沪科版八年级下册数学 第19章 19.3.1 目标一 矩形及其性质 习题课件
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沪科版 八年级下
第十九章 四边形
19.3.1 矩形及其性质
习题链接
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1D 2 6.8 3C 4D
5 33 6 30° 7 8
答案呈现
认知基础练
1 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为 矩形，需要添加的条件是( D ) A．AB＝CD B．AD＝BC C．∠AOB＝45° D．∠ABC＝90°
认知基础练
在 Rt△ AFO 和 Rt△ BEO 中，
AF＝BE， AO＝BO，
∴Rt△ AFO≌Rt△ BEO(HL)．
∴∠AOF＝∠BOE＝∠COE.
又∵∠AOF＋∠BOE＋∠COE＝180°，
∴∠BOE＝60°. ∴∠OBE＝30°，∴OE＝12OB＝3.
∴BE＝ OB2－OE2＝3 3.
认知基础练
思维发散练
(2)若 AB＝4，OB＝52，求四边形 ADBE 的周长． 解：∵四边形 ABCD 为矩形， ∴∠BAD＝90°，OB＝OD.∴BD＝2OB＝5. 在 Rt△ BAD 中，AD＝ 52－42＝3. ∵四边形 ADBE 为平行四边形， ∴BE＝AD＝3，AE＝BD＝5. ∴▱ADBE 的周长为 2×(5＋3)＝16.
思维发散练
证明：∵MN 是 AC 的垂直平分线， ∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB∥CD，∴∠M＝∠N.
∠M＝∠N， 在△ AOM 和△ CON 中， ∠AOM＝∠CON，
AO＝CO， ∴△AOM≌△CON(AAS)．
思维发散练
15 (2)若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE的长为____4____．
认知基础练
2 【2021·阜新】如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对 应点落在CD边上，GH为折痕，已知AB＝6，BC＝ 10．当折痕GH最长时，线段BH的长为___6_._8___．
认知基础练
【点拨】 由题意知，当E点与D点重合时GH最长． 设BH＝x，则CH＝10－x，HE＝BH＝x. 由勾股定理得HC2＋CE2＝HE2， 即(10－x)2＋62＝x2， 解得x＝6.8.
认知基础练
5 【2021·哈尔滨】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A 作AF⊥OB，垂足为点F．若BC＝2AF，OD＝6，则 BE的长为___3__3___．
认知基础练
【点拨】 ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB＝OC＝OD＝6. ∵OE⊥BC， ∴BE＝CE，∠BOE＝∠COE. 又∵BC＝2AF， ∴AF＝BE.
思维发散练
8 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，延长 CB到点E，使BE＝BC．连接AE． (1)求证：四边形ADBE是平行四边形； 证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC. 又∵BE＝BC，且点C，B，E在一条直线上， ∴AD∥BE，AD＝BE. ∴四边形ADBE是平行四边形．
6 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点 E是BC上一点，且AB＝BE，∠1＝15°，则∠2＝ ___3_0_°___．
认知基础练
【点拨】 本题的关键是得出△AOB是等边三角形，进而推
出OB＝BE，从而求出∠2＝30°.本题易错点是对矩 形的性质不能灵活运用．
思维发散练
7 【中考·沈阳】如图，在矩形ABCD中，对角线AC的 垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M， N，与边AD交于点E，垂足为点O． (1)求证：△AOM≌△CON；
认知基础练
3 【中考·怀化】如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交 于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为 (C ) A．4 B．6 C．8 D．10
认知基础练
【点拨】 由题易知S△AOD＝S△BOC＝S△COD＝S△AOB＝2， ∴S矩形ABCD＝4S△AOB＝8.
认知基础练
4 【中考·毕节】如图，在矩形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接 EF，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是( D ) A．2．2 cm B．2．3 cm C．2．4 cm D．2．5 cm
第十九章 四边形
19.3.1 矩形及其性质
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答案呈现
认知基础练
1 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为 矩形，需要添加的条件是( D ) A．AB＝CD B．AD＝BC C．∠AOB＝45° D．∠ABC＝90°
认知基础练
在 Rt△ AFO 和 Rt△ BEO 中，
AF＝BE， AO＝BO，
∴Rt△ AFO≌Rt△ BEO(HL)．
∴∠AOF＝∠BOE＝∠COE.
又∵∠AOF＋∠BOE＋∠COE＝180°，
∴∠BOE＝60°. ∴∠OBE＝30°，∴OE＝12OB＝3.
∴BE＝ OB2－OE2＝3 3.
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(2)若 AB＝4，OB＝52，求四边形 ADBE 的周长． 解：∵四边形 ABCD 为矩形， ∴∠BAD＝90°，OB＝OD.∴BD＝2OB＝5. 在 Rt△ BAD 中，AD＝ 52－42＝3. ∵四边形 ADBE 为平行四边形， ∴BE＝AD＝3，AE＝BD＝5. ∴▱ADBE 的周长为 2×(5＋3)＝16.
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证明：∵MN 是 AC 的垂直平分线， ∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB∥CD，∴∠M＝∠N.
∠M＝∠N， 在△ AOM 和△ CON 中， ∠AOM＝∠CON，
AO＝CO， ∴△AOM≌△CON(AAS)．
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15 (2)若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE的长为____4____．
认知基础练
2 【2021·阜新】如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对 应点落在CD边上，GH为折痕，已知AB＝6，BC＝ 10．当折痕GH最长时，线段BH的长为___6_._8___．
认知基础练
【点拨】 由题意知，当E点与D点重合时GH最长． 设BH＝x，则CH＝10－x，HE＝BH＝x. 由勾股定理得HC2＋CE2＝HE2， 即(10－x)2＋62＝x2， 解得x＝6.8.
认知基础练
5 【2021·哈尔滨】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A 作AF⊥OB，垂足为点F．若BC＝2AF，OD＝6，则 BE的长为___3__3___．
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【点拨】 ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB＝OC＝OD＝6. ∵OE⊥BC， ∴BE＝CE，∠BOE＝∠COE. 又∵BC＝2AF， ∴AF＝BE.
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8 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，延长 CB到点E，使BE＝BC．连接AE． (1)求证：四边形ADBE是平行四边形； 证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC. 又∵BE＝BC，且点C，B，E在一条直线上， ∴AD∥BE，AD＝BE. ∴四边形ADBE是平行四边形．
6 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点 E是BC上一点，且AB＝BE，∠1＝15°，则∠2＝ ___3_0_°___．
认知基础练
【点拨】 本题的关键是得出△AOB是等边三角形，进而推
出OB＝BE，从而求出∠2＝30°.本题易错点是对矩 形的性质不能灵活运用．
思维发散练
7 【中考·沈阳】如图，在矩形ABCD中，对角线AC的 垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M， N，与边AD交于点E，垂足为点O． (1)求证：△AOM≌△CON；
认知基础练
3 【中考·怀化】如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交 于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为 (C ) A．4 B．6 C．8 D．10
认知基础练
【点拨】 由题易知S△AOD＝S△BOC＝S△COD＝S△AOB＝2， ∴S矩形ABCD＝4S△AOB＝8.
认知基础练
4 【中考·毕节】如图，在矩形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接 EF，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是( D ) A．2．2 cm B．2．3 cm C．2．4 cm D．2．5 cm