河北省衡水金卷2018年高三调研卷 全国卷 I A 理科数学试题
精品解析：【全国百强校】衡水金卷2018届全国高三大联考理科数学试题(原卷版)
衡水金卷2018届全国高三大联考理科第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则 ( )A. B.C. D.2. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则为( )A. 2B. -3C.D. 33. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则( )A. B. 2 C. D.4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )A. B. C. D.5. 已知双曲线：的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D.6. 已知数列为等比数列，且，则( )A. B. C. D.7. 执行如图的程序框图，若输出的的值为-10，则①中应填( )A. B. C. D.8. 已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则，，间的大小关系是( )A. B. C. D.9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )学￥科￥网...A. B. C. D.10. 已知函数的部分图象如图所示，其中.记命题：，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象.则以下判断正确的是( )A. 为真B. 为假C. 为真D. 为真11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为 ( )A. B. C. D.12. 已知数列与的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值是( )A. B. C. 49 D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13. 已知在中，，，若边的中点的坐标为，点的坐标为，则__________．14. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为，，则的最小值为__________．15. 已知，满足其中，若的最大值与最小值分别为，，则实数的取值范围为__________．16. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数，.（Ⅰ）求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，求的面积.18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，侧面平面，且，动点在棱上，且.（1）试探究的值，使平面，并给予证明；（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？（Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为点，，其离心率为，短轴长为. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，过点的直线与椭圆交于，两点，且，证明：四边形不可能是菱形.21. 已知函数，其中为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论函数的单调性及极值；（Ⅱ）若不等式在内恒成立，求证：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（，为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；（Ⅱ）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）记函数的值域为，若，证明：.。
【衡水金卷】2018年衡水金卷调研卷 全国卷 I A 理科数学模拟试题(三)
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理数（三）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}22log 2A x y x x==--，B =N ，则AB =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0- 2．复数()2i z x x =++（其中i 为虚数单位，x ∈R ）满足2iz+是纯虚数，则z =（ ）A ．．3 D ．33．已知2:,20p x x x a ∀∈++>R ；:28aq <.若“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．(),3-∞C ．()1,3D ．()(),13,-∞+∞4．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为e ，其中一条渐近线的倾斜角θ的取值范围是,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其斜率为k ，则2e k 的取值范围是（ ）A ．(B ．⎛ ⎝⎦C ．2,⎡⎣D ．⎡⎢⎣⎦ 5．电路从A 到B 上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率是13，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A 到B 连通的概率是（ ）A ．1027 B ．448729 C ．100243 D ．40816．已知点(),P x y ，若实数,x y 满足330,10,3,x y x y x ++≤⎧⎪--≤⎨⎪≥-⎩则目标函数21x y z x +-=-的取值范围是（ ）A ．1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．5,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．已知0.32a =，435522b --=+，lg9lg11c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a << 8．某锥体的三视图如图所示，用平行于锥体底面的平面把锥体截成体积相等的两部分，则截面面积为（ ）A ．2 B． C． D．9．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，数列的通项以及求和由如图所示的框图给出.则最后输出的结果等于（ ）A ．1N a +B ．2N a +C ．11N a +-D ．21N a +-10．将函数()y f x =的图象按以下次序变换：①纵坐标不变，横坐标变为原来的12，②向左平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象（如图所示），其中点2,03D π⎛⎫-⎪⎝⎭，点,03E π⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()()f x y f x ='在区间[]0,2π上的对称中心为（ ）A ．(),0π，()2,0πB ．(),0πC ．()0,0，(),0πD ．()0,0，(),0π，()2,0π 11．已知0a c >>，12,r r -∈R ，()()222111:C x a y r r ++-=，()()222222:C x a y r r -+-=.给出以下三个命题：①分别过点(),0E c -，(),0F c ，作1C 的不同于x 轴的切线，两切线相交于点M ，则点M 的轨迹为椭圆的一部分；②若1C ，2C 相切于点H ，则点H 的轨迹恒在定圆上；③若1C ，2C 相离，且122r r a ==，则与1C ，2C 都外切的圆的圆心在定椭圆上. 则以上命题正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③12．已知函数()22e e ln ln ln 323xf x c c x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭（其中e 为自然对数的底数）有两个极值点，则函数()()22e 211xg x x c x c c =--+---的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某学校男女比例为2:3，从全体学生中按分层抽样的方法抽取一个样本容量为m 的样本，若女生比男生多10人，则m = ．14．如图所示，已知在ABC ∆中，23AE AC =，13BD BC =，BE 交AD 于点F ，AF AB AC λμ=+，则λμ+= ．15．某港口停泊两艘船，大船从港口出发，沿东偏北60°方向行驶2.5小时后，小船开始向正东方向行驶，小船出发1.5小时后，大船接到命令，需要把一箱货物转到小船上，便折向驶向小船，期间，小船行进方向不变，从大船折向开始，到与小船相遇，最少需要的时间是 小时．16．母线长为的圆锥内有一球O ，与圆锥的侧面、底面都相切，现放入一些小球，小球与圆锥底面、侧面、球O 都相切，这样的小球最多可放入 个．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 已知数列{}n a 满足12a =，且1122n n n a a ++=+，n ∈*N .（1）设2nn na b =，证明：数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18． 如图，在ABCD 中，30A ∠=︒，AD =2AB =，沿BD 将ABD ∆翻折到A BD '∆的位置，使平面A BC '⊥平面A BD '. （1）求证：A D '⊥平面BCD ；（2）若在线段A C '上有一点M 满足A M A C λ''=，且二面角M BD C --的大小为60°，求λ的值.19． 我国华南沿海地区是台风登陆频繁的地区，为统计地形地貌对台风的不同影响，把华南沿海分成东西两区，对台风的强度按风速划分为：风速不小于30米/秒的称为强台风，风速小于30米/秒的称为风暴，下表是2014年对登陆华南地区的15次台风在东西两部的强度统计：（1）根据上表，计算有没有99%以上的把握认为台风强度与东西地域有关；（2）2017年8月23日，“天鸽”在深圳登陆，造成深圳特大风暴，如图所示的茎叶图统计了深圳15块区域的风速.（十位数为茎，个位数为叶）①任取2个区域进行统计，求取到2个区域风速不都小于25的概率；②任取3个区域进行统计，X 表示“风速达到强台风级别的区域个数”，求X 的分布列及数学期望()E X .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20． 已知双曲线2212x y -=的左、右顶点分别为12,A A ，直线:l x p =与双曲线交于,M N ，直线2A M 交直线1A N 于点Q . （1）求点Q 的轨迹方程；（2）若点Q 的轨迹与矩形ABCD 的四条边都相切，探究矩形ABCD 对角线长是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.21． 已知函数()e xx af x +=，其中e 为自然对数的底数，若当[]1,1x ∈-时，()f x 的最大值为()g a .（1）求函数()g a 的解析式； （2）若对任意的a ∈R ，1e ek <<，不等式()g a ka t ≥+恒成立，求kt 的最大值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos ,2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆M 的极坐标方程为4cos 6sin ρθθ=+.（1）求圆M 的直角坐标方程，并写出圆心和半径；（2）若直线l 与圆M 交于,A B 两点，求AB 的最大值和最小值. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()f x x x a =++.（1）若不等式()21f x a ≥-对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若不等式()21f x a ≤-的解集为[],3b b +，求实数,a b 的值.理数（三）答案一、选择题1-5:ADCDB 6-10:DCCDD 11、12：AD二、填空题13．50 14．6715．3.5 16．10 三、解答题17．解：（1）把2n n n a b =代入到1122n n n a a ++=+，得1111222n n n n n b b ++++=+，两边同除以12n +，得11n n b b +=+，∴{}n b 为等差数列，首项1112a b ==，公差为1， ∴()n b n n =∈*N . （2）由22nn n n na b n a n ==⇒=⨯， ∴1331222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯2342122232n S ⇒=⨯+⨯+⨯()1122n n n n +++-⨯+⨯，两式相减，得1232222n n S -=++++-()112122n n n n ++⨯=-⨯-()()1122n n S n n +⇒=-⨯+∈*N .18．解：（1）ABD ∆中，由余弦定理，可得1BD =. ∴222BD AD AB +=，∴90ADB ∠=︒，∴90DBC ∠=︒. 作DF A B '⊥于点F ， ∵平面A BC '⊥平面A BD '， 平面A BC'平面A BD A B ''=，∴DF ⊥平面A BC '. ∵CB ⊂平面A BC '， ∴DF BC ⊥. 又∵CB BD ⊥，BD DF D =，∴CB ⊥平面A DB '. 又∵A D '⊂平面A DB '， ∴CB A D '⊥. 又A D BD '⊥，BD CB B =，∴A D '⊥平面CBD .（2）由（1）知,,DA DB DA '两两垂直，以D 为原点，以DA 方向为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系Dxyz ，则()0,1,0B，()C，(A '. 设(),,M x y z ，则由,,x A M A C y z λλ⎧=⎪''=⇒=⎨⎪=⎩(),M λ⇒.设平面MDB 的一个法向量为(),,m a b c =，则由0,0,m DB m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩)0,0,b a bc λ=⎧⎪⇒⎨++=⎪⎩取()11,0,a c m λλλλ=-⇒=⇒=-. 平面CBD的一个法向量可取(DA '=，∴1cos ,2DA m '=⇒1122λ-=⇒=. ∵[]0,1λ∈， ∴12λ=. 19．解：（1）22⨯列联表如下：由22⨯列联表中数据，可得2K 的观测值()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -==++++()230108185 6.63512181515⨯-=<⨯⨯⨯，所以没有99%以上的把握认为台风强度与东西地域有关. （2）①风速小于25的区域有7块，2块区域风速都小于25的概率为2721515C C =，故取到2个区域风速都不小于25的概率为14155-=. ②达到强台风级别的区域有5块， 故0,1,2,3X =.()31031524091C P X C ===, ()2110531545191C C P X C ===, ()1210531520291C C P X C ===, ()353152391C P X C ===,故随机变量X 的分布列为()24452020123191919191E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 20．解：（1）设点(),Q x y ，()0,M p y ，()0,N p y -，其中00y ≠.由题意，得()1A，)2A .由11QA NA k k =⇒=，①22QA MA k k =⇒=两式相乘得2202222y y x p =---. ∵22012p y -=，∴2212p y =-， 代入上式得2222112222p y x p -==---2212x y ⇒+=， 由①与00y ≠，得0y ≠，10x =≠-⇒≠. 故点Q 的轨迹方程为()2210,02x y x y +=≠≠. （2）设点()(),0,0A m n m n ≠≠，过点A 作椭圆的切线，则切线的斜率存在且不为0，设斜率为k ，则切线方程为()y n k x m y kx n km -=-⇒=+-，代入到椭圆方程整理，得()()()222124220k x k n km x n km ++-+--=. ()2216k n km ∆=--()()22412220k n km ⎡⎤+--=⎣⎦， 即()2222210m k mnk n --+-=.这个关于k 的一元二次方程的两根即为AB k 与AD k ，由1AB AD k k ⋅=-， 得22221132n m n m -=-⇒+=-. 设O为坐标原点，故可知OA =同理，得OA OB OC OD ====即点O 为矩形ABCD 外接圆的圆心，其中AC为直径，大小为故矩形ABCD对角线长为定值21．解：（1）由题意，得()1e xa x f x --'=. 当11a -≤-，即2a ≥时，()()0f x f x '≤⇒在[]1,1x ∈-时为单调递减函数， 所以()f x 最大值为()()()1e 1g a f a =-=-.当111a -<-<，即02a <<时，当()1,1x a ∈--时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当()1,1x a ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 的最大值为()()11e a g a f a -=-=.当11a -≥时，即0a ≤时，()0f x '≥，()f x 在[]1,1x ∈-时为单调递增函数， 所以()f x 的最大值为()()11ea g a f +==. 综上得()()1e 1,2,e ,02,1,0.ea a a g a a a a -⎧-≥⎪⎪=<<⎨⎪+⎪≤⎩（2）令()()h a g a ka t =--.①当02a <<时，()()1ea h a g a ka t ka t -=--=--()1e a h a k -'⇒=-， 由()0h a '=，得1ln a k =+，所以当()0,1ln a k ∈+时，()0h a '<；当()1ln ,2a k ∈+时，()0h a '>，故()h a 最小值为()()1ln 1ln h k k k k t +=-+-0ln t k k ≥⇒≤-. 故当1e ek <<且ln t k k ≤-时，()g a ka t ≥+恒成立. ②当2a ≥，且ln t k k ≤-时，()()()h a g a ka t =-+()e e a k t =---.因为e 0k ->，所以()h a 单调递增，故()()()()min 22e 2ln h a h k e t e k e k k ==---≥--+e 2ln k k k =-+.令()e 2ln p k k k k =-+，则()ln 10p k k '=-≤， 故当1,e e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()p k 为减函数，所以()()e p k p >，又()e 0p =， 所以当1e ek <<时，()0h a >， 即()0h a ≥恒成立.③当0a ≤，且ln t k k ≤-时，()()()11e eh a g a ka t a k t ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭， 因为10ek -<， 所以()h a 单调递减，故()()min 110ln e e h a h t k k ==-≥+. 令()1ln em k k k =+， 则()1ln 0m k k '=+≥， 所以当1,e e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()p k 为增函数， 所以()10e m k m ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以()0h a >，即()0h a ≥. 综上可得当1e ek <<时，“ln t k k ≤-”是“()g a ka t ≥+成立”的充要条件. 此时2ln tk k k ≤-.令()2ln q k k k =-，则()()2ln 2ln 1q k k k k k k '=--=-+，令()0q k '=，得12e k -=. 故当112e ,e k --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0q k '>； 当12e ,e k -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0q k '<，所以()q k 的最大值为121e 2eq -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当且仅当12e k -=，121ln e 2t k k -=-=时，取等号， 故tk 的最大值为12e. 22．解：（1）4cos 6sin ρθθ=+⇒24cos 6sin ρρθρθ=+2246x y x y ⇒+=+()()222313x y ⇒-+-=.圆心为()2,3（2）把直线l 的参数方程代入圆M 的标准方程，得()()221cos 22sin 313t t αα+-++-=，整理得()22cos 2sin 110t t αα-+-=， ()22cos 2sin 440αα∆=++>，设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则122sin 2cos t t αα+=+，1211t t =-.所以12AB t t =-===因为[]sin 21,1α∈-，所以AB ⎡∈⎣， 即AB的最大值为23．解：（1）对x ∀∈R ，()()f x x x a x x a a =++≥-+=， 当且仅当()0x x a +≤时取等号， 故原条件等价于21a a ≥-，即21a a ≥-或()211a a a ≤--⇒≤，故实数a 的取值范围是(],1-∞.（2）由210a x x a -≥++≥，可知210a -≥， 所以12a ≥， 故0a -<.故()2,,,0,2,0x a x a f x a a x x a x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩的图象如图所示，()2,221,52321.2a b a a b a a b =⎧--=-⎧⎪⎪⇒⎨⎨++=-=-⎪⎩⎪⎩.。
2018届河北省【衡水金卷】2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷 高三理科数学(五)试题(解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（五）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，则（）A. B. C. D. ∅【答案】B【解析】故选2. 已知为虚数单位，复数的虚部为，则实数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】则故选3. 函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，取得最大值为故选4. 如图，分别以为圆心，正方形的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入个质点，则该点落在阴影部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设正方形的面积为，阴影部分由两个弓形构成，每个弓形的面积为故所求的概率为故选5. 已知为坐标原点，分别在双曲线第一象限和第二象限的渐近线上取点，若的正切值为，则双曲线离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程为设一条渐近线的倾斜角为，斜率为则，或（舍去），故选6. 若点满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图：目标函数的几何意义是可行域内的点与连线长度的平方由图可知长度最小值为到的距离故选7. 按下面的程序框图，如果输入的，则输出的的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由程序框图可得：，时，时，时，故选8. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则图象的一个对称中心是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，当时，得对称中心为故选9. 展开式中，项的系数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】两边求导得：两边同乘以得到：则原式故项的系数为故选10. 如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】把此三棱锥嵌入长宽高分别为：的长方体三棱锥即为所求的三棱锥其中，，，则，故可求得三棱锥各面面积分别为：，，，故表面积为三棱锥体积设内切球半径为，则故三棱锥内切球体积故选11. 已知函数是定义在内的奇函数，且满足，若在区间上，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，则故函数的周期为，函数是定义在内的奇函数，，故对，对，当时，所求原式故选点睛：本题考查了运用函数的奇偶性和周期性求值，利用已知条件先求出函数周期性，在求函数值时利用递推关系分别求出、、、的表达式，从而能够计算出最后结果，本题的关键是求出在周期性下的值。
2018年河北省衡水金卷普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷 分科综合卷 理科数学(一)(解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（一）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意得集合，，则，，故选D.2. 已知为虚数单位，为实数，复数满足，若复数是纯虚数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，又∵复数是纯虚数，∴，解得，故选B.3. 我国数学家邹元治利用下图证明了购股定理，该图中用勾和股分别表示直角三角形的两条直角边，用弦来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设直角三角形的长直角边为，短直角边为，由题意，∵大方形的边长为，小方形的边长为，则大正方形的面积为49，小正方形的面积为25，∴满足题意的概率值为：，故选B.4. 已知等差数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由等差数列的性质可得：，∴，则，故选C.5. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A. 在区间内单调递增B. 在区间内单调递减C. 是偶函数D. 是奇函数，且在区间内单调递增【答案】D 【解析】当时，函数在区间内单调递增，当时，函数在区间上单调递减，在内单调递增，故，均错误，，均成立，故是奇函数，故错误，故选.6.的展开式中项的系数为（ ）A. -16B. 16C. 48D. -48 【答案】A 【解析】∵展开式的通项公式为，∴的展开式中项的系数为，故选A.7. 如图是某个集合体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体，其直观图如下所示：其表面积，故选B.8. 若，则下列不等式不正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据对数函数的单调性可得正确，正确，∵，，∴，，∴，故C不正确，∵，∴正确，故选C.9. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为11，则判断框中的条件可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】第1次执行循环体，，应不满足输出的条件，n=2，第2次执行循环体，S=7，应不满足输出的条件，n=3，第3次执行循环体，S=15，应不满足输出的条件，n=4，第4次执行循环体，S=31，应不满足输出的条件，n=5，第5次执行循环体，S=63，应不满足输出的条件，n=6，第6次执行循环体，S=127，应不满足输出的条件，n=7，第7次执行循环体，S=255，应不满足输出的条件，n=8，第8次执行循环体，S=511，应不满足输出的条件，n=9，第9次执行循环体，S=1023，应不满足输出的条件，n=10，第10次执行循环体，S=2047，应不满足输出的条件，n=11第11次执行循环体，S=4095，应满足输出的条件，故判断框中的条件可以是S＜4095？，故选：C点睛：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题；由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.10. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数的图象重合，则（）B．C. D．【答案】A【解析】根据函数（，）的部分图象，可得，∴，根据，∴，故，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数的图象重合，故，故选A.点睛：题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析式，理解解析式中的意义是正确解题的关键，属于中档题．为振幅，有其控制最大、最小值，控制周期，即，通常通过图象我们可得和,称为初象，通常解出，之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.11. 已知抛物线的焦点为，过点作斜率为1的直线交抛物线于两点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】抛物线：的焦点为，过点作斜率为的直线：，可得，消去可得：，可得，，，，，则，故选C.12. 已知数列中，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，数列中，，即，则有，则有，，即，∵对于任意的，，不等式恒成立，∴，化为：，设，，可得且，即有，即，可得或，则实数的取值范围是，故选A.点睛：本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是对的变形，即运用裂项相消求和可得，再由不等式恒成立问题可得，设，，运用一次函函数的性质，可得的不等式，解不等式即可得到所求的范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，若向量与共线，则向量在向量放心上的投影为__________．【答案】0【解析】向量，，向量，∵向量与共线，∴，即，∴向量，∴向量在向量方向上的投影为，故答案为0. 14. 若实数满足则的最大值是__________．【答案】【解析】实数，满足，对应的可行域如图：线段，化为：，如果最大，则直线在轴上的截距最小，作直线：，平移直线至点时，取得最大值，联立，解得，所以的最大值是：，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若以为直径的圆恰好过其上焦点,则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于，两点，则，以为直径的圆恰好过其上焦点，可得：，∴，可得，解得，舍去，故答案为.16. 一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为__________．【答案】【解析】设该项长方体底面边长为米，由题意知其高是：，（），则长方体的体积，（），，由，得，且当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴体积函数在处取得唯一的极大值，即为最大值，此时长方体的高为，∴其外接球的直径，∴，∴其外接球的体积，故答案为.点睛：本题主要考查了正方体和球的组合体问题，解决该题的关键是准确寻找直径与正方体的关系是解题的关键，常见的形式有：1、当正方体的各个顶点均在球面上时，正方体的体对角线为球的直径；2、当球与正方体的各条棱相切时，球的直径即为面的对角线；3、当球与正方体的的各面相切时，正方体的棱长即为球的直径.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，在中，角所对的边分别为，若.(1)求角的大小；(2)若点在边上，且是的平分线，，求的长.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）利用正弦定理将边化角，根据三角恒等变换即可得出，从而得出的大小；（2）利用余弦定理求出，根据是的平分线，可得，故而可求得结果.试题解析：(1)在中，∵,∴由正弦定理得，∵，∴，∵，∴.(2)在中，由余弦定理得，即,解得,或（负值，舍去）∵是的平分线，，∴,∴.18. 如图，在三棱柱中，侧棱底面,且,是棱的中点，点在侧棱上运动.(1)当是棱的中点时，求证：平面；(2)当直线与平面所成的角的正切值为时，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）取线段的中点，连结．可得四边形是平行四边形，，即可证明平面；（2）以为原点，，，所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用向量法二面角的余弦值.试题解析：(1)取线段的中点，连结.∵,∴，且.又为的中点，∴,且.∴,且.∴四边形是平行四边形.∴.又平面平面,∴平面.(2)∵两两垂直，∴以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图,∵三棱柱中，平面，∴即为直线与平面所成的角.设，则由，得.∴.∴,设平面的一个法向量为，则令，得，即.又平面的一个法向量为,∴,又二面角的平面角为钝角，∴二面角的余弦值为.19. 第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络"的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.(1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数；(2)从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人.①记表示选取4人的成绩的平均数,求；②记表示测试成绩在80分以上的人数,求的分布列和数学期望.【答案】(1)答案见解析；(2)①.；②.答案见解析.【解析】试题分析：（1）众数为，中位数为，抽取的人中，分以下的有人，不低于分的有人，从而求出从该校学生中任选人，这个人测试成绩在分以上的概率，由此能求出该校这次测试成绩在分以上的人数；（2）①由题意知分以上的有，，，，，，，，当所选取的四个人的成绩的平均分大于分时，有两类：一类是：，，，，共1种；另一类是：，，，，共3种．由此能求出；②由题意得的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．... ... ... ... ...试题解析：(1)众数为76，中位数为76.抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故从该校学生中人选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为，故该校这次测试成绩在70分以上的约有（人）(2)①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94.当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类.一类是82，88，93，94，共1种；另一类是76，88，93，94，共3种.所以.②由题意可得，的可能取值为0，1，2，3，4,,,,.的分别列为.20. 已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求出椭圆方程；（2）联立方程组，利用根与系数的关系求出的中点的坐标，根据得出点横坐标的表达式，利用基本不等式得出的取值范围.试题解析：(1)由已知得，解得，∴椭圆的方程为.(2)设，的中点为，点，使得,则.由得，由，得.∴，∴.∵∴，即，∴.当时，（当且仅当，即时，取等号），∴；当时，（当且仅当，即时，取等号），∴，∴点的横坐标的取值范围为.21. 设函数为自然对数的底数.(1)若,且函数在区间内单调递增，求实数的取值范围；(2)若，试判断函数的零点个数.【答案】(1)；(2)函数没有零点.【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，问题转化为在恒成立，记，根据函数的单调性求出的范围即可；（2）求出，记，根据函数的单调性得到在区间递增，从而求出的最小值大于0，判断出函数无零点即可. 试题解析：(1)∵函数在区间内单调递增，页11第∴在区间内恒成立.即在区间内恒成立.记，则恒成立，∴在区间内单调递减,∴，∴，即实数的取值范围为.(2)∵，，记，则，知在区间内单调递增.又∵，，∴在区间内存在唯一的零点，即，于是，.当时，单调递减；当时，单调递增.∴，当且仅当时，取等号.由，得，∴，即函数没有零点.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 已知在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，以为极点，轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)求直线的直角坐标方程和椭圆的参数方程；(2)设为椭圆上任意一点，求的最大值.【答案】(1)直线的直角坐标方程为，椭圆的参数方程为为参数）；(2)9. 【解析】试题分析：（1）根据题意，由参数方程的定义可得椭圆的参数方程，对直线的极坐标方程利用两角和的正弦展开，将，代入可得直线的普通方程；（2）根据题意，设，进页12第而分析可得，由三角函数的性质分析可得答案.试题解析：(1)由，得，将代入，得直线的直角坐标方程为.椭圆的参数方程为为参数）.(2)因为点在椭圆上，所以设，则，当且仅当时，取等号，所以.23. 已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若的最大值为，对任意不想等的正实数，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）原不等式即为，分当时，当时，当时去绝对值，解不等式，最后求并集即可；（2）运用绝对值不等式的性质可得，再由绝对值不等式的性质，化简变形即可得证.试题解析：(1)不等式，即，此不等式等价于或或解得，或，或.所以不等式的解集为.(2)，因为，当且仅当时，取等号，所以，即，因为为正实数，所以，当且仅当时，取等号.即.点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．页13第。
河北省衡水金卷2018年高三调研卷 全国卷 I A 理科数学试题2
【衡水金卷】2018年衡水金卷调研卷全国卷I A模拟试题（二）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，，，故选B.2. 已知是虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. D. 5【答案】A【解析】，，，故选A.3. 已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如下表所示：若满足回归方程，则以下为真命题的是（）A. 每增加1个单位长度，则一定增加1.5个单位长度B. 每增加1个单位长度，就减少1.5个单位长度C. 所有样本点的中心为D. 当时，的预测值为13.5【答案】D【解析】由，得每增一个单位长度，不一定增加，而是大约增加个单位长度，故选项错误；由已知表格中的数据，可知，，回归直线必过样本的中心点，故错误；又，回归方程为，当时，的预测值为，故正确，故选D.4. 已知点为椭圆：上一点，是椭圆的两个焦点，如的内切圆的直径为3，则此椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由椭圆的定义可知的周长为，设三角形内切圆半径为，所以的面积，整理得，又，故得椭圆的离心率为，故选C.【方法点睛】本题主要考查椭圆的定义、性质及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据三角形的面积可以建立关于焦半径和焦距的关系．从而找出之间的关系，求出离心率．5. 如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为（）A. 4B.C.D. 6【答案】C【解析】，又，，又三点共线，，即得，易知，，当且仅当，即时，取等号，故选C.【易错点晴】本题主要考查平面向量基本定理的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.6. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则，由题意，得四棱锥的体积为，当且仅当，即时，取等号，设的中点分别为，则堑堵的外接球的球心应恰为线段的中点，又，则堑堵的外接球的半径满足，故，故堑堵的外接球的体积为，故选B.7. “”是“函数与函数在区间上的单调性相同”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数在区间上是单调递减的，当时，函数在区间上也是单调递减的，所以充分性成立，当时，在区间上也是单调递减的，故必要性不成立，“”是“函数与函数在区间上的单调性相同”的充分不必要条件，故选A.8. 执行如图所示的程序框图，若输出，则判断框内应填的内容是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由程序框图的功能可知，输出，此时，判断框内应填，故选A.9. 如图所示，直线为双曲线：的一条渐近线，是双曲线的左、右焦点，关于直线的对称点为，且是以为圆心，以半焦距为半径的圆上的一点，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】设焦点关于渐近线的对称点为，则，又点在圆上，，故选C. 10. 某单位现需要将“先进个人”、“业务精英”、“道德模范”、“新长征突击手”、“年度优秀员工”5种荣誉分配给3个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人，则不同的分配方法共有（）A. 114种 B. 150种 C. 120种 D. 118种【答案】A【解析】将种荣誉分给人，共有和两类. ①当为时，共有，“道德模范”与“新长征突击手”分给一个人共有种，故有；②当为时，共有，“道德模范”与“新长征突击手”分给一个人共有种，故有种，综上，不同的分配方法共有种，故选A.11. 如图，正方体的对角线上存在一动点，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于两点.设，的面积为，则当点由点运动到的中点时，函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，而由运动到的中点的过程中，，由相似三角形，可知为定值，设正方体的边长为，当为线段的中点时，，则的面积为，故选D.12. 已知为函数的导函数，当是斜率为的质询案的倾斜角时，若不等式恒成立，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题可知，，，，即，令，则，即在区间内单调递增，由，可知不正确，由可得，正确，故选D.【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数，则其最小正周期为_______.【答案】【解析】因为函数，函数，则其最小正周期为，故答案为.14. 过，两点的光线经轴反射后所在直线与圆存在公共点，则实数的取值范围为_______.【答案】【解析】点关于轴的对称点为，则直线的方程为，即，因为反射后所在直线与圆存在公共点，所以圆心到直线的距离，即，解得，故实数的取值范围是，故答案为.15. 如图，将正方形沿着边抬起到一定位置得到正方形，并使得平面与平面所成的二面角为，为正方形内一条直线，则直线与所成角的取值范围为_______.【答案】【解析】不妨设正方形的边长为，作，垂足为，由，得平面，故，又，得平面，故直线在平面内的射影为，易知，则与平面所成的角为与平面内的直线所成的最小角为，而直线与所成角的最大角为（当与重合时，与所成角为的），所以直线与所成角的取值范闱为，故答案为.16. 已知菱形，为的中点，且，则菱形面积的最大值为_______. 【答案】12【解析】设，则两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，，即，，设，在中，由余弦定理可知，即，，令，则，则，当时，即时，有最大值，故答案为.【方法点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及最值问题，属于难题.求最值的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数最值，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.本题(2)求值域时主要应用方法①求解的.三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（1）当时，；当时，，对不成立，从而可得数列的通项公式；（2）当时，，当时，，利用裂项相消法可得，再验证时，是否成立即可.试题解析：（1）当时，；当时，，对不成立，所以数列的通项公式为.（2）当时，，当时，所以又时，符合上式，所以（）.【方法点晴】本题主要考查数列的通项公式与求和，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误......................18. 如图所示，已知三棱锥中，底面是等边三角形，且，分别是的中点.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（1）连接，因为是的中点，由等腰三角形及等边三角形的性质可得，从而利用线面垂直的判定定理可得结果；（2）先根据勾股定理证明与垂直，再以为轴建立空间直角坐标系，平面的一个法向量为，利用向量垂直数量积为零，列方程组求出平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式可求得二面角的余弦值.试题解析：(1)连接，因为，底面等边三角形，又因为是的中点，所以又因为，所以平面.（2）因为，由（1）可知，而，所以以为原点，以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，由题得平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为所以，即令得所以，所以由题意知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 伴随着智能手机的深入普及，支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒，有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50人，对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如下表：（1）若以“年龄55岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关；（2）若从年龄在，内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为.①求随机变量的分布列；②求随机变量的数学期望.参考数据如下：0.05 0.010 0.0013.841 6.635 10.828参考格式：，其中【答案】(1)见解析;(2)①见解析.②见解析.【解析】试题分析：（1）根据表格中数据可完成列联表，利用公式：求得，与邻界值比较，即可得到结论；（2）①选中的人中“使用手机支付”的人数为的可能取值为利用组合知识，根据古典概型概率公式公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列；②由①利用期望公式可得的数学期望.试题解析：（1）列联表如下：的观测值，所以有的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关.（2）①由题意，可知所有可能取值有0，1，2，3，，，，，所以的分布列是②.20. 已知点，过点作与轴平行的直线，点为动点在直线上的投影，且满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知点为曲线上的一点，且曲线在点处的切线为，若与直线相交于点，试探究在轴上是否存在点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】(1);(2)见解析.【解析】试题分析：（1）设，由题得，则，，由化简即可得动点的轨迹的方程；（2）设点，，根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程可得直线的方程为，从而得点的坐标为，由恒成立得解得，进而可得结果.试题解析：(1)设，由题得又，∴，，由，得，即，∴轨迹的方程为.（2）设点，，由，得，∴，∴直线的方程为令，可得，∴点的坐标为，∴，（*）要使方程（*）对恒成立，则必有解得.即在轴上存在点，使得以为直径的圆恒过点，其坐标为.21. 已知函数.（1）若函数，试研究函数的极值情况；（2）记函数在区间内的零点为，记，若在区间内有两个不等实根，证明：.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得函数的极值情况；（2）先证明，即在区间内单调递增，根据零点存在性定理，存在，使得，可得以，要证，只需证，即，记，其中，利用导数可证明单调递增，故当时，，即可得，进而可得结果.试题解析：（1）由题意，得，故，故，.令，得①当时，，或；,所以在处取极大值，在处取极小值.②当时，，恒成立，所以不存在极值；③当时，，或；,所以在处取极大值，在处取极小值.综上，当时，在处取极大值，在处取极小值；当时，不存在极值；时，在处取极大值，在处取极小值. （2），定义域为，，而，故，即在区间内单调递增又，，且在区间内的图象连续不断，故根据零点存在性定理，有在区间内有且仅有唯一零点.所以存在，使得，且当时，；当时，，所以当时，，由得单调递增；当当时，，由得单调递减；若在区间内有两个不等实根（）则.要证，即证又，而在区间内单调递减，故可证，又由，即证，即记，其中记，则，当时，；当时，，故而，故，而，所以，因此，即单调递增，故当时，，即，故，得证.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知圆：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆的极坐标方程.（1）分别写出圆的普通方程与圆的直角坐标方程；（2）设圆与圆的公共弦的端点为，圆的圆心为，求的面积.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）圆的参数方程利用平方法消去参数可得出圆的普通方程，，圆的极坐标方程两边同乘以利用即可得圆的直角坐标方程；（2）两圆的直角坐标方程相减可得公共弦所在直线方程为，利用点到直线距离公式及勾股定理求出弦长，由三角形面积公式可得结果.试题解析：（1）因为圆：（为参数），所以圆的普通方程是因为圆：，所以圆的直角坐标方程是.（2）因为圆：，圆：，两式相减，得，即公共弦所在直线为，所以点到的距离为，所以公共弦长为，所以.23. 选修4-5：不等式选讲已知均为正实数，且.（1）求的最大值；（2）求的最大值.【答案】(1)12;(2).【解析】试题分析：（1）利用柯西不等式可得，结合即可得的最大值；（2）原式，因为，从而可得结果.试题解析：（1），当且仅当，即时，取等号，故原式的最大值为12.（2）原式因为，当且仅当，即时，取等号所以原式，故原式的最大值为.。
衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学(一)试题Word版含答案
衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学(一)试题Word版含答案2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（一）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：1.已知集合A={x|2-x>1}，B={x| x<1}，则（）A．A∩B={x| x≤2}B．A∩B={x| x<0}C．A∪B={x| x<2}D．A∪B= R解析：由A的定义可得x<1，结合B的定义得到A∩B={x| x<1}，故选B。
2.已知i为虚数单位，a为实数，复数z满足z+3i=a+ai，若复数z是纯虚数，则（）A．a=3B．a=0C．a≠3D．a<3.解析：由z+3i=a+ai，得到z=(a-3)i，因为z是纯虚数，所以a-3=0，即a=3，故选A。
3.我国数学家XXX利用下图证明了勾股定理，该图中用勾a和股b分别表示直角三角形的两条直角边，用弦c来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（）A．25/244B．1/2XXXD．1/4解析：由题意可知，中间小正方形的对角线长为4，设其为AB，则由勾股定理可得AC=3，BC=1，所以此点不落在中间小正方形中的概率为（4^2-2^2πr^2）/4^2=12/16=3/4，即选D。
4.已知等差数列(an)的前n项和为Sn，且S9=6π，则tana5=（）A．3B．3C.−3D．−3解析：由等差数列的通项公式可得，an=a1+(n-1)d，其中d为公差，将其代入Sn的通项公式可得S9=(a1+a9)×9/2=9a1+36d，又因为a5=a1+4d，所以tana5=(a5/a1)=(2a5/(a5+a1))=(2(S5-S4)/(S5+S4))=2(2π-5π/6)/(2π+5π/6)=3，故选A。
5.已知函数f(x)=x+a(a∈R)，则下列结论正确的是（）A．对于任意a∈R，f(x)在区间（x，+∞）内单调递增B．存在a∈R，使得f(x)在区间（x，+∞）内单调递减C．存在a∈R，使得f(x)是偶函数D．存在a∈R，使得f(x)是奇函数，且f(x)在区间（x，+∞）内单调递增解析：由题意可知，f(x)的导数为f'(x)=1，即f(x)在任意区间内单调递增，故选A。
衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学(一)试题有答案-(高三)
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（一）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}02|>-=x x A ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛=121|xx B ，则（ ）A ．{}20|≤<=x xB A B ．{}0|<=x x B AC ．{}2|<=x x B AD ．R B A =2.已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z 满足ai a i z +=+3，若复数z 是纯虚数，则（ ） A ．3=a B ．0=a C ．0≠a D ．0<a3.我国数学家邹元治利用下图证明了购股定理，该图中用勾()a 和股()b 分别表示直角三角形的两条直角边，用弦()c 来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（ ）A ．4925 B ．4924 C ．74 D ．754.已知等差数列()n a 的前n 项和为n S ，且π=69S ，则=5tan a （ ） A ．33 B ．3 C.3- D ．33- 5.已知函数())(R a xax x f ∈+=，则下列结论正确的是（ ） A ．)(,x f R a ∈∀在区间()∞+，0内单调递增 B ．)(,x f R a ∈∃在区间()∞+，0内单调递减 C.)(,x f R a ∈∃是偶函数D ．)(,x f R a ∈∃是奇函数，且()x f 在区间()∞+，0内单调递增 6.()()421x x -+的展开式中x 项的系数为（ ）A ．-16B ．16 C. 48 D ．-487.如图是某个集合体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ）A ．424++πB ．4242++π C. 2242++π D ．4222++π 8.若10,1<<<>b c a ，则下列不等式不正确的是（ ） A ．b a 20182018log log > B ．a a c b log log < C.b c a c a a c a )()(->- D ．()()b c a b c a b c ->-9.执行如图所示的程序框图，若输出的n 值为11，则判断框中的条件可以是（ ）A ．?1022<SB ．?2018<S C. ?4095<S D ．?4095>S 10.已知函数()⎪⎪⎭⎫⎝⎛π≤ϕ>ϕϕ+ϖ=20)sin(2，x x f 的部分图象如图所示，将函数()x f 的图象向左平移12π个单位长度后，所得图象与函数)(x g y =的图象重合，则（ ）A ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=32sin 2x x g B ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=62sin 2x x g B ．C.()x x g 2sin 2= D ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=32sin 2x x g 11.已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，过点F 作斜率为1的直线l 交抛物线C 于Q P ,两点，则QFPF 11+的值为（ ） A ．21 B ．87C. 1 D ．2 12.已知数列{}n a 中，()*+∈+=-=N n a a a n a n n n ,1,211，若对于任意的[]*∈-∈N n a ,2,2，不等式12121-+<++at t n a n 恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][)+∞-∞-,22, B ．(][)+∞-∞-,12, C. (][)+∞-∞-,21, D ．[]2,2- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()()1,3,,1=λ=b a ，若向量b a -2与()2,1=c 共线，则向量a 在向量c 放心上的投影为 ．14.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤=+,1,2,4x y x y x 则13+-=y x z 的最大值是 ．15.过双曲线()0,012222>>=-b a bx a y 的下焦点1F 作y 轴的垂线，交双曲线于B A ,两点，若以AB 为直径的圆恰好过其上焦点2F ,则双曲线的离心率为 ．16.一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若B c C b A a cos cos cos 2+=. (1)求角A 的大小；(2)若点D 在边AC 上，且BD 是ABC ∠的平分线，4,2==BC AB ，求AD 的长.18. 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1CC 底面ABC ,且BC AC BC AC CC ⊥==,221,D 是棱AB 的中点，点M 在侧棱1CC 上运动.(1)当M 是棱1CC 的中点时，求证：//CD 平面1MAB ； (2)当直线AM 与平面ABC 所成的角的正切值为23时，求二面角11C MB A --的余弦值.19. 第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络"的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.(1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数； (2)从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人. ①记X 表示选取4人的成绩的平均数,求)87(≥X P ；②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数,求ξ的分布列和数学期望.20.已知椭圆 )0(12222>>=+b a by a x C ：的左、右焦点分别为21,F F ,离心率为31，点P 在椭圆C 上，且21F PF ∆的面积的最大值为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线)0(2:≠+=k kx y l 与椭圆C 交于不同的两点N M ,，若在x 轴上存在点G ，使得GN GM =，求点G 的横坐标的取值范围.21. 设函数e R a a x a e x f x ,),ln(2)(∈+--=为自然对数的底数.(1)若0>a ,且函数)(x f 在区间),0[+∞内单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若320<<a ，试判断函数)(x f 的零点个数. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为141622=+x y ，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3)3sin(=π+θρ. (1)求直线l 的直角坐标方程和椭圆C 的参数方程；(2)设),(y x M 为椭圆C 上任意一点，求132-+y x 的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数|2|)(-=x x f .(1)求不等式4)2()(≤++x f x f 的解集；(2)若)2()()(x f x f x g +-=的最大值为m ，对任意不想等的正实数b a ,，证明：||)()(b a m a bf b af -≥+.试卷答案一、选择题1-5: DBBCD 6-10: ABCCA 11、12：CA二、填空题13.0 14.31-15.21+ 16.π34 三、解答题17.解：(1)在ABC ∆中，∵B c C b A a cos cos cos 2+=, ∴由正弦定理，得B C C B A cos sin cos sin cos sin 2+=A CB sin )sin(=+=，∵0sin ≠A ，∴21cos =A ， ∵()π∈，0A ， ∴3π=A . (2)在ABC ∆中，由余弦定理得A AC AB AC AB BC cos 2222⋅-+=，即AC AC 24162-+=,解得131+=AC ,或131-=AC （负值，舍去）∵BD 是ABC ∠的平分线，4,2==BC AB ， ∴21==BC AB DC AD ,∴313131+==AC AD . 18.解：(1)取线段1AB 的中点E ，连结EM DE ,. ∵1,EB AE DB AD ==, ∴1//BB DE ，且121BB DE =. 又M 为1CC 的中点， ∴1//BB CM ,且121BB CM =. ∴DE CM //,且DE CM =. ∴四边形CDEM 是平行四边形. ∴EM CD //.又⊂EM 平面⊄CD M AB ,1平面M AB 1, ∴//CD 平面1MAB .(2)∵1,,CC CB CA 两两垂直，∴以C 为原点，1,,CC CB CA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Cxyz ，如图,∵三棱柱111C B A ABC -中，⊥1CC 平面ABC ， ∴MAC ∠即为直线AM 与平面ABC 所成的角. 设1=AC ，则由23tan =∠MAC ，得23=CM . ∴()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0,0,2,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,01M B B A C . ∴()2,1,1,23,0,11-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=AB AM , 设平面1AMB 的一个法向量为()z y x n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,02,0231z y x n AB z x n AM 令2=z ，得1,3-==y x ，即)2,1,3(-=n . 又平面11B BCC 的一个法向量为)0,0,1(=CA ,∴14143||=⋅=nCA n CA n , 又二面角11C MB A --的平面角为钝角， ∴二面角11C MB A --的余弦值为14143-. 19.解：(1)众数为76，中位数为76.抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人， 故从该校学生中人选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为32128=，故该校这次测试成绩在70分以上的约有2000323000=⨯（人） (2)①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94. 当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类. 一类是82，88，93，94，共1种； 另一类是76，88，93，94，共3种. 所以 3524087(48==≥C X p . ②由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3，4701)0(484404===ξC C C P , ()35870161483414====ξC C C P ,35187036)2(482424====ξC C C P ,()35870163481434====ξC C C P , 701)4(480444===ξC C C P . ξ的分别列为ξ1234P701358 3518 358 701 ()27043533523517010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E 20.解：(1)由已知得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==⨯⨯=,,22221,31222b a c b c a c解得1,8,9222===c b a ，∴椭圆C 的方程为18922=+y x . (2)设()()2211,,,y x N y x M ，MN 的中点为()00,y x E ，点()0,m G ，使得GN GM =, 则MN GE ⊥.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,189,222y x kx y 得()036369822=-++kx x k ，由0>∆，得R k ∈. ∴8936221+-=+k kx x ，∴89162,891820020+=+=+-=k kx y k k x . ∵,MN GE ⊥∴kk GE 1-=， 即k k k k 189180891622-=+--+，∴kk k k m 8928922+-=+-=. 当0>k 时，21289289=⨯≥+k k （当且仅当k k 89=，即322=k 时，取等号）， ∴0122<≤-m ； 当0>k 时，21289-≤+k k （当且仅当k k 89=，即322-=k 时，取等号），∴1220≤<m ， ∴点G 的横坐标的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-122,00,122U . 21.解：(1)∵函数()x f 在区间[)∞+，0内单调递增， ∴01)('≥+-=ax e x f x在区间[)∞+，0内恒成立. 即x ea x-≥-在区间[)∞+，0内恒成立.记()x ex g x-=-，则01)('<--=-x e x g 恒成立，∴()x g 在区间[)∞+，0内单调递减, ∴()()10=≤g x g ，∴1≥a ，即实数a 的取值范围为[)∞+，1. (2)∵320<<a ，ax e x f x+-=1)('， 记)(')(x f x h =，则()01)('2>++=a x e x h x ，知)('x f 在区间()+∞-,a 内单调递增. 又∵011)0('<-=a f ，01)1('>+-=aa e f ， ∴)('x f 在区间()+∞-,a 内存在唯一的零点0x ， 即01)('000=+-=ax e x f x， 于是ax ex +=01，()a x x +-=00ln . 当0x x a <<-时，)(,0)('x f x f <单调递减； 当0x x >时，)(,0)('x f x f >单调递增. ∴()())ln(200min 0a x a e x f x f x +--==a a ax a x x a a x 3231210000-≥-+++=+-+=， 当且仅当10=+a x 时，取等号. 由320<<a ，得032>-a ， ∴()()00min >=x f x f ，即函数()x f 没有零点. 22.解：(1)由33sin =⎪⎭⎫⎝⎛π+θρ， 得3cos 23sin 21=θρ+θρ， 将θρ=θρ=sin ,cos y x 代入，得直线l 的直角坐标方程为063=-+y x . 椭圆C 的参数方程为ϕ⎩⎨⎧ϕ=ϕ=(sin 4,cos 2y x 为参数）.(2)因为点M 在椭圆C 上， 所以设)sin 4,cos 2(ϕϕM ，则1sin 4cos 34132-ϕ+ϕ=-+y x913sin 8≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛π+ϕ=，当且仅当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛π+ϕ时，取等号， 所以9132max=-+y x .23.解：(1)不等式()4)2(≤++x f x f ，即42≤+-x x ， 此不等式等价于⎩⎨⎧≤--≤,42,0x x x或⎩⎨⎧≤+-≤<,42,20x x x 或⎩⎨⎧≤+->.42,2x x x解得01≤≤-x ，或20≤<x ，或32≤<x .所以不等式()4)2(≤++x f x f 的解集为{}31|≤≤-x x . (2)()|||2|)2()(x x x f x f x f --=+-=， 因为()2|2|2=--≤--x x x x ， 当且仅当0≤x 时，取等号， 所以()2≤x g ，即2=m ， 因为b a ,为正实数，所以()()22-+-=+a b b a a bf b af()()b ab a ab b ab a ab 2222---≥-+-= b a m b a -=-=2，当且仅当()()022≤--a b 时，取等号. 即()()()||b a m a bf b af -≥+.。
【衡水金卷】2018年衡水中学全国卷 I A 信息卷(五) 高三理数试题
5 5 ⎪ ⎩ 2 5 5 2018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（五）第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合 M = {x | x 2- 2x < 0}, N = {y | y = 2x+1}，则 M ⋂ N = （ ）A ． (0,2)B ． (1,2)C ． (0,1)D ．∅2. 已知i 为虚数单位，复数 z =i (1+ ai ) 的虚部为 2 ，则实数 a = （ ） 1+ iA ．1B ． 2C ． 3D ． 43. 函数 y = cos 2x + 2 s in x 的最大值为（ ）A ．1 B ．1C ．3 D ． 2224. 如图，分别以 A , C 为圆心，正方形 ABCD 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）1 A ．B ．2π- 2 21 C.4y 2 - x 2 =π- 2D ．4> >5. 已知O 为坐标原点，分别在双曲线 a2 41(a b2 0, b 0) 第一象限和第二象限的渐近线上取点 M , N ，若∠MON 的正切值为 3，则双曲线离心率为（ ）5 5 A ．B ．C.D ．5243⎧x + 2 y ≥ 0 6. 若点(x , y ) 满足⎨ y ≤ 2x⎪x + y ≤ 3，则 x 2 + ( y - 2)2的最小值为（ ）4 1 A ．B ．C.D ．555533)7. 按下面的程序框图，如果输入的t ∈[-1,3] ，则输出的 x 的取值范围为（ ）A ．[-3,4]B ．[-1,3] C. [-3,9] D ．[3,4]8. 将函数 f (x ) = sin x cos(x +π的图象向右平移π个单位，得到函数 g (x ) 的图象，则 g (x ) 图象的一个 33对称中心是（ ）π A. ( 6,0)π B. ( 3,0)πC. ( ,- )6 4πD ． ( ,-) 349. (x +1)5 (C 1 x + 2C 2 x 2+ +10C 10 x 10 ) 展开式中， x 7项的系数是（ ）101010A ． 50400B ．15300 C. 30030 D ．15001510. 如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（ ）25π A ．425π B ．161125π C.41125π D ．1611. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 内的奇函数，且满足 f (2 - x ) =f (1+ 1) + f (2 + 1 ) + + f (8 + 1) = （ ）f (x ) ，若在区间(0,1] 上， f (x ) = 1，则 x1 2 8 31 31 35 35A.B ．C.D ．612612→→12. 过抛物线 y2= 2 px ( p > 0) 的焦点 F 且斜率为 k (k > 0) 的直线l 交抛物线于点 A , B ，若 AF = λFB ，且1n n100 λ∈(1, 3 1) ) ，则 k 的取值范围是（ ）2A ． (1, 3)B. ( 3,2)C. (2,2 2) D ． ( 3,2 2)第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）→ → →13.ABCD 中，M 为线段 DC 的中点，AM 交 BD 于点Q ，若 AQ = λAD + μAC ，则λ+ μ= ．14. 命题 p ：若 x > 0 ，则 x > a ；命题 q ：若 m ≤ a - 2 ，则 m < sin x (x ∈ R ) 恒成立.若 p 的逆命题， q 的逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是．15. 已知函数 f (x ) = a + x - ln x ，若 f (x ) 与 f '(x )（ f '(x ) 为 f (x ) 的导函数）的图象有两个公共点，则实数a 的取值范围是．π 16. 已知函数 f (x ) = sin ωx cos(ωx +ω> 0) 在区间(0, π) 内单调，且在区间(π,2π) 内恰有三条对称)(3 18轴，则ω的取值范围是．三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{a n }满足 a 1 = 2, a n a n -1 + a n - 2a n -1 = 0(n ≥ 2) .（1）求证：{1-a n} 是等比数列，且 a n < 2( 2n -1 - 1 2n +1 -1) +1；（2）设 S 为数列{a }的前 n 项和，若 m ∈ N *，且 m < S < m +1，求m 的值.18. 四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，底面 ABCD 为正方形， AA 1 ⊥ 平面 ABCD , M 为棱 DD 1 的中点， N 为棱 AD 的中点， Q 为棱 BB 1 的中点.（1） 证明：平面 MNQ // 平面C 1BD ；→ →（2） 若 AA 1 = 2 A B ，棱 A 1B 1 上有一点 P ，且 A 1P = λA 1B 1 (λ∈(0,1)) ，使得二面角 P - MN - Q 的余弦值为13 21 ，求λ的值.631n n∑x - n (x ) 119. 从2017 年1月份，某市街头出现共享单车，到6 月份，根据统计，市区所有人骑行过共享单车的人数已占60% ，骑行过共享单车的人数中，有35% 是大学生（含大中专及高职），该市区人口按500 万计算，大学生人数约120 万人.（1） 任选出一名大学生，求他（她）骑行过共享单车的概率；（2） 随单车投放数量增加，乱停乱放成为城市管理的问题，以下是累计投放单车数量 x 与乱停乱放单车数量 y 之间的关系图表：累计投放单车数量 x 100000 120000 150000 200000 230000 乱停乱放单车数量 y14001700230030003600①计算 y 关于 x 的线性回归方程（其中b ˆ 精确到0.0001, a ˆ 值保留三位有效数字），并预测当 x = 250000 时，单车乱停乱放的数量；②已知该市共有五个区，其中有两个区的单车乱停乱放数量超过标准.在“双创”活动中，检查组随机抽取三个区调查单车乱停乱放数量， X 表示“单车乱停乱放数量超过标准的区的个数”，求 X 的分布列和数学期望 E ( X ) .参考公式和数据：回归直线方程 y ˆ = b ˆx + a ˆ 中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为∑ x i y i - nxy ∑(x i - x )( y i - y ) 5 5 b ˆ = i =1 = i =1 , a ˆ = y - b ˆx . ∑ x y = 2117000000, ∑ x 2= 1398 ⨯108 . n 2 2 ii =1 ∑(x i i =1- x )2i i i =1 i i =120. 已知圆C 1 : (x +1)2 + y 2 = 1 ，圆C : (x -1)2 + y 2= 25 ，圆 M 与圆C 、C 都相内切.（1） 求圆心 M 的轨迹 E 的方程；（2） 若点Q 是轨迹 E 上的一点，求证： ∆QC 1C 2 中， ∠C 1QC 2 的外角平分线与曲线 E 相切.21. 已知函数 f (x ) = (x 2+ 2x +1)e - x，其中e 为自然对数的底数.（1）求函数 f (x ) 的单调区间；2 2 n⎩+ + ≥（2）求证： x > 0 时，[3x e - xf (x )]⋅(x - 3 + 3 + ln x ) ≥ 1 . x e请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为ρ2=⎧x = a cos ϕ 程为⎨ y = b sin ϕ（ a > 0, b > 0,ϕ为参数）.（1） 求 a 与b 的值；（2） 求椭圆C 上的点 M 到点 A (1,0) 距离的最小值.32 - cos 2θ，参数方23. 选修 4-5：不等式选讲已知 a , b , c ∈ R +.b 3c 3 a 3 (a 2 + b 2 + c 2 )2（1） 求证： ； a b c ab + bc + ac（2） 求函数 f (x ) = (ab + bc + ac )x 2- 2(a 2+ b 2+ c 2)x + b a + c 3 b + a 3 c的零点个数.3。
2018届河北省衡水中学高三下学期一调考试理科数学试题及答案
的最小值为 3 的正数 为（ ）
4
A. 1 B. 2 C. 4 D. 3
3
3
3
2
5、定义在 R上的连续函数 f ( x) 满足 f ( －x) ＝－ f ( x＋4) ，当 x>2
时， f ( x) 单调递增，如果 x1＋x2<4，且 ( x1－2)( x2－2)<0 ，则 f ( x1) ＋
f ( x2) 的值 (
)
A．恒小于 0 B ．恒大于 0 C ．可能为 0 D ．可正可负
6、如图给出的是计算 1 1 1
246
框内应填入的是（ ）
1 的值的程序框图，其中判断
2014
A. i 2014
B. i＞2014
C. i 1007
D. i＞1007
7、一个几何体的三视图如右图所
示，={3，4， 5} ， Q={6，7} ，定义 P * Q {( a, b) | a P,b Q} ， 则 P * Q 的子集个数为 ( )
A．7 B ．12 C ． 32 D ．64 2、已知 0 a 2 ，复数 z 的实部为 a ，虚部为 1，则 | z | 的取值范围 是( ) A．(1 ，5) B ． (1 ， 3) C ． (1, 5) D ． (1, 3) 3、在第 29 届北京奥运会上，中国健儿取得了 51 金、 21 银、 28 铜的好成绩，稳居金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育 强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加 调查的 2548 名男性中有 1560 名持反对意见， 2452 名女性中有 1200 名持反对意见，在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体 育强国之列”是否有关系时，用什么方法最有说服力 ( ) A．平均数与方差 B ．回归直线方程 C ．独立性检验 D ．概 率 4、若函数 f (x) sin x 3 cos x, x R, 又 f ( ) 2, f ( ) 0 ，且
【全国百强校】2018年衡水金卷信息卷 全国卷 I A 理科数学模拟(一)试题(解析版)
2018年衡水金卷信息卷全国卷 I A模拟试题（一）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意可得∴，故选：D2. 已知复数满足(其中为虚数单位），则其共轭复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】由得到，故其共轭复数为，其对应的点位于第一象限，故选：A3. 已知等差数列中，，则（）A. B. C. D. 0【答案】B【解析】，∴∴故选：B4. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为0，则判断框中可以填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】该程序框图的功能是计算的值.要使输出的S的值为0，则，即故①中应填故选：C点睛：：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5. 已知双曲线的一条渐近线与双曲线的—条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】双曲线的渐进线方程为，故双曲线的渐近线方程为.设双曲线的方程为.当时，双曲线的方程为，则，解得：；当时，双曲线的方程为，则，解得：；故选：C6. 已知函数在上可导，且，则（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】由题意得,故，，得到所以所以.故选：C7. 《九章算术》勾股章有一问题:今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？其意思是:现有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽.现从该绳索上任取一点，该点取自木柱上绳索的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题设条件，作示意图如图所示，设绳索长为x尺，则木柱AB=x-3.由勾股定理，得，解得，故所求的概率为：P=.故选：A8. 已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，再把所得图象向下平移1个单位，得到函数的图象，若，则的值可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，得.由已知可得，故的最小正周期.由，知这两个值恰好一个为最小值-3，另一个为最大值1，故，当k=1时，.故选：B9. 已知函数则当时，的展开式中系数绝对值最大的项是（）A. 第2项B. 第3项C. 第4项D. 第5项【答案】D【解析】当时，，则T r+1=••••设展开式中系数最大的项为T r+1，则得：，由阶乘公式，得，解得：，由r，得：，故系数绝对值最大的项是第5项.故选：D10. 从一个几何体中挖去一部分后所得组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图，可知该组合体为一个底面半径为1，高为3的圆柱挖去两个底面半径均为1,高均为1.5的圆锥所得到的几何体，故其体积.故选：A11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，点在的内部，且满足，及，若恒有成立，则椭圆的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，知点I是的内心.设的内切圆半径为r，则由，得，即.又，故可得，，由，得，即，得到，所以椭圆C的离心率的取值范围为故选：B点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12. 定义在上的函数若满足：，且，则称函数为“指向的完美对称函数”.已知是“1指向2的完美对称函数”，且当时，.若函数在区间上恰有5个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由是“1指向2的完美对称函数”，所以,用1+x代替上式中的x值，，所以，又因为，所以，所以，所以，所以函数的周期为4，其中，故，，，故当时，，所以，即时，，当时，.由得对称中心为，周期为4，可得的对称中心为，即与均关于点对称，结合的图象关于点对称及关于直线对称，可画出在区间上的图象，如图所示：因为，直线过点，故若函数在区间上恰有5个零点，则只需与在区间上有两个交点，设直线与曲线的切点为，则,故切线方程为：.因为点在切线上，所以，解得或（舍去），此时,又当直线过点时，k=1.故由图，可知实数k 的取值范围为故选：B点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知中，，且，则__________．【答案】【解析】由，得，所以为菱形，所以⊥，故解得故答案为：14. 已知函数在上单调递减，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】当p为真时，.记集合A，.若是的必要不充分条件，则①当，即时，；②当时，等价于，解得.综上所述，实数m的取值范围为故答案为：15. 已知在关于的不等式组，（其中）所表示的平面区域内，存在点，满足，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由条件可得可行域，如图所示，由,得.因为直线与直线垂直，所以只需圆心到A的距离小于等于1满足题意即可，即，解得，当时恒存在点满足题意，故实数的取值范围故答案为：16. 数列中，（2，且），且，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________．【答案】【解析】由，变形为：a n+1=，a1+1=2．∴数列{a n+1}是等比数列，首项为2，公比为﹣．∴a n+1=，可得a n=，∴S n=n=n，则，，∴当n为偶数时，恒成立，而，∴ 1当n为奇数时，恒成立，而，∴综上所述，，即的最大值为故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知的内角的对边分别为，若向量，且.（1）求角的值；（2）已知的外接圆半径为，求周长的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由，得，利用正弦定理统一到角上易得（2）根据题意，得，由余弦定理，得，结合均值不等式可得，所以的最大值为4，又，从而得到周长的取值范围.试题解析：（1）由，得.由正弦定理，得，即.在中，由，得.又，所以.（2）根据题意，得.由余弦定理，得，即，整理得，当且仅当时，取等号，所以的最大值为4.又，所以，所以.所以的周长的取值范围为.18. 如图，在三棱柱中，平面平面,,分别为棱的中点.（1）求证:；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(1)见解析(2)...........................试题解析：（1）连接.∵，∴是等边三角形.又为棱的中点，∴.∵平面平面,平面平面，平面.∴平面.∵平面，∴.∵，∴是菱形.∴.又分别为的中点，∴，∴.又，∴平面.又平面，∴.（2）连接，∵，∴为正三角形.∵为的中点，∴.又∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面.∵两两垂直，∴分别以方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设.设平面的一个法向量为，由，令，得.即.由（1)，知平面，∴平面的一个法向量为.设平面与平面所成的锐二面角大小为，则，即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.19. 2018年元旦期间，某运动服装专卖店举办了一次有奖促销活动，消费每超过400元均可参加1次抽奖活动，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘(如图），转盘停止转动时指针指向哪个扇形区域，则顾客可直接获得该区域对应面额(单位：元）的现金优惠，且允许顾客转动3次.方案二：顾客转动十二等分且质地均匀的圆形转盘（如图〕，转盘停止转动时指针若指向阴影部分，则未中奖，若指向白色区域，则顾客可直接获得40元现金，且允许顾客转动3次.（1）若两位顾客均获得1次抽奖机会，且都选择抽奖方案一，试求这两位顾客均获得180元现金优惠的概率；（2）若某顾客恰好获得1次抽奖机会.①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得现金奖励的数学期望；②从概率的角度比较①中该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】(1) (2) ①见解析②该顾客选择第一种抽奖方案更合算【解析】试题分析：（1）由图可知，每一次转盘指向60元对应区域的概率为，设“每位顾客获得180元现金奖励”为事件，则，结合乘法概率公式得到这两位顾客均获得180元现金优惠的概率；（2）①方案一：可能的取值为60，100，140，180，方案二：，故；②由①知，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.试题解析：（1）选择方案一，若要享受到180元的现金优惠，则必须每次旋转转盘都指向60元对应的区域，由图可知，每一次转盘指向60元对应区域的概率为.设“每位顾客获得180元现金奖励”为事件，则，所以两位顾客均获得180元现金奖励的概率为.（2）①若选择抽奖方案一，则每一次转盘指向60元对应区域的概率为，每一次转盘指向20元对应区域的概率为.设获得现金奖励金额为元，则可能的取值为60，100，140，180.则；；；.所以选择抽奖方案一，该顾客获得现金奖励金额的数学期望为（元）.若选择抽奖方案二，设三次转动转盘的过程中，指针指向白色区域的次数为，最终获得现金奖励金额为元，则，故，所以选择抽奖方案二，该顾客获得现金奖励金额的数学期望为（元）.②由①知，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.20. 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴的正半轴上，过焦点作斜率为的直线交抛物线于两点，且，其中为坐标原点.（1）求抛物线的方程；（2）设点，直线分别交准线于点，问：在轴的正半轴上是否存在定点，使，若存在，求出定点的坐标，若不存在，试说明理由.【答案】(1) (2) 在轴的正半轴上存在定点，使，且定点的坐标为【解析】试题分析：（1）设抛物线的标准方程为，直线的方程为（，且），联立，消去，得.巧用韦达定理表示，从而得到抛物线的方程；（2）假设在轴上存在定点，使，设，由（1），知.明确，由，得，从而得到出定点的坐标.试题解析：（1）由题意知，设抛物线的标准方程为，直线的方程为（，且），联立，消去，得.设，则.所以，解得.所以抛物线的标准方程为.（2）假设在轴上存在定点，使，设，由（1），知.又，设直线的斜率分别为，则，，则直线的方程为，令，得，同理，得.故.由，得，即，故，解得或(负值舍去），即在轴的正半轴上存在定点，使，且定点的坐标为.点睛：圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．21. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，不等式恒成立，试求实数的取值范围.【答案】(1) 当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减(2)【解析】试题分析：（1）函数的定义域为..对a分类讨论，明确函数的单调性；（2）当时，不等式恒成立，即求的最小值大于等于零即可.试题解析：（1）函数的定义域为..①时，，故在区间上单调递增；②当时，令，得，令，得，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.综上所述，当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.（2）当时，由（1)，知函数在区间上单调递增，所以，所以恒成立，即符合题意.法一:当时，令，解得：，令，解得.①当时，，所以结合（1），知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且.令，恒成立，又，所以在区间上单调递增，所以存在，使得，即存在，使得，即当时，不符合题意.②当时，，即在区间上恒成立，所以函数在区间上单调递减，所以，显然不符合题意.综上所述，实数的取值范围为.法二：当时，令，，所以，取，故在上，，不合题意，舍去.综上所述，实数的取值范围为.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程是.（1）求直线的直角坐标方程与圆的普通方程；（2）点为直线上的一动点，过点作直线与圆相切于点，求四边形的面积的最小值. 【答案】(1) . (2) 四边形的面积的最小值为1【解析】试题分析：（1）根据，把直线的极坐标方程转化为直角坐标方程；根据平方关系，把圆的参数方程转化为普通方程；（2），而.即求的最小值即可.试题解析：（1）由，得，所以直线的直角坐标方程为.由（为参数）得，所以圆的普通方程为.（2）.由切线性质，可知.当时，取最小值，所以，所以，即四边形的面积的最小值为1.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数，不等式的解集为.（1）求集合；（2）证明：对于任意的，恒成立•【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）利用分析法证明不等式.试题解析：（1）不等式，即，当时，得，所以；当时，得，所以；当时，得，所以.综上，不等式的解集. （2）若证，即证，即证成立，即证，即证.∵，∴，或.∵，∴，∴，∴成立，即原命题得证.。
衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学(一)试题有答案-(高三)
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（一）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}02|>-=x x A ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛=121|xx B ，则（ ）A ．{}20|≤<=x xB A I B ．{}0|<=x x B A IC ．{}2|<=x x B A YD ．R B A =Y2.已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z 满足ai a i z +=+3，若复数z 是纯虚数，则（ ） A ．3=a B ．0=a C ．0≠a D ．0<a3.我国数学家邹元治利用下图证明了购股定理，该图中用勾()a 和股()b 分别表示直角三角形的两条直角边，用弦()c 来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（ ）A ．4925 B ．4924 C ．74 D ．754.已知等差数列()n a 的前n 项和为n S ，且π=69S ，则=5tan a （ ） A ．33 B ．3 C.3- D ．33- 5.已知函数())(R a xax x f ∈+=，则下列结论正确的是（ ） A ．)(,x f R a ∈∀在区间()∞+，0内单调递增 B ．)(,x f R a ∈∃在区间()∞+，0内单调递减 C.)(,x f R a ∈∃是偶函数D ．)(,x f R a ∈∃是奇函数，且()x f 在区间()∞+，0内单调递增 6.()()421x x -+的展开式中x 项的系数为（ ）A ．-16B ．16 C. 48 D ．-487.如图是某个集合体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ）A ．424++πB ．4242++π C. 2242++π D ．4222++π 8.若10,1<<<>b c a ，则下列不等式不正确的是（ ） A ．b a 20182018log log > B ．a a c b log log < C.bca c a a c a )()(->- D ．()()bca b c a b c ->-9.执行如图所示的程序框图，若输出的n 值为11，则判断框中的条件可以是（ ）A ．?1022<SB ．?2018<S C. ?4095<S D ．?4095>S 10.已知函数()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π≤ϕ>ϕϕ+ϖ=20)sin(2，x x f 的部分图象如图所示，将函数()x f 的图象向左平移12π个单位长度后，所得图象与函数)(x g y =的图象重合，则（ ）A ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=32sin 2x x g B ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=62sin 2x x g B ．C.()x x g 2sin 2= D ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=32sin 2x x g 11.已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，过点F 作斜率为1的直线l 交抛物线C 于Q P ,两点，则QFPF 11+的值为（ ） A ．21 B ．87C. 1 D ．2 12.已知数列{}n a 中，()*+∈+=-=N n a a a n a n n n ,1,211，若对于任意的[]*∈-∈N n a ,2,2，不等式12121-+<++at t n a n 恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][)+∞-∞-,22,Y B ．(][)+∞-∞-,12,Y C. (][)+∞-∞-,21,Y D ．[]2,2-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()()1,3,,1=λ=b a ，若向量b a -2与()2,1=c 共线，则向量a 在向量c 放心上的投影为 ．14.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤=+,1,2,4x y x y x 则13+-=y x z 的最大值是 ．15.过双曲线()0,012222>>=-b a bx a y 的下焦点1F 作y 轴的垂线，交双曲线于B A ,两点，若以AB 为直径的圆恰好过其上焦点2F ,则双曲线的离心率为 ．16.一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若B c C b A a cos cos cos 2+=. (1)求角A 的大小；(2)若点D 在边AC 上，且BD 是ABC ∠的平分线，4,2==BC AB ，求AD 的长.18. 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1CC 底面ABC ,且BC AC BC AC CC ⊥==,221,D 是棱AB 的中点，点M 在侧棱1CC 上运动.(1)当M 是棱1CC 的中点时，求证：//CD 平面1MAB ； (2)当直线AM 与平面ABC 所成的角的正切值为23时，求二面角11C MB A --的余弦值.19. 第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络"的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.(1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数； (2)从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人. ①记X 表示选取4人的成绩的平均数,求)87(≥X P ；②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数,求ξ的分布列和数学期望.20.已知椭圆 )0(12222>>=+b a b y a x C ：的左、右焦点分别为21,F F ,离心率为31，点P 在椭圆C 上，且21F PF ∆的面积的最大值为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线)0(2:≠+=k kx y l 与椭圆C 交于不同的两点N M ,，若在x 轴上存在点G ，使得GN GM =，求点G 的横坐标的取值范围.21. 设函数e R a a x a e x f x,),ln(2)(∈+--=为自然对数的底数.(1)若0>a ,且函数)(x f 在区间),0[+∞内单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若320<<a ，试判断函数)(x f 的零点个数. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为141622=+x y ，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3)3sin(=π+θρ. (1)求直线l 的直角坐标方程和椭圆C 的参数方程；(2)设),(y x M 为椭圆C 上任意一点，求132-+y x 的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数|2|)(-=x x f .(1)求不等式4)2()(≤++x f x f 的解集；(2)若)2()()(x f x f x g +-=的最大值为m ，对任意不想等的正实数b a ,，证明：||)()(b a m a bf b af -≥+.试卷答案一、选择题1-5: DBBCD 6-10: ABCCA 11、12：CA二、填空题13.0 14.31-15.21+ 16.π34 三、解答题17.解：(1)在ABC ∆中，∵B c C b A a cos cos cos 2+=, ∴由正弦定理，得B C C B A cos sin cos sin cos sin 2+=A CB sin )sin(=+=，∵0sin ≠A ，∴21cos =A ， ∵()π∈，0A ， ∴3π=A . (2)在ABC ∆中，由余弦定理得A AC AB AC AB BC cos 2222⋅-+=，即AC AC 24162-+=,解得131+=AC , 或131-=AC （负值，舍去）∵BD 是ABC ∠的平分线，4,2==BC AB ， ∴21==BC AB DC AD ,∴313131+==AC AD . 18.解：(1)取线段1AB 的中点E ，连结EM DE ,. ∵1,EB AE DB AD ==, ∴1//BB DE ，且121BB DE =. 又M 为1CC 的中点， ∴1//BB CM ,且121BB CM =. ∴DE CM //,且DE CM =. ∴四边形CDEM 是平行四边形.∴EM CD //.又⊂EM 平面⊄CD M AB ,1平面M AB 1, ∴//CD 平面1MAB .(2)∵1,,CC CB CA 两两垂直，∴以C 为原点，1,,CC CB CA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Cxyz ，如图,∵三棱柱111C B A ABC -中，⊥1CC 平面ABC ， ∴MAC ∠即为直线AM 与平面ABC 所成的角. 设1=AC ，则由23tan =∠MAC ，得23=CM . ∴()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0,0,2,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,01M B B A C . ∴()2,1,1,23,0,11-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=AB , 设平面1AMB 的一个法向量为()z y x n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,02,0231z y x n AB z x n AM 令2=z ，得1,3-==y x ，即)2,1,3(-=n . 又平面11B BCC 的一个法向量为)0,0,1(=, ∴14143|cos |=⋅=nCA n CA n CA , 又二面角11C MB A --的平面角为钝角， ∴二面角11C MB A --的余弦值为14143-. 19.解：(1)众数为76，中位数为76.抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人， 故从该校学生中人选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为32128=，故该校这次测试成绩在70分以上的约有2000323000=⨯（人） (2)①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94. 当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类. 一类是82，88，93，94，共1种； 另一类是76，88，93，94，共3种. 所以 3524087(48==≥C X p . ②由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3，4701)0(484404===ξC C C P , ()35870161483414====ξC C C P , 35187036)2(482424====ξC C C P ,()35870163481434====ξC C C P , 701)4(480444===ξC C C P . ξ的分别列为ξ1234P701358 3518 358 701 ()27043533523517010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E 20.解：(1)由已知得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==⨯⨯=,,22221,31222b a c b c a c解得1,8,9222===c b a ，∴椭圆C 的方程为18922=+y x . (2)设()()2211,,,y x N y x M ，MN 的中点为()00,y x E ，点()0,m G ，使得GN GM =, 则MN GE ⊥.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,189,222y x kx y 得()036369822=-++kx x k ，由0>∆，得R k ∈. ∴8936221+-=+k kx x ，∴89162,891820020+=+=+-=k kx y k k x . ∵,MN GE ⊥∴kk GE 1-=， 即k k k k 189180891622-=+--+，∴kk k k m 8928922+-=+-=. 当0>k 时，21289289=⨯≥+k k （当且仅当kk 89=，即322=k 时，取等号）， ∴0122<≤-m ； 当0>k 时，21289-≤+k k （当且仅当kk 89=，即322-=k 时，取等号），∴1220≤<m ， ∴点G 的横坐标的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-122,00,122U . 21.解：(1)∵函数()x f 在区间[)∞+，0内单调递增， ∴01)('≥+-=ax e x f x 在区间[)∞+，0内恒成立. 即x e a x -≥-在区间[)∞+，0内恒成立. 记()x ex g x-=-，则01)('<--=-x e x g 恒成立，∴()x g 在区间[)∞+，0内单调递减, ∴()()10=≤g x g ，∴1≥a ，即实数a 的取值范围为[)∞+，1. (2)∵320<<a ，ax e x f x +-=1)('， 记)(')(x f x h =，则()01)('2>++=a x e x h x，知)('x f 在区间()+∞-,a 内单调递增. 又∵011)0('<-=a f ，01)1('>+-=aa e f ， ∴)('x f 在区间()+∞-,a 内存在唯一的零点0x ， 即01)('000=+-=ax e x f x， 于是ax ex +=01，()a x x +-=00ln . 当0x x a <<-时，)(,0)('x f x f <单调递减； 当0x x >时，)(,0)('x f x f >单调递增. ∴()())ln(200min 0a x a ex f x f x +--==a a ax a x x a a x 3231210000-≥-+++=+-+=， 当且仅当10=+a x 时，取等号. 由320<<a ，得032>-a ， ∴()()00min >=x f x f ，即函数()x f 没有零点. 22.解：(1)由33sin =⎪⎭⎫⎝⎛π+θρ， 得3cos 23sin 21=θρ+θρ， 将θρ=θρ=sin ,cos y x 代入，得直线l 的直角坐标方程为063=-+y x . 椭圆C 的参数方程为ϕ⎩⎨⎧ϕ=ϕ=(sin 4,cos 2y x 为参数）.(2)因为点M 在椭圆C 上， 所以设)sin 4,cos 2(ϕϕM ，则1sin 4cos 34132-ϕ+ϕ=-+y x913sin 8≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛π+ϕ=，当且仅当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛π+ϕ时，取等号， 所以9132max=-+y x .23.解：(1)不等式()4)2(≤++x f x f ，即42≤+-x x ， 此不等式等价于⎩⎨⎧≤--≤,42,0x x x或⎩⎨⎧≤+-≤<,42,20x x x 或⎩⎨⎧≤+->.42,2x x x解得01≤≤-x ，或20≤<x ，或32≤<x .所以不等式()4)2(≤++x f x f 的解集为{}31|≤≤-x x . (2)()|||2|)2()(x x x f x f x f --=+-=， 因为()2|2|2=--≤--x x x x ， 当且仅当0≤x 时，取等号， 所以()2≤x g ，即2=m ， 因为b a ,为正实数，所以()()22-+-=+a b b a a bf b af()()b ab a ab b ab a ab 2222---≥-+-= b a m b a -=-=2，当且仅当()()022≤--a b 时，取等号. 即()()()||b a m a bf b af -≥+.。
2018届河北省衡水金卷全国高三大联考理科数学试题(解析版)
2018届河北省衡水金卷全国高三大联考理科数学试题（解析版）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则 ( )A. B.C. D.【答案】C【解析】.所以,.故选C.2. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则为( )A. 2B. -3C.D. 3【答案】B【解析】.故的虚部为-3，即.故选B.3. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则( )A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】由，得，故.故选C.4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )A. B. C. D.【解析】根据题意，可估计军旗的面积大约是.故选B.5. 已知双曲线：的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】圆：的圆心为，双曲线的渐近线为.依题意得.故其离心率为.故选A.6. 已知数列为等比数列，且，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，得，所以.由,得，或（由于与同号，故舍去）.所以..故选A.7. 执行如图的程序框图，若输出的的值为-10，则①中应填( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由图，可知.故①中应填.8. 已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则，，间的大小关系是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意得，令.则为内的偶函数，当时，.所以在内单调递减.又，，.故，选D.9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是一个半圆柱与一个地面是等腰直角三角形的三棱锥构成的组合体，故其体积.故选A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10. 已知函数的部分图象如图所示，其中.记命题：，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象.则以下判断正确的是( )A. 为真B. 为假C. 为真D. 为真【答案】D【解析】由，可得.解得.因为，所以，故为真命题；将图象所有点向右平移个单位，..............................所以为假，为真，为假，为真.故选D.11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】令，得，即.由抛物线的光学性质可知经过焦点，设直线的方程为，代入.消去，得.则，所以..将代入得，故.故.故的周长为.故选B.点睛：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.12. 已知数列与的前项和分别为，，且，，，若恒成立，则的最小值是( )A. B. C. 49 D.【答案】B【解析】当时，，解得或.由得.由，得.两式相减得.所以.因为，所以.即数列是以3为首项，3为公差的等差数列，所以.所以.所以.要使恒成立，只需.故选B.点睛：由和求通项公式的一般方法为.数列求和的常用方法有：公式法；分组求和；错位相减法；倒序相加法；裂项相消法；并项求和.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13. 已知在中，，，若边的中点的坐标为，点的坐标为，则__________．【答案】1【解析】依题意，得，故是以为底边的等腰三角形，故，所以.所以.14. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为，，则的最小值为__________．【答案】16【解析】显然.令，得.所以.当且仅当.即时，取等号，此时的最小值为16.15. 已知，满足其中，若的最大值与最小值分别为，，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】作出可行域如图所示（如图阴影部分所示）设，作出直线，当直线过点时，取得最小值；当直线过点时，取得最大值.即，当或时，.当时，.所以，解得.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为__________．【答案】【解析】设的中点为，如图，由，且为直角三角形，得.由等体积法，知.即，解得.故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数，.（Ⅰ）求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，求的面积.【答案】（1）最小正周期，对称轴方程为；（2）.【解析】试题分析：（1）化简函数得，其最小正周期，令即可解得对称轴；（2）由，解得，由正弦定理及，得，利用即可得解. 试题解析：（1）原式可化为，，，，故其最小正周期，令，解得，即函数图象的对称轴方程为，.（2）由（1），知，因为，所以.又，故得，解得.由正弦定理及，得.故.18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，侧面平面，且，动点在棱上，且.（1）试探究的值，使平面，并给予证明；（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连接交于点，连接通过证得，即可证得平面；（2）取的中点,连接，可得两两垂直，建立空间直角坐标系，设与平面所成的角为，则，为平面的一个法向量.试题解析：（1）当时，平面.证明如下：连接交于点，连接.∵，∴.∵，∴.∴.又∵平面，平面，∴平面.（2）取的中点,连接.则.∵平面平面，平面平面，且，∴平面.∵，且，∴四边形为平行四边形，∴.又∵，∴.由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，.当时，有，∴可得.∴，，.设平面的一个法向量为，则有即令，得，.即.设与平面所成的角为，则.∴当时，直线与平面所成的角的正弦值为.点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？（Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：【答案】（1）见解析；（2）①，②见解析.【解析】试题分析：（1）计算的值，进而可查表下结论；（2）①由分层抽样的抽样比计算即可；②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为，由题意得.试题解析：（1）由列联表可知的观测值，.所以不能在犯错误的概率不超过的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关.（2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），偶尔或不用网络外卖的有（人）.则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为.②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为.由题意得，所以；.20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为点，，其离心率为，短轴长为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，过点的直线与椭圆交于，两点，且，证明：四边形不可能是菱形.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由，及，可得方程；（2）易知直线不能平行于轴，所以令直线的方程为与椭圆联立得，令直线的方程为，可得，进而由是菱形，则，即，于是有由韦达定理代入知无解.试题解析：（1）由已知，得，，又，故解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1），知，如图，易知直线不能平行于轴.所以令直线的方程为，，.联立方程，得，所以，.此时，同理，令直线的方程为，，，此时，，此时.故.所以四边形是平行四边形.若是菱形，则，即，于是有.又，，所以有，整理得到，即，上述关于的方程显然没有实数解，故四边形不可能是菱形.21. 已知函数，其中为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论函数的单调性及极值；（Ⅱ）若不等式在内恒成立，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）函数求导得，讨论和演技单调性及极值即可；（2）当时，在内单调递增，可知在内不恒成立，当时，，即，所以.令，进而通过求导即可得最值.试题解析：（1）由题意得.当，即时，，在内单调递增，没有极值.当，即，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故当时，取得最小值，无极大值.综上所述，当时，在内单调递增，没有极值；当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值.（2）由（1），知当时，在内单调递增，当时，成立.当时，令为和中较小的数，所以，且.则，.所以，与恒成立矛盾，应舍去.当时，，即，所以.令，则.令，得，令，得，故在区间内单调递增，在区间内单调递减.故，即当时，.所以.所以.而，所以.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（，为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；（Ⅱ）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）将直线的极坐标方程化为普通方程，进而由圆的参数方程得曲线上的点到直线的距离，，利用三角函数求最值即可；（2）曲线上的所有点均在直线的下方，即为对，有恒成立，即（其中）恒成立，进而得.试题解析：（1）直线的直角坐标方程为.曲线上的点到直线的距离，，当时，，即曲线上的点到直线的距离的最大值为.（2）∵曲线上的所有点均在直线的下方，∴对，有恒成立，即（其中）恒成立，∴.又，∴解得，∴实数的取值范围为.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）记函数的值域为，若，证明：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）分段去绝对值解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式得..用作差法比较大小得到，即可证得.试题解析：（1）依题意，得于是得或或解得.即不等式的解集为.（2），当且仅当时，取等号，∴.原不等式等价于，.∵，∴，.∴.∴.。
衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学(一)试题-有答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（一）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}02|>-=x x A ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛=121|xx B ，则（ ）A ．{}20|≤<=x xB A B ．{}0|<=x x B AC ．{}2|<=x x B AD ．R B A =2.已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z 满足ai a i z +=+3，若复数z 是纯虚数，则（ ） A ．3=a B ．0=a C ．0≠a D ．0<a3.我国数学家邹元治利用下图证明了购股定理，该图中用勾()a 和股()b 分别表示直角三角形的两条直角边，用弦()c 来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（ ）A ．4925 B ．4924 C ．74 D ．754.已知等差数列()n a 的前n 项和为n S ，且π=69S ，则=5tan a （ ） A ．33 B ．3 C.3- D ．33- 5.已知函数())(R a xax x f ∈+=，则下列结论正确的是（ ） A ．)(,x f R a ∈∀在区间()∞+，0内单调递增 B ．)(,x f R a ∈∃在区间()∞+，0内单调递减 C.)(,x f R a ∈∃是偶函数D ．)(,x f R a ∈∃是奇函数，且()x f 在区间()∞+，0内单调递增 6.()()421x x -+的展开式中x 项的系数为（ ）A ．-16B ．16 C. 48 D ．-487.如图是某个集合体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ）A ．424++πB ．4242++π C. 2242++π D ．4222++π 8.若10,1<<<>b c a ，则下列不等式不正确的是（ ） A ．b a 20182018log log > B ．a a c b log log < C.bca c a a c a )()(->- D ．()()bca b c a b c ->-9.执行如图所示的程序框图，若输出的n 值为11，则判断框中的条件可以是（ ）A ．?1022<SB ．?2018<S C. ?4095<S D ．?4095>S 10.已知函数()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π≤ϕ>ϕϕ+ϖ=20)sin(2，x x f 的部分图象如图所示，将函数()x f 的图象向左平移12π个单位长度后，所得图象与函数)(x g y =的图象重合，则（ ）A ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=32sin 2x x g B ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛π+=62sin 2x x g B ．C.()x x g 2sin 2= D ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=32sin 2x x g 11.已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，过点F 作斜率为1的直线l 交抛物线C 于Q P ,两点，则QFPF 11+的值为（ ） A ．21 B ．87C. 1 D ．2 12.已知数列{}n a 中，()*+∈+=-=N n a a a n a n n n ,1,211，若对于任意的[]*∈-∈N n a ,2,2，不等式12121-+<++at t n a n 恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][)+∞-∞-,22, B ．(][)+∞-∞-,12, C. (][)+∞-∞-,21, D ．[]2,2-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()()1,3,,1=λ=b a ，若向量b a -2与()2,1=c 共线，则向量a 在向量c 放心上的投影为 ．14.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤=+,1,2,4x y x y x 则13+-=y x z 的最大值是 ．15.过双曲线()0,012222>>=-b a bx a y 的下焦点1F 作y 轴的垂线，交双曲线于B A ,两点，若以AB 为直径的圆恰好过其上焦点2F ,则双曲线的离心率为 ．16.一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若B c C b A a cos cos cos 2+=. (1)求角A 的大小；(2)若点D 在边AC 上，且BD 是ABC ∠的平分线，4,2==BC AB ，求AD 的长.18. 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1CC 底面ABC ,且BC AC BC AC CC ⊥==,221,D 是棱AB 的中点，点M 在侧棱1CC 上运动.(1)当M 是棱1CC 的中点时，求证：//CD 平面1MAB ； (2)当直线AM 与平面ABC 所成的角的正切值为23时，求二面角11C MB A --的余弦值.19. 第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络"的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示. (1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数； (2)从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人. ①记X 表示选取4人的成绩的平均数,求)87(≥X P ；②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数,求ξ的分布列和数学期望.20.已知椭圆 )0(12222>>=+b a b y a x C ：的左、右焦点分别为21,F F ,离心率为31，点P 在椭圆C 上，且21F PF ∆的面积的最大值为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线)0(2:≠+=k kx y l 与椭圆C 交于不同的两点N M ,，若在x 轴上存在点G ，使得GN GM =，求点G 的横坐标的取值范围.21. 设函数e R a a x a e x f x,),ln(2)(∈+--=为自然对数的底数.(1)若0>a ,且函数)(x f 在区间),0[+∞内单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若320<<a ，试判断函数)(x f 的零点个数. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为141622=+x y ，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3)3sin(=π+θρ. (1)求直线l 的直角坐标方程和椭圆C 的参数方程；(2)设),(y x M 为椭圆C 上任意一点，求132-+y x 的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数|2|)(-=x x f .(1)求不等式4)2()(≤++x f x f 的解集；(2)若)2()()(x f x f x g +-=的最大值为m ，对任意不想等的正实数b a ,，证明：||)()(b a m a bf b af -≥+.试卷答案一、选择题1-5: DBBCD 6-10: ABCCA 11、12：CA二、填空题13.0 14.31-15.21+ 16.π34 三、解答题17.解：(1)在ABC ∆中，∵B c C b A a cos cos cos 2+=, ∴由正弦定理，得B C C B A cos sin cos sin cos sin 2+=A CB sin )sin(=+=，∵0sin ≠A ，∴21cos =A ， ∵()π∈，0A ， ∴3π=A . (2)在ABC ∆中，由余弦定理得A AC AB AC AB BC cos 2222⋅-+=，即AC AC 24162-+=,解得131+=AC , 或131-=AC （负值，舍去）∵BD 是ABC ∠的平分线，4,2==BC AB ， ∴21==BC AB DC AD ,∴313131+==AC AD . 18.解：(1)取线段1AB 的中点E ，连结EM DE ,. ∵1,EB AE DB AD ==, ∴1//BB DE ，且121BB DE =. 又M 为1CC 的中点， ∴1//BB CM ,且121BB CM =. ∴DE CM //,且DE CM =. ∴四边形CDEM 是平行四边形. ∴EM CD //.又⊂EM 平面⊄CD M AB ,1平面M AB 1, ∴//CD 平面1MAB .(2)∵1,,CC CB CA 两两垂直，∴以C 为原点，1,,CC CB CA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Cxyz ，如图,∵三棱柱111C B A ABC -中，⊥1CC 平面ABC ， ∴MAC ∠即为直线AM 与平面ABC 所成的角. 设1=AC ，则由23tan =∠MAC ，得23=CM . ∴()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0,0,2,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,01M B B A C . ∴()2,1,1,23,0,11-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=AB AM , 设平面1AMB 的一个法向量为()z y x n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,02,0231z y x n AB z x n 令2=z ，得1,3-==y x ，即)2,1,3(-=n . 又平面11B BCC 的一个法向量为)0,0,1(=,∴14143||==n , 又二面角11C MB A --的平面角为钝角， ∴二面角11C MB A --的余弦值为14143-. 19.解：(1)众数为76，中位数为76.抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人， 故从该校学生中人选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为32128=，故该校这次测试成绩在70分以上的约有2000323000=⨯（人） (2)①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94. 当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类. 一类是82，88，93，94，共1种； 另一类是76，88，93，94，共3种. 所以 3524087(48==≥C X p . ②由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3，4701)0(484404===ξC C C P , ()35870161483414====ξC C C P ,35187036)2(482424====ξC C C P ,()35870163481434====ξC C C P , 701)4(480444===ξC C C P . ξ的分别列为()27043533523517010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E 20.解：(1)由已知得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==⨯⨯=,,22221,31222b a c b c a c解得1,8,9222===c b a ，∴椭圆C 的方程为18922=+y x . (2)设()()2211,,,y x N y x M ，MN 的中点为()00,y x E ，点()0,m G ，使得GN GM =, 则MN GE ⊥.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,189,222y x kx y 得()036369822=-++kx x k ，由0>∆，得R k ∈. ∴8936221+-=+k kx x ，∴89162,891820020+=+=+-=k kx y k k x . ∵,MN GE ⊥∴kk GE 1-=， 即k k k k 189180891622-=+--+，∴kk k k m 8928922+-=+-=. 当0>k 时，21289289=⨯≥+k k （当且仅当kk 89=，即322=k 时，取等号）， ∴0122<≤-m ； 当0>k 时，21289-≤+k k （当且仅当kk 89=，即322-=k 时，取等号），∴1220≤<m ， ∴点G 的横坐标的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-122,00,122U . 21.解：(1)∵函数()x f 在区间[)∞+，0内单调递增， ∴01)('≥+-=ax e x f x 在区间[)∞+，0内恒成立. 即x e a x -≥-在区间[)∞+，0内恒成立. 记()x ex g x-=-，则01)('<--=-x e x g 恒成立，∴()x g 在区间[)∞+，0内单调递减, ∴()()10=≤g x g ，∴1≥a ，即实数a 的取值范围为[)∞+，1. (2)∵320<<a ，ax e x f x +-=1)('， 记)(')(x f x h =，则()01)('2>++=a x e x h x，知)('x f 在区间()+∞-,a 内单调递增. 又∵011)0('<-=a f ，01)1('>+-=aa e f ， ∴)('x f 在区间()+∞-,a 内存在唯一的零点0x ， 即01)('000=+-=ax e x f x， 于是ax ex +=01，()a x x +-=00ln . 当0x x a <<-时，)(,0)('x f x f <单调递减； 当0x x >时，)(,0)('x f x f >单调递增. ∴()())ln(200min 0a x a ex f x f x +--==a a ax a x x a a x 3231210000-≥-+++=+-+=， 当且仅当10=+a x 时，取等号. 由320<<a ，得032>-a ， ∴()()00min >=x f x f ，即函数()x f 没有零点. 22.解：(1)由33sin =⎪⎭⎫⎝⎛π+θρ， 得3cos 23sin 21=θρ+θρ， 将θρ=θρ=sin ,cos y x 代入，得直线l 的直角坐标方程为063=-+y x . 椭圆C 的参数方程为ϕ⎩⎨⎧ϕ=ϕ=(sin 4,cos 2y x 为参数）.(2)因为点M 在椭圆C 上， 所以设)sin 4,cos 2(ϕϕM ，则1sin 4cos 34132-ϕ+ϕ=-+y x913sin 8≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛π+ϕ=，当且仅当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛π+ϕ时，取等号， 所以9132max=-+y x .23.解：(1)不等式()4)2(≤++x f x f ，即42≤+-x x ， 此不等式等价于⎩⎨⎧≤--≤,42,0x x x或⎩⎨⎧≤+-≤<,42,20x x x 或⎩⎨⎧≤+->.42,2x x x解得01≤≤-x ，或20≤<x ，或32≤<x .所以不等式()4)2(≤++x f x f 的解集为{}31|≤≤-x x . (2)()|||2|)2()(x x x f x f x f --=+-=， 因为()2|2|2=--≤--x x x x ， 当且仅当0≤x 时，取等号， 所以()2≤x g ，即2=m ， 因为b a ,为正实数，所以()()22-+-=+a b b a a bf b af()()b ab a ab b ab a ab 2222---≥-+-= b a m b a -=-=2，当且仅当()()022≤--a b 时，取等号. 即()()()||b a m a bf b af -≥+.。
衡水金卷2018届全国高三大联考理科数学试题含答案
金卷 2018 届全国高三大联考理科第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则 ( )A.B.C.D.【答案】C【解析】.所以,.故选 C.2. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则 为( )A. 2 B. -3 C. D. 3【答案】B【解析】.故的虚部为-3，即.故选 B.3. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则( )A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】由，得，故.故选 C.4. 2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚 8 克圆形金质纪念币，直径 22mm，面额 100 元.为了测算图中军旗部分的面积，现用 1 粒芝麻向硬币投掷 100 次，其中恰有 30 次落在军旗，据此可估计军旗的面积大约是( )A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意，可估计军旗的面积大约是. 故选 B.5. 已知双曲线 ：的渐近线经过圆 ：的圆心，则双曲线 的离心率为( )A.B.C. 2 D.【答案】A【解析】圆 ：的圆心为 ，双曲线 的渐近线为 .依题意得 .故其离心率为.故选 A.6. 已知数列 为等比数列，且，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】依题意，得，所以 .由 ,得 ，或 （由于 与 同号，故舍去）.所以..故选 A.7. 执行如图的程序框图，若输出的 的值为-10，则①中应填()A.B.C.D.【答案】C【解析】由图，可知.故①中应填 .故选 C.8. 已知函数 为 的奇函数，且当 时，，记，， ，则 ， ， 间的大小关系是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】根据题意得，令.则为 的偶函数，当 时，.所以 在 单调递减.又，，.故 ，选 D.9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )A.B.C.D.【答案】A 【解析】由三视图可知该几何体是一个半圆柱与一个地面是等腰直角三角形的三棱锥构成的组合体，故其体积.故选 A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10. 已知函数的部分图象如图所示，其中 .记命题 ：，命题 ：将 的图象向右平移 个单位，得到函数的图象.则以下判断正确的是()A. 为真 B. 为假 C.为真 D.为真【答案】D【解析】由 ，可得 因为 ，所以.解得 . ，故 为真命题；将 图象所有点向右平移 个单位，.............................. 所以 为假， 为真，为假，为真.故选 D.11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线 的焦点为 ，一条平行于 轴的光线从点 射出，经过抛物线上的点 反射后，再经抛物线上的另一点 射出，则 的周长为 ( )A.B.C.D.【答案】B【解析】令 ，得 ，即 .由抛物线的光学性质可知 经过焦点 ，设直线 的方程为，代入 .消去 ，得.则 ，所以..将 代入 得 ，故 .故.故 的周长为.故选 B.点睛：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.12. 已知数列 与 的前 项和分别为 ， ，且 ，，，若恒成立，则 的最小值是( )A. B. C. 49 D.【答案】B【解析】当 时，，解得由 得 .由，得两式相减得.所以.因为 ，所以.或. .即数列 是以 3 为首项，3 为公差的等差数列，所以 .所以.所以.要使恒成立，只需 .故选 B.点睛：由 和 求通项公式的一般方法为.数列求和的常用方法有：公式法；分组求和；错位相减法；倒序相加法；裂项相消法；并项求和.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分.13. 已知在 中，，，若边 的中点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则 __________．【答案】1【解析】依题意，得，故 是以 为底边的等腰三角形，故，所以.所以 .14. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为 ， ，则 的最小值为__________．【答案】16【解析】显然 .令 ，得 .所以.当且仅当 .即 时，取等号，此时的最小值为 16.15. 已知 ， 满足其中 ，若的最大值与最小值分别为 ， ，则实数的取值围为__________． 【答案】 【解析】作出可行域如图所示（如图阴影部分所示）设 ，作出直线，当直线过点 时， 取得最小值 ；当直线过点 时， 取得最大值 .即，当 或 时，.当 时，.所以，解得.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥 称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑 中， 平面 ，，则该鳖臑的外接球与切球的表面积之和为 __________． 【答案】 【解析】设 的中点为 ，如图，由，且 为直角三角形，得.由等体积法，知.即，解得 .故该鳖臑的外接球与切球的表面积之和为.三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数，.（Ⅰ）求函数 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知，，，求 的面积.【答案】（1）最小正周期，对称轴方程为；（2） .【解析】试题分析：（1）化简函数得，其最小正周期，令即可解得对称轴；（2）由，解得 ，由正弦定理及，得，利用即可得解.试题解析：（1）原式可化为，，，，故其最小正周期，令，解得，即函数 图象的对称轴方程为，.（2）由（1），知，因为 ，所以.又，故得，解得 .由正弦定理及，得.故.18. 如图，在四棱锥中，底面 为直角梯形，其中，侧面 平面 ，且，动点 在棱 上，且.（1）试探究 的值，使 平面 ，并给予证明；（2）当 时，求直线 与平面 所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）连接 交 于点 ，连接 通过证得 ，即可证得 平面 ；（2）取 的中点 ,连接 ，可得两两垂直，建立空间直角坐标系，设 与平面 所成的角为 ，则， 为平面 的一个法向量.试题解析：（1）当 时， 平面 .证明如下：连接 交 于点 ，连接 .∵，∴.∵，∴.∴.又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .（2）取 的中点 ,连接 .则.∵平面 平面 ，平面 平面，且，∴ 平面 .∵ ，且，∴四边形 为平行四边形，∴ .又∵，∴ .由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 .则，，，，，.当 时，有 ，∴可得 .∴，，.设平面 的一个法向量为，则有即令 ，得 ， .即.设 与平面 所成的角为 ，则.∴当 时，直线 与平面 所成的角的正弦值为 .点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网 购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一 部分.为了解网络外卖在 市的普及情况， 市某调查机构借 助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网 民中抽取了 200 人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用网络外卖的情况与性别有关？（Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5 人，再从这 5 人中随机选出 3 人赠送外卖优惠卷，求选出的 3 人中至少有 2 人经常使用网络外卖的概率②将频率视为概率，从 市所有参与调查的网民中随机抽取10 人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为 ，求 的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：【答案】（1）见解析；（2）① ，②见解析. 【解析】试题分析：（1）计算 的值，进而可查表下结论；（2）①由分层抽样的抽样比计算即可；②由 列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从 市市民中任意抽取 1 人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为 ，由题意得.试题解析：（1）由列联表可知 的观测值，.所以不能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用网络外卖情况与性别有关.（2）①依题意，可知所抽取的 5 名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），偶尔或不用网络外卖的有（人）.则选出的 3 人中至少有 2 人经常使用网络外卖的概率为.②由 列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从 市市民中任意抽取 1 人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为 .由题意得，所以；.20. 已知椭圆 ：的左、右焦点分别为点 ， ，其离心率为 ，短轴长为 .（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；（Ⅱ）过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，且 ，证明：四边形 不可能是菱形.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由 ， 及，可得方程；（2）易知直线 不能平行于 轴，所以令直线 的方程为与椭圆联立得，令直线 的方程为，可得，进而由 是菱形，则，即，于是有由韦达定理代入知无解.试题解析：（1）由已知，得 ， ，又，故解得，所以椭圆 的标准方程为.（2）由（1），知 ，如图，易知直线 不能平行于 轴.所以令直线 的方程为，，.联立方程，得，所以，.此时，同理，令直线 的方程为，，，此时，，此时.故.所以四边形 是平行四边形.若 是菱形，则，即，于是有.又，，所以有，整理得到，即，上述关于 的方程显然没有实数解，故四边形 不可能是菱形.21. 已知函数，其中 为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论函数 的单调性及极值；（Ⅱ）若不等式 在 恒成立，求证： .【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）函数求导得，讨论和 演技单调性及极值即可；（2）当 时， 在 单调递增，可知 在 不恒成立，当 时，，即，所以.令，进而通过求导即可得最值.试题解析：（1）由题意得.当 ，即 时， ， 在 单调递增，没有极值.当 ，即 ，令 ，得，当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增，故当时， 取得最小值，无极大值.综上所述，当 时， 在 单调递增，没有极值；当 时， 在区间单调递减，在区间单调递增， 的极小值为，无极大值.（2）由（1），知当 时， 在 单调递增，当 时，成立.当 时，令 为 和 中较小的数，所以 ，且 .则，.所以，与 恒成立矛盾，应舍去.当 时，，即，所以.令，则.令 ，得，令 ，得 ，故 在区间 单调递增，在区间 单调递减.故，即当时，.所以.所以 .而，所以 .点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若 恒成立；（3）若恒成立，可转化为请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为（ ， 为参数）.以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）当 时，求曲线 上的点到直线的距离的最大值；（Ⅱ）若曲线 上的所有点都在直线的下方，数的取值围.【答案】（1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）将直线的极坐标方程化为普通方程，进而由圆的参数方程得曲线 上的点到直线的距离，，利用三角函数求最值即可；（2）曲线 上的所有点均在直线的下方，即为对 ，有恒成立，即（其中 ）恒成立，进而得.试题解析：（1）直线的直角坐标方程为.曲线 上的点到直线的距离，，当时，，即曲线 上的点到直线的距离的最大值为 .（2）∵曲线 上的所有点均在直线的下方，∴对 ，有恒成立，即（其中 ）恒成立，∴.又 ，∴解得，∴实数的取值围为 .23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式 ；（Ⅱ）记函数的值域为 ，若 ，证明：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）分段去绝对值解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式得 ..用作差法比较大小得到，即可证得.试题解析：（1）依题意，得于是得或或解得.即不等式的解集为.（2），当且仅当时，取等号，∴.原不等式等价于，. ∵，∴，.∴.∴.。
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【衡水金卷】2018年衡水金卷调研卷全国卷I A模拟试题（二）
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 已知是虚数单位，复数满足，则（）
A. B. C. D. 5
3. 已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如下表所示：
若满足回归方程，则以下为真命题的是（）
A. 每增加1个单位长度，则一定增加1.5个单位长度
B. 每增加1个单位长度，就减少1.5个单位长度
C. 所有样本点的中心为
D. 当时，的预测值为13.5
4. 已知点为椭圆：上一点，是椭圆的两个焦点，如的内切圆的直径为3，则此椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
5. 如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若
，则的最小值为（）
A. 4
B.
C.
D. 6
6. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球的体积为（）
A. B. C. D.
7. “”是“函数与函数在区间上的单调性相同”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也
不必要条件
8. 执行如图所示的程序框图，若输出，则判断框内应填的内容是（）
A. B. C. D.
9. 如图所示，直线为双曲线：的一条渐近线，是双曲线的左、右焦点，关于直线的对称点为，且是以为圆心，以半焦距为半径的圆上的一点，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. 2 D. 3
10. 某单位现需要将“先进个人”、“业务精英”、“道德模范”、“新长征突击手”、“年度优秀员工”5种荣誉分配给3个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人，则不同的分配方法共有（）
A. 114种
B. 150种
C. 120种
D. 118种
11. 如图，正方体的对角线上存在一动点，过点作垂直于平面
的直线，与正方体表面相交于两点.设，的面积为，则当点由
点运动到的中点时，函数的图象大致是（）
A. B. C. D.
12. 已知为函数的导函数，当是斜率为的质询案的倾斜角时，若不等式恒成立，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知函数，则其最小正周期为_______.
14. 过，两点的光线经轴反射后所在直线与圆存在公共点，则实数的取值范围为_______.
15. 如图，将正方形沿着边抬起到一定位置得到正方形，并使得平面
与平面所成的二面角为，为正方形内一条直线，则直线与所成角的取值范围为_______.
16. 已知菱形，为的中点，且，则菱形面积的最大值为_______.
三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18. 如图所示，已知三棱锥中，底面是等边三角形，且，
分别是的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
19. 伴随着智能手机的深入普及，支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒，有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50人，对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如下表：
（1）若以“年龄55岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关；
（2）若从年龄在，内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为.
①求随机变量的分布列；
②求随机变量的数学期望.
参考数据如下：
0.05 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
参考格式：，其中
20. 已知点，过点作与轴平行的直线，点为动点在直线上的投影，且满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知点为曲线上的一点，且曲线在点处的切线为，若与直线相交于点，试探究在轴上是否存在点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.
21. 已知函数.
（1）若函数，试研究函数的极值情况；
（2）记函数在区间内的零点为，记，若在
区间内有两个不等实根，证明：.
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知圆：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆的极坐标方程.
（1）分别写出圆的普通方程与圆的直角坐标方程；
（2）设圆与圆的公共弦的端点为，圆的圆心为，求的面积. 23. 选修4-5：不等式选讲
已知均为正实数，且.
（1）求的最大值；
（2）求的最大值.。