⎫⊥⊥=⊂⊂l n l m l P n m n m ,,
线面垂直的性质定理：
文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言：b a b a //⇒⎭
⎬⎫⊥⊥αα
面面垂直的判定定理：
文字语言：一个平面过另外一个平面的垂线，则这两个平面垂直 符号语言：
βααβ⊥⇒⎭
⎬⎫⊂⊥a a
面面垂直的性质定理：
文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另外一个平面垂直
符号语言：ββααβα⊥⇒⎪⎪
⎭⎪⎪⎬⎫⊥=⊂⊥a b a b a。
高一数学线面平行的判定与性质
a A a a [文件] sxgbk0025.doc [科目] 数学数学[关键词] 线面平行/知识要点/直线和平面的位置关系直线和平面的位置关系 [标题] 线面平行的判定与性质线面平行的判定与性质 [内容] 线面平行的判定与性质【知识要点】【知识要点】一、直线和平面的位置关系一、直线和平面的位置关系1、线面平行定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们说这条直线和这个平面平行。
平面平行。
2、位置关系、位置关系(1)直线在平面内______有无数个公共点；有无数个公共点； (2)直线和平面相交_____有且只有一个公共点；有且只有一个公共点； (3)直线和平面平行_______没有公共点没有公共点3、画法和表示、画法和表示(1)直线在平面内（图1）a Ìa （图1） (2)直线和平面相交(图2) a A Ç=a （图2）(3)直线和平面平行(图3) a ||a(图3) 二、直线和平面平行的判定二、直线和平面平行的判定 1、根据线面平行定义，、根据线面平行定义，注：线面平行是用否定的语句定义的，根据定义证明时常用反证法。
注：线面平行是用否定的语句定义的，根据定义证明时常用反证法。
2、根据判定定理：如果平面外一条直线、根据判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线 和这个平面平行。
和这个平面平行。
a b a b a ËÌÞa a a ,,|||| (图4) (图4) 思路：首先注意a Ëa ，然后在平面a 内找到直线b ，证明a b ||，根据线面平行的判定定理得a ||a 。
三、直线和平面平行的性质定理三、直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过如果一条直线和一个平面平行，经过 这条直线的平面和这个平面相交，那么这这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行条直线就和交线平行a a a b b a a a b a ab a b ||,,||a b a b ÌÇ=Þ(图5) (图5) 注：直线和平面平行的判定定理和性质定理联用，是证题中常用的注：直线和平面平行的判定定理和性质定理联用，是证题中常用的【例题选讲】【例题选讲】例一、V 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为VB 的中点，O 为AC ，BD 的交点，求证：EO ‖平面VCD 证明： V Ï平面AC ， \V O C D ,,,异面，异面， \ÏO 平面VCD ，\ËOE 平面VCD ，\O 为BD 的中点的中点又E 为VB 的中点，的中点，\OE VD ||， 又V D Ì平面VCD ， \OE ||平面VCD 例二、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 为A 1D 1，D 1C 1为中点，为中点，求证：MN||平面AC 证明： M N ,为A 1D 1，D 1C 1的中点的中点连结A 1C 1，AC \\\MN A C AA CC A C ACMN AC ||||||||111111又A C Ì平面AC,MN Ï平面AC ∴MN||平面AC 例三、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面中，截面BB 1E 1E Ç平面DCC 1D 1＝EE 1， 求证：EE 1||平面AA 1B 1B 。
直线、平面平行的判定与性质
直线、平面平行的判定与性质重点难点重点：掌握线线平行、线面平行的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行、面面平行，会用性质定理解决线面平行、面面平行的问题.难点：线面平行与面面平行在判定中的相互转化使用.方法突破线面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找出一条直线与这条直线平行，就可断定这条直线必与这个平面平行. 线面平行的性质定理的实质是：已知线面平行，过已知直线作一平面与已知平面相交，其交线必与已知直线平行. 两个平面平行问题的判定与证明，是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，即“线面平行，则面面平行”，必须注意这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面.1. 判定线线平行的三种方法（1）公理4：证明两直线同时平行于第三条直线.（2）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，且经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行.推理模式：l∥α，l∥β，α∩β=m？圯l∥m.（3）平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.推理模式：α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b？圯a∥b.2. 判定线面平行的三种方法（1）根据线面平行的判定定理：如果不在某个平面内的一条直线与该平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.推理模式：l？埭α，m？奂α，l∥m？圯l∥α.使用定理时，一定要说明“平面外的一条直线与平面内的一条直线平行”，若不注明该条件，则证明过程就不完备.（2）面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.推理模式：α∥β，a？奂α？圯a∥β.3. 判定面面平行的三种方法（1）根据面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行.推理模式：a？奂β，b？奂β，a∩b=P，a∥α，b∥α？圯β∥α.（2）平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行.推理模式：a∩b=P，a？奂α，b？奂α，a′∩b′=P′，a′？奂β，b′？奂β，a∥a′，b∥b′？圯α∥β.（3）向量法：如果两个不同平面的法向量相互平行，那么就可以判定两个平面平行.典例精讲一、线线平行的判定■已知四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.思索若证四边形是平行四边形，只需证一组对边相等且平行或两组对边分别平行，选其一证出即可. 利用平行公理证明两条直线平行的思路就是要找准一条直线与这两条直线都平行的直线来传递.破解如图1，连结BD，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，EH=■BD. 又因为FG是△CBD的中位线，所以FG∥BD，FG=■BD. 根据公理4，FG∥EH且FG=EH，所以四边形EFGH是平行四边形.■图1二、线面平行的判定■如图2，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=■，AF=1，M是线段EF的中点. 求证：AM ∥平面BDE.■图2思索设AC与BD相交于G，连结EG，证明四边形AGEM 是平行四边形，可得EG∥AM，利用线面平行的判定定理可证.破解设AC与BD相交于G，连结EG，则G是AC的中点. 因为M是线段EF的中点，ACEF是矩形，所以EM∥AG，EM=AG，所以四边形AGEM是平行四边形，所以EG∥AM. 因为AM不在平面BDE内，EG在平面BDE内，所以AM∥平面BDE.三、面面平行的判定■如图3，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB. 过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是侧棱SA，SC的中点. 求证：平面EFG∥平面ABC.■图3思索证明平面EFG∥平面ABC，需要在平面EFG内找到两条相交直线与平面ABC平行，而线面平行的判定定理告诉我们，要证明线面平行，需要转化为证明线线平行. 因此，证明该题的关键是在平面内最为恰当的位置找出一条直线与该直线平行.破解（1）因为E，G分别是侧棱SA，SC的中点，所以EG∥AC.因为AC？奂平面ABC，EG？埭平面ABC，所以EG∥平面ABC. ？摇因为AS=AB，AF⊥SB，所以F为SB的中点，所以EF∥AB.因为AB？奂平面ABC，EF？埭平面ABC，所以EF∥平面ABC.因为EF∩EG=E，EF，EG？奂平面EFG，所以平面EFG∥平面ABC.四、线线平行、线面平行、面面平行的转化■如图4，已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为三角形SAB上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.■图4思索一可判断SG∥平面DEF，要证明结论成立，只需证明SG与平面DEF内的一条直线平行，观察图形可以看出，转化成线线平行的证明.破解一连结CG交DE于点H，因为DE是△ABC的中位线，所以DE∥AB. 在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，所以H为CG的中点，所以FH是△SCG的中位线，所以FH ∥SG. 又SG？埭面DEF，FH？奂面DEF，所以SG∥平面DEF. 思索二要证明SG∥平面DEF，只需证明平面SAB∥平面DEF，从而得到线面平行.破解二因为EF是△SBC的中位线，所以EF∥SB，又EF？埭面SAB，SB？奂面SAB，所以EF∥平面SAB. 同理，DF∥平面SAB.因为EF∩DF=F，所以可得面SAB∥面DEF. 又SG？奂面SAB，所以SG∥平面DEF.证法一直接应用线面平行的判定定理来证明；证法二是通过线线平行证面面平行，再由面面平行证线面平行. 在本题的证明过程中实现了线线平行、线面平行、面面平行的转化.变式练习1. 如图5，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点. 求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE.■图52. 如图6，在三棱锥S-ABC中，M，N，P分别为棱SA，SB，SC的中点，求证：平面MNP∥平面ABC.■图63. 如图7，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D为AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1.参考答案1. （1）因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 因为AD？奂平面ABC，所以CC1⊥AD. 因为AD⊥DE，且CC1，DE？奂平面BCC1B1，CC1∩DE=E，所以AD⊥平面BCC1B1. 又因为AD？奂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.（2）因为A1B1=A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1. 因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F？奂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F. 因为CC1，？摇B1C1？奂平面BCC1B1，CC1∩B1C1=C1，所以A1F⊥平面BCC1B1. 由（1）知，AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD. 又因为AD？奂平面ADE，？摇A1F？埭平面ADE，所以直线A1F∥平面ADE2. 因为M，N，P分别为棱SA，SB，SC的中点，所以MN∥AB，PN∥BC. 因为MN？埭平面ABC，AB？奂平面ABC，PN？埭平面ABC，BC？奂平面ABC，所以MN∥平面ABC，PN∥平面ABC. 因为MN∩PN=N，MN，PN？奂平面MPN. 所以平面MNP∥平面ABC.3. 证法一（利用线面平行的判定定理）：设C1B与CB1的交点为E，由已知得E为C1B的中点. 连结AC1，DE，则OE■■AC1. 又DE？奂平面CDB1，AC1？埭平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1.证法二（利用共线向量定理证明线面平行）：因为直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，所以AC，BC，CC1两两垂直，以AC，BC，CC1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由已知可得C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4），D■，2，0. 设CB1与C1B的交点为E，则E（0，2，2），因为■=-■，0，2，■=（-3，0，4），所以■=■■，所以■∥■. 因为DE？奂平面CDB1，AC1？埭平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1.证法三（利用法向量证明线面平行）：因为直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，所以AC，BC，CC1两两垂直，以■，■，■为正交基底，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B■（0，4，4），D■，2，0，故■=（-3，0，4），■=（0，4，4），■=■，2，0. 设平面CDB1的法向量为n=（x，y，z），则4y+4z=0，■x+2y=0，故有n=（4，-3，3），所以■?n=0. 因此■⊥n. 又AC1不在平面CDB1内，从而有AC1∥平面CDB1. ■。
线面平行的性质定理和判定定理
线面平行的性质定理和判定定理
面面平行的性质定理：
一、线线平行
1、同位角成正比两直线平行：在同一平面内，两条直线被第三条直线所封盖，如果
内错角成正比，那么这两条直线平行。
2、内错角相等两直线平行：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同旁
内角互补，那么这两条直线平行。
3、同旁内角优势互补两直线平行。
二、线面平行
1、利用定义：证明直线与平面并无公共点；
2、利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；
3、利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的'直线必平行于另一个平面。
平行平面间的距离处处相等。
已知：α∥β，ab⊥α，dc⊥α，且a、d∈α，b、
c∈β求证：ab=cd证明：连接ad、bc由线面垂直的性质定理可知ab∥cd，那么ab和cd
构成了平面abcd∵平面abcd∩α=ad，平面abcd∩β=bc，且α∥β∴ad∥bc（定理2）
∴四边形abcd是平行四边形∴ab=cd。
直线、平面平行的判定与性质讲义
直线、平面平行的判定与性质讲义一、知识梳理1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)⎭⎪⎬⎪⎫l∥aa⊂αl⊄α⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)⎭⎪⎬⎪⎫l∥αl⊂βα∩β＝b⇒l∥b2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)⎭⎪⎬⎪⎫a∥βb∥βa∩b＝Pa⊂αb⊂α⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．()(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．()(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．()(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.()(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.()题组二：教材改编2．下列命题中正确的是( )A ．若a ，b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与α内的任何直线平行C ．平行于同一条直线的两个平面平行D ．若直线a ，b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b ⊄α，则b ∥α3．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与平面AEC 的位置关系为________．题组三：易错自纠4．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( ) A ．不一定存在与a 平行的直线 B ．只有两条与a 平行的直线 C ．存在无数条与a 平行的直线 D ．存在唯一与a 平行的直线 5．设α，β，γ为三个不同的平面，a ，b 为直线，给出下列条件： ①a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α；②α∥γ，β∥γ； ③α⊥γ，β⊥γ；④a ⊥α，b ⊥β，a ∥b .其中能推出α∥β的条件是______．(填上所有正确的序号)6.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH 为截面，则四边形EFGH 的形状为________．三、典型例题题型一：直线与平面平行的判定与性质 命题点1：直线与平面平行的判定典例 如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：GH∥平面P AD.命题点2：直线与平面平行的性质典例如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．思维升华：判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．跟踪训练如图，四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明：MN∥平面P AB；(2)求四面体N-BCM的体积．题型二：平面与平面平行的判定与性质典例如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.引申探究：本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.思维升华：证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．跟踪训练：如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.题型三：平行关系的综合应用典例如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD 上，且AE∶EB＝CF∶FD.(1)求证：EF∥平面β；(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长．思维升华：利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．跟踪训练如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．四、反馈练习1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α与直线l至少有两个公共点D．α内的直线与l都相交2．已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是()A．存在一条直线b，a∥b且b⊂αB．存在一条直线b，a⊥b且b⊥αC．存在一个平面β，a⊂β且α∥βD．存在一个平面β，a∥β且α∥β3．平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面4．一条直线l上有相异的三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是() A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α5．对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m∥α，n⊥α，则m∥nD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n6．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是()A．垂直B．相交不垂直C．平行D．重合7．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．8．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________．9．如图所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件______时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)10．将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是______．(填序号)11．如图，在四棱锥P—ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝2DC＝23，且△P AD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点，G为△P AD的重心．(1)求证：GF∥平面PDC；(2)求三棱锥G—PCD的体积．12.如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC＝PD＝2，E为PC的中点，CB＝3CG.(1)求证：PC⊥BC；(2)AD边上是否存在一点M，使得P A∥平面MEG？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．13．在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°14．过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．15．如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N 分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是()16．在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH 的面积为________．。
线面平行的判定及其性质
线面平行的判定及其性质1.直线和平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.注:直线与平面相交和直线与平面平行统称为直线在平面外．(1)直线在平面内——有无数个公共点; (2)直线与平面相交——有且只有一个公共点;(3) 直线与平面平行——没有公共点．①直线和平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. 即,////a baa bααα⊄⊂⎫⇒⎬⎭②直线和平面平行的性质定理:如果一条直线与平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行. 即////ll l mmβααβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭2.两个平面的位置关系：平行、相交（垂直是相交的一种特殊情况）(1)两个平面相交———有一条公共直线．(2)两平面平行———没有公共点(Ⅰ)两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.即////a b a b Pa bαββααα⊂,⊂,=⎫⇒//⎬,⎭推论：①如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行. 即,,,,//,//a b a b A m n m n Ba mb nααββαβ⊂,⊂=⊂⊂=⎫⇒//⎬⎭②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.即,l lαβαβ⊥⊥⇒//; //αγβγαβ//,⇒//(Ⅱ)两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行. 即//,a ba bαβαγβγ//⎫⇒⎬==⎭注:平行问题常用平行转化的思想:B CDA 1B 1C 1D 1图２AFE G【例题精讲一】题型一 利用平行四边形证明线面平行例 正方体1AC 中，Ｅ、G 分别为BC 、11C D 的中点，求证：EG ∥平面11BDD B变式训练1、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，=2AB ，=3,=1EB EF ，=13BC ，且M 是BD 的中点.求证：EM//平面ADF ；CA FEBMD2.如图，在多面体ABCD EF -中，四边形ABCD 为正方形，//EF AB ，EF EA ⊥，2AB EF =，090AED ∠=，AE ED =，H 为AD 的中点．求证：//EH 平面FAC ；3.如图，PA⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点， 求证：AF⊥平面PCE.EDABCFH题型二 利用中位线证明线面平行1 如图所示，已知P 、Q 是单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1BA 和面ABCD 的中心.求证：PQ ∥平面BCC 1B 1.变式训练如图，在正方体1111ABCD A BC D 中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//AC 平面BDE 。
高中数学 线面、面面平行的判定与性质(教师版)
线面、面面平行的判定与性质（教师版）知识回顾1．线面平行的判定（1）直线与平面平行的定义：直线与平面无公共点． （2）直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 用符号表示为：a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b ⇒a ∥α． 2．线面平行的性质直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言描述：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂ββ∩α＝b ⇒a ∥b ． 3. 面面平行的判定（1）平面α与平面β平行的定义：两平面无公共点． （2）直线与平面平行的判定定理：下面的命题在“________”处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题(m ，n 为直线，α，β为平面)，则此条件应为m ，n 相交．⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂αm ∥βn ∥β⇒α∥β 4．面面平行的性质平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b ． 题型讲解题型一 利用三角形中位线证明线面平行例1、如图，ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点，M 为SC 的中点.求证：SA∥平面MDB.答案:证明：连结AC交BD于N，因为ABCD是平行四边形，所以N是AC的中点.又因为M是SC的中点，所以MN∥SA.因为MN平面MDB，所以SA∥平面MDB.例2、如图,已知点M、N是正方体ABCD-A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，求证：MN∥平面PB1C.答案证明：如图，连结AC，则P为AC的中点，连结AB1，∵M、N分别是A1A与A1B1的中点，∴MN∥AB1.又∵平面PB1C，平面PB1C，故MN∥面PB1C.例3、如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．求证：EF∥平面PBC．证明连接AF延长交BC于G，连接PG．在▱ABCD中，易证△BFG∽△DFA．∴GFFA＝BFFD＝PEEA，∴EF∥PG．而EF⊄平面PBC，PG⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC．练习在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是______．答案：平行题型二利用平行四边形证明线面平行例1、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1．证明：取D1B1的中点O，连接OF，OB．∵OF 12B1C1，BE12B1C1，∴OF BE．∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO．∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1．例2、如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F．求证：EF∥平面ABCD．证明方法一过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN．∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN，∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，∴AE＝BF，又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，∴Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM＝FN．∴四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN．又MN⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．方法二过E作EG∥AB交BB1于G，连接GF，∴B1EB1A＝B1GB1B，B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴C1FC1B＝B1GB1B，∴FG∥B1C1∥BC．又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD．又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD．题型三利用面面平行证明线面平行例. 如图，在四棱锥中，是平行四边形，，分别是，的中点．求证：平面．答案：证明：如图，取的中点，连接，，分别是，的中点，，，P ABCDABCD M N AB PCMN//PADCD E NE ME∵M N AB PCNE PD∴//ME AD//可证明平面，平面．又，平面平面，又平面，平面．题型四面面平行的证明例1、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA．∵P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO．又PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO．题型五平行性质NE//PAD ME//PADNE ME E=∴MNE//PADMN⊂MNE∴MN//PAD例1、如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．平行和异面答案：A例2、ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH．证明如图所示，连接AC交BD于O，连接MO，∵ABCD是平行四边形，∴O是AC中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM．根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD．∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，∴AP∥GH．练习、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．求证：N为AC的中点．证明 ∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ， 平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ， 平面BC 1N∩平面ACC 1A 1＝C 1N ， ∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1， ∴四边形ANC 1M 为平行四边形， ∴AN 綊C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ，∴N 为AC 的中点．跟踪训练1．如右图所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于直线DE ，则DE 与AB 的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上均有可能 答案：B[解析] ∵A 1B 1∥AB ，AB ⊂平面ABC ，A 1B 1⊄平面ABC ， ∴A 1B 1∥平面ABC.又A 1B 1⊂平面A 1B 1ED ，平面A 1B 1ED∩平面ABC ＝DE ，∴DE ∥A 1B 1. 又AB ∥A 1B 1，∴DE ∥AB.2．已知直线l ，m ，平面α，β，下列命题正确的是( ) A ．l ∥β，l ⊂α⇒α∥βB ．l ∥β，m ∥β，l ⊂α，m ⊂α⇒α∥βC ．l ∥m ，l ⊂α，m ⊂β⇒α∥βD ．l ∥β，m ∥β，l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝M ⇒α∥β 答案：D3、直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( )A．至少有一条 B．至多有一条C．有且只有一条 D．没有答案：B4、给出下列结论，正确的有()①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案：B5．正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G答案：A6．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．答案：平行四边形[解析]∵平面ABFE∥平面CDHG，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH的形状是平行四边形．7. 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点，求证：BC1∥平面CA1D.证明：如图所示，连接AC1交A1C于点O，连接OD，则O是AC1的中点．∵点D是AB的中点，∴OD∥BC1.又∵OD⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，∴BC1∥平面CA1D.8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD 1B1．证明如图所示，连接SB，SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD．又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴直线FG∥平面BDD1B1．同理可证EG∥平面BDD1B1，又∵EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．9．（本小题满分12分）在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形， M、N分别为AB、SC的中点，SA⊥底面ABCD．求证：//MN平面SAD；答案．证明（Ⅰ）： E 为SD 中点，连接AE ，NE ，因为M 、N 分别为AB 、SC 的中点，所以AM//EN ，AM=EN ，即四边形AMNE 是平行四边形，所以MN//AE ，可得//MN 平面SAD ；10. 一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点)．(1)求证：MN ∥平面CDEF ；(2)求多面体A －CDEF 的体积．答案 由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF ，且AB =BC =BF=2，DE =CF=2，∴∠CBF =. (1)证明：取BF 的中点G ，连结MG 、NG ，由M 、N 分别为AF 、BC 的中点可得，NG ∥CF ，MG ∥EF ，∴平面MNG ∥平面CDEF ，又MN ⊂平面MNG ，∴MN ∥平面CDEF .(2)取DE 的中点H .∵AD =AE ，∴AH ⊥DE ， 在直三棱柱ADE-BCF 中，平面ADE ⊥平面CDEF ，平面A DE ∩平面CDEF=DE .∴AH ⊥平面CDEF.∴多面体A-CDEF 是以AH 为高，以矩形CDE F 为底面的棱锥，在△ADE 中，AH =. S 矩形CDEF =DE ·EF =4，∴棱锥A-CDEF 的体积为2222V=·S 矩形CDEF ·AH =×4×= 解法2：13218222323A CDEF AED BFC A BFCAED V V V S AB S AB ---=-=⨯-⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△△BFC 11如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，在棱AB 上是否存在一点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1？若存在，求点F 的位置；若不存在，请说明理由．答案 存在这样的点F ，使平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1，此时点F 为AB的中点，证明如下：∵AB ∥CD ，AB ＝2CD ，∴AF ∥CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形，∴AD ∥CF ，又AD ⊂平面ADD 1A 1，CF ⊄平面ADD 1A 1，∴CF ∥平面ADD 1A 1.又CC 1∥DD 1，CC 1⊄平面ADD 1A 1，DD 1⊂平面ADD 1A 1，∴CC 1∥平面ADD 1A 1，又CC 1、CF ⊂平面C 1CF ，CC 1∩CF ＝C ，∴平面C 1CF ∥平面ADD 1A 1.12. 如图，在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．答案 存在．证明如下：取棱PC 的中点F ，线段PE 的中点M ，连接BD .设BD ∩AC ＝O .连接BF ，MF ，BM ，OE .13132283∵PE ∶ED ＝2∶1，F 为PC 的中点，M 是PE 的中点，E 是MD的中点，∴MF ∥EC ，BM ∥OE .∵MF ⊄平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，BM ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，∴MF ∥平面AEC ，BM ∥平面AEC .∵MF ∩BM ＝M ，∴平面BMF ∥平面AEC .又BF ⊂平面BMF ，∴BF ∥平面AEC .13. (北京)如图，在四面体PABC 中，PC ⊥AB ，PA ⊥BC ，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ，AC ，BC ，PB 的中点．(1)求证：DE ∥平面BCP ；(2)求证：四边形DEFG 为矩形；(3)是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由．答案 (1)证明：因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点，所以DE ∥PC .又因为DE ⊄平面BCP ，PC ⊂平面BCP ，所以DE ∥平面BCP .(2)证明：因为D ，E ，F ，G 分别为AP ，AC ，BC ，PB 的中点所以DE ∥PC ∥FG ，DG ∥AB ∥EF ，所以四边形DEFG 为平行四边形．又因为PC ⊥AB ，所以DE ⊥DG ，所以四边形DEFG 为矩形．(3)存在点Q 满足条件，理由如下：连接DF ，EG ，设Q 为EG 的中点．由(2)知，DF ∩EG ＝Q ，且QD ＝QE ＝QF ＝QG ＝12EG .分别取PC ，AB 的中点M ，N ，连接ME ，EN ，NG ，MG ，MN .与(2)同理可证四边形MENG 为矩形，其对象线交点为EG 的中点Q ，且QM ＝QN ＝12EG ，所以EG 的中点Q 是满足条件的点．。
线线平行与线面平行判定与其性质
2、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为 DD1的中点，证明BD1∥平面AEC．
证明：连结BD交AC于O,连结EO 在∧BDD1中，
∵E,O分别为DD1与BD的中点
∴EO
＝∥
1 2
BD1
D1
A1 E
C1 B1
而EO 平面AEC, BD1 平面AEC D
线线平行与线面平行
学习目标
1.理解线线平行、线面平行的概念，掌握线线平 行、线面平行的判定定理，并用这些定理来证明 它们的平行关系． 2．掌握线线平行、线面平行的性质定理，并能 用它们推证其它的结论． 3．理解并掌握等角定理，并能求一些简单的空 间角度．
一、两直线平行
1、平行直线的定义及平行公理 在平面几何中，我们把在同一平面内不相交的两条直线叫 做平行线． 2、过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．
１．直线a在平面 内还是在平面 外？
直线a在平面外
即直线a与平面可能相交或平行
a
2 ．直线a与直线b共面吗？
a与b共面于 ？(因为a∥b)
3．假如直线a与平面 相交， 交点会在哪？
在直线b上
b a//
即在平面与平面 的交线上
抽象概括
直线与平面平行的判定定理：
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，
思考：已知线面平行能否推出线线平行呢？ 需要哪些条件呢？
4. 直线和平面平行的性质定理 （1）文字语言：如果一条直线和一个平
面平行，经过这条直线的平面和这个平
面相交，那么这条直线就和交线平行.
a
（2）图形语言：
（3） 符号语言：aa//αβ
α∩β=b
b
a//b
已知：l //α，l β，α∩β=m，
线面平行的判定与性质
记为a
记为a∩=A
记为a//
有无数个交点 有且只有一个交点
没有交点
线面平行的判定与性质
直观感知 线面平行的判定与性质
感受现实生活中线面平行的实际例子
水平面
线面平行的判定与性质
直观感知 线面平行的判定与性质
感受现实生活中线面平行的实际例子
天花板平面
线面平行的判定与性质
直观感知 线面平行的判定与性质
感受现实生活中线面平行的实际例子
球场地面
线面平行的判定与性质
线面平行的判定与性质
观察与猜想
实例1：这生两活个中实，例我中们你注意到门扇的两边是
平行的们.当可门以扇得绕出着什一么边
转的动一时边，lBiblioteka 与观门结察框门论所扇？在转平动面的位置关系如何？
l
实在观与猜直条桌桌察例直想线封面面2： 和线：面上所平如这若边，在果 个行将缘翻的一平 平，所动 平本面面那在书面书外内么直的具平一的这线封有放条一条面怎l ，样
①一条直线和一个平面平行，它就和这 个平面内的无数条直线平行； ②一条直线和一个平面平行，它就和这 个平面内的任何条直线无公共点； ③过直线外一点，有且仅有一个平面和 已知直线平行； ④如果直线m和平面α平行，那么过平 面α内一点和直线m平行的直线在α内。
线面平行的判定与性质
线面平行的判定与性质
定义练习
∴NFCM为平行四边形, 故MN∥CF
而 CF⊂ 平面AA1C1C, MN ⊂ 平面AA1C1C, N B1
∴ MN∥平面AA1C1C,
线面平行的判定与性质
C
A1
Ｆ
C1
大图
线面平行的判定与性质
巩固练习2：
在长方体ABCD- A1 B1 C1 D1各面中，
高中数学直线、平面平行的判定与性质
例2 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,A1D1 的中点,E,F分别为B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形; (2)求证:平面AMN∥平面EFDB.
解题导引
1 (1)在△B1D1C1中得EF∥B1D1且EF= 2 B1D1 在正方体中得 1 BD������ B1D1 EF∥BD且EF= BD 四边形BDFE为梯形 2
证明 证法一:如图所示,作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,连接 MN. ∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,∴AE=BD. 又AP=DQ,∴PE=QB, 又PM∥AB∥QN, ∴ = = = ,∴ = , 又AB=DC, ∴PM������ QN,∴四边形PMNQ为平行四边形, ∴PQ∥MN. 又MN⊂平面BCE,PQ⊄平面BCE, ∴PQ∥平面BCE.§8Leabharlann 4直线、平面平行的判定与性质
知识清单
考点 直线、平面平行的判定与性质
1.判定直线与直线平行的方法
(1)平行公理:a∥b,b∥c⇒① a∥c ; (2)线面平行的性质定理:a∥β,a⊂α,α∩β=b⇒② a∥b ;
(3)面面平行的性质定理:α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒③ a∥b ;
(4)垂直于同一个平面的两条直线④ 平行 ; (5)如果一条直线与两个相交平面都平行,那么这条直线必与它们的交 线平行.
∴ = ,
∴MQ∥AD,又AD∥BC, ∴MQ∥BC,∴MQ∥平面BCE,又PM∩MQ=M,
∴平面PMQ∥平面BCE,
又PQ⊂平面PMQ,∴PQ∥平面BCE.
方法 2 判定或证明面面平行的方法
1.利用面面平行的定义(此法一般伴随反证法证明). 2.利用面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于 另一个平面,那么这两个平面平行. 3.证明两个平面都垂直于同一条直线. 4.证明两个平面同时平行于第三个平面.
线面、面面平行的性质定理
• (4)相似三角形的周长比等于相似比. • (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方. 相似 三角形的传递性，即如果： △ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么 △ABC∽A2B2C2
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
3.平行四边形的判定定理
必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
定理的应用
例3、 如图：a∥α，A是α另一侧的点，B、C、D 是a 上的点 ，线段AB、AC、AD交于E、F、G点，若BD=4， CF=4，AF=5，求EG.
∵点A为直线a线外一点 ∴点A与直线a确定一个平面，平 面ABD 又∵a∥α ，α ∩平面ABD=EG ∴BD∥EG ∴<AGE= <ADB 又∵<A=<A ∴△AGE∽△ADB ∴EG/BD=AF/AC即 EG/BD=AF/AF+CF ∴EG/4=5/9 ∴EG=20/9
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
D
3．夹在两个平面间的三条线段，它们平行且 相等，则两平面的位置关系为________． 解析： 平行或相交，如图
答案：
平行或相交
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
必修2
定理的应用
例1、求证：夹在两个平行平面间的两条平行 线段相等
D
α
A
C
β
B
必修2
第二章
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
巩固练习:
3、棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为 棱A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点. (1)求证：E、F、B、D四点共面； (2)求证：面AMN∥面EFBD.
线、面平行的判定与性质知识点及题型归纳
线、面平行的判定与性质知识点及题型归纳一、线平行的判定与性质知识点1. 线平行的定义两条线段（或直线）在平面内没有交点的情况下，我们称它们为平行线。
2. 线平行的判定方法判定两条线段（或直线）是否平行，有以下几种方法：- 角度判定法：两条线段（或直线）的倾斜角度相等时，它们是平行线。
- 距离判定法：两条线段（或直线）上的任意两点的距离相等时，它们是平行线。
- 斜率判定法：两条直线的斜率相等时，它们是平行线。
对于线段而言，需要先把线段延长成直线，再进行斜率的比较。
3. 线平行的性质根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：- 平行线之间的距离是保持不变的。
- 平行线之间的角度是相等的。
- 平行线的斜率是相等的。
二、面平行的判定与性质知识点1. 面平行的定义两个平面没有交线的情况下，我们称它们为平行面。
2. 面平行的判定方法判定两个平面是否平行，有以下几种方法：- 直线判定法：两个平面上直线的倾斜角度相等时，它们是平行面。
- 距离判定法：两个平面上直线上的任意两点的距离相等时，它们是平行面。
3. 面平行的性质根据平行面的定义，我们可以得出以下性质：- 平行面之间的距离是保持不变的。
- 平行面之间的角度是相等的。
三、题型归纳在考试中，关于线、面平行的题型常见的有：- 判断两条线段或直线是否平行的题目。
- 判断两个平面是否平行的题目。
- 根据给定条件判定线段（直线）是否与给定平面平行的题目。
- 根据给定条件判定点是否在给定的线段（直线）上的题目。
- 根据给定条件判定点是否在给定平面上的题目。
以上是关于线、面平行的判定与性质的知识点归纳以及常见的题型。
希望对你有所帮助！。
线面平行的判定与性质
反思2：能够运用定理的条件是要满足六个字：
反思3：运用定理的关键是找平行线；找平行线又经常 会用到三角形中位线定理.
“面外、面内、平行”
思考
A
B
C
D
E
F
如图，已知
平面
平面
△
为等边三角形，
为
的中点.求证：
平面
A
B
C
D
O
E
S
如图四棱锥S－ABCD中，SD⊥AD，SD⊥CD， E是SC的中点，O是底面正方形ABCD的中心，AB＝SD＝6. （1）求证：EO∥平面SAD；（2）求异面直线EO与BC所成的角.
（3）与AD平行的平面是 ；
平面
平面
平面
平面
平面
平面
如图,四棱锥A—DBCE中,O为底面正方形DBCE对角线的交点,F为AE的中点. 求证:AB//平面DCF。(04年天津高考)
D
A
B
C
F
O
E
真题演练1
S
M
C
巩固练习2：
∵AB
面A1C1,
平面CD1
平面BC1
定义练习
定义练习
Ａ Ｃ 课本５６页第二题 平行
定义练习
Ａ
以下命题（其中a，b表示直线，表示平面） 若a∥b，b，则a∥ 若a∥，b∥，则a∥b 若a∥b，b∥，则a∥ 若a∥，b，则a∥b 其中正确命题的个数是 （ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
α
（2）设a、b为直线，α为平面，若a∥b，且b在α 内，则a∥α .
a
α
b
（×）
(3)若直线 ∥平面α ，则 与平面α内的任意直线都不相交.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
研探新知: 提出问题:空间中平面与平面的位置关系又是怎 样的呢? 观察思考: （1）拿出两本书，看作两个平面，上下、左 右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？ （2）如图，围成长方体AC’的六个面， 两两之间的位置关系有几种？ D'
A' B' C'
D
C
A
B
在问题（1）中，通过观察可以发现，两本书可 以平行，也可以是相交，注意平面是无限延展的。 在问题（2）中上下面，左右面，前后面是平行 的，相邻的两个面是相交的，所以位置关系有平 行与相交两种。
有一条公共直线
α∩β=a
思考：
已知平面, ，直线a, b，且∥， a， b，则直线a与直线b具有怎样 的位置关系？
a α
β
b
归纳总结
（1）空间中点与线、点与面的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言
A
A
a a
点在直线上
A a A a A
点在直线外
点在平面内 点在平面外
A A
A
（2）空间中线与线的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言
b
a
两直线共面且无公 共点两直线平行 两直线共面且有一个 公共点两直线相交
两直线不共面且无 公共点两直线异面
a∥ b
aIb=A
a、b异面
b A
a
b
a
（3）空间中线与面的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言两相交，那么它 们的交线有多少条？画出图形表示 你的结论。 答:有可能1条，也有可能3条交线。
（1）
（2）
练习巩固：
2. 3个平面把空间分成几部分？
（1）
4
（2）
6
（3）
6
（4）
7
（5）
8
课堂讨论
巩固练习: 1、 已知直线a在平面α外，则 （ D） （A）a∥α （B）直线a与平面α至少有一 个公共点 （C）aα=A （D）直线a与平面α至多有一个公共点。
王新敞
奎屯 新疆
巩固练习: 2.如果平面外有两点A、B，它们到平面的距 离都是a，则直线AB和平面的位置关系一定 是（ C） （A）平行 （B）相交 （C）平行或相交 （D）AB
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平 面外.
a
例题示范: 例1、下列命题中正确的个数是（ ） ①若直线 l 上有无数个点不在平面α内，则 l // α ②若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α内 的任意一条直线平行 ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平 行，那么另一条也与这个平面平行 ④若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α内 的任意一条直线都没有公共点.
C
直线与平面的位置关系有且只有三种：
a a a
α
α
A
α
直线与平面α平行
直线在平面α内 直线与平面α相交 有无数个交点 a⊂α 有且只有一个交点 a ∩ α= A
无交点
a∥α
直线与平面之间的位置关系：
(1)直线在平面内——有无数个公共点； (2)直线与平面相交——有且只有一个 公共点； (3)直线与平面平行——没有公共点.
D' A' B' C'
D
C
A
B
两个平面之间的关系有且只有两种： （1）两个平面平行――没有公共点； （2）两个平面相交――有一条公共直线。 想一想:两个平面平行应怎样画?相交又怎样画? 画两个互相平行的平面时，要注意使表示 平面的两个平行四边形的对应边平行
图1
图2
√
×
两个平面的位置关系
位置关系
公共点 符号表示 图形表示 两平面平行 没有公共点 α∥β 两平面相交
复习引入： 1、空间两直线的位置关系 （1）相交；（2）平行；（3）异面 2.公理4的内容是什么? 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 3.等角定理的内容是什么? 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补。（同向相等）
王新敞
奎屯 新疆
定义 经过空间任一点分别作两条直线的平行
线，这两条平行线所成的锐角(或直角) 叫做两条异面直线所成的角或夹角。
D1
C1
A1
B1
D
A
C
B
练习5： 在如图所示的长方体中，AB= 3 ， AA1=1，求直线BA1和CD所成角的度数。
D1
C1
A1
B1
30
C
O
D
A
B
2. 已知空间四边形ABCD中，AB＝CD＝ ， 3 E、F分别是BC、AD上的点，并且 BE : EC＝AF : FD＝ : 2，EF＝ 5， 1 求AB和CD所成的角的大小 .
2.1.3《空间中直线与平面之间的位置关系》
2.1.4《空间中平面与平面之间的位置关系》
研探新知 （1）一支笔所在直线与一个作业本所在 的平面，可能有几种位置关系？ （2）如图，线段A1B所在直线与长方体 ABCD-A1B1C1D1的六个面所在平面有几 种位置关系？
D1 A1 D A B B1 C1
b
b'
O
a'
O＇
a
两条异面直线a和b所成的角的大小，只与 它们的位置有关，而与点 o位置无关。
ab
a
b a'
O
如果两条异面直线所成的角为直角， 那么就称这两条异面直线垂直。
例1： （2）求直线BA1和CC1所成角的度数。
D1
C1
A1
B1
45
D
C
o
A
B
例1： （3）哪些棱所在直线与直线AA1垂直？
（A）0 （C）2
（B） （D）
1 3
例题示范: 分析：可以借助长方体模型来看上述问题是否正 确。 问题（1）不正确，相交时也符合。 问题（2）不正确， 如右图中，A'B与 平面DCC'D’平行， 但它与CD不平行。 问题（3）不正确。 另一条直线有可能在平面内，如AB∥CD，AB与平 面DCC'D’平行，但直线CD平面DCC'D’ 问题（4）正确，所以选（B）。
直线与平面平行 直线与平面有一个公 共点直线与平面相交 直线上所有的点都在 平面内直线在平面内
a∥
A
a = A
a
a
（4）空间中面与面的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言
β α
两个平面无公共点 两个平面平行 两个平面有一公共直线 两个平面相交
α∥β
=l
练习巩固：