二分法
二分法
二分法
二分法是用计算机求解多项式方程时常用的一种方法．其基本思想是：若f （x 1）与f （x 2）的符号相反，则方程f （x ）＝0在区间（x 1，x 2）至少有一个根．取x 1和x 2的中点2
)(211x x r ＋＝，将区间分为两半，然后比较f （r 1）与f （x 1）的符号，若符号相同，则根必在（r 1，x 2）之间，否则在（x 1，r 1）之间．这样每作一次二分法，含根区间恰好缩小一半．不断重复二分过程无限多次时，含根区间将缩为一点，显然这是不可能的．但是有一点是可以肯定的，即每重复二分一次，所得的中点ROOT 与根的距离便会越近．不断重复二分，便会构造出一系列的中点ROOT 1，ROOT 2，…，ROOT n ，当某个中点ROOT n 与根的距离小于规定的误差ξ
0时，该ROOT n 。
就是所解方程的近似解．。
二分法的世界观
二分法的世界观
二分法的世界观是指将事物分为两个对立面的思考方式。
在这种思维方式下，事物被划分为两个互相对立的阵营，如好与坏、对与错、黑与白等。
这种思考方式强调对立和区别，而不是联系和统一。
在二分法的世界观下，事物被视为非此即彼，缺乏中间地带。
这种思维方式在处理一些简单问题时可能有效，但在处理复杂问题时，可能忽略了事物的多样性和复杂性。
辩证法的思考方式与二分法不同，辩证法强调在对立中寻找统一，在统一中寻找对立。
辩证法认为事物是矛盾、冲突和变化的，矛盾和冲突推动事物的发展和变革。
单元-结构模型也是另一种思考方式，它将事物分为单元和结构两个部分。
单元是指组成事物的最小基本单位，结构是指单元之间的排列组合。
这种思考方式认为单元和结构不是完全对立的，而是可以相互转换的。
最小单元具有不可再分的性质，而结构可以产生和消灭。
二分法的世界观是一种将事物分为两个对立面的思考方式，辩证法则强调在对立中寻找统一，而单元-结构模型则将事物分为单元和结构两个部分。
不同的思考方式各有优缺点，应根据具体情况选择合适的思考方式来分析和解决问题。
函数二分法的原理及应用
函数二分法的原理及应用二分法，又称折半查找法，是一种在有序列表中查找其中一特定元素的效率较高的算法。
其核心思想是每次将待查找范围缩小一半，通过不断缩小范围直到找到目标元素或确定目标元素不存在。
二分法的原理非常简单。
设有一个有序列表，首先确定该列表的中间位置，然后将目标元素与中间位置的元素进行比较。
如果目标元素小于中间位置元素，则目标元素在列表的前半部分，否则目标元素在列表的后半部分。
以此类推，每次都将待查找范围缩小一半，直到找到目标元素或确定目标元素不存在。
应用方面，二分法广泛应用于各个领域。
以下是几个常见的应用场景：1. 查找有序列表中的元素：二分法是在有序列表中查找元素的最优解法。
例如，在一个有序数组中查找一些特定的数值，二分法的时间复杂度为 O(log n)。
2.查找旋转有序数组中的元素：旋转有序数组是指一个有序数组经过其中一种旋转操作后得到的数组。
即使被旋转，依然可以使用二分法进行查找。
3.查找一些函数的零点：对于一个单调递增或单调递减的函数，在一些区间内只存在一个零点。
可以利用二分法找到函数的零点，方法是在区间内不断缩小范围，直到找到满足精度要求的近似解。
4. 在图中查找最短路径：在一些图算法中，如最短路径算法（例如Dijkstra算法），需要在图中进行查找操作。
二分法可以用来确定查找的范围，从而提高算法的效率。
5.数据库索引查找操作：数据库索引的结构往往是一个有序列表，通过二分法查找可以大幅提高数据库的查询效率。
总的来说，二分法的优势在于每次查找操作将查找范围缩小一半，因此其时间复杂度较低，效率较高。
然而，在应用二分法时，要求列表是有序的。
如果列表无序，则需要先进行排序操作，这将花费额外的时间。
另外，二分法只适用于静态的数据结构，对于动态更新频繁的数据结构，二分法的效率可能较低。
需要注意的是，二分法虽然适用于很多应用场景，但并非适用于所有情况。
在应用二分法时，需要仔细分析问题的特点，确定是否适合使用二分法。
二分法解决实际问题及步骤
二分法解决实际问题及步骤
一、引言
二分法是一种简单而有效的数值计算方法，适用于求解连续函数在某一区间内的根。
在实际问题中，二分法可以应用于求解方程的根、求解函数的零点等。
本文将详细介绍二分法解决实际问题的步骤，帮助读者更好地理解和应用这一方法。
二、二分法的基本步骤
1.确定搜索区间
首先，我们需要确定搜索区间[a, b]，其中a和b分别为区间的左右端点。
这个区间应包含我们所求的解。
2.计算区间的中点
在确定了搜索区间后，我们需要计算该区间的中点c，其中c=(a+b)/2。
3.判断中点值是否为所求
接下来，我们需要判断中点c的值是否为我们所求的解。
如果函数在c处的值为0，则c即为所求的解。
如果函数在c处的值不为0，则需要继续搜索。
4.根据判断调整搜索区间
根据判断结果，我们需要调整搜索区间。
如果函数在c处的值大于0，说明解在区间[a, c]内，我们将b调整为c；如果函数在c处的值小于0，说明解在区间[c, b]内，我们将a调整为c。
5.重复步骤2-4，直到找到解或区间长度小于预设精度
重复步骤2-4，直到找到解或区间长度小于预设精度。
预设精度可以根据实际情况设定，通常取一个很小的正数，例如1e-6。
当区间的长度小于这个预设精度时，我们可以认为已经找到了解。
6.输出解或报错
最后，如果找到了解，输出该解；如果未找到解，则报错。
7.结束程序
完成以上步骤后，程序结束。
二分法解题
二分法解题
摘要：
1.二分法的基本原理
2.二分法的应用示例
3.二分法的优缺点
正文：
二分法是一种常见的算法思想，其基本原理是将待解决的问题分成两个部分，然后判断问题可能出现的位置，接着在这两个部分中继续寻找答案。
这种思想被称为“分治”，即将一个大问题分解成若干个小问题，然后逐个解决这些小问题，最后将这些小问题的解合并成大问题的解。
一个经典的二分法应用示例是寻找一个数组中的目标值。
假设有一个长度为n 的数组，我们要在其中找到一个特定的目标值。
如果直接遍历整个数组，那么最坏情况下的时间复杂度是O(n)。
而使用二分法，我们可以将数组分成两部分，然后在这两部分中继续寻找目标值。
这样，每次迭代后，待查找的数组的长度都会减半。
因此，二分法的时间复杂度是O(logn)。
二分法的优点在于其时间复杂度较低，尤其适用于解决规模较大的问题。
然而，二分法也有其局限性。
首先，二分法要求问题的输入规模必须满足一定的条件，例如在寻找目标值的问题中，数组的长度必须为2 的整数次幂。
其次，二分法在某些情况下可能会出现过早的终止，导致无法找到问题的精确解。
总的来说，二分法是一种高效解决问题的算法思想，适用于许多实际问
题。
非线性方程的数值解法中的二分法
非线性方程的数值解法中的二分法
二分法，又称秦九韶算法，是一种用来求解非线性方程的有效的数值解法。
它可以有效地将一个不确定的区间划分为两个不相交的子区间，其中一个至少包含方程的一个根，而另一个不包含根，这样重复地使用子区间，就可以缩小包含根的子区间从而求出根。
它具有准确性好、计算量小、理论考虑简单等优点。
因此，二分法逐渐得到了在互联网科技领域的广泛应用，受到了更多关注。
作为一种基础性的数学算法，二分法的基本原理是将一个不确定的区间分成两个相等的小区间，其中一个必定包含方程的一个根，而另一个肯定不包含根，然后针对这两个相邻区间，不断求解，直到最后已经求出根为止。
具体地说，在给定一个区间[a，b]，要求函数f (x)在[a，b]内存在唯一根r，根据贴合定理，只需要计算函数在两个端点的值，并判断它们是否异号，如果异号，则区间[a，b]一定包含根r。
接着，利用c =(a＋ b) / 2将区间[a，b]分成两个小区间[a，c]和[c，b]，逐渐缩小根所在的区间范围，直到最后确定根的准确值。
由于数值计算的准确性高、计算量小、计算过程简单，因此二分法在许多互联网科技应用中大量采用，如自动搜索引擎服务，精准推荐等。
此外，在建模和科学研究中，二分法也被广泛运用，例如求解非线性方程组、解析一元函数最优解等。
综上所述，二分法是一种有效的数值解法，在互联网科技的应用非常广泛，如搜索引擎服务、精准推荐以及科学研究等，它具有计算准确度高、计算量小、理论需要考虑较少的优势，有效地解决非线性方程的求解问题，同时也为科技进步和科学发展作出了贡献。
二分法 算法
二分法算法二分法算法，也称为二分查找算法，是一种常用的查找算法。
它的基本思想是将已排序的数组分成两部分，然后通过比较目标值与数组中间元素的大小，来确定目标值可能存在的区域，然后再在这个区域内继续使用二分法查找。
这个过程不断重复，直到找到目标值或确定目标值不存在为止。
在开始之前，我们先来了解一下二分法算法的原理。
假设我们要在一个有序数组中查找目标值。
首先，我们取数组的中间元素，然后将目标值与中间元素进行比较。
如果目标值等于中间元素，那么就找到了目标值；如果目标值小于中间元素，那么目标值可能存在于数组的左半部分；如果目标值大于中间元素，那么目标值可能存在于数组的右半部分。
根据这个比较结果，我们可以将查找范围缩小一半，然后再在这个范围内继续使用二分法查找。
这个过程不断重复，直到找到目标值或确定目标值不存在为止。
二分法算法的时间复杂度是O(log n)，其中n为数组的大小。
这是因为每次查找都将查找范围缩小一半，所以最多需要进行log n次查找。
相比于简单的线性查找算法，二分法算法的效率更高。
但是二分法算法有一个前提条件，就是数组必须是有序的。
如果数组无序，那么需要先对数组进行排序，然后再使用二分法算法进行查找。
下面我们通过一个具体的例子来说明二分法算法的应用。
假设有一个有序数组arr，长度为n，我们要查找目标值target。
首先，我们可以设置两个指针left和right，分别指向数组的第一个元素和最后一个元素。
然后，我们计算出中间元素的索引mid，将中间元素与目标值进行比较。
如果中间元素等于目标值，那么就找到了目标值；如果中间元素大于目标值，那么目标值可能存在于数组的左半部分，我们将right指针更新为mid-1；如果中间元素小于目标值，那么目标值可能存在于数组的右半部分，我们将left指针更新为mid+1。
然后，我们继续在更新后的查找范围内使用二分法查找，直到找到目标值或确定目标值不存在为止。
二分法算法的应用场景有很多，比如在有序数组中查找目标值、在有序矩阵中查找目标值等。
二分法的历史
二分法是一种常用的数学和计算机科学中的算法，它可以用来解决一些搜索和排序问题。
二分法最早的历史可以追溯到古代中国的数学家和天文学家。
在古代中国，数学家们使用的一种方法是将一个数列分成两部分，然后通过比较两部分的大小来确定中间位置的数值。
这种方法被称为“二分法”，因为它将数列分成了两部分。
在欧洲，最早使用二分法的是意大利数学家Fibonacci。
他在13世纪的著作《算盘书》中提到了一种使用二分法的方法，用于求解黄金分割比。
后来，这种方法被广泛应用于数学领域，并成为了一种重要的数学工具。
在计算机科学中，二分法最早被用于解决搜索问题。
1945年，计算机科学家Karl Schmidt 和Warren Weaver在他们的一篇论文中提出了使用二分法来解决搜索问题的方法。
这种方法后来被称为“二分查找法”或“折半查找法”。
随着计算机技术的发展，二分法在计算机科学中变得越来越重要。
它被广泛应用于各种算法和数据结构中，例如排序算法、查找算法和哈希表等。
二分法的高效性和可靠性使得它成为计算机科学中的一种重要算法。
简述二分法的原理
简述二分法的原理二分法是一种常用的算法，它的原理是将一个问题分成两个子问题，然后递归地解决这两个子问题，最终得到问题的解。
二分法的应用非常广泛，例如在查找算法、排序算法、数值计算等领域都有着重要的应用。
一、查找算法在查找算法中，二分法可以用来查找一个有序数组中的某个元素。
具体的实现方法是，首先将数组的中间元素与目标元素进行比较，如果相等，则返回该元素的下标；如果目标元素比中间元素小，则在数组的左半部分继续查找；如果目标元素比中间元素大，则在数组的右半部分继续查找。
这样不断地将问题分成两个子问题，直到找到目标元素或者确定目标元素不存在。
二、排序算法在排序算法中，二分法可以用来实现快速排序。
快速排序的基本思想是选择一个基准元素，将数组分成两个部分，一部分是小于基准元素的，另一部分是大于基准元素的。
然后对这两个部分分别进行递归排序，最终得到有序数组。
在实现快速排序的过程中，可以使用二分法来确定基准元素的位置，从而提高排序的效率。
三、数值计算在数值计算中，二分法可以用来求解方程的根。
具体的实现方法是，首先确定一个区间，然后将区间分成两个部分，根据函数值的符号确定根在哪一部分，然后继续将该部分分成两个子区间，直到找到根或者确定根不存在。
二分法的优点是收敛速度快，但是需要满足一定的条件，例如函数必须是单调的，根必须在区间内等等。
综上所述，二分法是一种非常重要的算法，它可以用来解决许多问题，例如查找、排序、数值计算等。
二分法的原理是将问题分成两个子问题，然后递归地解决这两个子问题，最终得到问题的解。
在实际应用中，需要根据具体的问题选择合适的实现方法，并注意算法的正确性和效率。
二分法解决实际问题的过程
二分法解决实际问题的过程二分法解决实际问题的过程一、引言在计算机科学中，二分法是一种通用的搜索算法，常用于解决实际问题。
它通过将问题分成两个部分，然后确定目标在哪个部分，并继续对该部分进行二分，最终找到目标或确定目标不存在。
本文将探讨二分法解决实际问题的过程，从简单到复杂、由浅入深，帮助读者全面理解这一算法。
二、基本原理1. 概念解释：二分法，也称为二分查找，是一种通过不断将范围缩小一半的方式来查找目标的方法。
它要求待查找的数组或列表是有序的。
2. 基本步骤：- 确定搜索范围：将数组或列表的起始位置和结束位置确定为搜索范围。
- 计算中点：将搜索范围分成两部分，计算中点的索引位置。
- 比较目标值与中点：将目标值与中点进行比较，确定目标可能在哪个部分。
- 缩小搜索范围：根据比较结果，将搜索范围缩小为可能存在目标的部分，并重复上述步骤，直到找到目标或确定目标不存在。
三、简单示例为了更好地理解二分法的过程，在这里我们举一个简单的示例。
假设有一个升序排列的数组，我们需要查找数组中是否存在某个特定的元素。
1. 确定搜索范围：将数组的起始位置设为0，结束位置设为数组长度减1。
2. 计算中点：将起始位置和结束位置相加除以2，得到中点的索引位置。
3. 比较目标值与中点：将目标值与中点位置的元素进行比较。
4. 缩小搜索范围：根据比较结果，如果目标值小于中点位置的元素，则将结束位置更新为中点位置减1；如果目标值大于中点位置的元素，则将起始位置更新为中点位置加1。
重复上述步骤，直到找到目标或确定不存在。
通过这个简单的示例，我们可以看到二分法的基本思路和步骤。
它的时间复杂度为O(log n)，相较于线性搜索的时间复杂度O(n)，二分法在大规模数据中有着显著的优势。
四、应用案例1.查找算法：二分法广泛应用于查找算法中，例如在有序数组中查找指定元素的位置。
2.分析数据：二分法还可以用于分析数据中的特定属性，例如找到最接近某个给定值的元素。
二分法推论-定义说明解析
二分法推论-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二分法是一种非常重要的数学方法，它在计算机科学、数学和工程学等领域都有着广泛的应用。
本文将通过介绍二分法的基本概念、在实际问题中的应用以及探讨其优缺点，来阐明二分法的重要性和潜在价值。
通过本文的阐述，读者将更深入地了解二分法的应用领域和潜力，以及对未来发展的展望和建议。
内容1.2 文章结构文章结构部分:本文共分为引言、正文和结论三部分。
在引言部分，将简要概述文章的主题，并介绍文章的结构和目的。
接下来，在正文部分将详细介绍二分法的基本概念、在实际问题中的应用以及二分法的优缺点。
最后，在结论部分将总结二分法的重要性，展望二分法的未来发展，并提出结论和建议。
整篇文章将围绕二分法展开，深入探讨其相关的理论和实践应用，以期对读者有所启发和帮助。
1.3 目的本文的目的是探讨和分析二分法在实际问题中的应用以及其优缺点，以便更好地理解和应用这一算法。
同时，我们将总结二分法的重要性，展望其未来的发展，并提出结论和建议，希望能为相关领域的研究和实际应用提供有益的参考和指导。
通过本文的阐述和讨论，读者将对二分法有更深入的了解，并在实际问题的解决中能够更灵活地运用该算法，提高问题求解的效率和准确性。
2.正文2.1 二分法的基本概念二分法是一种常见的算法，用于在有序列表中查找特定元素的位置。
其基本思想是将目标元素与列表中间的元素进行比较，然后根据比较结果确定目标元素可能存在的位置，并不断缩小搜索范围，直到找到目标元素或确定其不存在于列表中。
具体来说，二分法的基本步骤如下：1. 首先，确定有序列表的起始位置和结束位置，以及目标元素的值。
2. 然后，找到中间位置的元素，并将其与目标元素进行比较。
3. 如果中间元素等于目标元素，则找到了目标元素的位置；否则，根据比较结果确定目标元素可能存在的位置，并更新搜索范围。
4. 继续对更新后的范围重复上述步骤，直到找到目标元素或确定其不存在。
二分法的算法描述
二分法的算法描述
二分法是一种常见的查找算法，它适用于有序数组中查找特定元素的情况。
其基本思想是将有序数组分成两部分，取中间值与目标值进行比较，从而确定目标值所在的部分，不断缩小查找范围直至找到目标值。
具体的算法描述如下：
1. 确定查找范围的左右边界，分别为low和high。
2. 计算中间值mid，即mid = (low + high) / 2。
3. 判断目标值是否等于中间值，如果相等，则查找成功，返回mid。
4. 如果目标值小于中间值，说明目标值在左半部分，将high更新为mid-1，跳转到步骤2。
5. 如果目标值大于中间值，说明目标值在右半部分，将low更新为mid+1，跳转到步骤2。
6. 如果low>high，说明查找失败，返回-1。
在实际的应用中，二分法还可以进行优化，比如使用递归实现，或者使用循环实现，或者在目标值与中间值相等时直接返回，等等。
但无论如何，其基本思想都是分而治之，逐步缩小查找范围，从而提高查找效率。
- 1 -。
二分法解决实际问题的实例
二分法解决实际问题的实例二分法，也称为二分查找，是一种在有序数组中查找特定值的快速算法。
它的基本原理是不断将数组分成两半，然后确定要查找的值可能在哪一半，最终缩小范围直到找到目标值。
二分法在很多实际问题中都有应用，例如在搜索算法中、在计算机科学中、在经济学中等等。
下面我将介绍几个使用。
1.在搜索算法中的应用：二分法在搜索算法中是一个非常高效的算法。
当我们需要在一个非常大的有序数组中查找特定值时，二分法可以大大减少搜索的时间复杂度。
例如，在一个包含10000个整数的数组中查找特定的整数，如果采用顺序查找的话，最坏情况下需要遍历10000次才能找到目标值。
但是如果采用二分法的话，最多只需要log2(10000)≈14次比较就能找到目标值。
2.在计算机科学中的应用：在计算机科学中，二分法经常用来解决一些优化问题。
例如，在寻找最优解、最小值、最大值等问题中，可以利用二分法来加速搜索过程。
比如在图形学中，求解最远距离点对问题时，可以通过二分法来减少搜索的时间复杂度。
另外，在排序算法中，像快速排序、归并排序等算法也都是基于二分法的原理。
3.在经济学中的应用：经济学上也经常使用二分法来解决一些实际问题。
例如在供需平衡问题中，可以通过二分法来确定最终的市场价格。
另外，在利润最大化、成本最小化等优化问题中，二分法也常常被用到。
比如在制造业中，确定最佳的产量和定价策略，可以通过二分法来进行模拟优化计算。
总的来说，二分法是一个非常实用的算法，可以在很多领域中得到应用。
它能够快速定位目标值，减少搜索的时间复杂度，提高程序的效率。
因此，熟练掌握二分法的原理和应用是非常有必要的。
希望以上实例可以帮助读者更好地理解二分法的应用和重要性。
二分法及其应用
二分法的思想为：首先确定有根区间，将区间二等分，通过判断F(x)的符号和单调性，逐步将有根区间缩小，直至有根区间在所求范围内，便可求出满足精度要求的近似根。
对于在区间{a,b}上连续不断，且满足f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间二等分，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
用二分法的条件f(a)f(b)<0表明二分法求函数的近似零点都是指变号零点。
一般地，对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c时f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)的零点。
解方程即要求f(x)的所有零点。
先找到a、b，使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2],现在假设f(a)<0,f(b)>0,a<b①如果f[(a+b)/2]=0，该点就是零点，如果f[(a+b)/2]<0,则在区间（(a+b)/2，b)内有零点，(a+b)/2=>a，从①开始继续使用中点函数值判断。
如果f[(a+b)/2]>0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2=>b，从①开始继续使用中点函数值判断。
这样就可以不断接近零点。
通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。
给定精确度ξ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:1 确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ξ.2 求区间(a,b)的中点c.3 计算f(c).(1) 若f(c)=0,则c就是函数的零点;(2) 若f(a)·f(c)<0,则令b=c;(3) 若f(c)·f(b)<0,则令a=c.4 判断是否达到精确度ξ:即若┃a-b┃<ξ,则得到零点近似值a(或b),否则重复2-4.。
二 分 法
二分法
二分法又称二分区间法,是求解方程(2.1)的近 似根的一种常用的简单方法。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且 f(a)f(b)<0,根据连续函数的性质可知, f(x)= 0在 (a,b)内必有实根,称区间[a,b]为有根区间。为明确 起见,假定方程f(x)=0在区间[a,b]内有惟一实根x*。
对值或 ak 与 bk 的差的绝对值是否小于ε来
决定二分区间的次数。
开始 输 入 a , b,ε
二
分
y
法
算
xb
法
实
现
(a+b)/2 x
f(a) f(x )<0 ?
|b-a|< ε
0 y
输 出x 结束
n
x a
n
例２ 求方程f(x)=x3-x-1=0 在区间[1.0,1.5]内 的一 个实根, 使误差不超过0.5×10-2。P19
时，f (x) 0 ,故f(x)在[2, 3]上是单调递增函数, 从而f(x)在[2, 3]上有且仅有一根。
给定误差限＝ 0.5×10-3 ,使用二分法时
误差限为
x* xk
1 (b a) 2 k 1
只要取k满足
1 2 k 1
(b a)
1 103 2
即可，亦即
2k 103
k 3 lg 10 9.97 1g 2
二分法的基本思想是: 首先确定有根区间,将区 间二等分, 通过判断f(x)的符号, 逐步将有根区间 缩小, 直至有根区间足够地小, 便可求出满足精度 要求的近似根。
1.1确定有根区间的方法
为了确定根的初值，首先必须圈定根所在的范围， 称为圈定根或根的隔离。
在上述基础上，采取适当的数值方法确定具有一定 精度要求的初值。
二分法的具体计算过程041019124257
唯一性:设 x* ,x* 均是方程的根则
1
2
(
x* x*
1
2
又0
(x* )
(x* )
1
2
1 ,(1 1 ) x2*
x) ( )(x* ,x*1 2 1 20 ,x只1* 有x2x* *
x* ), x* 10 ,
x。*
x*
2
(2)迭代的收敛性:
因 x*
(x* ),xn
x* x* n
(x* )
x* xn 1
取x 0
2
,x 1
2.5,
x
2
1.176,
x3 8.103,4 x 0.07855 , x
2.5, , 是不收敛的。
三、加速收敛（Aitken方法）
设
x是 0
x*
的某个预测值,适用一次迭代得到校正值
x1
(x0 ) ,用微分
中值定理 x1 x*
(x)(x * x ) ,如果 (x) 变化不大,记其近似值为 则:
故
方程在区间[2,3]上有根。又n
1 1 ln(b ln2ln
66
,取 n=9,将计算结果列表如下:
n an
bn
02
3
12 22
2 2
1 21 4
xn
2 2 2
1 21 41 8
32
2
1 8
2
1 16
42
1 16
2
1 8
2
3 32
52
3 32
2
1 8
n1
2
a)。如果精度要求
*
x
x
,则要求
1 (b 2n 1
二分法 二元论
二分法二元论摘要：1.二分法的概念2.二元论的起源和发展3.二分法在现实生活中的应用4.二元论在哲学领域的应用5.二分法与二元论的优缺点分析6.结论正文：二分法，又称二分法思维，是一种将事物分为两个对立部分的思考方式。
这种方法源于古希腊哲学家柏拉图和亚里士多德的哲学思想，后来被广泛应用于各个领域。
二元论是二分法的哲学表现形式，主张世界由两种根本性质截然相反的实体构成。
接下来，我们将详细探讨二分法的概念、起源、应用以及优缺点。
1.二分法的概念二分法是一种基本的思维方式，即将事物分为两个相互对立的部分。
这种方法有助于我们简化复杂问题，更容易理解和分析。
例如，在自然界中，我们可以将事物分为阴阳、雌雄、日月等；在哲学领域，我们可以将事物分为唯物主义和唯心主义等。
2.二元论的起源和发展二元论起源于古希腊哲学家柏拉图和亚里士多德的哲学思想。
柏拉图主张理念论，认为世界分为理念世界和现实世界，理念世界是完美的、永恒的，而现实世界是理念世界的影子。
亚里士多德主张形式与质料的二元论，认为事物的存在是由形式和质料共同决定的。
后来，二元论在宗教、哲学等领域得到广泛发展，如基督教的上帝与撒旦、唯物主义与唯心主义等。
3.二分法在现实生活中的应用二分法在现实生活中有着广泛的应用，例如：- 在教育领域，我们可以将知识分为理论和实践两部分，强调学生的全面发展；- 在企业管理中，我们可以将企业战略分为长期和短期，以便更好地规划企业的发展；- 在生活中，我们可以将事物分为有用和无用，有助于我们更好地整理和安排生活。
4.二元论在哲学领域的应用二元论在哲学领域的应用主要体现在以下几个方面：- 唯物主义与唯心主义的对立：唯物主义认为物质是世界的本原，唯心主义则认为精神是世界的本原；- 理性主义与经验主义的对立：理性主义认为人的认识主要依赖于理性，经验主义则认为人的认识主要依赖于经验；- 存在主义与本质主义的对立：存在主义强调人的存在状态，本质主义则强调事物的本质属性。
二分法在生活中的应用
二分法在生活中的应用哎，说起二分法，听起来像是数学课上的高深玩意儿，但其实，这家伙在咱们日常生活里，那可是无处不在，活灵活现的。
咱们啊，天天都在不自觉地运用它，解决问题，做出选择，就跟吃饭睡觉一样自然。
你想象一下，周末了，家里那位突然问：“今晚吃啥好呢？”这时候，你是不是得在心里头盘算一番？火锅还是烧烤？川菜还是粤菜？这其实就是二分法的精髓所在嘛——把问题一分为二，然后逐一考虑。
你或许会想：“天气这么冷，吃个火锅暖和暖和吧。
”看，问题就这么简单解决了，没用啥复杂的算法，全凭感觉和经验，二分法就悄悄帮了你一把。
再比方说，你正在为选哪本书看而纠结。
书架上摆满了书，有小说、有传记、有历史、有科学……眼花缭乱，不知道该从哪本下手。
这时候，你可以尝试用二分法来帮忙。
先问问自己：“我是想看轻松点的，还是深入点的？”轻松点的话，那就挑本小说或者漫画；想深入点，就瞅瞅传记或者历史书。
这一分，心里就有了个大概的方向。
然后再进一步细分：“是想了解古代历史，还是现代科技？”这么一来二去，很快就能找到那本让你心动的书了。
工作上也一样，二分法能帮上大忙。
比如，老板交给你一个项目，时间紧任务重，你一时不知道从哪开始。
别急，用二分法来捋一捋。
先把项目分解成几个大块，看看哪些是紧急的，哪些是重要的。
紧急又重要的，自然是首要任务；紧急但不重要的，可以交给同事协助；重要但不紧急的，就慢慢规划；至于那些既不重要也不紧急的，嘿嘿，不妨先放一放，等有空了再说。
这样一来，工作就变得有条不紊了。
还有啊，感情里也能用到二分法。
两个人相处久了，难免会有摩擦和争执。
这时候，别急着翻旧账、说狠话，试试用二分法来冷静分析。
先把问题一分为二：“是原则性问题，还是生活习惯上的差异？”原则性问题，那可得好好沟通，争取达成共识；生活习惯上的差异嘛，就相互包容、相互理解了。
这样一来，感情不仅不会受损，反而会更加深厚。
你看，二分法这东西，多实用啊！它就像是我们生活中的一把万能钥匙，无论遇到什么问题、什么困难，都能用它来打开一扇新的大门。
中间值定理和二分法
中间值定理和二分法
中间值定理是用来求解方程近似解的依据，它指出：函数f(x)在区间[a,b]连续，并且f(a)和f(b)异号，则a、b之间存在点c，使得f(c)=0（a<c<b）。
二分法是一种在某个区间内进行二分查找，取中间值的方法。
例如，已知a和b，则取a与b的中间点m，如果am<b，则取a与m的中间点，以此类推下去。
在实际应用中，二分法可以用来计算非完全平方数的算术平方根近似值，因为非完全平方数的算术平方根是无理数，所以算得的区间会无限接近于这个无理数。
此外，二分法还可以用于查找、排序等场景。
中间值定理和二分法在数学、计算机科学等领域中都有广泛的应用，它们的重要性不容忽视。
§1.二分法
、二分法的具体计算过程 第一步，取区间中点(a+b)/2,计算区间中点的函数值f((a+b)/2),a 亠b a 亠b③如果f( )0,则在区间［ ,b ］上,f(x)在两个端点的函数值异号2 2a ba［a b ,b ］内有根，记a 厂 2 2内继续进行。
第二步,求f(x)在区间［a i ,b i ］的中点的函数值f 申，并检验其正负号，鸟 - a 2 二（b 一 a ）二（b a ）2 4§ 1.二分法一 a ③如果f( 于是原方程在区间①如果心“)0,则原方程在区间a^ Q b i 阪2 ］内有根，并记,b ］上,原方程有根，记b ,下一步在区间［a i ,bi ］-，则在区间［2象这样，继续进行第二步、第四步、 个区间序列：［a,b ］二［a i ,bj 二陲,鸟］二1内有根，区间宽度为：h-a n = 2“(b-a)当n 足够大时，如果此时的区间宽度已达到精度要求 ，则以区间的中点作为x*的近似值，即x bm ；此时，近似值的误差小于该区间宽度的一半 ，即意到 01, ln (有n 1. “ln2如精度要求提高，则上式的关键项ln(1/ £ ),由于 0.1000,则要求多计算10次。
(b-a)。
如果精度要求*x H*x X n两边取自然对数，得：ln(b-a)-(n+1)ln2< ln £则，则要求21i (A a)岂:r^ml^9ln(^l a ^|n,区间宽度每次缩小一半，得到一210=1024,如要求误差缩小根据精度要求可以事先计算出需执行步骤数 输出x 二2 如果f(n 。
一a b f.)如果 f ( 2 ‘a b a b2 否则 a产2 输1 ln(b a) ln初态：f(a) f(b) 。
对于n=1,2,...n 做计算其几何意义如图：例：求方程X3-2X-5=0的近似解，精确到0.001。
解：f(x)= x3-2X-5, £ =0.001,因为f(2)=-1<0,f(3)=16>0,故ln(b -a) In '方程在区间［2,3］上有根。
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二分法
2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法――二分法学习目标：1．理解变号零点的概念。
2．用二分法求函数零点的步骤及原理。
3．了解二分法的产生过程，掌握二分法求方程近似解的过程和方法。
4．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解。
知识回顾： 1.函数零点的概念 2.函数零点的性质【概念探究】阅读课本72页完成下列问题。
1．一个函数，在区间上至少有一个零点的条件是异号，即＜0，即存在一点使，这样的零点常称作。
有时曲线通过零点时不变号，这样的零点称作。
2．能否说出变号零点与不变号零点的区别与联系？阅读课本73页完成
下列问题。
3．求函数变号零点的近似值的一种计算方法是其定义是：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个变号零点的近似值，使它与零点的误差即使得满足精确度。
4．用二分法求函数零点的一般步骤是什么？ 5．二分法求函数的零点的近似值适合于怎样的零点？典型例题分析：例１：求近似值（精确到０．０１）例２：求方程的无理根（精确到０．０１）
参考答案：例1解：设ｘ＝，则＝２，即－２＝０，令ｆ（ｘ）＝－２，则函数ｆ（ｘ）零点的近似值就是得近似值，以下用二分法求其零点．由于ｆ（１）＝－１＜０，ｆ（２）＝６＞０，故可以取区间［１，２］为计算的初始区间．用二分法逐次计算．列表如下：端点（中点）坐标计算中点的函数值取区间ｆ（１）＝－１＜０ｆ（２）＝６＞０［１，２］＝１．５ｆ（）＝１．３７５＞０［１，１．５］＝１．２５ｆ（）＝－０．０４６９＜０［１．２５，１．５］＝１．３７５ｆ（）＝０．５９９６＞０［１．２５，１．３７５］＝１．３１２５ｆ（）＝０．２６１０＞０［１．２５，１．３１２５］＝１．２８１２５ｆ（）＝０．１０３３＞０［１．２５，１．２８１１２５］＝１．２６５６２ｆ（）＝０．０２７３＞０［１．２５，１．２６５６２］＝１．２５７８１ｆ（）＝－０．０１＜０［１．２５７８１，１．２６５６２］＝１．２６１７１ｆ（）＜０［１．２５７８１，１．２６１７１］由上表的计算可知，区间［１．２５７８１，１．２６１７１］
的左右端点按照精确度要求的近似值都是１．２６，因此１．２６可以作为所求的近似值．评析：学会用二分法求近似值的主要步骤．例2解：由于所以原方程的两个有理根为１，－１，而其无理根是方程－３＝０的根，令ｇ（ｘ）＝－３，用二分法求出ｇ（ｘ）的近似零点为１．４４评析：通过因式分解容易看出无理根为方程－３＝０的根，所以令ｇ（ｘ）＝－３，只需求出ｇ（ｘ）的零点即可．【达标检测】 1.方程在区间上的根必定属于区间（） A. B. C.
D. 2.若函数的图象是连续不间断的，且，则下列命题正确的是（） A.函数在区间内有零点 B.函数在区间内有零点 C.函数在区间内有零点 D.函数在区间内有零点 3.函数与图象
交点横坐标的大致区间为（） A. B. C. D. 4.下图4个函数的图象的零点不能用二分法求近似值的是
5．函数ｆ（ｘ）＝－＋４ｘ－４在区间［１，３］上（）Ａ．没有零点Ｂ．有一个零点Ｃ．有两个零点Ｄ．有无数个零点 6.方程在区间［－２，４］上的根必定属于区间（）Ａ．［－２，１］Ｂ．［２．５，４］Ｃ．［１，］Ｄ．［，２．５］ 7.下列关于二分法的叙述,正确的是( ) A.用二分法可以求所有函数零点的近似值 B.用二分法求方程近似解时,可以精确到小数点后任一
数字 C.二分法无规律可寻,无法在计算机上进行 D.二分法只用于求方程的近似解 8．函数f(x)= 在[0,2]上( ) A.有3个零点 B.有2
个零点 C.有1个零点 D.没有个零点 9．函数f(x)=3ax-2a+1在[-1,1]上存在一个零点,则a的取值范围是( ) A.a B.a C. D. .a 或a 10．方程在区间[-2,4]上的根必定属于区间( ) A.[-2,1] B C.[1, D.[ 二、填空题 11．函数ｆ（ｘ）＝－５的零点近似值（精确到０．１）是． 12．方程－６＝０的近似解（精确到０．０１）是．三、解答题 13．求方程的无理根（精确到０．０１）。