数学建模作业1(长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗)知识交流
椅子（四条腿的椅脚连线呈长方形）能在不平的地面上放稳吗？
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来。
椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同，当距离为0时，就是椅子四只脚着地，所以这个距离就是椅子位置变量θ的函数。
虽椅子有四只脚，四个距离，但由长方形是中心对称图形可用两个距离函数就行了。
A,C 两脚与地面的距离之和为()f θB,D 两脚与地面的距离之和为()g θ由假设2知道地面为连续曲面所以()f θ，()g θ是连续函数。
由假设3可得对于任意的θ，()f θ，()g θ至少一个为0。
可以假设(0)f =0，(0)g 〉0，而当椅子旋转180度后，对角线AC ，BD 互换，于是()f π〉0，()g π=0。
这样，改变椅子的位置使四只脚着地，就归结为证明如下的数学问题：已知()f θ，()g θ是θ的连续函数， 对任意的θ，()f θ*()g θ=0，而且()(0)0f g π==， (0)0,()0f g π>>。
证明存在0θ，使(0)(0)0f g θθ==。
五、模型求解（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）令()()()h f g θθθ=-，则(0)0h <和()0h π>。
由f 和g 的连续性知h 也是连续函数。
根据连续函数的基本性质，比存在0(0)θθπ<<使得(0)0h θ=，即(0)(0)f g θθ=。
最后因为(0)*(0)0f g θθ=，所以(0)(0)0f g θθ==。
文案 编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。
现在指的是公司或企业中从事文字工作的职位，就是以文字来表现已经制定的创意策略。
文案它不同于设计师用画面或其他手段的表现手法，它是一个与广告创意先后相继的表现的过程、发展的过程、深化的过程，多存在于广告公司，企业宣传，新闻策划等。
基本信息中文名称文案外文名称Copy目录1发展历程2主要工作3分类构成4基本要求5工作范围6文案写法7实际应用折叠编辑本段发展历程汉字"文案"(wén àn)是指古代官衙中掌管档案、负责起草文书的幕友,亦指官署中的公文、书信等;在现代，文案的称呼主要用在商业领域，其意义与中国古代所说的文案是有区别的。
生活中的若干建模实例3
p1 p2 这时不公平程度可用 来衡量。 n1 n2 如 p1 120, p2 100, n1 n2 10 p1 p2 则 2 n1 n2
又如 p1 1020, p2 1000, n1 n2 10
pபைடு நூலகம் p2 不妨设 > n1 n2
p1 p2 则 2 n1 n2
显然 p1 - p2 只是衡量的不公平的绝对程度，但是
Q1最大，于是这1席应分给甲系.
Q3最大，于是这1席应分给丙系.
评注
1.席位的分配应对各方都要公平 2.解决问题 的关键在于建立衡量公平程度既合 理又简明的数量指标。 这个模型提出的相对不公平值 它是确定分配方案的前提.
rA , rB
§3 双层玻璃窗的功效问题
我们注意到北方有些建筑物的窗户是双层的，即 窗户装两层玻璃且中间留有一定空隙，如图所示 墙 墙
当总席位增加1席时,计算
Qi p i2 ni ( ni 1) , i =1,2， ，m
则增加的一席应分配给Q值大的一方. 这种席位分配的方法称为Q值法. 下面用Q值法重新讨论本节开始提出的甲乙 丙三系分配21个席位的问题.
先按照比例将整数部分的19 席分配完毕,有
n1 10，n2 6，n3 3
由假设（3），任何位置至少有三只脚着地，所以 对于任意的θ， f ( ), g( ) 至少有一个为0.
当θ=0时，不妨设
g(0) 0, f (0) 0
这样改变椅子的位置使四只脚同时着地就归结 为证明如下的数学命题：
已知f ( )和g ( )都是 的连续函数，对任意 ， f ( ) g ( ) 0且g ( 0) 0，f ( 0) 0，则存在 0使 f ( 0 ) g ( 0 ) 0
椅子(四条腿的椅脚连线呈长方形)能在不平的地面上放稳吗？
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来。
椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同，当距离为0时，就是椅子四只脚着地，所以这个距离就是椅子位置变量θ的函数。
虽椅子有四只脚，四个距离，但由长方形是中心对称图形可用两个距离函数就行了。
A,C 两脚与地面的距离之和为()f θ
B,D 两脚与地面的距离之和为()g θ
由假设2知道地面为连续曲面所以()f θ，()g θ是连续函数。
由假设3可得对于任意的θ，()f θ，()g θ至少一个为0。
可以假设(0)f =0，(0)g 〉0，而当椅子旋转180度后，对角线AC ，BD 互换，于是()f π〉0，()g π=0。
这样，改变椅子的位置使四只脚着地，就归结为证明如下的数学问题：
已知()f θ，()g θ是θ的连续函数， 对任意的θ，()f θ*()g θ=0，而且()(0)0f g π==， (0)0,()0f g π>>。
证明存在0θ，使(0)(0)0f g θθ==。
五、模型求解
（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）
令()()()h f g θθθ=-，则(0)0h <和()0h π>。
由f 和g 的连续性知h 也是连续函数。
根据连续函数的基本性质，比存在0(0)θθπ<<使得(0)0h θ=，即(0)(0)f g θθ=。
最后因为(0)*(0)0f g θθ=，所以(0)(0)0f g θθ==。
椅子能在不平的地面放稳的数学模型
椅子能在不平的地面放稳的数学模型下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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数学建模椅子平衡问题 蜗牛爬行问题 船渡河问题
1 椅子能在不平的地面上放稳得问题的拓展.模型假设对椅子和地面应该作一些必要的假设:1.椅子的四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点。
四脚的连线呈长方形。
2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，即地面可视为数学上连续曲面。
3.对于脚的间距和椅腿的长度而言，地面时相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三个脚同时着地。
模型构成中心问题是用数学语言把椅子的四只脚同时着地的条件和结论表示出来。
首先要用变量把椅子的位置，注意到椅脚连线呈长方形。
以中心为对称点，长方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是因此可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。
在图中角线B’D’与X轴重合，椅子绕中心点O轴旋转角度θ后。
长方形A’B’C’D’转至ABCD位置。
用θ(对角线与x 轴的夹角)表示椅子位置，椅脚与地面距离为θ的函数.A,C 两脚与地面距离之和 ~ f (θ,),B,D 两脚与地面距离之和 ~ g (θ)地面为连续曲面 F (θ) , g(θ)是连续数.椅子在任意位置至少三只脚着地.对任意θ, f(θ ), g (θ )至少一个为0.已知： f (θ ) , g (θ )是连续函数 ;对任意θ， f (θ• g (θ )=0 ;且 g (0)=0， f (0) > 0.证明：存在θ0，使 f (θ0) = g (θ0) = 0.模型求解证明；设长方形的长为a ,宽为b。
将椅子旋转θ=2arctanb/a，对角线AC取代BD的位置。
由g(0)=0，f(0) > 0 ，知f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )>0.或,g（2arctanb/a )=0（1）f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )=0,桌子能放平衡。
（2）f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )>0令h(θ)= f(θ)–g(θ), 则h(0)>0和h(2arctanb/a)<0.由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在θ0 , 使h(θ0)=0, 即f(θ0) = g(θ0) .因为f(θ) • g(θ)=0, 所以f(θ0) = g(θ0) = 0.第一题一根1米长的水平弹性绳子，存在A端和B端。
数学建模椅子平衡问题 蜗牛爬行问题 船渡河问题
1 椅子能在不平的地面上放稳得问题的拓展.模型假设对椅子和地面应该作一些必要的假设:1.椅子的四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点。
四脚的连线呈长方形。
2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，即地面可视为数学上连续曲面。
3.对于脚的间距和椅腿的长度而言，地面时相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三个脚同时着地。
模型构成中心问题是用数学语言把椅子的四只脚同时着地的条件和结论表示出来。
首先要用变量把椅子的位置，注意到椅脚连线呈长方形。
以中心为对称点，长方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是因此可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。
在图中椅线B’D’与X轴重合，椅子绕中心点O轴旋转角度θ后。
长方形A’B’C’D’转至ABCD位置。
用θ(对角线与x 轴的夹角)表示椅子位置，椅脚与地面距离为θ的函数.A,C 两脚与地面距离之和 ~ f (θ,),B,D 两脚与地面距离之和 ~ g (θ)地面为连续曲面 F (θ) , g (θ)是连续数.椅子在任意位置至少三只脚着地.对任意θ, f (θ ),g (θ )至少一个为0.已知： f (θ ) , g (θ )是连续函数 ;对任意θ， f (θ)• g (θ )=0 ;且g (0)=0， f(0) > 0.证明：存在θ0，使 f (θ0) = g (θ0) = 0.模型求解证明；设长方形的长为a ,宽为b。
将椅子旋转θ=2arctanb/a，对角线AC取代BD的位置。
由g(0)=0，f(0) > 0 ，知f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )>0.或,g（2arctanb/a )=0（1）f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )=0,桌子能放平衡。
（2）f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )>0令h(θ)= f(θ)–g(θ), 则h(0)>0和h(2arctanb/a)<0.由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在θ0 , 使h(θ0)=0, 即f(θ0) = g(θ0) .因为f(θ) • g(θ)=0, 所以f(θ0) = g(θ0) = 0.第一题一根1米长的水平弹性绳子，存在A端和B端。
椅子能否放稳
1 椅子在不平的地面上能放稳吗（一）问题的分析与假设由三点构成一个平面可知，通常情况下，在不平的地面椅子是三只脚着地，如果要达到放稳的要求，必须是四只椅脚同时着地。
问题中，椅子四脚呈长方形，在以下建模过程中，为方便讨论，我们作出以下假设：（1）椅子的四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四角连线呈矩形；（2）地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面；（3）地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。
（二）模型的建立与求解问题的解决，是通过建立直角坐标系，利用矩形的对角线平分且相等，以AC所在直线作为X轴，以垂至于AC的直线作为为Y轴，以矩形的中心点为原点建立直角坐标系。
如图所示：错误!用对角线AC与X轴的夹角α表示椅子当前的位置，此时，可设椅脚与地面的距离是α的函数。
椅子的四脚与地面应有四个距离的函数，但由于矩形的对称性，对角上的两点距离之和可用一个函数表示。
设A,C两脚与地面的距离之和为，B,D两脚与地面的距离之和为。
已知地面是连续曲面，椅子可在任意位置至少三只脚着地，把已知条件转化为数学问题为已知，是连续函数，即α为任意值，·=0总成立；且。
现只需证明存在α0,使。
现给出证明方法：开始α=0，将椅子旋转角度大小为∠AOB=a，此时对角线AC和BD互换。
由，知,。
令, 则有。
因为，为连续函数，所以也为连续函数，根据连续函数的基本性质，必存在α0使=0，即，又因为·=0，所以可得，证毕。
由证明的结果看，在不平的平面上，椅子呈矩形四脚距离地面的距离能同时为零，即椅子能在不平的地面放平稳。
若椅子的四脚呈等腰梯形，同理可证这样的椅子也能在不平的地面上放稳。
简单数学建模应用例子
5
建模实例
图中椅脚连线为正 方形ABCD，对角线 AC与x轴重合 椅子 绕中心点旋转角度 后，正方形ABCD转 至A`B`C`D`的位置， 所以对角线AC与x
2024/5/10
6
建模实例
轴的夹角 表示了椅子的位置。 其次要把椅子脚着地，用数学符号表示出 来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖 直距离，那么当这个距离为零时就是椅脚 着地了，椅子在不同的位置椅脚与地面的 距离不同，所以这个距离就是位置变量 的 函数。
2024/5/10
27
建模实例
阻滞增长模型（Logistic模型）
将增长率r表示为人口x(t)的函数r(x),按照前 面的分析，r(x)应是x的减函数。一个最简单的 假设是设 r(x)为x的线性函数， r(x)=r-sx, s>0, 这里r相当于x=0时的增长率，称为固有增长率， 它与指数模型中的增长率r不同，显然，对于 任意的x>0，增长率r(x)<r。为确定系数s的意 义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大 人口数量xm, 称为最大人口容量。
2024/5/10
15
建模实例
安全渡河条件下的状态集称为允许状态集合， 记作S，不难写出
S={（x,y）|x=0, y=0, 1, 2, 3; x=y=1,2} - (1)
记第k次渡船上的商人数为uk ,随从数为vk ,将 二维向量dk = (uk,vk)定义为决策，允许决集合 记作D，由小船的容量可知
2024/5/10
14
建模实例
用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量 表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变 化的规律。问题转化为在状态的充许变化范围 内，确定每一步的决策，达到渡河的目标 模型的过成： 记第k次渡河前此岸的商人数为xk随从数为yk, k=1,2,……，xk , yk =0,1,2,3，将二维向量 sk=(xk,yk)定义为状态，
建模作业
建模作业航天学院复合材料与工程周晓军 1101840117作业一：椅子能在不平的地面上放稳问题拓展——四角连线成长方形情况问题提出日常生活中有这样的现象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地。
试从数学的角度加以解释。
模型假设（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形。
（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面。
这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件。
（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。
建立模型首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。
生活经验告诉我们，可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180o 度后，椅子仍在原地。
把长方形绕它的对称中心O 旋转，这可以表示椅子位置的改变。
于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。
为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。
如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD ，以对角线AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。
椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至1111A B C D 的位置，这样就可以用旋转角θ表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。
其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。
我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。
由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。
由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。
数学建模作业1(长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗)
数学建模作业1(长方形椅子能否在不平的地
面上放稳吗)
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
四、模型建立
（显示模型函数的构造过程）
在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．
首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。
于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．
如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置．
其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来．
我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．
由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ。
椅子在不平地面放稳问题
椅子在不平地面放稳问题
1、问题提出
有四条腿成长方形的椅子，往往不能一次就平稳的放在不平的地面上，有时甚至放很久也放不稳，只好在某一条腿下面垫一点东西。
因此就产生这样一个问题，四腿椅子是否一定能在地面上放稳？
2、模型假设
假设椅子四条腿一样长，且设地面光滑（即把地面看做一个光滑曲面），旋转椅子时，保持椅子中心不动。
设椅子的四条腿分别是D C B A 、、、四点，取对角线AC 为χ轴，AC 与BD 的交点为原点O 。
用θ表示AC 绕O 点转动后与χ轴的夹角，用ϕ（对每件椅子是常数）表示对角夹角中小于︒90的角，如图2
3、符号说明
设()θg 表示为C A 、两点与地面距离之和，()θf 表示为D B 、两点与地面距离之和。
因为地面光滑，椅子转动时，()θg 、()θf 均为转角的连续函数，而三条腿总能同时着地，则对任意θ，有()()0g =⋅θθf 。
4、建立模型
设0=θ时，()()0000g >=f ，，证明：存在⎪⎭⎫ ⎝
⎛<<2000πθθ，使()()0g 00==θθf 。
5、模型求解
证明：令()()()θθθf g h -=，显然它是连续函数，且()()()0<-=θθθf g h ，将椅子保持中心不动顺时针旋转ϕ（即将AC 换成BD ），可得()()0g 0>=ϕϕ，f 。
因而()()()0>-=ϕϕϕf g h ，由连续函数的介值定理知，必存在⎪⎭⎫ ⎝
⎛<<2000πθθ，
使得()()()0000=-=θθθf g h ，即()()00θθf g =。
又因为()()000=⋅θθg f ，所以()()000==θθf g。
四脚连线呈长方形的椅子能在不平的地面上放稳吗
问题：四脚连线呈长方形的椅子能在不平的地面上放稳吗（第1章习题4）模型假设对椅子和地面作如下假设：1．椅子四脚一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点。
2．地面高度是连续变化的，即地面视为连续曲面。
3．对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚与地面同时着地。
模型构成首先用变量表示椅子的位置，以长方形一对角线AC为X轴，BD为Y。
设X 轴Y轴间夹角为θ。
当椅子绕中心O旋转角度θ’后。
长方形ABCD转至A‘B‘C’D‘的位置，所以对角线AC与X轴的夹角θ’表示了椅子的位置。
记A，C，两脚与地面的距离之和为f(θ’),B,D两脚与地面的距离之和为g (θ’)。
(f(θ’)，g (θ’)>=0)。
由假设2，f,g是连续函数。
由假设3，椅子在任何时候至少有三只脚着地，所以对任何θ’，f(θ’)和g(θ’)中至少有一个为0。
当θ’=0时不妨设f(θ’)=0，g(θ’)>0.这样，改变椅子位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下命题:已知f(θ’) 和g (θ’)是θ’的连续函数，对任意θ’，f(θ’) g(θ’)=0,且f(0)=0，g(0)>0.证明存在θ1，使f(θ1) =g(θ1)=0.模型求解将椅子旋转θ，对角线AC与BD互换。
由f(0)=0，g(0)>0知f(θ).>0,g(θ)=0。
令h(θ’)=f(θ’)-g(θ’),则h(0)<0,h(θ)>0。
由f,g的连续性知h也是连续函数。
根据连续函数的基本性质，必有θ1（0<θ1<θ）使h(θ1)=0,即f(θ1)=g(θ1)。
最后，因为f(θ1) g(θ1)=0,所以f(θ1)=g(θ1)=0.。
长方形椅子在不平的地面旋转180°能否放稳
长方形椅子旋转180°能否在不平的地面放稳问题提出日常生活中有这样的现象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需要稍微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地。
试从数学的角度加以解释。
模型假设为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，作出如下假设：(1)椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四腿的连线呈长方形。
(2)地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有想台阶那样的情况），即从数学的角度，地面是连续的曲面。
这个假设相当于给出了椅子能放问的必要条件。
(3)椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，因为在地面上与椅腿长度的尺寸大小相当的范围内。
如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚无法同时着地的。
建立模型在上述建设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。
首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。
生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖地或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。
然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。
于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180°后，椅子仍在原地。
把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。
于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。
为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。
如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系。
椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角θ表示出椅子绕点O旋转θ后的位置。
其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。
数学建模案例分析 1.子能在不平的地面上放稳吗
椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了.下面用数学语言证明.一、模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形.2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面.3.对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.二、模型建立示四只脚同时着地的条件、结论.首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度θ这一变量来表示椅子的位置.其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了.椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数.由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A 、C 两脚与地面距离之和为()θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为()θg ，显然()θf 、()0≥θg ，由假设2知f 、g 都是连续函数，再由假设3知()θf 、()θg 至少有一个为0.当0=θ时，不妨设()()0,0>=θθf g ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：命题 已知()θf 、()θg 是θ的连续函数，对任意θ，()θf *()θg =0，且()()00,00>=f g ，则存在0θ，使()()000==θθf g .三、模型求解将椅子旋转90︒，对角线AC 和BD 互换，由()()00,00>=f g 可知()()02,02=>ππf g .令()()()θθθf g h -=，则()()02,00<>πh h ，由f 、g 的连续性知h 也是连续函数，由零点定理，必存在()2000πθθ<<使()00=θh ，()()00θθf g =，由()()000g f θθ⨯=，所以()()000==θθf g .四、评 注模型巧妙在于用一元变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离.利用正方形的中心对称性及旋转90︒并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形.。
椅子能在不平的地面上放稳吗(1)
椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。
下面用数学语言证明。
一、 模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：1、 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形。
2、 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。
3、 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
二、模型建立中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论。
首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度θ这一变量来表示椅子的位置。
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了。
椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。
由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A 、C 两脚与地面距离之和为()θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为()θg ，显然()θf 、()0≥θg ，由假设2知f 、g 都是连续函数，再由假设3知()θf 、()θg 至少有一个为0。
当0=θ时，不妨设()()0,0>=θθf g ，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：命题 已知()θf 、()θg 是θ的连续函数，对任意θ，()θf *()θg =0，且()()00,00>=f g ，则存在0θ，使()()000==θθf g 。
三、模型求解将椅子旋转090，对角线AC 和BD 互换，由()()00,00>=f g 可知()()02,02=>ππf g 。
令()()()h f g θθθ=-，则()()02,00<>πh h ，由f 、g的连续性知h 也是连续函数，由零点定理，必存在()2000πθθ<<使()00=θh ，()()00θθf g =，由()()0*00=θθf g ，所以()()000==θθf g 。
椅子能在不平的地面上放稳吗
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件哪些是本质的,哪些是非本质的?
考察四脚连线呈长方形的椅子 (习题4)
1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题
通常我们在不太平的地面上放一把椅子时， 如果没有放稳，转一转就可以了，能通过建 模解释吗？
分析
这里涉及的事物有地面和椅子。首先对地面 的状况和椅子的形状应该进行合理的假设： 象台阶那样的地面是绝对不能放稳的，所以 地面不能在局部起伏过大；椅子应该是标准 的，不能少腿，一般是四条腿儿；
数学 问题
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
模型求解 给出一种简单、粗造的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换.
由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的 基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
C
C´ O
D´
A
x
D
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来. f() , g()是连续函数 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 对任意, f(), g()至少一 个为0 存在0，f(0)和 g(0) 同时 椅子放稳 为0. 已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() • g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) > 0.
椅子放平稳问题-数学建模
椅子放平稳问题所谓数学模型是指对于一个实际问题，为了特定目的，作出必要的简化假设，根据问题的内在规律，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构 . 建立及求解数学模型的过程就是数学建模. 下面例子是一个简单的数学建模问题.问题：四条腿一样长的椅子一定能在不平的地面上放平稳吗？1.模型假设 (文字转化为数学语言)(1) 椅子四条腿一样长，椅子脚与地面的接触处视为一个点，四脚连线呈正方形；(2) 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有台阶那样的情况），即视地面为数学上的连续曲面；(3) 地面起伏不是很大，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.2.模型建立 （运用数学语言把条件和结论表现出来）设椅脚的连线为正方形 ABCD ，对角线 AC 与 x 轴重合，坐标原点 O 在椅子中心，当椅子绕 O 点旋转后，对角线 AC 变为 A'C'，A'C'与 x 轴的夹角为θ.由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记 A 、C 两脚与地面距离之和为 )(θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为 )(θg .显然0)(≥θf 、0)(≥θg 。
因此椅子和地面的距离之和可令)()()(θθθg f h +=。
由假设（2），)(x f 、)(x g 为连续函数，因此)(θh 也是连续函数；由假设（3），得：0)()(=θθg f 。
则该问题归结为：已知连续函数0)(≥θf 、0)(≥θg 且0)()(=θθg f ，至少存在一个0θ，使得：0)()(00==θθg f3.模型求解 （找出0θ）证明：不妨设,0)0(>f 则0)0(=g 令2πθ=（即旋转o 90，对角线AC 和BD 互换）。
则有0)2(,0)2(>=ππg f定义：)()()(θθθg f H -=，所以0)]2()0([)2()0(<-=ππg f H H 根据连续函数解的存在性定理，得：存在)2,0(0πθ∈使得：0)()()(000=-=θθθg f H ；又 0)()(00=θθg f所以0)()(00==θθg f即 当0θθ=时，四点均在同一平面上。
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其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来．
我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．
由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0．因此，只需引入两个距离函数即可．考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C 和B,D对换了．因此，记
A、B两脚与地面竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。
数学模型：已知f（θ）和g（θ）是θ的非负连续函数，对任意θ，f（θ）•g(θ)＝0，证明：存在θ0∈[0，π]，使得f（θ0）＝g （θ0）＝0成立。