数学建模课后习题作业

【陈文滨】

1、在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？

【模型假设】

（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．

（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件．

（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的。

【模型建立】

在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．

首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．

注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．

如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以

用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置．

其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来．

我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．

由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0．因此，只需引入两个距离函数即可．考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了．因此，记A、B两脚与地面竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。

数学模型：已知f（θ）和g（θ）是θ的非负连续函数，对任意θ，f（θ）•g(θ)＝0，证明：存在θ0∈[0，π]，使得f（θ0）＝g（θ0）＝0成立。

【模型求解】

如果f（0）＝g（0）＝0，那么结论成立。

如果f（0）与g（0）不同时为零，不妨设f（0）＞0，g（0）＝0。这时，将长方形ABCD绕点O逆时针旋转角度π后，点A，B分别与C，D互换，但长方形ABCD在地面上所处的位置不变，由此可知，f（π）＝g （0），g（π）＝f（0）.而由f（0）＞0，g（0）＝0，得g（π）＞0， f（π）＝0。

令h（θ）＝f(θ)－g（θ），由f(θ)和g(θ)的连续性知h(θ)也是连续函数。

又h（0）＝f(0)－g（0）＞0，h（π）＝f(π)－g（π）＜0，,根据连续函数介值定理，必存在θ0∈（0，π）使得h（θ0）＝0，即f（θ0）＝g（θ0）；

又因为f（θ0）•g（θ0）＝0，所以f（θ0）＝g（θ0）＝0。于是，椅子的四只脚同时着地，放稳了。【模型讨论】

用函数的观点来解决问题，引入合适的函数是关键．本模型的巧妙之处就在于用变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四只脚与地面的竖直距离．运用这个模型，不但可以确信椅子能在不平的地面上放稳，而且可以指导我们如何通过旋转将地面上放不稳的椅子放稳．

2、人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河

【模型假设】

人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外，只能载猫、鸡、米三者之一，人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。试设计一个安全过河方案，使渡河次数尽量地少。

【符号说明】

：代表人的状态，人在该左岸或船上取值为1，否则为0；

：代表猫的状态，猫在该左岸或船上取值为1，否则为0； ：代表鸡的状态，鸡在该左岸或船上取值为1，否则为0； ：代表米的状态，米在该左岸或船上取值为1，否则为0；

1234(,,,)

K S X X X X =：状态向量，代表时刻K 左岸的状态； 1234(,,,)

K D X X X X =：决策向量，代表时刻K 船上的状态；

【模型建立】

限制条件：

2

31342

02X X X X X +≠⎧=⇒⎨+≠⎩ 初始状态：

00(1,1,1,1),(0,0,0,0)

S D ==

目标：确定有效状态集合，使得在有限步内左岸状态由(1,1,1,1)(0,0,0,0)→ 【模型求解】

根据乘法原理，四维向量

1234(,,,)

X X X X 共有4

216=种情况，根据限制条件可以排除

(0,1,1,1),(0,1,0,1),(0,0,1,1)三种情况，其余13种情况可以归入两个集合进行匹配，易知可行决策集仅有五

个元素：

{}

(1,1,1,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(1,0,0,0),(0,0,0,0)D =,状态集有8个元素，将其进行匹配，共有

两种运送方案：

方案一：人先带鸡过河，然后人再回左岸，把米带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把猫带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸（状态见表1）；

方案二：人先带鸡过河，然后人再回左岸，把猫带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把米带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸（状态见表2）。 表1：方案一的状态与决策

表2：方案二的状态与决策

3、 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖完的报纸退回。设每份报纸的购进价为，零售价为，退回价为，应该自然地假设。这就是说，报童售出一份报纸赚，退回一份报纸赔。报童如果每天购进的报纸

太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。请你为报童筹划一下，他应该如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。

【符号说明】

报纸具有时效性每份报纸进价b 元，卖出价a 元，卖不完退回份报纸c 元。设每日的订购量为n ，如果订购的多了，报纸剩下会造成浪费，甚至陪钱。订的少了，报纸不够卖，又会少赚钱。为了获得最大效益，现在要确定最优订购量n 。

n 的意义。n 是每天购进报纸的数量，确定n 一方面可以使报童长期以内拥有一个稳定的收入，另一方面也可以让报社确定每日的印刷量，避免纸张浪费。所以，笔者认为n 的意义是双重的。 本题就是让我们根据a 、b 、c 及r 来确定每日进购数n 。 【模型假设】

1、假设报童现在要与报社签定一个长期的订购合同，所以要确定每日的订购量n 。

2、假设报纸每日的需求量是r ，但报童是一个初次涉足卖报行业的菜鸟，毫无经验，无法掌握需求量r 的分布函数,只知道每份报纸的进价b 、售价a 及退回价c 。

3、假设每日的定购量是n 。

4、报童的目的是尽可能的多赚钱。 【模型建立】